Релятивистская теория многозарядных ионов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

САНКТ - ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГб ОД

? ;'! На правах рукописи

УДК 539.182

ЗАПРЯГАЕВ Сергей Александрович

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГОЗАРЯДНЫХ ИОНОВ специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени .доктора физико - математических наук

Санкт-Петербург 1997

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Воронежского государственного университета

Официа1ьные оппоненты: доктор физнко - математических наук.

профессор М.А.Браун Ст.-Петербургский гос. университет доктор физнко - математических наук, вед. н. с. А.И.Шерстюк ГОИ им. С.И.Вавилова , Ст-Петербург доктор физико - математических наук, вед. н. с. И.Л.Бейгман Физический институт РАН им П.Н. Лебедева, Москва

Ведущая организация: Московский Физико - Технический Институт.

Защита состоится года в 15 ч 30 мин. на заседании

диссертационного совета Д 063.57.15 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико - математических наук в Санкт - Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт- Петербург, Университетская наб., 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета.

Отзыв на автореферат просим направлять по адресу: 198904, Санкт Петербург, Петродворец, Ульяновская ул. 1., НИИФ., СПбГУ, диссертационный совет Д 063.57.15.

Автореферат разослан

Жу.Ш^А

1997 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор физико- математических наук

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1.1. Актуальность темы диссертационной работы

В последние годы в атомной физике сформировалась новая область исследований- физика многозарядных: ионов, изучающая процессы с участием ионизованных атомов [1] - [5], [13], [14]. Несмотря на высокую реакционную способность таких объектов, экспериментально стали доступными исследования ионов даже самых тяжелых атомов с малым числом связанных электронов. Например, исследования ионов урана £/89+, у которого удалены 89 электронов [6]. Такие ионы имеют электронную структуру, подобную атому Li, однако в отличие от атома лития, где энергия связи I внешнего электрона составляет ~ 5.4 эВ, в ноне ¿/89+ / ~ 49 кэВ, что принципиально отличает эти объекты от нейтральных атомов. Появление "electron - beam - ion - trap" - технологии сделало доступным изучение спектра ионов любой кратности ионизации при полном отсутствии доплеровских сдвигов, что и определяет актуальность исследования.

Сильно ионизованные ионы с (Z — N 1) представляют собой системы, в которых электроны локализованы в областях порядка комптонов-ской длины волны электрона, что приводит к возможности осуществления экспериментальных проверок первых принципов квантовой электродинамики на таких системах (лэмбовское расщепление, поляризация вакуума и т.п.). В свою очередь это ведет к необходимости формулировки квантово-электродинамической теории описания таких систем для теоретического обоснования прецизионных экспериментальных результатов. К настоящему времени в низшем порядке теории возмущений по взаимодействию с вакуумом выполнены численные расчеты лэмбовского расщепления Н-ионов, представляющих интерес в прецизионных экспериментах [9] - [11] и появилось значительное число работ, направленных на преодоление проблем, связанных с расчетами Не- и Li- подобных ионов как с учетом квантово-электродинамических эффектов, так и с учетом структуры и свойств ядра [8], [22].

Помимо фундаментальной проблемы изучения многозарядных ионов как объектов, тестирующих квантовую электродинамику, многозарядные ионы нашли свое применение и в ряде областей, в которых требуется обширная информация по структуре спектра и характеристикам переходов

в ионах в целом. К таким областям относятся: физика плазмы, проблема создания квантовых генераторов в области рентгеновского излучения и отчасти астрофизические исследования. Практически спектры ионов лежат в рентгеновской области, что привело к развитию методов рентгеновской спектроскопии [3] и к развитию теоретических методов расчета таких систем с включением релятивистских эффектов без использования их малости. Настоящая диссертация направлена на решение именно этой задачи - развитие релятивистских методов описания многозарядных ионов с целью получения обширной спектроскопической информации, необходимой для интерпретации экспериментальных результатов и для использования при решении уравнений кинетики многозарядных ионов при исследовании проблемы создания рентгеновских лазеров.

Стандартной задачей теоретического описания многозарядных ионов является задача расчета частот переходов и интенсивностей спектральных линий. Хотя эти вопросы традиционны для атомной спектроскопии, однако детально развитые приближенные методы расчета нейтральных атомов или неприменимы, или требуют их расширения ввиду существенно релятивистского характера задачи. Поэтому теория таких систем должна исходно строиться с учетом того, что релятивистские эффекты составляют не малые поправки, а определяют порядки величин.

1.2. Цель и задачи работы

Целью диссертации является развитие теоретических методов для анализа спектроскопических характеристик многозарядных ионов и приложение их к расчету спектров и вероятностей радиационных переходов в ионах с учетом релятивистских и корреляционных эффектов. Последовательная квантово- электродинамическая теория многозарядных ионов опирается на фундаментальную систему решений уравнения Дирака в кулоновском поле. Поэтому одной из главных задач диссертации является получение удобных представлений для релятивистской кулоновской функции Грина уравнения Дирака в координатном представлении и иллюстрация техники релятивистских вычислений на примерах аналитического расчета важнейших спектроскопических характеристик простейших ионов.

Поскольку последовательные теоретические расчеты возможны лишь в ионах с малым числом электронов М, одной из задач диссертации являет-

ся развитие полуэмппрнческих методов в теории многозарядных ионов и получение на их основе систематической информации о спектрах ионов в широком интервале N и

1.3. Научная новизна

Научная новизна проведенных исследований определяется следующими положениями:

а) в области общей теории многозарядных ионов:

- исследован полный набор решений уравнения Дирака второго порядка и впервые введены функции Штурма уравнения Дирака второго порядка. Впервые установлены обшие операторные и функциональные соотношения, связывающие решения уравнений Дирака первого и второго порядков;

- впервые получены решения уравнения Дирака первого порядка в форме, отличной от общепринятой и наиболее удобной для перехода к нерелятивистскому пределу. Найдены симметричные но радиальным переменным парциальные разложения релятивистской кулоновской функции Грина в координатном представлении, позволяющие проводить аналитические вычисления в атомных расчетах. Получено разложение релятивистской кулоновской функции Грина по степеням параметра вплоть до слагаемых

-впервые получено выражение для редуцированной релятивистской кулоновской функции Грина уравнения Дирака для произвольного состояния;

- развит метод оператора эволюции для получения расчетных формул в теории многозарядных ионов;

- развита теория релятивистского метода квантового дефекта. Получено аналитическое выражение для связи квантовых дефектов с фазами рассеяния и впервые построена функция Грина в релятивистском методе квантового дефекта;

- проведено исследование возможности применения метода функционала плотности для учета корреляционных взаимодействий в теории многозарядных ионов;

б) в области приложений к расчету конкретных эффектов :

- на основе развитого аппарата релятивисткой кулоновской функции Грина впервые получены аналитические выражения для сдвигов уровней энергии состояний тонкой структуры Н-ионов первого и второго порядков

по полю в постоянном электрическом и магнитном полях без разложения по релятивистскому параметру (а^)2. Получены точные аналитические выражения для восприимчивостей, факторов экранирования, сверхтонкого (магнитно-дипольного) расщепления уровней Н-, Не- подобных ионов;

-впервые получена инвариантная структура мультипольных слагаемых в дифференциальном сечении фотоионизации Н-ионов на базе решений уравнения Дирака в центрально- симметричном поле;

- впервые получено замкнутое аналитическое выражение для корреляционной поправки первого порядка к энергии основного состояния Не- подобного иона. Вычислена поправка ~ [а2)2 для корреляционной энергии второго порядка (по межэлектронному взаимодействию) для основного состояния Не- подобного иона;

- в низшем порядке теории возмущений по корреляционному взаимодействию получены аналитические выражения для вероятностей переходов и энергий уровней тонкой структуры Не- и 1л- подобных ионов.

- выполнены систематические расчеты уровней энергии для изоэлек-тронных последовательностей Не-, 1Л-, Ве-, В-, С-, Н-, - подобных ионов для всех термов электронных конфигураций, соответствующих возбуждению внешнего электрона до значений главного квантового числа: п = 6, орбитального I = 0,1,2 для ионов вплоть до 30- кратной степени ионизации. Рассчитаны силы осцилляторов для всех дипольно - разрешенных переходов между вычисленными состояниями в Не-, 1Л-, Ке- подобных ионах.

-предложена модель учета влияния теплового поля на спектроскопические характеристики атомов и ионов.

1.4. Научная и практическая ценность

Найденные выражения для релятивисткой кулоновской функции Грина и фундаментальной системы решений кулоновских уравнений Дирака первого и второго порядка имеют область применения, выходящую за рамки релятивистской теории многозарядных ионов, и могут быть использованы для широкого круга проблем: релятивисткой квантовой механики, теории ядра, нестационарной теории возмущений, квантовой электродинамики, теории рассеяния и взаимодействия излучения с веществом. Практически ту же область применения имеют и выражения для функции Грина в ре-

лятивистском методе квантового дефекта. В этом смысле представленные результаты имеют общефизический интерес.

Применение аппарата кулоновской функции Грина позволило преодолеть ряд известных трудностей, препятствовавших развитию релятивистской теории многозарядных ионов как на уровне точных квантово- электродинамических расчетов, так и на уровне получения аналитических выражений без использования разложения по релятивистскому параметру малости. Полученные результаты делают возможным расчет высших порядков теории возмущений как по межэлектронному взаимодействию, так и по взаимодействию с внешним полем, уменьшая существующие неопределенности теоретических расчетов уровней энергии и времен жизни возбужденных состояний ионов.

Систематические данные по спектроскопическим характеристикам ионов, представленные в диссертации, могут быть использованы в качестве справочного материала при идентификации спектров многозарядных ионов, при диагностике высокотемпературной плазмы, в задаче решения кинетических уравнений физики плазмы, в проблеме расчета активных сред для источников когерентного излучения в области ВУФ и рентгеновского диапазонов. При решении последней проблемы в отделе когерентной и нелинейной оптики ИОФ РАН осуществлялось численное моделирование экспериментов по генерации излучения с длиной волны ~ 100 А на основе представленной спектроскопической информации. Данная работа завершилась экспериментом, поставленным в Резерфордовской лаборатории в Англии, по исследованию генерации излучения на длине волны А ~ 182 А на переходе п — п! = 3 — 2 иона в рекомбинирующей плазме [4]. Результаты расчетов совпали с экспериментом с точностью ~ 20 — 30% и таким образом, было достигнуто хорошее понимание процессов, протекающих в рекомбинационных рентгеновских лазерах изучавшегося типа.

Материал исследований, представленных в диссертации, по релятивистской функции Грина, вероятностям переходов, энергиям состояний уровней тонкой структуры, сдвигу и расщеплению уровней простейших ионов во внешнем поле вошел в ряд монографий, посвященных проблеме многозарядных ионов [1], [2] .

1.5. Основные положения, выносимые на защиту

1. Построены функции Штурма и шгурмовское разложение функции Грина кулоновского уравнения Дирака второго порядка. Установлены общие свойства решений уравнения Дирака второго порядка.

2. Фундаментальная система решений уравнения Дирака в кулоновском поле и волновые функции дискретного и непрерывного спектра представлены в форме, удобной для перехода к нерелятивистскому случаю и к случаю свободного движения. Найдены парциальные разложения кулоновской функции Грина уравнения Дирака, симметричные по радиальным переменным. Построено выражение для редуцированной кулоновской функции Грина произвольного стационарного дираковского состояния. Получены разложения релятивистской кулоновской функции Грина по степеням параметра о.2.

3. Развит подход для расчета уровней энергии многозарядных ионов, основанный на использовании метода оператора эволюции.

4. С использованием трансляционных свойств двухчастичной амплитуды Бете-Солпитера и функции взаимодействия построена теория возмущений Реллея-Шредингера для уравнения Бете-Солпитера в координатном представлении.

5. Развит метод релятивистского квантового дефекта. Получено выражение для связи квантовых дефектов с фазами рассеяния в релятивистском случае. Найдено выражение для релятивистской функции Грина электрона в методе квантового дефекта и волновых функций состояний дискретного и непрерывного спектров.

6. Развит метод самосогласованного поля для описания ионов на основе учета функционала обменно- корреляционной энергии.

7. Рассчитаны энергии и вероятности переходов в многозарядных ионах с числом электронов от 2 до 10 для термов основных и возбужденных состояний валентного электрона со значением главного квантового числа п < б, I — 5,р, а.

8. Получены аналитические релятивистские выражения и релятивистские поправки к вероятностям переходов и энергиям многозарядных ионов в низших порядках теории возмущений по межэлектронному взаимодействию.

9. Найдены аналитические выражения для сдвигов и расщепления уров-

ней тонкой структуры водородоподобных ионов в постоянном электрическом и магнитном полях.

10. Развита релятивистская теория фотоионизации многозарядных водородоподобных ионов. Получено дифференциальное сечение фотоиониза-цин Н-иона. Найдены инвариантные выражения для вкладов первых не-диполъных поправок Ml, Е2- мультиполей в дифференциальное сечение фотоионизации.

11. Развита модель описания влияния теплового излучения на спектроскопические характеристики атомов.

1.6. Апробация работы

Результаты работы докладывались на Всесоюзных конференциях и семинарах по теории атома и атомных спектров (Ленинград 1977; Воронеж 1980; Тбилиси 1981, 1988; Юрмала 1982; Минск 1983; Ужгород 1985; Одесса 1986;Томск 1989: Ростов-Великий 1990; Суздаль 1991). на Всесоюзных совещаниях "Спектроскопия многозарядных ионов" (Ткибули 1987), на Всесоюзных съездах по спектроскопии (Киев 1988; Звенигород 1993). на Совещании по ядерно- спектроскопическим исследованиям сверхтонких взаимодействий (Грозный 1987), на 1-ом Советско- Британском симпозиуме по спектроскопии многозарядных ионов (Троицк 198С), на международном симпозиуме "Коротковолновые лазеры и их применение" (Самарканд 1990), на 20-ой и 28-ой международных конференциях Европейской группы по атомной спектроскопии EGAS (Garz 1988, 1996), на 15- ой International Conference on Atomic Physics (Amsterdam 1996), на 8- ой International Conference on the Physics of Highly Charged Ions (Omiya 1996).

1.7. Публикации

Результаты работы опубликованы в двух монографиях и 22 статьях, а также в препринтах ИСАН СССР, ИОФАН СССР, тезисах докладов указанных выше съездов, конференций и семинаров.

1.8. Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложений и списка литературы из 225 наименований. Полный текст диссертации изложен на 261 странице, содержит 36 рисунков и 39 таблиц.

2. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В Главе 1 обоснована актуальность темы исследования, сформулированы основные задачи и цели работы, кратко изложено содержание работы по главам, перечислены основные положения, выносимые на защиту.

Глава 2. "Фундаментальная система решений уравнений Дирака 6 ку-лоновском поле" содержит 8 разделов. В первом разделе, носящем обзорный характер, отмечается, что стандартные решения уравнения Дирака в кулоновском поле Ф(.Е;г) [12]

г Je1 i

[Я(т) — Е] Ф(В; г) = [с(с • р) + 0тс2 ~ — ~ Я]Ф(£; г) = 0 (1)

не имеют "естественного" перехода к нерелятивистским решениям и к решениям, соответствующим случаю свободного релятивистского электрона. Обсуждаются возможные проявления указанных свойств решений в теории многозарядных ионов. В разделе 2 данной главы рассмотрены основные свойства и структура решений уравнения Дирака второго порядка

\!ÍA j?L r _ A¿±lh + A + ф(£;г) = 0i (2)

1-2nAr dr2 r2 / r me2 2me2 J

где L — К, — iaZ{a • xi) - оператор, содержащий спин-угловые переменные, К = —{о ■ l)/¿ —1. Уравнение (2) следует из (1) в соответствии с определениями: Ф = КФ, где К = —/ЗН( — т)/2тс2 - оператор квадрирования. Решения уравнения (2) являются собственными функциями операторов ¡3K. и L, с собственными числами к = ±1,±2..., = 1/2, С — ±\Jk2 — (c*Z)2. В связи с этим решение уравнения (2) зависит от Е,к,т', q, где т'-проекция j на ось г, q — ±1 и его интерпретация зависит от выбора спин-угловой части решения уравнения (2) (знак собственного числа С или знак к и т.п.). При этом спин-угловой биспинор решения уравнения (2) имеет одну, общую для "большой" и "малой" компонент, радиальную функцию, которая удовлетворяет уравнению Уиттекера, полностью аналогичному радиальному уравнению Шредингера. Полный набор типов решений уравнения (2) получен в данном разделе. Кроме того, в данном разделе введена система функций Штурма уравнения Дирака второго порядка, играющая основную роль при построении функций Грина. В разделе 3 выполнено построение функции Грина уравнения Дирака второго порядка Q(E;y,y'). В разделе 4 построены решения уравнения Дирака первого порядка (1) в форме, от-

личной от общепринятой, удобно!! для перехода как к нерелятнвистскому случаю, так и к случаю свободного движения.

В отличие от решений уравнения (1), решения уравнения (2) содержат дополнительный параметр д = ±1, удваивающий число решений уравнения (2) в сравнении с (1). В связи с этим на основании общего определения —»■ Ф/сщ вытекает необходимость дополнительного уточнения, конкретизирующего типы решений уравнения второго порядка, генерирующие решения уравнения первого порядка. Данная проблема решается доказательством двух основных соотношений, справедливых для всех решений уравнения Дирака второго порядка

Так, первое из соотношений (3) означает, что только одно решение уравнения (1) генерируется из пары решений уравнения (2), приводя к определенному функциональному виду решения уравнения (1). Показано, что существует четыре нетривиальные пары решений, которые приводят к разным формам решения уравнения (1). В данном же разделе установлено, что структура решения уравнения (1) имеет вид

где дифференциальный оператор И связывает два решения радиального уравнения Дирака второго порядка = отличающиеся знаком к, а оператор Б равен

Неунитарный, эрмитовский оператор в, по форме совпадающий с преобразованием Лоренца, в классическом пределе ( большие значения момента импульса I ) соответствует переходу в систему координат, движущуюся со скоростью V = а2(1 по касательной к классической траектории движения. Как показано Зоммерфе.тьдом, такое преобразование в классических релятивистских уравнениях движения приводит к замкнутым эллиптическим траекториям, упрощающим характер решения. Оператор Э, действующий в пространстве спин - угловых биспиноров, приводит к простой матричной структуре решений уравнения Дирака, исследованной в диссертации.

Общее соотношение (5), вытекающее из решений уравнения Дирака второго порядка, приводит к задаче о построении решений уравнения (1)

Кф(д) _ с КФ<~»), КФ(?) = С! ф(») + С2 ф(~9).

(3)

Э = сЦв/2) - Ща ■ п)зЬ(£/2), 0 = агсЛ(о^//С).

путем исследования линейных преобразований вида Ф = \JZ, сводящих систему уравнений (1) к уравнениям типа уравнения Шредингера. Такая задана также решена в данном разделе.

В разделе 5 на основе наиденной системы решений уравнения (1) построено парциальное разложение релятивистской кулоновской функции Грина уравнения (1), являющейся Фурье- образом от пропагатора электрона в кулоновском поле. Общее выражение для функции Грина представлено в виде

<?(£;гьг2) = 8(щ)д(£;;гьг2)8(п2) - Е(п^{Е^г^Щщ). (6)

Явное выражение для парциального разложения матрицы д(Е\ Г1, Гд) представлено в диссертации для различных форм записи радиальных частей функции Грина: симметричном разложении по функциям Штурма уравнения Дирака второго порядка; интегральном представлении Хостлера; а также в виде произведения функций Уиттекера от несимметричных радиальных переменных. Равенство (6) ( оператор Е определен через Б и И) показывает, что функция Грина кулоновского уравнения Дирака первого порядка определяется симметричным выражением, содержащим функцию Грина уравнения Дирака второго порядка $ [Е\г, г'). Общие формулы для кулоновской функции Грина получены двумя методами: на основе решения уравнения Дирака первого порядка и с использованием функции Грина уравнения Дирака второго порядка в соответствии с определением

Кулоновская функция Грина позволяет получить нормированные собственные функции электрона в кулоновском поле как для дискретного, так и для непрерывного спектров. В частности, вычет функции Грина в полюсе, соответствующем энергии связанного состояния, приводит к следующему виду для волновых функций дискретного спектра:

\ 2А I НК ! к + XI \гзи2(г) )

22 А 3/2

щ = ■

гг2 =

Мао) ^ 4АД/ Г(пг + 2А + 1) 2)К'-1[У)'

Ума0) \ 4ЛАГ ГК + гА)3' еХр(

Ц\{у) -полиномы Jlareppa, у = —, N = sjri2 — 2пг(к — А), п = 1,2,... главное квантовое число, пг = га — к, А = 0,±1,±2..., к =| fc |, А = аД2 — (riZ)'2, s = sign(fc). Нормированные волновые функции непрерывного спектра найдены из соотношения

г,г') - г,г') - i 2тг£ Ф£,т(г)ФИт(г'),

km

где G^' (-Е; г, г') - функции Грина с асимптотикой расходящейся и сходящейся волны на бесконечности.

В релятивистской теории, при наличии состояний дискретного спектра, важную роль играет редуцированная кулоновская функция Грина, спектральное разложение которой не содержит фиксированного стационарного состояния Eni,. Данная функция Грина получена из полной в соответствии со следующим равенством, не зависящим от вида волновых функций стационарного состояния (раздел 6)

Редуцированная функция Грина возникает как в задачах стационарной и нестационарной теории возмущений, так и в КЭД расчетах. В разделах 7 и 8 настоящей главы получены нерелятивистский предел и разложения функции Грина по степеням aZ до слагаемых ~ (aZ)2 включительно. Показано, что подход, основанный на использовании уравнения Дирака второго порядка, является естественным способом получения аZ разложений функции Грина, в том числе и построения функции Грина в приближении Фарри- Зоммерфельда- Мауэ.

Глава 3 диссертации "Методы расчета многозарядных ионов" содержит 9 разделов и является теоретической основой для конкретных вычислений спектроскопических характеристик ионов.

Ввиду отсутствия гамильгонова подхода в релятивистской проблеме связанных состояний последовательное описание ионов должно опираться на полевые методы. В разделе 2 данной главы развивается приложение метода оператора эволюции И(Ь,Ц) при конечных временах в картине Фарри для определения энергии связанных состояний многозарядных ионов. Общее соотношение метода оператора эволюции для вычисления энергии невыро-

\

-О

Рис. 1. Диаграммы первого и второго порядков. Н-ионы

жденного состояния основывается на предельном равенстве вида [15]

Обобщение данного подхода на случай вырожденных состояний [17] приводит к задаче нахождения собственных значений и собственных векторов секулярного оператора С2

Выражения (7), (8) решают вопрос о способе вычисления энергии и вероятности переходов системы электронов в произвольном ионе, так как мнимые части энергии определяют ширину уровня, связанную со всеми каналами распада. В виду того что явный вид оператора эволюции можно найти для многозарядных ионов лишь по теории возмущений, удобно классифицировать члены ряда теории возмущений фейнмановскими диаграммами в картине Фарри. Правила соответствия диаграмм и матричных элементов оператора эволюции представлены в настоящем разделе.

Помимо общей проблемы перенормировки массы и заряда электрона (известной из квантовой электродинамики свободных частиц) разложение оператора эволюции приводит к появлению расходящихся выражений в отдельных слагаемых, связанных с полюсной особенностью фурье- образа электронного пропагатора в Е- плоскости при энергиях, совпадающих с энергиями связанных состояний. В гамильтоновом подходе стационарной теории возмущений такие состояния приводят к появлению редуцированных функций Грина. В связи с: этим возникает проблема конечности слагаемых ряда теории возмущений во всех порядках, которая детально рассмотрена в матричном подходе [1] вплоть до четвертого порядка теории возмущений. Так же, как и в 57 матричном подходе, установлено что с точностью до слагаемых, учитывающих двухфотонный обмен, все

<2 = Ш-1{Т)~и(Т).

(8)

расходящиеся выражения сокращаются при учете членов ряда теории возмущений одного порядка.

В разделе 3 данной главы представлены общие выражения для сдвига уровня в одноэлектронных ионах вплоть до слагаемых четвертого порядка и продемонстрирован метод вычисления матричных элементов оператора эволюции по временным переменным. Совокупность рассмотренных диаграмм представлена на рис.1, 2 На рис. 1 внешняя линия соответствует неквантованному полю с 4-лотенциалом и представленные матричные элементы определяют широкий круг задач, возникающих при расчете спектров ионов. В частности, при А{1 = {О, [Н х г]/2} , где Н -напряженность магнитного поля, данные диаграммы соответствуют эффекту Зеемана уровней тонкой структуры Н-ионов. При А™ = {-Р • г, 0}, где Б- напряженность электрического поля, вклад матричных элементов таких диаграмм определяет эффект Штарка уровней тонкой структуры. В случае Ае* — {<¿>2(г), -[м х г]/г3} , где ц - магнитный момент ядра, - скалярный потенциал квадрупольного момента ядра, вклад данных диаграмм определяет сверхтонкое расщепление уровней и т.п. Диаграммы Мз на рис.1 дают собственно-энергетический сдвиг уровня и поправку, связанную с поляризацией вакуума, имеющие порядок ~ a(aZ)Amcl. Точ-

Рис. 3. Фейнмаповские графики для сдвига уровня Не-подобных ионов в низшем порядке

Рис. 4. Фейнмановские диаграммы четвертого порядка для сдвига уровня Не- подобного иона

ный расчет вкладов этих диаграмм выполнен в [9], [11]. Учет вклада слагаемых, представленных на рис.2, в настоящие время без разложения по (y.Z не выполнен. Порядок поправок этих слагаемых составляет ~ а2(а2)4тс2.

В разделе 4 данной главы представлены матричные элементы оператора эволюции для двухэлекгронных ионов до четвертого порядка теории возмущений ( рис.3, рис.4).

Диаграмма однофотонного обмена Де^ (рис.3) определяет величину корреляционной поправки первого порядка ~ Z~'í к энергии системы невзаимодействующих частиц. Слагаемые (рис.3) приводят к сумме одночастичных радиационных поправок в приближении невзаимодействующих частиц с учетом векторной схемы связи моментов. Диаграммы двухфотонного обмена Д42_1\ Де^2-2-1 (рис.4) определяют корреляционные поправки второго порядка к энергии системы невзаимодействующих частиц и в сумме приводят к появлению не имеющих нерелятивистского аналога слагаемых ~ а2(а£)5тпс2 [5], вычисленных в настоящее время для основного состояния Не- подобных ионов [7]. Матричные элемен-

ты, соответствующие вкладу диаграмм Двр-"3', Аер~А\ Де^-5^, суммарно определяют корреляционные поправки ~ к одночастичным радиационным поправкам [18].

В пятом разделе данной главы проведено построение многочастичного состояния ионов с числом электронов от 2 до 10 в пространстве чисел заполнения с наложением векторной схемы связи моментов на операторы рождения в одночастичных дираковских состояниях. При этом помимо обсужденных выше диаграмм для ионов с числом электронов N > 3 появляется диаграмма двухфогонного обмена, имеющая тот же порядок, что и в случае двухчастичных систем, и определяющая поправки на взаимодействие с электронами внутренних оболочек (рис.5).

В разделе 6 данной главы рассмотрено применение формализма уравнения Бете- Солпитера для вывода выражений, определяющих поправки к уровням энергии в двухэлектронных системах. Используя трансляционные свойства двухчастичной амплитуды Бете-Солпитера и функции взаимодействия, соответствующей сумме всех неприводимых (в смысле уравнения Бете-Солпитра) диаграмм, уравнение Бете- Солпитера в координатном представлении сведено к интегральному уравнению, для которого построена теория возмущений, полностью аналогичная стационарной теории возмущений. Полученные результаты совпадают с результатами, вытекающими из метода оператора эволюции.

Однако полевые методы, имеющие строгое обоснование в релятивистской теории, встречаются с серьезными техническими трудностями вычисления матричных элементов диаграмм высших порядков и используются в основном для объяснения прецизионных экспериментов по измерению радиационных поправок в основных состояниях ионов. Учитывая, что число положительно заряженных ионов ( ~ 5000) намного превосходит число

пГ

п2! = Л(н1, и 1', >г2, п2', пЗ, пЗ'; <)

пЗ'

Рис. 5. Матричный элемент двухфотонного обмена а Ц-цодобном ионе

нейтральных атомов, а также потребность в массовой спектроскопической информации для нужд высокотемпературной плазмы или астрофизических исследований, теория многозарядных ионов нуждается в развитии универсальных эмпирических способов учета релятивистских эффектов в таких системах. В рамках хорошо развитой нерелятивистской теории атома сформулирован ряд таких методов, которые могут быть качественно или в рамках одночастичной релятивистской теории обобщены и для описания многозарядных ионов. Одним из таких методов является метод квантового дефекта или кулоноподобное приближение, обобщение которого на релятивистский случай выполнено в разделе 7 данной главы.

Основная идея метода квантового дефекта основана на предположении о возможности представления потенциальной энергии внешнего электрона в виде суммы короткодействующего некулоновского слагаемого и куло-новской части. Таким образом, внешний электрон практически находится в области поля ионного остатка, за исключением малой области вблизи ядра. Для параметризации энергии дискретного спектра в релятивистском случае используется обобщение формулы Зоммерфельда для связанных состояний [19], [20]

здесь Л = фк2 — (аЯ*)'2, 24 = Z — N + I - спектроскопический символ или заряд остова иона, к = ^ -{-1/2, п = пг + к, пг -радиальное квантовое число. Короткодействующая некулоновская добавка в потенциале снимает вырождение уровней энергии по знаку к = ±к, имеющее место в чисто кулоновском поле, и приводит к отличным от нуля значениям определяемым по известным уровням энергии состояний дискретного спектра:

В области непрерывного спектра (е > 1) наличие потенциала остова приводит к некулоновским добавкам 5к(е) к фазам рассеяния ¿%(е) в чисто кулоновском поле. Важнейшим соотношением метода квантового дефекта является соотношение, связывающее квантовые дефекты и некулоновские добавки к фазе рассеяния. Для припороговых энергий в релятивистском случае такое соотношение получено в [19]: ¿¡. = пцк. Выражение для произвольных энергий, дающее аналитическое продолжение фаз на область

1лк(Еп) = п + Х- к -1}(£п), »?(е) =аг*е/^1-£2, £ = (10)

Е < тс2, получено в данном разделе и имеет вид сtg[6k(E)]\E<m^ [l - ехр(27гг(?/ - А))] <%[?№(£)] - * ехр[2тп(?? - Л)]. (И)

В этом же разделе построена функция Грина в релятивистском методе квантового дефекта, которая в соответствии с общей теорией позволяет найти нормированные волновые функции дискретного и непрерывного спектров и тем самым полностью определить состояния релятивистского электрона в указанном приближении. Для использования метода квантового дефекта при описании процессов взаимодействия ионов с внешним постоянным полем построена редуцированная функция Грина в методе квантового дефекта.

Среди методов расчета в нерелятивистской теории атома широкое распространение получили методы самосогласованного поля. Прямое обобщение этих методов на релятивистский случай, получившее относительно широкое распространение в практических расчетах спектров ионов, выполнено в [16]. Однако система релятивистских уравнений типа уравнений Хартри- Фока достаточно громоздка и требует серьезных временных затрат, особенно при проведении многоконфигурационных расчетов. Распространение идей метода функционала плотности в атомных расчетах позволило внести существенные технические упрощения в уравнения самосогласованного поля, предполагая существование обменно- корреляционного функционала. Основанием для такого предположения является теорема Кона- Шэ.ма [21], утверждающая, что энергия основного состояния любой многочастичной системы является функционалом от плотности частиц в системе.

В разделе 8 настоящей главы сформулирована система релятивистских уравнений самосогласованного поля

fc(«.p)+ /?тс2- — + Г ^Щ-dv' = О i = (12)

L т J | г — I* | J

где И^-обменно- корреляционная энергия, связанная с обменно- корреляционной энергией £хс, приходящейся на одну частицу, а р- электронная плотность р = {т)Ф>(г'))- Здесь суммирование выполняется по занятым одночастичным состояниям и проведено усреднение по угловым переменным. Точное выражение для ехс, как функция р, неизвестно. В расчетах использована параметризация для £хс, выполненная на основе анализа

известных предельных выражений, найденных Гелл-Манном и Бракнером в теории Ферми- газа высокой плотности (ИРА- приближение) , а также результатов, полученных прямым моделированием ансамбля частиц по методу Монте-Карло [21]. Качество учета корреляционных поправок определялось путем анализа "корреляционной" дырки, характеризующей разность плотности распределения межэлектронного расстояния, вычисленного " точным" и приближенным методами. Исследование корреляционной дырки, вычисленной на основе системы уравнений (12), показывает, что используемый формализм качественно правильно учитывает корреляционные эффекты.

В разделе 9 настоящей главы приводится обсуждение возможности представления численных значений энергии Е и сил осцилляторов переходов / для изоэлектронной последовательности состояний ионов в виде отрезков ряда

к—кпхах , Л ~ 77. то а®

ВД= £ екг\ т= £ е„2п, (13)

к=ктт п-птЫ

где коэффициенты еь /„ не являются функциями заряда ядра Ъ. Так как нерелятивистская энергия системы невзаимодействующих частиц пропорциональна 2г, а корреляционные и релятивистские поправки генерируют бесконечные ряды по убывающим и возрастающим степеням 2 соответственно, то в общем случае разложения типа (13) являются рядами Лорана. В диссертации для представления численных результатов энергий ионов используется отрезок ряда со значениями кт{п = 0, ктах — 4 {птт ~ _2,птах — 2), что приближенно обеспечивает учет как релятивистских, так и корреляционных поправок. В этом же разделе сформулирован метод самосогласованного вычисления параметра экранирования для электронов заданной электронной конфигурации. Параметр экранирования заряда ядра использован при проведении оценочных вычислений, а также при выборе функций нулевого приближения для решении системы самосогласованных уравнений метода функционала плотности (12).

Глава 4 "Энергии многозарлдных ионов" (10 разделов) и Глава 5 "Вероятности переходов в ионах" (5 разделов) носят прикладной характер и содержат материал по конкретным вычислениям спектроскопических характеристик изоэлектронных последовательностей ионов Не- (разд.З Гл.4; разд.2 Гл.5 ), 1л- (разд.4 Гл.4; разд.З Гл.5), Ве-(разд,5 Гл.4), В-(разд.6 Гл.4),

Таблица 1. Коэффициенты разложения энергии /¡ля Ве-подобного иона в э.В.

Терм е4 ■ 105 ез-Ю3 £2 е1 со

I 9.39201 -3.92724 3.48312 -15.2780 14.9234

2835 2.08792 1.44388 1.85105 -6.69173 3.83539

2.?45 8.60463 -2.68012 2.59973 -10.5472 8.73135

2л5я 9.49286 -3.26537 2.91887 -12.1851 10.7282

2з6з 9.94545 -3.56303 3.09181 -13.1096 11.9267

2.?2 р Рх -0.77233 3.37986 -0.09761 4.42234 -11.0366

2 ¿Зр 7.56222 -2.11803 1.93051 -6.86442 4.14686

2 в Ар 9.13496 -3.04039 2.60800 -10.3008 8.01625

2$5р 9.95110 -3.56862 2.92561 -12.0883 10.4270

2з6р 10.2617 -3.77220 3.09642 -13.0617 11.7695

2.чМ 11.1365 -4.34837 1.97720 -6.36131 2.04218

2а4ё 1.02148 -3.68581 2.61997 -10.1075 7.10912

2$Ь й 1.03008 -3.76983 2.92905 -11.9751 9.94333

2 зМ 1.04081 -3.85309 3.09770 -12.9928 11.4859

С-(разд.7 Гл.4), ¡М-(разд.8 Гл.4), N е-(разд.9 Гл.4, разд.4 Гл.5). В диссертации представлены результаты расчета энергий изоэлекгронных последовательностей перечисленных ионов для всех термов возбужденных з,р,<1- состояний с п < 6, выполненных методом функционала плотности, методом квантового дефекта и по теории возмущений для ионов с кратностью ионизации до ~ 30. Вероятности переходов и силы осцилляторов приведены для ионов изоэлектронных последовательностей Н, Не, 1л, Ке. Результаты представлены в таблицах численных значений аппроксимирующих отрезков ряда Лорана типа (13). В качестве примера, представления энергий в табл.1 приведена часть результатов, относящихся к Ве-подобным ионам, а в табл.2 - сравнение с результатами расчета, выполненными другими методами. В табл.1 I- потенциал ионизации, а энергии отсчитываются от энергии основного состояния. При вычислениях энергии состояний учитывался вклад известных одно- и двухчастичных радиационных поправок (рис.3, рис.4), обсуждение которых приведено в разделе 1 гл.4. В среднем точность используемых методов характеризуется величиной относительной ошибки ~ 0.1%, что не достигает спектроскопической точности, но

Таблица 2. 2«2 15о - Ыр3Р1 см'1. Ве-Нке

ъ г - ехр [23] вНАБР [24] маш экспер данная раб

6 259613 259823 259711 259713

7 405960 406040 406133 405988 406039

8 582871 582770 583008 582840 582988

9 790395 790470 790531 790330 790422

10 1028591 1028680 1028781 1028519 1028509

является достаточной для использования результатов в кинетике плазмы.

Ряд результатов для энергий ионов получены в аналитическом виде с использованием кулоновского базиса и релятивистской кулоновской функции Грина. Так, в разделе 3 гл.4 приводятся аналитические вычисления вклада диаграммы корреляционной поправки первого порядка Ле^ (рис.3) в Неподобных ионах. При этом для поправки к энергии основного состояния получено следующее выражение:

Вклад диаграмм двухфотонного обмена типа Лг'2-1' , (рис.4),

вычисленный с учетом вклада релятивистских поправок ~ (п.£)2, приводит к релятивистскому обобщению разложения Хиллераса для основного состояния Не- подобного иона (в а.и.)

5„ ....... , о г 1

14

где Аз - вклад слагаемых ~ (а^)3, явное выражение для которых приведено в диссертации.

Кроме того, выполнены приближенные расчеты диаграммы двухфотонного обмена без разложения по а2 с учетом вклада нескольких первых стационарных состояний, как это схематично представлено на рис.6. Кроме указанных результатов, выполнен расчет корреляционной поправки к поляризации вакуума в Не- подобных ионах (диаграмма Арис.4) для конфигурации 1 вга/, п = 2 + 6 с использованием потенциала Юлингаи диаграммы двухчастичного обмена с тремя электронными линиями (рис.5) в 1л- подобных ионах (раздел 9 гл.4). Результат для электронных конфигу-

Е1в2 = + ^-0.157666-(а£)2[^2 + 0.480140£+0.635б]+Д3}, (15)

п!

1е + 2а + 2р+ ... п1

Рис. 6. Приближенное представление вклада двухфотокного обмена

раций 1522з, 1з22р представлен в виде (см. рис.5)

.2р-1/2,импегг х г23 5 ? • 172321 т _.•> 1 е?

Ы - 1п ё - - зГ^оГ-] [1 + 0.734(а^) +...].-

В разделе 10 гл.4 проведены вычисления величины сверхтонкого расщепления уровней в II-, Не- и 1л- подобных ионах. Для водородоподобных ионов сверхтонкое расщепление вычислено аналитически в первом и втором порядках теории возмущений по магнитно- дипольному сверхтонкому взаимодействию. Во втором порядке теории возмущений для состояний с ■] = 1/2 из-за расходимости дираковских волновых функций при г = 0 радиальные интегралы расходятся на нижнем пределе и необходимо ввести радиус обрезания, связанный с распределением заряда в ядре. В состояниях с ) > 1/2 не возникает трудностей, связанных с рас.ходимостями. При этом ввиду малого перекрытия электронной и ядерной волновых функций эффекты неточечности ядра оказываются малыми и поправка второго порядка вычислена в аналитическом виде с точным учетом релятивистских эффектов. В частности, разложение по (а^)2 сверхтонкого расщепления 2рз/2 состояния в Н-ионе со значением спина ядра I = 1/2 с учетом слагаемого второго порядка определяется выражением

(16)

Здесь слагаемое 7(а2)2/24 -релятивистская поправка Брейта первого порядка теории возмущений. Как следует из представленного результата (16), для водорода (2 = 1) поправка второго порядка приблизительно в четыре раза больше Брейтовской.

Величина сверхтонкого расщепления в Не- подобных ионах вычислена с учетом вклада диаграмм, представленных на рис.7, где внешняя линия соответствует сверхтонкому взаимодействию. Например, для терма 1ь-2б 35']

Д£° Аг1

Рис. 7. Корреляционные поправки при взаимодействии с внешним тюлем

вклад этих слагаемых определяется выражением

6Е$,7\ 1*2. ^ ;Г) = С,(1,1 +

где С>(а,Ь) = Р(Р +1) - а (а + 1) - Ь{Ь + 1), /- спин ядра.

Для 1л- подобных ионов величина сверхтонкого расщепления уровней вычислена с использованием волновых функций метода функционала плотности.

В разделе 1 гл.5 получены общие формулы и аналитические выражения для расчета вероятностей радиационных переходов между уровнями тонкой и сверхтонкой структуры в одноэлектронных ионах с использованием релятивистских волновых функций. Получены общие выражения для углового распределения излучения. Приведены результаты вычислений для всех переходов между состояниями п —» п' (п, п1 6 1,2,3). Среди указанных переходов важное значение имеет магнитно- дипольный переход 2б —1б\ исследовавшийся в большом числе работ, в связи с тем, что является одним из двух механизмов распада метастабильного 2,? состояния. Разложение точного релятивистского выражения в ряд по для вероятности данного распада с точностью ~ дает следующий результат:

(«£)10г, г19 , 9т. г 8597 6, 9 1, , 91. 1 тс2

(17)

В разделе 2 гл.5 получены общие выражения для расчета вероятностей переходов с учетом корреляционных поправок первого порядка (диаграммы типа рис.7) и выполнены расчеты ряда недипольных переходов в Неподобных ионах. С использованием волновых функций метода функционала плотности рассчитаны силы осцилляторов переходов для возбужденных состояний с 71 < 6. Результаты представлены в виде аппроксимирующих конечных рядов типа (13). Результаты расчета сил осцилляторов перехо-

дов в Ы- подобных ионах на основе релятивистского метода квантового дефекта приведены в разделе 3 гл.5. Раздел 4 гл.5 содержит результаты вычислений сил осцилляторов для Ие- подобных ионов. В последнем разделе проведена оценка вероятностей однофотонных двухэлектронных переходов в ионах с двумя вакансиями во внутренней оболочке (диаграмма типа Аг1 рис.7).

Глава 6 "Ионы во внешних полях" содержит 5 разделов. Интерес к задаче изменения спектра ионов во внешних полях (эффекты Штарка, Зсемана и т.п. уровней тонкой и сверхтонкой структуры) объясняется прецизионными измерениями постоянной Рпдберга, ."тамбовского сдвига, использованием спектра ионов при измерении напряженностей полей в физике плазмы и т.п.. В разделе 1 построена релятивистская теория эффекта Штарка уровней тонкой и сверхтонкой структуры Н-ионов с использованием решений уравнения Дирака и аппарата релятивистской кулоновской функции Грина. Найдены точные (без разложения по <*£) аналитические выражения для штарковского сдвига 5Ешт и расщепления уровней. Получены релятивистские поправки к известным нерелятивистским выражениям. Исследован переход эффекта Штарка из областей нелинейной зависимости сдвигов от напряженности поля при ёЕшгп ~ ¿Ешт ~ ¿/ ( где <$/г/.5, - интервалы сверхтонкой и тонкой структуры соответственно) к областям линейного эффекта Штарка <С $ЕШГ71 -С <5/, Ешт 2> <5/. Состояния с ] = п — 1/2 из-за отсутствия вырождения по к испытывают в электрическом поле лишь квадратичный по полю сдвиг, величина которого определяется вкладом диаграммы М\ (рис.1), где внешние линии соответствуют взаимодействию с постоянным полем напряженности Е. Использование редуцированной кулоновской функции Грина позволяет найти аналитическое выражение для сдвига, разложение в ряд по для которого есть

гЫ2)_ ГПх4(п + 1)(4гг+5) г 80гг3 + 160м2 + 87п + 9 2 т 2 3 Щ; - -д-[1 - 2п(п + 1)(4л + 5)(2п + I)2^ ^ + ~Г

(18)

Для нужд релятивистской теории возмущений высоких порядков проведены аналитические расчеты величин, получивших наименование моментов распределения электрического (е) и магнитного (т) типов, определенных равенством

=

где = гКю, — г (а-Уцо). В частности, появляется при рассмотрении эффекта Штарка уровней сверхтонкой структуры, рассчитанного в работе в аналитическом виде. В этом же разделе получены аналитические выражения и разложения в ряд для мультипольных восприимчивостей и факторов экранирования Н- ионов (диаграмма типа М\ рис.1). В разделе 2 гл.б приведены расчеты поляризуемостей 1л- и подобных ионов с использованием функции Грина релятивистского метода квантового дефекта.

В разделе 3 данной главы получены выражения для сдвига 5Е3 и расщепления уровней тонкой и сверхтонкой структуры в постоянном магнитном поле. Рассмотрены предельные случаи слабого 5/1/8 -С 5Е3 <С 5/ (аномальный эффект Зеемана) и промежуточного полей ~ 6? (эффект Пашена-Бака), а также случай сверхслабых полей, когда 5Е3 ~ Получены аналитические выражения и разложения по аЯ для сдвига уровня во втором порядке теории возмущений по полю.

В разделе 4 гл.6 найдены общие формулы для дифференциального и полного сечения фотоионизации ионов с одним электроном вне замкнутой оболочки. Получены инвариантные выражения для Е1, М1, Е2 слагаемых в мультипольном разложении дифференциального сечения фотоионизации для случая линейной и циркулярной поляризации. Выполнены численные расчеты сечений фотоионизации Н-ионов для 2 < 150. Определены простые аппроксимирующие выражения для релятивистских поправок к сечениям фотоионизации 15, 2в, 2р^ состояний.

В разделе 5 гл.6 рассмотрено влияние теплового поля с планковским спектром на спектроскопические характеристики атомных систем. Рассмотрен процесс вынужденного распада 2в состояния Н-иона под действием теплового поля как дополнительный канал распада метастабильного 2в состояния. Вычислена величина вероятности распада в тепловом поле

= ,19)

В этом же разделе оценена величина вероятности ионизации в тепловом поле, приводящая к уширению спектральной линии. Однако величина данного уширения не приводит к перекрытию состояний с различными значениями главного квантового числа пик поправкам в формуле Инглесса-Теллера.

Для сдвига энергии произвольного состояния получена оценка

Л 12) 2тг3 /Т\4е2 е2

де(2) = _ Т = 20

1а а0 ка0 ■

где /? - статическая поляризуемость.

В последнем разделе вычислено сечение рождения электрон- позитрон-ной пары в кулоновском поле ядра 7- квантом с энергией меньше 2тс2 со связыванием электрона в стационарном состоянии Н-иона. Показано, что если в качестве мишени использовать ядра урана 238^1 то вблизи максимума сечения при числе фотонов То ~ 1014 рождение одной пары произойдет при толщине мишени t ~ 10~)3г/сл12 .

В приложении приведены рисунки и отдельные таблицы.

Основные результаты диссертации опубликованы в монографиях:

1. Запрягаев С.А, Манаков Н.Л., Пальчиков В.Г. Теория многозарядных ионов с одним и двумя электронами. -М.:, Энергоатомиздат, 1985

2. Боровский А.В., Запрягаев С.А, Зацаринный О.И., Манаков Н.Л. Плазма многозарядных ионов. - СПб.: Химия, 1995,

а также в следующих работах:

1. Manakov N.L. Zapriagaev S. Dirac-Couloinb problem on the basis of the second-order Dirac equation. -Abstracts of 1 oth ICAP Conference, TuC7, Amsterdam, (1996). -Abstracts of 8th HCI96 Conference, Omiya, Japan, 47, (1996). -Abstracts of 28th EGAS Conference, 37-38, Graz, (1996).

2. Zapriagaev S. The solutions of the Dirac Coulomb equation. -Abstracts of 28ift EGAS Conference, 35-36, Graz, (1996).

3. Skripnikova O.V., Zapriagaev S.A. The Correlation and Relativistic Corrections in Transition Probabilities in the He-Like Ions. -Abstracts of B,k HCI96 Conference, Omiya, Japan, 48, (1996).

4. Zapriagaev S. Correlation corrections in the three-particle ions. -Abstracts of 8th HCI96 Conference, Omiya, Japan, 49, (1996).

5. Запрягаев С.А., Нефедов Ю.А. Фотоионизация многозарядных Н-ионов - Оптика и спектроскопия, 71, 417, (2991).

6. Бодашко П.Г., Боровский А.В., Запрягаев С.А. и др. Z- зависимости энергий уровней и сил осцилляторов Ne-подобных ионов. - Препринт N6, ИОФ АН СССР, 1989.

7. Запрягаев С.А, Манаков Н.Л., Могилев A.B. Поляризуемости многозарядных ионов в релятивистском методе квантового дефекта - Оптика и спектроскопия, 64, 702, (1988).

8. Запрягаев С.А. Преобразование Биденхарна в теории Н-иона. Вероятности радиационных переходов. - Ядерная физика, 45, 148, (1987).

9. Запрягаев С.А., Моргулис Д.И. Уравнение Бете-Солпитера в теории двухэлектронных ионов. - Ядерная физика, 45, 716, (1987).

10. Запрягаев С.А.,Манаков Н.Л., Могилев A.B. Соотношение между квантовыми дефектами и фалами и функция Грина в релятивистском МКД.

- Изв. АН СССР. Сер.физ., 50, 1367, (1986).

11. Запрягаев С.А., Могилев A.B. Вероятности радиационных переходов между уровнями тонкой структуры ионов CIV, A1XI, TiXX. - Оптика и спектроскопия, 61, 928, (1986).

12. Запрягаев С.А.,Могилев A.B. Метод функционала плотности в теории Не-подобных ионов -Оптика и спектроскопия, 59, 730, (1985).

13. Запрягаев С.А., Зон Б.А. Зависимость спектральных характеристик атома от температуры. - Оптика и спектроскопия, 59, 27, (1985).

14. Бодашко П.Г., Запрягаев С.А. Поляризация вакуума в гелиеподобных ионах. - Оптика и спектроскопия, 54, 768, (1983).

15. Запрягаев С.А., Манаков Н.Л., Моргулис Д.И. Теория многозарядных ионов, с.5-57., в сб. Релятивистские и радиационные эффекты в атомах и ионах. М„ АН.СССР. 1983.

16. Запрягаев С.А., Манаков Н.Л., Паньчиков В.Г. Применение релятивистской кулоновскок функции Грина к расчету корреляционных эффектов в многозарядных ионах. Энергия основного состояния Не-подобного иона.

- Оптика и спектроскопия, 52, 414, (1982).

17. Бодашко П.Г., Запрягаев С.А., Сафронова У.И. Кулоновская функция Грина для расчета Брейтовских поправок. - Оптика и спектроскопия, 52, 400, (1982).

18. Запрягаев С.А., Манаков Н.Л. Применение функции Грина уравнения Дирака к исследованию релятивистских и корреляционных эффектов в многозарядных ионах -Известия АН СССР, сер. физ., 45, 2336, (1981).

19. Запрягаев С.А., Моргулис Д.И. Лестничное приближение для двух-электронного атома. - Известия АН СССР, сер.физ., 45, 2354, (1981).

20. Запрягаев С.А., Манаков Н.Л., Пальчиков В.Г. Применение функции Грина к исследованию релятивистских и корреляционных эффектов в атомах. - Спектроскопия многозарядных ионов. М., 1980, 4-28.

21. Запрягаев С.А., Манаков Н.Л., Пальчиков В.Г. Применение релятивистской кулоновской функции Грина к расчету корреляционных эффектов в многозарядных ионах. Вероятность радиационного 23S\ 1 !5о перехода в He-подобных ионах. - Оптика и спектроскопия, 46, 214, (1979).

22. Запрягаев С.А. Эффект Зеемана уровней тонкой структуры водоро-доподобного атома. - Оптика и спектроскопия, 47, 18, (1979).

23. Запрягаев С.А., Пальчиков В.Г., Сафронова У.И. Вероятности радиационных переходов ls2p^Pi —> Is2 '5о, ls2s 35i —> Is2 lSo для ионов с Z = 2 -г 137 - Оптика и спектроскопия, 45, 422, (1978).

24. Запрягаев С.А. Эффект Штарка уровней тонкой структуры водоро-доподобного атома - Оптика и спектроскопия, 44, 892, (1978).

25. Запрягаев С.А., Манаков Н.Л. Кулоновская функция Грина уравнения Дирака и расчеты по стационарной теории возмущений -Ядерная Физика, 23, 917, (1976).

26. Manakov N.L.. Zapriagaev S.A. A reduced Green's function of the Dirac equation with Coulomb potential. Sccond order Zeeman effect. - Phys. Lett.. A58, 23 , (1976).

Литература

[1] Браун U.A., Гурчумелия А.Д., Сафронова У.И. Релятивистская теория атома. М., Наука, 1984

[2] Дмитриев Ю.Ю, Климчицкая Г.Л, Лабзовский Л.Н. Релятивистские эффекты в спектрах атомных систем. М. Энергоатомиздат, 1984.

[3] Бойко В.А., Пальчиков В.Г., Скобелев И.Ю., Фаенов А.Я. Рентгеновская спектроскопия многозарядных ионов. М., Энергоатомиздат, 1988

[4] Боровский A.B., Запрягаев С.А, Зацаринный О.И., Манаков Н.Л. Плазма многозарядных ионов. С-т Петербург, Химия, 1995.

[5] Shabaev V.M., Fokeeva I.G. -Phys.Rcv., А49, 4489, (1994).

[6] Schweppe J. et.al. Phys.Rev.Lett,, 66, 1434, (1991).

[7] Blundell S.A., et. al. -Phys.Rev., A48, 2615, (1993).

[8] Lindgren I, et. al. -Phys.Rev A51, 1167, (1995).

[9] Mohr P. - Ann.Phys., 88, 26, (1974).

[10] Soff G., Mohr P.J. - Phys.Rev. A38, 5066, (1988).

[11] Манаков Н.Л., Некипелов A.A., Файнштейн А.Г. ЖЭТФ,95, 1167, (1989).

[12] А.И.Ахиезер, В.Б.Берестецкий Квантовая электродинамика, М., Наука, 1969,

[13] Pyykkö P. Relativistic Theory of Atoms and Molecules. A Bibliography 1916-1985. Springer-Verlag 1986.

[14] Pyykkö P. Relativistic Theory of Atoms and Molecules. A Bibliography 1986-1992. Springer-Verlag 1993.

[15] Швебер С.С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля. М.,Изд-во Ин.лит., 1963.

[16] Grant LP. - Computer Phys. Comm., 17, 149, (1979).

[17] Васильев А.И., Китанин А.Я - Теор. и мат. физ. 24, 219, (1975).

[18] Ерохин В.А., Шабаев В.М. ЖЭТФ, 110, 74, (1996).

[19] Зилитис В.А. - Опт. и спектр. 43, 1017, (1977). 50, 419, (1981).

[20] Johnson W.R., Cheng К.Т. - J.Phys. В12, 863, (1979).

[21] Лундквист С, Марч.Н. Теория неоднородного электронного газа. М., Мир, 1987

[22] Artemyev A.N., Shabaev V.M., Erokhin V.A. - Phys.Rev., 52A, 1884, (1995).

[23] Ralchenko Y.V., Vamshtem L.A. - Phys. Rev., A52, 2449, (1995).

[24] Fritshe P, Grant I.P. -Comput. Phys. Commun, 63, 369, (1991).

Заказ 174- от 1997 г. Тир. Ю0 экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ.

-H H 9 t

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 539.182

ЗАПРЯГАЕВ СЕРГЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГОЗАРЯДНЫХ ИОНОВ 01.04.02 - теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико - математических наук

Воронеж 1997

Оглавление

1. Введение 4

2. Фундаментальная система решений уравнений Дирака в кулоновском поле 16

2.1. Введение ............................................................16

2.2. Уравнение Дирака второго порядка...... ..................19

2.3. Функция Грина уравнения Дирака второго порядка..........24

2.4. Уравнение Дирака первого порядка...... ..................27

2.4.1. Связь решений уравнений Дирака первого и второго порядков....................................................28

2.4.2. Система уравнений Дирака ..............................30

2.5. Функция Грина уравнения Дирака ..............................38

2.5.1. Решение линейного уравнения Дирака..................38

2.5.2. Связь функций Грина линейного и квадрированного уравнений....................................................43

2.6. Редуцированная функция Грина..................................49

2.7. Нерелятивистские кулоновские функции Грина................53

2.8. - разложения функции Грина................................56

3. Методы расчета многозарядных ионов 60

3.1. Введение ............................................................60

3.2. Метод оператора эволюции........................................62

3.3. Одноэлектронные ионы............................................66

3.4. Двухэлектронные ионы............................................73

3.5. Многоэлектронные ионы..........................................80

3.6. Уравнение Бете Солпитера........................................83

3.7. Релятивистский метод квантового дефекта......... . . 89

3.7.1. Общие определения........................................89

3.7.2. Связь квантовых дефектов с фазами рассеяния .... 92

3.7.3. Функция Грина в методе квантового дефекта..........94

3.7.4. Функции дискретного и непрерывного спектра .... 95

3.8. Метод функционала плотности..................................97

3.9. Полуэмпирические методы....................101

4. Энергии многозарядных ионов 105

4.1. Поправки к дираковским энергиям...... .........105

4.2. Матричный элемент оператора взаимодействия........107

4.3. Двухэлектронные ионы......... .............113

4.3.1. Первый порядок теории возмущений..........114

4.3.2. Второй порядок теории возмущений..........115

4.3.3. Радиационные поправки.................118

4.3.4. Метод самосогласованного поля.............118

4.4. Li-подобные ионы.........................122

4.5. Be -подобные ионы........................130

4.6. В -подобные ионы.........................132

4.7. С -подобные ионы.........................136

4.8. N -подобные ионы.........................140

4.9. Ne -подобные ионы........................143

4.10. Сверхтонкая структура уровней ионов.............143

5. Вероятности переходов в ионах 150

5.1. Радиационные переходы в Н-ионах...............150

5.2. Радиационные переходы в He-подобных ионах ........157

5.2.1. Приближение невзаимодействующих частиц......157

5.2.2. Корреляционные поправки................158

5.2.3. Силы осцилляторов....................162

5.3. Радиационные переходы в Li-подобных ионах.........163

5.4. Радиационные переходы в Ne-подобных ионах ........170

5.5. Однофотонные двуэлектронные переходы...........176

6. Ионы во внешних полях 180 6.1. Постоянное электрическое поле.................180

6.1.1. Эффект Штарка в слабом поле .............181

6.1.2. Эффект Штарка в переходной области.........183

6.1.3. Квадратичный эффект Штарка уровней тонкой структуры .............................186

6.1.4. Моменты распределения сил осцилляторов в Н-ионах 187

6.1.5. Эффект Штарка уровней сверхтонкой структуры . . 189

6.1.6. Ионы в неоднородном поле...... ..........190

6.2. Поляризуемости 1л- и Ыа- подобных ионов...........193

6.3. Постоянное магнитное поле....... ............194

6.3.1. Аномальный эффект Зеемана..............195

6.3.2. Эффект Пашена-Бака...................197

6.3.3. Эффект Зеемана уровней сверхтонкой структуры . . 200

6.3.4. Эффект Зеемана второго порядка по полю ......201

6.4. Фотоионизация многозарядных ионов.............202

6.4.1. Общие выражения для сечения фотоионизации .... 203

6.4.2. Частные случаи для сечения фотоионизации......206

6.4.3. Результаты вычислений сечений фотоинизации .... 208

6.5. Ионы в переменном поле.....................210

6.5.1. Двухквантовые переходы между уровнями тонкой структуры .............................210

6.5.2. Ионы в тепловом поле...................212

6.5.3. Рождение пары фотоном с энергией меньше 2тс2 ... 218

7. Заключение 224

8. Приложения 227 Литература 245

Глава 1

Введение

В настоящее время в атомной физике сформировалось новая область исследований - физика многозарядных ионов, изучающая процессы с участием ионизованных атомов [1], [2], [3], [5], [6], [7]. Заряды таких ионов 2 могут достигать нескольких десятков. Не касаясь методов экспериментального исследования многозарядных ионов и способов их экспериментального наблюдения и удержания в изолированных состояниях в магнитных ловушках, отметим для примера, что стали доступными исследования ионов даже самых тяжелых атомов с малым числом связанных электронов. Например, исследования ионов урана [/89+, у которого удалены 89 электронов [8]. Эти ионы имеют электронную структуру, подобную атому Ы, однако в отличие от атома лития, где энергия связи I внешнего электрона составляет ~ 5.4 эВ в ионе

и 89+ 7

~ 49 кэВ. Очевидно, что свойства такого многозарядного иона не имеют ничего общего со свойствами исходного нейтрального атома и "память" о последнем сохраняется лишь в величине заряда иона.

Сильно ионизованные ионы 2—N 1 представляют собой связанные системы, в которых электроны локализованы в областях порядка комптонов-ской длины волны электрона, что приводит к возможности осуществления экспериментальных проверок первых принципов квантовой электродинамики на таких системах (лэмбовское расщепление, поляризация вакуума и т.п.). В свою очередь это ведет к необходимости формулировки квантово-электродинамической теории описания ионов для теоретического обоснования прецизионных экспериментальных результатов измерения. Развитие теоретических методов расчета многозарядных ионов заложено в работах [1], [2], [3], и в настоящее время строгая формулировка описания многозарядных ионов, по-видимому, может считаться сформулированной (см. [9], [10], [11], [13], [14]). В низшем порядке теории возмущений по взаимодействию с вакуумом выполнены точные численные расчеты лэмбовского расщепления состояний Н-ионов, представляющих интерес в прецизионных экспериментах [15] [17] [18]. В настоящее время имеется значительное число работ, направленных на преодоление проблем, связанных с прецизионными

А

расчетами отдельных состояний как с учетом квантовоэлектродинамичес-ких эффектов, так и с учетом структуры и свойств ядра [181], [182].

Помимо фундаментальной проблемы изучения многозарядных ионов как объектов, тестирующих квантовую электродинамику, многозарядные ионы нашли свое применение и в ряде областей, в которых на первом этапе не требуется прецизионная точность вычислений спектроскопических свойств ионов, а необходима обширная информация по структуре спектра ионов и характеристикам переходов. К таким областям относятся: физика плазмы, проблема создания квантовых генераторов в области вакуумного ультрафиолетового излучения и мягкого рентгеновского излучения, отчасти астрофизические исследования. При этом, хотя основная информация о совокупности свойств индивидуального иона получается спектроскопическими методами, в отличие от оптических спектров атомов, спектры ионов лежат в рентгеновской области. Это привело к развитию методов рентгеновской спектроскопии многозарядных ионов [5] и к развитию теоретических методов расчета таких систем с включением релятивистских эффектов без использования их малости. Настоящая диссертация посвящена решению именно этой задачи - развитию релятивистских методов описания многозарядных ионов с целью получения спектроскопической информации, необходимой для интерпретации экспериментальных результатов рентгеновских спектров ионов и ее использования при решении уравнений кинетики многозарядных ионов в проблеме создания рентгеновских лазеров.

Начало изучения спектров многозарядных ионов в области вакуумного ультрафиолетового излучения, связанных с переходами внешних, "оптических" электронов, относится к началу 40-ых годов, когда были зарегистрированы ряд переходов в Не- подобных магнии и алюминии в плазме высоковольтной вакуумной искры. Однако только в 60-ые годы, в связи с проведением широкомасштабных работ по управляемому термоядерному синтезу, к данной проблеме вновь проявился определенный интерес, так как коротковолновое излучение плазмы явилось носителем достаточно обширной информации, позволившей осуществлять диагностику высокотемпературной плазмы и характеризовать ее свойства. Кроме того, развитие спутниковых (внеатмосферных) астрофизических исследований также стимулировали последовательное изучение многозарядных ионов. Систе-

матическое же исследование спектров ионов началось с середины 70-х годов в основном на основе плазменных источников двух типов: низко индуктивной вакуумной искры и нагрева мощным лазерным излучением, а также в экспериментах с применением метода "пучок-фольга" ("beem-foil" спектроскопия) на мощных ионных ускорителях. В результате была получена обширная информация по спектрам, обусловленным переходами оптического электрона на уровни со значением главного квантового числа п = 1 (К-спектры многозарядных ионов), что дало возможность начать работы по исследованию возможности применения ионов для получения генерации когерентного излучения в коротковолновой области спектра. Дальнейшие экспериментальные исследования позволили получить данные и по переходам в состояния ионов, у которых основной оболочкой является оболочки с п — 2 и выше L и М- спектры (см в [5]). Наконец, появление "electron beam ion trap" технологии сделало доступным изучение спектра ионов любой кратности ионизации при полном отсутствии доплеровских сдвигов.

Теоретическое описание многозарядных ионов как объектов, в которых проявляются релятивистские эффекты, отличается от традиционного описания нейтральных атомов. Релятивистские эффекты в таких системах проявляются в отклонении их спектров от спектров атомов, построенных в стандартной LS схеме связи и усилении интенсивностей запрещенных линий, росте потенциалов ионизации до величин в несколько сотен и тысяч электрон вольт, в проявлении влияния вакуума полей, а также размеров и структуры ядра. Стандартной задачей теоретического описания многозарядных ионов является задача расчета частот переходов и интенсивностей спектральных линий. Хотя эти вопросы традиционны для атомной спектроскопии, однако детально развитые приближенные методы расчета нейтральных атомов не могут быть применены в рассматриваемом случае (или требуют специального их расширения и модификации) в виду существенно релятивистского характера состояния локализованных в ионе электронов. Поэтому теория таких систем должна исходно строиться на релятивистской основе с учетом того, что релятивистские эффекты составляют уже не малые поправки, а чаще всего определяют порядки величин спектральных характеристик. В нейтральных атомах подобная ситуация возникает лишь при рассмотрении процессов с участием электронов внутренних оболочек тяжелых атомов.

При теоретическом описании спектральных характеристик многозарядных ионов естественным базисом, позволяющим включить в рассмотрение одночастичные релятивистские эффекты, является базис решений уравнения Дирака в центрально-симметричном поле и в первую очередь в куло-новском поле точечного ядра с зарядом Z. Решение уравнения Дирака в кулоновском поле ядра было найдено практически сразу после написания релятивистского уравнения для электрона [19] , [20]. Метод решения уравнения Дирака в центральном поле, способ представления решения с тех пор попал во все учебные пособия, монографии и научные работы, связанные с использованием решений уравнения Дирака [21], [22]. Однако данное стандартное решение имеет две, на первый взгляд, малосущественные, но взаимосвязанные особенности. Во-первых, нерелятивистские выражения из стандартных решений релятивистского уравнения достигаются только после выполнения линейных преобразований с гипергеометрическими функциями, которые входят в стандартное решение; и во-вторых, переход к решению соответствующему случаю свободного релятивистского электрона = 0), также достигается только после выполнения линейного преобразования с функциями Бесселя (для решений с определенным полным моментом электрона). Принципиально это связано с тем, что радиальные части большой и малой компонент (для решений с определенным полным электронным моментом), входящие в стандартное решение, выражаются через суперпозицию двух вырожденных гипергеометрических функций, для которых известны пятнадцать соотношений Куммера между смежными функциями. Поэтому решения кулоновского уравнения Дирака могут быть представлены различными комбинациями пар вырожденных гипергеометрических функций, каждая из которых не имеет явно выраженных преимуществ по отношению к другим парам. Одновременно это не обеспечивает никаких преимуществ форме стандартного решения, тем более, что оно содержит не вполне "естественные" предельные переходы. И если первая "особенность" может проявиться, например, в том, что при выполнении (обычно громоздких ) аналитических релятивистских вычислений вместо простого аналитического ответа будет найден эквивалентный, но неканонический вид, то вторая "особенность" может привести к неожиданной потере точности при численных расчетах. Например, выполнение процедуры перенормировок сопряжено с вычитанием свободной функции

Грина из функции Грина в кулоновском поле. В результате мультипольные разложения этих функций Грина приведут (при использовании стандартного решения) к разности различных быстро осциллирующих функций, не совпадающих в мультипольных разложениях и, как следствие, потерю точности вычислений.

В связи с этим в главе 2 диссертации выполнен полный анализ фундаментальной системы решений уравнения Дирака в кулоновском поле, который позволил установить внутреннюю симметрию решений кулоновских уравнений и представить решения, по форме отличающиеся от стандартных, но имеющие "естественный" предельный переход как к решению нерелятивистского уравнения Шредингера, так и к случаю свободного движения.

Исходной предпосылкой для построения фундаментальной системы решений для электрона в кулоновском поле, использующейся в диссертации, является уравнение Дирака второго порядка [25], которое следует из линейного уравнения Дирака путем введения оператора квадрирования. Принципиальной особенностью данного уравнения является его формальное сходство с нерелелятивистским уравнением Шредингера, что позволяет, во-первых, установить непосредственную связь решений данного уравнения с нерелятивистскими решениями и, во-вторых, использовать известные в нерелятивистской теории результаты для их обобщения на релятивистский случай. В разделе 2.2 главы 2 построена фундаментальная система решений уравнения Дирака второго порядка, которая играет основную роль при построении решений линейного уравнения Дирака и определении внутренних свойств симметрии решений линейного уравнения. В этом же разделе вводится полная система функций [29], получившая наименование функции Штурма уравнения Дирака второго порядка. В разделе 2.3 проведен полный анализ функции Грина уравнения Дирака второго порядка, ранее исследованной в работах [25], [26], [28]. Как показано в последующих разделах диссертации, функция Грина линейного уравнения Дирака целиком определяется функцией Грина уравнения Дирака второго порядка на основе простых линейных алгебраических соотношений.

В разделе 2.4 выполнен анализ решения системы уравнений Дирака в кулоновском поле и исследованы различные виды преобразований, приводящие релятивистское уравнение к уравнению нерелятивистского типа. Построены различные формы представления фундаментальной системы ре-

шений уравнения Дирака в кулоновском поле. Данная задача решена двумя методами как на основе решения системы уравнения Дирака первого порядка [30], [34], так и на основе построения решений уравнения Дирака первого порядка из функций, являющихся решением уравнения Дирака второго порядка [31],[32], [33]. Найдены фундаментальные соотношения для решений уравнения Дирака второго порядка, сводящие отыскание системы решений уравнения Дирака первого порядка к простым алгебраическим преобразованиям с решениями уравнения Дирака второго порядка . Установлен вид неунитарного оператора, упрощающий запись решения уравнения Дирака, и представлены решения в форме имеющей "естественные" нерелятивистский предел и переход к описанию состояний свободного электрона. Классический смысл используемого неунитарного преобразования связан с преобразованием Лоренца, осуществляющим переход в систему координат, движущуюся со скоростью V ~ aZ/l (где 1-момент импульса электрона) по направлению касательной к кла�