Поправки на экранированную поляризацию вакуума к сверхтонкой структуре многозарядных ионов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

САНКТ - ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

АНДРЕЕВ Олег Владимирович

ПОПРАВКИ НА ЭКРАНИРОВАННУЮ ПОЛЯРИЗАЦИЮ ВАКУУМА К СВЕРХТОНКОЙ СТРУКТУРЕ МНОГОЗАРЯДНЫХ ИОНОВ

специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

12 ДЕК 2013

Санкт-Петербург 2013

005543710

005543710

Работа выполнена на кафедре квантовой' механики Санкт-Петербургского государственного университета

доктор физико-математических наук, профессор Шабаев Владимир Моисеевич

Ерохин Владимир Анатольевич, доктор физико-математических наук, СПбГПУ, начальник научно-исследовательского отдела

Шелгото Валерий Александрович, доктор физико-математических наук, ВНИИМ им. Д.И.Менделеева, главный научный сотрудник

Воронежский государственный университет

Защита состоится 26 декабря 2013 г. в 13 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.232.24, созданного на базе Санкт-Петербургского государственного университета, по адресу: Санкт-Петербург, Средний пр. В. О., д. 41/43, ауд. 304.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан " 21 " 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Аксенова Елена Валентиновна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования

Исследования многозарядных ионов дают уникальную возможность для проверки квантовой электродинамики (КЭД) в сильном поле атомного ядра. Многозарядные ионы представляют удобную систему для изучения, так как в таких системах есть дополнительный параметр малости \/Z (Z - заряд ядра), что позволяет проводить высокоточные расчеты по теории возмущений. В то же время, в отличие от легких атомов, параметр aZ, где а ~ 1/137.036 - постоянная тонкой структуры, уже не является малым.

Сверхтонкая структура тяжелых многозарядных ионов является хорошим, инструментом для тестирования квантовой электродинамики в присутствии сильных электрического и магнитного полей. Однако, как было показано в [1], требуется одновременное изучение водородо- и ли-тиеподобных ионов, так как эффект Бора-Вайскопфа, дающий главный вклад в теоретическую погрешность, сильно сокращается в специальной разности соответствующих значений сверхтонкого расщепления в этих ионах. В настоящее время проводятся высокоточные измерения сверхтонкой структуры водородо- и литиеподобного ионов висмута с помощью лазерной спектроскопии релятивистских ионов на установке Experimental storage ring (ESR) в институте физики тяжелых ионов GSI Helmholtz Centre в Дармштадте, Германия. Недавно были впервые проведены прямые наблюдения сверхтонкого расщепления основного состояния литиеподобного висмута в GSI [2]. Эти измерения вместе с точными теоретическими расчетами позволят проводить строгое тестирование квантовой электродинамики в'наиболее сильных электромагнитных полях на уровне нескольких процентов.

Последние улучшения теоретической точности специальной разности значений сверхтонкого расщепления связаны с расчетами экранированных КЭД поправок [3,4] и поправок на двухфотонный обмен [5] к сверхтонкой структуре литиеподобных ионов. В результате до настоящего мо-

мента теоретическая погрешность специальной разности в основном была связана с вкладом Вичманна-Кролла от экранированных КЭД поправок, учитывавшегося приближенно по аппроксимационным формулам, предложенным в работе [6].

Настоящая диссертация посвящена систематическому КЭД расчету двухэлектронных вакуумно-поляризационных поправок к сверхтонкой структуре литиеподобных ионов, считавшихся до этого только приближенно в работах [3, 4]. В частности, диаграммы, содержащие вклады электрической, магнитной, внутренней и внутренней магнитной вакуумно-поляризационных петель, вычисляются в данной работе во всех порядках по aZ, включая вклады Вичманна-Кролла. В диссертации впервые выведены формальные выражения для некоторых вкладов и представлен наиболее полный численный расчет вкладов Вичманна-Кролла в поправки на экранированную вакуумную поляризацию к сверхтонкой структуре литиеподобного висмута 209В180+. Также впервые учитывается диаграмма, содержащая оператор межэлектронного взаимодействия, модифицированный магнитной петлей поляризации вакуума.

Цель работы

Основными целями диссертации являются:

1. Проведение прецизионных расчетов двухэлектронных поправок на поляризацию вакуума к сверхтонкой структуре литиеподобного висмута.

2. Повышение точности теоретического значения специальной разности сверхтонких расщеплений водородо- и литиеподобных ионов висмута.

Научная новизна работы

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Впервые произведен последовательный КЭД расчет поправок на экранированную поляризацию вакуума к сверхтонкой структуре во всех порядках по

2. Впервые выведены формулы для вклада внутренней магнитной вакуумно-поляризационной петли в сверхтонкую структуру многозарядных ионов.

Научная и практическая значимость работы

1. Расчет, выполненный в данной диссертации, значительно расширяет возможности для тестирования КЭД в сильных электромагнитных

полях.

2. Прецизионные вычисления двухэлектронных вакуумно-поляризационных поправок завершают расчет экранированных КЭД поправок к сверхтонкой структуре литиеподобных ионов, что позволяет значительно увеличить точность теоретического значения специальной разности сверхтонких расщеплений водородо- и литиеподобных ионов висмута.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Выведены формулы для двухэлектронных поправок на поляризацию вакуума к сверхтонкой структуре многозарядных ионов.

2. Произведены прецизионные численные расчеты экранированных вакуумно-поляризационных поправок к сверхтонкой структуре литиепо-добного висмута.

3. Значительно увеличена точность теоретического значения специальной разности сверхтонких расщеплений водородо- и литиеподобных ионов висмута.

Апробация работы и публикации

Результаты работы докладывались на семинарах кафедры квантовой механики физического факультета СПбГУ, на международных конференциях в Германии (16th International conference Physics of Highly Charged Ions «HCl 2012», Хайдельберг, Германия, Сентябрь 2012), в Дании (11th European conference on Atoms, Molecules and Photons «ЕСАМР 2013», Орхус, Дания, Июнь 2013) и в России (8th International Topical SPARC Workshop, Москва, Россия, Сентябрь 2011, XX Конференция по Фундаментальной Атомной Спектроскопии «ФАС-ХХ», Воронеж, Россия, Сентябрь 2013). Основные результаты работы опубликованы в соавторстве в четырех статьях, приведенных в конце автореферата. Статьи опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования основных научных результатов диссертаций. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, 2 глав, заключения, двух приложений

и содержит 90 страниц, 11 рисунков и 3 таблицы. Список литературы включает 80 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Глава 1.

Первая глава посвящена применению метода двухвременных функций Грина для вывода формул для поправок на экранированную поляризацию вакуума к сверхтонкой структуре. В §1.1 приводятся основные формулы релятивистского одноэлектронного приближения. В §1.2 представлены выражения для сверхтонкого расщепления в литиеподобных ионах. Взаимодействие электрона с ядром в приближении магнитного диполя описывается оператором Ферми-Брейта

_ |е| /х • [г х а]

_ 4п-^-' (1)

где ¡л - оператор ядерного магнитного момента, а а - матрицы Дирака. Сверхтонкое расщепление основного состояния (а) иона с одним электроном поверх заполненных оболочек может быть записано в виде

(а)= а(а£)3 91 21 + 1__1

№ V? тр С? + 1)(21 + 1) (1 + т/М)3

А(аЯ)( 1 - ¿)(1 -е) + ^В(аЯ)

1 1

+ -^{г, аг) + агдво + хздво

(2)

Здесь 5/ = - д фактор ядра с магнитным моментом ц и спи-

ном I, цн - ядерный магнетон, тр обозначает массу протона, М - массу ядра. А(а2) - одноэлектронный релятивистский множитель, 5 и е -поправки на конечное распределение заряда и магнитного момента по ядру, соответственно, которые могут быть найдены как аналитически, так и численно. Поправка первого порядка по 1/^ представлена функцией B(aZ). Функция C{aZ) обозначает межэлектронное взаимодействие второго порядка по си2) отвечает третьему и более высоким

>-

>-

-о

magnetic loop

> —

electric loop

P— ■€h

internal loop

>-

О

internal magnetic loop

Рис. 1: Диаграммы Фейнмана, представляющие вклад в поправку на экранированную вакуумную поляризацию к сверхтонкой структуре. Двойная линия обозначает электронный пропагатор в кулоновском поле ядра, волнистая линия соответствует фотонному пропагатору, прерывистая линия, заканчивающаяся треугольником -сверхтонкому взаимодействию.

порядкам по 1/Z. £qed и zsqed - одноэлектронные и многоэлектронные (экранированные) КЭД поправки, соответственно. В первом порядке по а и 1 ¡Z, экранированная КЭД поправка .t.sqed к сверхтонкому расщеплению является суммой экранированных собственно-энергетической (SSE) и вакуумно-поляризационной (SVP) частей

zsqed = zsse + zsvp- (3)

В данной работе рассматривается вакуумно-поляризационная часть rr.svp. Соответствующие диаграммы изображены на Рис. 1. Полный вклад этих диаграмм разделяется на приводимую и неприводимую части, а они, в свою очередь, разделяются по типу вакуумно-поляризационной петли на следующие части: электрическая петля (EL), магнитная петля (ML), внутренняя петля (IL) и внутренняя магнитная петля (IML). Полная поправка на двухэлектронную поляризацию вакуума дается суммой таких

вкладов и их приводимых частей, в которые входят также внедиаграмм-ные слагаемые.

Также в §1.2 формулируется схема сокращения эффекта Бора-Вайскопфа в специальной разности значений сверхтоного расщепления водородо- и литиеподобных ионов. Эффект Бора-Вайскопфа определяется распределением магнитного момента по ядру. Оказывается, возможные вариации модели этого распределения вносят очень большую погрешность в значение сверхтонкого расщепления, Это делает практически невозможным тестирование КЭД поправок к сверхтонкой структуре при прямом сравнении теории и эксперимента, так как КЭД поправки имеют один порядок с неопределенностью эффекта Бора-Вайскопфа. Однако, как было показано в работе [1], можно составить специальную разность значений сверхтонкого расщепления в литиеподобном (АЕ и водородоподобном (АЕ^1^) ионах

А'Е = АЕ{'28) - £ДЕ{и}, (4)

в которой эффект Бора-Вайскопфа будет практически полностью сокращен. При этом сама специальная разность А'Е и параметр £ практически не будут зависеть от выбранной модели распределения ядерного магнетизма. Параметр £ как раз выбирается таким образом, чтобы сокращался эффект Бора-Вайскопфа. Для Z = 83 было найдено, что £ = 0.16886 [3].

В §1.3 приводятся основные формулы метода двухвременных функций Грина и делается переход от одноэлектронного атома к атому с одним электроном поверх замкнутых оболочек. В завершении параграфа рассмотрен вывод выражений для вкладов экранированной поляризации вакуума в сверхтонкую структуру.

§1.4 - §1.7 содержат формальные выражения для вкладов, содержащих электрическую, магнитную, внутренюю и внутреннюю магнитную петли поляризации вакуума, соответственно.

В §1.4 представлены формальные выражения для вкладов электрической петли поляризации вакуума. Эти диаграммы содержат матричные элементы стандартного индуцированного электрическим полем потенци-

ала поляризации вакуума £/ур, неперенормированное выражение для которого дается формулой

где G(w, г, г') - функция Грина для уравнения Дирака в кулонов-ском поле ядра. Первое ненулевое слагаемое в разложении вакуумно-поляризационной петли по степеням взаимодействия с кулоновским полем ядра дает вклад Юлинга (Ue), вся оставшая сумма вкладов в разложении - вклад Вичманна-Кролла (WK). В этом разложении только первый член, вклад Юлинга, является расходящимся. Перенормировка заряда делает этот вклад конечным и приводит к хорошо известному перенормированному выражению. Вклад Вичманна-Кролла вычисляется во всех порядках по a.Z как разность между неперенормированными полным выражением и вкладом Юлинга в виде

Tr[ F{u), г', r")V(r")G(w, г", г')

—F(uj, г', r")V(r")F(u>, г", г') ], (6)

где F и G являются свободной и кулоновской функциями Грина, соответственно, а У(г) = V(r) - потенциал взаимодействия с кулоновским полем ядра.

В §1.5 обсуждаются выражения для вкладов магнитной петли и необходимость перенормировки ядерного магнитного момента. Вклады от этих диаграмм содержат матричные элементы индуцированного магнитным полем оператора поляризации вакуума Uyp, неперенормированное выражение для которого дается формулой

xTV [а G(cj, гь г2) Т0(г2) G(lo, г2) п)] , (7)

где То - электронная часть оператора сверхтонкого взаимодействия (1). Аналогично потенциалу электрической петли, разложение потенциала

магнитной петли по степеням взаимодействия приводит к изоляции рас-ходимостей во вкладе Юлинга, задающегося выражением (7) со свободными функциями Грина вместо кулоновских , а вклад Вичманна-Кролла магнитной петли 11ур вычисляется в виде парциального разложения разности неперенормированных полного вклада и вклада Юлинга. В расчетах диаграмм магнитной вакуумно-поляризационной петли необходимо учитывать соответствующую поправку к ядерному магнитному моменту в значении сверхтонкого расщепления в нулевом порядке. Можно показать, что этот эффект не присутствует во вкладе Юлинга, однако вклад Вичманна-Кролла его содержит. Поправленный потенциал Вичманна-Кролла для магнитнопетлевых диаграмм дается формулой

ттмь wk Cl

vp ren

¿л i J —

Oí

X I :-я [Ъ {aG(w, г', г")Т0(г"№, г", г')}

г — г i

—Тг г', г")Г0(г"№, г", г')}]

^Г^ ¡Tr iW * r")Tu(r")G(W, г", г')}

-IV {[г' х a]oF(w, г', r")T0(r")F(u, г", г')}]) . (8)

Представленные в §1.6 вклады с внутренней петлей содержат матричные элементы оператора межэлектронного взаимодействия, модифицированного вакуумно-поляризационной петлей,

v2 roo г г

I J, . I -j3 „' /

IVP(e,rur2) = ^¡J dw J d3r[ J d3r'2

ехр(г e rx -r^l) ехр(г|е||г2 - r2|) xai;í-¡-л-a2v-i-Ti-

iri-r'il |г2-г^|

xTr

a>'G(u, - £-, r'1; r'3)a?G(u> + r^)] , (9)

где е - энергия передаваемого фотона, о7' = (1,ск) - четырехвектор из матриц Дирака, и подразумевается суммирование по ц и и. Матрицы ах,, и а2и действуют на спиновые переменные, отвечающие Г1 и г2, соответственно. Этот оператор также делится на ведущую расходящуюся часть Юлинга и остальную конечную часть Вичманна-Кролла. Перенормиро-

ванное выражения для вклада Юлинга известно (см, напр., [7]). Вклад Вичманна-Кролла вычисляется с помощью разности

дае,гьг2) = |1 ¡у I сIУ2

ехр(г1£Цг1 ~ г^) а2|/ехр(г|£||г2 - г2|) 1Г1-Г11 |г2 — Га!

хТг

- г'г, г>2)аТ(и + 4 г'0] . (10)

Диаграммы с внутренней магнитной петлей поляризации вакуума не содержат расходимостей. Поэтому при расчете не выделяется член Юлинга, и этот вклад полностью считается вкладом Вичманна-Кролла. Оператор межэлектронного взаимодействия, модифицированный магнитной вакуумно-поляризационной петлей, /ур(е,х,у), полученный в рамках метода двухвременных функций Грина (вывод кратко приведен в §1.3)

.,2

0£,х,у) = сЬ У I сРг21 ¿Зг3

ехр(г г |х — 211) ехр(г|е |у-г2|)

х<*1/1-1-;-с*21/-;-;-

хТг[а"С(ш - |,2ь22)аЧ?(о; + |,г2,2з) хГо^з)^ + гз,

+ а"С7(<«/ - ги г3)Т0(г3)С(и; - г3, ъ2) ха^(ш + |,22,21)] . (И)

Глава 2.

Вторая глава посвящена численным расчетам выведенных в первой главе выражений. В §2.1 - §2.4 приведены расчетные формулы для вкладов разных типов вакуумно-поляризационных петель. В §2.5 представлены детали численных расчетов, используемые методы и параметры, также приведены результаты расчетов и их сравнение с рабо-

Таблица 1: Поправки на экранированную поляризацию вакуума к сверхтонкой структуре в литиеподобном висмуте 209Bi80+ в терминах Zsqed в фейнмановской калибровке сравниваются с соответствующими поправками из работы [4]. Вклады разбиты на части A-I в соответствии с обозначениями из работы [4]. Вклад Вичманна-Кролла от диаграмм магнитной петли поляризации вакуума вынесен отдельно (WK-ML) для удобства сравнения с его оценкой в работе [4].

Наст, диссертация [4]

А -0.000 4897 -0.000 4881

В -0.000 2136 -0.000 2128

С -0.000 1692 -0.000 1691

D 0.000 002(2)

Е -0.000 0031 -0.000 0031

F 0.000 0016(1) 0.000 0015

G 0.000 2773 0.000 2766

Н 0.000 0023 0.000 0023

I 0.000 0000 0.000 0000

WK-ML 0.000 0454 0.000 05(2)

Сумма -0.000 547(2) -0.000 54(2)

тами других авторов. Все диаграммы вычисляются в рамках точного квантовоэлектродинамического подхода, включая вклады Юлинга и Вичманна-Кролла. Численный расчет одноэлектронных волновых функций для начальных и промежуточных состояний производится методом дуально-кинетического баланса [8] с базисным набором, построенным из В-сплайнов. Численные расчеты вкладов с электрическими и магнитными петлями проводились в разных калибровках, и калибровочная инвариантность была проверена для полного набора соответствующих двух-электронных вакуумно-поляризационных диаграмм.

В таблице 1 индивидуальные вклады сравниваются с результатами из работы [4]. Вклады разбиты на части А-1 в соответствии с обозначениями из работы [4], в которой использовались приближенные формулы для потенциала Вичманна-Кролла из [6]: А, В, Е и С - различные типы ЕЬ-диаграмм; С и Н соответствуют МЬ-диаграммам; К и I являются 1Ь-вкладами; Б - диаграммы 1МЬ. Вклад Вичманна-Кролла от диаграмм

Таблица 2: Индивидуальные вклады в специальную разность А'Е значений сверхтонкого расщепления литие- и водородоподобного висмута 209ЕИ. Значения указаны в шеУ.

Д£(2.) А'Е

Дираковское значение 844.829 876.638 -31.809

Межэлектронное взаимодействие, " - 1/2 - 29.995 -29.995

Межэлектронное взаимодействие, - - 1/г2 0.258 0.258

Межэлектронное взаимодействие, - - 1/г3 и ь.о. - 0.003(3) -0.003(3)

КЭД - 5.052 -5.088 0.036

Экранированная СЕ 0.381 0.381

Экранированная ПВ, настоящая работа - 0.188(1) - 0.188(1)

Экранированная ПВ, работы [3,4] - 0.187(6) - 0.187(6)

Сумма —61.320(3)(5)

МЬ-типа вынесен отдельно (\VK-ML) для удобства сравнения с его оценкой из работы [4].

В таблице 2 представлена специальная разность значений сверхтонкого расщепления водородоподобного висмута 209В182+ и литиеподобно-го висмута 209В180+, А'Е = АЕ- Самые точные на сего-

дняшний день значения межэлектронного взаимодействия были взяты из работы [5], где поправка от диаграмм двухфотонного обмена была вычислена в рамках КЭД. Вклад экранированной поляризации вакуума, вычисленный в настоящей работе, равняется —0.188(1) теУ, что согласуется с предыдущим значением —0.187(6) теУ из [3,4]. Погрешность настоящего результата для специальной разности в шесть раз меньше, чем соответствующая погрешность в работах [3,4]. Первое число в скобках погрешности полного теоретического значения специальной разности —61.320(3)(5) определяется, в основном, погрешностью вклада межэлектронного взаимодействия порядка 1/7? и выше. Вторая погрешность происходит от неточности определения магнитного момента ядра, неточности сокращения эффекта Бора-Вайскопфа, эффектами поляризации ядра и другими ядерными эффектами, не полностю сокращающимися в

специальной разности. - .

Заключение. ,

В заключении кратко сформулированы-'основные результаты, полученные в диссертации.

Приложения.

Диссертация содержит два приложения. Приложение А содержит проверку отсутствия калибровочно зависимых шпуриозцых вкладов при использовании парциального разложения функций Грина для проведения численных расчетов. Приложение В содержит основные формулы для суммирований и интегрирований, которые использовались в настоящей диссертации.

Основные положения диссертации опубликованы в; следующих статьях в ведущих рецензируемых научных журналах, включенных в перечень ВАК Министерства образования и науки РФ:

1. V. М. Shabaev, О. V. Andreev, A. I. Bondarev, D. A. Glazov, Y. S. Kozhedub, А. V. Maiorova, G. Plunien, I. I. Tupitsyn, and A. V. Volotka, Quantum Electrodynamics Effects in Heavy .Ions and Atoms. // AIP Conference Proceedings, 2011, vol. 1344, p. 60 - 69.

2. О. V. Andreev, D. A. Glazov, A. V. Volotka, V. M. Shabaev, and G. Plunien, Evaluation of the Screened Vacuum-Polarization Corrections to the Hyperfine Splitting of Li-like Bismuth. // Physical Review A, 2012, vol. 85, p. 022510-1 - 022510-8. ; \

3. A. V. Volotka, D. A. Glazov, О. V. Andreev, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, and G. Plunien, Test of Many-Electron QED Effects in the Hyperfine Splitting of Heavy High-Z Ions. // Physical Review Letters, 2012, vol. 108, p. 073001-1 - 073001-5.

4. О. V. Andreev, D. A. Glazov, A. V. Volotka, V. M. Shabaev, and G. Plunien, Calculation of the two-electron vacuum-polarization corrections to the hyperfine splitting in Li-like bismuth. //. Physica Scripta, 2013, vol. T 156, p. 014018-1 - 014018-3 - - • ;

Список литературы

[1] V. M. Shabacv, A. N. Artcmycv, V. A. Ycrokhin, 0. M. Zhcrebtsov, and G. Soff, Phys. Rev. Lctt. 86, 3959 (2001).

[2] W. Nörtershäuser, M. Lochmaiiii, R. Johren, C. Geppert, Z. Andelkovic, D. Anielski, B. Botermann, M. Bussmann, A. Dax, N. Frommgen, M. Hammen, V. Hannen, T. Kühl, Y. A. Litvinov, J. Volbrecht, T. Stohlker, R. C. Thompson, C. Weinheimer, W. Wen, E. Will, D. Winters and R. M. Sanchez, Phys. Scr. T 156, 01401G (2013) .

[3] A. V. Volotka, D. A. Glazov, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, and G. Plunien, Phys. Rev. Lett. 103, 033005 (2009).

[4] D. A. Glazov, A. V. Volotka, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, and G. Plunien, Phys. Rev. A 81, 062112 (2010).

[5] A. V. Volotka, D. A. Glazov, O. V. Andreev, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, and G. Plunien, Phys. Rev. Lett. 108, 073001 (2012).

[6] A. G. Fainshtein, N. L. Manakov, and A. A. Nekipelov, J. Phys. B 23, 559 (1990).

[7] A. N. Artemyev, T. Beier, G. Plunien, V. M. Shabaev, G. Soff, and V. A. Yerokhin, Phys. Rev. A 60, 45 (1999).

[8] V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, V. A. Yerokhin, G. Plunien, and G. Soff, Phys. Rev. Lett. 93, 130405 (2004).

Подписано к печати 19.11.13. Формат 60х84 'Лб . Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ 5924.

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-4043, 428-6919

САНКТ - ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи 04201454978 /У

АНДРЕЕВ Олег Владимирович

ПОПРАВКИ НА ЭКРАНИРОВАННУЮ ПОЛЯРИЗАЦИЮ ВАКУУМА К СВЕРХТОНКОЙ СТРУКТУРЕ МНОГОЗАРЯДНЫХ ИОНОВ

специальность 01.04.02 - теоретическая физика

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор ШАБАЕВ В.М.

Санкт-Петербург 2013

Оглавление

Введение 4

1 Поправки на экранированную поляризацию вакуума к сверхтонкой структуре 11

1.1 Релятивистское одноэлектронное приближение..................11

1.2 Сверхтонкая структура в литиеподобных ионах ................14

1.2.1 Специальная разность значений сверхтонкого расщепления Н- и 1л- подобных ионов............................19

1.3 Метод двухвременных функций Грина............................22

1.3.1 Атом с одним электроном поверх замкнутых оболочек . 27

1.3.2 Вывод формул для вкладов от диаграмм с внутренней магнитной петлей............................................28

1.4 Вклады, содержащие электрическую петлю......................35

1.5 Вклады, содержащие магнитную петлю..........................40

1.5.1 Вклад в ядерный магнитный момент от диаграммы

магнитной вакуумно-поляризационной петли............42

1.6 Вклады, содержащие внутреннюю петлю........................44

1.7 Вклады, содержащие внутреннюю магнитную петлю............46

2 Численные расчеты 48

2.1 Электрическая петля................................................48

2.2 Магнитная петля....................................................52

2.3 Внутренняя петля ..................................................54

2.4 Внутренняя магнитная петля......................................59

2.5 Результаты и обсуждение..........................................63

Заключение 69

Приложения 71

A. Отсутствие нефизических калибровочно зависимых вкладов

в парциальном разложении 71

B. Интегрирование и суммирование при расчетах матричных элементов 80

Литература

Введение

Исследования многозарядных ионов в атомной физике имеют огромное значение в связи с тем, что квантовоэлектродинамические (КЭД) эффекты в сильном поле атомного ядра оказываются очень большими. Многозарядные ионы представляют удобную систему для изучения, так как малое количество электронов допускает высокоточные теоретические расчеты.

Сверхтонкая структура тяжелых многозарядных ионов является хорошим инструментом для тестирования квантовой электродинамики в сильных полях, так как поле атомного ядра является самым сильным электромагнитным полем, доступным сейчас экспериментально. В многозарядных ионах есть дополнительный параметр малости 1/^ ^ - заряд ядра), позволяющий строить теорию возмущений, когда параметр где а « 1/137.036 - постоянная тонкой структуры, уже не является малым.

Высокоточные измерения сверхтонкой структуры были проведены для основного состояния различных водородоподобных ионов, включая 165Но, 185Ие, 187И,е, 207РЬ, 203Т1 и 205Т1 [1-5]. Прогресс в экспериментальных исследованиях мотивировал интенсивные теоретические расчеты сверхтонкой структуры в многозарядных ионах [6-19]. Было обнаружено, что в тяжелых ионах квантовоэлектродинамические эффекты имеют тот же порядок, что и погрешность поправки на распределение ядерного магнетизма (эффект Бора-Вайскопфа [20]). Однако, одновременное изучение водородо-

и литиеподобных ионов помогает избежать этой проблемы, так как эффект Бора-Вайскопфа сильно сокращается в специальной разности соответствующих значений сверхтонкого расщепления в этих ионах [17]. В настоящее время проводятся высокоточные измерения сверхтонкой структуры водородо-и литиеподобного ионов висмута с помощью лазерной спектроскопии релятивистских ионов на установке Experimental storage ring (ESR) в институте физики тяжелых ионов GSI Helmholtz Centre [21,22] в Дармштадте, Германия. Недавно были впервые проведены прямые наблюдения сверхтонкого расщепления основного состояния литиеподобного висмута в GSI [23]. Эти измерения вместе с точными теоретическими расчетами позволят проводить строгое тестирование квантовой электродинамики в сильных полях на уровне нескольких процентов.

Последние улучшения теоретической точности специальной разности значений сверхтонкого расщепления связаны с расчетами экранированных КЭД поправок [24, 25] и поправок на двухфотонный обмен [26] к сверхтонкой структуре литиеподобных ионов. В работах [16, 27-31] двухэлектронные поправки рассчитывались с помощью введения эффективного локального экранировочного потенциала в уравнение Дирака, которым определяется нулевое приближение. Однако, приближение экранировочного потенциала не дает надежной оценки погрешности. Также были выполнены точные КЭД расчеты двухэлектронных поправок на собственную энергию и большая часть поправок на двухэлектронную поляризацию вакуума к сверхтонкой структуре [24,25]. В результате до настоящего момента теоретическая погрешность специальной разности в основном была связана с вкладом Вичманна-Кролла от экранированных КЭД поправок, учитывавшегося лишь приближенно по аппроксимационным формулам, предложенным в ра-

ботах [32,33].

Настоящая диссертация посвящена систематическому КЭД расчету двух-электронных вакуумно-поляризационных диаграмм, считавшихся до этого только приближенно в работах [24,25]. В частности, диаграммы, содержащие вклады электрической, магнитной, внутренней и внутренней магнитной вакуумно-поляризационных петель, вычисляются в данной работе во всех порядках по включая вклады Вичманна-Кролла. В диссертации впервые выведены формальные выражения для некоторых вкладов и представлен первый полный численный расчет вкладов Вичманна-Кролла в поправки на экранированную вакуумную поляризацию к сверхтонкой структуре литиеподобного висмута 209В180+. Также впервые учитывается диаграмма внутренней магнитной вакуумно-поляризационной петли, содержащей оператор межэлектронного взаимодействия, модифицированный магнитной петлей поляризации вакуума.

В работе используются релятивистские единицы (^=1,с=1,т=1)и хевисайдовы единицы заряда (а = е2/(47г), е < 0).

Актуальность работы

Расчет поправок на экранированную поляризацию вакуума к сверхтонкой структуре в многозарядных литиеподобных ионах в рамках строгого кванто-воэлектродинамического подхода позволяет значительно повысить точность теоретического значения специальной разности сверхтонких расщеплений соответствующих водородо- и литиеподобных ионов, что особенно важно в связи с готовящимся высокоточным измерением сверхтонкой структуры основного состояния литиеподобного висмута в институте физики тяжелых ионов 081 в Дармштадте, Германия.

Цель работы

1. Проведение прецизионных расчетов двухэлектронных поправок на поляризацию вакуума к сверхтонкой структуре литиеподобного висмута.

2. Повышение точности теоретического значения специальной разности сверхтонких расщеплений водородо- и литиеподобных ионов висмута.

Научная новизна работы

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Впервые произведен последовательный КЭД расчет поправок на экранированную поляризацию вакуума к сверхтонкой структуре во всех порядках по .

2. Впервые выведены формулы для вклада внутренней магнитной вакуумно-поляризационной петли в сверхтонкую структуру многозарядных ионов.

Научная и практическая ценность работы

1. Расчет, выполненный в данной диссертации, значительно расширяет возможности для проверки КЭД в сильных электромагнитных полях.

2. Прецизионные вычисления двухэлектронных вакуумно-поляризационных поправок завершают расчет экранированных КЭД поправок к сверхтонкой структуре литиеподобных ионов, что позволяет значительно увеличить точность теоретического значения специальной разности сверхтонких расщеплений водородо- и литиеподобных ионов висмута.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на семинарах кафедры квантовой меха-

ники физического факультета СПбГУ, на международных конференциях в Германии (16th International conference Physics of Highly Charged Ions «НС1 2012», Хайдельберг, Германия, Сентябрь 2012), в Дании (11th European conference on Atoms, Molecules and Photons «ЕСАМР 2013», Орхус, Дания, Июнь 2013) и в России (8th International Topical SPARC Workshop, Москва, Россия, Сентябрь 2011, XX Конференция по Фундаментальной Атомной Спектроскопии «ФАС-ХХ», Воронеж, Россия, Сентябрь 2013).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. V. М. Shabaev, О. V. Andreev, A. I. Bondarev, D. A. Glazov, Y. S. Kozhedub, А. V. Maiorova, G. Plunien, I. I. Tupitsyn, and A. V. Volotka, Quantum Electrodynamics Effects in Heavy Ions and Atoms. // AIP Conference Proceedings, 2011, vol. 1344, p. 60 - 69.

2. О. V. Andreev, D. A. Glazov, A. V. Volotka, V. M. Shabaev, and G. Plunien, Evaluation of the Screened Vacuum-Polarization Corrections to the Hyperfine Splitting of Li-like Bismuth. // Physical Review A, 2012, vol. 85, p. 022510-1 -022510-8.

3. A. V. Volotka, D. A. Glazov, О. V. Andreev, V. M. Shabaev, I. I. Tupitsyn, and G. Plunien, Test of Many-Electron QED Effects in the Hyperfine Splitting of Heavy High-Z Ions. // Physical Review Letters, 2012, vol. 108, p. 073001-1 - 073001-5.

4. О. V. Andreev, D. A. Glazov, A. V. Volotka, V. M. Shabaev, and G. Plunien, Calculation of the two-electron vacuum-polarization corrections to the hyperfine splitting in Li-like bismuth. // Physica Scripta, 2013, vol. T 156, p. 014018-1 -014018-3.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, 2 глав, заключения, двух приложений и содержит 90 страниц, 11 рисунков и 3 таблицы. Список литературы включает 80 наименований.

Краткое содержание работы

Первая глава посвящена применению метода двухвременных функций Грина для вывода формул для поправок на экранированную поляризацию вакуума к сверхтонкой структуре. Глава состоит из семи параграфов. В §1.1 приводятся основные формулы релятивистского одноэлектронного приближения. В §1.2 представлены выражения для сверхтонкого расщепления в литиеподобных ионах и формулируется схема сокращения эффекта Бора-Вайскопфа в специальной разности значений сверхтоного расщепления водородо- и литиеподобных ионов. В §1.3 приводятся основные формулы метода двухвременных функций Грина и делается переход от одноэлектронного атома к атому с одним электроном поверх замкнутых оболочек. В завершении параграфа рассмотрен вывод выражений для вкладов экранированной поляризации вакуума в сверхтонкую структуру. §1.4 - §1.7 содержат формальные выражения для вкладов, содержащих электрическую, магнитную, внутренюю и внутреннюю магнитную петли поляризации вакуума, соответственно. В §1.5 обсуждается необходимость перенормировки ядерного магнитного момента.

Вторая глава посвящена применению выведенных выражений для проведения численных расчетов. В §2.1 - §2.4 даны выводы расчетных формул для разных типов вакуумно-поляризационных петель. В §2.5 представлены

детали численных расчетов, используемые методы и параметры, также приведены результаты расчетов и их сравнение с работами других авторов.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации. Приложение А содержит проверку отсутствия калибровочно зависимых шпуриозных вкладов при использовании парциального разложения функций Грина для проведения численных расчетов. Приложение В содержит основные формулы для суммирований и интегрирований, которые использовались в настоящей диссертации.

Глава 1

Поправки на экранированную поляризацию вакуума к сверхтонкой структуре

1.1 Релятивистское одноэлектронное приближение

Как известно, в квантовой электродинамике движение электрона в нулевом приближении описывается уравнением Дирака [34,35]

{-их • V + Р + У(х)№„(х) = £п«х) , (1.1)

где ф(х) является независимой от времени частью полной волновой функции

^п(х,0 = ^п(х)е-^. (1.2)

а и /3 являются матрицами Дирака,

<*<= ( ° * | ( 1 ° ] , (1-3)

V ^ 0 / V0 -1 /

<7г - матрицы Паули. Взаимодействие электронов между собой, взаимодействие с магнитным моментом ядра и взаимодействие с квантованным электромагнитным полем будет учитываться по теории возмущений в картине

Фарри [36]. Вместо сферически симметричного потенциала взаимодействия с кулоновским полем ядра V(x) = V(x) здесь может также стоять некоторый эффективный потенциал Kff(a;), приближенно учитывающий межэлектронное взаимодействие. В таком случае теорию возмущений необходимо строить по взаимодействию с потенциалом 5V = V(x) — Veg(x). Вследствие сферической симметрии, радиальные и угловые переменные разделяются,

ф{г) = ( 9(г)ПкМ(п) G(r№Mn) \

\ if(r)n_KM(n) ) r \ iF(r)tt-KM(n) J '

здесь и далее n = г/г, 0,км(п) - сферический спинор, квантовое число к = (—1 y+l+1/2(j + 1/2) заменяет два других квантовых числа, угловой момент j и четность 1, М - проекция углового момента. Подстановка волновой функции в виде (1.4) в уравнение Дирака (1.1) позволяет записать уравнения на функции G(r) и F(r)

~F{r) + -F(r) + (1 + V{r))G{r) = sG{r), ar r

-y-G(r) + —G(r) + (-1 + V(r))F(r) = sF(r). (1.5)

ar r

Для кулоновского потенциала Vc{r) = —aZ/r эти уравнения решаются явно [35,37,38]. Энергия связанных состояний дается формулой

£пк = —, (1.6)

где

N = у/(пг + 7)2 + (aZy , (1.7)

7 = >Д2 - (aZy , (1.8)

nr = п — |«|, (1.9)

п - главное квантовое число. Радиальные волновые функции имеют следующий вид

1 GnK{r) \ = у/Г(27 + nr + 1) I 1±£пк /2aZ\W _ф

^ FnÁr) J Г(27 + 1)л/£Т V *N(N-k)\ N ) 6

х [nrF(—nr + 1, 27 + 1; t)T(N- K)F(—nr, 27 + 1; t)], (1.10) где t = 2aZr/N, a F - вырожденная гипергеометрическая функция [39].

H, = iz > a-13)

1.2 Сверхтонкая структура в литиеподобных ионах

Взаимодействие атомных электронов с внешним магнитным полем описывается оператором

Н = —е(а • А(г)), (1.11)

где е(е < 0) - заряд электрона, а А (г) - векторный потенциал магнитного поля, который для магнитного диполя записывается в виде

¿«-¿Ц^. (1-12)

Таким образом, взаимодействие электрона с ядром в приближении магнитного диполя описывается оператором

|е| /х • [г х а]

4 7Г г3

где ¡л - оператор ядерного магнитного момента. Величина магнитного сверхтонкого расщепления получается при усреднении оператора Ферми-Брейта Н^ с атомными волновыми функциями. Правильные атомные волновые функции имеют определенное значение полного момента атома F и его проекции Мр и являются линейной комбинацией ядерной и электронной волновых функций

\FMFIj) = £C™QlM)\jm). (1.14)

Mm

Здесь | IM) - ядерная волновая функция с полным моментом / и его проекцией М, | jm) - электронная волновая функция с моментом j и проекцией га, Cffa - коэффициенты Клебша-Гордана [40]. Сверхтонкое взаимодействие приводит к расщеплению уровней, сначала имевших вырождение по F

АЕ, = (FMFIj\H^\FMFIj). (1.15)

Подставляя (1.13) и (1.14) в (1.15), легко получается выражение

= Й £ . (1.16)

МтМ'т' _ _ _ _ ___ - -------- "

Здесь подразумевается скалярное произведение матричных элементов. Используя теорему Эккарта-Вигнера [40] получаем для сдвига энергии

= ё/1]F{F+1}"1(1+1)-j(j+^¿owi^^b-"»). (мл

где ¡i = (II\hq\II) - магнитный момент ядра. Угловое интегрирование в

последнем члене дает

АЕ" = §TJ(JTi)!F(F + 1)-7(7 + 1)-^ + 1)]

roo

X / 9пк{г)кк{г)(1г. (1.18)

Jo

Этот интеграл может быть вычислен аналитически для точечного ядра с помощью вириальных соотношений [41,42], что позволяет написать

(aZ)3(2K(7 + ту) - N)

472 - 1) • 1 j

Это выражение имеет в знаменателе множитель 4j2 — 1, который обращается в ноль при Z & 118 . Это приводит к необходимости выхода за рамки модели точечного ядра, особенно при больших Z. Учет распределения электрического заряда по ядру не вызывает проблем и легко осуществляется посредством использования в уравнении Дирака потенциала протяженного ядра. Другой ядерной поправкой, которую необходимо принимать в расчет, является поправка Бора-Вайскопфа, учитывающая отличие реального распределения ядерного магнетизма от модели точечного магнитного диполя. Распределение ядерного магнетизма вводится с помощью замены /л —> ц(г) = F(r)¡j, в выражении для оператора сверхтонкой структуры [43,44], что приводит к следующему виду электронной части оператора Ферми-Брейта [7,11,20,31]

где суммирование пробегает по атомным электронам. Для модели точечного магнитного диполя

F(r) = 1. (1.21)

Для модели равномерно намагниченного шара

(г/До)3, при г < До, / ч

F(r) = { (1.22)

1, при r>Ro,

где Ro - радиус шара, связанный со среднеквадратичным радиусом заряда (г2)1^2 формулой Ro = л/5/3(г2)1,/2. Для одночастичной ядерной модели [45], для которой считается, что спин ядра с нечетным массовым числом определяется полным угловым моментом неспаренного нуклона, с равномерным распределением радиальной части волновой функции внутри ядра (см, напр. [11,31,46])

((г/Д0)3(1 - 31п(¿)) Д при г < Ro , F(r) = <

[l, приг>Яо,

27-1 , 3(27+1)(27-1) m T-L + ± 4(/+i) +8 (7+1) ^ (1.23)

27+3 , 3 (27+1) (27+3) М т _ rl 47 8 (7+1) ^ At ' 2 '

где / - ядерный спин, L - ядерный орбитальной момент. Например, для 209gj82+ нечетный нуклон находится в состоянии lhi, то есть I = = 5. дь = О для нечетного нейтрона, и дь = 1 для нечетного протона. Сверхтонкое расщепление основного состояния (а) многозарядного иона с одним электроном поверх заполненных оболочек (например, ns или npi) может

быть записано в виде

л (а) _ a(aZ)3 gi 2/+1

п3 тр (j + l)(2l + 1)(1 + m/M)3

х

A(aZ)( 1 - 6)( 1 -е) + ]=B{aZ)

Z

1 1

+ -rpD{Z, aZ) + xqed + ^SQED

(1.24)

Здесь gi = /i/(/j,nI) - g фактор ядра с магнитным моментом /л и спином /, /лдг - ядерный магнетон, тр обозначает массу протона, M - массу ядра. A(aZ) - одноэлектронный релятивистский множитель, ,, п3(21 + 1)к(2к(у + Пг) — N)

A{aZ) =-¡вд-' ( '

Ö и е - поправки на конечное распределение заряда и магнитного момента по ядру, соответственно, которые могут быть найдены как аналитически [7,47], так и численно. Поправка первого порядка по 1 ¡Z представлена функцией B(aZ). Функция C(aZ) обозначает межэлектронное взаимодействие второго порядка по 1 /Z, D(Z,aZ) отвечает третьему и более высоким порядкам по