Вопросы теории нелинейных процессов переноса. тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

В31ЩШ-Ш. 4

Глава I. ОБЩИЕ СВОЙСТВА РЕЖНИЙ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ КОИМ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА.12

1.1. Постановка задачи. Определение обобщенного решения. 12

1.2. Теоремы сравнения решении первой краевом задачи. 14

1.3. Следствия из теоремы сравнения. Теорема единственности решения первой краевой задачи . . 19

1.4. Замечания о свойствах решений задачи Коши . 21~2Z

Глава 2. 0с0беш0сти распространения возмущений уравнения типа "турбулентной" фильтрации по нулевому фону. 23

2.1. Введение. Волна разогрева и охлаждения. 25

2.2. Необходимые условия существования фронтовых решений при зачете конвективного движения среды . 25"

2.3. Необходимые условия существования фронтовых решений при учете объемного поглощения. 3f

2.4. Необходимые условия существования решений с неподвижным фронтом. Метастабильные оешения. 38

2.5. Некоторые замечания о решениях распространяющихся с бесконечной скоростью.lo'ir

2.6. Фронтовые решения с угловьми точками.

2.7. Достаточные условия локализации решений . 50

Глава 3. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ В ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ С НЕЛИНЕЙНОЙ теплопроводно от ъю.56

3.1. Постановка задачи .56

3.2. Анализ решений вблизи волнового фронта при аМЧг-О.58-В

3.3. Анализ решений вблизи волнового фронта при

QrAQztO .66

3.4. Автомодельное решение задачи о поршне.70

Глава 4. СТАЦИОНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ НЕВЯЗКОГО ТЕПЛОПРОВОДНОГО ГАЗА С ПОДВОДОМ ТЕПЛА.76-Q

4.1. Структура полубесконечного переходного слоя

4.2. Влияние поперечного магнитного поля на структуру переходного слоя, заданной на полубесконечном отрезке

4.3. Переходный слой конечной ширины.90~

Многие задачи физики и техники приводят к необходимости исследования процессов переноса, включающих в себя разнообразные по своей природе физические процессы, такие как теплопроводность, диффузия, турбулентная фильтрация газа в пористой среде, течение проводящей неньютоновской жидкости в магнитном поле и др. В настоящее время актуальность этих исследований значительно возросла в связи с интенсивным развитием одного из новых направлений физики плазмы, связанного с лазерным или электронным разогревом и немагнитным удержанием плазмы - перспективного направления в решении проблемы управляемого термоядерного синтеза. Ожидается также, что развитие гидродинамики нелинейно-вязких неньютоновских сред будет способствовать совершенствованию ряда технологических процессов в металлургической, химической, пищевой промышленно-стях.

С математической точки зрения указанные процессы допускают единое описание с помощью параболических дифференщальных уравнений. Простейшая и наиболее изученная линейная модель процесса переноса обнаруживает существенные недостатки. Например, в процессах теплопередачи в высокотемпературной среде необходимо учитывать зависимость параметров среды от температуры, а также влияние механизмов переноса и поглощения тепла, которые имеют существенно нелинейный характер.

Хотя к началу пятидесятых годов было уже выполнено значительное число исследований по теории нелинейных процессов переноса (обширная библиография, относящаяся к исследованиям по нелинейной теплопроводности приведена в » тем не менее ни в одной из известных работ этого периода не был указан какой-либо специфический нелинейный эффект, отсутствующий в линейной теории

Учет зависимости коэффициента теплопроводности от температуры позволил Я.Б.Зельдовичу и А.С.Компанейцу Г впервые нащти автомодельное решение уравнения

1=«4 К!Й ■ <" имеющее вид волны, распространяющейся с ограниченной скоростью (для линейных задач эта скорость, как известно, бесконечна). Аналогичные результаты были получены Г.И.Баренблаттом [4"] для более общего уравнения турбулентной фильтрации газа в пористой среде

Н п1 dt к ы ггИ М к>о)т^о (г) а также рядом авторов для задач ламинарного пограничного слоя и гидродинамики неньютоновских жидкостей [ 5 -9,77-79]

При К4 i , fU - i уравнение (2) описывает процессы нелинейной теплопроводности или диффузии с коэффициентом переноса,зависящим от переносимой величины по степенному закону: при f - нестационарные течения неньютоновских жидкостей (1Ч>1 -дилатентных, ГГЪс i - вязко-пластических [ Ю] ) со степенным реологическим законом. Исследование нестационарной турбулентной фильтрации газа в пористой среде приводит к уравнению (2) с произвольными значениями К и ЦП , а при К=Я » ГПф 4 уравнение (2) описывает плоское ламинарное течение неньютоновской жидкости в пограничном слое, если t-продольная координата слоя, 2f -функция тока [u-|5l]

Существенно новый нелинейный эффект был открыт А.А.Самарским и И.М.Соболем, показавшими, что уравнение (2) при Кт! , lYl-i может описывать нестационарные режимы пространственной локализации тепловых возмущений, при которых фронт температурной волны остается неподвижным [fbl . Впоследствии этот результат был развит в цикле работ А.А.Самарского, С.П.Курдюмова и их сотрудников, описавших, в частности, метастабильную пространственную локализацию тепловых возмещений, при которой фронт температурной волны остается неподвижным в течение конечного промежутка времени, тогда как в области прогрева среды температура неограниченно возрастает (тепловой режим с обострением [Ц-20]

Дальнейшее исследование нелинейных уравнений переноса связано с обнаруженным Л.К.Мартинсоном и К.Б*Павловым [н-я] в задачах теплопроводности и магнитной реологии нелинейным эффектом пространственной локализации решений параболических уравнений вида

Для соответствующих решений фронт волны X> = Z<j>(t), разделяющий области, где u(x,tj>0 и u(x,i)50 , распространяется лишь на конечное расстояние, так что X<p(t)^ t =C0fl$t для ft , т.е. обнаруживается тенденция к стабилизации решения. С физической точки зрения такое поведение решения обусловлено действием дополнительных факторов, такие как тепловые стоки магнитное поле и т.п., описываемых слагаемым CU в (3). Более общий случай зависимости поглощения от температуры в виде И) рассмотрен для линеШ-ной старшей части оператора теплопроводности в М ] ив нелинейном случае в

25-IQ],

Физическая интерпретация описанного феномена связана с тем, что в результате поглощения переносимой величины скорость распространения ее возмущений по нулевому фону уменьшается вплоть до обращения в нуль.

Аналогичное воздействие на процесс переноса может оказывать движение среды. В этом случае вместо слагаемого CU в (3) входит выражение вида Ь . Если среда, в которой имеет место нелинейный перенос, движется в направлении, противоположном направлению распространения возмущений переносимой величины, то движение фронта замедляется, а через некоторое время даже может происходить в обратном направлении [30-33] . Интересно отметить, что такое же воздействие на характер движения фронта могут оказывать и определенного вида стоки, описывающие поглощение переносимой величины, происходящее по специальному закону [34,35]

Оистематическое исследование квазилинейных параболических уравнений,, в частности, формулировка понятия обобщающего решения, доказательство теорем существования и единственности, теорем сравнения было начато в работах Г.И.Баренблатта и М. И. Видака [36 ] О.А.Олейник, А.С.Калашникова, Чжоу-Юй-Линя [37] , О.А.Ладыжен-скойВДи продоаш[®-43]А. С.Калашников [44] получил достаточные условия пространственной локализации (или ее отсутствия) решений задачи Коши для уравнения описывающего процесс распространения тепла в движущейся среде с поглощением. Аналогичные результаты для краевой задачи получены Р.Кершнером [45] .В ряде работ [46-50] исследуются эволюция во времени носителя обобщенного решения задачи Коши, описывающей процесс распространения сдвиговых возмущений в дилатентных жидкостях.

Существенные трудности цри попытках построения теории общих задач, описывающих процессы нелинейного переноса, привели также к разработке численных методов и качественных приемов, позволяющих получить частичную информацию о поведении решений этих задач. Чрезвычайно полезными в этом отношении оказались так называемые теоремы сравнения, позволяющие оценивать неизвестные решения путем сравнения начальных и граничных условии с соответствующими условиями "эталонных" задач (автомодельных, стационарных и т.п.), имеющих точное аналитическое решение, что имеет большое значение при установлении факта ограниченности скорости распространения возмещений или их пространственной локализации. Впервые для задач теории нелинейного переноса теоремы сравнения были доказаны С15] , а затем в работаф8,ЩЗЩ44/>1]для различных модификаций уравнений (I), (3), (4).

Интересно отметить, что информация о законе движения поверхности фронта волны возмещений может быть полечена без полного решения соответствующей краевой задачи, а лишь цри выяснении асимптотического поведения решения вблизи поверхности фронта [24,з4] Основываясь на этом факте в[49,50,52-5^] разработаны простые приемы асимптотического анализа фронтовых решений уравнений (2), (3), (4).

Исследования по нелинейной теплопроводности в несжимаемых средах, обнаружившие фронтовые решения типа температурных волн, вызвали проведение аналогичных рассмотрений в газодинамике, в случае, если коэффициент теплопроводности зависит от температуры и плотности. Такая ситуация имеет место при температурах несколько тысяч градусов и выше, когда на движение газа существенное влияние оказывает тепловое излучение. В простейшей модели переноса тепла в газовых потоках Г Л предполагается, что:

- существует термодинамическое равновесие между веществом и фотонным газом,

- перенос тепла происходит путем лучистой теплопроводности, при которой поток энергии в условиях локального равновесия пропорционален градиенту температуры,

- молекулярными процессами переноса можно пренебречь по сравнению с теплопроводностью, обусловленной излучением.

Таким образом, перенос излучения имеет характер теплопроводности с коэффициентом теплопроводности, зависящем от температуры и плотности. Явления, сопровождающиеся взаимодействием тепловых процессов о газодинамическими, с. учетом нелинейной теплопроводности движущегося газа были изучены в задачах о точечном взрыве [55-571 и о поршне [58-62] . Всюду предполагается степенно! характер зависимости коэффициента теплопроводности от температуры и плотности. В последующих работах [б$ - 68J , посвященных изучению нелинейной теплопроводности в идеальных газах, исследование особенностей распространения температурных волн получило дальнейшее развитие.

К уравнениям газодинамики е нелинейной теплопроводностью в принципе можно применить отмеченный выше подход, основанный на рассмотрении малых решений вблизи волнового фронта. Однако, соответствующий анализ осложнен тем, что перенос тепла рассматривается совместно с переносом импульса, и помимо температурной волны, на фронте которой испытывают слабый разрыв все параметры газа, в газе может существовать изотермический скачок с сильным разрывом динамических переменных и слабым разрывом температуры. В общем случае положение изотермического скачка не совпадает с положением фронта температурной волны, хотя при выполнении определенных условий такое совпадение возможно.

В некоторых случаях роль теплопроводности (а также вязкости) как диссипирующего фактора удается выяснить при рассмотрении стационарных задач. Наличие теплопроводности приводит к возникновению переходного слоя, структура которого в движущейся среде с нелинейным тепловым потоком (в том числе и в виде стационарной тепловой волны) исследовалась в работах [69,70] .

Остановимся кратко на содержании диссертации. Результаты работы изложены в четырех главах.

В главе I формулируются понятия обобщенного решения квазилинейного параболического уравнения следующего вида it П^Г ^J-i Wjm'Vk^M^w

В связи с физической постановкой задачи требуется непрерыв- ^ ность функции tt(x,t) и непрерьшность потока ^ ^

Пространство таких функций обозначается укт. . Обобщенным решением уравнения (5) в области (на плоскости X,t ) называется функция tl(x}t) е Vkm » Удовлетворяю^ некоторому интегральному тождеству. Для обобщенного решения уравнения (5) формулируются и доказываются теоремы сравнения и единственности решений первой краевой задачи и задачи Коши. Теоремы сравнения для различных частных случаев уравнения (5) были установлены рядом авторов ГЗ644,45]. в настоящей работе эти теоремы формулируются при более широких предположениях относительно показателе! нелинейности и коэффициентов уравнения (5) и при ином (близком к приведенному в Г 80 J ) определению обобщенного решения.

В главе 2 выводятся необходимые условия существования фронтовых решений и строится асимптотика таких решений вблизи фронта. Кроме того, выясняется связь между полученными необходимыми условиями ограниченности скорости распространения фронта и достаточными условиями пространственной локализации решений. Показано,что в одних случаях эти условия совпадают, а в других достаточные условия являются более сильными. Цри этом используются теоремы сравнения главы I. В 2.6 рассматриваются решения уравнения переноса, для которых линия фронта в плоскости X, t имеет угловые точки в результате скачкообразного изменения параметров среды.

В главе 3 рассматриваются некоторые задачи газодинамики с нелинейной теплопроводностью с точки зрения описанных вше нелинейных эффектов, обнаруженных в несжимаемой среде. С этой целью предлагается методика асимптотического анализа поведения решений вблизи фронта, основанная на использовании диаграмм Ньютона£74,54] Подробно рассматривается задача о бегущей волне в идеальном газе в более общей постановке по сравнению с [59]

В главе 4 рассматривается задача об одномерном (вдоль осиХ ) стационарном течении невязкого теплопроводного газа о подводом тепла на поверхности % -Х^- Const. Такое течение можно моделировать как движение потока газа через абсолютно проницаемую поверхность - "решетку", температура 7V которой поддерживается постоянной. Подобный температурный режим имеет место, например, на поверхности фронта пламени, на поверхности фазового перехода ш т.п. Рассмотрен случай идеального raga и сформулированы условия существования устойчивого стационарного течения с изотермическим скачком для газа с произвольным уравнением состояния p-p^'^J • Оказываемся, что при наличии подвода тепла переходный слой имеет более разнообразную структуру по сравнению со случаем свободного потока газа, а изотермический скачок может располагаться как на границе, так и внутри переходного слоя, и притом неоднозначно. Аналогичная задача рассматривается для проводящего газа в поперечном магнитном поле [76]

Автор выражает искреннюю признательность доктору физико-математических наук, профессору К.Б.Павлову и кандидату физико-математических наук , доценту Л.Д.Покровскому, осуществлявшим руководство работой.

1. Зельдович Я.Б,, Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М., "Наука", 1966.

2. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М., "Высшая школа" ,1967.

3. Зельдович Я.Ю., Компанеец А.С. К теории распространения тепла при теплопроводности, зависящей от температуры. В кн.: "К 70-летию А.Ф.Иоффе". М., Изд. АН СССР, 1950^ с .61-71.

4. Баренблатт Г.И. Об автомодельных движениях сжимаемой жидкости в пористой среде. ШМ, 1952, т. 16, вып. 6, с.679-698.

5. Мартинсон Л.К., Павлов К.Б. Нестационарные сдвиговые течения проводящей жидкости со степенным реологическим законом. Магнит. гидрод., 1971, № 2, с. 50-58.

6. Мартинсон Л.К., Павлов К.Б. Магнитная гидродинамика неньютоново к их жидкостей. Магнит, гидрод., 1975, Л I, с. 59-67.

7. Павлов К.Б. Сдвиговые МГД-течения жидкости со степенным реологическим законом. Магнит, гидрод., 1972, №3, с.142-145.

8. Павлов К.Б. К теории ламинарного пограничного слоя проводящей неньютоновской жидкости ео степенным реологическим законом в поперечном магнитном поле. Магнит, гидрод., 1979, Л I, с. 33-38,

9. Павлов К.Б. К теории течения затопленной струи неньютоновской жидкости ео степенным реологическим законом. ПМТФД979, № I, с. 79-63.

10. Уилкинсон У.Л. Неньютоновские жидкости. М., "Мир", 1964.

11. Павлов К.Б. О магнитогидродинамическом течении несжимаемой вязкой жидкости, вызванной деформацией плоской поверхности. Магнит, гидрод., 1974, Л 4, с. 146-147.

12. Павлов К.Б.5 теории пограничного слоя неныотоновских нелинейно-вязких оред. Изв. АН СССР, ШГ, 1978, Ш, о. 26-33.

13. Самарский А.А., Соболь И.М. Примеры численного расчета температурных волн. 1MB и МФ, 1963, т.З, & 4, с.702-719»

14. Еленин Г.Г., Курдюмов С.П. Условия усложнения организации нелинейной диссипативной среды. Препринт ИПМ СССР, 1977, II 106.

15. Змитренко Н.В., Курдюмов С.П., Михайлов А.П., Самарский А.А. Возникновение структур в нелинейных средах и нестационарная термодинамика режимов обострения. Препринт ИПМ АН СССР, 1976, II 74.

16. Змитренко Н.В., Курдюмов С.П., Михайлов А.П., Самарский А.А. Метастабильная локализация тепла в среде с нелинейной теплопроводностью и условия ее проявления в эксперименте. Препринт ИПМ АН СССР, 1977, № 103.

17. Курдюмов С.П. Собственные функции горения нелинейной среды и конструктивные законы построения ее организации. Препринт ИПМ АН СССР, 1979, № 29.

18. Михайлов А.П. Метастабильная локализация тепловых возмущений в среде с нелинейной теплопроводностью. Препринт ИПМ АН СССР, 1977, II 64.

19. Самарский А.А., Змитренко Н.В., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Эффект метастабильной локализации тепла в среде с нелинейной теплопроводностью. Д/Ш СССР, 1975, т. 223, 16, с. 1344-1347.

20. Самарский А.А., Змитренко Н.В., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Тепловые структуры и фундаментальная длина в среде с нелинейной теплопроводностью и объемным источником тепла. ДАН СССР, т. 227, I 2, 1976, с. 321-324.

21. Мартинсон ДЛС., Павлов К.В. К вопросу о пространственной локализации тепловых возмущений в задачах нелинейной теплопроводности с поглощением. IBM и МФ, 1972, т. 12, № 4,с.1048-1053.

22. Павлов К.Б. Пространственная локализация тепловых возмущений при нагревании сред с объемным поглощением тепла. ПМТФ, 1973, № 5, с. 96-101.

23. Павлов К.Б, 0 пространственной локализаций переходных сдоев в задачах нелинейной теплопроводности. ПМТФ, 1973, №4, с. 179-181.

24. Мартинсон Л.К. О конечной скорости распространения возмущений в средах с постоянным коэффициентом теплопроводности.

25. M и МФ, 1976, т. 16, № 5, с. 1233-124I.

26. Голайдо С.И., Мартинсон Л.К., Павлов К.Б. Нестационарные задачи нелинейной теплопроводности с объемным поглощением тепла. ЖШ и МФ, 1977, т.17, № 5, с .1351-1356.

27. Голайдо О.И., Мартинсон Л.К., Павлов К.Б. Раскос траление тепловых возмущений в средах с объемным поглощением тепла. Ш, 1977, т. 33, № X, с. 124-130.

28. Гранин И.О. К вопросу о локализации температурных возмущений в средах е объемным поглощением тепла. 1БМ и МФ , 1978, т. 18, Л 3, е. 775-779.

29. Калашников А.С. О характере распространения возмущений в задачах нелинейной теплопроводности с поглощением. ЖШ и МФ, 1974, т. 14, №4, с. 891-905.

30. Калашников А.С. О влиянии поглощения на распространение тепла в среде с теплопроводностью, зависящей от температуры. IBM и МФ, 1976, T.I6, Ji> 3, с. 689-696.

31. Вишняков В.И., Шахорин А.П. Нестационарное обтекание плоской проницаемой пластины неньютоновской жидкостью go стеменным реологическим законом. ПМТФ, 1980, Ш I, е.91-94.

32. Голайдо С.И., Мартинсон Л.К., Павлов К.Б. Магнитогидроди-намические сдвиговые течения со степенным реологическим законом в условиях поперечного сноса. Магнит, гидрод., 1974,й 2, о. 58-62.

33. Гранин И.О., Мартинсон Л.К., Павлов К.Б. Температурные волны в движущихся средах, IBM и Мф, 1974, т. 14, 15, с.1340-1344.

34. Мартинсон Л.К., Павлов К.Б. Сдвиговые течения жидкости со степенным реологическим законом при наличии постоянной поперечной составляющей скорости. Изв. АН СССР, МЖГ, 1973,Л 4, с. 15-21.

35. Кершнер Р. О поведении температурных фронтов в средах с нелинейной теплопроводностью при наличии поглощения. Вестник МГУ, сер. матем. и мех., 1978, № 5, с. 44-51.

36. Мартинсон Л.К. Движение тепловой волны в нелинейной среде с поглощением. ШТФ, 1979, №4, с36-39.

37. Баренблатт Г.И., Вишик М.И. О конечной скорости распространения в задачах нестационарной фильтрации жидкости и газа.ПММ, 1956, т.20, вып. 3, с. 4II-4I7.

38. Олейник О.А., Калашников А.С., Чжоу-Юй-Линь. Задача Кошии краевая задача для уравнения типа нестационарной фильтрации. Изв. АН ССОР, сер.матем., 1958, т. 22, В 5, с.667-704.

39. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М., "Наука", 1967.

40. Антонцев С.Н. О характере возмущений, описываемых решениями многомерных вырождающихся параболических уравнений. В сб. "Динамика жидкости со свободными границами", 1979, вып. 40, Новосибирск, Изд. 00 АН СССР, с. II4-I22.

41. Голайдо С.И. Метод прямых в задачах нелинейной теплопроводности. Дифферен.уравнен., 1978, I.I4, Л 9, с.1613-1623.

42. Калашников А.С. Об уравнениях типа нестационарной фильтрации с бесконечной скоростью распространения возмущений.Вест. ЮТ, oep. матем. и мех., 1972, Ш 6, о. 45-49.

43. Калашников А.С. О задаче Коши в классах растущих функций для некоторых квазилинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка. Дифферен. уравнен., 1973, $.9, № 4, с.682-691.

44. Калашников А.С. Об одном нелинейном уравнении, возникающемв теории нестационарной фильтрации. Труды семинара им.И.Г.Петровского, 1978, № 2, с.

45. Калашников А.С. О характере распространения возмущений в процессах, описываемых квазилинейными вырождающимися параболическими уравнениями. Труды семинара им. И.Г.Петровского, 1975, вып. I, с. 135-144.

46. Кершнер Р. Об условиях локализации тепловых возмущений в по-луограниче^ной движущейся среде при наличии поглощения. Вестник МГУ, сер. матем. и мех., 1976, $ 4, с. 52-58.

47. Граник Й.С. Влияние магнитного поля на характер распространения сдвиговых возмущений в дилатантных средах. Магнит, гидрод., 1977, №2, с. 51-54.

48. Граник И.О., Мартинсон Л.К. Плоское нестационарное движениененьютоновской жидкости. Магнит, гидрод., 1974, № 4,с.141-143.

49. Граник И.О., Мартинсон Я.К. О движении границы носителя обобщенного решения в задачах магнитной реологии. Магнит, гидрод.,1978, № I, с. 13-16.

50. Мартинсон Я.К. Распространение сдвиговых возмущений в даша-тантных жидкостях. Изв. АН СССР, ШГ, 1978, Л 6, с.60-68.

51. Павлов К.Б., Романов А.С. Об изменении области локализации возмущений в процессах нелинейного переноса. Изв. АН СССР, МЖГ, 1980, № с .57-62.

52. Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П., Самарский А.А. Ш одном подходе к сравнению решений параболических уравнениш. IBM и МФ, т.19,№ 6, 1979, с. I45I-I46I.

53. Мартинсон Л.К. Плоская задача конвективного теплопереноса в нелинейной среде. ПММ, 1980, £.44, № I, с. I8I-I85,

54. Покровский Л.Д., Тараненко G.H. Пространственная локализация решений нелинейных уравнений параболического типа. Труды МВТУ, № 336. Методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений в прикладных задачах механики, 1980, с.69-83.

55. Покровский Л.Д., Тараненко С.Н. О разветвлении решений нелинейного уравнения переноса. Тезисы докладов Всесоюзной школы-семинара "Теоретические и прикладные проблемы вычислительной математики". Препринт ИПМ АН СССР, 1981, Л

56. Вам-Зеликович Г.М. Распространение сильных взрывных волн. В сб. "Теоретическая гидромеханика" ,J4.М., Оборонгиз,1949.

57. Неуважаев В.Е. Расцространение сферической взрывной волны в теплопроводном газе.ПММ, 1962, т.26, вып.6,с.1094-1997.

58. Коробейников В.П. Задачи теории точечного взрыва в газах. Труды мат. института им. В.А.Стеклова,изд-во "Наука",1973.

59. Волосевич П.П.,Курдюмов С.П., Бусурина Я.Н., Крус В.П. Решение одномерной плоской задачи о движении поршня в идеальном теплопроводном газе. ЖВМ и МФ, 1963, № I, т.З, с.159-169.

60. Самарский А.А., Курдюмов С.П., Волосевич П.П. Бегущие волны в среде g нелинейной теплопроводностью. ЖВМ и МФ, 1965, т.5, № 2, с. 199-217.:

61. Лейбензон А.С. Задача о поршне g учетом конечной скорости экзотермических реакций и нелинейной теплопроводности. Изв. АН СССР, МЕГ, 1979, Щ, о. I46-I5I.

62. Лейбензон А.С. Распространение волны горения в среде с нелинейной теплопроводностью. Изв. АН СССР, МЖГ, 1979, 11 4,с. 184-188.

63. Павлов К.Б., Покровский Л.Д., Тараненко С.Н. Температурные волны в идеальном газе с нелинейной теплопроводностью. Диф-ферен. уравнения, 1979, т.15, № II, с. 2084-2038.

64. Андрианкин Э.И. Распространение неавтомодельной тепловой волны, 1ЭТФ, 1978, |Г.35, вып.2 (8), с. 428-432.

65. Андрианкин Э.И. О влиянии лучистой теплопроводности на течение газа при сильном взрыве. ИЩ, 1961, т.4, В 22,с.68-72.

66. Немчинов И.В. Некоторые нестационарные задачи переноса тепла излучением. ПМТФ, 1961, В I, с. 36-57.

67. Шидловский В.П. Развитие динамических возмущений на начальной стадии точечного взрыва в теплопроводном газе. ПМТФ,1978, В I, с. 55-62.

68. Змитренко Н.В., Курдюмов С.П. tfufi- режимы сжатия конечной массы плазмы и особенности режимов с обострением. ПМТФ,1977, № I, с. 3-23.

69. Андрианкин Э.И. Классификация автомодельных движений при нулевом градыБНТЕ температуры в среде с переменной плотностью. В сб. "Динамика сплошной среды в космосе и на Земле?. М.,1978, с. 59-72.

70. Павлов К.Б. Стационарные тепловые волны в набегающем потоке идеального газа с теплопроводностью, зависящей от температуры, ПМТФ, 1975, Л I, с. 133-14I.

71. Павлов К.Б., Покровский Л.Д., Тараненко С.Н. О стационарном течении невязкого теплопроводного газа. ЖШ и МФ, 1978, т.18, Л> 5, с. 1329-1335.

72. Вайнберг М.М., Шеногин В.А. Теория ветвления нелинейных уравнений. М., "Наука", 1969.

73. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. Гостехиз-дат. М., ©54.

74. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Ч Системы квазилинейных уравнений. М., "Наука", 1968.

75. Станюкович К.П., Баум Ф.А., Каплан С.А. Введение в космическую газовую динамику. Гостехиздат, 1958.

76. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф.,Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М., "Наука", 1973.