Исследование разностных методов решения краевых задач нелинейной фильтрации в двухслойных и трещиновато-пористых средах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ДВУХСЛОЙНЫХ

И ТРЕЩИНОВАТО-ПОРИСТЫХ СРЕДАХ

§ I. Постановка задачи нелинейной фильтрации в двухслойном пласте.

§ 2. Постановка задачи теории фильтрации в трещиноватопористых средах.

§ 3. Существование и единственность обобщенного решения первой краевой задачи нелинейной фильтрации в двухслойном пласте

§ 4. Существование и единственность обобщенного решения краевой задачи нелинейной фильтрации в трещиноватопористых средах.

§ 5. Исследование регуляризованной задачи

§ 6. Обоснование метода прямых для решения краевых задач теории фильтрации в трещиновато-пористых средах.

ГЛАВА П. ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ДВУХСЛОЙНЫХ И ТРЕЩИНОВАТО-ПОРИСТЫХ СРЕДАХ

§ I. Обозначения и вспомогательные результаты

§ 2. Построение и исследование неявной разностной схемы для решения первой краевой задачи нелинейной фильтрации в двухслойном пласте

§ 3. Исследование регуляризованной разностной схемы

§ 4. Построение и исследование разностных схем для решения краевой задачи нелинейной фильтрации в трещиновато-пористых средах

Многие газовые и нефтяные месторождения представляют собой многопластовые и трещиновато-пористые образования. Большинство задач теории нелинейной нестационарной фильтрации в этих средах при известном начальном распределении поля давления и заданных режимах разработки месторождения в общей постановке, как известно, являются трехмерными. Однако, трехмерные задачи нестационарной нелинейной фильтрации жидкости и газа во взаимосвязанных пластах с произвольной границей весьма трудоемки для численного решения на ЭВМ, поэтому особую актуальность приобретает рассмотрение упрощенных моделей фильтрации в многослойных и трещиновато-пористых пластах путем сведения их к задачам меньшей размерности.

Упрощенные модели фильтрации в многослойных пластах предлагались многими авторами (см., напр./ijи приведенную там библиографию).

В случав трещиновато-пористой среды в каждой точке пространства приписываются два давления жидкости или газа - давление в порах и давление в трещинах, а также соответствующие им скорости фильтрации в порах и в трещинах. Это обусловлено значительной разницей в проницаемости пор и трещин. Задачи фильтрации в трещиновато-пористых средах, сформулированные в виде системы двух параболических уравнений, рассматривались, например, в работе [2],

Различные алгоритмы решения задач фильтрации как в многослойных, так и в трещиновато-пористых пластах предлагались в работах /з-5/. Однако, исследование корректности предлагаемых моделей задач теории фильтрации, а также алгоритмов их решения в этих работах почти не проводилось.

Важным моментом в постановке задач фильтрации является выбор закона фильтрации, т.е. зависимости скорости фильтрации от градиента давления. Во многих случаях эта зависимость является нелинейной [ 6-9/.

Отметим здесь нелинейный закон фильтрации с предельным градиентом давления. При этом соответствующие задачи фильтрации формулируются в виде систем нелинейных вырождающихся параболических уравнений.

Сложность решения задач фильтрации вязко-пластической жидкости обусловлена во многом тем, что фильтрация происходит в области, границы которой заранее неизвестны и должны быть определены в процессе решения. В некоторых случаях такого типа задачи изучались в работах/Ю-22].

Одним из наиболее распространенных и универсальных методов решения краевых задач, в том числе задач фильтрации, является метод конечных разностей. Теория этого метода для линейных, а также для весьма широких классов нелинейных параболических уравнений развита к настоящему времени достаточно полно /23-34^Значительно слабее изучены теоретические вопросы метода конечных разностей для систем параболических уравнений, допускающих вырождение по нелинейности.

Целью настоящей диссертации является построение и исследование разностных методов решения нестационарных задач фильтрации в многослойных, а также трещиновато-пористых средах в случае нелинейного закона фильтрации с предельным градиентом сдвига.

Отметим работы, близкие к тематике диссертации.

В работах /"35-46/ рассматривались вопросы существования,единственности и гладкости решения линейных и нелинейных параболических уравнений, а также систем линейных уравнений (см. также /47/ и приведенную там библиографию).

В работе /*48/ рассматривались некоторые разностные схемы для

- б нелинейного вырождающегося параболического уравнения, описывающего распространение температурных волн. Исследованию неявных разностных схем для уравнений такого типа посвящены работы В.Н. Абрашина /32- 35/.

В работах /49-54/ исследована сходимость метода конечных разностей для некоторых вырождающихся параболических уравнений теории фильтрации при некоторых достаточно сильных ограничениях на гладкость исходных данных.

Итерационные методы решения одномерного параболического уравч нения с вырождением (типа температурной волны) рассматривались в /55/.

Разностные методы решения стационарных задач теории фильтрации с предельным градиентом изучались в работах А.Д.Ляшко, М.М. Карчевского и др. /56-60/.

Разностным методам решения нестационарных задач нелинейной фильтрации в многослойных пластах посвящены работы/1,10,17-22/.

В работе М.М.Карчевского, А.Д.Ляшко и М.Ф.Павловой/13/ исследованы явные, неявные и регуляризованные разностные схемы для решения квазилинейного параболического уравнения, описывающего нелинейную фильтрацию жидкости в пористой среде при упругом режиме фильтрации. Доказаны теоремы существования и единственности решения первой краевой задачи.

Исследованию разностных схем решения нелинейных краевых задач посвящены также работы/16, 61-64/.

В настоящей диссертации проводится построение и исследование математической модели задачи нестационарной фильтрации в многослойных пористых средах. Для этой модели, сформулированной в виде нелинейного вырождающегося параболического уравнения со специальными граничными условиями построены и исследованы разностные схемы.

Для нестационарной задачи нелинейной фильтрации в трещиновато-пористых средах построена и исследована математическая модель в виде системы из двух нелинейных параболических уравнений. Для решения этой задачи построен метод прямых [£8-77] и исследована его сходимость.

Разностные схемы, построенные в диссертации использовались при проведении численных экспериментов для расчета конкретных нефтяных месторождений.

Диссертация состоит из введения, двух глав и приложения.

- 126 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Построены математические модели нелинейных задач нестационарной фильтрации в двухслойных и трещиновато-пористых средах в случав нелинейного закона фильтрации с предельным градиентом. Доказаны теоремы существования и единственности.

2. Построен и исследован итерационный метод для решения нестационарной задачи фильтрации газа в трещиновато-пористых средах.

3. Построены явные, неявные и регуляризованные разностные схемы для нелинейных задач нестационарной фильтрации в двухслойных и трещиновато-пористых средах. Доказаны теоремы существования и единственности решений разностных схем и теоремы о сходимости кусочно-постоянных восполнений решений разностных схем к решениям дифференциальных задач.

На основе проведенного вычислительного эксперимента на ЭВМ выявлено, что недоучет проявления начального градиента давлений приводит к существенным ошибкам при фильтрационных расчетах месторождений нефти.

1. Мухидинов Н. Газогидродинамическое исследование нелинейной фильтрации жидкости и газа. - Ташкент: Фан, Уз ССР, 1977.152 с.

2. Наказная Л.Г. Фильтрация жидкости и газа в трещиноватых коллекторах. М.: Недра, 1972, - 184 с.

3. Ентов В.М. Об одной задаче нелинейной нестационарной фильтрации. Изв. АН СССР, Механика и машиностроение,1963,№ 5, с.141-143.

4. Ентов В.М., Сухарев М.Г. Автомодельный случай плоскорадиальной нестационарной фильтрации при нелинейном сопротивлении. Изв.вузов, Нефть и газ, 1965, № 24, с.57-63.

5. Полянин В.Д. Численное решение задачи о фильтрации вязко-пластичной жидкости в упругой пористой среде. В кн.: Подземная гидродинамика, М.; Недра, 1971, с.33-36.

6. Мирзаджанзаде А.Х. Вопросы гидродинамики вязко-пластических и вязких жидкостей в применении к нефтедобыче. Баку: Азернефть, 1959. - 360 с.

7. Алишаев М.Г., Вахитов Г.Г., Гехтман М.М., Глумов И.Ф. О некоторых особенностях фильтрации пластовой девонской нефти при пониженных температурах. Изв. АН СССР, МЖГ, 1966, № 3, с.166-169.

8. Ентов В.М., Турецкая Ф.Д. Эффекты неодномерности течения в нелинейной нестационарной фильтрации. Изв. АН СССР, МЖГ, 1977,ч№ 6, с.74-78.

9. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917-1967).-М.: Наука, 1969. 545 с.

10. Бернадинер М.Т., Ентов В.М. Гидродинамическая теория фильтрации аномальных жидкостей. М.: Наука, 1975. - 199 с.

11. Мухидинов Н. Методы расчета показателей разработки многопластовых месторождений нефти и газа. Ташкент: ФАН Уз ССР, 1978. - 117 с.

12. Полянин В.Д. Приближенный метод решения нестационарной задачи фильтрации при наличии начального градиента давления. -Изв.вузов, Нефть и газ, 1969, № 2, с.69-73.

13. Карчевский М.М., Ляшко А.Д., Павлова М.Ф. О разностных схемах для уравнения нестационарной нелинейной фильтрации.-Дифференциальные уравнения. Минск, 1979, т.ХУ, Ш 9, с.1692-1708.

14. Глушенков В.Д., Ляшко А.Д. Разностные схемы для квазилинейных эллиптических уравнений в полярных координатах.-Дифференциальные уравнения, Минск, 1979, № 6, с.1052-1060.

15. Карчевский М.М., Павлова М.Ф. О разностных схемах решения нестационарных уравнений теории фильтрации с предельным градиентом.-В сб.:"Численные методы механики сплошной среды",Новосибирск, 1980, т.II, №.4, с.104-112.

16. Павлова М.Ф. Исследование сходимости разностных схем для уравнений нестационарной нелинейной фильтрации.-Казань,1980,18 с. Рукопись представлена Казанск.гос.ун-том, Деп.в ВИНИТИ 3 ноября, № 4672-80.

17. Мукимов Н. Исследование потоковым вариантом прогонки нелинейной фильтрации в слоистом пласте модели Хантуша.- В сб.: Вопросы вычислительной и прикладной математики, Ташкент: РИСО АН УзССР, 1977, вып.47, с.76-90.

18. Мукимов Н. Численное решение плановых задач нестационарной нелинейной фильтрации в многослойных пластах методом фиктивных областей. В сб.: Вопросы вычислительной и прикладной математики, Ташкент: РИСО АН УзССР, 1979, вып.57, с.82-101.

19. Мухидинов Н., Мукимов Н. Об одной приближенной модели теории линейной и нелинейной фильтрации в многослойных пластах. -В сб.: Численные методы сплошной среды,Новосибирск,1978,т.9,1. I, с.125-130.

20. Буйкис А.А., Шмите М.З. Разностные схемы для процессов переноса в многослойных пластах. В сб.: Прикладные задачи математической физики, Рига: ЛГУ им.П.Стучки, 1983, с.53-66.

21. Мухидинов Н. Численное моделирование нелинейной фильтрации жидкости и газа в многослойных пластах. Автореферат докт. дисс., Казань, 1983, - 31 с.

22. Мукимов Н. Численное моделирование некоторых задач многослойной нелинейной фильтрации. Автореф.канд.дисс. Новосибирск, 1982. - 17 с.

23. Буйкис А.А. Разностная аппроксимация "уточненной схемы сосредоточенной емкости". В сб.: Исследование по прикладной математике, Казань: изд-во КГУ, 1981, вып.9, с.68-72.

24. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971. - 552 с.

25. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. - 656 с.

26. Самарский А.А., Гулин А.В. О некоторых результатах и проблемах теории устойчивости разностных схем. Матем. сб. 1976, (141), № 3, с.299-330.

27. Ляшко А.Д., Карачевский М.М. Исследование одного класса нелинейных разностных схем. Изв. вузов, Математика, 1970,1. Ш 7, с.63-71.

28. Карчевский М.М., Лапин А.В., Ляшко А.Д. Экономичные разностные схемы для квазилинейных параболических уравнений. -Изв. вузов, Математика, 1972, № 3, с.23-31.

29. Лапин А.В., Ляшко А.Д. О сходимости разностных схем для квазилинейных уравнений, параболических на решении. Изв. вузов, Математика, 1975, № 12, с.30-42.

30. Лапин А.В., Ляшко А.Д. Исследование разностных схем для одного класса квазилинейных параболических уравнений. Изв.вузов, Математика, 1973, № I, с.72-77.

31. Ляшко А.Д. О корректности нелинейных двухслойных опера-торно-разностных схем. ДАН СССР, 1974, т.215, № 2, с.263-265.

32. Абрашин В.Н. Сходимость метода сеток для многомерных квазилинейных задач теплопроводности. ДАН БССР,1972, № 16, № 10, с.877-880.

33. Абрашин В.Н. О равномерной сходимости метода сеток для квазилинейных уравнений параболического типа. Изв. АН БССР, с ер.физ-мат.наук, 1933, № 2, с.23-41.

34. Абрашин В.Н. Разностные схемы для нелинейного параболического уравнения, неразрешенного относительно старших производных. Дифференциальные уравнения, Минок, 1975, т.II,.№4, с. 694-707.

35. Абрашин В.Н. О разностных схемах для нестационарных задач с неограниченной нелинейностью. ДАН БССР, 1976, т.20, № 8, с.680-683.

36. Ладыженская О.А. Об интегральных оценках, скорости сходимости приближенных методов и решениях в функционалах для линейных эллиптических операторов. Вестник ЛГУ, № 7, (1958), с.60-69.

37. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики.-М.: Наука, 1973. 408 с.

38. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. - 736 с.

39. Латтес Р., Лионе ЖгЛ. Методы квазиобращения и его приложение. М.: Мир, 1970, 336 с.

40. Лионе ЖгЛ., Мадженесс Э. Неоднородные граничные задачи- 131