Полностью консервативные разностные схемы газовой динамики в эйлеровых переменных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. СБАЛАНСИРОВАННЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНОЙ

СРЕЛД В ЭЙЛЕРОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ.

§ Г. Непрерывная модель сжимаемой среды и некоторые её свойства

1.1. Система уравнений газовой динамики.

1.2. Каскадная форма записи уравнений

1.3. Криволинейные координаты

§ 2. Согласованная аппроксимация конвективных потоков

2.1. Дискретизация области и физических величин

2.2. Разностные аналоги основных дифференциальных операторов

2.3. Дифференциально-разностные/уравнения

2.4. Свойство полной консервативности

§ 3. Разностные схемы со сбалансированными конвективными потоками

3.1. Дискретизация по времени.

3.2. Консервативные схемы

3.3. Полностью консервативные схемы

3.4. Двухэтапные алгоритмы

Глава П. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ С СОГЛАСОВАННОЙ АППРОКСИМАЦИЕЙ

КОНВЕКТИВНЫХ ПОТОКОВ ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ

ДИНАМИКИ

§ I. Дискретизация и обозначения

§ 2. Описание методов

2.1. Полностью консервативная частично трехслойная схема (ПКС-1)

2.2. Трехслойная полностью консервативная схема второго порядка аппроксимации по времени

ПКС-П)

2.3. Двухслойная консервативная схема с согласованными потоками массы и импульса (KC-I)

2.4. Двухэталные методы.

2.5. Коррекция потоков.

2.6. О расчетах квазиодномерных задач.

2.7. Полностью консервативный вариант метода FLIC.

2.8. Исследование устойчивости разностных схем.

§ 3. Тестовые расчеты.

3.1. Постановка тестовых задач.

3.2. Описание расчетов.

Глава Ш. ДВУМЕРНЫЕ ПОЛНОСТЬЮ КОНСЕРВАТИВНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ

СХЕМЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ.

§ I. Полностью консервативные схемы на криволинейных сетках.

1.1. Аппроксимация простейших операторов.

1.2. Аппроксимация градиента и дивергенции.

1.3. Дискретизация по времени.

1.4. Разностная схема в потоковой форме.

1.5. Об искусственной вязкости и граничных условиях.

1.6. Вычисление переменного шага по времени

§ 2. Полностью консервативные разностные схемы с разнесенными скоростями

2.1. Основные уравнения и дискретизация физических величин.

2.2. Аппроксимация уравнения неразрывности

2.3. Дискретный аналог диссипативной функции.

2.4. Аппроксимация уравнения изменения внутренней энергии

2.5. Разностные динамические уравнения

2.6. Условия полной консервативности

2.7. Начальные и граничные условия

2.8. Искусственная вязкость. Анализ аппроксшлационной вязкости

§ 3. Результаты численного моделирования.

3.1. Задачи обтекания.

3.2. Дифракция ударных волн на тупых углах

Развитие современной науки и техники невозможно без применения численных методов. Задачи, которые ставит практика перед прикладной математикой, чрезвычайно сложны и отличаются, как правило, сильной нелинейностью [^1,2] . Достаточно указать такие области науки, как аэродинамика, физика плазмы, химическая кинетика, в которых вычислительный эксперимент [2] является фактически единственным средством решения возникающих проблем.

Широкий круг вопросов современной вычислительной математики связан с решением задач газовой динамики [4]. Течения сжимаемой среды зачастую изучаются в комплексе с процессами теплопроводности, излучения, химических реакций, гравитационными эффектами, наличием многокомпонентноети и т.д. [4-29} . Несмотря на разнообразие физической природы учитываемых явлений, основу подобных задач составляют классические уравнения газодинамики, аналитическое исследование которых, из-за нелинейности, возможно только в специальных случаях. Тем самым обуславливается необходимость разработки эффективных разностных алгоритмов решения этих уравнений.

Проблемы численного решения многомерных задач газовой динамики являются одними из наиболее актуальных и острых. Это связано, прежде всего, с особенностями самих моделируемых течений, характеризующихся большими скоростями сдвиговых деформаций и наличием сложных пространственных структур взаимодействующих между собой ударных волн и контактных разрывов. Разностные схемы, предназначенные для решения таких задач, должны обладать способностью передавать тонкие особенности течений, резко изменяющихся во времени и пространстве, на реальных, т.е. достаточно "грубых" сетках.

Практика расчета одномерных и двумерных процессов эволюции конечных масс газа в лагранжевых переменных показала, что отмеченным требованиям удовлетворяют полностью консервативные разностные схемы ["3,4] , отличительной чертой, которых является .дополнительное по отношению к основных законам сохранения соблюдение баланса между различными видами энергии. Однако, из-за быстрого развития в наиболее типичных задачах аэродинамики значительных сдвиговых деформаций, использование полностью консервативных схем в лагранжевых переменных оказывается здесь, по существу, невозможным.

При численном решении задач газовой динамики в переменных, отличных от лагранжевых, необходимо каким-либо образом аппроксимировать выражения, описывающие процессы конвективного переноса массы, импульса и полной энергии. Если в основу аппроксимации уравнений газодинамики кладется система законов сохранения [3l] , то дискретные аналоги соответствующих конвективных членов оказываются дивергентными и однозначно определяют конвективный перенос тепла. Анализ широко используемых в практике разностных схем, таких как [31, 44, 52, 53 ] и других показывает, что следующие из них дискретные аналоги конвективных производных, описывающие перенос внутренней энергии, не являются консервативными. Это значит, что в указанных методах присутствуют дополнительные источники или стоки тепла, обусловленные несогласованностью аппроксимаций основных конвективных потоков.

Нарушение баланса кинетической и внутренней энергии может оказывать существенное влияние на получаемые результаты [4 J.

В работах [85-87,90j предложен ряд подходов к построению разностных схем газовой динамики в эйлеровых переменных с консервативной аппроксимацией конвективного переноса полной, внутренней и кинетической энергии, массы и импульса симметричными разностями второго порядка. Недостатком схем с симметричными разностями, без дополнительно вводимой искусственной вязкости, является их немонотонность [13] .

Цель настоящей работы - разработка общего метода построения полностью консервативных разностных схем в эйлеровых переменных для решения многомерных задач газовой динамики, а также апробация конкретных из этих схем на одномерных и двумерных тестовых расчетах.

Дифференциальные уравнения газовой динамики выражают основные законы сохранения: массы, импульса и полной энергии, выполнение которых естественно требовать и в дискретной модели, определяемой разностной схемой. Удовлетворяющие этому требованию схемы названы консервативными . Неконсервативность алгоритма может приводить к нефизическим результатам из-за нарушения условий Гюгонио при расчетах ударных волн [4] .

К настоящему времени разработано большое количество консервативных разностных схем в лагранжевых переменных. Лагран-жевы сетки двигаются вместе с частицами среды, и поэтому в указанных методах [16,21,24,30 ] отсуствуют члены, отвечающие конвективному переносу. Достоинством лагранжевых методов является малая аппроксимационная вязкость и высокая точность расчета контактных разрывов. В задачах, где невелики деформации течения, эти методы являются наиболее предпочтительными.

При численном интегрировании уравнений газодинамики часто бывает удобным использовать подвижные разностные сетки, перемещающиеся как относительно неподвижной системы координат, так и относительно материальных частиц среды. Такой подход называют смешанным эйлерово-лагранжевым [32-34] . В схемах [зз]и [34] узлы сетки могут двигаться с произвольно задаваемой скоростью, в частности, совпадающей со скоростью частиц среды, либо равной нулю в лабораторной системе отсчета, что отвечает соответственно лагранжеву либо эйлерову описанию. Эти методы более сложны и универсальны, чем эйлеровы или лахранжевы, и потому их реализация на ЭВМ связана с использованием больших вычислительных ресурсов.

Среди внедренных в вычислительную практику алгоритмов хорошо известны методы "частиц в ячейках" (PIG) [37-39] , "частиц конечного размера" [ 40-41 ] , "свободных точек" [42-43] . В методах типа PIC среда внутри разностных ячеек представляется частицами, каждая из которых несет фиксированную массу газа. В методе "свободных точек" в целях устранения сильного искривления ячеек сетки, присущего лагранжевым схемам, соседними в любой момент времени для каждого расчетного узла являются точки, геометрически наиболее близкие ему в этот момент.

Важным преимуществом перечисленных алгоритмов является точное отслеживание границ раздела сред. Однако все отмеченные методы предъявляют повышенные требования к быстродействию и особенно - к памяти ЭВМ для хранения координат частиц.

Консервативные разностные схемы в эйлеровых переменных получили активное развитие и распространение благодаря возможности расчета течений с сильными пространственными деформациями на фиксированных сетках. Эйлеровым методам посвящены многочисленные работы [31,44-71] . Различают схемы с выделением особенностей (ударных волн, контактных разрывов) [5,7,45,60] и схемы сквозного счета [5,12 , 51-53,61-63,70] . Первые позволяют более точно рассчитывать скачки, однако в задачах с течением априорно неизвестной (даже качественно) конфигурации становятся весьма сложными и трудоемкими. Схемы сквозного счета "размазывают" скачки и волны разрежения, однако являются более простыми и экономичными. Они эффективны для многих практических задач, где не требуется очень высокая точность расчета особенностей, а достаточно знать их расположение с точностью до нескольких ячеек.

Одним из первых этапов численного решения двумерной задачи является выбор расчетной сетки. Сетка в области может быть криволинейной (согласованной с формой границы) [5-8,13 J , либо оставаться регулярной вплоть до приграничных узлов [9,51,53,62-63,65-66] . Так, в [65] предложен консервативный граничный алгоритм частичных ячеек для криволинейной и, возможно, движущейся границе, проходящей по прямоугольной неподвижной сетке. Определенные трудности для расчета на прямоугольных сетках с введением дробных ячеек у криволинейной границы представляют задачи о взаимодействии течений с тонкими телами.

Вычислительная практика показала, что наиболее хорошо себя зарекомендовали схемы первого порядка с направленными против потока разностями [13] . Они хорошо отражают физическую картину течения, обладают транспортивностью [13] и достаточной устойчивостью. Основным их недостатком является нелинейная ап-проксимационная диффузия, возрастающая с увеличением скорости переноса и влияющая на степень размазывания скачков. Схемы второго порядка значительно меньше размазывают разрывы, но, как правило, немонотонны. Дальнейшее повышение порядка увеличивает время счета и усложняет реализацию граничных условий, не подавляя, тем не менее, полностью нефизические осцилляции разностного решения. Для их подавления используются многочисленные монотонизаторы или методы коррекции потоков [100-108] .

Отметим ряд новых работ, посвященных разностным методам в эйлеровых переменных, появившихся в последние годы (I98I-I983). В [138, 139] построена консервативная схема уравнений газодинамики, в каждом из которых присутствуют диффузионные члены, полученные из рассмотрения кинетической модели Максвелла-Больцма-на. В [140] предложена неявная схема второго порядка точности для устойчивого расчета ударных волн со специальным выбором члена искусственной вязкости, зависящего от направления характеристик. В [141] построена монотонная схема второго порядка аппроксимации на пятиточечном шаблоне с введением искусственной вязкости из рассмотрения собственных векторов и собственных значений матрицы гиперболической системы уравнений газодинамики. Работа [142] посвящена построению алгоритмов, аналогичных схеме С.К.Годунова [44] , основанных на задаче Римана о распаде разрыва'*

Как дальнейшее развитие понятия консервативности, А.А.Самарским и Ю.П.Поповым был выдвинут принцип полной консервативности разностных схем [3, 4] . Для дискретных моделей, определяемых такими схемами, выполняются не только законы сохранения массы, импульса и полной энергии, но также и баланс отдельных ее слагаемых: кинетической, внутренней (а в схеме магнитной гидродинамики СМЕД) - и магнитной). Принцип нашел широкое применение при построении и реализации эффективных одномерных и многомерных схем газовой динамики и МЕД в лагранжевых переменных [4, 72-75] . В работах В.М.Головизнина, А*А.Самарского и А.П.Фаворского [76-78] был разработан вариационный подход к построению полностью консервативных разностных схем с помощью принципа наименьшего действия по Гамильтону. Результаты многочисленных расчетов практических задач по этим схемам подтверждают их эффективность [80-82] .

Задача построения полностью консервативных разностных схем в эйлеровых переменных, как было уже отмечено, существенно усложняется, по сравнению с лагранжевым случаем, из-за необходимости согласованно аппроксимировать потоки массы, импульса и кинетической энергии. В £83, 89] аппроксимации аналогичного типа были построены для стационарных уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости.

Наряду с конвективными потоками, аппроксимации производных по времени от газодинамических функций в полностью консервативных разностных схемах для системы нестационарных уравнений сжимаемой среды также должны исключать появление дисбалансов, т.е. бы ть с оглас ованными.

В 1978 г. А.В.Кузьминым, В.Л.Макаровым и Г.В.Меладзе впервые построены [85-87] одномерные трехслойные полностью консервативные разностные схемы газовой динамики в эйлеровых переменных и доказана теорема о несуществовании двухслойных схем, обладающих этим свойством. Построенные схемы, имеющие второй порядок аппроксимации по пространству симметричными разностями, были использованы для расчета одномерных разрывных течений [88] . Формально методы обобщаются на многомерный случай, что при параллельном и независимом исследовании было сделано Х.Либерманом [93, 941 • Однако проверка их свойств ограничилась одномерными изотермическими тестовыми расчетами.

На основе операторного подхода А.А.Самарским, В.Ф.Тишкиным, А.П.Фаворским и М.Ю.Шашковым получены полностью консервативные схемы для многомерных уравнений газодинамики, дифференциальные по времени и разностные по пространству [90] . Предложенный авторами подход также приводит к симметричной аппроксимации конвективных произвольных. Кроме того,остается неразрешенным вопрос о согласованной дискретизации полученных схем по времени.

Таким образом, создание более общего и гибкого метода построения в эйлеровых переменных полностью консервативных разностных схем с монотонной аппроксимацией конвективных потоков является актуальной задачей. Кроме того, в условиях ограниченности оперативной памяти ЭВМ существует необходимость экономии на количестве требуемых массивов. Поэтому представляется важным получение согласованных аппроксимаций по времени, приводящих к частично трехслойным схемам, в которых число газодинамических функций, определенных на трех слоях, сведено к минимумуs

В данной диссертационной работе разработан новый метод построения многомерных эйлеровых полностью консервативных разностных схем как на прямоугольных, так и на произвольных криволинейных сетках в терминах операторов достаточно общего вида. Метод основан на так называемой "каскадной" форме аппроксимации временных и конвективных производных, позволяющей получить уравнения баланса кинетической энергии и закона сохранения полной энергии как алгебраические следствия остальных уравнений газовой динамики -неразрывности, динамического и баланса внутренней энергии. Произвол в выборе временных разностных операторов позволяет получить как схемы трехслойные по всем газодинамическим параметрам, так и частично трехслойные: три слоя - по скорости, и два - по термодинамическим функциям (плотность, внутренняя энергия, давление). Эти схемы имеют соответственно второй и первый порядок аппроксимации по времени. Независимо от аппроксимации временных производных, предложенный метод допускает различный порядок аппроксимации конвективных членов. В частности, в одномерном случае построены трехслойные и частично трехслойные схемы с направленными против потока разностями первого порядка, полностью консервативный вариант метода-коррекции потоков [10б] , двухэтапные алгоритмы, аналогичные методам типа [51, 53] . Указанные методы тестировались на серии расчетов модельных задач и показали преимущество перед многими известными схемами при моделировании волн разрежения, не уступая им в области контактных разрывов и ударных волн. В двумерном случае построены два варианта частично трехслойных полностью консервативных схем первого порядка аппроксимации по пространству "вверх по потоку": на криволинейных сетках в области сложной формы и на прямоугольных сетках в ступенчатых областях. При необходимости обобщения на случай криволинейных границ к последнему варианту может быть применен, с соответствующими модификациями, граничный алгоритм [65] . По обеим схемам рассчитан ряд двумерных тестовых задач обтекания, а также дифракции ударных волн на тупых углах.

Перейдем к изложению содержания диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Основные результаты работы докладывались:

- на УШ Всесоюзной школе молодых ученых "Численные методы решения задач математической физики" (г.Львов, 1983 г.);

- на семинаре ВЦ Красноярского госуниверситета (1983 г.);

- на конференции молодых ученых факультета ВМиК МГУ (1983 г.);

- 114

- на Всесоюзной конференции "Современные вопросы физики и приложения", ВДНХ СССР, 1984 г.

Материалы диссертации опубликованы в f95,97-99] . ж х

Диссертационная работа выполнена на кафедре вычислительных методов факультета ВМиК МГУ.

Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность научным руководителям А.А.Самарскому и В.М.Голо-визнину.

Автор благодарит В.А.Гасилова, Б.П.Герасимова, Т.Г.Елизарову, А.Б.Карагичева, И.Е.Краюшкина, С.А.Семушина, О.С.Сороковико-ву и С.Ю.Чернова за полезные обсуждения и помощь при проведении расчетов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Об однородных разностных схемах. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1961, т.1, № I, с.5-63.

2. Самарский А.А. Современная прикладная математика и вычислительный эксперимент. -Коммунист, 1983, If3 18, с.31-42.

3. Попов Ю.П., Самарский А.А. Полностью консервативные разностные схемы. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1969, т.9, № 4, с.953-958.

4. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. -М.: Наука, 1980, 352 с.

5. Численные методы решения многомерных задач газовой динамики/ С.К.Годунов, А.В.Забродин, М.Я.Иванов, А.Н.Крайко, Г.П.Проколов. -М.: Наука, 1976, 400 с.

6. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики/ Под ред.К.И.Бабенко М.: Наука, 1979, 295 с.

7. Любимов А.Н., Русанов В.В. Течения газа около тупых тел. -ч.1. Метод расчета и анализ течений. -М.: Наука, 1970, 283 с.

8. Любимов А.Н., Русанов В.В. Течение газа около тупых тел. -ч.П. Таблицы газодинамических функций. -М.: Наука,1970, 380 с.

9. Белоцерковский О.М., Давыдов 10.М. Метод "крупных частиц" в газовой динамике. -М.: Наука, 1982, 392 с.ю. CouzoLfbt udolcdoft Е., Нееъ М. On ike, iolulcOtii of nontirieoLX kypatSolic oLl f ftzen-tcal efyUCL-tiont951, v.5~, no. 3 , p. 2t/3-2S£T.

10. Самарский А.А. Теория разностных схем. -М.:Наука, 1977, 656 с.

11. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике.-М.:Наука,1978, 698 с.

12. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980, 616 с.

13. Рихтмайер Р.Д., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. -М.: Мир, 1972.

14. Самарский А.А., Волосевич П.П., Волчинская М.И., Курдюмов С.П. Метод конечных разностей для решения одномерных нестационарных задач магнитной гидродинамики. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1968, т.8, № 5, с.I025-1038.

15. Гольдин В.Я., Ионкин Н.И., Калиткин Н.Н. Об энтропийной схеме расчета газодинамики. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1969, т.9, № 6, с.1411.

16. Гольдин В.Я., Калиткин Н.Н., Левитан.Ю.Л., Рождественский Б.Л. Расчет двумерных течений с детонацией. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1972, т.12, № б, с.I606-I6II.

17. Брушлинский К.В., Морозов А.И., Палейчик В.В. Расчет двумерных нестационарных течений плазмы в каналах. -В кн.: Плазменные ускорители. -М., Машиностроение, 1973, с.251-254.

18. Волчинская М.И., Четверушкин Б.Н., Методика решения двумерных нестационарных задач динамики излучающего газа: Препринт № 98. -М., в надзаг: ИПМ АН СССР, 1977.

19. Волчинская М.И., Четверушкин Б.Н., Чурбанова Н.Г. Решение двумерных нестационарных задач РГД с использованием эйлеровых переменных. -Препринт № 33. -М., 1981. -В надзаг: ИПМ им.М.В.Келдыша АН СССР. 16 с.

20. Шульц У.Д. Двумерные конечно-разностные гидродинамические уравнения в переменных Лагранжа. -В кн.: Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967.

21. Рождественский Б.Л., Левитан Ю.Л., Моисеенко Б.Д. Численное решение уравнений гидродинамики в переменных Лагранжа: Препринт № 14. -М., 1971. -В надзаг: ИПМ АН СССР.- 117

22. Софронов И.Д., Дмитриев Л.В., Малиновская Е.В. Методика расчета нестационарных двумерных задач газодинамики в переменных Лагранжа. -Препринт № 59. -М., 1976. -В надзаг.: ИПМ АН СССР.

23. Гущин И.С., Попов ЮЛ. К расчету задач магнитной гидродинамики с учетом фазового перехода. -Журн.вычисл.матем.и матем. физ., 1977, № 17, № 5, с.1248-1255.

24. Белоцерковский О.М., Северинов Л.И. Консервативный метод потоков и расчет обтекания тела конечных размеров вязким теплопроводным газом. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1973, т.13, № 2, с.385-397.

25. Повещенко Ю.А., Попов Ю.П., Самарская Е.А. Об алгоритмах решения уравнений газодинамики с теплопроводностью. -Препринт21. -М., 1982. -В надзаг: ИПМ им.М.В.Келдыша АН СССР, 23 с.

26. Гаджиев А.Д., Писарев В.Н. Неявный конечно-разностный метод "ромб" для численного решения уравнений газовой динамики с теплопроводностью. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1979, т.19, № 5, с.1288-1303.

27. Бахрах С.М., Глаголева Ю.П., Саминулин М.С., Фролов В.Д., Яненко Н.Н., Якилкин Ю.В. Расчет газодинамических течений на основе метода концентрации. -Доклд.АН СССР, 1981, т.257,3, с.566.

28. Бахрах С.М., Жидков И.Г., Рогачев В.Т., Якилкин Ю.В. Численное исследование неустойчивости тангенциального разрыва скорости в сжимаемых газах. -Изв.АН СССР, Механика жидкости и газа, 1983, № 2, с.146-149.

29. Тишкин В.Ф., Тюрина Н.Н., Фаворский А.П. Разностные схемы для расчета гидродинамических течений в цилиндрических координатах. -Препринт № 23. -М., 1978. -В надзаг.:ИПМ АН СССР.

30. Lax P.t). , Weticlzof-f В. Si6-ie.ni6 of cometvirtCon i(LWi.-~ Comm. Риге Appt Ma£k., 19 CO, v. 13, no. Z? p. 21 £-23?.

31. Нох В.Ф. СЭЛ совместный эйлерово-лагранжев метод для расчета нестационарных двумерных задач. -В кн.: Вычислительные методы в гидродинамике. М., Мир, 1967, с.128-164.

32. Франк P.M., Лазарус Р.Б. Смешанный метод, использующий переменные Эйлера и Лагранжа. Там же, с.55-75.

33. Hizi СЖ ,АгУ1бс/вп А.А., Cook J.L. AtSih

34. EaittCOLfb computing fyi&tkod -fol &U -f.£ow &p-tecf&.— J. Cotnput. Pkyl., 19?4, v. /4, no. p. 127- 252.

35. Годунов С.К., Прокопов Г.П. Об использовании подвижных сеток в газодинамических расчетах. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1972, т.12, № 2, с.429-440.

36. Алалыкин Г.Б., Годунов С.К., Киреева И.Л., Плинер Л.А. Решение одномерных задач газовой динамики в подвижных сетках. -М.: Наука, 1970.

37. Харлоу Ф.Х. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики. -В кн.: Вычислительные методы в гидродинамике. -М.: Мир, 1967, с.316-342.

38. Анучина Н.Н. Решение нестационарных задач газовой динамики методом "частиц в ячейках". -Препринт,№ 101. -М., 1976.-В надзаг.: ИПМ АН СССР.

39. Cook J.L, ЪетиЬк. Я.В., Houziow FM. PIC caicu.laicc о/ mult у phase flow. — J. Compni. Pky.4., l9Si, v. 41, no. i, p. Si-6%.

40. Таран М.Д., Таран Т.В., Фаворский А.П. Алгоритм численного моделирования гидродинамических течений с помощью частиц конечного размера. -Препринт № 114. -М.,1979. -В надзаг.: ИПМ им.М.В.Келдыша АН СССР, 35 с.

41. Таран М.Д. Метод частиц конечного размера для моделирования многообластных двумерных задач газовой динамики. -Препринт № 277. -М., 1979. В надзаг.: ИПМ им.М.В.Келдыша АН СССРоп

42. Дьяченко В.Ф .06 одном новом методе численного решения нестационарных задач газовой динамики.-Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1965, т.5, № 3, с.680-690.

43. Подливаев И.Ф. Некоторые вопросы расчета двумерных задач газодинамики на переменных сетках. -Препринт № 52:' -М., 1976.-В надзаг.: ИПМ АН СССР.

44. Годунов С.К., Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики. -Мат.сб., 1959, т.47, вып.З, с.271-306.

45. Годунов С.К., Забродин А.В., Прокопов Г.П. Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной. -Журн.вычисл.матем. и матем.физ., 1961, т.1, 1р 6, с.1020-1050.

46. Годунов С.К., Забродин А.В. 0 разностных схемах второго порядка точности для многомерных задач. -Журн.вычисл.матем.и матем. физ., 1962, т.2, № 4, с.706-708.

47. Гольдин В.Я., Калиткин Н.Н., Шишова Т.В. Нелинейные разностные схемы для гиперболических уравнений. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1965, т.5, с.938-944.

48. Русанов В.В. Расчет взаимодействия нестационарных ударных волн с препятствиями.-Журн.вычисл.матем.и матем.физ.,1961,т.1,№ 2, с.267-279.

49. Русанов В.В. Пространственное обтекание затупленного тела сверхзвуковым потоком газа. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1968, № 3, т.8, с.616-633.

50. Русанов В.В. Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного расчета разрывных течений. -Доюу;.АН СССР, 1968, т.180, № 6, с.1303-1305.

51. G-ек-Ьгу fl. A., Maz-tCft Я-Е., Йсь^у В-Т. Ah, Eu.ieUa.ri oLcf-fezenccn,^, metkoo/ /ог а.п&'Ье.ас!^ с.опър1&ьи@1е ^ow ргоНет.- J- Comj°u,t. Ptyi., 19£6, v. £ , no. i , p.8?-Ш.- 120

52. M&c-Cotmack ИЖ The. effect vf trUcosMy isi kyp&bveiocity. impact сго.-ЬегСп^.-A IAA P&pei, i9C9, 69-Z5S.

53. Белоцерковский O.M., Давыдов Ю.М. Нестационарный метод "крупных частиц" для газодинамических расчетов. -Журн.вычисл.матем. и матем.физ., 1971, т.II, № I, с.182-207.

54. Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Течения газа в соплах. -М.: Изд-во Моск.ун-та, 1978. -351 с.

55. Архангельский Н.А., Киреев В.И., Пирумов У.Г. Методы установления и сквозного счета разрывных решений уравнений газовой динамики и их алгоритмы. -М., 1981. -В надзаг.: MBGC0 СССР, Моск.авиац.ин-т им.Серго Орджоникидзе. -37 с.

56. Магомедов К.М. Метод характеристик для численного расчета пространственных течений газа. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1966, т.6, № 2, с.313-352.

57. Магомедов К.М., Холодов А.С. 0 построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на основе характеристических отношений. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1969, т.9, № 2, с.273-286.

58. Косарев В.И., Магомедов К.М. Дивергентная разностная схема для расчета сверхзвуковых установившихся течений сложной структуры. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1973, т.13, № 4, с.913-927.

59. Холодов А.С. 0 построении разностных схем с положительной аппроксимацией для уравнений гиперболического типа. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1978, т.18, № 6, с.1478-1492.

60. Забродин А.В., Черкашин В.А. Расчет течения в окрестности донного среза. -Препринт № 150. -М., 1982. -В надзаг.: ИПМ им.М.В.Келдыша АН СССР. 18 с.

61. Иванов М.Я., Крайко А.И., Михайлов Н.В. Метод сквозного счета для двумерных и пространственных сверхзвуковых течений.- 121 -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1972, т.12, №2, с.441-463.

62. Давыдов Ю.М., Расчет обтекания тел произвольной формы методом "крупных частиц". -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1971, т.II, № 4, с.1056-1063.

63. Давыдов Ю.М., Скотников В.П. Исследование дробных ячеек в методе "крупных частиц". -М.: ВЦ АН СССР, 1978, 72 с.

64. Отрощенко И.В., Федоренко Р.П. Разностный метод расчета течений газа в канале произвольной формы. -Числ.методы мех.сплошной среды, 1974, т.5, № I, с.98-111.

65. Семушин С.А. Консервативные граничные условия для метода "Крупных частиц". -Препринт № 61. -М., 1980. -В надзаг.: ИПМ им.М.В.Келдыша АН СССР. 18 с.

66. Семушин С.А. Численное моделирование двумерного течения газав области с движущимися границами. -Препринт Jf° 37. -М., 1983. -В надзаг.: ИПМ им.М.В.Келдыша АН СССР. 26 с.

67. Герасимов Б.П., Семушин С.А. Расчет на неподвижной эйлеровой сетке обтекания тел изменяющейся формы. -Дифференц.уравнения. Минск, 1981, т.ХУП, с.I2I4-I22I.

68. Герасимов Б.П., Семушин С.А. Анализ некоторых численных методов газовой динамики на неподвижных эйлеровых сетках. -Препринт № 38. -М., 1983. -В надзаг.: ИПМ АН СССР. -26 с.

69. Яненко Н.Н., Ковеня В.М. Разностная схема для решения многомерных уравнений газовой динамики. -Докл.АН СССР, 1977, т.232,6, с.1273-1276.

70. Жмакин А.И., Фурсенко А.А,.Об одной монотонной разностной схеме сквозного счета. Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1980, т.20, № 4.

71. Бабаков Л.В., Северинов Л.И. Стационарный вариант метода потоков для решения задач механики сплошной среды. -Журн.вычисл. матем.и матем.физ., 1976, т.16, № I, с.140-151.

72. Попов Ю.П., Самарский А.А. Полностью консервативные схемы для уравнений магнитной гидродинамики. -Журн.вычисл.матем. и матем.физ., 1970, т.10, № 4, с.990-998.

73. Самарский А.А., Дородницын В.А., Курдюмов С.П., Попов Ю.П. Образование Т-слоев при торможении плазмы магнитным полем. -Докл.АН СССР, т.216, № 6: с.1254-1257.

74. Арделян Н.В., Гущин И.С. Полностью консервативная разностная схема для расчета двумерных осесимметричных течений магнитной гидродинамики. В кн.: Разностные методы математической физики. -М.: Изд-во МГУ, 1981, с.59-68.

75. Мажорова О.С., Попов Ю.П. 0 полностью консервативных схемах для двумерных уравнений газовой динамики. -Дифференц.уравнения. Минск. 1979, т.ХУ, № 7, с.1318-1331.

76. Головизнин В.М., Самарский А.А., Фаворский А.П. Вариационный метод получения разностных схем для уравнений магнитной гидродинамики. -Препринт № 65. -М., 1976. -В надзаг.: ИПМ АН СССР, 62 с.

77. Головизнин В.М., Самарский А.А., Фаворский А.П. Об аппроксимации вариационно-разностных уравнений гидродинамики. -Препринт № 34. -М., 1977. -В надзаг.: ИПМ АН СССР.

78. Головизнин В.М., Самарский А.А., Фаворский А.П. Вариационный подход к построению конечно-разностных моделей в гидродинамике. -Докл.АН СССР, 1977, т.235, № 6, с.1285-1288.

79. Фаворский' А.П. Вариационно-дискретные модели уравнений гидродинамики. -Дифференц.уравнения, Минск, 1980, т.ХУ1, № 7, с.1308-1321.

80. Головизнин В.М., Самарский А.А., Фаворский А.П., Коршия Т.К. Численное моделирование МГД задач на основе вариационного подхода. В кн.: У1 Международная конференция по численным методам в гидродинамике. Тбилиси, 1978, т.П, с.81-99.- 123

81. Головизнин В.М., Коршия Т.К. и др. Численное исследование разлета-шлазмн в магнитном поле. -Препринт № 61. -М., 1980. -В надзаг.: ИПМ АН СССР, 64 с.

82. Головизнин В.М., Коршунов В.К., Куртмуллаев Р.Х., Малютин А.И., Самарский А.А., Семенов В.Н. Численное исследование ударного нагрева плазмы в компактном тороиде. -Препринт3656/16. -М., 1982. -В надзаг.: ИАЭ им.И.В.Курчатова, 27с.

83. Atdk(iwci A- Competing cie.6Lg.rL j-оъ iotbjL-'bewi. /utmer.ica.1 1пЬео,ъоЛСо1ь о/ Оъ& e>(jjCLa,tUri of /iuUa пьо-Ьсоп: Two-dCmensi-otULt CncompzeuiSle f-iow. -J. CompLci. Phui.} 1966}v. i.noJ,р.119~

84. Попов Ю.П., Самарский А.А. Полностью консервативные разностные схемы для уравнений газодинамики в переменных Эйлера. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1970, т.10, Ш 3, с.773-779.

85. Кузьмин А.В., Макаров В.Л., Меладзе Г.В. 0 полностью консервативных трехслойных разностных схемах для уравнений газовой динамики в переменных Эйлера. -Докл.сем.Института прикл.матем. Тбилис.гос.ун-та, 1978, т.12-13, с.37-89.

86. Кузьмин А.В., Макаров В.Л., Меладзе Г.В. Об одной полностью консервативной разностной схеме для уравнений газовой динамики в переменных Эйлера. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1980,т.20, № I, с.171-181.

87. Кузьмин А.В., Макаров В.Л. Об одном алгоритме построения полностью консервативных разностных схем. -Журн.вычисл.матем. и матем.физ., 1982, т.22, № I, с.123-132.

88. Кузьмин А.В. Численное исследование одномерных неравновесных течений газа в ударных трубах. -Деп.ВИНИТИ № 2858-82 Деп./.

89. Моисеенко Б.Д., Фрязинов И.В., Полностью нейтральная разностная схема для уравнений Навье-Стокса. -В кн.: Изучение гидродинамической неустойчивости численными методами. /Под ред. А.А.Самарского. -М.: 1980, с.186-209.- 124

90. Самарский А.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Разностные аналоги основных дифференциальных операторов первого порядка. -Препринт № 8. -М., 1981. В надзаг.: ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, 29 с.

91. Головизнин В.М., Коршунов В.К., Таран М.Д. Об аппроксимации дифференциальных операторов на нерегулярных косоугольных расчетных сетках. -Препринт № 157. -М., 1981. -В надзаг.: ИПМ им.М.В.Келдыша АН СССР, -33 с.

92. Li-&e,rLnULn.h- Н. Ein, Lon,vezo^e.h.-be$ £)lf/ete,n.byen.vret-faAzerL £tit die G-leicLcc^efb aet Ну d го dynamic.— f\fccme.rcske

93. B-ek. von. Юс M.~L. Uncv. Иа£ёе~

94. Lthtfrucnn И. Zur, Вегескип-р cnsidico^itez котръе?и{£еz Gcls-utid- F£iiSit^.ku6ssl'cdm.un^.efi: £>Css. ftt. —fCa.ti-Ma.tx- Slo-d-l, Fak. fat Math, und A/cc,t.,i981, /09s.

95. Головизнин B.M., Рязанов M.A., Сороковикова O.C. Полностью консервативные дифференциально-разностные схемы газовой динамики в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных. -Препринт19. -М., 1982. -В надзаг.: ИПМ им.М.В.Кедцыша АН СССР. -18с.

96. Головизнин В.М., Рязанов М.Д., Сороковикова О.С. Одномерные полностью консервативные разностные схемы МГД в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных. -Препринт №3747/16 . -М., 1983. -В надзаг.: ИАЭ им.И.В.Курчатова.

97. Головизнин В.М., Краюшкин И.Е., Рязанов М.А., Самарский А.А. ; Двумерные полностью консервативные разностные схемы газовойдинамики с разнесенными скоростями. -Препринт № 105. -М.,1983. -В надзаг.: ИПМ им.М.В.Келдыша АН СССР. -35 с.

98. Головизнин В.М., Рязанов М.А., Самарский А.А., Сороковикова О.С. Полностью консервативная коррекция потоков в задачах газовой динамики. -Докл.АН СССР, 1984, т.274, № 3, с.553-560.

99. Головизнин В.М., Рязанов М.А., Самарский А.А., Сороковикова О.С. Разностные схемы газовой динамики со сбалансированными аппроксимациями конвективных потоков. -Препринт № 56. -М.,1984. -В надзаг.: ИПМ им.М.В.Келдыша АН СССР. -30 с.

100. Колган А.П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики.,-Уч.зап.ЦАГИ, 1972, № 6,

101. Ж. G-e/ievaCij&iio/i o-f tfa mebh.oct.-J.Compu.-L. Pkys. Л9*6~,v. 18, (го. 3, Р-2Ц8-2СЗ.

102. Sozis J.P., Book 2). L- FliLK-cotteeieci -Ьгаи1£рог+. Ж. Mcninuid, wtois OL^obitkmi. J. Compctl. PL^s., /9 7g/ v.20;mo.3 , p. 39?-431 .

103. Борис Дж.П., Бук Д.А. Решение уравнений непрерывности методом коррекции потоков. -В кн.: Управляемый термоядерный синтез. М., Мир, 1980, с.92-141.

104. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. -М.: Наука, 1973.

105. НО. Шокин Ю.И. Метод дифференциального приближения. -Новосибирск: Наука, 1979, 222 с.

106. Ивандеев А.И. Об одном способе введения псевдовязкости и его применение к уточнению разностных решений уравнений. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1975, т. 15, №2, с.523-527.

107. Головизнин В.М., Самарский А.А., Фаворский А.П. Об искусственной вязкости и устойчивости разностных схем гидродинамики. -Препринт № 70. -М., 1976. -В надзаг.: ИПМ АН СССР.

108. Крайко А.И., Макаров В.Е., Тилляева Н.И. К численному построению фронтов ударных волн. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1980, т.20, № 3, с.716-723.

109. Головизнин В.М. Об одном способе введения искусственной диссипации в вариационно-разностные схемы магнитной гидродинамики. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ., 1982, т.22, № I,с.144-150.

110. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. -М.: Физматгиз, 1966, 632 с.

111. Кестенбойм Х.С., Рооляков Г.С., Чудов Л.А. Точечный взрыв. Методы расчета. Таблицы. -М.: Наука, 1974, 255 с.

112. Седов Л.И. Методы подобия и размерностей в механике. -М., Наука, 1972.

113. Cotomioubh , Catol/iet J.H. SkocL wcure. ytofoa^diccfb in. ctn 1/i^om.o^e/teous meoLcum. ^Cn.de diffete.ttx.es. X Conybu,-6. Pky*., {976, iл 21, no. S, p-383 -395~.

114. Czcuxiotb МсСго*^ Ц.Ь. A stmpie le-sorulfuj. -be.clbtti<fyU.e. ■fo'L. Luse urutL тЬ^ FC T dt^otCifvrrL ■ — -J Comf>id. Ptys. , <979, v. 33, no.3, f-432-440.

115. Головизнин В.М., Симачева О.Г. Об одном методе построения расчетных сеток в областях с криволинейными границами. -Журн.вычисл.матем.и матем.физ.,1983,т.23,1 5, с.1245-1249.

116. Белоцерковский С.М. Некоторые особенности сверхзвукового обтекания тел с угловой точкой. -В кн.: Труды ВША им.проф. Н.Е.Жуковского, вып.1137. -М.:ВВИА,1966, с.69-76.

117. Губчик А.А. Некоторые результаты применения теневого метода для определения плотности в осесимметричном сверхзвуковом потоке. -В кн.: Труды ВВИА им.проф.Н.Е.Жуковского, вып.1198. -М.: ВВИА, 1966, с.64-86.

118. A.F. An evT^iu/vtcon. o-f seireta-i о/о^ггепесн.^, nvoMwcL -^ot. Crutri&cCcL -ficUct /■&> ur jo4U)iiem. —X Compui. Phys. , i9€X> v. 2, n.o 3. 33 i.

119. Голубинский А.И. Набегание ударной волны на клин, движущийся со сверхзвуковой скоростью. -ПМиМ, 1964: т.28, вып.4,с.631-637.

120. Колган В.П. К задаче о дифракции ударной волны на клине," движущемся со сверхзвуковой скоростью. -Изв.АН СССР, Механика жидкости и газа, 1971, № 6, с.23-29.

121. Головизнин В.П., Менде Н.П., Жмакин А.И., Фурсенко А.А., Комиссарук В.А. О распространении ударных волн в плоских и осесимметричных каналах. -Препринт № 709. -Ленинград, 1981. -В надзаг.: Физ.тех.ин-т АН СССР им.А.Ф.Иоффе. 50 с.

122. Шанкар В., Кутлер П., Андерсон Д. Дифракция ударной волны тупым углом: П. Одинарное маховское отражение. -Ракетная техника и космонавтика, 1978, т.16, № I, с.7-9.

123. Прикладная газовая динамика. /Под ред.С.А.Христиановича. -М.: ЦАГИ, 1948, 148 с.

124. Курант Р., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. -М.: Изд-во иностр.лит., 1950, 426 с.

125. Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. -М.: Изд-во иностр.лит., 1961, 588 с.

126. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. -М.: Мир, 1975, 392 с.

127. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. -М.: Наука, 1978, 736 с.- 129

128. Марчук ГЛ. Методы вычислительной математики. -М.: Наука, 1980.

129. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. -М.: Наука, 1981.

130. Волчинская М.И., Павлов А.Н., Четверушкин Б.Н. Об одной схеме интегрирования уравнений газовой динамики. -Препринт № ИЗ. -М., 1983. -В надзаг.: ИПМ им.М.В.Келдыша АН СССР. 12 с.

131. Елизарова Т.Г., Павлов А.Н., Четверушкин В.Н. Использование кинетической модели для вывода уравнений описывающих газодинамические течения. -Препринт № 114. -М.: 1983. -В надзаг.: ИПМ им.М.В.Келдыша АН СССР. -12 с.

132. Psutdlo-tobslzot-cly. 4с,к.елъе€ •f-o'c oLcscon,tcn-tous boluybions of ьЬ&сцЛу. iioute. г oa-e -oLcmefbsco/ta.6 ^-SuCcl d^tLCtmits pzoStems. - J- Com put. Pky^s., £981} v- ,

133. Ha^i&n. A. Hi^k 'b&sotu.bCon schemes ^oz. kype-z-floicc tonsezmL-bCoti — J. Coen(>cui. Pk^s., t§83, \s-V9, no. 3, p• -39 3