О сходимости разностных схем для двумерных уравнений газовой динамики в переменных Эйлера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

АКАДЕШЯ НАУ1{ ГРУЗИИ институт вичнслитшной НАТШАТШШ им. Н.И.ИУСШШВШИ

о сходимости разностных схем для двумерных уравнений

ГАЗОВОЙ Д!ШЖЙКЙ В ПЕРШИИХ ЭЙЛЕРА 01.01.07 - шзислптв.лшая математика

Авторофзра?

диссертация на оояскагаэ ученой степмш катизквта фпзгасо ■-математикеигах нэ?й

Нз правах рукописи

ДЖГАШЩЗЕ Ншо Отаровна

УДК 519.6:533.6.011:533.5

Тбплясп - 18ЭГ

Работа выполнена на кафедре математического обеспечения SE! Тбилисского государственного университета им. И.Джавазшгошш.

Научный руководитель ■ - кандидат физико-математических ' • наук, доцент Меладзе Г.Б.

Офшшелыше оппоненты: доктор физико-математических

нале Л'еваноЕ ЛЗ.И. кандидат физико-математических наук Схкртладзе H.H. 0

Ведущая организация - Московский государственный

университет ш. Ы.Ломоносова, механико-математический факультет

Защита состоится " -S '< /г 1991 г. в часов

на заседании специализированного совета К 007.05.01 в Институте вычислительной математики им, Н.И.Мусхелтвшш АН . Грузия по адресу: 380093, Тбшшси-93. ул. ¿курская, 8.

л

С диссертацией кокно ознакомиться в библиотека Института шчасдительной ^тематики им. Н.М.Мусхелшшиш АН Грузик.

Автореферат разослан "" i ^ /«у:"'^ 1991 г.

Ученый секрэтарь стшгзлизированкого

ссвота, кандидат фаз.-мат. наук HtyftCi. Н К.Чухрукядзе

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Как известно, с помощью системы уравнений газетой .динамики моделируются процессы, протекающие в спжижых легкошдвиюшх средах. Система уравнений газовой динамики - это гиперболическая сиитема законов сохранения. На сегодняшний день математический аппарат исследования общих квазилинейных гиперболических, уравнений первого порядка недостаточно развит - нет универсальных методов исследования. В силу нелинейности системы уравнений иочги единственным эффективным и универсальным способом их решения в настоящее время- являются численнне метода.

Основной целью работы является разработка и обоснование • Численных методов для реяения двумерных уравнений газовой динамики в Эйлеровых переменных и их применение к некоторым гидротехническим 'задачам, возникатим тгри строительстве и эксплуатации плотин и водохранилищ в горных я предгорных районах, отличающихся, в рада с^учаёй» сложными геологическими й сейсмическими условиями.

Методика исследования заключается в использования аппарата теории разяоетшг схем, метода'. энергетических нэравеаств, теории квазилинейных гшерезоллчбеких систем уравнений первого порядка и обыкновенных двф&реншодышх уравнений. Прй решении прикладных задач использована теории дайсоЙ воды и волн малой амплитуды в двумерном случав.

Научная /рвизна и теоретическая ценность работ«. Построены полностью консервативные трах- и двухалоШше разностные йхемы для двумерных уравнений газовой динйкини с переметай Э'йдерз. Рязностные схема расщепления вектора потока для двумерных

уравнений межой вода построены '"методом нелинейной,

регуляризации полностью консервативных разностных схем. >

Доказана сходимость ' полностью консервативной

дифференциально-раз .остной схема и случае, когда исходная

задаче Кошм для уравнений газовой динамики идеального газа

имеет гладкое, периодическое но пространственным переме^лнш,

решение. Доказана сходимость двухслойной полностью

консервативной разностной схемы в случае изотермического газа.

Дана оценка скоростей „ходимости, доказано существование и

единственность решений как дайеренциально-разностной: схемы,

так и двухслойной полностью консервативной разностной схемы.

Построены, и при помовд предложенных разностных схем численно

реализованы, математические модели формирования поверхностных

волн в водохранилище в результате обвально-оползневого прягесса

у его бортов и прорывных- волн при возможном разрушении шотины.

Практическая ценность работы. Полученные в диссертационной

работе результаты могут найти применение для решения вата

прикладных задач газодинамики и гидродинамики, а 'также

гидростроительства.

Апобация работы:. Основные результаты диссертации

неоднократно докладывались на семинарах кафедры математического

обеспечения ЗВЫ ЧТУ и Института зычислительной математики им.

Н.ИДусхедишвшго (1983-1990 гг.), на конференции аспирантов и

м>лодых учены* факультета кибернетики и прикладной математики

i

ТГ-У (1988 г.), 13 Вг.ясоюзнях конф?р<?ччяях "Оовревднине проблемы

о

численного «деелтч* (Дшдастн, 1980 г. и Тбилиси, Г0..-9 г.), на "бьедговвим .ст. юр)"* тогигуто'" тмч: миттель««!* математики Мпскпч. Вильнюс, и Тбилиси Мкнск, ТЖ г. ), на VT níi

'•и Широкой шкапе "PH'iv'MTwr^iit-nan мятг.мтгута- То^рип v нр^'П!!'^1,

(Шяосибирск, 1989 г.).

Публикации. По материалам диссертации отублгосоваио V работ.

, Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего ТОГ наименование. Работа изложена на 153 страницах машинописного текста, содержит 25 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

. В первой главе рассматривается вопрос построения полностью ■"'кЗнсерватившх разностных схем для двумерных уравнений газовой динамики в переменных Эйлера и разностных- схем раппвшиния вектора поточа для двумерктх уравнений мелко., воды.

В п. 1.1 в ^области С^ = (а^,^. строится полностью

консервативная трехслойная разностная схема с весами.

В п. 1.2 строится полностью консервативная двухслойная

разностная схема с изменящимися в пространстве и временя

весовыми Множителями..

В п. 1.3 методом нелинейной регуляризации построенной в

п. 1,2 двухслойной полностью консервативной разностной схемн

газовой динамики получена схема расщепления вектора потока для

двумерных уравнений мелкой вода.

Во второй главе рассматривается задача Кого для системн

двумерных уравнений газовой динамики в эйлеровых переменных для

идеального газа с источниками или стоками: ар д а

— + — Ш + — р7 = 1. (XV, 1),р,и,?.<>), (О.П

дь дх оу 1

1 <?р Рй

<?и 1?и 5ц — + и — + 7 — дЬ дх 0у

дч сН . дч 1 ар

ат гу Рау 3

дХ

(0.2) (0.3)

д ( и + У 1 д ( и + V* * - £ +--I + Ц — 18 + -- |

дх I г j дг [ г )

г, 7г

д

+ 7

г ? ие+ У*1

6 4-

<?У I 2 = 14(х,уЛ,р,ил,е),

8 + 1

+

+ Р

д д — рп + — ру вг «?у :

О

(ОД) (0.5) (0.6)

С с -- -Т-1 р

р(х,у,0)=ро(г,у), и(х,у,0)=и0(х,у), 7(х,у,0)=У0(х,у), е(х,у,0)=ер(х,у), где р - плотность, и к у - компоненты вектора скорости,., р -давление, е. - -удельная внутрэняя анергия газа,. 7 адабатическая постоянная, г - время, Гр 1 . -Тд - функции, описывающие источники таи стоки массы, импульса и -внутренней энергии, соответственно.

В й. 2.1 формулируется изучаемая задача. Для системы (0.1М0.6) задаются периодические начальные условия, т.е. ра(х,У). 11(3 (х,у), У0(х,у), е0(х,у) достаточно гладкие периодические Функции с периодом Ь1 по переменкой х, и периодом ло переменной у:

с(г,у) = + йЦ.у) = а(х + пЬ1 ,у + т!^), г(х,у) - а(х,у + т!^) » з(г + пЬ^у + тЗ^), где п к т - целые числа, а г - любая из функций р0, '-¡0, г^, V,, и рассматривается полностью консервативная' диЗфэреншально-разностная схема >'

dp

dt

+ ( pu ). + [ pv ). - t,. (0.7)

du r •,

P:;+ l(Pu>(o.5)(+VV|

dt

(0.5)

r i (P-t.P?)

+ [(Ру)(о75)(+,г)иу](0Г5)4 P¿ -4

(0.8)

üv r -,

P + [(Pu>(0.5)í+11)7xJ(0.5)^

г i <01.Pp>

+ [(Р7)(03)(+12)7у](03)+Py (0-9)

0.5 p£t+ pe^J + 0.5 [(pu)(4t1)sx t (pu)(-1.,)e-j + + 0.5 [(pv)(+12)ey (pv) (-11 )e-j +

p(lh,3h,0) = p0<ih,3h), u(ih,Jh,0) = u0(lh,Jh). ■ v(ih,jh,0) = v0tth,jh), edh.jh.O) = e0(ih,,|h). где функции

p = pdhjh.t), u s udh,Jh,t), ? ? v(ih.jh.t),

e « 8{Ih.3hit>, f, г f, dhjh,p,u,r,s), 1=T7?, 1 o1

опредэлеш в области D - и „xfO.'Tl. При зтом для некоторых

h

натуральных и U? выполняются равенства ТТ., h - Ь, и II£h = Lg.

В п. 2,2 приводятся и доказываются пекоторт!^ вслоиогагвлышв утверждения, необходимые да далытейапга пзлоквштя.

В я. 2.3 методом энергетических неравенств оцонивачтея погрешность решения задачи (ОЛ)-(О.б).

В п. ¡>.4 применяя теорему о продолжении рокеггоя дл;«

обыкновениях. дйфХерчмталыш. ураяжштй, а тягая сцонкв,

i

'»олученшо в п. 2.3, локпзнвав-гся елвлунвдя т<?орэмя «

сходимости.

Теорема I. Пусть выполнены условия, которне в области 0= {(X,y,t): Х<=(-оо,+а>), уе(-о>,+га), tetO.T]} ■ гарантируют существование периодического по х и у гладкого решения класса С3,3,1(0) задачи (O.I)-((L6). Пусть тага® функции 1L, 1=0. удовлетворяют условию Липшвда относительно переменных р, u, v, е. Тогда:

а) (локальная сходимость) - существует t* такое, что для К - const > 0' при h < Н решение задачи (0.7)-(0.п) существует и единственно на fO,t*), а также имеет место оценка:

vT-uf-^2 ' Р2

о L Pd

+ | u J2f s V ц2+

li-'l-

0(1H, (0.12)

S P Sc- Й u S v йс. 8 e «0 = 0(b); (0.13)

ч) (глобальная сходимость) - для любого 5 можно подобрать

> .> *

постоянную Р(Т) такую, что если погрешность аппроксимаций задачи (0.7)-(0,13) ] ф J удовлетворяет условий

I Ф 8 s В(Т) h2,

то существует Е = const > 0, такое, что при h £ Е решение задачи (0.7)-(0.il) существует и единственно на tO.T], а также имеют место оценки (0.1£; и (0.13).

В третьей главе для системы двумерных ур --.¡нений газовой •динамики в изотермическом случае: зР аз1 д!г

_ + - + = f /Х( ; р j J )

<?t && ду 1 1 2

% а

31 ^ дж

at + si

су-

ду

Мг

Рэ

р

<?у

р

+ сйр

3,= pu, рт, (0,14) = foU.t.p,^ J2),(0.15)

о

= fjU.t.p.d, J2),(Q.(6)

д

р(х,у,0)=ро(х,у), ^(Х.У.О^дСХ.У). ¡¡2(х,у,0)=;)20(х,у),(0.17> где с>0 - изотермическая скорость звука, Гр 1=1,2,3 - функции, озисываидие источники или стоки массы и импульсов, соответственно, а р0, 310 и 320 достаточно гладкие периодические функции с периодом Ь1 по переменкой х и Ь2 - по шрегяенвой у, рассматривается сходимость полностью консервативной двухслойной разностной схемы.

В п. 3.1 для система (0.14)-(0.17) рассматривается

двухслойная полностью консервативная разностная схема с одним

свободным параметром 0<а<1: (а) (а) 3Ь + тх +пу

mt+

Р t+

,(а)

(0(2))

'п(ЧВГ(в))].+

Р (а)

+ Сс В"

Л. ¿

Tu*

l"](0(3>>] *'k:a) [~](0(3))]4

2 (а) * c Ц

= f.

Э1г'

B<lb,3h.oj.e р0СШ,31г), a(lh.jh,0) =» í10(lhjh),

(0.18)

(0it9)

(0."0) (0.2!)

n(llt,3íl,0) = d20(lh,Jh.). 1=0,11,, 3=0,H2. ■где 0(3) = zl/2/(21'/'2+ z1/"2), a сеточные функции a, m, n, rih* (1=I»2.3) аппроксимируют, соотЕзтственио, функции р. .1.,, 32, flh (1=1,2,3) и определены в области Г^ = х

В й. 3.2 методом энергетических неравенств Оценивается погрешность решения задачи (0.18)-(0.21).

В п. 3.3 применяя оценки, полученные ,в п. 2-й, доказывается следукгоя теорема о сходимости:

Тзорама 2. Пусть для рекешя задачи (0.14)-(0.17) выполнены условия, которые гатзантируйт существование

пзриоднческого (по перемешали х и у) решения, функции p(x,y,t), ¿,(x,y.t), 32<x,y.t) принадлежат классу

C3,3'3{(-®,+co)x(-<a,+oo)xíO,I3}, а таете суцествует такая постоянная д > О, что píx.y.t) £ fi при (x,y,t) е 0, функции f1, fg и f3 удовлетворяют условию Липшица относительно переменных р, 3., , с постоянной X > О я t=h ^ (e2=con3t>0). Тогда справедливы следующие утверждения:

1а) (локальная сходимость) - существует t* такое, что для К = const > 0 при h < Е решение задачи (0.I8M0.2I) сщотщеч яв to,t*3, а тает© имеет место оценка:

W Л/ tV 1—€

I Р 1G. I U |0, | У S0 = 0(h 2); (0.22) 16) (глобальная сходимость) - для любого Г можно подобрать

постоянную В(Т) такую, что если погрешность аппроксимации

задачи (0.I4M0.I7) Ш удовлетворяет условию й В(Т) h2,

то существует li = const > 0, такое, что при' h < .й решение

задачи (0.18)~(0.21) существует на [0,f],.а таете имеет место оценка (0.22).

2) Рэшение единствеяно в том смысле, что любые два решения,

Ъ >« • 3S 35

удовлетворяющие неравенствам S т , ¡J^l s S 4 •

1-1,2 где S в шах С supjpl, eupi|, supl32l > совпадают;

ü 3 й |

3) ¡Решение задала? (0.18 МО. 21) сходится к- реванша зада'

' ' 2-26 (0.14)-(0.17) в сеточной норме L¿ со скорость« 0№ 2).

Здесь же приводится аналогичная теорема о сходимости

разностной схема расиепления вектора потока для даумершх

уравнений «елкой воды: ' . , ' ;

; - > t Теорзмг, 3. Пусть для решепия задачи , » ■ <50 0

' С Л~ Fj^Q) = й(<1). (0.23)

Н(х,у,0) = Н0(х,у), = 31П(х,у),

10

.12<х,У,0)-= 320(Х,У). ]=0.яг

(0.24)

где

О = ( Н > . 3-р Ни,, 32= Ни2,

ик СЗс=Х.П-) - компоненты вектора скорости.

?1 (0)

г2(0)

1(0)

&1г

*

вн*

«Я ЙЗ

Г,-г- £ — , в —

, О

Гк №=1,2)

1 ■ _

ойга трения о дао, сТр~ коэффициент трения, а -ускорение свободного падения, - Б = 3(х1,х2) - функция, ошстеатеая рельеф та, вы жмш условия, .которые гаравтпруот существование периодического (да хйрекешшм х и у) реиения.

тгршшдшж ■ классу

функция II(х,у .1), Зк(2 ,у,)

-Рг'25

С3'3,3{(-«,+!»)х{-»,-4))х(0,Т]),^5" также существует та':ая постоянная:5 > 0. что П(х,уД) > 5 при (я.уД) ■-■ 0. Тогда существует Ь0>0 такое, что прп 1 ^ й0 справедливы утвзрздейяя:

I) Рашние разностной задачи

0+ + Е (Рк«3,а,а))- = Е «иО))уг + ШО). (0.2^ т' к-1,2 к ■ к=1,2 к

шь.зь.о) = 3,(111,№,05 г, зш(гл..ц1),

; , . --- (0,2б)

32<:№.Л1,0) = ,120(11г,;Гл), 1=0,^, 3=0,Н2.

на интервала [О,ТЗ существует;

•2) Решенй'З единственно а том с?,теле, что любые два реечннп.

удоаяе творя щиэ н«рэтаю г вам

4 < Ь

3 +

1,1 л

яс

4~

к--1 ,г

(0.27)

-iz-

где

S = max { supíHt, suplJ.,!- sup|j2i } й ü 5

совпадают;

3) Решение задачи (0.25)-(О.26) сходится к решению задачи (0.23)-(0.Я4) в сеточной норке со скоростью 0(ii2-2e).

В четвертой главе рассматриваются математичес.ше модели, основа1шне на теориях волн малой амплитуды и мелкой вода для процессов волнообразования в водохранилищах в результате обвально-оползневых процессов у его бортов и формирования волн прорыва при разрушении плотин,и методы их численного решения.

В п. 4.1 рассматривается модель образования поверхностных волн в водохранилища в результате обвальйс-ошлзшвшс явлений у его бортов на основании теории волн малой амплитуда для схематизированного в виде прямоугольника или прямоугольного паралеллэпмеда (соответственно, в плоском и пространственном случаях) водохранилища.

В п. 4.2 строится математическая коде ль образования поверхностных волн на основании тлории межой воды с учетом рельефа дна и геометрии области.

В п. 4.3 приводится сопоставление результатов, полученных с помощью описанных моделей при волнообразовании в гидролотках, р, такко их сравнение с лабораторными наблюдениям:. Эти сопоставления показывают, что в целом процесс волнообразования' в области правильной гоомо^рическо* формы (прямоугольный параллелепипед) достаточно хорошо описывается моделями, построенными как в рамках теории волн малой амплитудатак и в pwKax теории межой во;ш. Однако, как показ-эли расчеты, для уч«га реальной формы вддоёмл и рельефа 'дна, _ целесообразней

применить модель, основанную на теории мелкой вода и но определять правила, по котором' конкретный „водоём долзюн приводится к прямоугольному параллелепипед., что вносит дополнительную, часто достаточно большую, погрешность в окончательный результат. Заметим также, что при определении соотно-енкях С/Н, где Б - толадана обвального тела, а II -глубина лотка, параметры, получ нные на основании теории мелкой воды хорошо совпадают с результатами натурных экспериментов, чего нельзя сказать об аналитических решениях, полученных на основании теории волн малой амплитуда.

Здесь ке приводятся результаты расчета, предложенной в и. I.?. полностью консервативной разностной схемой, параметров обвальных волн для Гетикского тодохрашитща.

В п. 4.4 рассматривается задача о формировании прорывной волны при возможном разрушеыга плотины и "о. .эстав-пение результатоь расчета по предложенной в п. 1.2 полное.ьп консервативной разностной схеме и предложенной в п. 1.3 разностной схеме расщеплеш-ч вектора потока с лзвестными результатами расчета для йинвальского водохранилищ. Приводятся также результаты расчета параметров прорывйой волна для одного гидроузла в ¡¡лаковой постановке задачи.

Основные результаты диссертационной работы: I. Для двумерных уравнений газовой динамики в перемешшх Эйлер? построзны полностью консервативные трех- * 'двухслойные разностные схеш , ч тай® разностные схемы расщепления вектора потока для двумерных уравйыэдй межой воды с помощью нелинейной

«рогуляризащш. Доказана сходимость построенных лйф&е^нцияльно-о

разностных и разностных схем в случае, когдь исходная заяячэ имеет гладкое, периодическое по пространств ¡тым перемзмшм,

- и -

решете. Дат оценка скоростей сходимости," устанавливаются' скорости сходшости в. разных кормах.

2. Построены и обосновали математические модели для исследований процессов вс янооСразования в водохранилищах в результате обвально-оползневых, явлений у его бортов и прорывных волн при возможном разрушении плотина.

3. В результате сопоставления данных различных натурных, экспериментов, ишитнрущих обвал, - с результатами расчётов, проведённым по предложенным разностным схемам, установлены 1рзшци применимости рассмотренных в диссертационной работе математических моделей для исследования процессов всйлобразования.

4. С ггомощыэ модифЕцированной полностью консервативной схемы, предложенной в диссертационной работе, Ошш прогнозированы параметры обвальных волн для Гетикского водохранилища с учетом геометрии области и рельефа дна и прорнвной,. волны для одного гидроузла, а такка ' проведен повторный расчет для Шнвальского водохранилища в двумерной постановке, который показал удовлетворительное совпадение с известными результата!®, получешшьш на. крупномасштабной модели.

Основ же результаты диссертационной работы опубликованы. в следущих работах:

1. Рвелесивни Т.Л., Дкгамадзе Н.О., Дзошддаашваги Г.Я., Медадзе Г.В. Математические модели для исследования волнообразования при обвально-отголзневж процессах Двпон. 1! 439-Г89 в ШВУ Госплана ГССР. - Тбилиси, 1989. -37 С.

2, Грвлескани Т.Л., Глгямздээ Н.О., Дшндашхаившш Г.Я.,

Мвладзэ Г.В. О некоторых математических ? моделях для исследования волнообра£Ьвания в водохранилищ // Препринт ИВМ АН ГССР. - Тбилиси, 1950. - 12 с.

3. Дкгамадзо Н.О., Меладзэ Г.В., Пошшвили Л.В- Сходимость полностью консервативной да$фарещивльно-разностноЯ схемы газовой дшашша s двумерном случае в переменных Эйлера /.

: Яепон. ГрузНШКГИ, N 343-F87. - Тбилиси, 1937. - 32 с.

4. . Дкгэмэдзе Н.О. Сходимость дайеренциально-разностной схемы

для двумерных уравнений газовой диньмики ' (для идеальтаго газа) // Сообщ. АН ГССР. - 1989. - T. I33.N 3. - С. 513-• 516»

*

6,At. Джгамадзе Н.О. Двухслойные полностью консервативные разностные схемы для двумерных уравнений газовой динамики .в переыенинх Эйлера /•' Современные проблемы кибернетики и прикладной математики. - Тбяэтси: узд-вс ТГУ, 1988. -- 0. . , 64-67.- ' . ^

6. , Дягамадзе ' Н.О." С1оди?лаь1й"' тлностьв консервативней

разностной схаш газовой динамики в пвремзншгх Эйлера /

(случай идеального газэ) •'/ Груда! ' Тбилисского гос. университета. Серия естественных наук - Тбилиси, I9B9. -■Т. 13. - С. 7-II.

7. ДЯгамадзе Н.О. Сходимость разностной схемы для уравнений двумерной газовой динамики V Труда . Тбилисского университета. Кибернетика. Прикладная , математика. Тбилиси, 1999, - Т. Г94. - С. 7S-S2.