Разработка и применение специальных методов расчета течений вязкой несжимаемой электропроводящей жидкости при больших параметрах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

3 ЛЕНИНГРАДСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕНННЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КАЛИС Харий Эдмундович УДК 538.4

РАЗРАБОТКА И ПРИМЕНЕНИЕ СПЕЦИАЛЬНЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА' ТЕЧЕНИЙ ШЗШЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЭЛЕКТРОПРОВОДЯЩЕЙ ЗВДГОСТИ ПРИ БОЛЬЮ ПАРАМЕТРАХ

01.02.05 - механика жидкостей, газа и плаомы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ленинград - 1990

Работа выполнена в Вычислительном центре при Латвийском университете

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

доктор физико-математических наук, профессор

доктор физико-математических наук, профессор

Ведущая организация Институт проблем механики АН СССР (г.Москва)

Защита состоится 27 ноябре |990 уотЩ в наоов на заседании специализированного совета Д.063,38,16 Ленинградского государственного технического университета по адресу: 195251, Ленинград, ул,Политехническая, 29, корпус •

ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке технического университета

Автореферат разослан октября I£90 года

Ковеня В.М. Акатнов Н.И. Ривкинд В.Я.

Ученый секретарь специализированного совета, докт.физ.-мат.наук, доцент

Смирнов Е.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Актуальность прошлом«. Объектом исследования настоящей работы является вязкая несжимаемая электропроводящая жадность. Мягнигогидродинамические (МГД) явления такой жидкости используются в различных областях техники при разработке различных МГД устройств (генераторы, насоси, дозаторы, ускорители) и исследовании разных МГД технологических процессов (перемешивание и расплав металлов, производство алюминия электрическим способом). Такие проблемы характеризуются сильным« магнитными и электрическими полями. В последние годы в МГД сформировалось новое перспективное направление - магнитная гидродинамика сильного поля, которое стимулируется интенсивной разработкой МГД-технологий. Наличие сильного магнитного поля приводит к появлению специфических МГД эффектов, например, различных скоростных структур с пограничными слоями.

Математическое описание указанных задач приводит к системам уравнений в частных производных с большими параметрами ггри младших производи« (большие значения чисел Гарт-мана (Н<1), Стюарта (5 ). 1львена (/¡¿'), Рейнольдса (КС-), Рейнольдса магнитного (Ас!(>1), Грасгоффа ( , Пекле ( Р^,), закрутки ()). Для решения соответствующих краевых задач МГД на основе полных нелинейных уравнений Навье-Стокса при умеренных значениях параметров созданы эффективные универсальные численные методы (метод конечных разностей и конечных элементов), которые позволяют решать широкий класс задач. Однако наличие больших параметров в системе уравнений МГД, неограниченность расчетной области и сложная геометрия области (криволинейные границы) создают для общих численных методов дополнительные трудности применения и эти методы становятся неэффективными (малая скорость сходимости, невысокая точность). Поэтому актуальной задачей является разработка специальных методов решения краевых задач МГД при больших параметрах, а также для расчетных областей со

дач магнитной гидродинамики и Электродинакики'Ч1971-1975гг.), "Краевые задачи магнитной гидродинамики" (1976-1980 гг.), "Исследование и численное решение 1сраевых задан уравнений магнитной гидродинамики" <1981-1983 гг.), "Математическое моделирование новых способов получения монокристаллов и эпитаксиальных структур" (1984-1985 гг.), "Математическое моделирование гидродинамики, тепломассопе-реноса и кинетики кристаллизации в технологических процессах получения кристаллических материалов" (1986-1990 гг.), и ряд тем хоздоговорных работ с институтом физики АН Латвийской ССР по численному моделированию МГД процессов: "Численное моделирование МГД процессов в сильных магнитных полях" (1976-1980 гг.), "Численное моделирование процессов взаимодействия сплошной среды с электромагнитным полем" (1981-1905 гг.) и "Численное моделирование магнитогидроди-намических явлений в сильноточных технологических процессах" (1986-1990 гг.). Выполненные исследования для развития этого научного направления были обобщены автором и составляют основное содержание настоящей диссертационной работы. Кроме того в диссертацию включены также научные положения автора, которые сформулированы и обоснованы в результате разработки математических основ численных методов и их применения.

Цель работы. Главной целью являлось математическое моделирование нового класса течений вязкой несжимаемой электропроводящей жидкости в сильных электромагнитных полях.

Для осуществления этой цели необходимо решать следующие основные задачи:

- создать численные методы нового направления для расчета течений в широком диапазоне изменения параметров,

- численно исследовать специфический физические эффекты течений в зависимости от параметров (деформация скоростной структуры, распад вихря, подавление трехмерных процессов, образование профилей скорости с точками перегиба, волнение поверхности раздела электролит-алюминий и др.).

Методы исследования. Для расчета течений вязкой несжимаемой электропроводящей жидкости при больших параметрах разработаны специальные алгоритмы, основанные на аналитичес-

ких и численных методах с последующим использованием ЭВМ.

Научная новизна. В диссертации предложены новые постановки краевых задач МГД и получены эффективные методы их решения на основе разработанных специальных разностных схем.

Построенные специальные векторно-разностные схемы монотонны и хорошо учитывают характер различных пограничных слоев и слоев сдвига в магнитной гидродинамике. Монотонные векторно-разностные схемы позволяет рзшть ряд но-вьк практически важных задач течений вязкой несжимаемой электропроводящей жидкости. Краевые задачи в неограниченной области решатся на основе совместного применения методов сеток, граничных элементов или алтернирущего метода Шварца.

Впервые решена МГД задача (задача типа Хаита) о нахождении распределений индуцированного магнитного тюля и скорости течения для свободных сдвиговых течений жидкости при разных режимах подвода электрического тока к электродам и вцувЕ-отсоса жидкости через стенки канала. Расчетная область не разбивается на подоблпети с разными типами уравнений {зональный ПОДХОД,J.Hunt, t.Williams, G.Malcolm, 1968 г.), а характеристики течений определяются единым подходом как внутри пограничных слоев, так и в ядре течения. Исследована деформация скоростной структуры и асимптотика течения жидкости тгои больших значениях патаметроп $ , ^ ,

На и /1С .

Впервые численно получены рад физических оффектов и пакономерностей воздействия сильного электромагнитного поля на течение электропроводящей несжимаемой вязкой жидкости

- распяд вихря на входе тру<5ы вращением жидкости электромагнитным способом (такой эффект в гидродинамике получил чис/енно J.Haraln , If77 г.) ;

- эффекты пространственных МГД течений: подавление трехмерных нелинейных гидродинамических процессов я конвекции жидкости в сильном магнитном поле, установление двумерного течения в плоскости перпендикулярной полю, образование профилей скорости с точками перегиба;

- закономерности поведения гидрохимических возмущений в магнитном Лоле: подавление, порождение или усиление возмущений в зависимости от характера приложенного внешнего магнитного поля, возникновение неустойчивости течения с профилями скоростей, имеющими точки перегиба, образование нестационарных вторичных течений ме;хду двумя конечными цилиндрами в виде вихрей с осями параллельными оси цилиндров;

- волнение поверхности раздела электролит-алюминий в алюминиевых электролизерах (линейную модель разработали K.lioroau, J.Б'лапз, 1964 Г.);

- вращение кидкости между двумя бесконечными коаксиальным цилиндрами под действием постоянного окружного градиента давления (без магнитного поля задачу решил v/.Dean, 1928г.).

Впервые численно такие исследовано влияние слоя флюса на процесс выращивания кристаллов методом Чохральского.

3 диссертации обобщены результаты исследований автора, проведенных с 1971 по 1989 годы.

Практическая значимость. Разработанные оригинальные . приближенные методы решения краевых задач МГД внедрены при разработке хоздоговорных работ в Вычислительном центре при Латвийском университете с институтом физики АН Латв.ССР и также с институтом ВАШ Минцветмета СССР (г.Ленинград, Все-сопзный научно-исследовательский и проектный институт алюминиевой, магниевой и электродной промышленности). Результаты расчетов сравнивались с результатами применения аналитических методов (где это возможно) и с экспериментальными данными. Проведенные численные исследования позволяли получить качественную картину рассматриваемых (ЛТД явлений а тем самый подойти более рационально к планированию экспериментальных работ по их исследованию. Способы управления течений вязкой несжимаемой электропроводящей жидкости в сильных кагнитных и электрических полях нашли применение в института ВАНИ при проектировании и разработке мощных электролизеров на заводах цветной металлургии страны.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Математическое моделирование широкого класса течений вязкой несжимаемой электропроводящей жидкости на основе разработки специальных численных методов решения задач нового направления-магнитной гидродинамики сильного электромагнитного поля.

2. Решение нелинейных краевых задач магнитной гидродинамики при больших параметрах и в областях со сложной геометрией, что включает э^фективное решение новых и более экономичное решение уке ранее рассмотренных задач.

3. Решение новых практически важных задач магнитной гидродинамики, получение ряда физических эффектов и закономерностей воздействия сильного электромагнитного поля на течение вязкой несжимаемой жидкости и внедрение результатов расчетов для проектирования и разработки новой МГД техники и технологических устройств.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались га 7-м, 9-м, 10-м, 11-и, 12-м и 13-м Всесоюзных рижских совещаниях по магнитной гидродинамике (1972 г. ,1978 г.,1981 г.,1984.,1987 г.,1990 г.), на 4-м, 5-м, 6-м, 7-м, 8-ы, 9-м и 10-ы Всесоюзных школах-семинарах по численным методам механики (динамики) вязкой жидкости, руководимых академиком Н.Н.Яненко (Рига-1972 г., Кацивели-1974 г., Пермь, Кунгури-1976 г., Ыахачкала-1978 г., Томск-1980 г., Ленинград-1982 г., Новосибирск-1984 г.); на 6-ой Международной конференции по численным методам в гидродинамике (Тбилиси-1978 г.); на 6-ом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент-1986 г.); на Международном школе-семинаре по математическим моделям, аналитическим и численным методам в теории переноса (Минск-198бг.); на Международном Симпозиуме (ДЯАМ) по жидким металлам в магнитной гидродинамике (Рига-1988 г.); на 10-ой Всесоюзной ш: оле по теоретическим и прикладным проблемам вычислительной математики я математической физик« (Рига-1985 г.); на Всесоюзной конференции по проблемам стратифицированных течений (Юрмала-1988 г.); на 3-м и 4-м республиканских семинарах

по методам и средствам решения краевых задач (1975 Р., 1978 г.); на Всесоюзных семинарах ао производству алюминия (Юрмала - 1986 г., Волхов - 1938 г.); на Всесоюзном научно-техническом семинаре по машинный методам решения краевых задач (Москва, Рига - 1985 г.); на семинарах Научного Совета электродинамики и механики сплошных сред АН Латв.ССР (1978 г.. 1980 г., 1985 г., 1988 г., 1950 г.); на Республиканской конференции по численным методам моделирования технологических процессов (Рига - 1989 г.); на Всесоюзном семинаре по прикладам методам расчета физических полей, руководимых академиком В.Л.Рвачевым (Киев - 1985г.); на Международных семинарах в Карловом университете, руководимых профессором Е.Нечасом (Прага,ЧССР - 1975 г., 1979 г., 1982 п., 1905 г., 1968 г.); на семинаре высшей школы строительства и электротехники (г.Плзень.ЧССР. - 1975г.); на 34-47-й итоговых научных конференциях Латвийского Госуниверситета (1975-1988 гг.), в том числе руководство секций по вычислительной математике (1979 г., 1980 г.), по задачам математической физики и численных методов их решения (1982 г., 1984 г.), по краевым задачам и численным методам (1986 г.) и по численным методам прикладных задач математической физики (1987 г.); на 5-ом зональном совещание-семинаре заведующих кафедр и ведущих преподавателей математиков вузов Белорусской, Латвийской, Литовской, Эстонской ССР и Калининградской области РСФСР (Вильнюс - 1983 г.}.

Часть результатов экспонировались на 3-ей Республиканской выставке научных работ ученых и студентов вузов Латв. ССР, посвященной 60-летто Великой Октябрьской Социалистической Революции (Рига - 1977 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 91 работа (из них 27 работ без соавторов), в том числе 4 статьи в международной печати, 33 статьи в Всесоюзных изданиях, 30 статьи я Республиканской печати, 17 тезисов докладов на Всесоюзных и Международных совещаниях, конференциях и семинарах, 7 отчетов тучно-исследовательских работ, руководимых автором.

Большинство работ автора, опубликованы в Всесоюзном журнале "Магнитная гидродинамика" и в республиканском издании

[О •

"Латвийский математический ежегодник". Список основных опубликованных работ приведен в конце автореферата.

Личный вклад автора. Бее основные рэгультаты диссертации получены автором самостоятельно. Часть результатов при исследовании конкретных задач получена под руководством автора совместно с сотрудниками Вычислительного центра и физико-математического факультета Латвийского университета, института физики АН Латв.ССР и матеиатико-физн-ческого факультета Карлова университета г.Праги, ЧССР. При изложении результатов совместных исследований в тексте диссертации везде даны ссылки на соответствующие публикации с выделением личного вклада диссертанта. При этой автору принадлежит все защищаемые в диссертации и в автореферате положения и выводы.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из списка основных обозначений, введения, пяти глав (разделов) содержащих всего 20 параграфов (подпунктов), заключения, списка литературы и приложения. Работа изложена на 402 страницах машинописного текста, в тем числе 265 страниц основного текста, 26 страниц с рисунками (32 рисунка), 14 страниц с таблицами (39 таблиц),.20 страниц библиографического списка, состоящего из 174 названий и 77 страниц приложений (8 таблиц).

Бо введении обоснована актуальность исследуемых проблем и указаны цели и задачи исследований, представляющие новизну с точки зрения решения класса практически важных задач для течения юязкой несжимаемой электропроводящей жидкости в широком диапазоне изменения параметров.

В первой главе рассматривается состояние проблемы численного моделирования течений жидкости в магнитном поле, дается обзор работ автора по разработке и применению эффективных численных методов. Во второй главе построены специальные разностные схемы для расчета течений жидкости при больших параметрах и проведено сравнение разработанных схем и алгоритмов со стандартными. Третья Глава посвящена апробации и проверки эффективности новых алгоритмов на основе построенных аналитических методов; получены аналити-

ческие решения некогорыг новых линейных задач для свободных сдвиговых течений жидкости во внешнем однородной магнитном поле. Четвертая глава посвящена исследованию разработанных алгоритмов и постановке разностных краевых задач; показана эффективность совместного применения алтернирующв-го метода Шварца, метода граничных элементов и сеток для решения конкретных задач МГД. В пятой главе приведены результаты решения некоторых прикладных задач МГД по разработанным численным алгоритмам . Каждая глава сопровождается краткими выводами. В заключении приведены общие выводы пэ диссертации. В приложениях (1-4) приведены дополнительные выкладки, необходимые для разработки и применения специальных методов в соответствующих главах диссертации.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. В нем излагается актуальность проблемы,цель работы, научная новизна, практическая значимость, основные положения выносимые на защиту и описана структура работы.

В диссертационной работе представлены все основные этапы вычислительного эксперимента по отношении к рассматриваемым классам задач гидродинамики и магнитной гидродинамики: I) выбор физической и математической модели течения вязкой несжимаемой электропроводящей жидкости; 2) разработка численного алгоритма для выбранной математической модели; 3) составление программы на ЭВИ; 4) проведение расчетов и 5) анализ полученных численных результатов и сопоставление их с моделируемым процессом МГД.

Глава I (3 пл.) содержит обзор литературы, краткое содержание работ автора по теме диссертации, обзор основных методов исследования к формулировку основных математических моделей МГД-течения вязкой несжимаемой жидкости. Первая • глава состоит из трех подпунктов (пл.).

В га.1.1 приводятся обзор литературы а краткое содержание работ автора по теоретически« исследованиями краевых задач МГД и разработке численных методов расчета течений

вязкой несжимаемой электропроводящей жидкости. В серии работ разработаны специальные разносгные схемы для решения краевых задач МГД в широком диапазоне изменений параметров, в том числе при больших значениях параметров. Обобщен класс сдвиговых течений типа Ханта в магнитной гидродинашке при различных конфигурациях приложенных внешнего магнитного и электрического полей. В ра»*ках этого класса найдены решения ряда новых задач. Исследовала устойчивость сдвиговых течений в магнитном поле. В последние годы под руководством автора исследованы МГД процессы мощных алюминиевых электролизеров.

В пп.1.2. анализируются задачи численного моделирования течений вязкой несжимаемой электропроводящей жидкости на основе полной системы нелинейных уравнений Навье-Стокса. Показана ограниченность применения существующих численных методов (ябньк, неявных и полунеявных разностных схем, зонального метода) для решения краевых задач с пограничными слоями и необходимость разработки эффективных численных методов как главная задача специалистов по вычислительной гидродинашке. Автором разработаны специальные разностные схемы, которые обладают хорошими свойствами сходимости и точности не только для задач МГД с большими параметрами в уравнениях при младших производных, но и в широком диапазоне изменения этих параметров, и, следовательно, могут служить полезным дополнением к пакетам программ для решения краевых задач. Далее рассматриваются основные понятия разностных схем и методы их исследования (погрешность аппроксимации, устойчивость, принцип максимума, критерий фон Неймана),

В пп.1.3. приводятся основные уравнения, описывающие МГД-течения вязкой несжимаемой жидкости. Эта система уравнений Навье-Стокса, уравнения Максвелла, энергии и уравнения неразрывности. Для замыхания системы уравнений магнитной гидродинамихи используется закон Ома. Даны разные приближенные постановки краевых задач в безындукционном приближении, при наличии сильного магнитного поля и в случае свободного сдвигового течения жидкости, когда отсутствует градиент давления.

Рассматриваются следующие системы уравнений МГД: I) общая нелинейная система уравнений движения в криволинейных ортогональных координатах в терминах тензора вязких налряжений; 2) система уравнений для течения жидкости в пренебрежении вторичным индуцированным магнитным полем; 3) линейные системы уравнений для течения свободного сдвигового течения жидкости (системы типа Ханта).

Решения этих уравнений зависят от чисел (), (Нл), (А£) ,<$),<&•).(&).( >, < • В случае плоскопараллельного свободного сдвигового течения жидкости в плоскости ( У с векторами скорости индук-

ции магнитного поля ~&-(В0СМс<0; ^06тЫ0>/М уравнения движения и индукции имеют следующий безразмерный вид: . ~

\ ) - коэффициенты кинематической и динамиче-

ской вязкости жидкости, электропроводности и магнитной проницаемости среды; (_о , \/0 - характерные величины длины и скорости; Ы 0- угол между ьапраглением внешнего магнитного поля характерной величиной индукции В0 и с осью 0)С ; Т - полный электрический ток, который вызьвает движение жидкости и вторичное магнитное поле напряженностью И^ .

Глава 2 (4 пл.) содержит разработку специальных разностных методов для расчета течений вязкой несжимаемой электропроводящей жидкости в широком диапазоне изменения параметров. Такие метода решения целесообразно начинать разрабатывать на простейших одномерных модельных задачах гидродинамики ■ магнитной гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости, в том числе для решения задач Кол* и краевьх эадчч С/у. В много-

мерном случае применяется поочередная дискретизация переменных и аппроксимация соответствующих одномерных дифференциальных операторов разностными со вторым порядком точности. Аналогично рассматриваются системы дифференциальных уравнений второго порядка.

В пл.2Л на основе построенных монотонных: разностных схем для ОДУ разработаны специальные разностные схемы для решения одномерных модельных краевых задач гидродинамики и магнитной гидродинамики. Специальные разностные схемы построены для системы уравнений движения в цилиндрических координатах с учетом осесимметричности течения. В частности для расчета задач МГД-генератора и тепловой конвекции рассматривается система из 4-х уравнений. В реальных задачах параметры задачи могут меняться в широком диапазоне и могут принимать большие значения (/<£ ?1С0, 10, G^IO^, Н<1 ?IOOj. В этом случае классические разностные схемы не оОеспечивают необходимую точность вычислений и должны быть усовершенствованы. Для одномерных модельных задач системы уравнений МГД построены точные и монотонные разностные схемы. Для модельной одномерной системы двух уравнений задачи тепловой конвекции a'V^aW-T- lL<)

(X - независимая переменная, ^ j f^ - заданные функции , -1С - функция завихренности, Г,- температура, ,

,4" Qr = ff и т.д.)

разностные уравнения на равномерной сет"е имеют вид

¿ай+Щ + бЪ -ихЪ

где V •cXti (¿fcnfii- возмущенные коэффициенты схемы A.M.Ильина; * Rf, ~ сеточное число "Рейнольдса";

)У1 - 1 -центральные разности второго порядка;

Ос f J* ' - центральные разности первого порядка;

•X. -

- дополнительный возмущенный коэффициент ■^C^x'^l) схемы..

Разностные уравнения (3) отличаются от стандартных уравнений А.М.Ильина слагаемым (гпЗ£ который при граничных условиях первого рода и постоянных коэффициентах обеспечивает построение точной разностной схемы. В случае переменных коэффициентов ь разностная схема со-

храняет свой вид и имеет по крайней мере второй порядок точности. На основе уравнений (2) при О проведено

сравнение разностных схем А.Ы.Ильина, А.А.Самарекого и в центральных разностях; показана эффективность разработанной специальной схемы с ростом чисел О., , йк и Аналогично, методом неопределенных коэффициентов на равномерной сетке и интегро-интерполяционным методом на неравномерной сетке построена точные разностные схемы для системы 3-х и 4-х одномерных модельных уравнений ИГД.

Полученный анализ разностных схем показывает, что при больших параметрах модельных краевых задач МГД классические разностные схемы не пригодны для практических расчетов. Разработанные специальные разностные схемы или точны (в случае постоянных или кусочно-постоянных коэффдциентов) или имеют по крайней мере второй порядок точности и хорошо описывают характер различных магнитных и гидродинамических пограничных слоев и могут быть успешно использованы для расчета краевых задач в широком диапазоне изменения параметров.

В пп.2.2 специальные разностные схемы построены для решения многомерных задач математической физики. В литературе известны монотонные разностные схемы второго порядка точности экспоненциального типа для решения несамосопряженных уравнений математической физики. Здесь построены аналогичные разностные' схемы на неравномерных сетках для расчета уравнений с многими переменными и систем линейных уравнений эллиптического типа второго порядка. Разработанные схемы обобщают монотонные разностные схемы А.И.Ильина и применяются для решения краевых задач гидродинамики и магнитной гидродинамики (приближенные модели).

Для системы уравнений чг» .

X - ) - независимые переменные, 7 ¡СС~

век-

тор функции с Щ -составляющими, У О - кусочно-непрерывные функции, А ¿(О' квадратные симметричные матрицы т.-го порядка)

соответствующие векторно-разностные уравнения имеют вид

!} I > ">ч> (5)

Д - УЗЛ0ВГ точка «. неравномерной сетке, /1 - и « СГ ИК ^ ) и

а1 = Ч Л А -х- - у ,

Л • = Л - , . . ; Х ^ , Х - . , / • , • • •; К» А

, * Л^ ; л(. у •> ' ' •

ЕЕ - единичная матрица.

Соответствующая векторно-разностная схема (3) имеет не менее второй порядок аппроксимации и монотонна, так как матрицы ) Ь}*1>>0, . Матрицы-функции

вычисляются на спектре матрицы Л^, используя интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестера.

Для решения смешанной задачи уравнений теплопроводности (нестационарные задачи) построены абсолютно устойчивые явные разностные схемы на основе специальных разностных схеы для решения задачи Коши ОДУ.

Для решения смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности (модель нестационарного одномерного уравнения

'"К '0-'^ - { А *Л

1 «1<У<Ч,-2в> ' ш

явная абсолотно-устойчивая уточненная ' вектгрно-

(7)

разностная схема имеет вид^ —1 П ~*h

Нй^Ы-= WDW м (X)-I и)

.ни И %г Г* . .. чЧ1

_ ,

\д/ - квадратная матрица о элементами _ ___

и - диагональная матрица с элементами \£' I/ ■ ^, с — ,

-е*р(гК*)Х'СЫГ±>о, + ,

У - возмущенный коэффициент схемы (при V - ¡З^СхА (_ я. /— схема А.М.Ильина, - ¿Х./9 (-/?/,

- сеточноз число "Рейнольдса". В пл.2.3 построены специальные разностные схемы для решения линейных краевых задач МГД, которые возникают в сильных магнитных полях или в однокомпоненпшх течениях. Для системы уравнений (I) соответствующие разностные уравнения имеют вид /о I

-> (<Л\ А (О НаиЯъ10 \ д НажЫо)

^ч о г/,

¿-НасЛ(Нлип) (>

й . , Д ,,

собственные значения матрицы Д- ,

Ус.-

-п^ - шаги равномерной сетки в направлении осей Ох и Су. Собственные значения и ^¿й О при А ($('*) ^

где - Нй.г/(& • Матрицы возмущенных коэффициентов

С^1; в уравнениях (8) увеличивают точность монотонной

разностной схемы по сравнении со схемой в центральных разностях при больших значениях чисел

(гс , .

Аналогично строится специальная разностная схема для задачи об осесимметричном свободном сдвиговом МГД-течении жидкости между двумя коаксиальными цилиндрами с конечной высотой.

В пп.2.4 .построены специальные разностные схемы для расчета нелинейных краевых задач гидродинамики и магнитной гидродинамики. Построены монотонные векторно-разностные и скалярные разностные схемы для расчета течений вязкой несжимаемой электропроводящей жидкости в широком диапазоне изменения параметров. Построенные разностные схемы монотонны, имеют по крайней мере второй порядок точности и хорошо учитывают характер гидродинамических и иагнитогидродинамических пограничных слоев. Такие схемы построены для сильных вращательных движений жидкости (большие значения параметра ), для конвективного течения при больших числах Грасгофа' в зависимости от числа Прандтля (при Рг<= 1 вид разностной схемы отличается), для конвективного осесимметрично-вращательно-го движения жидкости (большие значения , и Бг) и для общего конвективного осесимыетричного МГД течения (большие значения & , £»-. ^ и На).

Глава 3 (3 пп.) посвящена проверке точности постро- • енных разностных схем и аналитическим решениям некоторых линейных краевых задач. Аналогично строится аналитическое решение соответствующих разностных схем на равномерной сетке. Построенные точные решения краевых задач магнитной гидродинамики позволяют выявить основные свойства ЫГД процессов в зависимости от параметров задачи.

В пп.3.1 получены аналитические решения краевых задач для пл о с к о па радл о л ь пых свободных сдвиговых МГД-течений. Эти . задачи служат для теста разработанных методов и имеют также самостоятельный физический интерес в связи с исследованием влияния сильного магнитного поля на характер течения жидкости.

Рекенне системы уравнений (I) в полуплоскости ^ >С при ^ТГД, О п гррнич;1ых условиях и^^О, И о [<)

(функция ЧеЫ) определяется в зависимости от подвода электрического тока к полупространству через электроды при

получено методом интегрального преобразования '1урье

по переменной X •

Используя асимптотические разложения интегралов от быстро осциллирующих функций, получены асимптотические оценки решения при больших значениях числа Гартмана, т.е. при

Ий нг во ;

«(*,#)*-и, м.

Результаты расчета показали, что течение жидкости концентрируется между электродами; расход жидкости неограничен, а скорость течения ограничена к стремится к пределу при -т» оо.

Аналогично, аналитическое решение получено для течения жидкости в полосе между двумя параллельными пластинами

— С (верхняя пластина непроводящая). Получено, что в отличие от предыдущей задачи расход жидкости ограничен й стремится к пределу при .Если жидкость находится в

прямоугольной канале ), то краевая задача

МГД сводится к интегрированию системы, уравнений (I) при

и однородных граничных условиях,за исключением ^/.-<Г Но (*) . Решение построено методом разделения переменных в виде одно кратных рядов Фурье. Численные результаты показали, что расход жидкости слабо зависит от вида граничных условий и высоты канала С , но сильно зависит от расстояния боковых стенок канала; скорость течения ограничена и стремится к пределу при //4 '>о .С ростом числа Нл. течение концентрируется в области между электродами и, за иемочением тонких гартмэновских слоев толщиной 0 (И Я ') на стенках перпендикулярных полю ( ^ О и ^ — С ) и параллельных полю свободных слоев сдвига толщиной ^¿1 '*■), во всей области течения становится однородным по ^ . Аналогично решаются уравнения (I) при наклонном внешнем магнитном поле ( <У0 +ЧГ/г ) и £11

Прио/а—'7^/ асимметричное распределение тока порыдает кроме основного течения слабое обратное течение, которсо исчезает с ростом числа Ий. . При <ЖВ -О возникает два симметричных,противоположно направленных вихря,вытяиутк* в направлении магнитного поля.

Между двумя тверди/и непроницаемыми электронзолирсван-нныи пластинами ц - О и ^ = на которых • •- периодично по >6 расположены электроды, моделируется течение типа Колмогорова со специфическими МГД-слоями и ядрами, в которых скорость распределена однородно.

Аналитическое и численное решение также получено для системы уравнений (I) при V =: ±. в широком диапазоне изменения параметров \4а, > т . Расчеты показали, что при Иа. —» Ос скорость течения ограничена и стремится к пределу. В зависимости от величины числа АС получаются различные асимптотики. Так вне пограничных слоев ( С ^ Н, < £> ) при

№ и Ца-^ ^ : и-у-о^НЛ) , Ц'/о^НоШ \

при О/ и \ Ч-7 О , /-/-^ • Распреде-

ления скорости и токов б сечении канала существенно изменяются, если числа отличны от нуля (нарушается однородность течения вдоль поля).

В пл.3.2 получены аналитические решения краевых задач для осесимметричных свободных сдвиговых МГД-течений в конечном цилиндре и кевду двумя коаксиальными- цилиндрами на основе системы уравнений (I) в цилиндрических координатах.

Решения соответствующих краевых задач построены методом разделения переменных в виде разложения ■рядов по функциям Бесселя. Результаты расчетов показали сложнуп структуру течения и распределения токов в зависимости от параметров

, Нй. , причем основные закономерности аналогичны декартовому случаю (пп.ЗЛ).

В пп.3.3 рассмотрены асимптотические разложения нестационарного решения задачи МГД в неограниченной области при больших значениях числа На. Решение пространственной задачи Коши в безындукционном приближении относительно вектора скорости , потенциала электрического поля и давления р (внешнее однородное магнитное поле направлено параллельно ос» 5) получено методом интегрального преобразования Фурье.

Применяя асимптотические разложения интеграла типа Лапласа при больших значениях параметра, получено (при фиксированном ), что перпендикулярные магнитному полю составляющие вектора скорости убывают быстрее, чем параллельные полю

составляющие, причем градиенты функции V>ф по направлению Ои меньше (порядка OiUd 5), чем градиенты этих функций в других направлениях (порядка О (Hei)). Неизотропность распространения (ji О ) начального возмущения в пространстве при больших значениях Нсь получена также для вращательных и осесимметричных течений.

Глава Л (5 пп.) посвящена особенностям реализации построенных численных методов для решения краевых задач МГД.

В пп.4.1 для течений в канале, обтекания цилиндра и шара относительно переменных функции тока ^ и завихренности и) показана ограниченность применения граничных условий в зависимости от вида итерационного процесса и граничных условий. Для ускорения итерационного процесса расчета предлагается ввести релаксацию или совместное решение системы уравнений ((¡^ а) ) методом переменных направлений.

В пп.4.2 для реализации специальных разностных схем методом локальной релаксации определены оптимальные значения коэффициентов релаксации, что сильно ускоряет сходимость итерационного процесса. Б случае переменных коэффициентов в уравнении завихренности, коэффициенты релаксации определяются в каждом узле сетки, принимая, что нооффициенты специального разностного уравнения "замороженнъГ в окрестности узла сетки.

В пп.4.3 анализируется численная устойчивость и точность разработанных методов. Показано, что монотонная аппроксимация улучшает устойчивость разностной схемы, что известные классические абсолютно устойчивые разностные схемы являются недостаточными по точности. Для обоснования и разработки расчета МГД-устойчтаости проведено сравнение спектров, соответствующих линеаризованных дифференциальных и разностных задач. Рассматривается задача о гидродинамической устойчивости на основе полных и линеаризованных уравнений Навье-Стокса в случае плоскопараллельного течения вязкой несжимаемой жидкости в канале с профилем скорости, содержащем точки перегиба.

В пп.4.4 составлены разностные уравнения со вторым порядком аппроксимации для расчета системы уравнений Навье-Стокса в полярных координатах, если полярная ось принадлежит расчетной области, приведены два способа составления разностных уравнений

в центре круга: метод поворота осей координат и применение интегральной формулы типа Стокса.

В пп.4.5 для решения двумерных краевых задач электродинамики и МГД в неограниченной области показана эффективность совместного применения альтернирующего метода Шварца, метода гряничных элементов и сеток.

Б части области, в том числе неограниченной, использовано интегральное представление решения, а в остальной области применяется метод сеток, причем в качестве граничных условий использована аппроксимация интегрального уравнения на расширенной сеточной области.

Глава 5 (5 пп.) посвящена применении разработанных численных методов для расчета некоторых прикладных задач ЫГД о плоскопараллельных, осесимметрических, вращательных и пространственных течениях жидкости в магнитном поле и также об МГД устойчивости этих течений. Аналитический путь решения и разработанный метод сеток дали результаты, согласующиеся с результатами проведенных экспериментальных исследований.

В пп.5.1 описаны результаты расчетов на основе векторно-раэностных уравнений типа (8) плоскопараллельных МГД-течений жидкости в прямоугольной секции канала, где У(х} профиль Пуазейля или Гартмана. Получены распределения 2 -составляющих вторичной скорости АЛ и напряженности магнитного поля в зависимости от чисел & Л, и АС: I) в продольном магнитном поле ( V - профиль Пуазейля) вторичное течение сильно зависит от числа; Р.) в поперечном магнитном поле (V -профиль Гартмана) возникает два антисимметричных течения,причем с увеличением [\СС ширина сдвиговой зоны между этими течениями уменьшается.

Для плоскопараллельного течения мдкости в канале в зависимости от чисел (?С и НО'Вычислена длина переходного участка канала, которая уменьшается с ростом числа [¡¿I* Проведены расчеты плоскопараллельных течений вязкой несжимаемой электропроводящей ¡кидкости в согнутых каналах при наличии однородного внешнего магнитного поля. Получено, что I) в сильном магнитном поле можно пренебрегать нелинейными членами в уравнении движения, 2) линии тока жидкости деформируются в зави-

8. Разработаны и созданы математические модели, позволяющие рассчитывать электромагнитное поле в окрестности электролизера, токораспределение в рабочей зоне и гидродинамику расплава. Достигнуто хорошее соответствие по топологии и значениям магнитного поля в эксперименте в институте физики АН Латв.ССР и по даянии численного расчета. Численно исследовано электровихревое течение в слоях электролита и алюминия и волнение поверхности раздела электролит-алюминий в зависимости от геометрических и технологических параметров процесса электролиза. Комплексное математическое и физическое моделирование МГД-процессов в алюминиевых электролизерах позволяет с наибольшей достоверностью перенести полученные результаты на реальный объект исследования.

Дальнейшие исследования в области развитого в диссертации нового направления численного моделирования течений вязкой несжимаемой электропроводящей жидкости в основном связаны с внедрением целого комплекса численных методов, алгоритмов и программ для расчета различных ИГД устройств и технологических устройств, в том числе для математического моделирования алюминиевых электролизеров.

СПИСОК ОСНОВНЫХ РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫЙ ПО ТЕМЕ

ДИССЕРТАЦИИ

1. Витолиньш Г.А., Калис Х.Э., Патерсон Д.Е., Цинобер А.Б. Численное исследование некоторых магнитогвдродмнамиче-ских течений//Численные методы механики сплошной среды. -1971. - Т.2. - ¥ 4. - С.13-28.

2. Калис Х.Э. О конечно-разностных аппроксимациях дифференциального уравнения второго порядка с разрывными коэф-фициентами//Латв.матем.ежегодник. - Рига:Зинатне,1971. -Вып.9. - С.79-94..

3. Витолиньш Г.А., Калис Х.Э. Об одном численном методе решения стационарной системы уравнений Навье-Стокса относительно функций М. , V , Р //Численные методы механики сплошной среды. - 1972. - Т.З. - » 4. - С.34-51.

4. Калке Х.Э., Цинобер А.Б. О деформации гидродинамических возмущений в однородном магнитном поле//Магнитная гидродинамика. - 1972. - № 2. - С.25-28.

5. Калис Х.Э. О конечно-разностной аппроксимации системы уравнений Навье-Стокса в полярных координатах//Численные методы механики сплошной среды. - 1973. - Т.4. - -

С.73-83.

6. АболиняВ.Э., Калис Х.Э., Петерсон Д.Е. Расчет пространственного безындукционного магнитогидродинашческо-го течения в канале методой сеток//Труды 1У Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости. - Новосибирск, 1973. - С Л13-125.

7. Калис Х.Э., Цинобер А.Б. Численное исследование пространственных задач МГД-обтекания//Магнитная гидродинамика. - 1973. - № 2. - С.35-40.

8. Калис Х.Э. О поведении решения нестационарной краевой задачи гидродинамики со "слабой сжимаемостью" при //Латв.матем.ежегодник. - Рига: Зинатне,1975. - Вып.16. -С.202-207.

9. Витолиньш Г.А., Калис Х.Э. Расчет пространственного стационарного безындукционного магнитогидроцинаммческого течения при наличии тепловой конвегаии//Латв.матем.ежегодник.-Рига: Зинатне,1975. - Вып.16. - C.I8S-I93.

10. Аболиня В.Э., Калис Х.Э., Петерсон Д.Е., Цинобер А.Б. Некоторые численные эксперименты исследования гидродинамической устойчивости плоскопараллельных течений вязкой несжимаемой жидкости в канале с профилями скоростей имеющих точки перегиба//Труды У Всесоюзного семин. по численным методам мех.вязкой жидкости,Часть II. - Новосибирск,1975. -С.9-43.

11. Калис Х.Э. Стационарное решение краевых задач магнитной гидродинамики в безындукционном приближении как предел решения соответствующей нестационарной краевой зада-чд//Латв.матем.ежегодник. - Рига:3инатне,1976. - ВыпЛ7. -СЛ51-165.

12. Калис Х.Э. Стационарное решение краевой задачи магнитной гидродинамики как предел решения соответствующей нестационарной краевой эадачи//Латв.матен.ежегодник. - Рига: Зинатнэ,1976. -Зып.17. - С. £66-178.

13. Калис Х.Э. Сравнение некоторых методов численного решения нестационарных краевых задач математической физики// Латв.матем.ежегодник. - Рига: Зинатно ,1976. - Вып.20. -

С.78-94.

14. Калис Х.Э,, Черепанов В.Ю. С стационарном плоскопараллельном МГД-течений вязкой несжимаемой жидкости в согнутом канале//Численные методы механики сплошной среды. -1976. - Т.7. - № 4. - С.93-105.

15. Калис Х.Э. О линейной гидродинамической устойчивости плоскопарадлельных течений между двумя параллельными пластинами с профилями скоростей имеющих точки перегиба// Латв.матем.ежегодник. - Рига:Бинатне,1977. - Вып.21. -

С.35-45.

16. Калис Х.З., Черепанов В.Ю. О разрешимости одной стационарной задачи ШТД в канале с пористой стенкой//Латв. матем.ежегодник. - Рига:Зинатне,1977. - Был.21,- С.46-53.

17. Калис Х.Э., Иванова Е.А. О задаче Дина.в магнитной гидродинакике//Мапнитная гидродинамика. - 1978. -9 4. - С.62-68.

18. Калис Х.Э. С метода сеток для решения одной краевой задачи ЫГД при больших значениях числа Гартыана//Чис-

ленные методы механики сплошной срзды. - 1978. - Т.9. -№ 3. - C.I0I-III.

19. Налис Х.Э., Ктокия A.A., Колесников Ю.Б. Влияние сильного магнитного поля на сдвиговые течения вязкой несжимаемой электропроводящей жидкости//У1 международная конференция по численным методам в гидродинамике в Тбилиси.

- Сборник докладов. - Москва,1978. - C.II5-I20.

20. Kalis U.K., KolcuniKov Ju.fi., Kljukin A.A. 'Iba effect of atixmc; ниц, ne tic fLulú on the uchift flu« of viscous unooiiipieua ible clac troconduc ti;i¿j HuiAZ/Vl In terna ilonul conferer.se ou nunc rie ni me thodo in fluid dyniun ic :i. - Book of .Abu truc tu. - Tbilisi,1978. - PI' .72.

21. Калис Х.Э. Численное наследование осесимметричного сдвигового МГД-течения в замкнутой области//Численные методы механики сплошной среды. - 1978. - Т.9. - № 7. - C.I9-28.

22. Калис Х.Э. Плоскопараллельное свободное сдвиговое течение жидкости в сильном однородном магнитном поле//9-ое Рижское совещание по магнитной гидродинамикеЛ.Общие и тео-

. ратическне вопросы. - Тезисы докладов. - Рига,1978. -С.33-34.

23. Калис Х.Э. Плоскопараллельное свободное сдвиговое течение проводящей жидкости с прямолинейными линиями тока в сильном однородном магнитном поле//Магиитная гидродинамика.

- 1978. - » 2, - С.65-72.

24. Калис Х.Э., Клюкин A.A., Колесников D.E. Осесимыет-ричное свободное сдвиговое течение электропроводящей жидкости э осевом магнитном поле//9-ое Рижское совещание по МГД, I. Общие и теоретические вопросы. - Тезисы докладов. - Рига, 1978. - С.31-32.

25. Калис Х.Э. Расчет одного сдвигового магнитогидро-д'щамического течения в сильном однородном магнитном голе//1 1У Республиканский семинар.Методы и средства решения нраевых задач. - Аннотация докладов. - Рига,1978. - С.176,

26. Калис Х.Э., Колесников D.E. Влияние однородного поперечного магнитного поля На сдвиговое течение вязкой электропроводной жвдкости/ДЬгнитн&я гидродинамика. - 1979. -

» 2. - С.51-54.

27. Калис Х.Э. О временном деформации пространственных возмущений в потоке вязкой проводящей жидкости в сильном однородном магнитном поле//Магнитная гидродинамика. - I98C. -* 4. - С.28-34.

28. Калис Х.Э., Иванова Е.А. Об одном методе численного решения краевой задачи для уравнения Пуассона в неограниченной двумерной области//Латв.матем.ежегодник. - Рига: Зинат-не.1980. - Вып.24. - С.64-82.

29. Калис Х.Э., Луринс Г.Р. Расчет течения вязкой электропроводящей несжимаемой жрщкости в гомопслярнике//Приклад-ные задачи теорег.и матем.физики. - РигагЛГУ им.П.Стучки, 1980. - С.3-10.

30. Калис Х.Э., Колесников D.E. Численное исследование единичного вихря вязкой несжимаемой электропроводящей жидкости в осевом однородном магнитном поле//Магнитная гидродинамика. - 1980. - № 2. - С.57-61.

31. Форжстова М., Хаслингер Я., Калис Х.Э. Применение метода сеток и метода конечных элементов для расчета плоскопараллельного сдвигового течения электропроводящей жидкости в магнитном поле//Численные методы механики сплошной среды.

- 1980. - Т.П. - № 6. - С.150-161.

32. Калис Х.Э. 0 постановке граничных условий для решения системы уравнений Навье-Стокса в переменных функции тока и вихря сксрости//Проблемы вязких течений, труды 8-го Всесо-юз.школы-семин. по численным методам механики вязкой жидкости. - Новосибирск: СО АН СССР, инст.теор.и прикл.мех., 1981.

- С.93-103.

33. Калис Х.Э., Луринс Г.Р. Определение оптимального релаксационного параметра для Некоторых монотонных разностных схем//1атв.матем.ежегодник. - Рига: Зинатне,1981. - Вып.25.

- С.167-178.

34.' Калис Х.Э., Колесников П.Б. Исследования единичного вихря в осевом однородном магнитном поле при наличии компоненты скорости вдоль поля//Магнитная гидродинамика. - 1981.

- № I. - С.29-35.

35. Калис Х.Э., Колесников D.B. Численное моделирование свободного вихревого течения в осевом магнитном поле//10-е

Рижское совещание по МГД. - Тезисы докладов. - Рига,1981.

- С.43-44.

36. Кате Х.Э., Колесников D.E., Поляков H.H. Возникновение и разрушение вихря в закрученном потоке в продольном магнитном лоле//Ю-ое Рижское совещание по МГД, I, общие и теорет.вопросы МГД. - Тезисы докладов. - Рига,

1981. - С.41-42.

37. Калис Х.Э., Колесников D.E. Численное моделирование плоскопараллельного сдвигового слоя в магнитном поле// 10-ое Рижское совещание по МГД, I, общие и теорет.вопросы МГД. - Тезисы докладов. - Рига,1981. - С.169-170.

38. Калис Х.Э., Колесников D.E. Численное моделирование свободного вихревого течения в осевом магнитном поле// 10-ое Рижское совещание по МГД, I, общие и теорот.вопросы МГД. - Тезисы докладов. - Рига,1981. - С.43-44.

39. Kulis П., lloldcnhuuor V/. , Itlodownld С. Nuino riuche Expcrlmont» mit mono tonon D Ifferon/A' nnchcnian/Alntlioinnt Inch-Nntuiv/isiionschnfil i.clie ¡«¡ihe .18.-19Ü-'.-lieft 1.-H.77-U2.

40. Калис Х.Э. О монотонных разностных схемах для решения одной .краевой задачи ристемы уравнений магнитной гидродинаиики//Численкыэ методы механики сплошной среды. -

1982. - T.I3. - # I. - С. 84-97.

41. Калис Х.Э. Специальные разностные схемы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порвдка//Прикладные задачи математической физики.

- Рига: Л1У им.П.Стучки,1983. - C.II5-I33.

42. Калис Х.Э., Пагодкина И.Э. Некоторые разносные схемы для решения задач конвекции вязкой несжимаемой жид-кости//Прикладше задачи математической физики. - Рига: ЛГУ им.П.Стучки,1983. - C.I34-I4I.

43. Калис Х.Э., Колесников Ю.Б., Поляков H.H. Исследование вращающеюося течения в продольном магнитном поле// Магнитная гидродинамика. - 1983. - № I. - С.71-76.

44. Калис Х.Э., Каплан C.JJ. Расчет течения вязкой несжимаемой электропроводящей жидкости в согнутом канале// Латв.матеи.екегодник. - Рига: Зинатне,1983. - Вып.27. -

С.28-36.

45. Калис Х.Э. О некоторых численных экспериментах по исследованию гидродинамической устойчивости сдвиговых течений жидкости//Численные методы динамики вязкой жидкости, труды 9-го Всесоюз.школы-семинара. - Новосибирск: СО АН СССР, Инст.теорет. и прио.мех. 1963. - СЛ79-Т35.

46. Калис Х.Э., Кслесников Ю.Б. Устойчивость вращательного сдвигового осесиммегричного течения в осевом магнитном поле//Магнитная гидродинамика. - 1983. - № 3. - С.72-76.

47. Калис Х.Э. Специальные разностные методы решения задач Копи для обыкновенных дифференциальных уравнений// Латв.матем.ежегодник. - Рига: Зинатне,1984. - Вып.28. -С.39-61.

48. Калис Х.Э., Колесников О.Б. Исследование плоскопараллельного сдвигового течения в поперечном магнитном поле при наличии однородного потока вдоль поля//Магнитная гидродинамика. - 1984. - № I. - С.66-70.

49. Якович А.Т., Калис Х.Э., Муйжииекс А.Р. Численное исследование течения в узком зазоре, перпендикулярном поло при пропускании тока через проводящую жидкость//П-ое Рижское совещание по МГД. I, общие и теорет.вопросы МГД. - Тезисы докладов. - Рига,1984. - С.63-66.

50. Калис Х.Э., Колесников Ю.Б. Исследование гидродинамической устойчивости осесимметричного и плоскопараллельного МГД течений//П-ое Рижское совещание по МГД, I общие и теорет.вопросы МГД. - Тезисы докладов. - Рига,1984. -С.П-14.

51. Калис Х.Э. Построение монотонных разностных схем для решения задач об осесииметрично-вращательных конвективных течениях вязкой несжимаемой жидкости//Прикладные задачи математической физики. - Рига: ЛГУ им.П.Стучки,1985.-С.51-59.

52. Калис Х.Э., Луринс Г.Р. Применение специальной разностной схемы для расчета потоков вязкой несжимаемой электропроводящей жидкости//Проблемы динамики вязкой жидкости, труды X Всесоюз.школы-семинара. - Новосибирск: СО АК СССР, Инст. теор.и прикл.мех., 1985. - С.172-175.

53. Калис Х.Э. О применении некоторых монотонных разностных схем для решения эллиптических уравнений второго порядка

//Численные методы механики сплошной среды. - 1985. - Т. 16.

- № 2. - С.65-00.

54. Калис Х.Э. Сравнение разностных схем для расчета некоторых модельных задач//1С-ая Всесоюзная школа Теоретические и прикладные проблемы вичисл.матем.и матем.физики.-Тезисы докладов. - Рига,1985. - С.49.

55. Калис Х.Э., Курситис Я.О. Расчет течения вязкой несжимаемой электропроводящей жидкости на начальном участке калала//Латв.шгем.еяегодшк. - Рига:Зинатне, 1985. - Вып.29.

- С.178-186..

56. Калис Х.Э. Построение точных разностных схем для одномерных модельных задач магнитной гидродинашки//Числен-ные метода механики епдошюй среды. - 1986. - Т. 17. - ?Г> 3.

- С.80-91.

57. Калис Х.Э. Точзше разностные схемы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с кусочно-постоянными коэффициентами//Латв.матем. ежегодник. - Рига: Зинатне,1986. - Вш.ЗО. - С. 177-184.

58. Калис Х.Э. Специальные разностные схемы решения краевых задач математической физики//Электрошое моделирование. - 1986. - Т.8. - » 3. - С.78-83.

59. Калис Х.Э. Некоторые разностные схемы для расчета потоков вязкой несжимаемой электропроводящей жидкости//б-ой Всесосз.съезд по теор.и прикл.механике. - Аннотация докладов. - Ташкент,1986. - С.322.

60. Калис Х.Э. Численное моделирование пространственного МГД-течения между двумя конечными коаксиальными цилиндра-ми//12-ое Рижское совещание по МГД, I общие и теорет.вопросы. - Тезисы докладов. - Рига,1987. - С.23-26.

61. Калис Х.Э. Численное моделирование температурных

и гидродинамических полей в системе кристалл-расплав-флюс// Прикладные задачи математической физики. - Рига: Л1У им. П. !тучки,19Э7. - С.53-62.

62. Бояревич Б.В., Горбачев Е.В., Калис Х.Э., Кравцов В.Г., Миллере Р.П., Чайковский А.И. Математическое и физическое моделирование МГД потоков в алюминиевых электролизе-

-ое.Рижское совещание по МГД, I общие и теорет.вопро— сы. - Тезисы докладов. - Рига,198Г7. - С.227-230.

63. Кплис X.D. Некоторые разностные схемы для решения краевых задач гидродинамики и магнитной гидродинамики в широком диапазоне изменения параметров//Латв.татем.ежегодник.

- Рига: иинатне,1900. - Бып.31. - С.160-166.

64. Калис Х.Э. Численная реализация течения Колмогорова в сильном магнитном поле//Магнитная гидродинамика.-1988.

- № 4. - С.69-74.

65. 1£алис Х.Э. Осесимметричное свободное сдвиговое МГД-течение жидкости между двумя коаксиальными цилиндрэми//Латв. матем.ежегодник. - Рига:Зинатно,1988. - Вып.32. -C.127-I3I.

i;r,li:: П., INjuliiri A.A., Kolctirilko V ,Н<. rt. f':!flJ. in— etiibiritiuii mill Uj rhu I iK-'j In liquid mutiil slicr-r Flown// !i imp o;; lira on llqulil inufcnl uinjnotohydjmrtjN'raiicii, USSH.

- Ab:>livw fcs. - üi^a, -VJUti. - pp.71.

67. Бояревич B.B., Полис Х.Э., Миллере Р.П., Пагодкина И.Э. Численное моделирование магнитного поля и движения расплава в алюминиевых элоктролизерахУ/Прикладные задачи математической физики. - Рига:ЛПУ им.П.Стучки,1988. - С.4-12.

68. Бояревич В.В., Калис Х.Э., Миллера Р.П., Пагодкина И.Э. Математическая модель для расчета параметров алюминиевого электролизераУ/Цветнье металлы. - 1988. - № 7. - С.63-66.

69. Бояревич В.В., Калке Х.Э. Методика расчета стационарного магнитного поля на основе закона Био-Савара-Лапласа в многослойных средах//Известия АН Латв.ССР, сер.физ.и техн. наук. - 1988, - № 3. - C.II3-II9.

70. Калис Х.Э., Бояревич В.В. Турбулентное движение двухслойной жидкости под действием объемных сил//Всесоюзая конференция Проблем» страфицированных течений, Юрмала,1988г. - Тезисы докладов,II турбулентность, тонкая структура, лабо-работное моделирование, методы измерений. - Саласпилс,Ш38. -С. 25-28.

71. Калис Х.Э., Османис А.Д. Численное моделирование потоков свииецссдержшдей стекломассы в электромагнитном по-ле//Прикладние задачи математической физики. - Рига: ЛГУ им.П.Стучки, 1988. - С.78-82.

72. Кали с Х.Э. Об одной линейной краевой ¡задаче гидродинамики о разрывным решением возникающей в процессе электролиза//Латв.иатеы.ежегодник. - Рига:Зинатне, 1989. -Вып.33. - С.160-170.

73. Pciatauc г !.'.. , KulUiH., Ilokvtü ¡А . lA.ntliO;n;\t je nl t-.io -ilolliiifj of im olecti-ul^iiin ргосозп/Усommcnt.t.Tntl< .11 niv.Cnro-llnac. - 19Ш'. - 30,3. - pp .465-477-.

74. Bojurevicu V., Chülicovsky Л.1., Gorbunhu-v U.V., Kollo H., Miller1^ Ii., Scherbiii in Kh.V. riO'üictil und ¡natho-innfical :nodeliii(j of НГО-рГосе.чпсз iti aluniniuni rudut: tiori cell//proc.of IUTrtT ^¿Ttiponiuia o» liquid metal inncnotolii'd-rodynanico, niEu lG-i 0 May, lSÖö'/I.Jqu i.d meto! тецпо triiyd-rodimmion. - 19f>9. - pp.?05-211.