Математические модели расчета воздействия потока вязкой несжимаемой жидкости на тело

Карсян, Анжела Жозефовна

Математические модели расчета воздействия потока вязкой несжимаемой жидкости на тело тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Карсян, Анжела Жозефовна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Ростов-на-Дону МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Математические модели расчета воздействия потока вязкой несжимаемой жидкости на тело»

Автореферат диссертации на тему "Математические модели расчета воздействия потока вязкой несжимаемой жидкости на тело"

На правах рукописи

Ифш*-

Карсян Анжела Жозефовна

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РАСЧЕТА ВОЗДЕЙСТВИЯ ПОТОКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ НА ТЕЛО

01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005545519

Ростов-па-Дону — 2013

005545519

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Ростовский государственный университет путей сообщения».

доктор физико-математических наук, профессор Потетюнко Эдуард Николаевич

доктор технических наук, профессор Максимов Василий Васильевич, профессор кафедры теории систем управления электрофизической аппаратурой ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет»,

кандидат физико-математических наук Королев Виталий Владимирович, доцент кафедры теоретической физики и волновых процессов ФГАОУ ВПО «Волгоградский государственный университет».

ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет»

Защита состоится 14 февраля 2014г. в 15-00 на заседании диссертационного совета Д212.029.08 при ФГАОУ ВПО «Волгоградский государственный университет»: 400062, г. Волгоград, пр-т Университетский, 100, ауд. 4-01А.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГАОУ ВПО «Волгоградский государственный университет».

Автореферат разослан «ЛЬ» декабря 2013г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

Научный руководитель -Официальные оппоненты:

Ведущая организация -

В.А. Михайлова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Задачи обтекания тел в воздушной или жидкой средах широко распространены при решении экологических задач в борьбе с загрязнением атмосферы, при изучение взвеси мелких частиц в атмосфере [1,4,5,6], находят применение в химической технологии [1,2,3] и горном деле [1,7] и представляют научный и практический интерес. Одним из основных вопросов, возникающим при решении таких задач, является вопрос об уменьшении силового воздействия на обтекаемое тело со стороны окружающей ее среды.

Данному вопросу в научной литературе уделяется большое внимание. В настоящее время существуют различные методы, позволяющие изменять силовое воздействие набегающего потока, однако эти методы относятся в основном к традиционным экспериментальным методам управления потоком и не позволяют сделать обобщающие выводы, выделить закономерности и построить общие формулы. И возникает необходимость в развитии теоретических подходов к изучению данной задачи, позволяющих вывести общие закономерности и расчетные формулы для того, чтобы оценить силовое воздействие потока жидкости на обтекаемое тело.

При моделировании рассматриваемых процессов особый интерес вызывают модели, учитывающие влияние малых радиальных перемещений поверхности обтекаемого тела на силовое воздействие нестационарного набегающего потока, вязкой пленки на поверхности обтекаемого тела и учет силы поверхностного натяжения на границе между пленкой и набегающим потоком на возможность уменьшения силового воздействия стационарного набегающего потока. Исследование математических моделей, учитывающих эти особенности, и позволит не только рассчитать силовое воздействие стационарных и нестационарных потоков, но и определить условия, при которых можно свести это воздействие к минимуму. Это определило направление и актуальность диссертационного исследования.

Цель и задачи исследования. Целью работы является исследование влияния вязкой пленки, покрывающей обтекаемое тело, малых радиальных перемещений поверхности обтекаемого тела на величину силового воздействия набегающего потока. В соответствии с поставленной целью решаются следующие задачи:

1. Получение аналитического решения задачи о гидродинамическом воздействии нестационарного потока вязкой несжимаемой жидкости на деформируемое-сферическое тело

2. Изучение влияния малых радиальных перемещений поверхности обтекаемого тела на величину силы воздействия на тело набегающего потока

3. Исследование математической модели, описывающей процесс обтекания стационарным потоком вязкой несжимаемой жидкости сплюснутого сфероида, покрытого вязкой пленкой, с учетом силы поверхностного натяжения на границе раздела вязкая пленка набегающий поток

4. Получение аналитического выражения для силы, действующей на сплюснутую сфероидальную частицу, покрытую вязкой пленкой, в стационарном потоке вязкой несжимаемой жидкости

5. Изучение влияния физических параметров вязкой пленки, покрывающей обтекаемое тело, на возможность изменения силового воздействия набегающего потока

Объекты и методы исследования. Основной объект исследования -задачи и модели, описывающие процесс обтекания вязкой несжимаемой жидкостью тела. Предмет исследования - стационарные и нестационарные модели. При проведении диссертационных исследований использовались общие принципы математического моделирования, гидродинамические уравнения, теория дифференциальных уравнений в частных производных, теория возмущения, математический анализ, методы компьютерной алгебры с использованием системы аналитических вычислений Maple 8, программирование в среде Visual Basic 6.0.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Аналитически решена задача об обтекании сплюснутого сфероида, покрытого вязкой .пленкой, стационарным потоком вязкой несжимаемой жидкости. На границе раздела жидкостей учтено поверхностное натяжение. Получена формула для определения силового воздействия на сплюснутый сфероид, покрытый вязкой пленкой, со стороны набегающего потока.

2. Получено аналитическое решение задачи о гидродинамическом воздействии нестационарного потока вязкой несжимаемой жидкости на деформируемое сферическое тело

3. Учтено влияние малых деформаций поверхности сферического тела на величину силы воздействия набегающего потока, в частности, получена зависимость от времени малых радиальных перемещений поверхности обтекаемого тела, позволяющая минимизировать силовое воздействие набегающего потока.

4. Разработано программное приложение для исследования влияния физических параметров вязкой пленки, покрывающей обтекаемое сферическое тело, на величину силы воздействия на тело стационарного потока вязкой несжимаемой жидкости. На границе раздела жидкостей учтено поверхностное натяжение.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Аналитическое решение задачи о нестационарном обтекании деформируемого сферического тела потоком вязкой несжимаемой жидкости в приближении малых чисел Рейнольдса при заданной скорости набегающего потока.

2. Формула для определения гидродинамического воздействия со стороны нестационарного потока вязкой несжимаемой жидкости на деформируемое сферическое тело с учетом малых радиальных перемещений поверхности тела

3. Зависимость от времени малых радиальных перемещений поверхности обтекаемого тела, позволяющая минимизировать силовое воздействие набегающего потока.

4. Аналитическое решение задачи об осесимметричном обтекании медленным потоком вязкой несжимаемой жидкости сплюснутого сфероида, покрытой вязкой пленкой в приближении Стокса. На границе раздела жидкостей учитывается поверхностное натяжение.

5. Формула для определения силового воздействия, действующего на сплюснутую сфероидальную частицу, покрытую вязкой пленкой, со стороны стационарного потока вязкой несжимаемой жидкости Практическая значимость диссертационной работы состоит в том, что

дает возможность изучить влияние физических параметров жидкой пленки, покрывающей обтекаемое тело, малых радиальных перемещений поверхности обтекаемого тела на возможность изменения силового воздействия набегающего потока. Полученные результаты могут быть использованы при управлении формой обтекаемой поверхности для снижения силового воздействия набегающего потока на обтекаемое тело в процессе осаждения частиц в средах с различной вязкостью, при рассмотрении задач возникающих в биологических, технических, химических и других системах.

Достоверность результатов работы обеспечивается тщательной обоснованностью рассматриваемых математических моделей; корректным применением фундаментальных законов теории вязкой жидкости, а также известных математических методов; использованием при математическом моделировании приближений, которые не противоречат физике рассматриваемых процессов и являются принятыми в литературе; результатами численного анализа, а также соответствием полученных результатов работы с известными решениями в предельных случаях.

Апробация работы. Результаты данной работы докладывались и обсуждались:

1.Ha международных научных конференциях:

-"Строительство-2003", Ростов-на-Дону, Ростовский государственный строительный университет, 3 марта 2003 г.

-"Безопасность жизнедеятельности. Охрана труда и окружающей среды" Ростов-на-Дону, Ростовская государственная академия сельскохозяйственного машиностроения, 29 апреля 2003 г.

-"Математические методы в технике и технологиях", Кострома, Костромской государственный технологический университет, 1-3 июня 2004г.

-"Математические модели процессов в строительстве", Луганск, Луганский национальный аграрный университет, 9-11 июня 2004г.

-"Joint International Conference on Computing and Decision Making in Civil and Building Engineering", Montreal, Canada, June 14- 16, 2006r.

-"Ninth International Symposium on Fluid Control", Florida, 16-19 September,

2007.

2.На Всероссийских научных конференциях:

-"Транспорт-2004", Ростов-на-Дону, Ростовский государственный университет путей сообщения, 25-27 мая, 2004г.

-"Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики", Российская академия наук, Санкт - Петербургский научный центр, Санкт-Петербург, 27-29 мая, 2008г.

-"Актуальные вопросы науки и образования", Академия Естествознания, Москва, 13-15 мая, 2009г.

3.На научных семинарах:

-Ростовского государственного университета путей сообщения кафедры "Технология металлов"

-На семинаре по механике сплошной среды им. Л.А.Галина, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук ИПМех РАН, Москва, 23 декабря, 2011г.

4.На совместных научных семинарах:

-кафедры "Технология металлов" Ростовского государственного университета путей сообщения с кафедрами: "Теоретическая гидроаэромеханика" Южного федерального университета (2007), "Вычислительная математика и методы математической физики" Южного федерального университета (2007), "Математическое моделирование" Южного федерального университета (2009).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 18 работ, в том числе 4 статьи в журналах, рекомендованных перечнем ВАК РФ, в том числе 1 статья в журнале, входящем в список международного цитирования.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, и списка литературы из 147 наименований. Диссертация содержит 104 страницы текста и 6 рисунков.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель диссертационной работы, излагаются поставленные задачи, показана практическая значимость и научная новизна, приведены формулировки основных положений, которые выносятся на защиту.

Первая глава содержит хронологический обзор научных публикаций, посвященных расчету воздействия потока вязкой несжимаемой жидкости на обтекаемое тело. Уделено внимание обзору исследований, рассматривающих основные методы, позволяющие изменять силовое воздействие набегающего потока.

Во второй главе диссертационной работы рассматривается осесимметричное обтекание жесткого сплюснутого сфероида, покрытого вязким слоем (рис.1), стационарным потоком вязкой несжимаемой жидкости, имеющей на бесконечности заданную скорость и„ =№. (е, - вектор, направленный вдоль потока в сторону положительной оси г,), плотность р* и кинематическую вязкость V*. На поверхности раздела вязкая пленка набегающий поток учитывается сила поверхностного натяжения. Сфероидальный слой вязкой

жидкости, покрывающей тело, имеет плотность р~ и кинематическую вязкость v'. Здесь и далее величины, относящиеся к среде внутри вязкой пленки, отмечаются знаком минус, а величины, относящиеся к внешней среде, отмечаются знаком плюс. Координатная поверхность '£ = £■„ соответствует поверхности сплюснутого сфероида, координатная поверхность е = е, соответствует границе контакта набегающего потока и вязкой пленки, покрывающей сфероид.

Описание обтекания сплюснутого сфероида производится в сфероидальной системе координат (e,rj,p) с началом в центре сфероида. Сфероидальные координаты (s,r],(p) связаны с декартовыми координатами (x,y,z) следующими соотношениями [3]: х = cche sin rj cos <р, у = cche sin sin <p,z = cshscosrj, где а и b полуоси сфероида, < °о,О < TJ < я-,0 < <р < 2л.

t t»-t t t t

Рис.1. Геометрия модели, иллюстрирующая сплюснутую сфероидальную частицу, покрытую вязкой пленкой

Для описания движения жидкости внутри вязкого слоя и в набегающем потоке используем стационарные уравнения движения Стокса и уравнение неразрывности:

о = (1)

ЛуУ* = 0 (2)

где Vк;,к;) - вектор скорости, р1 - давление, И = /I1/р1- динамическая вязкость, V*(г,(е,77) - компоненты скорости в сфероидальной системе координат, У*(е,7т) = 0 в силу симметрии обтекания. На поверхности раздела вязкая пленка набегающий поток действует сила поверхностного натяжения, которая проявляется в появлении капиллярного давления ра, так что Р* = Р~ + Ра, где величину ра можно определить по формуле Лапласа [7]:

(3)

где г,,гг - главные радиусы кривизны обтекаемой поверхности, а-коэффициент поверхностного натяжения на границе раздела набегающего

потока и вязкой пленки. Для сплюснутого сфероида главные радиусы кривизны принимают значения г, = а = ссИе, г2=Ь = «Ас.

Задача (1) - (2) решается со следующими граничными условиями в сфероидальной системе координат (е, г/, <р):

!.На поверхности сфероида е = еа выполняются условия равенства нулю нормальной и тангенциальной компонент скорости внутренней среды

И,-(в,!7)=0,Г,-М)=0 (4)

2.На границе раздела внешней и внутренней среды £• = £•, выполняются кинематические условия

(5)

3.Условие непрерывности компонентов тензора напряжений при переходе через поверхность раздела двух сред £• = £■,

Р» п) = Р1 (*> п)+Ра • Реп (Е'?)= Р'п (*>ч) (б)

где ра определяется по формуле (3) и имеет вид: ра = + а'

коэффициент поверхностного натяжения на границе раздела набегающего потока и вязкой пленки, р% (е, п\р% (с> п) ~ компоненты тензора напряжений в сфероидальной системе координат (е,ц,<р) внутри вязкой пленки и в набегающем потоке.

4. На бесконечности задается скорость набегающего потока \*{е,г])=ие1 (7)

В п.2.2. приводится аналитическое решение краевой задачи (1) - (7), определяющее поле скоростей и распределение давлений как внутри пленки, так и в набегающем потоке. Решение задачи находится методом разделения переменных, раскладывая поля скорости и давления по полиномам Лежандра и Гегенбауэра через функцию тока Стокса

^{Л,//) = С,*Л + С*(я-агсагЛ.(\ + Я2))+С3*(1 + Я2)+ С4" ± (-5Я3 -+ (8)

где использовано Jг(f¡}=U^-- полином Гегенбауэра, у/1 (А,/;) - функция тока

рассматриваемого внешнего течения. у/* (Яе^,со]) и внутреннего течения ц/~ (Яе^.Д^.Я,, = *Лгг0, Я, = =

Компоненты скорости в координатах (л,р) определяются по формулам

<9)

а компоненты тензора напряжений в координатах (А,/;) определяются по формулам

Ра =~Р +-

сД2

вл ' {Л2+ц2)

(Н)

где использовано /¡(у;) = ц - функция Лежандра первого рода, У*(Я,р),У*{Я,р) -компоненты скорости в системе координат (я, //) внутри вязкой пленки и в набегающем потоке, р%{К р) - компоненты тензора напряжений в

системе координат (Я, р) внутри вязкой пленки и в набегающем потоке. С учетом граничных условий составляется система уравнений, для определения неизвестных постоянных , используя которые можно определить

функцию тока внешней и внутренней среды.

Силу, действующую на сплюснутый сфероид со стороны потока жидкости, определяем по формуле [I]:

(и)

где у/ - функция тока Стокса рассматриваемого течения, - функция тока, соответствующая течению жидкости на бесконечности: 1//х=-ир2/2, Р = су1а2 + 1^1-р2 . Подставляя в формулу (13) найденное значение функции тока рассматриваемого внешнего течения получаем формулу для определения силового воздействия набегающего потока на сплюснутый сфероид, покрытый вязкой пленкой:

цгг =4^/1(-с;/с,) (14)

гдед = р*,р2 =М~-

Выведенная формула (14) позволяет определить гидродинамическую силу, действующую на сплюснутый сфероид, покрытый вязкой пленкой, со стороны набегающего потока с учетом зависимости от коэффициентов вязкости внешней д и внутренней среды р2, от скорости набегающего потока и, от толщины пленки, коэффициента поверхностного натяжения на границе раздела основного потока и вязкой пленки а. В случае, когда Я, -»Л0 (т.е. толщина пленки стремится к нулю), формула (14) переходит в известное выражение для сплюснутого сфероида, представленное Хаппелем [3]:

IV = 8- агсс^ф\ - 0) (15)

Чтобы определить какое влияние вязкая пленка, покрывающая сфероид, оказывает на величину силового воздействия набегающего потока, в п. 2.3. проведен численный анализ полученного аналитического решения. В качестве примера рассматривается сплюснутая сфероидальная частица с размерами а„ =0.02м,Ь„ =0.01л< (Д„ = 0.5773), обтекаемая стационарным потоком вязкой несжимаемой жидкостью. Параметр Я, изменяется в интервале от Л, до значения Я, =0.5891 ( А, = А0 означает, что толщина пленки равна нулю),

а = 0.0757 —. На рис.2.а. и рис.2.б. представлены графики зависимости от м

параметра Л, отношения силы, действующей со стороны набегающего потока на сплюснутую сфероидальную частицу, покрытую вязкой пленкой ((¥2), к силе,

действующей на сплюснутую сфероидальную частицу без пленки (IV), для случая воздушной пленки, покрывающей обтекаемое тело, в потоке воды (рис.2.а.) и для случая водной пленки, покрывающей тело в воздушном потоке (рис.2.б.) при различных скоростях набегающего потока.

а) б)

Рис.2. График зависимости от параметра Л, отношения силы, действующей со стороны набегающего потока на сплюснутую сфероидальную частицу, покрытую вязкой пленкой к силе, действующей на сплюснутую сфероидальную

частицу без пленки (IV), где 1 - и = 0.01л</с,2 - и = 0.05м/с, 3 - и = 0.1 м/с

а)=0.0018—,м2 =0.000018—, б)/л{ =0.000018—= 0.0018—

мс мс мс мс

На рисунках видно, что в случае, когда вязкость внутренней среды меньше вязкости внешней среды (и2<ц.,ц. =0.0018—, =0.000018— (рис.2.а.)

мс мс)

увеличение толщины пленки приводит к снижению силового воздействия набегающего потока. В случае, когда вязкость внешней среды меньше вязкости

внутренней среды < ^„и, = 0.000018—= 0.0018— (рис.2.б.) с увеличением

мс мс)

толщины пленки происходит увеличение силового воздействия набегающего потока.

В третьей главе рассматривается осесимметричное обтекание сферического тела с деформирующейся поверхностью нестационарным потоком вязкой несжимаемой жидкости, имеющей на бесконечности заданную скорость: и (г) = и(/)х0, где *0 - единичный вектор, направленный вдоль потока (рис. 3). Определяется гидродинамическое воздействие набегающего потока на тело с учетом малых радиальных перемещений поверхности тела. Исследуется влияние

малых радиальных перемещений поверхности обтекаемого тела на величину силы воздействия на тело набегающего потока.

Рис.3.Геометрия модели, иллюстрирующая осесимметричное обтекание деформирующегося сферического тела нестационарным потоком вязкой несжимаемой жидкости

п.3.1. Для описания движения жидкости используются нестационарные уравнения Стокса и неразрывности в сферической системе координат для осесимметричного случая:

8УГ 81

дК

31 ЗУ.

1 др

---—+1

р дг

рг дв^

5\ 1 8% 2 дУг сЩвдУг 2 дУв дг2 + г2 дв2 + г дг + г2 дв г2 дв

2УГ 2<Л&0,

1 8Уе 2 V +--2- + —- +

дг г 89 г

дг2

1 аX 2вУ, Мв)дУв 2 дк

г2 дв2 г дг г1 дв г2 дв

г2 ьт2е

= 0

(16)

(17)

(18)

где У{Уг,Ув,Ух) - вектор скорости, р - давление, и = р, ¡л - динамическая вязкость жидкости, У,,Ув - компоненты скорости в сферической системе координат, К, = 0 в силу симметрии обтекания.

Задача (16) - (18) рассматривается с учетом граничных условий в сферической системе координат, при этом полагаются заданными по времени малые радиальные перемещения поверхности сферического тела Граничные

условия задаются на деформируемой поверхности сферического тела (г = а + д(в, г)), но поскольку радиальные перемещения поверхности обтекаемого тела полагаются бесконечно малыми д{в,1)1а<< 1, в процессе линеаризации граничные условия сносятся на недефррмированную поверхность г = а. (Здесь а - радиус

недеформированной сферы, д{в,1) = ^дХ'У^^в) • зависимость от времени Г

1-1

малых радиальных перемещений поверхности сферы, !] (сс«^) - полиномы Лежандра).

На поверхности сферы г = а условия имеют вид

Vír в ,)-dr -¿¿в,') , dg(e,t)dd

' ' dt dt дв dt (19)

Ve{r,6,t)= O

В предположении, что значение дд(г,в)/дв очень мало в силу малости радиальных перемещений поверхности сферы, граничные условия (19) принимают вид

гУ ' dt Ve(r,e,t) = О

В случае отсутствия малых радиальных перемещений поверхности сферы (рассматривается задача обтекания недеформируемой твердой сферы) граничные условия на поверхности сферы г = а принимают вид

На бесконечности г -ют задается скорость набегающего потока Vr(г,0,t)—>U(t)cosв, Ve(r,e,t)-*-U(t)sin(9 (20)

и давление:

где ра - давление невозмущенного потока жидкости, удовлетворяющее соотношениям [8]: Ф1 = _ дК_ = _ гЗУв дг Р dt ' дв РГ dt

Начальные условия (г = 0) имеют вид К(г,<?,/) = 0, U(t) = 0, = (21)

В п.3.2. приводится аналитическое решение задачи. Решение задачи строится с помощью преобразования Лапласа по времени t и разложения искомых и заданных функций в ряды по полиномам Лежандра.

С учетом граничных условий и условия на бесконечности составлена система, решение которой позволяет определить в трансформантах Лапласа радиальную, тангенциальную компоненты скорости и динамическое давление. По найденным давлению и компонентам скорости в трансформантах Лапласа определяются компоненты тензора напряжений. Проекция вектора силы, действующей на деформируемую сферу со стороны потока жидкости, на направление х0 в трансформантах Лапласа определяется по формуле [8]:

W{a) = J(p„(cr)cos в - prg(<r)sm в)2ла2 sin в dd (22)

где р„{а), рг$(сг) - компоненты тензора напряжений в трансформантах Лапласа, ст - параметр преобразования Лапласа. Подставляя в выражение (22) найденные значения компонент тензора напряжений, получаем формулу для определения в трансформантах Лапласа силового воздействия набегающего потока с учетом малых радиальных перемещений поверхности сферы:

<т а2 а

№(<т) = 2и(о)лрш\а2 ^ + 3 + 3а^ -2ф)лри11а^<т + <т + ~а | (23)

После обращения по Лапласу формула (23) принимает вид: V*J0(f-r) dr 3 dt 3 Л

^ \л1(1-т) dr2 Л 3 Л

Формула (24) позволяет определить зависимость силы воздействия нестационарного потока вязкой несжимаемой жидкости с учетом малых радиальных перемещений поверхности сферы от времени t. В случае отсутствия малых радиальных перемещений поверхности сферы (ç(6,t) = 0), формула (24) примет вид:

„,<\ С 2 W't dr du{г) 2 з duit) 4 3 dU{t) ,л

mt) = 6naIpJ—\ , -+ -— + — лар—f^ + 6mvpU(t) (25)

lijVl-г A 3 dt 3 dt

2 з rft/(r) 4 3 Л/(/)

где —пар—— - сила присоединенных масс; -пар—- сила инерции;

3 dt 3 dt

6mvpu(t) - сила Стокса, 6na2pJ^-\ fT . сила Бассе-Буссинеска [12], [13].

V/rjV<-r dt

Задача об обтекании шара, движущегося неравномерно поступательно с заданной скоростью К(/) в безграничной области, заполненной вязкой жидкостью решена в работе [14]. Если не учитывать силу инерции, то решение задачи, переходит в решение задачи Буссинеска [14]. При /->» формула (25) преобразуется в известную формулу Стокса [8] W = bm vpUa.

Минимизируем силовое воздействие набегающего потока за счет малых радиальных перемещений поверхности сферического тела. Рассмотрим случай обтекания нестационарным потоком вязкой несжимаемой жидкости деформируемого сферического тела с заданной скоростью £/(/) = £/0(1-е-"), где U„,b- положительные постоянные, измеряемые в метрах в секунду и секундах в минус первой степени соответственно 1/с. Полагая силовое воздействие равным нулю: W(cг)=0, из формулы (23) получаем

ф) = Ъи{а)1а = 3 U0bl{a\a+b)). (26)

После обращения по Лапласу [15], [16] формула (26) примет вид ?1(/) = 3£/0(е-"+М. (27)

Соотношение (27) позволяет определить зависимость от времени / малых радиальных перемещений поверхности сферы, при которых силовое воздействие набегающего потока жидкости на сферу равно нулю. При малых радиальных перемещениях поверхности сферы имеем r = a+ç(e,t), (28)

где ç{9, t) = çx (t)P, (cos в) = 3U0 (e"" + bt -1)/> (cos в), гидродинамическое сопротивление сферы равно нулю.

В случае отсутствия малых радиальных перемещений поверхности сферы (ç(<?,/) = о), получаем задачу об обтекании твердой сферической частицы

нестационарным потоком вязкой несжимаемой жидкости для случая заданной скорости набегающего потока, и формула (25) примет вид:

»'(/) = брали, (1 -е" ) V + 2ра'пЦ, (Ьеы) V + бла'р^^-ег/^(29)

Полученная формула позволяет оценить силу воздействия потока вязкой несжимаемой жидкости в зависимости от времени /.

В п.3.3. приводится численный анализ полученных результатов для случая обтекания нестационарным потоком вязкой несжимаемой жидкости сферического тела с заданной скоростью и = ио{\-е~ь') при заданных значениях параметров набегающего потока: кинематической вязкости у, динамической вязкости ¡л, плотности р, времени /. По полученным результатам построены графики.

На рис.4, представлены графики, отражающие зависимость от времени / значений силы воздействия нестационарного потока вязкой несжимаемой. жидкости на жесткую сферу (1) и деформирующуюся сферу (2) при заданных

значениях:// = 0.0018 —,у = 0.0000018—,£/„ =0.01—,а = 0.0Ы,6 = 1- .

мс с с с

Рассматривается случай обтекания нестационарным потоком вязкой

несжимаемой жидкости сферического тела с заданной скоростью

£/(/)= 1/0(1-е~"), где / - время, с; С/0 - положительная постоянная, м/с; Ь -

положительная постоянная, 1/с. Скорость малых радиальных перемещений

поверхности сферического тела составляет 3% от скорости набегающего

потока: = 0.03С/(0. Отмечается снижение силового воздействия набегающего

потока в несколько раз.

Г(4 В

Рис.4. Зависимость от времени t значений силы воздействия нестационарного потока вязкой несжимаемой жидкости (^(/)на обтекаемую сферу: 1 жесткая сфера, 2. деформирующаяся сфера

И t.c

В четвертой главе диссертации представлено программное приложение, разработанное в среде программирования Visual Basic б, для исследования влияния физических параметров вязкой пленки, покрывающей обтекаемое

сферическое тело на величину силы воздействия на тело стационарного потока вязкой несжимаемой жидкости.

Разработанный пользовательский интерфейс предоставляет возможность пользователю просматривать и изменять ряд параметров модели в процессе расчета (таких, как плотность, динамическая и кинематическая вязкость внешней и внутренней среды, коэффициент поверхностного натяжения на границе раздела основного потока и вязкой пленки, скорость набегающего потока), оценивать гидродинамическое воздействие потока на обтекаемое тело и выводить полученные результаты в графическом виде для дальнейшего анализа.

Разработанное программное приложение прошло регистрацию. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ (№18368. зарег. в реестре программ для ЭВМ РФ 04.06.2012 г.).

Результаты и основные выводы:

1 .Рассмотрена математическая модель, описывающая процесс обтекания нестационарным потоком вязкой несжимаемой жидкости деформируемого сферического тела в приближении малых чисел Ренольдса при заданной скорости набегающего потока. Определено гидродинамическое воздействие набегающего потока на тело с учетом малых радиальных перемещений поверхности тела.

2,Определена зависимость от времени малых радиальных перемещений поверхности обтекаемого тела, позволяющая минимизировать силовое воздействие набегающего потока. При условии отсутствия малых радиальных перемещений поверхности обтекаемого сферического тела получено решение задачи об обтекании неподвижной недеформируемой сферы нестационарным потоком вязкой несжимаемой жидкости.

3. Аналитически решена стационарная задача об осесимметричном обтекании медленным потоком вязкой несжимаемой жидкости сплюснутого сфероида, покрытой вязкой пленкой. Используется приближение Стокса. На границе раздела жидкостей учтено поверхностное натяжение.

4.Получена формула для определения силового воздействия набегающего потока на сплюснутый сфероид, покрытый вязкой пленкой с учетом зависимости от коэффициентов динамической вязкости внешней и внутренней среды //г, скорости набегающего потока и, коэффициента поверхностного натяжения на границе раздела основного потока и вязкой пленки а. Изучено влияния физических параметров вязкой пленки, покрывающей сплюснутый сфероид, на возможность изменения силового воздействия набегающего потока.

5.Разработано программное приложение в среде программирования УВ 6 для исследования влияния вязкой пленки, покрывающей обтекаемое сферическое тело, на возможность изменения силового воздействия стационарного потока вязкой несжимаемой жидкости. На границе раздела двух жидкостей учтено поверхностное натяжение.

СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир, 1976, 630 с.

2. Zenz F. A., Othmer D. F., Fluidization and fluid particle systems, New York, Reinhold, 1960.

3. Leva M., Fluidization, New York, McGraw-Hill, 1959.

4. Green H. L., Lane W. R., Particulate clouds, dusts, smokes, and mists, London, Spon, 1957.

5. Страус В. Промышленная очистка газов. — М., Химия, 1981, 616 с.

6. Richardson Е. G., Aerodynamic capture of particles, New York, Pergamom, 1960.

7. Gaudin A. M., Principles of mineral dressing, New York, McGraw-Hill, 1939.

8. Кочин H.E., Кибель И.А., Розе H.B. Теоретическая гидромеханика. М., Наука, ч.1,ч.2, 1963,728с.

9. С.Н.Дьяконов Влияние пограничных скачков температуры и концентрации на термофорез летучей капли сфероидальной формы в умеренно-разреженной бинарной газовой смеси, Дифференциальные уравнения и процессы управления, №2, 2006, стр. 1-40.

Ю.Комаров И.В., Пономарев Л.И., Славянов С.Ю. Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функций. М.: Изд-во Наука, 1976, 320 с.

11.Лойцянский Л.Г. Об изменении сопротивления тел путем заполнения пограничного слоя жидкостями с другими физическими константами. -Прикладная математика и механика, 1942, т.6, С.95-100.

12.Ландау Л.Д, Лившиц Е.М. Теоретическая физика. - М.: Наука, т.5., 1986, 735 с.

13.Нигматуллин, Р.И. Динамика многофазных сред / Р.И. Нигматуллин. - М.: Наука., 1987,464 с.

14.Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский. М.: Наука, 1987.

15.Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление // В.А. Диткин, А.П. Прудников. М: Изд-во Высшая школа, 1966.

16.Лурье А.И. Операционное исчисление / А.И. Лурье. М.: ГИТТЛ, 1951

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в ведущих рецензируемых журналах, рекомендуемых

ВАК РФ

1. Карсян А.Ж. Управление сопротивлением сферы, обтекаемой потоком вязкой жидкости / Вестник Ростовского государственного университета путей сообщения. - 2004. - Xsl. - С. 93-96.

2. Карсян А.Ж. Влияние фильтрации жидкости сквозь поверхность сферы на силу воздействия потока вязкой жидкости. Известия Вузов. СевероКавказский регион. Естественные науки. №2, 2008, - С. 35-40.

3. Карсян А.Ж. Исследование влияния физических параметров жидкой пленки, покрывающей сферу, на величину силы воздействия на сферу стационарного

потока вязкой несжимаемой жидкости / Вестник Ростовского государственного университета путей сообщения. - 2011. - №3. - С. 163-167.

4. Карсян А.Ж.Обтекание деформируемого сферического тела нестационарным потоком вязкой несжимаемой жидкости / Прикладная механика и техническая физика. - 2013. - №5. - С.58-63.

Другие публикации

5. Карсян А.Ж. Управление деформациями упругих тел в потоке жидкости / Строительство-2003: Материалы межд. науч.-практ. конф.: - Ростов н/Д: Ростовский государственный строительный университет, 2003. - С. 141-142.

6. Карсян А.Ж., Потетюнко Э.Н. Управление сопротивлением сферы, обтекаемой вязким потоком / Проблемы математического и компьютерного моделирования в научных исследованиях и образовательном процессе, Труды конференции, Краснодар, Кубанский военный авиационный институт, 15-16 мая, 2003,-С. 115-121.

7. Карсян А.Ж. Обзор статей по теме: Обтекание тела потоком жидкости / Ростовский государственный университет - Ростов н/Д, 2003. - 38 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 22.12.03, №2225.

8. Карсян А.Ж.., Потетюнко Э.Н. Расчет аэродинамического зонда для оценки предельной допустимой концентрации аэрозольных загрязнений воздуха на разных высотах / Безопасность жизнедеятельности. Охрана труда и окружающей среды: Межвуз. сб. науч. тр. - Ростов-на-Дону: Ростовская государственная академия сельскохозяйственного машиностроения, 2003. -С. 95-97.

9. Карсян А.Ж. Управление сопротивлением гидрометеорологических зондов / Математические методы в технике и технологиях: XVII Международная научная конференция "Математические методы в технике и технологиях", Сборник Трудов т.1, Кострома, Костромской государственный технологический университет, 2004. - С. 95-97.

\0. Карсян А.Ж. Нестационарная задача обтекания сферы потоком вязкой несжимаемой жидкости / Технические науки №49/52: Сб. науч. тр.- Луганск: Луганский национальный аграрный университет, 2004. - С. 383-388.

11 .Карсян А.Ж., Потетюнко Э.Н., Шубин Д.С. Управление сопротивлением сферы, обтекаемой потоком вязкой жидкости / Ростовский государственный университет - Ростов н/Д, 2004. - 101 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 18.02.04, №283.

12.Карсян А.Ж., Елманов ИМ- Управление сопротивлением движущихся тел / Транспорт-2004: Труды всероссийской науч.-практич. конф., - Ростов н/Дону: Ростовский государственный университет путей сообщения, 2004. -С.13-14.

13.Карсян А.Ж., Лайпанов Х.С. Стационарная задача обтекания сферы покрытой пленкой, потоками вязкой несжимаемой жидкости / Вестник Карачаево-Черкесского государственного университета. - 2004. - №14. - С. 275-298.

14.Angela Karsian, Edward Potetyunko, Issac Herskowitz, Leonid Srubshchik "IC-260 Wind response of the spherical structure with film cladding", Building On It, Conference Program and Book on Abstracts, Joint International Conference on Computing and Decision Making in Civil and Building Engineering, ISBN 2-921145-57-X, Montreal, Canada, June 14 - 16, 2006, P. 74.

15.Angela Karsian, Edward Potetyunko, Issac Herskowitz, Leonid Srubshchik "IC-260 Wind response of the spherical structure with film cladding", Building On It, Conference Proceedings, Joint International Conference on Computing and Decision Making in Civil and Building Engineering, ISBN 2-921145-58-8, Montreal, Canada, June 14 - 16, 2006, - P. 1694-1703.

16..Angela Karsian, Edward Potetyunko, Issac Herskowitz, Leonid Srubshchik "The Control of the Sphere Response in the Flow of the Viscous Fluid" in Ninth International Symposium on Fluid Control, Measurement and Visualization FLUCOME 2007, Florida, Tallahassi, 16-19 September, 2007, - P. 34.

17.Карсян А.Ж., Потетюнко Э.Н. Вывод граничных условий на поверхности набегающего потока и пленки, обволакивающей сферу / Академия Естествознания. Современные наукоемкие технологии, Материалы 5 общероссийской научной конференции "Актуальные вопросы науки и образования", Москва, 13-15 мая, 2009, №6, - С. 10-11.

18.Карсян А.Ж., Потетюнко Э.Н., Воронков Ю.С., Елманов И.М., Лежнев В.Г., Лежнев М.В. Задачи обтекания тел.; Рост.гос.ун-т путей сообщения. -Ростов н/Д, 2011.-284 с.

Личный вклад автора

Постановка задач, и обсуждение полученных результатов проводились совместно с научным руководителем Э.Н. Потетюнко. В работах, опубликованных в соавторстве с научным руководителем, личный вклад автора заключается в исследовании математических моделей, получении результатов, отладке и тестирование программных кодов, проведении анализа полученных результатов и их сопоставление с известными решениями, полученными другими авторами. Автором лично разработано программное приложение в среде программирования УВ 6.

Карсян Анжела Жозефовна

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РАСЧЕТА ВОЗДЕЙСТВИЯ ПОТОКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ НА ТЕЛО

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 11.12.2013 г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 7Х11.

Ростовский государственный университет путей сообщения. Ризография РГУПС.

Адрес университета: 344038, г. Ростов н/Д, пл. им. Ростовского Стрелкового Полка Народного Ополчения, 2.

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Карсян, Анжела Жозефовна, Ростов-на-Дону

04201455863

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ростовский государственный университет путей сообщения»

(РГУПС)

На правах рукописи

/6грш1

Карсян Анжела Жозефовна

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РАСЧЕТА ВОЗДЕЙСТВИЯ ПОТОКА ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ НА ТЕЛО

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Потетюнко Э.Н.

Ростов-на-Дону - 2013

СОДЕРЖАНИЕ

Обозначения и сокращения, принятые в диссертации..........................3

Введение....................................................................................5

§1.Анализ работ, посвященных вопросу оценки снижения воздействия

потока вязкой несжимаемой жидкости на тело...................................11

§2. Гидродинамическое воздействие жидкости при медленном обтекании

сфероидальной частицы, покрытой вязкой пленкой...........................21

§3. Исследование влияния малых радиальных перемещений поверхности обтекаемого тела на величину силы воздействия на тело нестационарного потока вязкой несжимаемой жидкости.................................................43

§4. Программное приложение. Решение задачи исследования влияния вязкой пленки, покрывающей сферическую частицу, на возможность

изменения гидродинамического воздействия набегающего потока.........75

Заключение................................................................................79

Библиографический список использованной литературы......................80

Приложение 1...........................................................................94

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В ДИССЕРТАЦИИ

е = е 0 - координатная поверхность, соответствующая поверхности сплюснутого сфероида

£ = £ 1 -координатная поверхность, соответствующая границе раздела набегающего потока и вязкой пленки, покрывающей сфероид р± - давление набегающего потока (р+) и вязкого слоя, покрывающего сфероид (/г)

р± - плотность набегающего потока (р+) и вязкого слоя (р=)

/г - динамический коэффициент вязкости вязкого слоя, покрывающего

сфероид (//=) и набегающего потока (ц+)

+ - ( 1 1 1 Р = р + ра, Ра - капиллярное давление: ра = а -+-

\ccJie с$1г£

а - коэффициент поверхностного натяжения на границе раздела набегающего потока и вязкого слоя, покрывающего сплюснутый сфероид У£±(£,?}),У1!±(£,??) = 0 - компоненты скорости в сфероидальной системе

координат (е,г]) вязкого слоя, покрывающего сплюснутый сфероид и набегающего потока

Рее(£>п\РеП(£>7т) ~ компоненты тензора напряжений в сфероидальной системе координат (е,т]) вязкого слоя, покрывающего сфероид и набегающего потока

|//± - функция тока рассматриваемого внешнего и внутреннего течения

иж = 11е2 - заданная скорость стационарного потока вязкой несжимаемой жидкости на бесконечности

у/х - функция тока, соответствующая течению жидкости на бесконечности:

у. = -ир1¡2

- сила, действующая на сплюснутый сфероид, покрытый вязким слоем, со стороны набегающего потока вязкой несжимаемой жидкости г = а - недеформированная поверхность сферического тела г = а + д(в, - деформируемая поверхность сферического тела t - время

д{в- малые радиальные перемещения поверхности сферического тела Р^соъб) - полиномы Лежандра

¥г(г,в^),¥в(г,в,() - компоненты скорости набегающего потока в сферической системе координат (г,в) ¡и - коэффициент динамической вязкости жидкости р - давление

р0 - давление невозмущенного потока жидкости на бесконечности сг- параметр преобразования Лапласа

заданная скорость нестационарного потока вязкой несжимаемой жидкости на бесконечности

- зависимость силы воздействия нестационарного потока вязкой несжимаемой жидкости с учетом малых радиальных перемещений поверхности сферы от времени /

Введение

Актуальность темы. Задачи обтекания тел в воздушной или жидкой средах широко распространены при решении экологических задач в борьбе с загрязнением атмосферы, при изучение взвеси мелких частиц в атмосфере [1,4,5,6], находят применение в химической технологии [1,2,3] и горном деле [1,7] и представляют научный и практический интерес. Одним из основных вопросов, возникающим при решении таких задач, является вопрос об уменьшении силового воздействия на обтекаемое тело со стороны окружающей ее среды.

минимуму. Это определило направление и актуальность диссертационного исследования.

1. Получение аналитического решения задачи о гидродинамическом воздействии нестационарного потока вязкой несжимаемой жидкости на деформируемое сферическое тело

Объекты и методы исследования. Основной объект исследования

- задачи и модели, описывающие процесс обтекания вязкой несжимаемой

жидкостью тела. Предмет исследования - стационарные и нестационарные

модели. При проведении диссертационных исследований использовались

общие принципы математического моделирования, гидродинамические

уравнения, теория дифференциальных уравнений в частных производных,

теория возмущения, математический анализ, методы компьютерной алгебры с использованием системы аналитических вычислений Maple 8, программирование в среде Visual Basic 6.0.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Аналитически решена задача об обтекании сплюснутого сфероида, покрытого вязкой пленкой, стационарным потоком вязкой несжимаемой жидкости. На границе раздела жидкостей учтено поверхностное натяжение. Получена формула для определения силового воздействия на сплюснутый сфероид, покрытый вязкой пленкой, со стороны набегающего потока.

Основные положения, выносимые на защиту:

2. Формула для определения гидродинамического воздействия со

стороны нестационарного потока вязкой несжимаемой жидкости на

деформируемое сферическое тело с учетом малых радиальных перемещений поверхности тела

что дает возможность изучить влияние физических параметров жидкой пленки, покрывающей обтекаемое тело, малых радиальных перемещений поверхности обтекаемого тела на возможность изменения силового воздействия набегающего потока. Полученные результаты могут быть использованы при управлении формой обтекаемой поверхности для снижения силового воздействия набегающего потока на обтекаемое тело в процессе осаждения частиц в средах с различной вязкостью, при рассмотрении задач возникающих в биологических, технических, химических и других системах.

результатов работы с известными решениями в предельных случаях.

Апробация работы. Результаты данной работы докладывались и обсуждались:

1 .На международных научных конференциях:

-"Строительство-2003", Ростов-на-Дону, Ростовский

государственный строительный университет, 3 марта 2003г.

-"Joint International Conference on Computing and Decision Making in Civil and Building Engineering", Montreal, Canada, June 14- 16, 2006r.

-"Ninth International Symposium on Fluid Control", Florida, 16-19 September, 2007.

2.На Всероссийских научных конференциях:

-"Транспорт-2004", Ростов-на-Дону, Ростовский государственный университет путей сообщения, 25-27 мая, 2004г.

-"Актуальные вопросы науки и образования", Академия Естествознания, Москва, 13-15 мая, 2009г.

3.На научных семинарах:

-Ростовского государственного университета путей сообщения кафедры "Технология металлов"

-На семинаре по механике сплошной среды им. Л.А.Галина,

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Института

проблем механики им. А.Ю. Ишлинекого Российской академии наук ИПМех РАН, Москва, 23 декабря, 2011г.

4.На совместных научных семинарах:

§1. Анализ работ, посвященных вопросу оценки снижения воздействия потока вязкой несжимаемой жидкости на тело.

Вопрос снижения силового воздействия потока жидкости на обтекаемое тело является одним из существенных вопросов, возникающих при обтекании тел в воздушной или жидких средах. Интерес к этой задаче объясняется ее большим прикладным значением в таких областях человеческой деятельности как химическая технология (процесс отделения пыли и влаги от разбавленной суспензии измельченного твердого материала [1,2,3]), экология - борьба с загрязнением атмосферы [1,4,5], в горном деле - где знание поведения и характеристик мелких частиц в жидкостях важно для разделения руд [1,6], метеорология - при решении задач связанных с изучением взвеси частиц в атмосфере [1,9,10,11], в исследовании микро и наносистем при решении некоторых проблем, которых могут быть использованы подходы и методы механики сплошной среды [12-16], применительно к процессам осаждения частиц в средах с различной вязкостью; в биологических системах при управлении формой обтекаемой поверхности для снижения силового воздействия набегающего потока на обтекаемое тело. Обтекаемые частицы имеют широкий диапазон формы тела, и многие из них могут быть представлены как в сферической, так и в сфероидальной форме.

Одним из основных вопросов, возникающим при рассмотрении таких задач, является вопрос об уменьшении силового воздействия на обтекаемое тело со стороны окружающей ее среды. Данному вопросу в научной литературе уделяется большое внимание. Первое решение задачи о сопротивлении движению твердого тела в вязкой жидкости было получено Дж. Стоксом. В 1851 г им была решена задача о медленном стационарном обтекании шара, когда основное значение придается силам трения и давления, а инерционные члены отбрасываются [17]. Полученная им формула носит название формулы Стокса, которая применима и к случаю осаждения всевозможных маленьких частиц, скорость которых не велика. К.Озеен [18] получил формулу для

сопротивления, которая представляет уточненную формулу Стокса. Нестационарная задача решена Буссинеском в конце 19 века, им выведена формула сопротивления шара радиуса а, движущегося поступательно с заданной скоростью V{t) в безграничной области, заполненной вязкой жидкостью [19]. В 1941 г Лойцянским был предложен метод изменения сопротивления тел путем заполнения пограничного слоя жидкостью с другими физическими константами по сравнению с набегающим потоком [20]. Целью его работы являлось решение теоретического вопроса об оценке возможного выигрыша в сопротивлении за счет введения в пограничный слой некоторой жидкости с другими физическими характеристиками по сравнению с жидкостью, в которую данное тело погружено (в частности за счет введения в пограничный слой жидкости малой плотности и вязкости). Расчеты были проведены для двух типов пограничных слоев: турбулентного и ламинарного, взятых отдельно. Рассматривался случай обтекания плоской пластины. Автором было показано, что аэрация (насыщение пограничного слоя воздушными пузырьками) ламинарного пограничного слоя в воде дает выигрыш в сопротивлении в несколько раз.

В работе [21], [22] авторы исследовали влияние пористого покрытия, покрывающего сферическую частицу, на сопротивление. В работе [21] рассмотрена задача о движении с постоянной скоростью сферической частицы, состоящей из жесткого ядра, покрытого пористым недеформируемым гидродинамически однородным слоем, в неограниченном объеме вязкой несжимаемой жидкости. Показано, что замена жесткого непроницаемого материала на пористый слой снижает сопротивление движению частицы в несколько раз (более чем на 40%). Исследован