Вихревые движения вязкой жидкости в полости вращающегося тела тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Колебания пластины в вязкой жидкости.

§ 1. Нестационарный пограничный слой на вращающейся пластине.

§ 2. Продольные квазигармоническис колебания пластины.

§ 3. Структура пограничных слоев.

§ 4. Вектор касательных напряжений.

§ 5. Осцилляторные решения.

§ 6. Колебания вязкой несжимаемой жидкости над пористой пластиной с учетом вдува (отсоса) среды.

§ 7. Движение пластины с постоянным ускорением.

Глава [I. Неустановившееся движение неоднородной по температуре вязкой жидкости между вращающимися параллельными стенками.

§ \. Точные решения уравнений Навье-Стокса.

§ 2. Поле скоростей потока, индуцированного заданным движением пластины.

§ 3. Структура пограничных слоев.

4. О движении вязкой жидкости в поле градиентов температуры.

§ 5. Колебания неоднородной по температуре вязкой жидкости во вращающейся щели.

§6. Поле скоростей потока, индуцированного заданным движением пластин щели.

§ 7. Структура пограничных слоев и'некоторые особенности волнового движения жидкости в щели.

Глава III. Неустановившееся движение вязкой жидкости между вращающимися параллельными пористыми стенками.

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. "Нормальные" колебания вязкой жидкости во вращающейся щели при наличии внешнего потока жидкости.

§ 3. Неустановившееся движение вязкой жидкости между вращающимися параллельными стенками при наличии поперечного потока.

§ 4. Неустановившиеся пограничные слои на пористых пластинах вращающейся щели при наличии вдува (отсоса) среды.

§ 5. Поток вязкой жидкости в щели, индуцированный затухающими гармоническими колебаниями пластин щели и вдувом или отсосом среды.

Глава IV. Инерционные колебания вязкой несжимаемой жидкости, заполняющей вращающийся сосуд.

§ Г Малые колебания вязкой жидкости, полностью заполняющей сосуд.

§2. Малые колебания вязкой жидкости, частично заполняющей сосуд.

§ 3. Асимптотическое интегрирование уравнений Навье

Стокса.

§ 4. Сравнение асимптотического решения с точным.

Глава V. Ротационные движения твердого тела с полостью, содержащей вязкую жидкость.

А 1. Уравнения возмущенного движения тела с полостью, содержащей вязкую жидкость.'.

§ 2. Коэффициенты инерционных связей твердого тела с жидкостью (цилиндрическая полость).

3. Колебания вязкой несжимаемой жидкости в полости враща

101ЦС10СМ ч'сла.

§4. МоМе1ТТ сил внутреннего прения в жидкопатюлнениом гироскопе.,.

§ 5. Устойчивость жидконаполненного 1'ироскопа.

Глава VI. Ротационные движения тела с полостью, содержащей жидкость со свободной поверхностью.

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Теория длинных волн в задаче о ротационтюм движении тела с полостью, частично заполнеитюй идеальной жидкостью.

3. Уравнения движения твердогч) тела с иолосчыо, спабжхчпюй демпферами колебаний жидкости.

§ 4. Устойчивость волчка, содержащего жидкост1> со свободной поверхностью.

Г'лаваУП. Моделирование фильтрационных процессов в роторных системах.

1. Моменты сопротивления па валу барабана.

§ 2. Регрессионный анализ тормозных характеристик вращающегося барабана.

V) 3. Математическая модель процесса обезвоживания.

§ 4. Экспериментальное исследование процесса фильтрации

Задачи колебаний ограниченного объема жидкости возникли как задачи теории стоячих волн еще в XIX веке. Их исследование было начато Стоксом [1] (1842-1847), продолжено Гельм-гольцем [2] (1860), Ламбом [3] (1873), а также Нейманом [4] (1883), который изучал движение твердых тел в жидкости. Общая постановка задачи динамики твердого тела с полостью, содержащей идеальную жидкость, была поставлена Н.Е.Жуковским [5] (1885). Было доказано, что потенциальное движение жидкости в полости определяется движением тела, а само движение тела совершается так, как если бы жидкость была заменена эквивалентным твердым телом. При этом для определения движения жидкости в полости необходимо рещить некоторые стационарные краевые задачи, зависящие лишь от формы полости. Решения этих задач (потенциалы Жуковского) позволяют найти для данной полости компоненты тензора присоединенных масс. Движение тела с полостью, содержащей идеальную жидкость при потенциальном движении, оказывается эквивалентным движению твердого тела, тензор инерции которого складьшается из тензора инерции исходного твердого тела и тензора присоединенных масс для данной полости.

Таким образом, задача динамики тела с жидкостью разбивается на две части.

Первая часть задачи, зависящая только .от геометрии полости, сводится к решению краевых задач и к расчету тензора присоединенных масс. Вторая часть задачи — это обычная задача динамики твердого тела, сводящаяся к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Анализ задачи обнаружил целый ряд трудностей, делавших бесперспективными попытки получить численные результаты аналитическими методами. Поэтому после первых успехов теория колебаний жидкости почти перестала развиваться, тем более, что непосредственных технических приложений у этой теории долгое время не было.

Дальнейшее продвижение этой теории связано с проблемой сейш. Внимание исследователей привлекли удивительные явления, названные сейшами. Вода в больших озерах совершает периодические движения, похожие на приливы и отливы в океане. Но объяснить эти явления с точки зрения приливов и отливов оказалось невозможным, т.к. сейши в каждом из озер имели свой собственный период. Только в XX веке стала ясной связь явления сейш с теорией стоячих волн. Развитие эффективных методов расчета периодов сейш внутри таких сложных водоемов, какими являются озера и мелководные моря, оказалось возможным благодаря использованию различных упрощающих предположений (например, "теория мелкой воды"). Одновременно с использованием этих упрощений начинается развитие различных методов численного анализа.

Следует отметить, что задачи механики сплошных сред и гидродинамики всегда служили стимулом развития новых направлений математики и математической физики. Иллюстрацией к сказанному может служить поток новых идей в теории нелинейных дифференциальных уравнений, а таюке установление поразительных связей между, казалось бы, различными отраслями математики, что последовало за изучением уравнения Кортевега -де Фриза для волн на мелкой воде.

Оказалось, что эти задачи, обладающие большим теоретическим содержанием возникающих здесь проблем, очень валены с практической стороны. Так, задачи теории колебаний жидкости привлекают внимание инженеров-гидростроителей и специалистов по строительству портовых сооружений. Подобные задачи возникают в связи с изучением сейсмостойкости различных резервуаров для хранения жидкости. Аналогичные задачи возникают в теории движения корабля, подводной лодки, самолета.

Интерес к исследованиям в этой области заметно усилился в связи с развитием ракетной и космической техники. Большое количество жидкого топлива, имеющегося на борту ракет, спутников и космических кораблей, в ряде случаев может оказывать существенное влияние на движение этих летательных аппаратов.

Кроме того, изучение динамики волновых движений различных жидкостей связано с проблемами геофизики, океанологии, физики атмосферы, а также с проблемами изучения и охраны окружающей среды.

Так, например, задачи динамики вращающихся тел с полостями, содержащими жидкость, находят свое применение при изучении динамики космических аппаратов, которые для стабилизации, равномерного нагрева солнечными лучами, создания искусственной силы тяжести и других целей равномерно закручиваются на орбите вокруг некоторой оси. Эти задачи актуальны также при проектировании быстроврап1ающихся роторов, центрифуг, гироскопов, имеющих внутри себя полости, заполненные жидкостью. Наконец, поведение жидкости в условиях невесомости или малой гравитации будет влиять на поведение космического корабля и т.п.

Таким образом, рассматриваемые в работе задачи имеют несомненное прикладное значение.

Одновременно с изучением задачи о движении тела с полостью, содержащей жидкость, встала проблема устойчивости такого движения. Так, в опытах Кельвина [6] было установлено, что вращение волчка будет устойчиво, если полость сжата в направлении оси вращения, и неустойчиво, если волчок имеет слегка вытянутую форму. Теоретическое исследование этой задачи проводилось в работах Гринхилла [7], Хафа [8], Пуанкаре [9] и других. Авторы этих работ рассматривали движение твердого тела с полостью эллипсоидальной формы, заполненной идеальной жидкостью. Жидкость совершала движение специального вида (однородные вихревые движения).

Хаф [8] исследовал характеристическое уравнение для малых колебаний твердого тела с жидкостью вблизи равномерного вращения, при этом полостью являлся эллипсоид, а жидкость внутри полости идеальна и совершала однородное вихревое движение.

С.Л.Соболев [10] рассмотрел движение тяжелого симметричного волчка с полостью, содержащей идеальную жидкость. уравнения движения линеаризовались около равномерного вращения волчка. С.Л.Соболев установил некоторые общие свойства движения, в частности, некоторые условия устойчивости. В [10] были рассмотрены два частных случая полостей: эллипсоид вращения и круговой цилиндр. Та же задача была рассмотрена другим методом в работе А.Ю.Ищлинского и М.Е.Темченко [11]. Экспериментальные исследования этой задачи представлены в [12]. В работе Стюартсона [13] исследована устойчивость тяжелого волчка с полостью в виде цилиндра, содержащего жидкость со свободной поверхностью.

Исследование уравнений движения вращающейся жидкости показало (Пуанкаре [9]), что эти уравнения обладают рядом специфических особенностей, отличающих их от обычных уравнений математической физики. Различные математические вопросы, связанные с уравнениями вращающейся жидкости, рассматривались в работах Р.А.Александряна [14], С.Г.Крейна [15] и других авторов.

В большом количестве работ, посвященных этой тематике, можно выделить три основных направления:

• исследование линеаризованных уравнений движения, применение методов теории малых колебаний и спектральной теории операторов; этот способ использован в ряде перечисленных выше работ, а также во многих других;

• исследование полных нелинейных уравнений движения, основанное на применении и развитии второго метода Ляпунова;

• экспериментальные исследования.

Наибольшее число работ посвящено. различным аспектам линейной теории. Прежде всего, следует выделить вопросы малых колебаний около положения равновесия твердого тела с идеальной жидкостью. Именно этот наиболее простой раздел нашел широкое практическое применение. Здесь до конца выяснены вопросы, возникающие в связи с разрешимостью соответствующих математических задач, определена структура спектра, доказана разрешимость задач Коши и т.п. Выяснен целый ряд механических особенностей колебаний тела с жидкостью. Например, установлено, что для устойчивости колебаний такой системы необходима и достаточна устойчивость некоторого твердого тела. Получил развитие и вычислительный аспект этой теории. Доведено до уровня стандартных программ решение многих задач теории колебаний.

Более сложным является случай, когда жидкость подвержена действию сил поверхностного натяжения. Эти силы существенно влияют на равновесие и движение жидкости в случае, когда массовые силы малы, что имеет место в условиях, близких к условиям невесомости. Поэтому задачи динамики жидкости, подверженной силам поверхностного натяжения, представляют с "п прикладной интерес в некоторых задачах космической техники. В работе [28] и в [68-75] рассмотрены задачи равновесия и движения жидкости в сосудах при наличии сил поверхностного натяжения. В частности, колебания идеальной жидкости, подверженной силам поверхностного натяжения, рассматривались в [70], колебания вязкой жидкости - в [75]. В работе [71] изучалась динамика твердого тела с полостью, наполненной идеальной жидкостью с пузырем воздуха. Методом Шварца показано, что движение такой системы может быть описано обыкновенными дифференциальными уравнениями. Чисто математические вопросы теории малых колебаний не представляют особой сложности: задачу удается свести к операторному уравнению с вполне непрерывным самосопряженным оператором. Однако вычислительный аспект теории разработан слабо. По второму из указанных направлений следует отметить работу Н.Г.Четаева [16], работы В.В.Румянцева [17-24], Г.К.Пожарицкого [25,26], Н.Н.Колесни-кова[27] и другие. В этих работах получен ряд результатов об устойчивости движения твердого тела с полостями, полностью или частично заполненными жидкостью. Рассматривался как случай идеальной, так и случай вязкой жидкости, а также влияние сил поверхностного натяжения (см. [24]). Следует отметить, что

B. В.Румянцевым были получены достаточные условия устойчивости движения тяжелого твердого тела с полостью, заполненной жидкостью. Эти условия согласуются с результатами

C. Л.Соболева [10]. А именно, при вращении свободного твердого тела с жидкостью вокруг его центра инерции для устойчивости двилсения достаточно, чтобы ось вращения была осью наибольщего центрального момента инерции всей системы [28]. Этот результат дополняет теорему Жуковского Н.Е. [5].

При постановке задачи об устойчивости движения твердого тела с жидкостью, представляющих систему с бесконечным числом степеней свободы, принципиальным является вопрос об определении понятия устойчивости. Предложено три основных подхода к исследованию устойчивости в нелинейной постановке задачи. Если движение жидкости в полости характеризуется конечным числом переменных, то задача устойчивости приводится к задаче устойчивости по Ляпунову для систем с конечным числом степеней свободы.

Если же состояние системы описывается бесконечным числом переменных, то задачу об устойчивости движения необходимо поставить по отношению к конечному числу переменных при введении некоторых величин, интегральным образом характеризующих движение жидкости. При этом также возможно применение метода функций Ляпунова.

Третий подход связан с идеями Ляпунова в теории фигур равновесия вращающейся жидкости и приводит к обобщению теорем Лагранжа и Рауса. При этом задача устойчивости равновесия или стационарного движения приводится к задаче минимума некоторого функционала.

Большое число работ посвящено динамике твердого тела с полостью, содержащей идеальную жидкость со свободной поверхностью. Эти задачи имеют важное значение для приложений. Кроме вопросов устойчивости, здесь интересно изучение совместных колебаний жидкости и тела с жидкостью, а также разработка эффективных численных методов расчета движения таких систем. Эти задачи рассматривались, главным образом, в линейной постановке. Общая задача о колебаниях тела с полостью, частично наполненной идеальной жидкостью, исследовалась в ряде работ Н.Н.Моисеева [29-32], Д.Е.Охоцим-ского [33], Г.С.Нариманова [34], Б.И.Рабиновича [35], С.Г.Крейна и Н.Н.Моисеева [36] и других.

Оказалось, что для описания малых, колебаний тела с полостью, содержащей тяжелую идеальную жидкость со свободной поверхностью, требуется, кроме потенциалов Жуковского, решить еще задачу на собственные значения. Эта задача, зависящая только от формы полости, представляет собой задачу о собственных колебаниях жидкости в неподвижном сосуде. Определив потенциалы Жуковского и собственные колебания жидкости, можно найти коэффициенты, характеризующие взаимное влияние тела и жидкости в полости при колебаниях. Движение всей системы может быть описано счетным числом обыкновенных дифференциальных уравнений, коэффициенты которых определяются указанным выше образом. Задача и здесь разбивается на две части.

Первая часть задачи, зависящая от геометрии полости, сводится к решению некоторых краевых задач и задач на собственные значения для линейных уравнений с частными производными, а затем к расчету гидродинамических коэффициентов. Эта задача может быть решена аналитически лишь для небольшого числа форм полостей. В случае сложных форм полостей для ее решения применяются различные численные и приближенные методы. Этим вопросам посвящено большое число работ. Например, сборник статей [37], работы [38], [39].

Вторая часть задачи при изучении колебаний тела с полостью, содержащей идеальную жидкость, - это исследование и решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В задачах практики обычно можно ограничиться учетом лишь нескольких главных форм колебаний жидкости, поэтому число уравнений, соответствующих жидкости, оказывается небольшим. Эта задача может решаться численно.

В случае, когда колебания жидкости в сосуде нельзя считать малыми, задача становится нелинейной. Некоторые нелинейные задачи о движении жидкости со свободной поверхностью внутри полости твердого тела рассматривались в работах [40,41].

Третье из указанных направлений связано с экспериментальными исследованиями. В работе [42] исследованы свободные колебания жидкости в сосуде, при этом измерено влияние вязкости и поверхностного натяжения на колебания. В [43] изучаются экспериментально колебания тела с жидкостью.

Задачи динамики твердого тела с полостью, содержащей вязкую жидкость, значительно сложнее, чем в случае идеальной жидкости. Этим задачам посвящено меньшее число работ. Задачи рассматриваются, главным образом, в линейной постановке. В этих работах, в основном, рассматриваются либо вопросы устойчивости, либо изучаются частные случаи движения тел с полостями специального вида.

В работе Б.Н.Румянцева [46] рассмотрены задачи о движении тела с полостью, содержащей вязкую жидкость при малых числах Рейнольдса. Некоторые приближенные решения задач о движении вязкой жидкости во вращающейся полости содержатся в [3] и [45].

В случае больших чисел Рейнольдса (малая вязкость жидкости) надежным методом решения уравнений гидродинамики является метод пограничного слоя [47,48]. Математическое обоснование этого метода для некоторых линейных краевых задач было дано М.И.Вишиком и Л.А.Люстерником [49]. Н.Н.Моисеев предложил вариант метода пограничного слоя для исследования малых колебаний вязкой жидкости [50], который был использован П.С.К1)аснощековым [51] в задаче о малых плоских колебаниях маятника с осесимметричной полостью, заполненной маловязкой жидкостью. Применение метода, изложенного в [50], к различным задачам о колебаниях вязкой жидкости со свободной поверхностью реализовано в работах [53], [54], [55].

Некоторые общие теоремы о свойствах собственных колебаний тяжелой вязкой жидкости в полости твердого тела установлены С.Г.Крейном [58] методами функционального анализа. О.Б.Иевлева [59,60] рассмотрела некоторые задачи о движении твердого тела со сферической полостью, заполненной вязкой жидкостью. Решения в этом случае удалось выразить через обобщенные сферические; функции.

Особое решение системы уравнений для стационарных осесимметричных автомодельных движений вязкой несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса рассмотрено Ю.Л.Якимовым в [202]. Решение качественно описывает смерчи и другие аналогичные природные явления, в которых закрученность потока и вязкость являются наиболее характерными свойствами.

В работе [212] рассмотрена задача о нелинейном динамическом поведении жидкости в сосуде цилиндрической формы, совершающем угловые гармонические колебания вокруг центра масс системы. Исследованы стационарные режимы резонансных, в том числе пространственных волновых форм движений свободной поверхности жидкости.

Численное моделирование ламинарных закрученных течений вязкой несжимаемой жидкости в осесимметричных каналах произвольной формы рассмотрено в [216]. Уравнения Навье-Стокса запиданы в произвольной криволинейной системе координат в универсальном виде, пригодном для описания как плоского, так и осесимметричного случая при наличии закрутки потока.

Результаты экспериментального исследования структуры течения первоначально вращающегося столба жидкости, после того как через него было пробуксовано тело в направлении, параллельном оси вращения, представлены в [197]. Установлено, что общим качественным результатом такого воздействия на вращающуюся жидкость является образование в ней системы циклонических и антициклонических вихрей с колебательным характером движения жидкости в них.

Ряд работ, посвященных движению вязкой жидкости в полости вращающихся твердых тел, принадлежит исследователям из разных стран. Следует отметить работы Стюартсона и Робертса [61], Гринспена и Ховарда [62], Гринспена [63, 64], Стюартсона [65] и другие. В этих работах движение тел предлагается заданным. Рассматривается либо равномерное движение (работы [62-65]), либо регулярная прецессия [61]. В этих работах щироко применяется метод пограничного слоя (метод двухмасщтабного разложения). В работе [63] отмечается совпадение результатов расчетов по методу пограничного слоя с данными экспериментов. Наиболее общие результаты по методу асимптотического интегрирования получены Ф.Л.Черноусько [67].

В [192] рассмотрена динамика вихря в идеальной несжимаемой жидкости. Изучен сход вихря с острой кромки и след в виде вихревой дорожки. Линейная модель, экмановского слоя, устанавливающая связь скорости течения с циркуляцией вихря, представлена в [184]. Показано, что при малых числах Экмана отношение толщины экйановского слоя к радиусу трубы отсоса жидкости) радиус вихря близок к радиусу трубы отсоса и не зависит от чисел Экмана и Рейнольдса.

В работе [207] решается задача о течении вязкой несжимаемой жидкости между двумя параллельными вращающимися дисками. Рассмотрены три случая: 1) бесконечные диски вращаются со слегка различными скоростями; 2) бесконечные диски вращаются с одной и той же скоростью, но имеется просачивание жидкости через один из них; 3) конечные диски с боковой кольцевой стенкой, скорость которой мало отличается от скорости дисков. Результаты получены для уравнений Навье-Стокса, линеаризованных относительно состояния равномерного вращения.

Результаты теоретического исследования неустановившихся колебаний жидкого топлива КА в условиях невесомости приведены в [218]. Колебания поверхности раздела между паром и жидкостью обусловлены центробежными силами, силами поверхностного натяжения и отклонениями ускорения свободного падения от номинала. Скорость течения жидкости во вращающемся сосуде рассчитана путем решения начально-краевой задачи для уравнений Навье-Стокса, записанных с учетом вращения сосуда. На стенках заданы условия непроницаемости. Алгоритм численного интегрирования, основанный на применении преобразования Фурье, программно реализован на ЭВМ.

Установлены условия возникновения незатухающих бегущих волн на свободной поверхности жидкости.

Следует отметить возросший интерес к задачам динамики стратифицированных жидкостей. Даже в рамках линейных моделей их математические постановки весьма своеобразны и приводят к нестандартным начально-краевым задачам [243]. Стратификация плотности, как показывают экспериментальные наблюдения, оказывает наиболее существенное влияние по сравнению с другими видами стратификации на динамические свойства жидкости, на процессы распространения в ней волновых движений.

Приведенный выше краткий обзор по динамике тел с полостями, содержащими жидкость, не претендует на полноту. Например, в нем не упоминаются работы, посвященные колебаниям жидкости в полости с упругими стенками. Более полные обзоры, а также обширная библиография имеется в работах [28, 37, 39] и в обзорных статьях [21, 44, 66].

Из приведенного обзора видно, что для задачи о двилсении твердого тела с полостью, содержащей идеальную жидкость, разработана как общая теория, так и эффективные методы расчета. Это относится к случаю потенциального двилеения жидкости, которая либо целиком заполняет полость, либо имеет свободную поверхность, но совершает малые колебания.

Вопросы движения тел с полостями, содержащими вязкую л<идкость, изучены значительно меньше, хотя они представляют интерес, например, в динамике космических и других летательных аппаратов, при расчетах движения аппаратов относительно центра масс, в задачах стабилизации и управления подобными объектами. Например, представляет интерес учет демпфирующего действия, оказываемого вязкой жидкостью в полости на движение твердого тела. Влияние вязкости жидкости оказывается довольно тонким: она может приводить как к стабилизации движения твердого тела, так и, наоборот, к потере им устойчивости.

Конечно, для детального описания широкого круга физических явлений, связанных с динамикой тел, наполненных вязкой жидкостью, необходимо исходить из достаточно развитых математических моделей, которые, как правило, оказываются весьма сложными, нелинейными, многопараметрическими, и для их полного исследования эффективны лишь численные методы, основанные на использовании современных электронно-вычислительных машин. При таком подходе потребуется, параллельно с интегрированием уравнений движения твердого тела, решать краевую задачу для уравнений Навье-Стокса, описываюших движение жидкости. Такой путь решения чрезвычайно трудоемок и едва ли осуществим. Кроме того, с прикладной точки зрения наибольший интерес представляют не детали движения жидкости в полости, а интегральные характеристики ее движения и влияние жидкости на динамику твердого тела. Поэтому представляет интерес разработка эффективных методов анализа и расчета движения тела с жидкостью.

ТЛ С С

В данной диссертации развивается универсальный метод декомпозиции по базовым типам движения и взаимодействия, который может быть формально выражен в виде разложения задачи динамики твердого тела с полостью, содержащей жидкость, на две части. Разработка такого метода является важным и актуальным делом. При этом, с одной стороны, выясняется общность теоретических принципов, которые используются при его построении, с другой стороны, появляется возможность эффективного решения сложных задач, возникающих в различных областях. Кроме того, в диссертации важное место занимает последовательный учет возможной неоднородности жидкости по температуре, что приводит к появлению теплового скольжения вдоль границы двух фаз (жидкой и твердой). Это в определенной степени учитывает реальную физическую картину, усложняет математическую сторону задачи и важно в практических приложениях.

Таким образом, решение задач динамики тела с жидкостью в рассмотренных случаях разбивается на две части, которые могут выполняться независимо. Первая, гидродинамическая, часть задачи сводится к решению некоторых стационарных краевых задач, зависящих от геометрии полости и не зависящих от движения тела, и затем к расчету коэффициентов, характеризующих влияние жидкости на движение тела. Вторая, динамическая, часть задачи сводится к решению уравнений движения тела. Такое разбиение позволяет существенно упростить исходную задачу. Ход решения оказывается подобным тому, который имеет место для идеальной жидкости. Указанный подход эффективно применен для важного класса движений тела с жидкостью (вращательные движения). Декомпозиция исходной задачи на две части позволила использовать для каждой из них эффективные методы решения. Для подзадачи о движении жидкости в полости вращающегося тела в качестве таких методов использованы: метод пограничного слоя, метод теории возмущений, метод конечых элементов, теория длинных волн, метод интегральных преобразований и т.п.

Для подзадачи о движении тела использованы: метод редуцирования к конечной системе дифференциальных уравнений, аналитические методы и ЛЛисленные методы решения.

В работе развит универсальный метод учета вязкости для различных классов движений твердого тела с вязкой жидкостью. С использованием этого метода выведены уравнения движения тела, содержащего вязкую жидкость.

Полученные результаты могут служить для анализа и расчета различных конкретных задач динамики твердых тел с полостями, содержащими жидкость.

Изложим краткое содержание работы.

Первые три главы посвящены изучению развития течения вязкой несжимаемой жидкости на поверхностях, имеющих плоскую геометрию.

Так, в первой главе рассматриваются колебания пластины в вязкой жидкости. В § 1 приводится точное решение начально-краевой задачи для неустановившегося потока вязкой жидкости, индуцированного продольными колебаниями плоской стенки, вращающейся вместе с жидкостью с постоянной угловой скоростью. Жидкость заполняет полупространство, ограниченное стенкой. ;

С помощью специальных подстановок система уравнений Навье-Стокса, описывающая развитие течения жидкости, "расщепляется" на две подсистемы, одна из которых служит для определения поля скоростей потока, другая - для определения давления. В этом же параграфе определяется вектор касательных напряжений, действующий со стороны жидкости на стенку. Показывается, что в отсутствие вращения результат совпадает с известным [45]. в §2 настоящей главы исследуются продольные квазигармонические колебания пластины в вязкой жидкости. Показано, что в этом случае поле скоростей и вектор касательных напряжений выражаются через специальные функции. В § 3 изучается структура пограничных слоев, примыкающих к пластине. При этом поле скоростей потока представляет суперпозицию двух волн с волновыми числами и частотой о, которые распространяются вдоль оси Оу навстречу друг другу и экспоненциально затухают на расстояниях порядка 5Л соответственно. Отмечен резонансный случай, когда частота колебаний пластины совпадает с удвоенной частотой вращения системы стенка плюс жидкость. В этом случае волна, набегающая на пластину, отсутствует, хотя решение затухает вглубь жидкости, если только коэффициент затухания аАО. Если же а = 0, то решение становится непригодным, т.к. толщина одного из пограничных слоев неограниченно возрастает. Подобный эффект обсуждался в [128], где было отмечено отсут-. ствие колебательного решения при со = 20.

Важный вывод состоит в том, что затухание обеспечивает "нужное" решение и играет в определенном смысле ту же роль, что и отсос жидкости с поверхности пористой стенки, рассмотренный в [132].

В § 5 настоящей главы рассматривается важный случай, когда скорость продольных колебаний пластинки зависит от времени посредством множителя &хр{'кг), где Х - комплексное число. В этом случае вместо системы уравнений в частных производных получается система обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение этой системы существует при X Ф ±и{(Ьо,ё ); пограничный слой на пластине имеет структуру слоя Стокса.

В резонансном случае А. = ±2/(юо,Лз.) поле скоростей носит колебательный характер, но, оставаясь ограниченным, не стремится к нулю при у->оо, т.е. решение не удовлетворяет граничным условиям на 00.

В § 6 задача о колебаниях пластины в вязкой жидкости обобщается на случай пористой стенки при наличии вдува (отсоса) среды, который производится по нормали к поверхности пластины. С помощью специального вида подстановок система уравнений Навье-Стокса приводится к уравнениям параболического типа, которые решаются методом преобразования по Лапласу. Неустановившееся поле скоростей вязкого потока выражается посредством специальных функций.

В заключительном параграфе первой главы рассмотрен важный для приложений случай движения пластины с постоянным ускорением. В конечном виде получена формула для поля скоростей вязкой жидкости, окружающей движущуюся пластину.

Вторая глава посвящена изучению развития течения вязкой несжимаемой жидкости между вращающимися параллельными стенками. Жидкость вместе с ограничивающими ее стенками вращается как твердое тело с постоянной угловой скоростью. Неустановившееся движение жидкости реализуется под действием внезапно начинающихся продольных колебаний стенок. Стенки составляют произвольный угол с осью вращения.

В § 1 рассматривается случай, когда одна из стенок неподвижна в относительном движении, а другая совершает продольные колебания со скоростью и{{). Выбор определенного типа решений позволяет расщепить систему уравнений, описывающих неустановившееся движение вязкой жидкости, на две подсистемы, одна из которых служит для определения поля скоростей, а другая- для определения поля давлений внутри жидкости. Кроме того, специальная подстановка убирает роторный член из уравнений и приводит систему уравнений к уравнению типа теплопроводности, что дает возможность получить решение в виде суммы бесконечного ряда. В § 2 изучаются поля скоростей потока вязкой жидкости, индуцированные квазигармоническими колебаниями стенки. Показано, что в частном случае гармонических колебаний и предположении о перпендикулярности оси вращения плоскости стенки результаты исследования совпадают с [128]. Кроме того, показано, что при /->со неподвижная стенка удаляется на бесконечность) поле скоростей переходит в соответствующее поле для полупространства [134].

В § 3 изучается структура пограничных слоев, примыкающих к стенкам. При /Лоо поле скоростей вязкой жидкости представляет суперпозицию волн, распространяющихсяЛпо оси у навстречу друг другу и экспоненциально затухающих на расстояниях 5Л соответственно. При этом решение равномерно пригодно во всей области как в нерезонансном, так и в резонансном случаях (ю = 20). Далее во второй главе рассматривается неустановившееся движение вязкой жидкости между вращающимися параллельными стенками с учетом теплового скольжения вдоль одной из них. Эффект теплового скольжения газа 9 вдоль неоднородно нагретой поверхности известен достаточно давноЛ и широко представлен в многочисленных публикациях

24

138-141], [146-153]. Результаты теоретических исследований и экспериментаньные разработки показани, что скорость теплового скольжения в неоднородных по температуре полях пропор-ционапьна градиенту температуры, причем коэффициент пропорциональности зависит от взаимодействия газовых молекул с молекулами твердого тела поверхности. Позднее эффекты теплового скольжения были обна1ружены в неоднородных по температуре жидкостях [142-144]. Кроме того, в экспериментах Макнаба и Мейсона [145] для крупных латексных частиц в различных жидкостях было установлено, что эффект теплового скольжения имеет место и в жидкостях, если на поверхности твердого тела, контактирующего с жидкостью, поддерживается градиент температуры. Формула для скорости теплового скольжения в жидкой среде остается той же, что и в случае газа, но коэффициент теплового скольжения для различных жидкостей оказался постоянным и равным 0,13. При одном и том же градиенте температуры на поверхности стенки скорость теплового скольжения газа на два порядка больше скорости теплового скольжения для жидкостей. Однако в сильных температурных полях (УГ ~ 10Л град/см) скорость теплового скольжения жидкости вдоль равномерно нагретой поверхности будет составлять заметную величину. Полная система уравнений, описывающая возмущенное движение вязкой жидкости между вращающимися параллельными стенками, включает граничные условия на стенках. Для одной из пластин, которая в момент 1 > О начинает колебаться со скоростью и{1), граничным условием является условие прилидания. Другая пластина покоится в относительном движении, но на нее подается температурный градиент. Вследствие температурной неоднородности на стенке возникает слой Кнудсена. В этом слое среда начинает скользить со скоростью УА, причем эта скорость будет иметь такое значение, что суммарный поток импульса через поверхность стенки будет равен нулю. Поэтому в качестве граничного условия необходимо задать значение скорости среды на внешней границе слоя Кнудсена, но т.к. толщина слоя Кнудсена мала, то значение скорости скольжения можно снести на поверхность стенки. С помощью подстановок § 1 настоящей главы система уравнений, описывающая развитие течения вязкой жидкости между двумя параллельными стенками, приводится к неоднородной системе дифференциальных уравнений, решение которой получается в виде разложения в ряд по собственным функциям начально-краевой задачи. В конце главы рассмотрены соотношения между параметрами движения пластины и скоростью скольжения вязкой среды.

ТЛ С С

В третьей главе изучается нестационарное течение вязкой несжимаемой жидкости между вращающимися параллельными пористыми стенками, через которые производится вдув или отсос среды. Задача рассматривается в полной постановке. В начале третьей главы рассматривается задача о развитии течения вязкой жидкости между параллельными стенками при наличии внешнего потока такой же жидкости, который с постоянной скоростью проникает по нормали к пористой пластине QJ внутрь щели и налагается на внутренний поток жидкости. Рассматриваются "нормальные" колебания вязкой жидкости, когда поле скоростей жидкости и скорости продольных колебаний пластин зависят от времени посредством множителя ехр(А,0, где X - комплексное число. Найдены поля скоростей и векторы касательных напряжений, действующие со стороны жидкости на стенки щели.

Далее задача обобщается на случай, когда стенка Q¡ начинает колебаться со скоростью и(1),1А по нормали к стенке производится вдув (отсос) жидкости со скоростью иои). в этом случае специальная подстановка расщепляет систему уравнений, описывающую возмущенное движение жидкости, на две подсистемы, одна из которых позволяет определить поле скоростей, другая- поле давлений внутри жидкости. Решение представлено интегралом Дюамеля. Найдены асимптотические (при больших /) представления векторов касательных напряжений, действующих из жидкости на пластины щели.

В конце третьей главы рассмотрены неустановившиеся пограничные слои на пористых пластинах вращающейся щели с учетом вдува (отсоса) среды. Возмущенное движение вязкой жидкости реализуется внезапно начинающимися продольными колебаниями обеих пластин со скоростями 1АХО и и2{ Использованием введенных ранее специальных подстановок начально-краевая задача приводится к уравнению типа теплопроводности. С помощью преобразования Лапласа система дифференциальных уравнений Навье-Стокса сведена к операторному уравнению. Решение задачи дается интегралом Дюамеля. В конце третьей главы обсуждаются неустановившиеся пограничные слои, примыкающие к пластинам при учете вдува (отсоса) среды. Пластины щели совершают продольные затухающие колебания. Получены асимптотические представления поля скоростей вязкого потока внутри щели и векторов касательных напряжений, действующих на стенки щели. Поле скоростей представлено в виде суперпозиции бегущих волн. Найдены фазовые и групповые скорости этих волн. Проведен анализ пространственных и временных пограничных слоев как в резонансном, так и нерезонансном случаях. Исследована зависимость пограничных слоев и скоростей бегущих волн от скорости вдува (отсоса) среды. Особо выделен случай, когда пластины щели совершают одинаковые затухающие гармонические колебания.

В четвертой главе рассматриваются инерционные колебания вязкой жидкости, заполняющей вращающийся сосуд. В начале главы изучаются малые колебания вязкой жидкости в целиком заполненном сосуде, вращающемся с постоянной угловой скоростью. Движение тела с жидкостью предполагается близким к равномерному вращению вокруг оси. Уравнения Навье-Стокса линеаризуются около равномерного вращения, и поэтому рассматриваемые в этой главе движения являются существенно вихревыми.

Доказываются некоторые свойства собственных колебаний вращающейся вязкой жидкости (при любой вязкости) в полости: мнимая часть всех собственных чисел заполняет отрезок мнимой оси [-2©о,2(0о], а вещественная часть ограничена сверху отрицательной константой. Далее изучаются малые колебания вязкой жидкости, частично заполняющей вращающийся сосуд. Уравнения движения жидкости линеаризуются около равномерного вращения. Форма полости произвольна. Приводится постановка задачиЛ. Для случая, когда все величины зависят от времени посредством множителя - ехр(?./), где Х- комплексное число, формулируется вариационный принцип задачи. Устанавливаются некоторые свойства собственных колебаний вращающейся вязкой жидкости, имеющей свободную поверхность.

В конце главы рассматривается слабо возмущенное относительно стационарного вращения движение твердого тела с полостью, содержащей вязкую жидкость. Вязкость учитывается методом пограничного слоя. Получены выражения для собственных чисел и собственных функций задачи о колебаниях вязкой жидкости в сосуде произвольной формы. В качестве исходного приближения используется решение задачи о колебаниях тела с полостью, заполненной идеальной жидкостью. Определено поле скоростей вязкой жидкости в пограничном слое. Показано, что касательная компонента этого поля скоростей совпадает с полем скоростей жидкости в задаче о колебаниях плоской стенки в полупространстве, заполненном вязкой несжимаемой жидкостью, если вместо скорости движения пластины подставить скорость двиясения идеальной жидкости со знаком минус. Это дает возможность использовать модель плоской стенки для учета влияния вязкости на движение твердого тела с полостью, содержащей вязкую жидкость. Этот метод учета вязкости является универсальным, т.к. позволяет учесть второй механизм рассеяния энергии внутри полости, имеющей конструктивные неоднородности. Эта программа реализуется с следующей главе.

В пятой главе движение твердого тела с полостью, заполненной жидкостью, рассмотрено при следующих предположениях. Форма полости и распределение масс в твердом теле, как и выше, предполагаются произвольными. Жидкость считается маловязкой, полость целиком заполнена жидкостью. Движение тела с жидкостью предполагается близким к равномерному вращению вокруг оси. Уравнения Навье-Стокса линеаризуются около равномерного вращения, поэтому рассматриваемые движения являются существенно вихревыми. В начале главы выводятся общие уравнения возмущенного движения твердого тела с жидкостью с учетом диссипации энергии, связанной с первым механизмом рассеяния энергии в полости. Этот механизм связан с эффектом пограничного слоя и обязан образованию вихрей на стенках полости и дальнейшей дисспацией энергии в тонком пристеночном слое. Диссипация энергии за период колебаний полагается малой по сравнению с полной энергией системы. Стенки полости предполагаются гладкими, а движение жидкости осуществляется при больших числах Рейнольдса. При этих предположениях можно использовать модель плоской стенки и элемент поверхности полости отождествить с элементом бесконечной плоскости, ограничивающей полупространство, заполненное вязкой жидкостью, движущимся со скоростью, равной разности скоростей твердого тела и возмущенного движения идеальной жидкости. Следуя процедуре Л.Д. Ландау, находим обобщенные дисспативные силы, решая тем самым задачу составления уравнений движения тела с полостью, содержащей вязкую жидкость.

Вводятся в рассмотрение специальные решения линеаризованных уравнений вихревого движения идеальной жидкости. Эти решения, зависящие от формы полости, аналогичны потенциалам

Жуковского для случая безвихревого движения. Показано, что через эти решения посредством некоторых тензоров выражается кинетический момент системы как в случае идеальной, так и в случае маловязкой жидкости. Эти тензоры характеризуют влияние жидкости в полости на движение твердого тела. Для цилиндрической полости, определены упомянутые выше специальные решения уравнений вихревого движения и вычислены компоненты указанных тензоров, так называемые коэффициенты инерционных связей. Далее рассмотрен момент сил внутреннего трения, действующий из жидкости на оболочку твердого тела. Для различных случаев возмущенного движения тела с жидкостью получены выражения моментов сил трения.

Проблема совместного решения уравнений гидродинамики и механики сведена к решению краевой задачи, зависящей только от геометрии полости, и дальнейшему интегрированию системы интегро-дифференциальных уравнений. Происходящее при этом отделение временной координаты от пространственных координат позволяет рассматривать произвольное возмущеное движение тела, а решение краевых задач находить для полостей произвольной формы.

На основе интегро-дифференциальных уравнений исследуется устойчивость стационарного вращения динамически симметричного тела с вязкой жидкостью. Составлено характеристическое уравнение для колебаний свободного вращающего тела с полостью, наполненной вязкой жидкостью. Это уравнение является обобщением характеристического уравнения работы [76] на случай малой вязкости жидкости. в конце главы выводится новый критерий устойчивости по линейному приближению. Показано, что наличие вязкости сдвигает собственные (парциальные) частоты колебаний на величину, пропорциональную Т У, а также приводит к новому критерию устойчивости.

Шестая глава посвящена вращательным движениям твердого тела с полостью, частично заполненной вязкой жидкостью, и рассматривается при следующих предположениях. Форма полости и распределение масс в твердом теле предполагаются произвольными. Стенки полости предполагаются гладкими. Кроме того, полость снабжена конструктивными элементами типа радиальных и кольцевых ребер. Полость частично заполнена вязкой жидкостью, частично газом, давление которого постоянно. Диссипация энергии за период колебаний полагается малой по сравнению с энергией системы. Движение жидкости происходит при больших числах Рейнольдса.

Рассеяние энергии происходит как в тонком пограничном слое вблизи границ области, занимаемой жидкостью (первый механизм рассеяния), так и во всем объеме жидкости (второй механизм рассеяния).

В качестве невозмущенного движения рассматривается поступательное движение тела вместе с жидкостью. Возмущенное движение твердого тела характеризуется векторами малого смещения й (0 и малого поворота 9(0- Возмущенное движение жидкости характеризуется параметрами каждый из которых имеет смысл амплитуды А:-того тона колебаний жидкости в некоторой точке свободной поверхности. в начале главы с помощью обобщенных сил, обусловленных диссипацией энергии в полости, записываются уравнения возмущенного движения тела с жидкостью, линеаризованные относительно невозмущенного движения. Далее используется модель плоской стенки.

В силу того, что толщина пристеночного слоя мала, элемент поверхности полости, смоченный жидкостью, можно отождествить с элементом бесконечной плоскости, ограничивающей полупространство, заполненное вязкой жидкостью, движущимся со скоростью, равной разности скоростей твердого тела и возмущенного движения идеальной жидкости. Кроме того, линейный элемент ребра можно отождествить с элементом бесконечно длинной пластины, перпендикулярной границе полупространства, заполненного жидкостью, колеблющейся вдоль этой границы. Скорость колебаний равна при этом нормальной к ребру составляющей относительной скорости идеальной жидкости при отсутствии ребер в точках, соответствующих средней линии данного элемента ребра. С учетом этого замечания находится скорость диссипации энергии, связанной с обоими механизмами рассеяния. Это позволяет вывести уравнения возмущенного движения твердого тела с полостью, содержащей жидкость со свободной поверхностью.

Далее в шестой главе рассмотрены некоторые задачи вращательных движений тела с полостью, содержащей жидкость со свободной поверхностью. Масса жидкости в полости такова, что в невозмущенном движении свободная поверхность вращающейся жидкости имеет цилиндрическую форму. Уравнения движения линеаризуются около равномерного вращения. С помощью теории длинных волн решается гидродинамическая часть задачи. Методом Фурье получено поле скоростей и поле давлений идеальной жидкости в возмущенном движении.

В заключение шестой главы решается задача о колебаниях ротора с идеальной жидкостью под действием опрокидывающего момента. Получены уравнения возмущенного движения врлчка с осесимметричной полостью относительно стационарного вращения. Исследована устойчивость рассматриваемой системы. Для ряда частных форм полостей найдены собственные частоты колебаний жидкости, способные оказывать отрицательное воздействие на устойчивость волчка.

В седьмой главе рассматриваются процессы фильтрации в роторных системах. В задачах фильтрации жидкость покидает полость вращающегося твердого тела через отверстия, поэтому эти задачи относятся к механике тел переменной массы. Сложность физико-химических и гидромеханических воздействий, сопровождающих процессы обезвоживания, не позволяет построить математические модели, которые удовлетворительно описывают динамику такой системы. Настоящая глава касается анализа гидромеханического воздействия на роторные системы.

В § 1 рассматриваются различные гипотезы о функциональной зависимости моментов внешних сил, возмущающих данную динамическую систему. В втором параграфе проводится анализ тормозных характеристик вращающегося барабана и дается его экспериментальное обоснование. Теоретически и экспериментально, найден демпфирующий момент, имеющий аэродинамическую природу, действующим на вал ротора, найдена его функциональная зависимость от угловой скорости. В § 3 на основании физических представлений строится математическая модель процесса фильтрации. Экспериментальные исследования в § 4, проведенные для проверки модели, подтвердили справедливость теоретических построений и экспоненциальный закон потери массы жидкости, по крайней мере, в течение первых сорока секунд с начала процесса фильтрации. Этот факт имеет существенное значение, т.к. позволяет определить реактивный момент, действующий на ротор со стороны уходящей жидкости.

Полученные в монографии результаты могут служить для анализа и расчета различных конкретных задач динамики твердых тел с полостями, содержащими жидкость, и могут быть использованы в различных конструкторских бюро для расчета динамики летательных аппаратов, а также при конструировании различного рода центрифуг, жидконаполненных гироскопов, быстровращающихся роторов и т.п. Эти результаты можно рекомендовать для использования в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша, Институте проблем механики. Московском физико-техническом институте, НПО "Энергия" и других организациях.

Результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах в Институте прикладной математики им. М.В.Келдыша (1979), Институте проблем механики РАН (1980), Вычислительном центре РАН (1999), Московском авиационном институте (1982, 1983), Московском физико-техническом институте (1986), на международных конференциях: Intern. Conf. Optimization techniques and applications, 1993, July 11-13, U.K.; Intern. Conf. Optimization techniques and applications, 1994, July 3-7, U.K.; Intern. Conf. on Transport Theory, 1994, May 10-14, Italy; Intem. Conf. on Studies of General System and Applications in Engineering, Economic, Biological, Environmental, Social and Other Scienses, 1995, July 13-15, USA; Intem Congress on numerical methods in engineering and applied scienses, 1992, November 16-20, Chile; Intem. Conf on Operations Research Society of Japan Gakna Center Bid., 1996, Oktober 9-12, Japan; Intern. Conf on Studies of General System and Applications in Engineering, Economic, Biological, Environmental, Social and Other Scienses, 2000, July 12-14, China.

Результаты работы использовались в исследованиях по грантам Российского фонда фундаментальных исследований №00-01-00629 и №99-01-04044.

По теме диссертации опубликовано 20 печатных статей и одна монография автора. Перечень работ приведен в списке литературы.

Текст работы разделен на главы, параграфы и пункты. Главы обозначены римскими цифрами, параграфы - арабскими. Каждая глава имеет свою нумерацию формул и рисунков. В каждой главе изложение ведется в значительной степени независимо от других глав. Вводимые обозначения заново определяются в каждой главе.

Заключение

Подведем краткие итоги.

В диссертации рассмотрено взаимодействие твердого тела с вязкой жидкостью, заполняющей полностью или частично некоторую полость тела. При этом движение тела соверщается со значительными скоростями и поэтому влияние вязкости существенно только в пограничных слоях жидкости, примыкающих к поверхности, ограничивающей полость. Проведено исследование важных классов движений тела с жидкостью (ротационные и либрационные движения ).

Такая постановка задачи имеет смысл и интерес, в первую очередь для суждения об особенностях движения и устойчивости аппаратов космической и авиационной техники, а так же в reo- и астрофизике

Для того, чтобы смоделировать движение вязкой несжимаемой жидкости в пограничных слоях вблизи поверхности полости в первую очередь была решена задача о нестационарном течении вязкой жидкости в полубесконечном пространстве над плоскостью, вращающейся вокруг неперпендикулярного ей направления и движущейся произвольно в своей плоскости. Найденное поле скоростей позволило определить силы трения, действующие из жидкости на пластину. Изучена структура пограничных слоев, примыкающих к пластине. Отмечен резонансный случай, когда частота колебаний пластины совпадает с удвоенной частотой вращения системы пластина плюс жидкость. В этом случае поле скоростей носит колебательный характер, но оставаясь ограниченным, не стремится к нулю на бесконечности.

Определенным обобщением этой задачи является тот случай, когда пластина, имитируемая плоскостью, предполагается пористой и учитывается возможность вдува или отсоса жидкости. Методом интегральных преобразований получено точное решение этой обобщенной задачи. Исследовалась структура поля скоростей и пограничных слоев на пористой пластине. Показано, что при наличии вдува среды через поверхность пластины, для установившегося потока обтекающего пластину, асимптотического решения в инерциальной системе координат не существует. В то же время во вращающейся системе координат такое решение имеет место. •

Другим важным научным результатом является новое точное решение уравнений Навье-Стокса, описывающее развитие течения вязкой жидкости между вращающимися параллельными стенками с учетом теплового скольжения вдоль одной из них. Эти решения являются существенным обобщением известных решений и могут быть использованы в самых различных приложениях. Полученные результаты были использованы в дальнейшем для вычисления сил и моментов, действующих на тело со стороны жидкости, заполняющей полости тела.

Проведен асимптотический анализ линеаризованных уравнений движения вязкой жидкости в полости вращающегося тела при больших числах Экмана и найдено, поле скоростей полости. Асимптотические теории, использующие разложение искомого решения и независимых в ряд по малому параметру являются наиболее привлекательными, так как позволяют свести уравнения

Навье-Стокса к более простым уравнениям, поддающимся теоретическому или численному анализу. Наиболее щироко данные теории применяются к исследованию длинноволновых возмущений, возникающих в жидкостях и газах. Это относится в первую очередь к наиболее интересной области нелинейной гидродинамики - движению жидкости со свободной поверхностью в различных силовых полях. Оказалось, что локальная структура пограничных слоев совпадает с течением над вращающейся пластиной, двигающейся с вектором скорости, противоположным скорости основного течения. Этот факт позволил учесть влияние жидкостилна движение твердого тела посредством обобщенных сил и моментов.

В работе рассмотрены различные механизмы рассеяния энергии в полости вращающегося тела, содержащего вязкую жидкость. Один связан с вихреобразованием на стенках полости и диссипацией энергии в тонком пограничном слое. Другой, существенно нелинейный эффект, связан со срывом дискретных вихрей с острых кромок конструктивных элементов, которыми снабжена полость и рассеянием энергии во всём объеме жидкости. Этот эффект, как правило, на два порядка выще эффекта пограничного слоя и не может быть учтен методом двухмасщтабного разложения. В диссертации предложен эффективный метод учета влияния вязкости жидкости на движение твердого тела, причем учтены оба механизма рассеяния энергии при колебаниях жидкости в полости. С помощью этого метода впервые удалось описать динамику слабо возмущенного движения тела с полостью, полностью заполненной вязкой жидкостью и динамику либрационного движения твердого тела с полостью, содержащей вязкую жидкость со свободной поверхностью. Этот результат, направленный на построение удобных методов учета двилсения вязкой жидкости в полости на динамику вращающегося тела является одним из основных результатов работы.

Необходимо отметить ещё один результат. На основе интегро-дифференциальных уравнений проведено исследование устойчивости стационарного вращения динамически симметричного тела с полостью, содержащий вязкую жидкость. МетодомА теории возмущения получено характеристическое уравнение, являющееся обобщением работы [76.] на случай малой вязкости. Выведен новый критерий устойчивости.

1. Stokes G. Mathematical and Physical Papers, vol.1. Cambridge, 1880.

2. Гельмгольц Г. Вариационные принципы механики. М.: Физматгиз, 1959.

3. Ламб Г. Гидродинамика. М-Л., Гостехиздат, 1947.

4. Neumann С. Gydrodynamishe Untersuchungen. Leipzig, 1883.

5. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью. Собр. соч., т. П. Гостехиздат, 1947.

6. Kelvin, Lord. Mathematical and Physical Papers, vol. IV. Cambridge, 1882.

7. Greenhill A.G. On the general motion of a liquid ellipsoid. Proc Camb. Phil. Soc, vol. 4,1880.

8. Hough. The Oscillations of a Rotating Ellipsoidal Shell containing Fluid. Phil. Transactions (A), vol. 186, 1, 1895.

9. Poincare H. Sur la precession des corps deformables. Bulletin astronomoque, t. XXVII, 1910.

10. Соболев СЛ. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью. ПМТФ, №3, 1960.

11. Ишлинский А.Ю., Темченко М.Е. О малых колебаниях вертикальной оси волчка, имеющего полость, целиком наполненную идеальной несжимаемой жидкостью. ПМТФ, №3, 1960.

12. Малашенко СВ., Темченко М.Е. Об одном методе экспериментального исследования устойчивости движения волчка, внутри которого имеется полость, наполненная жидкостью. ПМТФ, №3, 1960.

13. Stewartson К. On the Stabihty of a Spinning Top Containing Liquid. J. Fluid Mech., vol. 5, 4, 1959.

14. Александрян P.A. Спектральные свойства операторов, порожденных системами дифференциальных уравнений типа С.Л.Соболева. Труды Московского математического общества, т. 12, вып. 1,Д960.

15. Крейн С.Г. Дифференциальные уравнения в Банаховом пространстве и их приложения в гидромеханике. УМН, т. 12, вып. 1, 1957.

16. Четаев Н.Г. Об устойчивости вращательных движений твер4ого тела, полость которого наполнена идеальной жидкостью. ПММ, т. 21, вып. 2, 1957.

17. Румянцев В.В. Уравнения движения твердого тела, имеющего полости, неполностью заполненные жидкостью. ПММ, т. 18, №6,1954.

18. Румянцев В.В. Об уравнениях движения твердого тела с полостью, наполненной жидкостью. ПММ, т. 19, №1, 1955.

19. Румянцев В.В. Устойчивость вращения твердого тела с эллипсоидальной полостью, наполненной жидкостью. ПММ, т. 21, №6, 1957.

20. Румянцев В.В. Об устойчивости равновесия твердого тела, имеющего полости, наполненные жидкостью. ДАН СССР, т. 124, №2, 1959.

21. Румянцев В.В. Об устойчивости вращательных движений твердого тела с жидким наполнением. ПММ, №6,1960.

22. Румянцев В.В. Об устойчивости вращения волчка с полостью, заполненной вязкой жидкостью. ПММ, т. 24, №4,1960.

23. Румянцев B.B. Методы Ляпунова в исследовании устойчивости движения твердых тел с полостями, наполненными жидкостью. Изв. АН СССР, Механика и машиностроение, №6, 1963.

24. Румянцев В.В. Об устойчивости движения твердого тела с жидкостью, обладающей поверхностным натяжением. ПММ, т. 28, №4,1964.

25. Пожарицкий Г.К., Румянцев В.В. Задача минимума в вопросе устойчивости движения твердого тела с полостью, заполненной жидкостью. ПММ, т. 27, вып. 1, 1963.

26. Пожарицкий Г.К., Румянцев В.В. О влиянии вязкости на ycTotyiHBOCTb равновесия и стационарных вращений твердого тела с полостью, частично заполненной вязкой жидкостью. ПММ, т. 28, вып. 1, 1964.

27. Колесников H.H. Об устойчивости свободного твердого тела с полостью, заполненной несжимаемой вязкой жидкостью. ПММ, т. 26, вып. 4, 1962.

28. Моисеев H.H., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука, 1965.

29. Моисеев H.H. Задача о малых колебаниях открытого сосуда с жидкостью под действием упругой силы. Укр. матем. жур., т. 4, №2,1952.

30. Моисеев H.H. Движение твердого тела, имеющего полость, частично заполненную идеальной капельной жидкостью. ДАН СССР,т. 85,№4, 1952.

31. Моисеев H.H. О колебаниях тяжелой идеальной и несжимаемой жидкости в сосуде. ДАН СССР, т. 85, №5, 1952.

32. Моисеев H.H. Задача о движении твердого тела, содержаидего жидкие массы, имеющие свободную поверхность. Математический сборник, т. 32, вып. 1,1953.

33. Охоцимский Д.Е. К теории движения тела с полостями, частично заполненными жидкостью. ПММ, т. 20, вып. 1, 1956.

34. Нариманов Г.С. О движении твердого тела, полость которого частично заполнена жидкость. ПММ, т. 20, вып. 1, 1956.

35. Рабинович Б.И. Об уравнениях возмущенного движения твердого тела с цилиндрической полостью, частично заполненной жидкостью. ПММ, т. 20, вып. 1, 1956.

36. Крейн С.Г., Моисеев H.H. О колебаниях твердого тела, содержащего жидкость со свободной поверхностью. ПММ, т. 21, вып. 2, 1957.

37. Вариационные методы в задачах о колебаниях жидкости и тела с жидкостью. Сборник статей. М.: ВЦ АН СССР, 1962.

38. Рабинович Б.И., Докучаев Л.В., Полякова З.М. О расчете коэффициентов уравнений возмущенного движения твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью. Космические исследования, т. 3, вып. 2, 1965.

39. Моисеев H.H., Петров A.A. Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости. М.: ВЦ АН СССР, 1966.

40. Нариманов Г.С. О движении сосуда, частично заполненного ясидкостью. Учет немалости движение последней. ПММ, т. 21, вып. 4, 1957.

41. Моисеев H.H. О математических методах исследования нелинейных колебаний жидкости. Труды Международногосимпозиума по нелинейным колебаниям. Киев, Изд-во АН УССР,т. 3, 1963.

42. Микишев Г.Н., Дорожкин Н.Я. Экспериментальное исследование свободных колебаний жидкости в сосудах. Известия АН СССР. Механ. и машиностр., №4, 1961.

43. Микишев Г.Н., Невская Е.А., Мельникова И.М., Дорожкин Н.Я. Об экспериментальном исследовании возмушенного движения твердого тела с полостями, частично заполнеными жидкостью. Космические исследования, т. 3, вып. 2, 1965.

44. Cooper R. М. Dynamics of liquids in moving containers. ARS Journal, vol. 30, №8,1960.

45. Слезкин H.A. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Гостехиздат, 1955.

46. Румянцев В.В. О движении твердого тела, содержащего полости, заполненные вязкой жидкостью. ПММ, т. 28, вып. 6, 1964.

47. Кочин Н.В., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, т. I, II, М.: Физматгиз, 1963.

48. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.: Гостехиздат, 1955.

49. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. УМН, т. 12, вып. 5, 1957.

50. Моисеев H.H. О краевых задачах для линеаризованных уравнений Навье-Стокса в случае, когда вязкость мала. ЖВМ и МФ,т. 1,№3,1961.

51. Краснощеков П.С. О колебаниях физического маятника, имеющего полости, заполненные вязкой жидкостью. ПММ, т. 27, вып. 2, 1963.

52. Краснощеков П.С. Малые колебания твердого тела, имеющего полости, заполненные вязкой жидкостью. Сб. "Численные методы решения задач математической физики". М.: Наука, 1966.

53. Багаева Н.Я., Моисеев Н.Н. Три задачи о колебаниях вязкой жидкости. ЖВМ и МФ, т. 4, №2, 1964.

54. Шмидт А.Г. Колебания вязкой жидкости конечной глубины, вызванные начальным смещением ее свободной поверхности. ЖВМ и МФ, т. 5, №2,1965.

55. Крушинская СИ. Колебания тяжелой вязкой жидкости в подвижном сосуде. ЖВМ и МФ, т. 5, №3, 1965.

56. Ишлинский А.Ю. Механика гироскопических систем. М.: Изд-во АН СССР, 1963.

57. Черноусько Ф.Л. Колебания сосуда с вязкой жидкостью. Изв. АНСССР,МЖГ,№1, 1967.

58. Крейн СГ. О колебаниях вязкой жидкости в сосуде. Дан СССР, т. 159, №2,1964.

59. Иевлева О.Б. Малые колебания маятника со сферической полостью, заполненной вязкой жидкостью. ПММ, т. 28, вып. 6, 1964.

60. Иевлева О.Б. О колебаниях тела, наполненного вязкой жидкостью. ПМТФ, №6, 1966.

61. Stewartson К., Roberts Р.Н. On the motion of a fluid in a spheroidal cavity of a precessing rigid body. Journal of fluid mech., vol. 17, part 1, 1963.

62. Greenspan H.P, Howard L.N. On a time dependent motion of a rotating fluid. Journal of fluid mech., vol. 17, part 3, 1963.

63. Greenspan H.P, On the transient motion of a contained rotating fluid. Journal offluid mech., vol. 20, part 4,1964.

64. Greenspan H.P. On the general theory of contained rotating fluid motions. Journal offluid mech., vol. 22, part 3,1965.

65. Greenspan H.P. On almost rigid rotations. Part 2. Journal of fluid mech.A vol. 26, part 1,1966.

66. Bretherton P.P., Carrier G.F., Longuet-Higgins M.S. Report of the I.U.T.A.M. symposium on rotating fluid systems. Journal of fluid mech., vol. 26, part 2, 1966.

67. Черноусько Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость. М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1968.

68. Moisseyev N.N. Sur certains problèmes mathématiques du mouvement relatif des satellites. Dynamics of satellites. Syposium, Paris, 1962. Springer-Verlag, Berlin-Gôttingen-Heidelberg, 1963.

69. Беляева M.A., Мыщкис А.Д., Тюнцов А.Д. Гидростатика в слабых гравитационных полях. Равновесные формы поверхности жидкости. Изв. АН СССР, Механ. и мащиностр., №5, 1964.

70. Моисеев Н.Н., Черноусько Ф.Л. Задачи колебаний жидкости,подверженной силам поверхностного натяжения. ЖВМ и МФ, т. 5, №6, 1965.

71. Черноусько Ф.Л. О движении твердого тела с полостью, содержащей идеальную жидкость и пузырь воздуха. ПММ, т. 28, вып. 4, 1964.

72. Черноусько Ф.Л. Автомодельное движение жидкости под действием поверхностного натяжения. ПММ, т. 29, вып. 1, 1965.

73. Черноусько Ф.Л. Движение тонкого слоя жидкости под действием сил тяжести и поверхностного натяжения. ПММ, т. 29, вып. 5, 1965.

74. Петров В.М., Черноусько Ф.Л. Об определении формы равновесия жидкости под действием сил тяжести и поверхностного натяжения. Изв. АН СССР, МЖГ, №5, 1966.

75. Копачевский Н.Д., Мышкис А.Д. Гидродинамика в слабых силовых полях. О малых колебаниях вязкой жидкости в потенциальном поле массовых сил. ЖВМ и МФ, т. 8, №6,1966.

76. Докучаев Л.В., Рвалов Р.В. Об устойчивости стационарного вращения твердого тела с полостью, содержащей жидкость. Изв. АН СССР, МТТ. 1973, №2, 1973.

77. Рвалов Р.В., Роговой В.М. О вращательных движениях тела с полостью, содержащей жидкость. Изв. АН СССР, МТТ, №3, 1972.

78. Докучаев Л.В., Рвалов Р.В., Роговой В.М. Динамика вращающегося тела с жидкостью, совершающей вихревое движение. Изв. АН СССР, МТТ, №1, 1972.

79. Снеддон И. Преобразования Фурье. М.: И-Л, 1955.

80. Гурченков A.A. Динамика ротационного движения тел с полостями, содержащими жидкость. Диссертация на соисканиеученой степени кандидата физико-математических наук. М.: 1982.

81. Черноусько Ф.Л. ПММ, 1966, т. 30, вып. 6, с. 977 992.

82. Рабинович Б.И. ПММ, 1956, т.20, вып. 1, с. 39-50.

83. Микишев Г.Н., Дорожкин Н.Я. Известия АН СССР. МЖГ, 1967, №1, с. 84-88.

84. Рабинович Б.И., Роговой В.М. Космические исследования. 1970, Т.8, вып.3,с.315-328.

85. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью. М.: Машиностроение, 1968.

86. Гурченков А.А. Уравнения враш,ательного движения твердого тела с полостью, содержащей вязкую жидкость, и коэффициенты инерционных связей. М.: Сб. Физическая кинетика и гидромеханика дисперсных систем, Деп. ВИНИТИ, №5321-В86, 1986, с. 81-97.

87. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и ^преобразования. М.: Наука, 1971.

88. Черноусько Ф.Л. Вращательные движения твердого тела с полостью, заполненной жидкостью. ПММ, 1967, т. 31, вып. 3, с. 431-443.

89. Гурченков А.А. Поле скоростей вязкой жидкости во вращающемся цилиндре. М.: Сб. Избранные проблемы физической кинетики и гидродинамики дисперсных систем. Деп. ВИНИТИ, № 2675-В87, 1987, с. 35-44.9

90. Докучаев Л.В. Нелинейная динамика летательных аппаратов с деформируемыми элементами. М.: Машиностроение, 1987.

91. Болтов И.В., Бельфер Ф.П. Конструкция, ремонт и эксплуатация оборудования предприятий. М.: МТИ, 1978.

92. Ильинский B.C. Защита аппаратов от динамических воздействий. М.: Энергия, 1971.

93. Айзерман М.А. 1980. Классическая механика. М.: Физматгиз, 1980.

94. Гурченков А.А. Обработка данных и проверка гипотезы в динамической системе. Изв. РАН. ТСУ, №2, 2000, с. 23-27.

95. Фейман Р., Лейтон Р., Сендс М. 1966. Фейнмановские лекции по физике. М.: Мир, т. 7,1966.

96. Когар В.Б. Теоретические основы типовых процессов химической технологии. М.: Химия, 1977.

97. Miles J.W. Free-surface oscillations in a slowly rotating liquid. Journal Fluid mech., vol. 18, no. 2, 1964.

98. Дьяченко В.П. О колебаниях гироскопа, частично заполненного жидкостью. ДАН УССР, серия А, №10, 1971.

99. Гурченков А.А, Гридина Е.Д., Башлыков A.M. Математическое моделирование фильтрационных процессов в роторных системах. М.: Машиностроение, Информационные технологии, 2001, №3, с. 36-41.

100. ЮО.Гурченков А.А. Момент сил внутреннего трения быстровраща-ющегося цилиндрического сосуда, заполненного вязкой жидкостью. Изв. вузов. Приборостроение, 2001, т. 44, №2, с. 44-49.

101. Gourchenkov А. А. А Model of the viscous fluid unsteady flow in a rotating slot. Journal SAMS, 2001, vol. 40, pp. 447-458.

102. Gourchenkov A.A. Hydromechanical interaction of viscous fluid and rotating body.// International conference on optimization:techniques and appHcation. UK University of Swansea, 1993 July 11-14, Proceedings, pp. 81-85, U.K.

103. Gourchenkov A.A. The stability problem of rotating coupled solid and fluid// International conference on optimization: techniques and application. UK University of Swansea, 1993 July 11-14, Proceedings, pp. 144-147, U.K.

104. Gurchenkov A.A. Analytic solution of the model vector kinetic equations and their applications.// 13th International conference on transport theory. Riccione (Italy), May 10-14, Proceedings, pp. 183187, 1993.

105. Алексин В. A., Казейкин С.Н. Моделирование влияния параметров турбулентности набегающего потока на течение в нестационарном пограничном слое // Изв. РАН. МЖГ, 2000. №6. С. 64-77.

106. Ганиев О.Р., Хабеев Н.С. Динамика и теплообмен пузыря, содержащего испаряющуюся каплю // Изв. РАН. МЖГ, 2000. №5. С. 88-97.

107. Дудин Г.Н. Вдув газа на поверхности треугольной пластины в гиперзвуковом потоке// Изв. РАН. МЖГ, 2000. №1. С. 125-138.

108. Дынникова Т.Я. Аналог интегралов Бернулли и Коши-Лагранжа для нестационарного вихревого течения идеальной несжимаемой жидкости // Изв. РАН. МЖГ, 2000. JA2l.C.31-44.идеальной несжимаемой жидкости // Изв. РАН. МЖГ, 2000. №1. С. 31-44.

109. Кузин А.К. Квазицилиндрические фигуры равновесия вращающейся жидкости // Изв. РАН. МЖГ, 2000. №3. С. 22-38.

110. ИЗ.Михлйлов Д.Н., Николаевский В.Н. Динамика потока в пористых средах при нестационарных фазовых проницаемостях // Изв. РАН. МЖГ, 2000. №5. С. 103-127.

111. И.Саночкин Ю.В. Влияние вязкости на свободные поверхностные волны в жидкостях// Изв. РАН. МЖГ, 2000. №4. С. 156-164.

112. Докучаев Л.В. Нелинейная динамика и анализ областей неустойчивости вращения деформируемого ИСЗ корневым методом // Изв. РАН. МТТ, 2000. №4. С. 3-17.

113. Пб.Каракетян A.B., Лагутина И.С. Об устойчивости равномерных вращений волчка, подвешенного на струне, с учетом диссипа-тивного и постоянного моментов // Изв. РАН. МТТ, 2000. № 1. С. 53-68.

114. Кривцов А.М. Влияние вращающегося момента ограниченной мощности на устойчивость стационарных движений несимметричного волчка // Изв. РАН. МТТ, 2000. №2. С. 33-44.

115. Матвеев Ю.Л., Матвеев Л.Т. Особенности образования, развития и движения тропических циклонов // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана, 2000. №6. С. 760-767.

116. Монин A.C., Шишков Ю.А. Циркуляционные механизмы колебаний климата атмосферы // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана, 2000. №1. С. 27-34.

117. Батищев В.А., Хорошунова Е.В. Возникновение вращательных режимов при термокапиллярном течении неоднородной жидкости в слое // Изв. РАН. ПММ, 2000. №4. С. 560-573.

118. Карапетян A.B., Проконина О.В. Об устойчивости равномерных вращений волчка с полостью, заполненной жидкостью, на плоскости с трением // Изв. РАН. ПММ, 2000. №1.0.85-94.

119. Тхай В.Н. Об устойчивости регулярных прецессий Гриоли // Изв. РАН. ПММ, 2000. №5. С. 848-859.

120. Афанасьев К.Е., Стуколов СВ. Циркуляционное обтекание профилей стационарным плоскопараллельным потоком тяжелой жидкости конечной глубины со свободной поверхностью // ПМТФ,2000.№3.

121. Губкина Е.В., Монахов В.Н. Фильтрация жидкости со свободными границами в неограниченных областях // ПМТФ, 2000. №5.

122. Семенов Е.В. О сходящемся ламинарном потоке жидкости между двумя вращающимися дисками // ПМТФ, 2000. №2. С. 77-83.

123. Белоносов СМ., Черноус К.А. Краевые задачи для уравнений Нарье-Стокса. М.: Наука, 1981.

124. Thomley С. On Stokes and Rayleigh layers in a rotating system. Journal Mech. Appl. Math., vol. XXI, p. 4, 1968.

125. Снеддон И. Преобразования Фурье. М.: И-Л, 1955.

126. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1962.

127. Lakenath Debpath. Unsteady multiple boundary Sukla Mukherjee layers on a porous plate in a rotating system. Journal Phys. Fluids, vol. 16, p. 9,1973.

128. Gupta A.S. Ekman layers on a porous plate. Journal Phys. Fluids, vol. 5, no 5, 1972.

129. Эфрор A.M., Данилевский A.M. Операционное исчисление и контурные интегралы. Харьков: ГНТИУ, 1937г,

130. Гурченков A.A. Нестационарный поток на пористой пластине при наличии вдува (отсоса) среды. ПМТФ, 1980, №4, с. 66-69.

131. Doetsch G. Anleitung zum Praktischen Gebrauch der Laplace-Transformation und der Z-Transformation. München; Wien: R.01denburg, 1967.

132. Прудников A.n., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981.

133. Faller N.J., Kaylor R. Unsteady multiple boundary layers on a porous plate in a rotating system. Journal Phys. of Fluid, vol. 16, №9, 1973.

134. Ивченко И.Н., Яламов Ю.И. Тепловое скольжение неоднородно нагретого газа вдоль твердой плоской поверхности. Изв. АН СССР, серия МЖГ, 1969, №6, с. 59-66.

135. Ивченко И.Н., Яламов Ю.И. Тепловое скольжение неоднородно нагретого газа вдоль твердой плоской поверхности. Изв. АН СССР, серия МЖГ, 1969, №6, с. 59-66.

136. ИО.Ивченко И.Н., Яламов Ю.И. Кинетическая теория течения газа, находящегося над твердой стенкой в поле градиента скорости. Изв. АН СССР, серия МЖГ, 1968, №6, с. 139-143.

137. Яламов Ю.И., Юшканов A.A. Тепловое скольжение бинарной газовой смеси вдоль искривленной поверхности. Сб. "Физика аэродисперсных систем и физическая кинетика", МОПИ им. Н.К.Крупской, вып. 2, с. 162-175, М.: 1978.

138. Яламов Ю.И., Гайдуков М.Н., Ющканов A.A. Об изотермическом скольжении бинарной газовой смеси вдоль плоской поверхности. Инж.-физич. журнал, 1975, т. 29, №3, с. 489-493.

139. ИЗ.Яламов Ю.И., Санасарян A.C. О движении крупных капель, твердых частиц и газовых пузырьков в неоднородных по температуре жидкостях и газах в режиме со скольжением. ЖТФ, 1975, т. 47, №5, с. 1063-1066.

140. Яламов Ю.И., Санасарян A.C. Движение капель в неоднородной по температуре вязкой среде. ИФЖ, 1975, т. 28, №6.

141. Яламов Ю.И., Санасарян A.C. Диффузиофорез крупных и умеренно крупных капель в вязких средах. ЖТФ, 1977, т. 47, №5, с. 1063-1066.

142. McNab O.S., Meison А.М. J. Colloid and Interface Sei. 1972, vol. 44, no. 2, p. 339.

143. Klots Cornelius E. Evaporation from small particles // J. Phys. Chem., vol. 92, №21, 1988, pp. 5864-5668.

144. Шень Цин. Коэффициент скачка концентрации в разреженной бинарной газовой смеси // ЖТФ, т. 55, №9,1985. С. 1808-1814.

145. Райс|П. Аэрозоли. М.: Мир, 1987.

146. Жаров В.А. Определение скорости скольжения для бинарной газовой смеси // Изв. АН СССР, МЖГ, №2,1972. С. 98-104.

147. Баканов СП., Ролдугин В.Н. К вопросу о диффузионном скольжении газа//ИФЖ, т. 40, №5, 1981. С. 807-817.

148. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Гостехтеориздат, 1955.

149. Богоряд И.Б. К решению задачи о колебаниях жидкости, частично заполняющей полость, вариационным методом. ПММ, т. 26, вып. 6, 1962.

150. Ватсон Т.Н. Теория бесселевых функций. ИЛ. 1949.

151. Гайтмахер Ф.Р. Теория матриц. Гостехтеориздат, 1958.

152. Гатаулин И.Г., Столбецов В.Н. О некоторых оценках коэффициентов уравнений возмущенного движения тела с жидкостью. МТТ, 1966, №3.

153. Гильберт Д., Курант Р. Методы математической физики. Го,стехтеориздат, т. II, 1951.

154. Крылов А.Н. Качка корабля. Собрание трудов, т. XI, изд. АН СССР, 1951.

155. Лаврентьев М.А., Шабат В.Б. Методы теории функций комплексного переменного. Физматгиз, 1958.

156. ЛОЙЦИНСКИЙ Л.В., Лурье А.И. Курс теоретической механики. Гостехтеориздат, 1940, т. П.

157. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. ГИТТЛ, 1950.

158. МИХЛИН С.Г. Вариационные методы в математической физике. ГИТТЛ, 1957.

159. Mopj: Ф.С., Фещбах Г. Методы теоретической физики. ИЛ, 1960, т. 1,11.

160. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т. 2. ГОНТИ, 1938.

161. Соболев Л.С. Уравнения математической физики. ГИТТЛ, 1950.

162. Abramson H.N. Dynamic Behavior of Liquid in Moving Containers. Appl. Mech. Review, vol. 16, №7, 1963.

163. Bayer H.F. Stability Boundaries of Liquid Propelled Space Vehicles with Sloshing. AIAA Journal, 1963, vol. 1, №7.

164. Case K.M., Parkinson W.C. Damping of Surface Waves in an Incompressible Liquid. J. of Fluid Mech., 1957, March, vol. 2, p. 2.

165. Chu W.H. Sloshing of Liquid in Cylindrical Tanks of Elliptical Cross-Section. ARS Journal, 1960, vol. 30, №4

166. Greensite A.L. Analysis of Liquid-Propellent Mode Stability of a Multitank Ballistic Booster Vehicle. J. of the Aero/Space Sciences. February, 1962.

167. Hutton R.E. An Investigation of Nonlinear, Nonplaner Oscillations of Flpid in a Cylindrical Container. AIAA Fifth Annual Structures and Materials Conference, 1964, p. 184-190.

168. Jeffreys H. The Three Oscillations of Water in an Elliptical Lake. Proc. London Math. Soc, 1964, vol. 24.

169. Lawrence H.R., Wang C.I., Reddy R.B. Variational Solution of Fuel Sloshing Modes. Jet Prop., vol. 28, №1 1, 1958.

170. Levin E. Oscillations of Fluid in a Rectilinear Conical Container. AIAA Journal, 1963, vol. 1, №6.

171. O.Miles J.W. Ring Damping of Free Surface Oscillations in a Circulal Tank. Journal ofAppl. Mech., 1958, vol. 25, №6.

172. Riley J.D. Sloshing of Liquid in Spherical Tanks. Journal of the Aero/Space Sciences. 1961, vol. 28, №3.

173. Wilner L.B., Morrison W.L., Brown A.E. An Instrument for Measuring Liquid Level and Slosh in the Tanks of a Liquid-Propellant Rocket. Proc. ofthe IRE, 1960, vol. 48, №4.

174. Hung R.J., Lee C.C., Leslie F.W. // Acta astronaut, №3, 1944, U.K. C. 199-209. Могу M., Yurchenko N. Vortex generation by suction in a rotating tank // Eur. J. Mech. 1993. №6. C. 729-747.

175. Mory M., Yurchenko N. Vortex generation by suction in a rotating tank // Eur. J. Mech. 1993. №6. C. 729-747.

176. Заславский M.M., Перфильев В.A. Принцип Гамильтона для модели невязкой сжимаемой жидкости в эйлеровых координатах//Изв. АН СССР. МЖГ. 1969. №1. С. 105-109.

177. Mauwell A.R. А variational principle for steady nomenergetic compressible flow with finite shocks // Wave motion. 1980. V. 2. №1.R 83-85.

178. Шмыглевский Ю.Д. Об одном инерционном течении // ЖВМ и МФ. 1990. Т. 30, №12. С. 1833-1834.

179. Бондаренко Ю.А. Инерционные трехмерные движения невязкой несжимаемой жидкости // Вопросы атомной науки и техники. Серия Математическое моделирование физических процессов. 1994. Вып. 3. С. 41-46.

180. Шмыглевский Ю.Д. Инверсия сингулярности уравнений Навье-Стокса//ЖВМ и МФ. 1988. Т. 28. №11. С. 1748-1750.

181. Александров В.В., Шмыглевский Ю.Д. Об инерционных и сдвиговых течениях // Доклады АН СССР. 1988. Т. 274. №2. С. 280-283.

182. Шмыглевский Ю.Д. Об изобарических плоских течениях вязкой несжимаемой жидкости // ЖВМ и МФ, 1985. Т. 25. №12. С. 1895-1898.

183. Шмыглевский Ю.Д. О течениях вязкой жидкости, не зависящих от числа Рейнольдса // ЖВМ и МФ. 1990. Т. 30. №6. С. 951-955.

184. Шмыглевский Ю.Д. О вихревых образованиях в плоскопараллельных потоках вязкой и идеальной жидкости // Изв. РАН. МЖГ. 1977. №6. С. 88-92.

185. Шмыглевский Ю.Д. О вихревых образованиях в вязкой и жидкости // ЖВМ и МФ. 1994. Т. 34. №6. С. 955-959.

186. Маклренко В.Г., Тарасов В.Ф. О структуре течения вращающейся жидкости после движения в ней тела // ПМТФ. 1988. №6. С. 113-117.

187. O'Brien V. Steady spheroidal vortieces more exact Solutions to the Navier-Stokes equation // Q. Appl. Math. 1961. V. 19. №2. P. 163-168.

188. Hall M.G. Vortex breakdown // Ann. Rev. Fluid Mech. 1972. V. 4. R 195-218.

189. Leibovich S. Vortex stability and breakdown: survey and extension //AIAA Journal. 1984. V. 22. №9. R 1192-1206.

190. Leibovich S. The structure ofvortex breakdown // Ann. Rev. Fluid Mech. 1978. V. 10. R 221-246.202. якимов Ю.Л. Смерч и особое предельное решение уравнений Навье-Стокса//Изв. РАН. МЖГ. 1988. №6. С. 28-33.

191. Escudier М. Vortex breakdown: observations and explanations // Progr. Aerospace Sci. 1988. V. 25. №2. P. 189-229.

192. Spall R.E., Gatski T.B., Ash R.L. The structure and dynamics of bubble-type vortex breakdown // Proc. Roy. Soc. 1990. V. 429. №1877. R 613-637.

193. Van Dyke M. An album on fluid motion. Standford. Parabolic Press. 1982. 176 p.

194. Тригуб B.H. К вопросу о разрушении вихревой нити // ПММ. 1985. Т. 49. Вып. 2. С. 220-226.

195. Delgado А., Petri В., Rath Н. Fluid management in space by rotating disks//Appl. Microgravity Technol. 1988. №4. P. 188-201.

196. Сычев B.B. Асимптотическая теория разрушения вихря // Изв. РАН.МЖГ. 1993. №3. С. 78-90.

197. Шмыглевский Ю.Д. О закрученных течениях идеальной и вязкой жидкостей // ЖВМ и МФ. 1993. Т. 33. №12. С. 1905-1911.

198. Шмыглевский Ю.Д., Щепров А.В. Об осесимметричных вихревых образованиях в вязкой жидкости // ЖВМ и МФ. 1995. Т. 35. №3.0.472-476.

199. Шмыглевский Ю.Д. О "разрушении вихря" // Изв. РАН. МЖГ. 1995. №3. С. 167-169.

200. Бояршина Л.Г., Кованьчук П.С. Анализ нелинейных волновых движений жидкости в цилиндрическом сосуде, совершающем заданные угловые движения // Прикл. мех. (Киев), 1990, №6. С. 95-101.

201. Шмыглевский Ю.Д. О цепочках осесимметричных вихрей // Изв. РАН. МЖГ. 1997. №2. С. 174-176. Л

202. Van Dyke М. Perturbation methods in fluid mechanics. N.Y.-London. Acad. Press. 1964. 229 p.

203. Гурченков A.A. Неустановившееся движение вязкой жидкости между вращающимися параллельными стенками при наличии поперечного потока // ПМТФ, 2001, №4. С. 48-51.

204. Гурченков A.A., Яламов Ю.И. Неустановившееся движение вязкой жидкости между вращающимися параллельными стенками с учетом теплового скольжения вдоль одной из них // Доклады РАН, 2002, т. 382 .

205. Гурченков A.A., Яламов Ю.И. Диссипация энергии в полости твердого тела, совершающего либрационное движение // Доклады РАН, 2002, т.

206. ГурчЛенков A.A. Вихревые движения жидкости в полости вращающегося тела. М.: Народный учитель, 2001.С, 176.

207. Масленникова В.Н. Математические вопросы гидродинамики вращающейся жидкости и системы С.Л.Соболева.: Автореф. дне. д-ра физ.-мат. наук.- Новосибирск, 1971.

208. Копачевский Н.Д. Малые движения и собственные колебания идеальной вращающейся жидкости.- Харьков, 1978. (Препринт / ФТИНТ АН УССР: №38-71).

209. Габов C A. Спектр и базисы из собственных функций одной задачи об акустических колебаниях вращающейся жидкости // Доклады АН СССР, 1980, т. 254, №4. С. 777-779.

210. Капитонов Б.В. Теория потенциала для уравнения малых колебаний вращающейся жидкости//Мат. сб., 1979, т. 109, №4. С. 607-628.

211. Гринспен X. Теория вращающихся жидкостей. Л.: Гидрометеоиздат, 1975.

212. Гринспен X. Теория вращающихся жидкостей. Л.: Гидрометеоиздат, 1975.

213. Габов СЛ., Малышева Г.Ю., Свешников А.Г., Шагов А.К. О некоторых уравнениях, возникающих в динамике вращающейся, стратифицированной жидкости // ЖВМ и МФ, 1984, т. 24, Щ 2 . С. 1850-1863.

214. Кастро Р. Асимптотика решений задачи о волнах на поверхности неоднородной, стратифицированной жидкости // ЖВМ и МФ, 1982, т. 22, №4. С. Ш-Ш.

215. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. М.: Наука, 1968.

216. Габов С.А., Рубан П.И., Секерж-Зенькович С.Я. Дифракция волн Кельвина на полубесконечной стенке в полуограниченном бассейне//ЖВМ и МФ, 1975, т. 15,№6. С. 1521-1524.

217. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. М.: Мир, 1978.

218. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 2. М.: Наука, 1978.

219. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977.

220. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

221. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.

222. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. М.: Мир, 19А1.

223. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

224. Габов С.А., Свешников А.Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей. М.: Наука, 19А6.

225. Петров А.Г. Развитие течения вязкой и вязкопластической сред между двумя параллельными пластинами // ПММ, 2000, т. 64, вып. 1. С. 127-132.

226. Десятов В.Т. Экспериментальное исследование устойчивости вращательного движения тел с жидким наполнением. Ди1ламика космических аппаратов и исследование космического пространства. М.: Машиностроение, 1986. С. 254-260.