Стационарные движения подвешенного на стержне тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи

0030642Т0

Сумин Тарас Сергеевич

Стационарные движения подвешенного на стержне тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью

Специальность 01 02.01 — теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 9 ИЮЛ 2007

Москва 2007

003064270

Работа выполнена на кафедре теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета МГУ им М В Ломоносова

Научные руководители: Доктор физико-математических наук,

профессор А В Карапетян Доктор физико-математических наук, профессор В А Самсонов

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук

В С Сергеев

Кандидат физико-математических наук, доцент В В Филиппов

Ведущая организация: Институт прикладной математики

им М.В Келдыша Российской академии наук

Защита состоится 21 сентября 2007 года в 16 чалов на заседании специализированного совета Д 501 001 22 по механике при Московском государственном университете им M В Ломоносова по адресу 119991, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан 4 июля 2007 года

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501 001 22 доцент

В А Прошкин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задача о движении твердого тела, подвешенного на стержне, в том числе с полостью, содержащей жидкость, давно является классической задачей Интерес к этой задаче обусловлен моделированием динамики сепараторов, центрифуг и т п Основными рабочими режимами таких систем являются стационарные движения Поэтому отыскание и исследование стационарных движений является актуальной задачей

Цель диссертационной работы. Основной целью данной диссертационной работы является поиск и исследование свойств стационарных движений механической системы, состоящей из жесткого нерастяжимого стержня и прикрепленного к нему твердого тела с полостью, целиком заполненной вязкой жидкостью

Научная новизна. Все полученные результаты являются новыми Впервые исследованы стационарные движения подвешенного на стержне твердого тела с вязким наполнителем

Достоверность результатов. Все результаты диссертационной работы обоснованы, они базируются на общих теоремах динамики, теории устойчивости и бифуркаций

Используемые методы. В работе используются методики Рауса, Ляпунова, Четаева из теории устойчивости и бифуркации стационарных движений При исследовании нетривиальных стационарных движений, ответвляющихся от тривиальных, также используется метод малого параметра.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер Полученные результаты дают представление о количестве, видах и характере устойчивости стационарных движений

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях

- Семинар по аналитической механике и устойчивости движения кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ под руководством акад РАН В В Румянцева, чл -корр. РАН В В Белецкого, проф А В Карапетяна, 2006 г

- Семинар отдела механики ВЦ РАН под рук проф С Я. Степанова, проф А В Карапетяна, 2007 г

- Пятый международный симпозиум по классической и небесной механике, Великие Луки, 23-28 августа 2004 г

- Конференция-конкурс молодых ученых Института механики МГУ им М В. Ломоносова, октябрь 2004 г

- Международная научная конференция по механике «Четвертые поляховские чтения», Санкт-Петербург, 7-10 февраля 2006 г.

- Научная конференция Ломоносовские чтения МГУ им М В Ломоносова, апрель 2006 г

- IX Международный семинар «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (им Е С Пятницкого), 31 мая - 2 июня 2006 г.

- IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, 2006, Нижний Новгород, 22-28 августа 2006 г

- Конференция-конкурс молодых ученых Института механики МГУ им М В Ломоносова, октябрь 2006 г

- Научная конференция Ломоносовские чтения МГУ им М В Ломоносова, апрель 2007 г

- IX Международная Четаевская конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», Иркутск, 12-16 июня 2007 г

Публикации. Основные результаты диссертационной работы изложены в пяти печатных работах, три из них опубликованы в журналах, которые входят в перечень ВАК Список работ приведен в конце автореферата

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 79 наименований Общий объем диссертации - 110 страниц

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описана предметная область и цель настоящей диссертации, дан краткий обзор работ, связанных с исследованием динамики тел с жидкостью, и работ, связанных с исследованием движения твердого тела на струне, также приведено краткое содержание диссертации.

В первой главе дается постановка задачи Рассматривается движение динамически симметричного твердого тела, имеющего полость, целиком заполненную вязкой жидкостью Полость считается симметричной эллипсоидальной, ось симметрии совпадает с осью динамической симметрии оболочки Тело подвешено на жестком нерастяжимом стержне к неподвижной точке В точке подвеса, принадлежащей оси динамической симметрии тела, и в неподвижной точке крепление осуществляется с помощью идеальных шаровых шарниров

В первом разделе этой главы выводятся уравнения движения рассматриваемой системы

Уравнение, описывающее движение вязкой жидкости в эллипсоидальной полости, берется из феноменологической модели «внутреннего» трения В. А. Самсонова. Приводится краткое описание этой модели В ней взаимодействие вязкого наполнителя со стенками оболочки разлагается на две составляющие- нормальное давление и «внутреннее» трение, линейно зависящее от разности вектора ш абсолютной скорости оболочки и вектора О средней завихренности жидкости За основу берутся известные уравнения Гельмгольца для компонент вектора вихря при однородном вихревом движении идеальной жидкости в эллипсоидальной полости, в правую часть которых добавляется вектор момента сил вязкого «внутреннего» трения

Остальные уравнения движения выражают теоремы об изменении импульса, кинетического момента системы, уравнение Пуассона, связь, учитывающую нерастяжимость стержня, и кинематическое условие, связывающее скорости центра масс С системы и точки О подвеса тела

Во втором разделе показано, что система уравнений движения допускает интеграл площадей, геометрический интеграл, а также невозрастающую функцию энергии Следовательно для поиска и исследования стационарных движений системы можно воспользо-

ваться теорией Рауса для диссипативных систем с симметрией Эффективный потенциал строится на уровне интеграла площадей как минимум функции энергии по трем переменным абсолютной скорости центра масс, угловой скорости тела и средней завихренности жидкости

В этом разделе показано, что стационарными движениями в рассматриваемой задаче являются только перманентные вращения системы тело-жидкость как одного целого вокруг вертикали

В третьем разделе исследуются общие свойства стационарных движений системы

Показывается, что на любом стационарном движении направляющий вектор е стержня, радиус-вектор а точки подвеса относительно центра масс и вектор восходящей вертикали -у принадлежат вертикальной плоскости, которая вращается с некоторой постоянной угловой скоростью.

Кроме того, доказывается утверждение о том, что функция энергии Н убывает на всех движениях, отличных от полученных стационарных движений Доказательство проводится в компонентах векторов в системе координат, связанной с главными центральными осями ¡1, 12, 13 инерции системы

Из этого утверждения и из теоремы о частичной асимптотической устойчивости для диссипативных систем с симметрией следует, что изолированным точкам минимума эффективного потенциала отвечают частично асимптотически устойчивые движения, а другим изолированным критическим точкам — неустойчивые движения В первом случае частичная асимптотическая устойчивость означает, что возмущенное движение стремится к некоторому перманентному вращению, но не обязательно к невозмущенному

В четвертом разделе вводится система координат, вращающаяся вокруг вертикали с некоторой угловой скоростью т) Дальнейшее исследование стационарных движений предлагается проводить в координатах, связанных именно с этой системой, так как выбор таких координат является более удобным

Исследование проводится тем же методом, который использовал В Н Рубановский В частности, уравнения стационарных движений записываются в виде равенства нулю первой вариации функции И^», которая представляет собой сумму эффективного потенциала и ли-

нейной комбинации геометрических соотношений, выполненных во все время движения, с неопределенными множителями Лагранжа

Из этих уравнений следует, что стационарные движения системы можно условно разделить на два типа: тривиальные и нетривиальные Тривиальные движения — перманентные вращения, во время которых ось динамической симметрии и ось стержня совпадают с вертикальной осью вращения, — существуют при любом значении константы к интеграла площадей В зависимости от того, расположен ли центр масс выше или ниже точки подвеса, а также расположена ли точка подвеса выше или ниже неподвижной точки, существует 4 однопараметрических семейства тривиальных стационарных движений Нетривиальные (или «косые») движения существуют не при любом значении константы к интеграла площадей

Поскольку стационарными движениями задачи являются только перманентные вращения, во время которых векторы е, а и 7 принадлежат вращающейся вертикальной плоскости, и тело является динамически симметричным, главные оси инерции тела можно выбрать таким образом, что во все время движения проекции векторов е, а и 7 на ось Ц будут нулевыми Тем самым задача исследования стационарных движений упрощается

Вторая глава посвящена исследованию устойчивости тривиальных стационарных движений Исследование проводится методом Рауса.

В первом разделе рассматриваются общие свойства этих движений Показано, что для каждого тривиального стационарного движения вторая вариация функции Ж» на многообразии М геометрических соотношений раскладывается в сумму двух одинаковых квадратичных форм Соответственно отрицательный индекс инерции квадратичной формы может быть равен нулю, двум или четырем Отсюда следует, что степень неустойчивости тривиального стационарного движения может принимать только значения нуль, два или четыре

Второй раздел посвящен поиску условий устойчивости и точек смены степени неустойчивости для тривиального решения I, соответствующего вращению системы, когда центр масс С лежит ниже точки подвеса О, а точка подвеса находится ниже неподвижной точки Ох Пусть р = (А — С)/(та2), где А — экваториальный, & С —

осевой моменты инерции системы, т — масса, а — расстояние от центра масс до точки подвеса тела

Если тело «продолговатое», те р > О, решение I является устойчивым при достаточно малых угловых скоростях, неустойчивым со степенью неустойчивости 2 в среднем диапазоне угловых скоростей, неустойчивым со степенью неустойчивости 4 при достаточно больших угловых скоростях. Соответственно в этом случае у решения I имеется 2 точки ветвления

Если тело «сплюснутое», то решение I является устойчивым при достаточно малых угловых скоростях, а при превышении критического значения угловой скорости является неустойчивым со степенью неустойчивости 2

В третьем разделе аналогичным способом исследуется решение II, соответствующее вращению системы, когда центр масс С лежит выше точки подвеса О, а точка подвеса находится ниже неподвижной точки Картина устойчивости этого решения зависит не только от параметра р, но и от другого безразмерного параметра д, равного отношению длины стержня I к расстоянию а от центра масс до точки подвеса тела Получено, что, если тело «продолговатое», то перманентное вращение не может быть устойчивым ни при каких значениях р ид, при этом у однопараметрического семейства имеется одна точка ветвления Если тело «сплюснутое», то решение может быть устойчиво в небольшом диапазоне угловых скоростей в двух случаях 1) р отрицательно и достаточно велико по модулю, 2) р отрицательно и достаточно мало по модулю, при этом длина стержня I больше расстояния а При остальных значениях параметров (для р < 0) решение неустойчиво со степенью неустойчивости 2

В четвертом и пятом разделах рассматриваются оставшиеся два тривиальных стационарных движения, соответствующие случаю, когда точка О подвеса тела лежит выше неподвижной точки 01 Показано, что эти решения не могут быть устойчивыми ни при каких значениях параметров задачи Для полноты картины исследованы их точки ветвления и найдены условия, при которых реализуются степени неустойчивости 2 и 4

Во всех разделах со второго по пятый результаты представлены в виде таблиц, показывающих картину устойчивости каждого

решения в зависимости от выбранных безразмерных параметров

В шестом разделе главы устанавливается взаимное расположение на числовой прямой точек ветвления всех тривиальных движений в зависимости от параметров р ид

Согласно теории бифуркации наличие смены устойчивости у тривиальных стационарных движений показывает, что существует нетривиальные стационарные движения, ответвляющиеся от тривиальных Их исследованию посвящена третья глава

В первом разделе этой главы исследуются общие свойства нетривиальных стационарных движений Из общих уравнений стационарных движений выводятся соотношения для «косых» стационарных движений, которые не содержат неопределенные множители Лагранжа Полученные соотношения зависят от двух позиционных координат, соответствующих косинусам углов, которые стержень и ось динамической симметрии тела образуют с вертикалью, а также от угловой скорости Т] Кроме того, известно уравнение, связывающее константу к интеграла площадей с этими координатами и угловой скоростью Получены формулы, с помощью которых в пространстве двух позиционных координат и константы интеграла площадей можно численно строить бифуркационные диграммы Пуанкаре- Четаева

Во втором разделе изучается поведение нетривиальных относительных равновесий в окрестностях точек ветвления тривиальных стационарных движений. С помощью метода малого параметра в пространстве двух косинусов и угловой скорости строятся ростки нетривиальных относительных равновесий На основе теории бифуркаций делается вывод о характере устойчивости «косых» относительных равновесий в окрестностях точек бифуркаций Полуплоскость Р = {(р, д) р € К, > 0} физически возможных значений параметров задачи разбивается на области, различающиеся типом бифуркационных диаграмм для относительных равновесий

В третьем разделе изучается поведение нетривиальных стационарных движений в окрестностях точек ветвления тривиальных стационарных движений Так же, как и во втором разделе, для построения ростков «косых» стационарных движений используется метод малого параметра, но, в отличие от случая относительных равновесий, ответвления нетривиальных стационарных движений строятся

в пространстве двух косинусов и константы к интеграла площадей, так как именно она является существенным по Четаеву параметром Далее используется теорема, доказанная А В Карапетяном, С Я Степановым, М Паскаль, о соотношении условий устойчивости относительных равновесий и стационарных движений

Теорема: Степень неустойчивости стационарных движений свободной системы не больше степени неустойчивости относительных равновесий соответствующей ограниченной системы (т) = const)

Применяя теорему к построенным бифуркационным диаграммам для относительных равновесий, в некоторых случаях можно заранее определить, в какую сторону ответвятся нетривиальные стационарные движения, и на основе теории бифуркации сделать вывод о характере устойчивости этих движений в окрестностях точек бифуркации Тем самым при определенных значениях параметров р и q в некоторых точках ветвления анализ ростков «косых» стационарных движений можно не проводить

В оставшихся случаях, в которых теорема не дает однозначного ответа об ответвлении стационарных движений, были получены области параметров задачи, каждой из которых соответствует своя картина бифуркационных диаграмм для стационарных движений В отличие от случая относительных равновесий пространство параметров задачи не двумерное, а трехмерное к безразмерным параметрам р и q добавляется еще один параметр г = С/(та2)

В четвертом разделе рассматриваются стационарные движения при достаточно больших значениях угловой скорости На этих движениях одна из главных центральных осей инерции системы почти совпадает с неподвижной вертикалью и совмещается с ней тем точнее, чем выше угловая скорость системы Формулы для предельных стационарных движений найдены из общих уравнений стационарных движений. Определены условия существования каждого типа предельных стационарных движений

В пятом разделе на основе результатов предыдущих разделов приводится атлас типичных бифуркационных диаграмм Пуанкаре-Четаева для стационарных движений

В четвертой главе исследуются частные случаи рассматриваемой в диссертации задачи

В первом разделе рассматривается движение вокруг неподвижной точки тела с полостью, целиком заполненной вязкой жидкостью Взаимодействие наполнителя со стенками полости также учитывается с помощью феноменологической модели «внутреннего» трения Поиск и исследование устойчивости стационарных движений проводится методом Рауса Найдены все стационарные движения системы, которые представляют собой перманентные вращения жидкости и оболочки как одного целого вокруг вертикали, определены точки ветвления и условия устойчивости стационарных движений Результаты представлены в виде атласа бифуркационных диаграмм

Во втором разделе рассматривается движение подвешенного на стержне твердого тела с эллипсоидальной полостью, целиком заполненной идеальной несжимаемой жидкостью Предполагается, что жидкость совершает однородное вихревое движение Изменение компонент вектора вихря жидкости описывается известными уравнениями Гельмгольца

Система уравнений движения допускает интегралы энергии, площадей, Гельмгольца, постоянства проекции мгновенной угловой скорости на ось симметрии тела и геометрический интеграл С помощью метода Рауса выписываются уравнения для определения стационарных движений

В этом разделе рассматривается одно из тривиальных стационарных движений, соответствующее перманентному вращению системы как одного целого вокруг вертикали в случае, когда центр масс системы лежит ниже точки подвеса тела, а точка подвеса расположена ниже неподвижной точки Получены условия устойчивости этого решения для случаев вытянутой и сплюснутой полости

В заключении приведены основные результаты и выводы

• Уравнения стационарных движений, полученные в форме В Н Рубановского, преобразованы к виду, в котором исключены неопределенные множители Лагранжа, что позволяет строить бифуркационные диаграммы Пуанкаре-Четаева Указаны общие свойства стационарных движений

• Исследованы все тривиальные стационарные движения получены условия устойчивости и найдены точки смены степени неустойчивости

• В окрестностях тривиальных стационарных движений аналитически найдены ростки нетривиальных стационарных движений, исследована их устойчивость

• Определены существенные параметры задачи, и пространство этих параметров разбито на области, различающиеся типом бифуркационных диаграмм

• Для каждой из указанных выше областей построены типичные бифуркационные диаграммы Пуанкаре-Четаева, дающие наглядное представление о количестве стационарных движений, их типе и устойчивости

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1 Сумин Т С Об устойчивости равномерных вращений тела, заполненного жидкостью и подвешенного на струне // Вестн Моек ун-та Сер 1 Математика Механика. 2004 № б, с 56-60

2. Карапетян А В , Самсонов В А., Сумин ТС Об устойчивости и ветвлении перманентных вращений твердого тела с жидким наполнением // ПММ Т 68 Вып 6 2004, с 994-998

3 Сумин Т С Об устойчивости движения подвешенного на стержне твердого тела с вязким наполнителем // Сборник трудов конференции-конкурса молодых ученых, Москва, 11 1016 10 2006 г, под ред Г Г Черного и В А Самсонова, М , МГУ, 2007 г, с 259-266

4 Сумин Т С Об устойчивости движения подвешенного на стержне твердого тела с вязким наполнителем // Труды IX Международной Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», посвященной 105-летию Н Г Четаева Иркутск, 12 06-16 06 2007 г Том 2, с 244-252

5 Сумин ТС Об устойчивости стационарных движений тела с вязким наполнителем на стержне // Автоматика и телемеханика, № 9, 2007

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова

Подписано в печать О?

Формат 60x90 1/16 Уел печ л О. 75 Тираж /0О экз Заказ 24

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

Введение

Глава Постановка задачи.

1.1. Уравнения движения

1.2. Первые интегралы и эффективный потенциал.

1.3. Общие свойства стационарных движений.

1.4. Уравнения стационарных движений.

Глава 2. Тривиальные стационарные движения.

2.1. Общие свойства тривиальных стационарных движений.

2.2. Тривиальное стационарное движение I

2.3. Тривиальное стационарное движение II.

2.4. Тривиальное стационарное движение III

2.5. Тривиальное стационарное движение IV

2.6. Точки ветвления.

Глава 3. Нетривиальные стационарные движения

3.1. Общие свойства нетривиальных стационарных движений

3.2. Поведение нетривиальных относительных равновесий в окрестностях точек бифуркации.

3.3. Поведение нетривиальных стационарных движений в окрестностях точек бифуркации.

3.4. Предельные стационарные движения

3.5. Типичные бифуркационные диаграммы.

Глава 4. Некоторые частные случаи

4.1. Движение вокруг неподвижной точки.

4.1.1. Уравнения движения.

4.1.2. Эффективный потенциал.

4.1.3. Устойчивость тривиальных стационарных движений

4.1.4. Ветвление стационарных движений.

4.2. Случай идеальной жидкости.

4.2.1. Уравнения движения.

4.2.2. Первые интегралы и стационарные движения.

4.2.3. Перманентное вращение.

Задача о движении тела с вязким жидким наполнением — одна из классических задач механики. Ее исследование идет как экспериментальным путем, так и построением все более сложных теорией. Одним из действенных методов решения задачи является построение эмпирических моделей, позволяющих описать «качественно» движение системы.

Подобная феноменологическая модель была построена в работах [51, 56, 57], и развита в работах [54, 55]. В этой модели взаимодействие жидкости в полости и тела предлагалось разделить на нормальное давление и «линейное» внутреннее трение вязкого наполнителя о стенки оболочки.

В работе [25] при помощи этой модели была исследована устойчивость всех стационарных движений в задаче о движении вокруг неподвижной точки твердого тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью.

В данной работе эта феноменологическая модель применена к решению задачи об устойчивости перманентных вращений вокруг вертикали твердого тела, имеющего эллипсоидальную полость с вязким наполнителем и подвешенного к неподвижной точке с помощью жесткого нерастяжимого стержня. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

Исследование динамики тел с полостями, содержащими жидкость, началось еще в середине XIX века. Первым, по-видимому, на эту проблему механики обратил внимание Стоке (1842-1847 гг., [79]). Затем ею занимались Гельмгольц (1860 г.), Любек (1873 г.) и Ламб (1873 г., [29]), рассмотревшие ряд частных случаев.

Первое обстоятельное изучение динамики твердого тела, имеющего полости, полностью заполненные идеальной несжимаемой жидкостью, в общей постановке было проведено Н.Е.Жуковским (1885 г., [7]). Н.Е.Жуковский показал, что потенциальное движение жидкости в полости определяется движением тела, само же движение тела совершается так, как если бы жидкость была заменена эквивалентным твердым телом.

Вопросы устойчивости движения твердого тела с полостью, содержащей жидкость, также издавна привлекали внимание исследователей. Еще в опытах Кельвина было обнаружено, что вращение волчка будет устойчиво, если полость сжата в направлении оси вращения, и неустойчиво — в противном случае. В работах Гринхилла, Хафа [73], Пуанкаре [76] и других проводилось теоретическое исследование этой задачи. Авторы этих работ рассматривали движение твердого тела с полостью эллипсоидальной формы, заполненной идеальной жидкостью. При этом движение жидкости в полости предполагалось однородно-вихревым. В работе [73] Хаф исследовал малые колебания в окрестности равномерного вращения твердого тела и жидкости в его полости как одного твердого тела вокруг главной оси инерции, получил необходимые условия устойчивости и проанализировал их для случая оболочки пренебрежимо малой массы. В работе [76] Пуанкаре рассмотрел также эту задачу при учете упругости оболочки и неоднородности жидкости.

В работе С.Л.Соболева [64] рассматривалось движение тяжелого симметричного волчка с полостью, заполненной идеальной жидкостью. Уравнения движения линеаризовывались около равномерного вращения волчка. С.Л.Соболев установил некоторые общие свойства движения, в частности, некоторые условия устойчивости. Кроме того, в работе [64] подробно рассмотрены два частных случая полостей: эллипсоид вращения и круговой цилиндр. Та же задача, что и в работе [64], была рассмотрена другим методом в работе А. Ю. Ишлинского и М.Е.Темченко [18]. Результаты экспериментальных исследований этой задачи изложены в статье С. В. Малашенко и М. Е. Темченко [32]. А. Ю. Ишлинским и М. Е. Темченко также была рассмотрена задача о вращении подвешенного на струне твердого тела с жидким наполнением эллипсоидальной формы [19]. Критерии устойчивости движений в этих задачах более подробно были изучены в работе [66].

Изучение устойчивости движения твердых тел с полостями, содержащими жидкость, обычно проводится одним из двух способов. Первый способ основан на линеаризации уравнений движения и на исследовании полученной линейной задачи. Этот способ использован в ряде перечисленных выше работ, а также во многих других. Другой способ основан на применении и развитии второго метода Ляпунова [30]. К этому направлению относятся работа Н. Г. Четаева [69], цикл работ В. В. Румянцева, работы Г. К. Пожарицкого, С. В. Жака, Н. Н. Колесникова, В. А. Самсонова и других. В этих работах получен ряд результатов об устойчивости движения твердых тел с полостями, полностью или частично заполненных жидкостью. Рассматривался как случай идеальной, так и случай вязкой жидкости, а также влияние сил поверхностного натяжения ([49, 52]). Эти и другие результаты изложены в обзорной статье [48] и в монографии [36]. В работе А. В. Карапетяна [22] также с помощью второго метода Ляпунова были получены достаточные условия устойчивости регулярной прецессии в задаче о движении вокруг неподвижной точки твердого тела, с полостью заполненной идеальной жидкостью.

Задачи динамики твердого тела с полостью, содержащей вязкую жидкость, представляют значительно большие трудности, чем в случае идеальной жидкости. Некоторые приближенные решения задач о движении вязкой жидкости во вращающейся полости содержатся в работе [7], а также в книге [58].

В монографии [68] Ф. Л. Черноусько показал, что, рассматривая некоторые классы движений твердого тела с вязкой жидкостью, решение задачи можно разбить на две части. Первая, гидродинамическая, часть задачи сводится к решению некоторых стандартных краевых задач, зависящих от формы полости и не зависящих от движения тела, и затем к расчету коэффициентов, характеризующих влияние жидкости на движение тела. Вторая, динамическая, часть задачи сводится к решению уравнений движения тела и не требует решения уравнений с частными производными. Для каждого класса движения исследование проводится с помощью асимптотических методов, устанавливается схема решения данного класса задач динамики тела с жидкостью. Рассмотрены как колебательные, так и вращательные движения твердого тела с полостью, содержащей вязкую жидкость. Получены результаты об устойчивости равновесий и перманентных вращений в ряде конкретных задач. В частности, в задаче о пространственном движении свободного твердого тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью, получено количественное описание переходного процесса, приводящего к устойчивому движению, которым является равномерное вращение вокруг оси наибольшего момента инерции [36], найдено время переходного процесса. В монографии [68] приведена обширная библиография по вопросу исследования динамики тел с вязкой жидкостью.

В работах [5, 71, 72, 78] исследовалась устойчивость малых движений около положения равновесия и около перманентного вращения. Для случая жидкости малой вязкости при исследовании уравнений Навье-Стокса неоднократно применялся метод пограничного слоя ([68, 71, 72, 78] и др).

Для исследования задач о движении тел с жидкостью чрезвычайно важны и экспериментальные данные. Ряд эффектных экспериментов по исследованию устойчивости волчка с эллипсоидальной и цилиндрической полостями, заполненными жидкостью, был проведен, как упоминалось выше, С. В. Малашенко и М.Е. Темченко и описан в работе [32]. Однако теория и эксперимент развиваются не равномерно и не синхронно. В связи с этим часто измерения, сделанные в эксперименте, нуждаются в интерпретации и требуют построения математических моделей.

Одним из действенных методов исследования является построение эмпирических моделей, способных «отобразить» качественные характеристики движения. Одна из линий построения таких моделей отражена в работах [51, 54-57], где для оценки внутреннего трения используются уравнения типа уравнений Гельмгольца для компонент вихря при однородном вихревом движении идеальной жидкости. Взаимодействие вязкого наполнителя со стенками оболочки разделяется на нормальное давление и внутреннее трение, которое сводится к результирующей паре сил с моментом, линейно зависящим от разности вектора средней завихренности жидкости и угловой скорости тела. Коэффициент внутреннего трения вводится феноменологически. Вопрос о согласовании линейного коэффициента внутреннего трения с вязкостью жидкого наполнителя обсуждается в работе [54] по частным решениям работы [20] и результатам работы [21]. В [51] было показано, что такой подход позволяет получить правдоподобные оценки для момента сил вязкости наполнителя. Траектории, полученные при численных расчетах модельных уравнений для волчка на шероховатой плоскости, проведенные в работе [54], качественно «похожи» на результаты натурных экспериментов, описанных в [53].

В работах [6, 55] с помощью этой модели исследуется устойчивость перманентного вращения симметричного тяжелого тела с вязким наполнителем в случае, когда тело имеет закрепленную точку. При этом учитывается как момент сил внутреннего вязкого трения наполнителя о стенки оболочки, так и внешний демпфирующий момент, обеспечивающий диссипацию только угловых движений оси тела (момент, приводящий к уменьшению осевой составляющей угловой скорости, не учитывается). В этих работах численно построены и проанализированы области устойчивости перманентного вращения.

Как упоминалось в начале, эта же задача, но без учета внешнего демпфирования, была рассмотрена в работе [25]. С помощью методики Рауса в ней были найдены все стационарные движения системы, определены необходимые и достаточные условия вековой устойчивости движений и построены бифуркационные диаграммы Пуанкаре-Четаева.

В данной работе исследуется более сложная конфигурация системы. Предполагается, что тело с полостью, целиком заполненной вязкой жидкостью, подвешено к неподвижной точке с помощью жесткого невесомого стержня. В точке подвеса и в неподвижной точке установлены идеальные шаровые шарниры.

Рассматриваемая задача очень тесно связана с задачей о движении твердого тела на струне, исследованием которой занимается множество ученых уже более полувека. Первые исследования этой задачи начались в середине 50-х годов XX века. В частности, в работе [37] Е. П. Морозовой посредством построения функции Ляпунова методом Н. Г. Четаева [70] была доказана устойчивость вертикальной формы стационарного движения тела в предположении, что точка подвеса к струне находится выше его центра масс.

Начало масштабному изучению стационарных движений твердого тела, подвешенного на стержне, положили эксперименты с быстровращающимися телами, проводимые под руководством М. А. Лаврентьева. В продолженных позже теоретических и экспериментальных исследованиях киевской школы, возглавляемой А.Ю. Ишлинским, были обнаружены интересные закономерности поведения систем. Среди них явление, когда наряду с устойчивым тривиальным режимом существуют также устойчивые конические режимы, рожденные из тривиального. При увеличении угловой скорости вращения системы был обнаружен режим, для которого главная центральная ось инерции тела почти совпадает с неподвижной вертикалью и совмещается с ней тем точнее, чем выше угловая скорость системы (см. работу [13]). Это свойство системы явилось основой метода динамической балансировки быстровраща-ющихся тел (см., например, работу [12]), который особенно эффективен при балансировке крупногабаритных конструкций (например, роторов турбин).

Наряду с разработкой методов практического использования струнного подвеса развивались и аналитические исследования задачи движения тела на струне. Здесь следует отметить работы В. В. Румянцева, посвященные исследованию устойчивости подвешенного на струне тела. Им рассматриваются разные виды равномерных вращений, классификация которых приведена в [47].

Задача о движении тела на струне исследовалась во множестве постановок: различные ограничения на тело, место точки подвеса, учет упругих свойств струны или стержня, учет влияния внешней среды. Например, в работе [14] А. Ю. Ишлинский, В. А. Стороженко, М. Е. Темченко рассматривали задачу о движении тела на струне в предположении, что точка подвеса не лежит на оси симметрии. В работах [16], [50] считалось, что тело является динамически несимметричным. В. В. Румянцев рассмотрел [50] различные способы закрепления концов струны: шарнирное и жесткое. В первом случае задача является голономной, во втором — неголономной. В работе [39] проводилось исследовании устойчивости движения твердого тела на струне, длина которой соизмерима с линейными размерами тела. Выло найдено стационарное движение типа «регулярная болтанка», при котором углы отклонения от вертикали струны и тела равны по модулю и различны по направлению. В работах [24], [27] рассматривается влияние сопротивляющейся среды на устойчивость движения твердого тела на струне.

Как упоминалось выше, в работе [19] была рассмотрена устойчивость движения на струне осесимметричного тела с полостью в форме эллипсоида вращения. Аналогичное исследование посредством методов функционального анализа было проведено M.JI. Горбачу ком в случае, когда полость имеет форму прямого кругового цилиндра [2, И].

В. Н. Рубановским и В. В. Румянцевым [45] построением функции Ляпунова в виде линейной связки интегралов уравнений возмущенного движения осесимметричного твердого тела получены достаточные условия устойчивости как перманентных вращений, так и регулярных прецессий. В. Н. Рубановским проведен цикл [40-43] исследований устойчивости подвешенного на струне твердого тела, как симметричного, так и не обладающего осью динамической симметрии. Им изучены не только достаточные условия устойчивости, вытекающие из теоремы Рауса-Ляпунова, но и необходимые, следующие из анализа уравнений первого приближения. Дано геометрическое представление перманентных вращений и регулярных прецессий тела, изучено их ветвление.

Положения относительного равновесия несимметричного твердого тела, прикрепленного к струне, исследовал Г. Т. Нозадзе [38]. Им же совместно В. Н. Рубановским [44] рассмотрены стационарные движения подвешенного на струне твердого тела с эллипсоидальной полостью, целиком заполненной идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей вихревое движение.

Значительное число исследователей занимались вопросами полного описания многообразия форм стационарных движений подвешенного на струне и на невесомом стержне осесимметричного твердого тела. К данному направлению относятся работы О.Ю.Агаревой [1], В. В. Турецкого, Т. А. Добринской [3, 4]. Большое внимание этому вопросу уделено в работах В. А. Сарычева, С. А. Мирера, С. А. Одинцовой, А. В. Исакова. Так, в работах [60-62] получены разбиения плоскости безразмерных параметров системы на области одинакового качественного характера эволюции числа и типов как перманентных вращений, так и регулярных прецессий. В работах [33, 35, 63] обсуждается характер стационарных движений осесимметричного тела на струнном подвесе при больших значениях угловой скорости. В работе [59] изложены результаты десятилетних исследований этой задачи в Институте прикладной математики им.М.В.Келдыша РАН.

Наряду с задачей о движении твердого тела на струне рассматривались и ее обобщения. Например, в задаче о движении гиростата на струнном подвесе (см., например, [34]) рассматриваются случаи, когда исследование стационарных движений такой системы может быть сведено к анализу уравнений стационарных движений базовой задачи (задачи о движении твердого тела на струне).

Выше упоминалось, что в практических целях струнный подвес активно использовался для балансировки быстровращающихся тел. В Институте механики МГУ развивалось другое направление. Была создана установка «струнный привод» [8] для измерения момента сил внутреннего трения между наполнителем и стенками прецессирующей полости на квазистационарных движениях типа регулярных прецессий. С помощью этой установки И. Г. Жестковым, В. А. Самсоновым, В. П. Куликовым [9, 10, 28] струнный подвес был применен для экспериментального изучения взаимодействия вращающегося тела с окружающей средой (воздухом и жидкостью).

Приведенный обзор литературы по исследованию динамики твердого тела на струне является далеко не полным. Обширная библиография в данной области представлена в книге [15], а также в статье [17]. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Теоретическое исследование, проводимое в данной работе, связано с тем, что экспериментальные данные, получаемые с установки в Институте механики МГУ, по-прежнему нуждаются в адекватной механической интерпретации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Во введении описана предметная область и цель настоящей диссертации, дан краткий обзор работ, связанных с исследованием динамики тел с жидкостью, и работ, связанных с исследованием движения твердого тела на струне, также приведено краткое содержание диссертации.

Заключение

Уравнения стационарных движений, полученные в форме В.Н. Руба-новского, преобразованы к виду, в котором исключены неопределенные множители Лагранжа, что позволяет строить бифуркационные диаграммы Пуанкаре-Четаева. Указаны общие свойства стационарных движений.

Исследованы все тривиальные стационарные движения: получены условия устойчивости и найдены точки смены степени неустойчивости.

В окрестностях тривиальных стационарных движений аналитически найдены ростки нетривиальных стационарных движений, исследована их устойчивость.

Определены существенные параметры задачи, и пространство этих параметров разбито на области, различающиеся типом бифуркационных диаграмм.

Для каждой из указанных выше областей построены типичные бифуркационные диаграммы Пуанкаре-Четаева, дающие наглядное представление о количестве стационарных движений, их типе и устойчивости.

1. Агарева О.Ю. О перманентных вращениях осесимметричного твердого тела, подвешенного на струне. // Вести. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1987. Ж 6. 1968. С. 45-51.

2. Горбачук M.JI., Слепцова Г.П., Темченко М.Е. Об устойчивости движения подвешенного на струне твердого тела с жидким наполнением. // Институт математики УССР. Укр. матем. журнал. Т. 20. №. 5. 1968. С. 586 602.

3. Турецкий В.В., Добринская Т.А. О некоторых стационарных режимах движения твердого тела на струнном подвесе. // Сев.-зап. заоч. поли-чехн. ин-т. Л., 1986. 13 с. Деп. в ВИНИТИ 2.01.86, Ж 17-В86.

4. Турецкий В.В., Добринская Т.А. О регулярных прецессионных движениях осесимметричного твердого тела на шарнирно-стержневом подвесе. // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. № 5. С. 19-27.

5. Докучаев Л.В., Рвалов Р.В. Об устойчивости стационарного вращения твердого тела с полостью, содержащей жидкость. // Изв. АН СССР. МТТ, 1973, № 2.

6. Досаев М.З., Самсонов В.А. Об устойчивости вращения тяжелого тела с вязким наполнителем. // ПММ. Т. 66. Вып. 3. 2002. С. 427-433.

7. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородною капелыюю жидкостью. — В кн: Собр. соч. Т.2. М.- Л.: Гостехиздат, 1949, с. 152-309.

8. Жесткое И.Г., Самсонов В.А. Макет установки для оценки влияния жидкости в полости тела на его движение. Отчет Института механики МГУ. № 2868, 1983.

9. Жесткое И.Г., Самсонов В.А. О движении вращающегося тела, подвешенного на струне. // Некоторые задачи динамики управляемого тела. М.: Изд-во МГУ, 1983. С. 38-51.

10. Жестков И.Г., Куликов В.П. Экспериментальное исследование устойчивости вращения на струне тела с жидкостью. // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1987. № 4. С. 86-88.

11. Ишлинский А.Ю., Малашенко С.В., Стороженко В.А., Темченко М.Е., Шишкин И.Г. Метод балансировки вращающихся тел на струнном приводе. // Изв. АН СССГ. МТТ, 1979, № 5, с. 3-18.

12. Ишлинский А.Ю., Стороженко В.А., Темченко М.Е. О движении осесим-метричного твердого тела, подвешенного на струне. // Изв. АН СССР. МТТ, 1979, № 6, с. 3-16.

13. Ишлинский А.Ю., Стороженко В.А., Темченко М.Е. Вращение твердого тела на струне. М.: Наука, 1991, 330 с.

14. Ишлинский А.Ю., Стороженко В.А., Темченко М.Е. К исследованию устойчивости форм относительного равновесия подвешенного на стержне динамически несимметричного тела. // Изв. АН СССР. МТТ, 1993, № 4, с. 60-72.

15. Ишлинский А.Ю., Стороженко В.А., Темченко М.Е. Динамика быстро-вращающихся на струне твердых тел и некоторые смежные вопросы (обзор). // Прикладная механика. 1994, т. 30, № 8, с. 3-30.

16. Ишлинский А.Ю., Темченко М.Е. О малых колебаниях вертикальной оси волчка, имеющего полость, целиком наполненную идеальной несжимаемой жидкостью. // Ж. прикл. мех. и техн. физ. 1960. № 3. С. 65-75.

17. Ишлинский А.Ю., Темченко М.Е. Об устойчивости вращения на струне твердого тела с эллипсоидальной полостью, целиком наполненной идеальной несжимаемой жидкостью. // ПММ. 1966. Т 30. С. 30-41.

18. Казмерчук И.М., Самсонов В.А. Движение двух вязких жидкостей в прецессирующем сосуде. // Изв. РАН. МЖГ, 1995, № 5, с. 27-34.

19. Казмерчук И.М., Самсонов В.А. О квазистационарных движениях волчка с жидким наполнением. // Изв. РАН. МЖГ, 1996, № 2, с. 32-36.

20. Карапетяп А.В. Об устойчивости регулярной прецессии симметричного твердого тела с эллипсоидальной полостью. // Вест. Моск. ун-та. Матем., механ., 1972, № 6, с. 122-125.

21. Карапетян А.В. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС, 1998, 168 с.

22. Карапетян А.В., Лагутина И.С. Об устойчивости равномерных вращений волчка, подвешенного на струне, с учетом диссипативного и постоянного моментов. // Изв. АН СССР. МТТ, 2000, № 1, с. 53-57.

23. Карапетян А.В., Самсонов В.А., Сумин Т.С. Об устойчивости и ветвлении перманентных вращений твердого тела с жидким наполнением. // ПММ. Т. 68. Вып. 6. 2004. С. 994-998.

24. Карапетян А.В., Степанов С.Я. О соотношении условий устойчивости стационарных движений и относительных равновесий. // Сб. научно-метод. статей по теор. мех. М.: Изд-во МПИ. 1990. Вып. 20. С. 31-37.

25. Кошляков В.Н., Стороженко В.А. Влияние диссипации на устойчивость вращения твердого тела, подвешенного на стержне. // Изв. АН СССР. МТТ, 2005, JY* 3, с. 22-33.

26. Куликов В.П., Самсонов В.А. О малых колебаниях около тривиального вращения на струне твердого тела с полостью, частично заполненной жидкостью. // Изв. АН СССР. МТТ, 1985, № 4, с. 33-37.

27. Ламб Г. Гидродинамика. M.-JL, Гостехиздат, 1947.

28. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1950, 472 с.

29. Малашенко С.В. Некоторые экспериментальные исследования, относящиеся к вращению тел. // ПМТФ. 1960. № 3. С. 205-211.

30. Малашенко С.В., Темченко М.Е. Об одном методе экспериментального исследования устойчивости движения волчка, внутри которого имеется полость, наполненная жидкостью. //Ж. прикл. мех. и техн. физ. 1960. ДО 3. С. 76-80.

31. Мирер СЛ., Одинцова СЛ., Сарычев В.А. Предельные стационарные режимы твердого тела на струнном подвесе. // ПММ. Т. 53. Вып. 1. 1989. С. 38-44.

32. Мирер СЛ., Одинцова СЛ., Сарычев В.А. О стационарных движениях гиростата на струнном подвесе. // Изв. АН СССР. МТТ, 1990, № 2, с. 26-31.

33. Мирер СЛ., Сарычев В.А. Предельные стационарные вращения тела на струне с точкой подвеса на оси симметрии. // ПММ. Т. 65. Вып. 6. 2001. С. 937-943.

34. Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука, 1965, 439 с.

35. Морозова Е.П. Об устойчивости вращения твердого тела, подвешенного на струне. // ПММ. Т. 20. Вып. 5. 1956. С. 621-626.

36. Нозадзе Г.Т. Об устойчивости и бифуркации положений относительного равновесия тяжелого твердого тела, подвешенного на струне. // Изв. АН СССР. МТТ, 1984, № 3, с. 22-29.

37. Пилькевич A.M., Стороженко В.А., Темченко М.Е. Об устойчивости стационарного движения твердого тела, вращающегося на «короткой» струне. // Изв. АН СССР. МТТ, 2001, № 6, с. 31-51.

38. Рубановский В.Н. Анализ условий устойчивости равномерного вертикального вращения динамически симметричного твердого тела, подвешенного на нити. // Современные вопросы математики и механики и приложения. М.: МФТИ, 1983. С. 16-21.

39. Рубановским В.Н. Об устойчивости вертикального вращения твердого тела, подвешенного на стержне. // ПММ. Т. 49. Вып. 6. 1985. С. 916-922.

40. Рубановский В.Н. Перманентные вращения и относительные равновесия тела, подвешенного на стержне, их ветвление и устойчивость. // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР, 1986. С. 19-34.

41. Рубановский В.Н. Ветвление и устойчивость перманентных вращений и относительных равновесий тела, подвешенного на стержне. // ПММ. Т. 51. Вып. 3. 1987. С. 382-389.

42. Рубановский В.Н., Нозадзе Г.Т. О стационарных движениях подвешенного на струне твердого тела с жидким наполнением. // Сообщения Академии наук Грузинской ССР, 1982. 108. № 2. С. 285 287.

43. Рубановский В.Н., Румянцев В.В. О стационарных движениях тяжелого симметричного твердого тела, подвешенного на струне. // Изв. АН СССР. МТТ, 1985, № 5, с. 3-7.

44. Рубановский В.Н., Самсонов В. А. Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах. М.: Наука, 1988, 304 с.

45. Румянцев В.В. Об устойчивости равномерных вращений механических систем. // Изв. АН СССР. ОТН. 1962, № 6, с. 113-121.

46. Румянцев В.В. Методы Ляпунова в исследовании устойчивости движения твердых тел с полостями, наполненными жидкостью. // Изв. АН СССР, Механ. и машиностр. 1963, № 6, с. 119-140.

47. Румянцев В.В. Об устойчивости движения твердого тела с жидкостью, обладающей поверхностным натяжением. // ПММ. 1964. Т. 28. Вып 1. С .746-753.

48. Румянцев В.В. К динамике твердого тела, подвешенного на струне. // Изв. АН СССР. МТТ, 1983, № 4, с. 5-15.

49. Савченко А.Я., Самсонов В.А., Судаков С.Н. Феноменологическая модель воздействия наполнителя на стенки прецессирующего сосуда. Отчет Института механики МГУ № 3617, 1988. 25 с.

50. Самсонов В.А. О задаче минимума функционала при исследовании устойчивости движения тела с жидким наполнением. // ПММ. 1967. No 3. Т. 31, с .523-526.

51. Самсонов В.А. Динамика систем с псевдоциклическими координатами. Докторская диссертация. М., МГУ, 1982. 250 с.

52. Самсонов В.А., Досаев М.З. Модель движения волчка с вязким наполнителем по шероховатой плоскости. Отчет Института механики МГУ № 4485, 1997. 31 с.

53. Самсонов В.А., Досаев М.З. Устойчивость перманентных вращений тяжелого тела с вязким наполнителем. Отчет Института механики МГУ № 4521, 1998. 29 с.

54. Самсонов В.А., Филиппов В.В. К оценке влияния жидкости в полости тела на его движение. Отчет Института механики МГУ № 2386, 1980. 39 с.

55. Самсонов В.А., Филиппов В.В. Об оценке момента сил вязкости, действующих на прецессирующее тело. // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 1982. № 4. С. 53-56.

56. Слезкин Н.А. Динамика вязкой жидкости. М., Гостехиздат, 1955.

57. Сарычев В.А., Мирер С.А. О стационарных движениях тела на струнном подвесе. / В кн. «Нелинейная механика». М.: ФИЗИМАТЛИТ, 2001, с. 281-322.

58. Сарычев В.А., Мирер С.А., Исаков А.В. Положение относительного равновесия осесимметричного твердого тела, подвешенного на стержне. М., 1987, 36 с. (Препр. / Ин-т прикл. матем. им. М.В.Келдыша АН СССР; 94).

59. Сарычев В.А., Мирер СЛ., Одинцова СЛ. Перманентные вращения осесимметричного тела на стержне. М., 1987, 24 с. (Препр. / Ин-т прикл. матем. им. М.В.Келдыша АН СССР; 140).

60. Сарычев ВЛ., Мирер СЛ., Одинцова СЛ. Регулярные прецессии осесимметричного тела на стержне. М., 1987, 28 с. (Препр. / Ин-т прикл. матем. им. М.В.Келдыша АН СССР; 170).

61. Сарычев В.А., Мирер СЛ., Одинцова СЛ. Предельные стационарные режимы твердого тела, подвешенного на струне. М., 1988, 23 с. (Препр. / Ин-т прикл. матем. им. М. В. Келдыша АН СССР; 111).

62. Соболев C.JI. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью. // Ж. прикл. мех. и техн. физ. 1960. № 3. С. 20-55.

63. Степанов С.Я. О соотношении условий устойчивости при трех различных режимах циклических движений в системе. // Пробл. анал. мех., теор. уст-ти и упр-ния. Т. 2. Казань, 1976. С. 303-308.

64. Темченко М.Е. Об исследовании критериев устойчивости движения подвешенного на струне твердого тела и волчка при наличии у них эллипсоидальной полости, наполненной жидкостью. // Изв. АН СССР. МТТ, 1969, № 1, с. 26-31.

65. Филиппов В. В. О квазистационарных движениях твердого тела с маловязкой жидкостью. В кн.: Устойчивость движения. Изд-во Наука СО. 1985. С. 145-150.

66. Черноусько Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость. ВЦ АН СССР, 1968, 232 с.

67. Четаев Н.Г. Об устойчивости вращательных движений твердого тела, полость которого наполнена идеальной жидкостью. // ПММ, 1957, т. 21, вып. 2, с. 157-168.

68. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР, 1962, 535 с.

69. Grenspan Н.Р. On the transient motion of a contained rotating fluid. "Journal of fluid mechanics", 1964, vol. 20, part 4, p. 673-696.

70. Grenspan H.P. On the general theory of contained rotating fluid motions. "Journal of fluid mechanics", 1965, vol. 22, part 3, p. 449-462.

71. Hough S.S. The oscillations of a rotating ellipsoidal shell containing fluid. "Philosophical Transactions of the Royal Soc. of London". A., 1895, vol. 186, parti, p.469-506.

72. Pascal M. Sur la recherche des mouvements stationnaires dans les systfemes ayant des variables cycliques. // Celest. Mech. 1975. V. 12. № 3. P. 337-358.

73. Ротсагё H. Sur l'equilibre d'une mass fluide animee d'un mouvment de rotation // Acta Math. 1885. V. 4. P. 259-380.

74. Poincare H. Sur la precession des corps deformables. "Bulletin astronomique", 1910, t. 27, p. 321-356.

75. Routh E.J. A treatise on the stability of a given state of motion. London: MacMillan and Co., 1877. 108 p.

76. Stewartson K. Roberts PH. On the motion of a liquid in a spheroidal cavity of a precessing rigid body. "Journal of fluid mechanics", 1963, vol. 17, part 1, p. 1-20.

77. Stokes G. Mathematical and Physical Papers, vol I. Cambridge, 1880.