Волновые резонансы и устойчивость вращения роторных систем, содержащих жидкость тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

004

На правах рукописи

Солдатов Игорь Николаевич

ВОЛНОВЫЕ РЕЗОНАНСЫ И УСТОЙЧИВОСТЬ ВРАЩЕНИЯ РОТОРНЫХ СИСТЕМ, СОДЕРЖАЩИХ ЖИДКОСТЬ

01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Нижний Новгород, 2010

- 7 ОКТ 2010

004609864

Работа выполнена в Нижегородском филиале Учреждения Российской академии наук "Институт машиноведения им. A.A. Благонравова РАН"

Научный консультант доктор физ.-мат. наук, профессор

Николай Васильевич Дерендяев

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор

Виталий Александрович Самсонов

доктор физ.-мат. наук, профессор Анатолий Александрович Абрашкин

доктор физ.-мат. наук Валерий Вячеславович Новиков

Ведущая организация: Учреждение Российской академии на-

ук "Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН"

Защита состоится 14 октября 2010 г. в 15 °°часов на заседании диссертационного совета Д 212.166.09 при Нижегородском государственном университете по адресу: 603950, ГСП 1000, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 6.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета.

Автореферат разослан "_10" сентября 2010 года

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук Игумнов Л.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Современные условия эксплуатации машин и механизмов диктуют повышенные требования к их надежности и устойчивости работы. Волновые процессы играют ключевую роль в задачах устойчивости вращения роторных систем, содержащих жидкость. Резонансное возбуждение волн во вращающемся слое жидкости - основная причина потери устойчивости режима стационарного вращения роторной системы.

Во вращающейся жидкости вследствие нарушения равновесия между градиентом давления и силой Кориолиса могут возникать волновые движения, называемые инерционными (гироскопическими) волнами. Возбуждение гироскопических волн является основным механизмом, обеспечивающим обмен угловым моментом между твердой оболочкой и жидким содержимым. Преимущественно инерционные волны исследовались экспериментально (McEwan A.D, Aldridge К. D., Manasseh R., Kobine J.J. и др. ). Теоретическое рассмотрение указанного вида волновых движений ограничивалось до сих пор сравнительно простыми случаями (н-р, плоские волны в идеальной жидкости, S. Ni-gam P. Nigam1, R.R. Long2, см. также Гринспен3, Алексеенко C.B. с соавт.4 и др.5 ) и, чаще всего, без учета вязкости. Заметим, что учет вязкости жидкости в роторных система*! принципиально необходим. Так, например, потеря устойчивости режима стационарного вращения ротора с жидкостью, сопровождающаяся возникновением синхронной прецессии, не может быть объяснена на основе консервативных моде-

1 Nigam S.D., Nigam P.D. Wave propagation in rotating liquids // Proc. Roy. Soc., ser. A, 1962. V. 266. N. 1192. P. 55-69.

2

Long R.R. A theoretical and experimental study of the motion and stability of sustain atmospheric vortices// J. Meteorol. 1951. V. 8. P. 207-221.

3

Гринспен X. Теория вращающихся жидкостей. —Л.: Гидрометеоиздат, 1975.

4

Алексеенко С.В., Куйбин П.А., Окулов В.Л. Введение в теорию концентрированных вихрей. -М.-Ижевск: ИКИ, 2005. -504с.

Гилл А. Динамика атмосферы и океана. Т. 1. - М.: Мир, 1986. 396с. Ле Блон П.Х., Майсек Л.А. Волны в океане. Т. 1. - М.: Мир, 1981.480 с. Pedlosky J. Waves in the Ocean and Atmosphere: Introduction to Wave Dynamics. Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New York, 2003. 267p.

Госсард Э.Э., Хук У.Х. Волны в атмосфере. - М.: Мир, 1978. 532 с.

лей. Более того, сделать это правильно в случае, когда движение ротора близко к синхронной прецессии, оставаясь в рамках приближения пограничного слоя, невозможно.

В работах С.Л. Соболева и К. Stewartson было отмечено значение резонансного возбуждения волн для устойчивости стационарного вращения тела с полостью, содержащей идеальную несжимаемую жидкость. Большой вклад в разработку различных аспектов динамики тела с жидкостью внесли Н.Г. Четаев, Л.Н. Сретенский, В.В. Румянцев, H.H. Моисеев, Д.Е. Охоцимский, Г.С. Нариманов, А.Ю. Ишлин-ский, C.B. Малашенко, Ф.Л. Черноусько, Б.И. Рабинович, Г.И. Мики-шев, И.М. Рапопорт, В.А. Самсонов, Н.В. Дерендяев и другие.

Цель п задачи исследования.

Основная цель работы - исследование влияния волновых процессов на устойчивость режима стационарного вращения роторных систем, содержащих вязкую жидкость.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

- создание эффективного численного метода для решения гидродинамической задачи и нахождения сил и моментов, с которыми вязкая жидкость действует на ротор при его конической прецессии;

- определение условий устойчивости режима стационарного вращения роторов, закрепленных в опорах лавалевского типа, с полостью, частично заполненной: 1) проводящей вязкой несжимаемой жидкостью в магнитном поле; 2) вязкой жидкостью, на свободной поверхности которой плавают весомые частицы, мало взаимодействующие друг с другом; 3) вязкой несжимаемой жидкостью, в случае, когда стенки полости обладают вязко-упругой податливостью;

- определение характера границ ("опасные", "безопасные") области устойчивости в пространстве параметров рассматриваемых моделей роторных систем;

- определение условий устойчивости стационарного режима вращения ротора с закрепленной точкой, содержащего проводящую вязкую жидкость в магнитном поле;

- разработка и исследование дискретной математической модели ротора, содержащего несжимаемую вязкую жидкость;

Научная новизна работы.

1. Предложен эффективный метод решения задачи о малых волновых движениях вязкой несжимаемой жидкости в слое на стенке быстро вращающегося ротора. Метод позволяет единообразно описать разномасштабные движения жидкости (пограничные слои и крупномасштабное центральное ядро течения) и, в частности, получить точное выражение для дисперсионного уравнения. Исследованы основные свойства инерционно-гироскопических волн: дисперсия, коэффициенты затухания, частоты запирания поверхностных мод.

2. Предложена процедура построения решения задачи о малых волновых движениях в стратифицированной жидкости, когда жидкость может быть представлена как совокупность п-слоев из несмеши-вающихся п неэмульгирующих жидкостей. Рассмотрено влияние свободной инерционной поверхности жидкости на частоты запирания и дисперсионные характеристики волн. Выведены уравнения для определения амплитуд гироскопических мод во вращающемся роторе, совершающем прецессию малого радиуса.

3. Для трех моделей лавапевского ротора с полостью, частично заполненной несжимаемой вязкой жидкостью, определены условия устойчивости режима стационарного вращения в малом. В первой модели жидкость имеет проводящие свойства и находится в осевом магнитном поле. Во второй модели жидкость обладает инерционной поверхностью, а также учитываются вязко-упругие свойства стенок ротора.

4. Проанализированы условия возникновения автоколебаний в модели лавалевской роторной системы с проводящей жидкостью при приближении к границе области устойчивости в пространстве параметров.

5. Для ротора с закрепленной точкой, и полостью, содержащей проводящую жидкость в магнитном поле, найдены области устойчивости режима стационарного вращения в малом в пространстве параметров задачи. Показано, что при определенных условиях магнитное поле может оказывать стабилизирующее влияние, позволяя режим стационарного вращения перевести из неустойчивого в устойчивый.

6. Предложена дискретная модель лавапевского ротора, содержащего жидкость.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректной физической и математической постановкой задач, применением классических математических методов и известных методов возмущений, использованием апробированных и основополагающих принципов и подходов теоретической механики, механики жидкости и механики деформируемого твердого тела.

Практическая значимость диссертации определяется возможностью использования её результатов при проектировании, разработке роторных систем и турбомашин.

Апробация результатов работы.

Основные результаты диссертации докладывались на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (2006); I-YII Всероссийских конференциях "Нелинейные колебания механических систем" (Н. Новгород, 1987-2005); XXXI, XXXII, XXXVI конференциях-школах "Advanced Problems in Mechanics" (Петербург, Репино); V Международном совещании-семинаре "Инженерно-физические проблемы новой техники" (Москва, 1998), Всероссийской конференции "Необратимые процессы в природе и технике" (Москва, 2001); и др. Кроме того, результаты диссертационной работы докладывались на семинарах в НФ Института машиноведения РАН.

Публикации.

По материалам диссертации опубликовано более 40 научных работ. Базовые результаты содержатся в работах [1 - 25]. Все основные положения диссертации, выносимые на защиту, получены лично автором. Исследование устойчивости роторных систем, содержащих жидкость, проводилось с использованием метода, принадлежащего научному консультанту Н.В. Дерендяеву, что специально оговорено в диссертации.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из предисловия, введения, пяти глав, заключения, списка литературы (167 наименований) и четырех дополнений. Общий объем диссертации составляет 201 страницу.

На защиту выносятся:

- распределенные и дискретная математические модели роторных систем, содержащих вязкую жидкость;

- способ описания инерционных волн малой амплитуды в вязкой жидкости, частично заполняющей цилиндрическую полость ротора, через суперпозицию винтовых полей с разными параметрами завихренности, позволяющий единообразно и компактно описывать разномасштабные движения вязкой жидкости в роторе, а также сравнительно просто получить точное дисперсионное уравнение;

- способ получения дисперсионного уравнения для многослойной неэмульгиругащей жидкости;

- разложение по инерционным модам для волнового поля в жидком слое и квазиплоское (автомодельное) решение, позволяющие построить эффективную процедуру решения МГД задачи о малых колебаниях жидкости при конической прецессии ротора;

- условия устойчивости в малом режимов стационарного вращения, полученные для рассматриваемых моделей роторных систем с жидкостью;

- результаты исследования стабилизирующего влияния осевого магнитного поля на роторные системы с проводящей жидкостью.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В предисловии кратко изложено содержание диссертации по главам, сформулированы цели, перечислены основные результаты исследований, раскрыта их практическая ценность, представлены положения, выносимые на защиту, описана структура диссертации.

Во введении дана общая характеристика работы. Сделан сжатый обзор исследований, связанных с темой диссертации.

В работе Н.В. Дерендяева, В.М. Сандалова6, посвященной исследованию устойчивости стационарного вращения лавалевского ротора, содержащего вязкую жидкость, было отмечено, что при круговой прецессии ротора зависимость гидродинамических сил от отношения частоты прецессии со к абсолютной угловой скорости вращения П имеет

6 Дерендяев Н.В., Сандалов В.М. Об устойчивости стационарного вращения цилиндра, частично заполненного вязкой несжимаемой жидкостью // ПММ. 1982. Т.46. № 4. С. 578-586.

г

со.

резонансный характер, связанный с возбуждением волн на свободной

поверхности жидкости. Типичная зависимость компоненты гидродинамической силы касательной к окружности, описываемой в возмущённом движении точкой пересечения оси ротора с плоскостью, перпендикулярной оси стационарного вращения, от отношения частот <з/Г2 представлена на рис. 1. Значения резонансных частот прецессии ©и весьма близки к частотам волн, распространяющихся по свобод-

Рис. 1

нои поверхности слоя вращающейся жидкости:

со

1>2 '

■ п

2 + Л/2(1-52)

1 + 52 '

где Ъ = Ыа- отношение радиуса свободной поверхности жидкости при стационарном вращении к радиусу цилиндрической полости ротора. На частоте 001 < О, сила стремится увеличить угловую скорость прецессии, а на частоте <Я2> О - уменьшить. Часть "О-кривой" на плоскости параметров закрепления оси ротора - жёсткости и вязкости опор, соответствующая первому резонансу формирует границу области устойчивости режима стационарного вращения.

В связи со сказанным имеет смысл решать задачу об отыскании парциальных частот волновых движений в полости вращающегося ротора в ситуациях, осложнённых наличием магнитного поля, упруго-вязкой податливостью стенок полости ротора, микрополярными свойствами жидкости и т.д. Если в результате решения такой задачи будет получено соотношение, связывающее частоту волны и её длину, то подставляя в него длину волны ~ 2пЬ, получим оценку частоты волны. Условие совпадения этой частоты с частотой прецессии (в случае, когда частота волны меньше частоты вращения ротора О), даёт оценку критических значений параметров закрепления оси цилиндра. При этом, в первом приближении, справедливом, если масса ротора велика

по сравнению с массой жидкости, для оценки частоты прецессии можно взять частоту собственных колебаний ротора в опорах его оси.

Знание парциальных частот волновых движений жидкости в полости вращающегося ротора важно также при построении дискретных моделей роторных систем с жидкостью, т.к. позволяет правильно выбирать параметры этих моделей.

В первой главе рассматриваются волновые процессы малой амплитуды в слое вязкой несжимаемой жидкости в полости быстровра-щающегося цилиндра. Резонансное возбуждение волн во вращающемся слое жидкости играет ключевую роль в развитии неустойчивости роторных систем, содержащих жидкость.

В п. 1.1 рассмотрены основные свойства инерционно-гироскопических волн во вращающейся несжимаемой жидкости. Влиянием силы тяжести пренебрегается. В системе координат, связанной с равномерно вращающейся средой, в уравнения движения жидкости добавляются два члена: центробежный и кориолисов. Центробежная сила может быть представлена в виде градиента у У([£1,г]2) и объединена с давлением. Кориолисова сила 2[у,£2] в рассматриваемых задачах играет ключевую роль: из-за нарушения равновесия между градиентом давления и силой Кориолиса в несжимаемой жидкости могут распространяться инерционные волны. Показано, что распространение произвольного малого возмущения давления описывается уравнением

(г)2 Я2 Я ^

—ТА + 4П2—5--2у—А2 + у2 А3 р = О 2 дг2 & )

(Заметим, при V = 0 (идеальная жидкость) это уравнение превращается в уравнение Соболева.)

Уравнениям движения вязкой жидкости во вращающейся цилиндрической системе координат удовлетворяют частные решения в виде винтовых гармоник

ку = гоЫ V = *(|У(",+4'+"*>, т = 0,±1,±2,... если циклическая частота со, параметр завихренности к и аксиальное волновое число к связаны между собой соотношением

сок - №к - г'ук3 =0.

Радиальная и, азимутальная V компоненты вектора скорости V и давление р связаны с осевой компонентой скорости и> соотношениями

-т—,р = -2рПкЧ (1)

Л. дг

г/як гк ды тк

и=—г—^ + —--, У =---М/-

Х2г X2 дг Х2г

а уравнение для амплитуды осевой компоненты скорости приводится к простому виду, а именно, к уравнению Бесселя

й у/ 1 <Ь/ —Г +--+

Лг г йг

Г

м-

• 0, А?=к2-к2

Б разделе 1.2 исследуются дисперсионные характеристики волн во вращающемся цилиндрическом слое идеальной жидкости в приближении твердой крышки (т. е. граничное условие на свободной поверхности заменяется граничным условием на твердой цилиндрической поверхности). Дисперсионная кривая имеет счетное число ветвей, каждой ветви соответствует определенная распространяющаяся мода (форма) колебаний. С увеличением толщины слоя жидкости ветви дисперсионной кривой располагаются более плотно. Волновые числа всех мод, за исключением низшей, быстро растут к бесконечности при приближении к 2 модуля отношения частоты волны к частоте вращения.

В п. 1.3 показано, что если азимутальное волновое число тфО, то в слое жидкости со свободной поверхностью при определенных условиях может существовать поверхностная (низшая) распространяющаяся мода. Для этой моды определены критические частоты (частоты запирания7) -п и г2. Построены зависимости этих частот от коэффициента заполнения и азимутального волнового числа. На интервале (-гьг2) существует мода с чисто мнимым волновым числом. Дисперсионное уравнение для волн в слое со свободной поверхностью в безразмерных переменных имеет вид

Ш^Ю)-!«-—+4-Т1 №)

(2)

7 |т,| * |т2| - во вращающейся жидкости имеет место расщепление частот для волн с ненулевым азимутальным волновым числом.

где т = со /О. - отношение частоты волны к частоте вращения, Х = ку,

у = 74/т2 -1, к - безразмерное аксиальное волновое число, Ъ = Ыа -отношение внутреннего радиуса Ь к внешнему радиусу а центрифугированного слоя жидкости, Jm{r), У „(г) - функции Бесселя 1-го и 2-го рода. Показаны изменения в дисперсионных свойствах высших мод, связанные с учетом граничных условий свободной поверхности.

Соотношения (1) позволяют преобразовать граничные условия к виду, включающему только осевую компоненту скорости м>, затем вся задача сводится к определению м>. Каждая волновая мода во вращающемся слое вязкой жидкости, как показано в §1.4, может быть представлена в виде суперпозиции шести винтовых гармоник с разными параметрами завихренности. Две гармоники формируют центральное ядро течения жидкости, а остальные четыре - пограничные слои около твердой стенки и свободной поверхности. Для параметров завихренности получены аналитические выражения. Эти выражения довольно громоздки и не могут быть здесь приведены, но при малых числах Эк-мана Е = ч/{С1а2)« 1 достаточно точны приближенные формулы

У \

к, Лк + 1-Ц-к3+(КЕ2), к,=(-1Г

Л",

-~+0(Е), т

т т4 х " ' 4 ' \7Е У = 2,3. Два последних параметра к2 и к3 имеют большие мнимые части (и большие по модулю значения в сравнении с к,) и связаны с винтовыми гармониками, описывающими пограничные слои. (Пограничные слои на твердой стенке и на свободной поверхности имеют композиционную структуру и, по сути, формируются из двух (один внутри другого) слоев каждый). Граничные условия записаны в виде

¿(а^-)(Я,(ЛЬ(/)) + р^"-|>(Я.,ЛЬ(/))):/=0, 1 = 16 (3)

где а,, = /от(кы-Л:)Д2{/, Р1у = ¡к/к(1, и т. д. ) =1,6,

[1, I*3 [5, />3'

фигурная скобка обозначает следующую функцию от у {у}=-^(2у + 1-(-1у), А.2 = к2 - к2, Су - константы. Из условия разре-

г™ =Я£/2+(-1>'/2,(а.(ЛЬ) - цилиндрические функции, Ь(/) =

шимости системы (3) относительно произвольных постоянных следует дисперсионное уравнение. Плохая обусловленность матрицы при вычислениях преодолевается переопределением части коэффициентов Су. В п. 1.4 исследованы дисперсионные свойства волн, проанализированы зависимости ветвей 11е(£я(т)), 1т(А„(т)) дисперсионной кривой от коэффициента заполнения полости ротора 8, вязкости жидкости и азимутального волнового числа т. На рис. 2 представлены зависимости действительных частей аксиального волнового числа к для первых пяти мод л = 0..4 при Е = 0,5-КГ4 ,т = 1 и 8 = 0.7.

Рис. 2

Для сравнения на рис. 2 пунктиром приведены дисперсионные кривые при нулевой вязкости. Чем выше номер моды п, тем сильнее сказывается влияние вязкости на коэффициенте затухания (мнимой части волнового числа к): увеличение номера влечет усложнение пространственной структуры моды и увеличение потерь.

В п. 1.5 проведено обобщение результатов предыдущего раздела на случай центрифугированного слоя проводящей вязкой жидкости в аксиальном магнитном поле. Инерционная мода в безындукционном приближении представлена в виде суперпозиции восьми винтовых

гармоник: появляются две дополнительные винтовые гармоники (с

£

параметром завихренности к4 «¡—к, где 5 = о В2 /(рП) - малое число Стюарта), позволяющие удовлетворить граничному условию непротекания тока через изолирующую границу.

В п. 1.6 исследовано влияние стратификации жидкости по плотности на инерционные волны. Предполагается, что в слое жидкости можно выделить N отдельных подслоев, различающихся по плотности. Жидкости подслоев считаются несмешивающимися (не растворяющимися и не эмульгирующими). Предложен матричный метод построения решения. В случае идеальной жидкости значение вектора

и;+1 =(и(6„+1-0),ст(8я+1-0))г на внешней стороне п+ 1-го подслоя (г- 5и+1) связано со значением вектора и;| _5 =("(8П + 0),а(5л +0))г на внутренней стороне п-го подслоя

соотношением

IT, = Р1Г

л+1 п^п

где подслои пронумерованы от центра к периферии, u(r) = -iu(r), Ф):

T--I к

Р„ = AiS^^A-'CSJA^CSJA-'CS,.,), Л

1 О v° p-Aw

А =

{Xr){h'] - Y-> °-г)+-ТГГТ у- М

у к(2 + т)/- у к(2 + т)г

/-/„,_,(кг)-Hm-^-+A-xAjJ\r) (Хг)-if/я-^+4-т2V(Хг)

Для всей жидкости справедливо

1Г = Р1Г Р = Р Р Р

иЫ Ги1 > Г ГЛМ—Г2Г1

Дисперсионное соотношение получается приравниванием нулю первого элемента верхней строчки матрицы Р.

Влияние инерционной свободной поверхности жидкости на распространение гироскопических волн рассмотрено в п. 1.7. Для описания волновых движений в жидкости на свободной поверхности которой плавают весомые частицы некоторого вещества, пренебрежимо мало взаимодействующие друг с другом в процессе колебаний используется модель флотирующей жидкости, иначе называемой жидкостью с инерционной свободной поверхностью. Наличие плавающих частиц на свободной поверхности преимущественно влияет на характеристики поверхностной моды и, в частности, снижает её частоту запирания.

Преобразование неоднородных уравнений движения жидкости в прецессирующем роторе к однородной системе уравнений с неоднородными граничными условиями сделано в п. 1.8. Исходная неоднородная задача с помощью подстановки у' = V - V, где

У = (и(г)ге1\ У(фе'\ Щф'"} Р = Р(г)ге'\ сведена к однородной системе

у„ ]=+ УУУ' + 2[у',&], сйуу' = О Р

с граничными условиями на торцах цилиндра

у' = -У.

0(г), V(г), IV(г), Р(г) выражаются через линейную комбинацию функций г"" (а = -2,..,1) и г"рЯ<Э)(%) (Р,и = 0Д, » = 1,2,

В п. 1.9 получены соотношения, связывающие коэффициенты винтовых гармоник, формирующих инерционную моду. В п. 1.9 также выводятся некоторые соотношения для волновых инерционных мод в слое вращающейся жидкости, упрощающие построение решений граничных задач гидродинамики роторных систем. Если пренебречь вязкостью жидкости, то оператор, описывающий движение жидкости, частично заполняющей полость цилиндрического ротора, является самосопряженным, а его собственные функции ортогональны с весом г на отрезке [5,1]. Учет вязкости жидкости приводит к несамосопряженному оператору, громоздким выражениям для дисперсионного уравнения и собственных функций а, также их неортогональности (что создает значительные трудности при решении практических задач). Теоретически, если найдена счетная система линейно независимых собственных функций, то можно перейти, применяя процедуру орто-гонализации Грама-Шмидта, к ортогональной системе функций. На практике процесс ортогонализации чувствителен к вычислительным погрешностям и часто оказывается неустойчивым. В п. 1.8 предложен альтернативный способ определения амплитуд инерционных мод. Таким образом, на основе разложений по винтовым полям с разными параметрами завихренности получено единообразное описание разномасштабных движений вязкой жидкости в роторе и определены основные характеристики инерционных мод. Полученные дисперсион-

14

ные соотношения первой главы использованы для оценки частот вращения ротора, при которых возможны волновые резонансы.

Вторая глава посвящена исследованию распространения волн во вращающейся упругой среде и упругой цилиндрической оболочке, содержащей вязкую жидкость.

В п. 2.1 рассмотрено распространение объемных волн малой амплитуды во вращающейся упругой среде в случае, когда ось вращения составляет произвольный угол с волновым вектором. Некоторые характеристики волн, распространяющихся в изотропном упругом однородном вращающемся теле подобны тем, что свойственны волнам в анизотропных упругих средах. Так, в общем случае, не совпадают направления распространения волны и потока энергии. Помимо анизотропных, упругая среда, приведенная во вращение, приобретает дисперсионные свойства. Дано описание поведения квазипродольной (<?/) и двух квазипоперечных волн (д1 и т) в зависимости от угла %, образуемого волновым вектором с осью вращения, от частоты волны со (точнее от отношения частоты волны со к угловой скорости вращения О) и коэффициента Пуассона V . Под влиянием силы Кориолиса поле смещений в квазипродольной волне приобретает сдвиговую составляющую, а в квазипоперечной - дилатационную, причем величина этих составляющих сильно меняется в зависимости от отношения частот со/ О. Таким образом, влияние вращения не сводится только к изменению фазовых и групповых скоростей упругих волн, оно проявляется также в изменении поляризации волн и появлении угла между волновым вектором и вектором групповой скорости.

В §2.2 рассмотрено распространение поверхностной волны вдоль поверхности вращающегося упругого тела, когда ось вращения составляет произвольный угол с волновым вектором. Так же как и объемные волны, поверхностная волна на границе вращающегося упругого тела (в отличие от классической волны Рэлея) является диспергирующей. Приведено дисперсионное уравнение. Показано, что с уменьшением отношения частоты волны к угловой скорости вращения уменьшается фазовая скорость поверхностной волны. Это уменьшение носит монотонный характер. Проведен детальный анализ дисперсионного уравнения.

В п. 2.3 рассмотрены волновые процессы в вязкой жидкости, содержащейся во вращающейся упругой замкнутой цилиндрической оболочке с учетом демпфирования в материале оболочки. Для описания движения круговой цилиндрической оболочки в равномерно вращающейся системе отсчета использованы уравнения линейной теории тонких упругих оболочек в перемещениях РоппеП-МизЫап8

3 г| р —L +

dt2 12уД& 1

з4 л 2 +-

а'л 1 д\

а2 &:3<р2

4 4

а 5ф

Y.U s

1

7 ,а

-ц +

уеа Зф уеа dz ot

-i Р

ди

д%__1 дХ (l-v)dX (1 + У)

Ps dt2 уеа2 Зф2 2уе &2

дг

----+

2у еа 8zdф уеа <3ф dt

1 ди 8v v г Зф дг г

-pk

Q2a дг\

2 Зф

д% 1 62^ (1-у) Э2£, (1 + У) д2^__У_ЗП

dt2 уе dz2 2у<,я2 Зф2 2уся 5/Эф уеа dz

,Jdw ди\ .. О.2 а2 Зп = -ovA 'I — + — -ph,1--1

С oz Л«

2

где р., - плотность материала оболочки, г| - осевое, азимутальное и нормальное перемещения оболочки, соответственно, у е = (1 - у) /(2ц), V - коэффициент Пуассона, Р - коэффициент конструкционного демпфирования, ц - модуль сдвига. В случае идеальной жидкости и Р = 0 дисперсионное уравнение по форме отличается от (2) измененным первым сомножителем в обоих слагаемых:

т{1 _!^ + шэг 1уV 2т (Лу) + (Лгу) где под 2111(Х) понимается функция Бесселя 1-го или 2-го рода,

0 =

1 + —f/:2 +mlJ +/tS$-6T2-12v '

(2т-т)д, + А:2удз Яэ

0 = p,y,nV,

8 Leissa A.W. Vibration of Shells //Amer.Acoust.Soc., 1993.434р.

16

с, - функции от к и т; Я = р/р,, !) = /:,/а, т = со/£1 - безразмерные

параметры. Влияние оболочки проявляется, прежде всего, в появлении новых низкоскоростных мод, сходных с поверхностной.

Третья глава посвящена исследованию влияния волновых процессов на устойчивость лавалевских роторных систем, содержащих жидкость. Под лавапевским ротором понимается ротор (рис. 3) с закреплениями, обеспечивающими пренебрежимо малые угловые перемещения оси ротора.

Отличительной особенностью задач устойчивости, рассматриваемых в диссертации, является их неконсервативность: в системе есть внешней источник энергии, за счет которого скорость вращения твердого тела поддерживается постоянной (вследствие чего кинетическая энергия жидкости, содержащейся в полости, может возрастать во времени из-за взаимодействия со стенками полости), жидкость предполагается вязкой и т.д. Для подобного типа неконсервативных задач удобен метод исследования устойчивости, предложенный Н.В. Дерендяе-вым. Краткое изложение метода дано п.3.1. Метод опирается на свойства симметрии задачи и закон изменения энергии жидкости. Этот метод можно рассматривать как вариант развития метода £>-разбиения, не предполагающий знание характеристического уравнения. После линеаризации около режима стационарного вращения уравнения движения и граничные условия допускают решения пропорциональные ехр(ХО , где X - характеристическое число. Режим стационарного вращения устойчив, если все X имеют отрицательные действительные части и неустойчив, если хотя бы одно из возможных значений X имеет положительную действительную часть. При непрерывной зависимости X от параметров задачи изменение степени неустойчивости в системе происходит, когда хотя бы одно характеристическое число пересекает мнимую ось. По сути, в этом основная идея метода "£>-разбиения". В рассматриваемых ниже задачах можно показать, что мнимые характеристические числа существуют тогда и только тогда, когда система допускает решение типа круговой прецессии. Следовательно, значения параметров, при которых происходит изменение степени неустойчивости в системе, могут быть найдены из условия существования круговой прецессии. При этом нахождение условий осуществимости круговой прецессии существенно облегчает то обстоятель-

ство, что движение жидкости при круговой прецессии описывается функциями, не зависящими от времени, в системе отсчета Резаля. В этом отличие используемого метода от традиционной процедуры метода "£>-разбиения".

В п. 3.2 содержится постановка задачи исследования устойчивости стационарного вращения лавалевского ротора с полостью, частично заполненной проводящей жидкостью в магнитном поле.

Как уже отмечалось выше, неустойчивости режима стационарного вращения ротора, частично заполненного жидкостью, обусловлены, в первую очередь, резонансным возбуждением волн в жидкости. Поскольку жидкости в роторе часто обладают той или иной степенью проводимости, представляется возможным использовать для демпфирования волновых резонансов проводящей жидкости магнитное поле и получить дополнительное средство стабилизации режима стационарного вращения роторной системы. Рассмотрен один из простых вариантов приложения магнитного поля: однородное постоянное магнитное поле В, направленное вдоль оси вращения ротора. Стенки полости ротора предполагаются непроводящими.

В п.3.3 показано, что свойства симметрии системы позволяют воспользоваться методом исследования устойчивости, изложенным в п. 3.1, и сформулирована линеаризованная гидродинамическая задача.

Заметим, что для закреплений лавалевского типа обычно принимают, что частицы жидкости и ротора движутся в плоскостях, перпендикулярных оси стационарного вращения. Однако при плоскопараллельном движении проводящей жидкости в магнитном поле, коллинеарном оси вращения, результирующая пондеромоторная сила равна нулю и

Рис. 3

никакого влияния на устойчивость ротора магнитное поле оказать не может [7]. Необходимо учесть, как это и сделано в работе, что, по крайней мере, вблизи торцов движение жидкости существенно отличается от плоскопараллельного. Движение жидкости вблизи торцов цилиндрической полости ротора, как показано в п. 3.4, может быть описано системой уравнений

диь. 6 д\ аВ2 ь

co0-J- = 2Qv +v—j---и

Зф дС, р

dw\ „„ ь д2иь. а В2 ь 9ф дС, р

где v* - радиальная и азимутальная компоненты вектора скорости, со0 — угловая скорость собственного вращения ротора, Q — абсолютная угловая скорость, v - кинематическая вязкость жидкости, ст -коэффициент проводимости.

В п. 3.5 решена общая МГД-задача и с учетом реакции торцов найдены силы, с которыми проводящая жидкость действует на стенки ротора. Зависимость гидродинамических сил от отношения частоты прецессии к абсолютной угловой скорости имеет резонансный характер, обусловленный возбуждением поверхностных мод.

В п. 3.6 исследуется влияние резонансного возбуждения волн на устойчивость стационарного вращения лавалевского ротора с полостью, частично заполненной проводящей жидкостью в магнитном поле. Построено £>-разбиение плоскости параметров вязкоупругих закреплений оси ротора на области с различной степенью неустойчивости D(n) (п - степень неустойчивости). Пример разбиения приведен на рис. 4. По осям рис. 4 отложены безразмерные значения коэффициента жесткости К = К/тС12 и демпфирования Н = H/mQ; взят случай, когда число Гартмана Ва^<з/( pv) =1.4-104, число Экмана

v/Cla2 =5-1(Г\ М/т=1.4, ¿/¿7=0.92, cL!a=2. Здесь М, т - массы ротора и жидкости; a, b - радиус цилиндрической полости ротора и радиус цилиндрического слоя жидкости в режиме стационарного вращения; <i- высота полости ротора. Для сравнения представлено также D-разбиение при выключенном магнитном поле (пунктирная кривая). Штриховка D-кривых проведена общепринятым способом: переход в плоскости параметров со штрихованной стороны кривой на нештри-

19

хованную соответствует увеличению степени неустойчивости на два. Штриховка на пунктирную кривую не нанесена, чтобы не перегружать рисунок. Стрелка указывает направление возрастания параметра т=со/Г2 (отношения угловой скорости прецессии к угловой скорости вращения). Существуют две области устойчивости £>¡(0) и Г>2(0) (в масштабе рис. 4 область £>2(0), примыкающая к началу координат, малозаметна). Магнитное поле сложным образом влияет на £>-разбиение: деформируя всю фигуру влево с незначительным сжатием вдоль оси абсцисс, оно расширяет области устойчивости по некоторым направлениям.

н

-- <<- 0,(0)

' 2(1 \ *

Д2|\

-40 -20 ^^ ..... 2С> ,40 , 60

К

\ Д4)

-20 у»

/[ /ад /

1 -40 / /

' - . I * - -60 Г-*-- ■''

-80

Рис. 4.

Раздел 3.7 посвящен исследованию характера границы области устойчивости лавалевского ротора с проводящей жидкостью в магнитном поле. Если граница "опасна", то режим стационарного вращения может потерять устойчивость при значениях параметров из области устойчивости в малом. Определение характера границ является весьма важным дополнением исследования устойчивости. Для определения типа границ ("опасные" или "безопасные") в уравнениях удержаны главные нелинейные члены. Показано, что в рассматриваемой модели ротора при выходе (входе) из области устойчивости происходит за-критическая (докритическая) бифуркация Андронова-Хопфа. При за-критической бифуркации (т.е. рождении периодического движения от режима стационарного вращения при выходе из области устойчиво-

сти) возбуждение автоколебаний при переходе через границу происходит мягко, поэтому такие участки границы принято называть «безопасными». Определены «опасные» и «безопасные» участки границы для различных значений параметров.

В п. 3.8 исследуются те изменения в границах областей различной степени неустойчивости, что вносит учет инерционности свободной поверхности жидкости. Область устойчивости 0(0) становится одно-связной в отличие от случая несжимаемой вязкой жидкости с классическим граничным условием на свободной поверхности. Вся фигура, образованная /З-кривой, претерпевает определенный сдвиг вправо.

В п. 3.9 проводится исследование устойчивости режима стационарного вращения лавалевского ротора с полостью, ограниченной упруго податливыми стенками и частично заполненной вязкой несжимаемой жидкостью. Решена общая гидродинамическая задача и найдены силы, с которыми жидкость действует на ротор. Построено О-разбиение плоскости параметров задачи на области с различной степенью неустойчивости.

В четвертой главе рассмотрена задача об устойчивости в ма-

лом стационарного вращения осе-симметричного ротора с закрепленной точкой на оси симметрии, имеющего цилиндрическую полость, частично заполненную проводящей вязкой несжимаемой жидкостью в магнитном поле (рис. 5). Стенки полости ротора предполагаются непроводящими.

х

Внешнее постоянное однородное магнитное поле направлено вдоль оси симметрии. Проекция угловой скорости вращения ротора на ось стационарного вращения поддерживается постоянной. При отклонениях оси ротора от оси стационарного вращения на ротор действую внешние упругодемпфи-

Рис. 5

рующие моменты.

Уравнения движения ротора с проводящей жидкостью в подвижной системе координат, связанной с телом, как показано в п. 4.1, имеют вид

~ + [ос, К] = М* + М* + МЛ,

ш

= (м0 + сос,е'3) = О =

ш

+ (УУ)у = + УУУ + -[Е + [у,в1в] +

а р р1 1 * J

г/со<. „

Л

<И\у = 0, б//уЕ + (В,гоЛ') = 0, го(Е = О где К - кинетический момент твердого тела, сос - угловая скорость

подвижного трехгранника осей координат, МЛ - момент сил относительно точки О , действующих на ротор со стороны жидкости, -момент, создаваемый приводом, М5 - момент, создаваемый вязкоуп-ругими закреплениями оси ротора, е'3 - единичный орт вдоль оси стационарного вращения, С, - радиус-вектор из начала координат, Е -вектор напряженности электрического поля, остальные обозначения стандартные. В п. 6.2 сформулирована линеаризованная магнитогид-родинамическая задача о движении проводящей жидкости в цилиндрической полости ротора с закрепленной точкой на оси симметрии. В системе отсчёта Резаля движение ротора и проводящей жидкости при круговой конической прецессии описывается функциями, не зависящими от времени (п.6.3).

В п. 4.4 показано, что неоднородные МГД-уравнения допускают автомодельное решение

V = ((/(фе'\ У(г)гещ,

Е = [У,в]-1Бги(г)е1\, Р = Р(г)е'\ Е = (Е„Е,,Е,)

V (г) = с, + с2г~2 + ¿с3 г-1Н\2\Г1г) + ю,г-1Н{1\Г1г)

й[г) = с, + с2л~2 + Н{2) (кг) + 1сАг~л Н[1) (Иг)

у (г) = /с, -с2/-"2-кг^и^+г'^^Яг),

/Г (г) =--°-гс,---г с2 + —г20{Иг) + г Ц(1\г) - гсоб/%

<в0 и0

Р(г) = р((20 - са0 )/г, + ¡(20.+ю0К'с2 - 2СЯ{(Аг)+ где г ¿Иг) - с3Я]2,(йг) + с.я;"^), Ц(кг) = с,Н[2)(кг) + с6Н^(Яг), к1 = -/ю0 / V ; Н(Р(Г1г), Н{р(кг) (/ =1,2) - функции Ганкеля у'-ого порядка первого и второго рода соответственно. Коэффициенты с„ находятся из линейной алгебраической системы, получаемой из граничных условий на боковых стенках полости ротора.

Автомодельное (квазиплоское) решение удовлетворяет граничным условиям на боковых стенках полости, но не удовлетворяет граничным условиям на торцах. Автомодельное решение позволяет свести исходную неоднородную МГД систему к следующей системе однородных дифференциальных уравнений в частных производных

го([ V, У0 ] = +VУу++[у, В} В]+2[у, Я] (4)

(11\У = 0, й>1у£ + (в,гок) = 0, го1Е = 0 с неоднородными граничными условиями на торцах полости ротора. Аналогия между стационарными однородными МГД уравнениями (4) и уравнениями, рассматривавшимися в предыдущей главе, позволяет использовать результаты четвертой главы и представить решение уравнений (4) в виде суммы инерционно-гироскопических мод с азимутальным волновым числом равным единице т= 1. Все моды являются затухающими из-за диссипации, однако в сумме мод можно выделить моды «квазираспространяющиеся» (имеющие большую реальную часть волнового числа и в силу этого влияющие на поле скоростей во всем объеме жидкости, заключенной в полости ротора) и бы-строзатухающие, определяющие поле течений около торцов.

В п.4.5 определены моменты сил, действующие на ротор со стороны жидкости. Приведены уравнения, определяющие границы областей различной степени неустойчивости в пространстве параметров задачи. Представлены результаты вычислений и построения £>-разбиения для некоторых случаев. Показано, что, в отличие от лавалевского ротора, для ротора с закрепленной точкой влияние магнитного поля проявляется значительно сильнее. В ряде случаев для проводящих жидкостей магнитное поле может оказывать стабилизирующее влияние, позволяя неустойчивый без поля режим стационарного вращения сделать устойчивым.

Математические модели роторных систем с жидкостью, включающие в себя уравнения Навье-Стокса, достаточно сложны для анализа устойчивости, еще более трудно ответить на вопросы, связанные с учетом нелинейных факторов. Указанные трудности побуждают к построению дискретных моделей, и такая модель предложена и рассмотрена в пятой главе.

В п. 5.1 приводится описание дискретной модели ротора с жидкостью и дан вывод уравнений движения. Модель содержит вращающийся диск, прямо симметрично посаженный на жесткой оси, расположенной в изотропном вязкоупругом закреплении, и кольцо, скользящее с трением по диску (рис. 6). Центры диска и кольца вязко-упруго соединены. Диск моделирует ротор, кольцо - жидкую массу заполнения. При скольжении кольца по диску возникают силы взаимодействия, направленные под углом к относительной

скорости в точках контакта. Диск укреплен вертикально в нелинейных вязко-упругих изотропных опорах. Угловая скорость вращения диска поддерживается постоянной и равной Л.

Линеаризованные в окрестности стационарного вращения уравнения движения в комплексной форме имеют вид

где индексы 1 и й относятся к диску, а 2 и г - к кольцу, - отклонение угловой скорости кольца от стационарного значения, г\г=о+1% -комплексный коэффициент трения скольжения кольца по диску.

В п. 5.2 для исследования устойчивости в малом режима стационарного вращения применяется метод £>-разбиения. Получены аналитические выражения для Б-кривой в пространстве параметров закрепления оси ротора и построены границы областей с различной степенью неустойчивости. Первые два уравнения системы (5) допускают частные решения вида г, = ехр(Х-Г), гг = г2 ехр(Я-Г). Их подстановка при Х = т в уравнение (5) и разделение действительной и мнимой частей дает линейную систему двух уравнений относительно кё,т\<1, решение которой при переходе к безразмерным переменным имеет вид

-П2(х-1)-т2!^-П2(т-1)-у-Ч2]+П?(т-1)2}

(6)

где т =

т^П т^П тгП тгО. тг£2 С2

т

у = 1 + —-. Соотношения (6) при фиксированных параметрах

т,

П,, П2, р, Кг и изменяющимся т определяют в плоскости параметров закрепления кривую, которая вместе с особой прямой формирует /^-разбиение на области с различной степенью неустойчивости. При выборе физически интересных значений параметров суще-

ствует две области устойчивости. Одна область устойчивости, а именно D\(0), содержит точку, соответствующую достаточно большим положительным значениям коэффициента демпфирования а другая (ACO)) располагается в окрестности нулевых значений параметров Hj,

Kd.

Раздел 5.3 посвящен определению параметров модели. Параметры определяются из условия совпадения пересечений £>-кривой дискретной модели с осями абсцисс и ординат с аналогичными пересечениями D-кривой распределенной модели главы 3 при выключенном магнитном поле и наилучшего совпадения /З-кривых на участке, формирующем правую границу области устойчивости /?г(0). При этом масса кольца отождествляется с массой жидкого заполнения, масса диска - с массой ротора и т.д.

На рис. 7 и 8 изображена £)-кривая дискретной модели при Кг =1.187 ,П, =0.077 ,П2 =-6.5, у = 2.68 (штриховая кривая) и для сравнения /З-кривая (сплошная) соответствующей континуальной модели. Как видно из рис. 9, части О-кривых континуальной и дискретной моделей, которые вблизи начала координат формируют правую границу области £>2(0), проходят близко друг к другу (в масштабе рис. 9 они неразличимы). В то же время, в целом, фигуры, образуемые £>-кривыми, различаются, как это показывает рис. 10. Подбором параметров дискретной модели можно добиться значительно большего общего сходства двух кривых, но при этом теряется точность аппроксимации границы области Д2(0). В п. 5.3 также проанализировано

влияние изменения параметров дискретной модели, так, например, уменьшение П2 приводит к вытягиванию области вдоль оси ординат, одновременно немного сужая ее вдоль оси абсцисс. Вся же фигура с увеличением П2 уменьшается.

В п. 5.4 исследуется характер границ области устойчивости: находятся "безопасные" и "опасные" участки. Уравнения конечномерной модели ротора с учетом нелинейной реакции опор допускают частные решения, описывающие круговую прецессию. Выводится уравнение для радиуса прецессии 8] оси диска

-т* +к, -(у-Цт1 Л?(т-1)2 =.дг |е

(т2+9(т))2+П^-1)2 2"Ы

Я ,т + (у -1) --ЙЬМ-= _я2 к ГI/ т

(т2 + Э(т)) + П2(т -1)2 2'",1М

где &(х) = (т - 1)П2 - Кг; К7<1, - безразмерные коэффициенты

( 2 , 2У/2 (-г , ■

при нелинейных членах вида (х, +у]) х,, (х, +ух) х, в упруго-

вязкой реакции закреплений оси диска. Показано, что периодическое решение в виде круговой прецессии радиуса £| и частоты т + 5т рождается от режима стационарного вращения при таком отклонении 8К,, 5Нл от точки £>-кривой, которому соответствует положительная

правая часть следующего выражения

<

М

. с1КЛ т) , <ШЛ т) где /. = —-—, /, = —1— - компоненты касательного вектора ск йт. *

1 = (/,, /2) к £>-кривой, вектор п = (ЪК11, ЪНи) перпендикулярен £>-кривой, 1[1,п]| - модуль векторного произведения.

В заключении сформулированы основные результаты работы. 1. Разработаны математические модели роторов, закрепленных в опорах лавалевского типа, с полостью, частично заполненной: 1) проводящей вязкой несжимаемой жидкостью в магнитном поле; 2) вязкой жидкостью, на свободной поверхности которой

плавают весомые частицы мало взаимодействующие друг с другом; 3) вязкой несжимаемой жидкостью, в случае когда стенки полости обладают вязко-упругой податливостью. Разработана модель ротора с закрепленной точкой, содержащего проводящую вязкую жидкость в магнитном поле.

2. Установлено, что представление инерционной волны в вязкой проводящей жидкости как суперпозиции винтовых полей позволяет единообразно и компактно описывать разномасштабные движения жидкости. Исследовано влияние стратификации жидкости по плотности на инерционные волны. Предложен матричный способ построения решения.

3. Показано, что переход к описанию возмущенного течения жидкости во вращающемся сосуде на основе волновых модовых представлений позволяет строить эффективные процедуры решения гидродинамической задачи и вычисления сил и моментов, с которыми жидкость действует на стенки ротора.

4. Найдены условия устойчивости режимов стационарного вращения лавалевского ротора и ротора с закрепленной точкой, содержащих проводящую жидкость, в магнитном поле, а также лавалевского ротора с упругими стенками и с жидкостью, имеющей инерционную поверхность.

5. Показано, что при определенных условиях магнитное поле может оказывать стабилизирующее влияние, позволяя режим стационарного вращения перевести из неустойчивого состояния в устойчивое.

6. Определены условия жесткого и мягкого возникновения автоколебаний в роторной системе с проводящей жидкостью при приближении к границе области устойчивости.

7. Предложена дискретная модель лавалевского ротора, содержащего жидкость.

В Дополнении I рассматривается распространение сдвиговых волн вдоль границы раздела упругого тела и вязкой жидкости с учетом микроструктурных свойств последней (в рамках теории микрополярной жидкости). Дополнение II посвящено исследованию распространения сдвиговых волн на границе упругого непроводящего тела и проводящей жидкости в магнитном поле. В Дополнении III доказана тео-

28

рема о стационарности движения проводящей жидкости в осевом магнитном поле в системе отсчёта Резаля при конической прецессии ротора; в Дополнении IV система уравнений для определения коэффициентов "квазиплоского" решения (гл. 4) приведена к удобному для вычислений виду.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ

1. Дерендяев Н.В., Солдатов И.Н. О резонансном возбуждении волн на свободной поверхности проводящей жидкости в прецессирующем роторе, находящемся в магнитном поле // Волновые задачи механики / Сб. научн. трудов. Н. Новгород: НФ ИМАШ РАН. 1992. С. 94-104.

2. Солдатов И.Н. Влияние вращения на объемные упругие волны //Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Сер. «Механика». 2006. Вып. 1 (7). С. 20-26.

3. Ерофеев В.И., Клюева Н.В., Солдатов И.Н. Распространение волн во вращающемся упругом полупространстве //Вычислительная механика сплошных сред. 2008. Т. 1. № 1. С. 39-47.

4. Ерофеев В.И., Солдатов И.Н. Поверхностная сдвиговая волна на границе упругого тела с микрополярной жидкостью //ПММ, 1999. Т. 63. Вып. 2. С. 289-294.

5. Ерофеев В.И., Солдатов И.Н. Сдвиговая поверхностная волна на границе раздела упругого полупространства и проводящей вязкой жидкости в магнитном поле//Дефектоскопия, 1997, №5, с. 37-43.

6. Дерендяев Н.В., Сандалов В.М., Солдатов И.Н. О рождении периодического движения в задаче об устойчивости стационарного вращения вертикального ротора на гидродинамических подшипниках // Машиноведение. 1988. N 4. С. 98-103.

7. Дерендяев Н.В., Солдатов И.Н. О влиянии магнитного поля на плоскопарал-лелыюе движение проводящей жидкости // Прикладная механика и технологии машиностроения. / Сб. научн. трудов. -Н. Новгород: Интелсервис, 1997. Часть 3. С. 34-39.

8. Дерендяев Н.В., Солдатов И.Н. Устойчивость и автоколебания ротора, содержащего проводящую жидкость в магнитном поле // Прикладные проблемы теории колебаний / Межвуз. сб. научных трудов. Н. Новгород: Нижегородский ун-т. 1993. С. 41-58.

9. Дерендяев Н.В., Солдатов И.Н. Стационарность движения проводящей жидкости в магнитном поле в системе отсчёта Резаля при конической прецессии ротора // Прикладная механика и технологии машиностроения. / Сб. научн. трудов. - Н. Новгород: Интелсервис, 1998. Часть 1. С.46-50.

10. Ерофеев В.И., Солдатов И.Н. Распространение волн во вращающемся стратифицированном газе // Физическая акустика. Распространение и дифракция волн. Т. 1. - М.: ГЕОС, 2000. С. 156-159.

11. Ерофеев В.И., Солдатов И.Н. Акустические волны во вращающемся идеальном газе // Акустический журнал. 2000. Т. 46, № 5. С. 642-647.

12. Erofeyev V.l., Soldatov I.N. The influence of rotation on acoustical waves in a compressible fluid // Acoustics Letters, 2000. Vol. 23. No 9, pp. 191-192.

13. Ерофеев В.И., Солдатов И.Н. Волны в жидкостях и газах. Н. Новгород: Изд-во Интелсервис, 2001. 84с.

14. Солдатов И.Н. Гироскопические волны в неоднородной жидкости // Испытания материалов и конструкций. Вып. 2. / Сб. научи, трудов. - Н. Новгород: 2000. С. 168-172.

15. Ерофеев В.И., Клюева Н.В., Солдатов И.Н. Использование матричного метода при исследовании волновых процессов в слоистых конструкциях // Волновые задачи механики - Н. Новгород: 2005. Вып. 5. С. 29-37.

16. Дерендяев Н.В., Солдатов И.Н. Винтовая факторизация однородных МГД-уравнений // Испытания материалов и конструкций - Н. Новгород: 2002. Вып.

3. С. 62-73.

17. Дерендяев Н.В., Солдатов И.Н. Волновые движения в слое вращающейся вязкой несжимаемой жидкости //Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2007. Вып. 1. С. 151-155.

18. Солдатов И.Н. Волны в стратифицированной жидкости с квазитвердотельным вращением // Прикладная механика и технологии машиностроения. №2 (13). Н. Новгород: Интелсервис, 2008. С. 58-63.

19. Дерендяев Н.В., Солдатов И.Н. Устойчивость стационарных движений роторной системы с жидкостью в рамках дискретной модели // ПММ, 2004. Т. 68. Вып. 6. С. 984-993.

20. Дерендяев Н.В., Солдатов И.Н. Дискретная модель ротора с жидкостью: устойчивость и автоколебания //Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Сер. «Механика». 2004. Вып. 1 (6). С. 13-23.

21. Дерендяев Н.В., Солдатов И.Н. Об устойчивости и автоколебаниях ротора, содержащего проводящую жидкость, в магнитном поле //ПМТФ, 2004. № 1. С. 12-22.

22. Дерендяев Н.В., Солдатов И.Н. Резонансное возбуждение инерционных волн и неустойчивость роторных систем с жидкостью //Труды V11Ï Всероссийской конф. «Нелинейные колебания механических систем» Н. Новгород, 2008. Т. 2. С. 318-329.

23. Derendyaev N.V., Vostroukhov A.V., Soldatov I.N. Stability and Andronov-Hopf bifurcation of steady-state motion of rotor system partly filled with liquid: continuous and discrete models // ASME. Journal of Applied Mechanics. 2006. Vol. 73. №

4. P. 580-589.

24. Солдатов И.Н. Гироскопические волны во вращающемся слое жидкости // ПМТФ. 2008. Т. 48. № 2. С. 15-20.

25. Дерендяев Н.В., Солдатов И.Н. Неустойчивость стационарного вращения ротора, обусловленная содержащейся флотирующей жидкостью //Прикладная механика и технологии машиностроения. № 2 (12). Н. Новгород: Интелсервис, 2009. С.27-32.

Солдатов Игорь Николаевич Волновые резонансы и устойчивость вращения роторных систем, содержащих жидкость

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 12.07.2010 Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 1,5. Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ № 5600

Отпечатано в ФГНУ НИРФИ 603950, г. Нижний Новгород, ул. Б.Печерская, 25/12а

Предисловие.

Введение

ГЛАВА 1. Волновые процессы во вращающейся жидкости.

1.1. Винтовые поля и инерционно-гироскопические волны во вращающейся несжимаемой жидкости.

1.2. Волны в слое идеальной жидкости в приближении твердой крышки.

1.3. Волны во вращающемся слое идеальной жидкости со свободной поверхностью.

1.4. Влияние вязкости на волновые движения.

1.5. Волновые процессы в проводящей жидкости, вращающейся в осевом магнитном поле.

1.6. Инерционные волны в стратифицированной жидкости

1.7. Изменения в дисперсионных характеристиках гироскопических волн, обусловленные инерционной поверхностью

1.8. Преобразование неоднородных уравнений движения жидкости в прецессирующем роторе к однородным

1.9. Некоторые соотношения для гироскопических волн

ГЛАВА 2. Влияние упругоподатливых стенок вращающегося цилиндра на волновые движения в жидкости.

2.1. Объемные волны во вращающейся упругой среде

2.2. Распространение волн вдоль поверхности вращающегося упругого тела.

2.3. Инерционные волновые движения вязкой несжимаемой жидкости во вращающемся цилиндре с упру- 97 гими стенками

ГЛАВА 3. Резонансное возбуждение волн и устойчивость стационарного вращения "лавалевской" роторной системы, содержащей жидкость.

3.1. Метод Дерендяева исследования устойчивости стационарного вращения неконсервативных роторных систем

3.2. Роторная система, содержащая проводящую жидкость в магнитном поле. Уравнения движения и граничные условия.

3.3. Изменение устойчивости и круговая прецессия.

3.4. Плоская и погранслойная задачи.

3.5. Гидродинамические силы.

3.6. Построение областей с различной степенью неустойчивости

3.7. Бифуркация Андронова-Хопфа и характер границы области устойчивости.

3.8. Неустойчивость стационарного вращения ротора, обусловленная содержащейся флотирующей жидкостью

3.9. Влияние упругоподатливых стенок полости на устойчивость стационарного вращения ротора.

ГЛАВА 4. Влияние волновых процессов на устойчивость стационарного вращения ротора с закрепленной точкой и полостью, содержащей вязкую проводящую жидкость в магнитном поле.

4.1. Уравнения движения ротора и заполняющей жидкости

4.2. Линеаризованные уравнения.

4.3. Стационарность движения ротора и жидкости

4.4. Автомодельное решение и определение амплитуд инерционных мод.

4.5. Моменты гидродинамических сил и области с различной степенью неустойчивости.

ГЛАВА 5. Исследование устойчивости и автоколебаний ротора с жидкостью на основе дискретной модели.

5.1. Дискретная модель.

5.2. Исследование устойчивости режима стационарного вращения.

5.3. Определение параметров модели.

5.4. "Безопасные" и "опасные" участки границы области устойчивости.

Современные условия эксплуатации машин и механизмов диктуют повышенные требования к их надежности и устойчивости работы. Волновые процессы играют ключевую роль в задачах устойчивости вращения роторных систем, содержащих жидкость. Резонансное возбуждение волн во вращающемся слое жидкости - основная причина потери устойчивости режима стационарного вращения роторной системы.

Во вращающейся жидкости вследствие нарушения равновесия между градиентом давления и силой Кориолиса могут возникать волновые движения, называемые инерционными (гироскопическими) волнами. Возбуждение гироскопических волн является основным механизмом, обеспечивающим обмен угловым моментом между твердой оболочкой и жидким содержимым. Преимущественно инерционные волны исследовались экспериментально (McEwan A.D, Aldridge К. D., Manasseh R., Kobine J.J. и др. ). Теоретическое рассмотрение указанного вида волновых движений ограничивалось до сих пор сравнительно простыми случаями (н-р, плоские волны в идеальной жидкости, S. Nigam P. Nigam [1], R.R. Long [2], см. также Гринспен [3], Алексеенко C.B. с соавт. [4] и др. [5] - [8]) и, чаще всего, без учета вязкости. Заметим, что учет вязкости жидкости в роторных системах принципиально необходим. Так, например, потеря устойчивости режима стационарного вращения ротора с жидкостью, сопровождающаяся возникновением синхронной прецессии, не может быть объяснена на основе консервативных моделей. Более того, сделать это правильно в случае, когда движение ротора близко к синхронной прецессии, оставаясь в рамках приближения пограничного слоя, невозможно.

В работах C.JI. Соболева и К. Stewartson было отмечено значение резонансного возбуждения волн для устойчивости стационарного вращения тела с полостью, содержащей идеальную несжимаемую жидкость. Большой вклад в разработку различных аспектов динамики тела с жидкостью внесли Н.Г. Четаев, J1.H. Сретенский, В.В. Румянцев, H.H. Моисеев, Д.Е. Охоцимский, Г.С. Нариманов, А.Ю. Ишлинский, C.B. Малашенко, Ф.Л. Черноусько, Б.И. Рабинович, Г.И. Микишев, И.М: Рапопорт, В.А. Самсонов, Н.В. Дерендяев и другие.

Основная цель работы - исследование влияния волновых процессов.на устойчивость режима стационарного вращения роторных, систем, содержащих вязкую жидкость.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

- создание эффективного численного метода дня решения гидродинамической задачи и нахождения сил и моментов, с которыми вязкая жидкость.действует на ротор при его конической прецессии;

- определение условий устойчивости режима стационарного вращения* роторов, закрепленных в опорах лавалевского типа, с полостью, частично заполненной: 1) проводящей вязкой несжимаемой жидкостью в магнитном поле; 2) вязкой жидкостью, на свободной поверхности которой плавают весомые частицы, мало взаимодействующие друг с другом; 3) вязкой несжимаемой жидкостью, в случае, когда стенки полости обладают вязко-упругой податливостью;

- определение характера границ ("опасные", "безопасные") области устойчивости в пространстве параметров рассматриваемых моделей роторных систем;

- определение условий устойчивости стационарного режима вращения ротора с закрепленной точкой, содержащего проводящую вязкую жидкость в магнитном поле;

- разработка и исследование дискретной математической модели ротора, содержащего несжимаемую вязкую жидкость;

Научная новизна работы.

1. Предложен эффективный метод решения задачи о малых волновых движениях вязкой несжимаемой жидкости в слое на стенке быстро вращающегося ротора. Метод позволяет единообразно описать разномасштабные движения жидкости (пограничные слои* и крупномасштабное центральное ядро течения) и, в частности; получить .точное выражение для, дисперсионного уравнения. Исследованы» основные свойства инерционно-гироскопических волн: дисперсия, коэффициенты затухания, частоты запирания поверхностных мод.

2. Предложена процедура построения решения задачи о малых волновых движениях в стратифицированной жидкости, когда жидкость может быть представлена как совокупность л-слоев из несмешивающихся и не-эмульгирующих жидкостей. Рассмотрено влияние* свободной инерционной-поверхности жидкости на частоты запирания и дисперсионные характеристики волн. Выведены уравнения для определения амплитуд гироскопических мод во вращающемся роторе, совершающем прецессию малого г радиуса.

3. Для трех моделей лавалевского ротора с полостью, частично заполненной несжимаемой вязкой жидкостью, определены условия устойчивости режима стационарного вращения в малом. В первой модели жидкость имеет проводящие свойства и находится в осевом магнитном поле. Во второй модели жидкость обладает инерционной поверхностью, а в третьей учитывается вязко-упругая податливость стенок ротора.

4. Проанализированы условия возникновения автоколебаний в модели лавалевской роторной системы с проводящей жидкостью при приближении к границе области устойчивости в пространстве параметров.

5. Для ротора с закрепленной точкой, и полостью, содержащей проводящую жидкость в магнитном поле, найдены области устойчивости режима стационарного вращения в малом в пространстве параметров£ задачи. Показано, что при определенных условиях магнитное поле может оказывать стабилизирующее влияние, позволяя режим стационарного вращения перевести из неустойчивого в устойчивый.

6. Предложена дискретная модель лавалевского ротора^ содержащего жидкость.

Достоверность полученных результатов' обеспечивается корректной физической и математической постановкой задач, применением классических математических методов и известных методов возмущений, использованием апробированных и основополагающих принципов и подходов теоретической механики, механики жидкости и механики деформируемого твердого тела.

Практическая значимость диссертации определяется возможностью использования её результатов при проектировании^ разработке роторных систем и турбомашин.

Основные результаты диссертации докладывались на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (2006); I-YII Всероссийских конференциях "Нелинейные колебания, механических систем"' (Н. Новгород, 1987-2005); XXXI, XXXII, XXXVI конференциях-школах "Advanced Problems in Mechanics" (Петербург, Репино); V Международном совещании-семинаре "Инженерно-физические проблемы новой техники" (Москва, 1998), Всероссийской конференции "Необратимые процессы в природе и технике" (Москва, 2001); и др. Кроме того, результаты диссертационной работы докладывались на семинарах в НФ Института машиноведения РАН.

По материалам диссертации опубликовано более 20 научных работ. Базовые результаты содержатся в работах [135, 136, 140, 164 — 172]. Все основные положения диссертации, выносимые на защиту, получены лично автором. Исследование устойчивости роторных систем, содержащих жидкость, проводилось с использованием метода, принадлежащего научному консультанту Н.В. Дерендяеву, что специально оговорено в диссертации.

На защиту выносятся:

- распределенные и дискретная математические модели роторных систем, содержащих вязкую жидкость;

- способ описания инерционных волн малой амплитуды в вязкой жидкости, частично заполняющей цилиндрическую полость ротора, через суперпозицию винтовых полей с разными параметрами завихренности, позволяющий единообразно и компактно описывать разномасштабные движения вязкой жидкости в роторе, а также сравнительно просто получить точное дисперсионное уравнение;

- способ получения дисперсионного уравнения1 для многослойной не-эмульгирующей жидкости;

- разложение по инерционным модам для волнового поля в жидком слое и квазиплоское (автомодельное) решение, позволяющие построить эффективную процедуру решения МГД задачи о малых колебаниях жидкости при конической прецессии ротора;

- условия устойчивости в малом режимов стационарного вращения, полученные для рассматриваемых моделей роторных систем с жидкостью;

- результаты исследования стабилизирующего влияния осевого магнитного поля на роторные системы с проводящей жидкостью.

В работе Н.В. Дерендяева, В.М. Сандалова [9], посвященной исследованию устойчивости стационарного вращения лавалевского ротора, содержащего вязкую жидкость, было отмечено, что при круговой прецессии ротора зависимость гидродинамических сил от отношения частоты прецессии со к абсолютной угловой скорости вращения О имеет резонансный характер, связанный с возбуждением волн на свободной поверхности жидкости. Типичная зависимость компоненты гидродинамической силы где Ъ = Ыа— отношение радиуса свободной поверхности жидкости при стационарном вращении к радиусу цилиндрической полости ротора. На частоте о)1 < £2 сила Рц стремится увеличить угловую скорость прецессии, а на частоте а)2> — уменьшить. Часть "£>-кривой" на плоскости параметров закрепления оси ротора — жёсткости и вязкости опор, соответствующая первому резонансу формирует границу области устойчивости режима стационарного вращения. Р

Рф касательной к окружности, описываемой в возмущённом движении точкой пересечения оси ротора с плоскостью, перпендикулярной оси стационарного вращения, от отношения частот со/£2 представлена на рис. 1. Значения резонансных частот прецессии о)Ь2 весьма близки к частотам

Рис. 1 волн, распространяющихся по свободной поверхности слоя вращающейся жидкости:

В связи со сказанным имеет смысл решать задачу об отыскании парциальных частот волновых движений в полости вращающегося ротора в ситуациях, осложнённых наличием магнитного поля, упруго-вязкой податливостью стенок полости ротора, микрополярными свойствами жидкости и т.д. Если в результате решения такой задачи будет получено соотношение, связывающее частоту волны и её длину, то подставляя в него длину волны ~ 2лЬ, получим оценку частоты волны. Условие совпадения, этой частоты с частотой прецессии (в случае, когда частота волны меньше частоты вращения ротора £2), даёт оценку критических значений параметров закрепления оси цилиндра. При этом, в первом приближении, справедливом, если масса ротора велика по сравнению с массой жидкости, для оценки частоты прецессии можно взять частоту собственных колебаний ротора в опорах его оси.

Знание парциальных частот волновых движений- жидкости в полости вращающегося ротора важно также при построении дискретных моделей роторных систем с жидкостью, т.к. позволяет правильно выбирать параметры этих моделей.

В" первой главе рассматриваются волновые процессы,малой амплитуды в слое вязкой несжимаемой жидкости в полости быстровращающегося цилиндра. Резонансное возбуждение волн во вращающемся слое жидкости играет ключевую роль в развитии неустойчивости роторных систем, содержащих жидкость.

В "п. 1.1 рассмотрены основные свойства инерционно-гироскопических волн во вращающейся несжимаемой жидкости. Влиянием силы тяжести пренебрегается. В системе координат, связанной с равномерно вращающейся средой, в уравнения движения жидкости добавляются два члена: центробежный и кориолисов. Центробежная сила может быть представлена в виде градиента \ У([*2,г]2) и объединена с давлением. Кориолисова сила 2[у,Ф] в рассматриваемых задачах играет ключевую роль: из-за нарушения равновесия между градиентом давления и силой Кориолиса в несжимаемой жидкости могут распространяться инерционные волны. Показано, что распространение произвольного малого возмущения давления описывается уравнением 1 2 \ д 7 9 д 9 , И Д + 4£Г —-2у — Д2 + у А 1р = 0 удГ дг Ы I

Заметим, при V = 0 (идеальная жидкость) это уравнение превращается в уравнение Соболева.)

Уравнениям движения вязкой жидкости во вращающейся цилиндрической системе координат удовлетворяют частные решения в виде винтовых гармоник ку = го1у у = у(г)е!(ш^+тф), т = 0,±1,±2,. если циклическая частота со, параметр завихренности к и аксиальное волновое число к связаны между собой соотношением сок - 20,к - /ук3 = 0. Радиальная и, азимутальная у компоненты вектора скорости V и давление р связаны с осевой компонентой скорости и> соотношениями шгк 1к дхч тк к. дн> и= + — у = ^ = 2раК IV, (1)

Кг к дг кг к дг а уравнение для амплитуды и- осевой компоненты скорости приводится к простому виду, а именно, к уравнению Бесселя г/2и> 1 б/и> ( т2 +--+ |--- + Х и' = 0, Х=к -Г. с1гл г йг I г2

В разделе 1.2 исследуются дисперсионные характеристики волн во вращающемся цилиндрическом слое идеальной жидкости в приближении твердой крышки (т. е. граничное условие на свободной поверхности заменяется граничным условием на твердой цилиндрической поверхности). Дисперсионная кривая имеет счетное число ветвей, каждой ветви соответствует определенная распространяющаяся мода (форма) колебаний. С увеличением толщины слоя жидкости ветви дисперсионной кривой располагаются более плотно. Волновые числа всех мод, за исключением низшей, быстро растут к бесконечности при приближении к 2 модуля отношения частоты волны к частоте вращения.

В п. 13 показано, что если азимутальное волновое число тфО, то в слое жидкости со свободной поверхностью при определенных условиях может существовать поверхностная (низшая); распространяющаяся мода. Для этой моды, определены критические частоты (частоты, запирания)' -Т\ и г2 (|т,|-|т2| - во-вращающейся'жидкости имеет место• расщепление частот для волн с ненулевым азимутальным волновым числом). Построены зависимости этих частот от коэффициента заполнения и азимутального волнового числа. На интервале (-т^Гч) существует мода с чисто, мнимым волновым числом. Дисперсионное уравнение для волн в слое со свободной поверхностью в безразмерных переменных имеет вид х)

Щ-[пг-^+А-х2 ут (ХЬ) Шт, (КЬу) + 4 - т2 \/.т (Х5)

2) 0' т где т = со / О — отношение частоты волны к частоте вращения, X = ку, у = л/4/т2 -1, к - безразмерное аксиальное волновое число, 8 = Ь / а — отношение внутреннего радиуса Ь к внешнему радиусу а центрифугированного слоя жидкости, Jm(r), Ут(/■) - функции Бесселя 1-го и 2-го рода. Показаны изменения в дисперсионных свойствах высших мод, связанные-с учетом граничных условий свободной поверхности.

Соотношения (1) позволяют преобразовать граничные условия к виду, включающему только осевую компоненту скорости и>, затем вся задача сводится к определению ж. Каждая волновая мода во вращающемся слое вязкой жидкости, как показано в § 1.4, может быть представлена в виде суперпозиции шести винтовых гармоник с разными параметрами завихренности. Две гармоники формируют центральное ядро течения жидкости, а остальные четыре - пограничные слои около твердой стенки и свободной поверхности. Для параметров завихренности получены аналитические выражения. Эти выражения довольно громоздки, однако при малых числах Экмана Е = у 1{0,а2) «1 достаточно точны простые приближенные формулы у = 2,3. Два последних параметра к2 и к3 имеют большие мнимые части (и большие по модулю значения в сравнении ск^и связаны с винтовыми гармониками, описывающими пограничные слои. (Пограничные слои на твердой стенке и на свободной поверхности имеют композиционную структуру и, по сути, формируются из двух (один внутри другого) слоев каждый). Граничные условия записаны в виде о ОР <Э(Е2), К. =(-1)

8Е

2 ЛЬ(/)) + -О, I = 1,6 (3) 1 где

Н£/2+(-1)Ч2)(ки}Ь) - цилиндрические функции, Ь(/) = ] ' , фигурная скобка обозначает следующую функцию от ] {/} = -(2у +1- (-!)■'), 4

Х-у = к2. - к1, С) - константы. Из условия разрешимости системы (3) относительно произвольных постоянных следует дисперсионное уравнение. Плохая обусловленность матрицы при вычислениях преодолевается переопределением части коэффициентов С,. В п. 1.4 исследованы дисперсионные свойства волн, проанализированы зависимости ветвей Ке(&„(т)), 1т(&„(т)) дисперсионной кривой от коэффициента заполнения полости ротора 6, вязкости жидкости и азимутального волнового числа т. Чем выше номер моды п, тем сильнее сказывается влияние вязкости на коэффициенте затухания (мнимой части волнового числа к): увеличение номера влечет усложнение пространственной структуры моды и увеличение потерь.

В п. 1.5 проведено обобщение результатов предыдущего раздела1 на случай центрифугированного слоя проводящей вязкой жидкости-в аксиальном магнитном поле. Инерционная мода в безындукционном приближении представлена в виде суперпозиции восьми винтовых гармоник: появляются две дополнительные винтовые гармоники (с параметром завихренности к4 «I—к, где

- малое число Стюарта), позволяющие удовлетворить граничному условию непротекания тока через изолирующую границу.

В п. 1.6 исследовано влияние стратификации ¡жидкости по плотности на инерционные волны. Предполагается, что в слое жидкости можно выделить N отдельных подслоев, различающихся по плотности. Жидкости- подслоев считаются несмешивающимися (не растворяющимися и не эмульгирующими). Предложен матричный метод построения решения. В случае идеальной жидкости значение вектора Щ+1 = (и (6й+1 - 0), а(6й+1 - 0))г на внешней стороне п+1-го подслоя (г = 5п+1) связано со значением вектора Ц~ б 0 = + а(б„ + 0))г на внутренней стороне л-го подслоя соотношением и+1=РГ п+1 л и где подслои пронумерованы от центра к периферии, и(г) = —ш(г), сг(г) - (т--\к{р{г) -гЩ, Ри = А(5и+1)А-1(бй)ЛпА(6п)А-г(5;11), л„ =

1 ) \ х

1 О о Р„/Р„+1.

А = у к(2 + т)г у к(2 + т)г

Для всей жидкости справедливо

Цдг = , Р = Р^1.Р2Р1 Дисперсионное соотношение получается приравниванием нулю первого элемента верхней строчки матрицы Р.

Влияние инерционной свободной поверхности жидкости на распространение гироскопических волн рассмотрено в п. 1.7. Для описания волновых движений в жидкости на свободной поверхности которой плавают весомые частицы некоторого вещества, пренебрежимо мало взаимодействующие друг с другом в процессе колебаний используется модель флотирующей жидкости, иначе называемой жидкостью с инерционной свободной поверхностью. Показано, что наличие плавающих частиц на свободной поверхности преимущественно влияет на характеристики поверхностной моды и, в частности, снижает её частоту запирания.

Преобразование неоднородных уравнений движения жидкости в пре-цессирующем роторе к однородной системе уравнений с неоднородными граничными условиями сделано в п. 1.8. Исходная неоднородная задача с помощью подстановки = у-V, где

У = {и(г)ге1\ Р = Р(г)ге1ф, сведена к однородной системе ш[у', у0]= —£ + уУу' + сИу у' ш о Р с граничными условиями на торцах цилиндра

V' = -V . й(г),У(г),У/{г),Р(г) выражаются через линейную комбинацию функций г~а (а = -2,.Д)и г-Ря^Сй-) (Р,о = ОД, » = 1,2, С2 = -¿(1-т)/Е ).

В п. 1.9 получены соотношения, связывающие коэффициенты винтовых гармоник, формирующих инерционную-моду. В п. 1.9 также выводятся некоторые соотношения для волновых инерционных мод в слое вращающейся жидкости, упрощающие построение решениш граничных задач гидродинамики роторных систем. Если пренебречь, вязкостью, жидкости, то оператор, описывающий' движение жидкости, частично, заполняющей полость цилиндрического ротора, является- самосопряженным, а его, собственные функции ортогональны с весом г на отрезке [6,1]. Учет вязкости жидкости приводит к несамосопряженному оператору, громоздким выражениям для дисперсионного уравнения и собственных функций а, также их неортогональности (что создает значительные трудности пршрешении^ практических задач). Теоретически, если*найдена счетная система линейно независимых собственных функций, то можно перейти, применяя! процедуру ортогонализации Грама-Шмидта, к ортогональной системе функций. На практике процесс ортогонализации чувствителен к вычислительным погрешностям и часто оказывается неустойчивым. В п. 1.8 предложен альтернативный способ определения амплитуд инерционных мод. Таким образом, на основе разложений по винтовым полям с разными параметрами завихренности получено единообразное описание разномасштабных движений вязкой жидкости в роторе и определены основные характеристики инерционных мод. Полученные дисперсионные соотношения первой главы использованы для оценки частот вращения ротора, при которых возможны волновые резонансы.

Вторая» глава посвящена исследованию распространения волн во вращающейся упругой среде и упругой цилиндрической оболочке, содержащей вязкую жидкость.

В п. 2.1 рассмотрено распространение объемных волн малой амплитуды во вращающейся упругой среде в случае, когда ось вращения составляет произвольный угол с волновым вектором. Некоторые характеристики волн, распространяющихся в изотропном упругом однородном вращающемся теле подобны тем, что свойственны- волнам в анизотропных упругих средах. Так, в общем случае, не совпадают направления распространения волны и потока энергии. Помимо анизотропных, упругая среда, приведенная-во вращение, приобретает дисперсионные свойства. Дано описание поведения квазипродольной (дГ) и двух- квазипоперечных волн и т) в зависимости от угла %, образуемого волновым вектором с осью вращения, от частоты волны со (точнее от отношения частоты волны со к угловой скорости вращения о) и коэффициента Пуассона V. Под влиянием силы Кориолиса поле смещений в квазипродольной волне приобретает сдвиговую составляющую, а в квазипоперечной - дилатационную, причем величина этих составляющих сильно меняется" в зависимости1 от отношения частот ю/п. Таким образом, влияние вращения не сводится только к изменению фазовых и групповых скоростей упругих волн, оно проявляется также в изменении поляризации волн и появлении угла между волновым вектором и вектором групповой скорости.

В §2.2 рассмотрено распространение поверхностной волны вдоль поверхности вращающегося упругого тела, когда ось вращения составляет произвольный угол с волновым вектором. Так же как и объемные волны, поверхностная волна на границе вращающегося упругого тела (в отличие от классической волны Рэлея) является диспергирующей. Приведено дисперсионное уравнение. Показано, что с уменьшением отношения частоты волны к угловой скорости вращения уменьшается фазовая скорость поверхностной волны. Это уменьшение носит монотонный характер. Проведен детальный анализ дисперсионного уравнения.

В п. 2.3 рассмотрены волновые процессы в вязкой жидкости, содержащейся во вращающейся упругой замкнутой цилиндрической оболочке с учетом демпфирования в материале оболочки. Для описания движения круговой цилиндрической оболочки использованы уравнения линейной теории тонких упругих оболочек в перемещениях БоппеИ-Миз^ап [10] д2ц к

7 ( -И

Э Г)

12у

2 64г|

-1 -и Л 1 Э Г) е V а дг Эф" ад ф ,

27 + —7 - " Р^ 11 = Р^ уеа Эф у еа дг дt

Эг] дг у

Уеа

Т} +

VI р ди\ V— дг г-а д% 1 д% (1-У)д% (1 + у) Э2|

Р« 1 ¿2 . „2 1„2

ЭГ уеа Эф 2уе дг2

2уеа ЭгЭф уеа Эф дt

- = -ру/г;1

1 ди дv , , Огадх\ т— -рЛ,1

Кг д ф дг г)=а 2 Эф д% 1 д% (1-у) д2\ (1 + у) д%у дц уе дг2 2уеаг Эф2 2уеа дгдц) уеа дг де -ру/г

Эн> ди 0.2аг дц

-р К дг дг )г=а ' 2 дг где рх - плотность материала оболочки, С,, г) - осевое, азимутальное и нормальное перемещения оболочки, соответственно, у = (1 - у) /(2|и), V -коэффициент Пуассона, р - коэффициент конструкционного демпфирования, [д. — модуль сдвига. Получено дисперсионное уравнение. В случае идеальной жидкости дисперсионное уравнение по форме отличается от (2) измененным первым сомножителем в обоих слагаемых. Исследовано влияние упругой оболочки на дисперсионные характеристики инерционных-мод.

Третья глава посвящена исследованию влияния волновых процессов* на устойчивость лавалевских роторных систем, содержащих жидкость. Под лавалевским ротором понимается ротор с закреплениями, обеспечивающими пренебрежимо малые угловые перемещения оси ротора.

Отличительной особенностью задач устойчивости, рассматриваемых в диссертации, является их неконсервативность: в системе есть внешней источник энергии, за счет которого скорость вращения твердого тела поддерживается постоянной (вследствие чего кинетическая энергия жидкости, содержащейся в полости, может возрастать во времени из-за взаимодействия со стенками полости), жидкость предполагается» вязкой и т.д. Для подобного типа неконсервативных задач удобен метод исследования устойчивости, предложенный Н.В. Дерендяевым. Краткое изложение метода дано п.3.1. Метод опирается на свойства симметрии задачи и закон изменения энергии жидкости. Этот метод можно рассматривать как вариант развития метода /^-разбиения, не предполагающий знание характеристического уравнения. После линеаризации около режима стационарного вращения уравнения движения и граничные условия« допускают решения пропорциональные ехр(А.г) , где X - характеристическое число. Режим стационарного вращения устойчив, если все X имеют отрицательные действительные части и неустойчив, если хотя бы одно из возможных значений К имеет положительную действительную часть. При непрерывной зависимости X, от параметров задачи изменение степени неустойчивости в системе происходит, когда хотя бы одно характеристическое число пересекает мнимую ось. По сути, в этом основная идея метода "£>-разбиения". В рассматриваемых ниже задачах можно показать, что мнимые характеристические числа существуют тогда и только тогда, когда система допускает решение типа круговой прецессии. Следовательно, значения параметров, при которых происходит изменение степени неустойчивости в системе, могут быть найдены из условия существования круговой прецессии. При этом нахождение условий осуществимости круговой прецессии существенно облегчает то обстоятельство, что движение жидкости при круговой прецессии описывается функциями, не зависящими от времени, в системе отсчета Резаля. В этом отличие используемого метода от традиционной процедуры метода "1)-разбиения".

В п. 3.2 содержится постановка задачи исследования устойчивости стационарного вращения лавалевского ротора с полостью, частично заполненной-проводящей жидкостью в магнитном поле. Как уже отмечалось выше, неустойчивости режима стационарного вращения ротора, частично/ заполненного жидкостью, обусловлены, в первую очередь, резонансным возбуждением волн в жидкости. Поскольку жидкости в роторе часто обладают той или иной степенью проводимости, представляется возможным использовать для демпфирования волновых резонансов проводящей жидкости магнитное поле и получить дополнительное средство стабилизации режима стационарного вращения роторной системы. Рассмотрен один из простых вариантов приложения магнитного поля: однородное постоянное магнитное поле В; направленное вдоль оси вращения ротора. СтенкиА полости ротора предполагаются непроводящими.

В п.3.3 показано, что свойства симметрии системы позволяют воспользоваться методом исследования устойчивости, изложенным в п. 3.1, и сформулирована линеаризованная гидродинамическая задача.

Заметим, что для закреплений лавалевского типа обычно принимают, что частицы жидкости и ротора движутся в плоскостях, перпендикулярных оси стационарного вращения. Однако при плоскопараллельном движении проводящей жидкости в магнитном поле, коллинеарном оси вращения, результирующая пондеромоторная сила равна нулю и никакого влияния на устойчивость ротора магнитное поле оказать не может. Необходимо учесть, как это и сделано в работе, что, по крайней мере, вблизи торцов движение жидкости существенно отличается от плоскопараллельного. Движение жидкости вблизи торцов цилиндрической полости ротора, как показано в п. 3.4, может быть описано системой уравнений

0 Эф 1 Э£2 р

Эф 1 р ь где иьх, v\ - радиальная и азимутальная компоненты вектора скорости, соо -угловая скорость собственного вращения ротора, Q — абсолютная ¡угловая скорость, V — кинематическая'вязкость жидкости, а — коэффициент проводимости.

В п. 3.5 решена общая МГД-задача и с учетом реакции торцов найдены силы, с которыми проводящая жидкость действует на стенки ротора. Зависимость гидродинамических сил от отношения частоты прецессии к абсолютной угловой скорости имеет резонансный характер, обусловленный возбуждением, поверхностных мод.

В* п. 3.6 исследуется влияние резонансного возбуждения волн на устойчивость стационарного вращения лавалевского ротора с полостью,, частично заполненной проводящей жидкостью в магнитном поле. Построено £>-разбиение плоскости параметров вязкоупругих закреплений оси'ротора на области с различной степенью неустойчивости D{n) (п — степень неустойчивости). Даны примеры £)-разбиений. Показано, что существуют две области устойчивости .Di(O) и D2(0). Магнитное поле сложным образом влияет на D-разбиение: деформируя всю фигуру влево с незначительным сжатием вдоль оси абсцисс, оно расширяет области устойчивости по некоторым направлениям.

Раздел 3.7 посвящен исследованию характера границы области устойчивости лавалевского ротора с проводящей жидкостью в магнитном поле. Если, граница 11 опасна", то режим стационарного вращения может потерять устойчивость при значениях параметров из области! устойчивости в малом. Определение характера границ является весьма важным дополнением1 исследования устойчивости. Для определения типа границ ("опасные" или "безопасные") в уравнениях удержаны главные нелинейные члены. Показано; что в рассматриваемой модели ротора при выходе (входе) из области устойчивости происходит закритическая(докритическая) бифуркация Ан-дронова-Хопфа. При закритической бифуркации (т.е. рождении периодического движения от режима стационарного вращения при? выходе- из области устойчивости) возбуждение автоколебаний^: при переходе через границу происходит мягко, поэтому такие.участки границы принято называть «безопасными». Определены «опасные» и «безопасные» участки границы для различных значений параметров.

В п. 3.8 исследуются те изменения в границах областей различной степени: неустойчивости, что вносит учет инерционности: свободной; поверхности жидкости. Область устойчивостш1)(0) становится^ односвязной в отличие от случая несжимаемой вязкой; жидкости с классическим граничным условием г на свободной , поверхности. Вся фигура, образованная 1)-кривой, претерпевает определенный сдвиг вправо.

В п. 3.9 проводится исследование устойчивости режима стационарного вращения лавалевского ротора с полостью, ограниченной упруго податливыми стенками и частично заполненной: вязкой несжимаемой-жидкостью^ Решена общая гидродинамическая задача и найдены силы, с которыми жидкость действует на ротор. Построено £>-разбиение плоскости параметров задачи на области с различной степенью неустойчивости.

В четвертой главе рассмотрена задача об устойчивости в малом стационарного вращения осесимметричного ротора с закрепленной точкой на оси симметрии, имеющего цилиндрическую полость, частично заполненную проводящей вязкой несжимаемой жидкостью в магнитном поле. Стенки полости ротора предполагаются непроводящими.

Внешнее постоянное однородное магнитное поле направлено вдоль оси симметрии. Проекция угловой скорости вращения ротора на ось стационарного вращения поддерживается постоянной. При отклонениях оси ротора от оси стационарного вращения на ротор действую внешние упруго-демпфирующие моменты.

Уравнения движения ротора с проводящей жидкостью в подвижной системе координат, связанной с телом, как показано,в п. 4.1, имеют вид [юс,к] = МА +М* +М*, сИ

- = [е3,оо ], (о>0 +юс,ез)= Й з сопяг, (к

Эу V» а г г пп + (уУ)У = -— + уУУ + -[Е+ [У,в|В] + дt р р + 2[у,сос]-[(ос,[шс^]]сИуу = 0, с1Ш + (в,го/у) = 0, гоЖ = О где К - кинетический момент твердого тела, юс - угловая скорость подвижного трехгранника осей координат, мА — момент сил относительно точки О , действующих на ротор со стороны жидкости, М^ -момент, создаваемый приводом, м* - момент, создаваемый вязкоупругими закреплениями оси ротора, е'3 — единичный орт вдоль оси стационарного вращения, £ - радиус-вектор из начала координат, Е - вектор напряженности электрического поля, остальные обозначения стандартные. В п. 6.2 сформулирована линеаризованная магнитогидродинамическая задача о движении проводящей жидкости в цилиндрической полости ротора с закрепленной й<яс Л л точкой на оси симметрии. В системе отсчёта Резаля движение ротора и проводящей жидкости при круговой конической прецессии описывается функциями, не зависящими от времени (п.6.3).

В п. 4.4 показано, что неоднородные МГД-уравнения допускают автомодельное решение

V = {u(r)zei(p, V(r)zeitp, W(r)el*\

E = [V, B] - iBrU (r )ei(pez, P = Р(г)е'\ E = (Ег,Еф,Е,)

U(r) = Cj + c2r~2 + iCir~lH\2\kr) + ic4r~lHf\kr)

U(r) = q + c2r~2 + 1съг~1Н[2) (kr) + /с4г"1Я1(1)(Л.г)

V(t~) = icl - c2r~2 - kZ0(kr) + r~lZx(Jir),

W(r) = щ -2Q + CD° r~lc2 + — rZ0(kr) + г^ШАг) - /co0r, to0 a>0 fiv

P(r) = p{t(2Q - (Oq)^ + i(2Q + со0)г~гс2 - 2QZx(kr) + lco26r} где Z.(/17) = c3Hf (fir) + cAHf (кг), Ц(кг) = csH[2)(кг) + сбЯ,(1)(Яг), к2 = -г'ш0/v; Hf\kr), н^\кг) (j =1,2) - функции Ганкеля /-ого порядка первого и второго рода соответственно. Коэффициенты сп находятся из, линейной алгебраической системы, получаемой из граничных условий на боковых стенках полости ротора.

Автомодельное (квазиплоское) решение удовлетворяет граничным условиям на боковых стенках полости, но не удовлетворяет граничным условиям на торцах. Автомодельное решение позволяет свести исходную неоднородную МГД систему к следующей системе однородных дифференциальных уравнений в частных производных rot[\, vQ ] = - — + vVv + — [е + [v, в], в] + 2[v, a]

Р Р (4) divY = 0, divE + (в, rotv) = 0, rotE = О с неоднородными граничными условиями на торцах полости ротора. Аналогия между стационарными однородными МГД уравнениями (4) и уравнениями, рассматривавшимися в предыдущей главе, позволяет использовать результаты четвертой главы и представить решение уравнений (4) в виде суммы инерционно-гироскопических мод с азимутальным волновым числом равным единице т=1. Все моды являются затухающими из-за диссипации, однако в сумме мод можно выделить моды «квазираспростра-няющиеся» (имеющие большую реальную часть волнового числа и в силу этого влияющие на поле скоростей во всем объеме жидкости, заключенной в .полости ротора) и быстрозатухающие, определяющие поле течений около торцов:

В п.4.5 определены моменты сил, действующие на* ротор со» стороны жидкости. Приведены уравнения,, определяющие-границы областей'различной степени неустойчивости в пространстве параметров задачш Представлены результаты вычислений и построения £>-разбиениядля некоторых случаев. Показано,, что, в отличие от лавалевского ротора, для ротора с закрепленной точкой влияние магнитного поля проявляется значительно сильнее. В ряде случаев для проводящих жидкостей магнитное поле может оказывать стабилизирующее влияние, позволяя- неустойчивый, безь поля« режим стационарного вращения сделать устойчивым.

Математические модели роторных систем с жидкостью, включающие в себя уравнения Навье-Стокса, достаточно сложны для анализа,устойчивости, еще более трудно ответить на вопросы, связанные с учетом нелинейных факторов. Указанные трудности побуждают к построению дискретных моделей, и такая модель предложена и рассмотрена в пятой главе.

В п. 5.1 приводится описание дискретной модели ротора с жидкостью и I дан вывод уравнений движения. Модель содержит вращающийся диск, прямо симметрично посаженный на жесткой оси, расположенной в изотропном вязкоупругом закреплении, и кольцо, скользящее с трением, по диску. Центры диска и кольца вязкоупруго соединены. Диск моделирует ротор, кольцо - жидкую массу заполнения. При скольжении кольца по диску возникают силы взаимодействия, направленные под углом к относительной скорости в точках контакта. Ось диска расположена вертикально в нелинейных вязко-упругих изотропных опорах. Угловая скорость вращения диска поддерживается постоянной и равной Q.

Линеаризованные в окрестности стационарного вращения уравнения движения в комплексной форме имеют вид тА + + К(2\ ~ Ч) = Л Л [(¿г - ¿1) - Кч - ~ Л А тгг2 + кг (г2 - гг) = -цг1г[(¿2 - ¿г) - 1{гг - (5)

КУг = -4^2 где индексы 1 и й относятся к диску, а 2 и г - к кольцу, гр2 - отклонение угловой скорости кольца от стационарного значения, Цг-о+Щ - комплексный коэффициент трения скольжения кольца по диску.

В п. 5.2 для исследования устойчивости в малом режима стационарного вращения применяется метод £>-разбиения. Получены аналитические выражения для Б-кривой в пространстве параметров закрепления оси ротора и построены границы областей с различной степенью неустойчивости: Первые два, уравнения системы (5) допускают частные решения вида, хх = 1, ехр(Л1), г2 = 22 ехр(Ал) . Их подстановка при X - ко в уравнение (5) и разделение действительной и мнимой частей дает линейную систему двух уравнений относительно ка, г\а, решение которой при переходе к безразмерным переменным имеет вид

К, -П^т-!)-*2]*:, - П2 (т -1) - у" V ] + П2 (т -1)2 } (6) где , = ттаО. тг£1 тгС1 тго, п ш у = 1 + —-. Соотношения (6) при фиксированных параметрах та

П1? П2, ц, Кг и изменяющимся х определяют в плоскости параметров закрепления кривую, которая вместе с особой прямой Ка = 0 формирует В-разбиение на области с различной степенью неустойчивости. При выборе физически интересных значений параметров существует две области устойчивости. Одна область устойчивости, а именно £>1(0), содержит точку, соответствующую достаточно большим положительным значениям коэффициента демпфирования Н^ а другая (02(0)) располагается в окрестности нулевых значений параметров //^ К^

Раздел 5.3 посвящен определению параметров,модели. Параметры определяются из условия совпадения пересечений-О-кривой, дискретной модели с осями абсцисс и ординат с аналогичными пересечениями 1)-кривой распределенной модели главы 3 при выключенном магнитном поле и наилучшего совпадения £)-кривых на участке, формирующем правую4 границу области устойчивости £)2(0). При этом» масса кольца отождествляется- с массой жидкого заполнения, масса диска - с массой ротора и т.д. Показано,* что -выбором параметров хорошего соответствиямчастей ^-кривых континуальной и дискретной моделей, формирующих правую границу области 1)2(0) вблизи начала координат плоскости параметров. В то же время, в целом, фигуры, образуемые Х)-кривыми, различаются. Подбором параметров дискретной модели можно добиться значительно большего общего сходства двух кривых, но при этом теряется точность аппроксимации границы области 1)2(0). В,п. 5.3 также проанализировано влияние изменения параметров дискретной модели, так, например, уменьшение П2 приводит к вытягиванию области вдоль оси ординат, одновременно немного сужая ее вдоль оси абсцисс. Вся же фигура с увеличением П2 уменьшается.

В п. 5.4 исследуется характер границ области устойчивости: находятся "безопасные" и "опасные" участки. Уравнения конечномерной модели ротора с учетом нелинейной реакции опор допускают частные решения, описывающие круговую прецессию. Выводится уравнение для радиуса прецессии Вх оси диска

-(у <К^+<Кт))-П?(г-1)'

П12(т-1)2 г2+Щх)[ +П12(т-1)2 где &(т) = (т- 1)П2-Кг; кгл,Н2а — безразмерные коэффициенты при нелинейных членах вида (х2 + У^У2 ^, (х? в упруго-вязкой реакции закреплений оси диска. Показано, что периодическое решение в виде круговой прецессии радиуса ег и частоты т + 5т рождается от режима стационарного вращения при таком отклонении ЬКа, ЪНЛ от точки .О-кривой, которому соответствует положительная правая часть следующего выражения ) с1К,(т) с1На{ т) где =—12 ~-- компоненты касательного вектора 1 = (1Х,12)

Н <Ь к £)-кривой, вектор п = (ЗКа,ЗНа) перпендикулярен/)-кривой, |[1,п]| -модуль векторного произведения.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

ВВЕДЕНИЕ

Начало исследованиям волн во вращающейся жидкости было положено лордом Кельвином (1880г.) [11]. Кельвина интересовали вопросы устойчивости колоннообразных, кольцевых и точечных вихрей, возникшие в связи с предложенной им теорией вихревых атомов1 (1867г.). В этой теории мир понимается как некий эфир2 (аналог идеальной жидкости), в которой взаимодействуют вихри Гельмгольца, подобные атомам, образующим молекулы. Устойчивость вихревых атомов вызывала сильные сомнения. Ин

1 "Все началось с наблюдения за кольцами дыма, которые он случайно увидел в лекционной комнате своего друга П. Г. Тэта, в Эдинбургском университете" — пишет Уиттекер в своей "Истории теории эфира и электричества".

2 Два с лишним века ранее была популярна другая масштабная вихревая модель - феноменологическая модель Вселенной Декарта (1637г.). Космология Декарта исходила из признания первоначального хаоса, который путем движения в соответствии с фиксированными законами упорядочивается в известную схему - космос. По Декарту, Вселенную заполняет тончайшая всепроникающая жидкость (прототип эфира), которая находится в постоянном вихревом движении. Это движение удаляет от оси вихря наиболее крупные частицы материи, из которых затем образуются планеты. Даже после издания в 1687г. Ньютоном "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" вихревая теория материи Декарта оставалась господствующей на континенте еще в течение жизни целого поколения. Приверженцами вихревой теории были Лейбниц, Гюйгенс, Вариньон, Иоганн и Даниил Бернулли и др. Заметим также, что в середине XVIII в. Эйлер и оба Бернулли основывали свое объяснение магнетизма на гипотезе о вихрях. Увлекательное описание раннего периода вихревой теории есть в книге В.В. Козлова "Общая теория вихрей"[12] терес к вопросам устойчивости вихрей привел Кельвина к рассмотрению инфинитезимальных возмущений цилиндрической поверхности колоннообразного вихря, т.е. рассмотрению волн, теперь называемых иногда вихревыми волнами Кельвина (1880г.), а некоторыми авторами - волнами Пуанкаре3. (Эти авторы придерживаются той точки зрения, что Анри Пуанкаре был первым (1910г.) [13], кто математически сформулировал задачу об инерционных колебаниях и вывел уравнение, называемое в настоящее время уравнением Соболева. Заметим, что за 17 лет до этого Пуанкаре опубликовал монографию о вихревых движениях "Theorie des tourbillions" [14]). Впрочем, вполне возможно, что о работе Кельвина на какое-то время забыли (как и о его теории "вихревых атомов"), иначе трудно объяснить малое число ссылок и, в частности, отсутствие ссылки в работе S: Nigam,и Р: Nigam [15]. В упомянутой работе S. Nigam P. Nigam изучалось распространение плоских волн во вращающейся жидкости. Во вращающейся жидкости вследствие нарушения равновесия между градиентом давления и силой Кориолиса могут возникать волновые движения, называемые инерционными или гироскопическими волнами: Говоря о том, что из-за, вращения идеальная жидкость приобретает некоторые свойства, напоминающие свойства упругих тел (в частности в ней могут распространяться волны), авторы работы [15] ссылаются на Джеффри Тейлора. Тейлор работы Кельвина знал, эксперименты Тейлора [16, 17] над вращающейся жидкостью хорошо известны. Им было, в частности, обнаружено удивительное явление "столба Тейлора". Несколько замечательных экспериментов [18, 19], проделанных уже в 90-х годах XX века, продемонстрировали

3 В океанологии под волной Пуанкаре понимают результат интерференции двух волн Свердрупа, причем выделяют волну 1-го рода, когда волны Свердрупа скрещиваются под углом при косом отражении от берега и 2-го рода - при нормальном отражении волн Свердрупа от берега. Нередко, однако, волной Пуанкаре называют (Gill А. [5]) любую волну, удовлетворяющую дисперсионному соотношению ш2 = f + gHk2, где ш — циклическая частота волны, - горизонтальное волновое число, /= Ю^с"1 , g = 9.8 л/с"2 , H - глубина океана. Эти волны также впервые кельвиновские волны на лабораторных вихревых трубках. В работе Лей-бовича [20] рассматривались так называемые "изгибные" вихревые кельвиновские моды. Во всех вышеупомянутых работах, рассматривались волны в идеальной жидкости. В фундаментальных монографиях Сэффмэна Ф. Дж. [21], Вилля Г.[22], Ма]'с1а А. Вет1охг{ А.Ь. [23], Алексеенко С.В., Куйбина П.А., Окулова В.Л. [24], Мелешко В.В., Константинова М.Ю. [25], внимание фокусируется на закономерностях движения и методах расчета вихревых структур в идеальной несжимаемой жидкости. Влияния вязкости, сжимаемости и т.п. рассматриваются в малой степени или не рассматриваются совсем, как, впрочем, и волновые движения. Дело не в том, что вязкость не важна, а в тех трудностях математического характера, что возникают при её учете и отчасти,, может быть, сохраняющейся тенденцией изучать "типы движения безотносительно к тому, существуют ли' они для реальной жидкости" [25]. Подчеркнем то обстоятельство (более подробно обсуждаемое ниже), что в роторных системах с жидкостью, (а также в авиакосмической технике: турбины, ракеты, жидкостные гироскопы) инерционные волны играют огромную роль. В этих системах возбуждение инерционных волн является тем механизмом, который обеспечивает обмен угловым моментом между твердой оболочкой и жидким содержимым, что, например, приводит (на определенных частотах) к возникновению нутационных движений ракеты с экспоненциальным ростом угла нутации с течением времени и непредсказуемой траектории. В технике используются столь большие угловые скорости вращения, что центробежная сила превосходит силу тяжести в тысячи и более раз. Заметим, что в геофизической гидродинамике также есть процессы, в которых влияние инерционных волн необходимо учитывать, например, течения в жидком ядре Земли, хотя угловая скорость вращения Земли (7,292 • 10-5 рад/с) мабыли рассмотрены Кельвином в работе "О гравитационных колебаниях вращающейся воды" (1879г.), в которой он искал возможность упростить теорию приливов Лапласа. ла в сравнении с техническими устройствами (впрочем она невелика даже в сравнении с планетами - газовыми гигантами, так экваториальная, зона Юпитера вращается быстрее Земли в 2,4386 раза). Именно в книгах по геофизической гидродинамике рассматривались некоторые простые вопросы теории инерционных волн: это уже упоминавшиеся монографии Гринспена X., Jle Блона П.Х., Майсека JI.A., Pedlosky J., Гилла А., Gossard Е.Е., Hooke W.H. Экспериментальные исследования осесимметричных инерционных колебаний жидкости в цилиндре провел Fultz [26], в сфероиде - Malkus [27]. Широкие экспериментальные исследования инерционных колебаний в контейнерах разной геометрической формы» проведены были McEwan [28], Aldridge [29], Manasseh [30], Kobine [31]. В работе [32] рассматривался случай относительно медленного вращения горизонтально расположенного цилиндра. Результаты работ [33, 34] ограничены областью достаточно больших чисел Рейнольдса. В обзорных работах Grimshaw R.H.J., Ostrovsky L.A., Shrira V.l., Stepanyants Yu.A. [35] и Maas L.R.M. [36] приведена достаточно подробная библиография работ по распространению волн в океане, где учитываются эффекты вращения.

Первые работы по динамике твердого тела, заключающего в себе жидкие массы, связаны с именами Ж.Стокса (1842-1847), X. Гельмгольца (1860), Любека (1873), Г. Лэмба (1873), Неймана (1883). Одной из первых фундаментальных работ в этой области была работа Н.Е. Жуковского [37], в которой им было показано, что движение гидромеханической системы с полостью, целиком заполненной идеальной жидкостью, в случае потенциального движения жидкости в потенциальном поле массовых сил эквивалентно движению некоторого твердого тела с измененными характеристиками.

Задача о динамическом взаимодействии движущегося тела и идеальной жидкости, частично заполняющей полости тела, впервые была поставлена

Г.С. Наримановым и Д.Е. Охоцимским. В 1950 г. Г.С. Нариманов предложил приближенные уравнения движения твердого тела с полостями, содержащими жидкость, полученные на основе гипотезы, аналогичной гипотезе Релея, а затем более точные уравнения, с учетом бесконечного множества степеней свободы у жидкости [38]. Аналогичные уравнения несколько позднее были независимо выведены иным путем H.H. Моисеевым [39, 40], который рассмотрел целый ряд общих вопросов динамики твердого тела с жидкостью. В работе [41], выполненной в то же время; когда была опубликована статья Г.С. Нариманова [38], Д.Е. Охоцимский получил решение обратной задачи динамики при удовлетворении условия постоянства давления на свободной поверхности, (определение внешних, сил по заданному движению тела) и подробно рассмотрел случай гармонических колебаний тела с полостью в форме кругового цилиндра. В [38] по существу содержатся и основные уравнения прямой задачи динамики. Несколько более общее решение задачи Д.Е. Охоцимского было независимо получено Б.И. Рабиновичем в 1951 г. [42], а затем.обобщено на прямую задачу динамики системы тело-жидкость.

Первые примеры решения задач о колебании вязкой жидкости в сосудах были даны в работах H.H. Моисеева [43, 44], в которых был развит метод асимптотического интегрирования линеаризованных уравнений На-вье-Стокса в случае больших чисел Рейнольдса. В работах П.С. Красноще-кова [45, 46], посвященных исследованию колебаний маятника со сферической полостью, содержащей слабовязкую жидкость, асимптотический формализм подвергся дальнейшему усовершенствованию. Исследование движения тела с жидкостью при малых числах Рейнольдса проводилось в пионерских работах Ф.Л. Черноусько [47] и Б.Н. Румянцева [48]. Большой вклад в разработку различных аспектов динамики тела с жидкостью внесли C.JI. Соболев, Н.Г. Четаев, JI.H. Сретенский, В.В. Румянцев, H.H. Моисеев, Д.Е. Охоцимский, Г.С. Нариманов, А.Ю. Ишлинский, С.В. Малашен-ко, Ф:Л. Черноусько, Б.И. Рабинович, Г.И. Микишев, И.М. Рапопорт и другие. Подробные библиографические ссылки можно найти в обобщающих монографиях H.H. Моисеева, В.В. Румянцева [49], Г.Н. Микишева, Б.И. Рабиновича [50], Ф.Л. Черноусько [51], И.М. Рапопорта [52], Н.Д. Ко-пачевского, С.Г. Крейна, Нго Зуй Кана [53], А.Ю. Ишлинского, В.А. Сто-роженко, М.Е. Темченко [54], И.А. Луковского [55]. Значительное внимание приложениям методов исследования устойчивости (стабилизации) и управления по части переменных к задачам устойчивости движений твердых и-упругих тел с полостями, наполненными жидкостью уделено в книге В.И. Воротникова, В.В. Румянцева [56].

Изучение движения твердых тел с полостями, содержащими жидкость, естественно приводит к задаче об устойчивости движения таких тел. Так в связи с попытками объяснить, гироскопические явлениям движении Земли были проведены первые опыты с гироскопами, имеющими полости, заполненные жидкостью. Кельвин (1877г.) провел опыты с волчком в виде тонкостенной оболочки в. форме эллипсоида вращения; целиком заполненной жидкостью. Оказалось, что если оболочка имеет сплюснутую форму, то вращение волчка вокруг оси симметрии с достаточно большой угловой скоростью устойчиво. Если же оболочка хотя бы слегка вытянута, то вращение волчка вокруг оси симметрии неустойчиво, какую бы угловую скорость ему ни сообщали.

Теоретические исследования, направленные на объяснение экспериментальных результатов Кельвина, содержатся в работах Гринхилла (1880г.), Ф.А.Слудского (1895г.), Гафа (1895г.), Пуанкаре (1910г.), Бассета (1911г.). В этих работах принято, что идеальная несжимаемая жидкость, целиком заполняющая эллипсоидальную полость, совершает однородное вихревое движение. А.Пуанкаре рассмотрел также задачу об устойчивости вращения волчка Кельвина с учетом упругости оболочки и неоднородности жидкости.

Исторически самым первым подходом, что применялся к исследованию устойчивости тел с жидким заполнением, и широко используемым в задачах устойчивости сложных систем, является подход, связанный с анализом линеаризованных уравнений возмущенного движения методами теории малых колебаний и спектральной теории операторов. Под устойчивостью в данном подходе понимается ограниченность амплитуд всех главных колебаний или ограниченность некоторых операторов. Указанный подход использовался в работах C.JI. Соболева [57] (см. также [58]), JI.H. Сретенского [59], H.H. Моисеева [60], С.Г. Крейна и H.H. Моисеева [61]; Stewartson-R. [62], А.Ю. Ишлинского и М.Е. Темченко [63', 64]1 М.Г. Гор-бачука, Г.П. Слепцова и М.Е. Темченко [65], C.F. Крейна и Нго Зуй Кана [66], Ф.Л. Черноусько [67], А.И. Кобрина [68], Е.П. Смирновой [69,70], Н.Д. Копачевского, С.Г. Крейна и Нго Зуй Кана [53] и др. при исследовании устойчивости установившихся движений в потенциальном поле сил твердого тела с полостью, содержащей жидкость.

В 1943 году С.Л. Соболеву с применением методов функционального анализа удалось решить задачу об устойчивости движения волчка с эллипсоидальной, а также с цилиндрической полостями, целиком заполненными идеальной несжимаемой жидкостью [57,58]. Им была доказана теорема о разрешимости начально-краевой задачи для симметричного волчка. Показано, что для случая эллипсоидальной полости пространство полей скоростей жидкости разлагается в прямую сумму подпространств, из которых одно трехмерно, и только движения из этого подпространства взаимодействуют с движениями твердого тела. Соответствующие частоты колебаний волчка находятся из алгебраического уравнения третьей степени. В случае цилиндрической полости соответствующее характеристическое уравнение имеет бесчисленное множество корней. Движение тела связано с бесконечным множеством форм колебаний жидкости. При изменении угловой скорости может возникать бесконечное множество зон устойчивости и неустойчивости движения. Задача об устойчивости движения волчка рассматривалась также А.Ю. Ишлинским, М.Е.Темченко [63] и В.В Румянцевым [71]. Указанная задача в более общем случае с учетом вязкости жидкости исследовалась Ф.Л. Черноусько [72], который ввел в рассмотрение решения трех краевых задач в области, переходящие при нулевой угловой скорости невозмущенного движения в потенциалы Жуковского. Через эти решения выражается при заданной угловой скорости скорость движения жидкости и гиростатический момент. Для случая движения свободного тела получено характеристическое уравнение, а затем оно исследовано для частных случаев.

Определения и методы исследования устойчивости конечномерных систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, непосредственно неприменимы для систем с распределенными параметрами. Еще A.M. Ляпунов предостерегал от использования без обоснования» аналогий между сплошной средой и системой с конечным числом степеней свободы. В общем случае, когда о характере движения жидкости не делается каких-либо специальных предположений, задача об устойчивости стационарного движения твердого тела с жидкостью представляет огромные трудности. В.В. Румянцевым был предложен способ, позволяющий в известной степени эти трудности обойти, меняя несколько постановку задачи [73,74,49]. В прикладных задачах об устойчивости движения твердого тела с полостями, содержащими жидкость, интересуются главным образом вопросом об устойчивости твердого тела. Вопрос об устойчивости движения жидкости в полости интересен лишь постольку, поскольку движение жидкости влияет на устойчивость движения твердого тела, хотя, естественно, что это лишь одна сторона единого вопроса: движения жидкости и тела взаимозависимы. В.В. Румянцевым было введено понятие устойчивости движения относительно части переменных, а именно по отношению к переменным, определяющим движение твердого тела, и к некоторым величинам (функционалам), интегральным образом характеризующим движение жидкости. Таким образом, задача об устойчивости движения, системы "твердое тело + жидкость" с бесконечным числом степеней свободы сводится к исследованию устойчивости по отношению к конечному числу величин. При таком подходе для решения задачи устойчивости применим и весьма эффективен метод функций Ляпунова, однако не- в обычной; а модифицированной его форме. Дело в том,,что« при. исследовании устойчивости по части переменных,, классические теоремы второго метода Ляпунова непосредственно неприменимы, так как не удается, как правило, построить функции Ляпунова, зависящие лишь от интересующих переменных. Для построения функций Ляпунова эффективны способ Че-таева построения указанной функции в виде связки1 интегралов .соответствующей консервативной задачи и теорема,Рауса-Ляпунова [75, 76; 77, 78]: На основе изложенного подхода к исследованию: устойчивости рассмотрены, задачи об устойчивости движения волчка с полостью, наполненной вязкой жидкостью (Румянцев В.В. [74]), устойчивость равновесия маятника с жидкостью (Румянцев В.В. [49,76]), устойчивость стационарного вращения твердого тела с одной неподвижной точкой и полостью, целиком заполненной однородной несжимаемой идеальной и вязкой жидкостью в центральном ньютоновом поле сил (Рубановский В.Н., Степанов С.Я. [77], Рубановский В.Н. [79]) и др. Развитие идей Ляпунова в теории фигур равновесия вращающейся самогравитирующей жидкости определило подход к постановке и решению задачи об устойчивости движений тел с полостями, содержащими жидкость. Изучая устойчивость фигур равновесия вращающейся жидкости, A.M. Ляпунов предложил определение устойчивости формы равновесия жидкости и свел решение вопроса об устойчивости к проблеме минимума некоторого функционала, которую эффективно разрешил [80, 81]. Развитие этих идей позволило В.В. Румянцеву [82, 74] и Г.К. Пожарицкому [83, 84] сформулировать новый подход к исследованию устойчивости стационарного движения твердого тела с жидкостью, и более общих систем, обладающих определенной диссипативностью, т.е. для? таких систем, энергия которых убывает во* времени.' В:В. Румянцевым [85] была доказана теорема об устойчивости движения* твердого» тела (позднее и для упругого тела), с жидкостью, являющаяся обобщением теоремы Рауса на системы, с распределенными параметрами, и сводящая вопрос об устойчивости стационарных движений к задаче* минимума измененной; потенциальной энергии, представляющей собой, в общем случае, функционал (лишь в случае полного заполнения, жидкостью полости измененная потенциальная энергия является функцией конечного числа переменных, а в случае частичного заполнения полости приходится, иметь дело с функционалом, который в известных работах тем. или иным способом сводят к: функции Ляпунова конечного числа переменных). Этот подход получил дальнейшее развитие в работах В.А. Самсонова [86, 87], В.Н. Рубановско-го [88, 89]:

Интересный и важный класс задач динамики тел с полостями, содержащими жидкость, возникает при изучении роторных систем с жидкостью (рис.1). Неустойчивость ротора, частично заполненного жидкостью, впервые наблюдалась в экспериментах Л.В. Епишева [90], S.H. Crandall [91] и F.G. Kollmann [92].Эти авторы экспериментально обнаружили, что возникновение неустойчивости стационарного режима стационарного вращения приводит к круговой прецессии на частоте близкой к частоте вращения ротора.

Jl.В. Епишев провел также теоретический анализ причин неустойчивости, феноменологически вводя гидродинамические силы, следуя работе П.Л. Капицы [93]. Экспериментальным исследованиям устойчивости вращательного движения тел с жидким заполнением посвящены также работы В.Т. Десятова [94] и Zhu Changsheng [95].

Попытки описать указанный экспериментальный факт возникновения неустойчивости режима стационарного вращения в рамках двумерных моделей были предприняты Enrich [96] и Wolf Jr. [97]. Enrich учел вязкость жидкости, но предположил, что движение жидкости осуществляется определенным образом. Wolf Jr. в рамках плоской модели прецессирующего ротора, частично заполненного идеальной несжимаемой жидкостью, нашел, что неустойчивость прямо связана с появлением возмущенного движения в форме круговой прецессии. Однако частота прецессии оказалась совершенно отличной от угловой скорости вращения. Daich I.M. и Bar I.L.

98], затем Saito S. и Someya Т. [99] усовершенствовали модель Wolf Jr., учтя вязкость жидкости. В работе [99] предполагалось, что жидкость, заполняющая ротор, расположена в слое постоянной толщины на поверхности бесконечно длинной цилиндрической полости ротора, причем толщина слоя жидкости порядка толщины экмановского пограничного слоя. В

99] приближенно вычислена гидродинамическая сила, действующая со стороны жидкости на прецессирующий ротор и показано, что волновые движения жидкости могут влиять на устойчивость вращения ротора. В случае, когда частота прецессии ротора близка к низшей частоте собственных колебании жидкости, гидродинамическая сила может играть роль

Рис. 1

Жидкостная центрифуга с небольшим центробежным ускорением ~1600# силы отрицательного демпфирования. Daich I.M. и Bar I.L. используя метод пограничного слоя, показали, что введение вязкости мало меняет результаты Wolf Jr., по крайней мере, в тех границах, в которых применимо приближение пограничного слоя. Saito S. и Someya Т. пришли к аналогичному заключению. Они использовали точное решение плоской задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости в прецессирующем роторе,- но использовали консервативный критерий устойчивости, для неконсервативной задачи: возникновение неустойчивости связано с появлением кратного мнимого корня характеристического уравнения. Во вращающейся жидкости нельзя, вообще говоря, пренебречь реакцией пограничного слоя на внешний поток, а также зависимостью толщины слоя от частоты колебаний ротора. Другими словами, задачи о вязкой подобласти течения, и внешнем невязком потоке не могут быть разделены (как это имеет место в классической теории Прандтля) и должны решаться совместно: Отсюда следует, что к результатам, полученным с использованием приближения пограничного слоя, нужно относиться с осторожностью; В 1982 Lichtenberg G. [100] предпринял попытку расширить,модель>Wolf Jr: на трехмерный случай. Ему также не удалось добиться удовлетворительного^ совпадения теоретических предсказаний с экспериментами и результатами Holm-Christensen О. и Trager К. [101], полученными в ходе численного эксперимента с полными уравнениями Навье-Стокса. Численные методы, заметим, чувствительны к начальным условиям и их использование требует больших вычислительных мощностей и времени. Возникновение режима синхронной прецессии на границе области устойчивости режима стационарного вращения ротора, содержащего вязкую жидкость, предсказывает теория, разработанная В.В. Болотиным [102]. Однако эта теория полуэмпирическая. Она опирается на так называемую "концепцию вращающегося трения".

В работах Дерендяева Н.В. с соавт. [9],[103]- 105] был предложен и успешно применен новый метод исследования устойчивости режима стационарного вращения в неконсервативных задачах динамики роторных систем, содержащих жидкость. С использованием этого метода, в рамках плоской модели вращающегося ротора, частично заполненного вязкой несжимаемой жидкостью, удалось показать, что на границе области устойчивости режима стационарного вращения возникает возмущенное движение в виде круговой прецессии. При этом частота прецессии близка к частоте вращения ротора, если внешнее демпфирование достаточно мало. Само значение критической частоты вращения ротора соответствует найденному в [91]. Попутно проанализированы ошибки, допущенные в упомянутых выше работах и не позволившие их авторам получить правильные результаты. Отмечено значение волновых резонансов в возникновении неустойчивости.

1. Nigam S.D., Nigam P.D. Wave propagation in rotating liquids // Proc. Roy.Soc., ser. A, 1962. V. 266. N. 1192. P. 55-69.

2. Long R.R. A theoretical and experimental study of the motion and stabilityof sustain atmospheric vortices // J. Meteoroll 1951. V. 8. P. 207-221.

3. Fpuncnen X. Теория вращающихся» жидкостей. —JI.: Гидрометеоиздат,1975.

4. Алексеенко С.В., Куйбин П.А., Окулов В.Л. Введение в теорию концентрированных вихрей. -М.-Ижевск: ИКИ; 2005: -504с.

5. Гипл А. Динамика атмосферы и океана. Т. 1. М.: Мир, 1986. 396с.

6. ЛеБлон П.Х., МайсекЛ.А. Волны в океане. Т. 11 М.: Мир, 1981. 480 с.

7. Pedlosky J. Waves in the Ocean and Atmosphere: Introduction to WaveDynam-ics. Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New* York, 2003. 267p.

8. Госсард Э.Э., Хук У.Х. Волны в атмосфере. М.: Мир, 1978. 532 с.

9. Дерендяев>Н.В., Сандалов В.М. Об устойчивости стационарного вращения цилиндра, частично заполненного вязкой несжимаемой жидкостью // ПММ. 1982. Т.46. № 4. С. 578-586.

10. Leissa A.W. Vibration of Shells //Amer.Acoust.Soc., 1993. 434pi

11. Kelvin, Lord Vibrations of a columnar vortex. //Phil; Mag. 1880. V.10. P.'155.168.

12. Козлов В.В. Общая теория вихрей Ижевск. Издательский дом "Удмуртский университет", 1998. 238с.

13. Poincare Н. Sur la precession des corps deformables //Bull. Astronomique V. 27. P. 321-356.

14. Пуанкаре А. Теория вихрей. Ижевск: РХД, 2000. 161 с.

15. Nigam S.D., Nigam P.D. Wave propagation1 in* rotating liquids // Proc. Roy. Soc., ser. A, 1962. V. 266. N 1192. P. 55-69.

16. Taylor G.I. Experiments with rotating fluids //Proc. R. Soc. Lond. A. 1921. V. 100. P. 114-121.

17. Taylor G.I. The motion of a sphere in a rotating liquid //Proc. R. Soc. Lond. A. 1922. V. 102. P. 180-189.

18. Hop finger E. J., Brow and F. K., Gagne Y. Turbulence and waves in arotating tank. //J. Fluid Mech. 1982. V. 125. P. 505-534.

19. Maxworthy Т., Hopfinger E. J., Redekopp L. G. Wave motions on vortex cores. //J. Fluid Mech. 1985. V. 151. P. 141-165.

20. Leibovich S., Brown S. N., Patel Y. Bending waves on inviscid columnarvortices. //J. Fluid Mech. 1986. V.173. P.595-624.

21. Сэффмэн Ф. Дж. Динамика вихрей. -М.: Научный мир, 2000. 376с.

22. ВилляГ. Динамика вихрей. -М.: КомКнига, 2006. 264с.

23. MajdaA. J., Bertozzi A.L. Vorticity and incompressible flow. -Cambridge: Cambridge University Press, 2003. 546c.

24. Алексеенко С.В., Куйбин П.А., Окулов В.Л. Введение в теорию концентрированных вихрей Москва-Ижевск: РЖИ, 2005. -504с.

25. Мелешко В.В., Константинов М.Ю. Динамика вихревых структур.Киев: Наукова думка, 1993. -280с.

26. Fultz D. A note on overstability and the elastoid-inertia oscillations ofKelvin, Solberg and Bjerknes //J. Meteorol. 1959. V.16. P. 199-208.

27. Malkas W.V.R. Precession of the Earth as the cause of geomagnetism //Science. 1968. V. 160. P. 259-260.

28. McEwan A.D. Inertial oscillations in a rotating fluid cylinder //J. Fluid Mech. V.40. P. 431-448.

29. Stergiopoulos S., Aldridge K. D. Inertial waves in a fluid partially filling a cylindrical cavity during spin-up from rest. //Geophys. & Astrophys. Fluid Dyn. 1982. V. 72. P. 89-112.

30. Manasseh R. Breakdown regimes of inertia waves in a precessing cylinder. //J. Fluid Mech. 1992. V. 243. P. 261-296.ЪХ.КоЫпе J J. The dynamics of inertia waves in a rotating and precessing cylinder //J. Fluid Mech. 1995. V.303. P. 233-252.

31. Иванова A.A., Козлов B.F., Чиграков А.В. Динамика жидкости вовращающемся горизонтальном цилиндре // Изв. РАН. МЖГ. 2004. № 4. С. 98-111.

32. Stewartson R. On the stability of a spinning top containing liquid // J.Fluid. Mech. 1959. v. 5. № 4. p. 577-592.

33. Herbert T. Viscous fluid motion in a spinning and nutating cylinder //J.Fluid Mech. 1986. Vol. 167. P. 181-198.

34. Grimshaw R.H.J., Ostrovsky LA., Shrira V.I., Stepanyants YuA. Longnonlinear surface and internal gravity waves in a rotating ocean //Surveys in Geophysics. 1998. V. 19. P. 289-338.

35. Maas L.R.M. Theory of basin scale dynamics of a stratified rotating fluidSurveys in Geophysics. 2004.V. 25. P.249-279.

36. Жуковский НЕ. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью. Собр. соч. т. 2. Гидродинамика. - M.-JL: Гостехиздат, 1949. С. 152-309.

37. Нариманов Г.С. О движении твердого тела, полость которого частично заполнена жидкостью. /ЯШМ. 1956. Т.20. Вып. 1. С.21-38.

38. Моисеев H.H. Движение твердого тела, имеющего полость, частично заполненную идеальной капельной жидкостью. // ДАН СССР. 1952. Т.85. № 4. С.719-722.

39. Моисеев H.H. Задача о движении твердого тела, содержащего жидкие массы, имеющие свободную поверхность. // Мат. сб. 1953. Т.32. Вып.74.№ 1.С. 61-96.

40. Охоцимский Д.Е. К теории движения твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью. // ПММ. 1956. Т.20. Вып.1. С.З-20.

41. Рабинович Б.И. Об уравнениях возмущенного движения твердого тела с цилиндрической полостью,- частично заполненной жидкостью. //ПММ. 1956. Т.20. Вып. 1. С.39-50.

42. Моисеев H.H. О краевых задачах для линеаризованных уравнений Навье-Стокса в случае, когда вязкость мала. //Ж. вычисл. мат. и мат. физики. 1961. Т. 1. № 3 С. 543-550.

43. Багаева Н.Я., Моисеев H.H. Три задачи о колебании вязкой жидкости. //Ж. вычисл. мат. и мат. физики. 1964. Т. 1. № 3 С. 1651-1658.

44. Краснощекое П. С. О колебаниях физического маятника, имеющего полости, заполненные вязкой жидкостью. //ПММ. 1963. Т. 27. № 2 С. 193-202.

45. Краснощекое П.С. Малые колебания твердого тела, имеющего полости, заполненные вязкой жидкостью. //Численные методы решения задач матем. физики. Под ред. H.H. Моисеева. М.: Наука, 1966. С. 258-266.

46. Черноусько Ф.Л. Вращательные движения твердого тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью // ПММ. 1957. Т. 31. Вып. 3. С. 712724.

47. Румянцев В.Н. О движении твердого тела, содержащего полости, заполненные вязкой жидкостью. /ЯШМ. 1964. Т. 28. № 4 С. 746-753.

48. Моисеев H.H., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями,содержащими жидкость. М.: Наука, 1965. 440с.

49. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью. М.: Машиностроение, 1968. 532 с.

50. Черноусько Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость. М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1968. 230с.

51. Рапопорт ИМ. Колебания упругой оболочки, частично заполненной? жидкостью. М.: Машиностроение. 1967. 357с.

52. Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи. -М.: Наука, 1989.416с.

53. Ишлинский А.Ю., Стороженко В.А., Темченко М.Е. Вращение твердого тела на струне и смежные задачи. М:: Наука, 1991. 330с.

54. Луковский И.А. Введение в нелинейную динамику твердого тела с полостями, содержащими жидкость. Киев: Наук, думка, 1990. 224 с.

55. Воротников В.И., Румянцев В.В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем: Теория, методы и приложения. -М.: Научный мир, 2001. 320с.

56. Соболев С.Л. О движении симметричного волчка с полостью,наполненной жидкостью. Фонды Матем; ин-та им. В.А.Стеклова АН СССР 1943.74 с.

57. Соболев СЛ. О движении симметричного волчка с полостью, • наполненной жидкостью // ПМТФ. 1960. № 3. С. 20-55.

58. Сретенский Л.Н. Колебание жидкости в подвижном сосуде // Изв. АН СССР. Отдел техн. наук. 1951. № Ю. с.1483-1494.

59. Моисеев H.H. О двух маятниках, наполненных жидкостью. ПММ -1952 т.16:№ 6. с.671-678.

60. Крейн С.Г., Моисеев H.H. О колебаниях твердого тела, содержащего жидкость со свободной поверхностью //ПММ, 1957. Т.21. N. 2: С. 169-178.

61. Stewartson R. On the stability of a spinning top containing liquid// J. Fluid. Mech. 1959. Vol. 5. № 4. P. 577-592.

62. Ишлинский А.Ю., Темченко М.Е. О малых колебаниях вертикальной оси волчка, имеющего полость, целиком наполненную идеальной несжимаемой жидкостью // ПМТФ. 1960. № 3.

63. Ишлинский А.Ю., Темченко М.Е. Об устойчивости вращения на струне твердого тела с эллипсоидальной' полостью, целиком наполненной идеальной несжимаемой жидкостью // ПММ, 1966. Т.30.№ 1.С. 30-40.

64. Горбачук М.Л., Слепцов Г.П. Темченко М.Е. Об устойчивости движения подвешенного на струне твердого тела с жидким наполнением // Укр. матем. журн. 1968. Т.20. № 5. С.586-602.

65. Крейн С.Г., Иго Зуй Кан Задача о малых движениях тела с полостью, частично заполненной вязкой жидкостью // ПММ, 1969. Т. 33. №1. С. 117-123. "

66. Черноусько ФЖ Движение твердого тела с полостями, содержащими-вязкую жидкость. М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1968. 230 с.

67. Кобрин А.И. К задаче о движении тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью, относительно центра масс в потенциальном поле массовых сил // ПММ, 1969. Т. 33, № 3. С.431-440.

68. Смирнова Е.П. Стабилизация свободного вращения асимметрического волчка с полостями, целиком заполненными жидкостью // ПММ, 1974. Т. 38. Вып. 6. С. 980-985.

69. Смирнова Е.П. Устойчивость, свободного' вращения волчка, содержащего тороидальную полость с жидкостью малой вязкости // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1976. № 5. С. 20-26.

70. Румянцев В.В. Устойчивость вращения твердого тела с эллипсоиднойполостью, наполненной жидкостью // ПММ: 1957. Т.21. Вып.6. С. 740-748.

71. Черноусько Ф.Л. Вращательные движения- твердого тела с полостью,1 заполненной вязкой жидкостью // ПММ. 1967. Т. 31. Вып. 3. С. 712724.

72. Румянцев В.В. Об устойчивости вращательных движений твердого' тела с жидким наполнением //Вопросы прикладной математики и механики. Сб. науч. трудов. 1956. № 2.

73. Румянцев В.В. Об устойчивости вращения* волчка с полостью, заполненной вязкой жидкостью // ПММ i960.- Т.24. № 4. С. 603-6091

74. Четаев Н.Г. Об устойчивости вращательных движений твердого тела, полость которого наполнена идеальной жидкостью // ПММ: 1957. Т.21. Вып.2.

75. Румянцев В.В. Методы Ляпунова в исследовании устойчивости движения твердых тел с полостями, наполненными жидкостью. // Изв. АН СССР. ОТН. 1963. - № 6. - с.119-140.

76. Рубановский В.Н., Степанов С.Я. О теореме Рауса и методе Четаева построения функции Ляпунова из интегралов уравнений движения // ПММ 1969. Т. 33. Вып.5. С. 904-912.

77. Румянцев В.В., Озиранер A.C. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987. 256 с.

78. Рубановский В.Н. О бифуркации и устойчивости стационарных движений в некоторых задачах динамики твердого тела. // ПММ.1974 Т. 38. Вып. 4. С. 616-627.

79. Ляпунов A.M. Об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости. Собр. соч. Т.З М.: Изд-во АН СССР, 1959. С.5-113.

80. Ляпунов A.M. Задача минимума в одном вопросе об устойчивости фигур равновесия вращающейся жидкости. Собр. соч. Т.З М.: Изд-во АН СССР, 1959. С. 237-360.

81. Пожарицкий Г.К., Румянцев В.В'. Задача- минимума в. вопросе- об устойчивости движения твердого тела с, полостью^ заполненной' жидкостью. // ПММ. 1963. Т.27. № 1. С. 11-26.

82. Румянцев В.В. О движении и устойчивости упругого тела с полостью, содержащей жидкость. // ПММ 1969 - т. 33. Вып: 6. С. 949-957.

83. Самсонов В.А. О задаче минимума функционала при исследовании устойчивости движения тела с жидким наполнением. //ПММ: 1967. Т. 31. Вып. 3. С. 523-526.

84. Самсонов В.А. О некоторых' задачах минимума в теории устойчивости' движения тела с жидкостью. //Матем. методы* в динамике косм, аппаратов. Сб. науч. трудов. Вып. 6. Ml: Вычисл. центр АН СССР. 1968. С. 250-268.

85. Рубановский В.И. Об устойчивости некоторых движений твердого тела с упругими стержнями и жидкостью. // ПММ. 1972. Т.З6; Вып. 1. С. 43-59.

86. Рубановский В.Н., Румянцев В.В. Об устойчивости сложных механических систем. // Успехи механики (ПНР). 1979. Т.2. № 2. С. 53-79.

87. Епишев Л.В. О динамической неустойчивости вращающегося ротора" при неполном, наливе жидкости. // Научн. докл. высш. школы. Машиностроение и приборостроение. 1959. № 2. С. 66-74.

88. Crandall S.H. Rotating and reciprocating machines //Handbook of Engineering Mechanics, -New York: McGraw-Hill. 1962. P. 58.1 -58.24.

89. Kollmann F.G. Experimentelle und theoretische unterschungen über die kritischen drehzalen flussigkeitsgefullter hohlkorper // Forschung aufdemGebiete des Ingenieurwesens, @4 1962. V. 28 P. 115-123,147-153.

90. Капица П.JI. Устойчивость и переход через критические обороты быстровращающихся роторов при наличии трения. //ЖТФ. 1939. Т. 9. Вып. 2. С. 124-147.

91. Десятое В.Т. Экспериментальное исследование устойчивостивращательного движения тел с жидким наполнением. // Динамика космических аппаратов и исследование космического пространства. М.: Машиностроение, 1986. С. 254-261.

92. Zhu Changsheng Experimental investigation into the instability of an over-hung rigid centrifuge rotor partially filled with fluid I I Transactions of ASME. Journal of Vibration and Acoustics. 2002. V. 124. P. 483-491.

93. Ehrich F.F. The influence of trapped fluids on high speed rotor vibration I I Transactions of ASME. Journal of Engineering for Industry. Series B. 1967. V. 89. P. 806-812.

94. Wolf JA., Jr. Whirl dynamics of a rotor partially filled with liquid // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics, 1968. V. 35: N. 4. P: 676-682.

95. Daich I.M., Bar I.L. Oscillations of a rotating solid body with a cavity * partly filled with viscous fluid. I I Prikladnaya Mekhanika. 1973. V. 9.N.5. P. 64-69.

96. Saito S., Someya T. Self-excited vibration of a rotating hollow shaft partially filled with liquid // Transactions of ASME. Journal of Mechanical Design. 1980. V. 102(1). P.185-192.

97. Lichtenberg G. Vibrations of an elastically mounted spinning' rotor partially filed with liquid // Transactions of ASME. Journal of Applied-Mechanics, 1982. V. 104 P. 389-396.

98. Holm-Christensen O., Trager К. A note of instability caused by liquids motions. // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics, 1991. V.58P. 804-811.

99. Болотин B.B. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. -М.: Физматгиз. 1961. 339с.

100. Дерендяев Н.В. Об устойчивости стационарного вращения цилиндра, заполненного стратифицированной вязкой несжимаемой жидкостью // Докл. АН СССР. 1983. Т.212. № 5. С. 1073 1076.

101. Дерендяев Н.В., Сеняткин В.А. Условия устойчивости стационарного вращения цилиндра, заполненного слоисто-неоднородной вязкой несжимаемой жидкостью. // Журнал прикладной математики и технической физики. 1984. №1. С.34-44.

102. Дерендяев Н.В., Сандалов В.М. Устойчивость стационарноговращения ротора, заполненного стратифицированной вязкой несжимаемой жидкостью // Машиноведение. 1986. №1. G. 19-26.

103. Соболев C.JT. Об одной новой задаче математической физики //Известия АН СССР. Сер. мат. 1954. Т. 18. Вып. 1. С. 3-50.

104. Арнольд В.И., Хесин Б.А. Топологические методы в гидродинамике. -М.: МЦНМО. 2007. 392с.

105. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. -М.: Наука, 1986. 736 с.

106. Petters A. S. The effect of a floating mat on water waves. //Comm. Pure and Appl. Math. (1950) 3, No 4. P. 319—354.

107. Rhodes-Robinson P.P. Note on the effect of surface tension on water waves at an inertial surface. //J. Fluid Mech. (1982). V. 125 , pp 375-377.

108. Mandal B.N. Water waves generated by disturbance at an inertial surface // Appl. Sci. Res, 1988. V.5. № 1. P. 67-73.

109. Габов С.А., Свешников А.Г. Математические задачи динамики флоти-рующей жидкости //Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал, 28. -М.: ВИНИТИ, 1990. С. 3-86.

110. Габов С.А., Симаков С.Т. Линейные задачи динамики флотирующей жидкости. Теоремы существования //Матем. заметки, 1990. Т. 48. №5. С. 47-54.

111. Schoenberg М., Censor D. Elastic waves in rotating media // Quarterly of Applied Mathematics. 1973. Vol. 31 (1). P. 115-125. ^

112. Hamisch H. Die Ausbreitung elastischer Wellen im rotierenden Medium // Acustica. 1990. Vol. 72 (4). P. 275-279.

113. Григорьевский В.И., Гуляев Ю.В., Козлов А.И. Акустические волны во вращающейся упругой среде //Акуст. ж. 2000. Т. 46. № 2. С. 282284.

114. Clarke N.S., Burdess J.S. Rayleigh waves on a rotating surface// ASME J. Appl. Mech. 1994. V. 61. P. 724-726.

115. Destrade M. Rayleigh waves in anisotropic crystals rotating about the nor-mal to a symme-try plane //ASME J. Appl. Mech. 2004. Vol. 71. N 4 P. 516-520.

116. Ting T.C.T. Surface waves in a rotating anisotropic elastic half-space //Wave Motion. 2004. Vol. 40. P. 329-346.

117. Fang H., Yang J., Jiang Q. Rotation perturbed surface acoustic waves propagating in piezo-electric crystals //Int. J. Solids Struct. 2000. Vol. 37. P.4933-4947.

118. Bryan G.H. On the beats in the vibrations of a revolving cylinder or bell.Proc. Cambridge Philos. Soc. Math. Phys. Sei., 189(h V. 7. P. 101-111.

119. Журавлев В.Ф., Климов Д.M. О динамических эффектах в упругом вращающемся кольце // Изв. РАН. МТТ. 1983. №5. С. 17-23.

120. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Волновой твердотельный гироскоп. М.: Наука, 1985, 126 с.

121. Журавлев В.Ф. Теоретические основы волнового твердотельного гироскопа// Изв. РАН. МТТ. 1993. №3. С. 6-19.

122. Shuvalov A.b. On the theory of plane inhomogeneous waves in anisotropic elastic media //Wave Motion. 2001. V. 34. P.401-429.

123. Barnett, D. M., Lothe J. Synthesis of the Sextic and the Integral Formalism for Dislocations, Green's Function; and- Surface Wave (Rayleigh Wave) Solutions in Anisotropic Elastic Solids. //Phys. Norv., 1973. Vol. 7. P. 13-19.

124. Гантмахер Ф.Р." Теория матриц. M.: Физматлит, 2004. 560c.

125. Ерофеев В.И., Солдатов H.H. Акустические волны во вращающемся идеальном газе // Акуст. ж. 2000. Т. 46. № 5. С. 642-647.

126. Erofeyev V.l., Soldatov I.N. The influence of rotation on acoustical waves in a compressible fluid // Acoustics Letters. 2000. Vol. 23. № 9. P: 191192.

127. Дубовик В. А., Пашков E.H. Стационарное вращение неуравновешенного ротора с жидкостным автобалансирующим устройством при действии сил внешнего трения// Известия* Томского -политехнического университета. 2006. Т. 309: № 4. С. 145-147.

128. Дерендяев Н.В., Сеняткин В.А., Сандалов В.М. Исследование устойчивости режима стационарного вращения, ротора вокруг вертикальной оси на гидродинамических подшипниках // Прикладная механика. 1987. Т.23. №12. С. 95-104.

129. Дерендяев Н.В. Неконсервативные задачи динамики роторных систем, содержащих жидкость. Дис. . доктора ф.-м. наук. Нижний Новгород, 1999.

130. Неймарк Ю.И. Устойчивость линеаризованных систем. -JL: ЖВВИА. 1949.141с.

131. Neimark J. Mathematical Models in Natural Science & Engineering, Springer Verlag. 2003. 570p.

132. Дерендяев H.B., Солдатов H.H. О влиянии магнитного поля на плоскопараллельное движение проводящей жидкости // Прикладная механика и технологии машиностроения. Сб. научн. трудов. -Н.Новгород: Интелсервис, 1997. Часть 3. С. 34-39.

133. Дерендяев Н.В., Солдатов И.Н. Об устойчивости и автоколебаниях ротора, содержащего проводящую жидкость, в магнитном поле // ПМТФ, 2004. № 1. С. 12-22.

134. Баутин H.H. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. М.: Наука, 1984. 176с.

135. Баутин H.H., Шилъников Л.П. Дополнение в книге Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980 - 368 с.

136. Дерендяев Н.В. Бифуркация Андронова-Хопфа в динамике роторной» системы, содержащей жидкость // Доклады .АН СССР, 1988. Т.301. №4. С. 798-801.

137. Дерендяев Н.В., Сандалов В.М., Солдатов И.Н. О рождении периодического движения в задаче об устойчивости стационарного вращения .вертикального ротора на гидродинамических подшипниках//Машиноведение, 1988. № 4. С. 98-103.

138. Андронов A.A., Леонтович Е.А. Некоторые случаи зависимости предельных циклов от параметра // Уч. зап. Горьковского ун-та. 1939: Вып.6. С. 3-24 ( В книге: Андронов A.A. Собрание трудов. М.: Изд-во АН СССР, 1956 - с. 188-216).

139. Андронов A.A., Любина А.Г. Применение теории Пуанкаре о "точках бифуркации" и "смене устойчивости" к простейшим автоколебательным системам // ЖЭТФ. 1935 - т. 5 - Вып. 3-4. - с. 296-309.

140. Hopf Е. Abzweigung einer periodischen Losung von einer stazionaren Lozung eines Differential systems// Ber. Math.-Phys/ Sachsische Academie der Wissensehaften Leipzig 1942 - Vol 94 - pp.1-22.

141. Дерендяев H.B., Сеняткин B.A. Исследование устойчивости стационарного вращения осесимметричного тела с закрепленной точкой, содержащего неоднородную вязкую несжимаемую жидкость //Устойчивость движения. Новосибирск, 1985. С. 119-122.

142. Сеняткин В.А. Неустойчивость роторных систем, обусловленная содержащейся,в них вязкой жидкостью. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Горький, 1985.

143. Дерендяев Н.В., Солдатов И.Н. Винтовая факторизация однородных МГД-уравнений // Испытания материалов и конструкций. Сб. научн. тр. вып. 3. Н. Новгород: 2002. С. 62-73.

144. Дерендяев Н.В., Солдатов И.Н. Резонансное возбуждение инерционных волн и неустойчивость роторных систем с жидкостью// Труды VIII Всероссийской конф. «Нелинейные колебаниямеханических систем», Н.Новгород, 2008. Т. 2. С. 318-329.

145. Досаев М.З., Самсонов В. А. Об устойчивости вращения тяжелого тела с вязким наполнителем // ПММ. 2002. Т.66. Вып.З. С. 427-433.

146. Самсонов В.А. Очерки о механике. Некоторые задачи, явления и парадоксы. -М.: Наука, 1980. 64с.

147. Журавлев В.Ф. О разложении нелинейных обобщенных сил на потенциальную и циркулярную компоненты //Доклады Академии наук, 2007. Т. 414, № 5. С. 622-624.

148. Ерофеев В.К, Солдатов И.Н. О волнах вращения в линейной микрополярной жидкости //Прикладная механика и технологии машиностроения. Сб. научн. трудов. —Н. Новгород: Интелсервис, 1997. Часть 3. С.40-43.

149. Брановер Г.Г., Цынобер А.Б. Магнитная гидродинамика несжимаемых сред. М.: Наука, 1970. 380с.153: Потапов А.И., Солдатов И.Н. Квазиплоский пучок, нелинейных продольных волн в пластине // Акустический журнал. 1984. Т.30. Вып.6. С. 819-822.

150. Потапов А.И., Солдатов И.Н. Квазиоптическое приближение для* пучка сдвиговых волн в нелинейной наследственной среде // ПМТФ, 1986. №1. С. 144-147

151. Дерендяев Н.В., Солдатов И.Н. О движении точечной массы вдоль колеблющейся струны // ПММ, 1997. Т. 61. Вып. 4. С. 703-706.

152. Плесский В.П., Тен Ю.А Сдвиговые поверхностные акустические волны на границе упругого тела с вязкой жидкостью, газом //Письма в ЖТФ. 1984. Т10 №5. С. 296-300.

153. Петросян Л.Г. Некоторые вопросы^ механики жидкости с несимметричным тензором напряжений. Ереван: Изд-во ЕГУ, 1984. 307с.

154. Ерофеев В.И., Солдатов И.Н. Сдвиговая поверхностная волна на границе раздела упругого полупространства и проводящей вязкой жидкости в магнитном поле // Дефектоскопия, 1997. № 5. С. 37-43

155. Ерофеев В.И., Солдатов И.Н Поверхностная сдвиговая волна на границе упругого тела с микрополярной жидкостью //ПММ, 1999. Т. 63. Вып. 2. С. 289-294.

156. Ерофеев В И., Клюева Н.В., Солдатов И.Н Использование спектров нормальных и тангенциальных смещений волн Лэмба в задачах выделения одномодовой составляющей // Дефектоскопия. 2002. № 12. С. 34-42.

157. Ерофеев В.И., Клюева Н.В., Солдатов И.Н. Волны в слое,возбуждаемые периодической тангенциальной нагрузкой // Прикладная механика и техническая физика, 2005. Т. 46. № 4. С. 109 -115.

158. Ерофеев В.И., Клюева КВ., Солдатов И.Н. Использование матричного метода при исследовании волновых процессов в слоистых конструкциях // Волновые задачи' механики, Н. Новгород: Интелсервис, 2005. С. 38-46

159. Ерофеев В.И., Клюева КВ., Солдатов И.Н. О распределении мощности между распространяющимися модами в слое // Прикладная механика и технологии машиностроения, вып. 1 (8). Н. Новгород: Интелсервис, 2005. С. 29-37.

160. Солдатов И.Н. Влияние вращения на объемные упругие волны //Вестник ННГУ. Сер. «Механика». 2006. Вып. 1 (7). С. 20-26.

161. Ерофеев В.И., Клюева Н.В., Солдатов И.Н. О соотношениях обобщенной ортогональности в некоторых задачах эластодинамики // Прикладная механика и технологии машиностроения, вып. 1 (9). Н. Новгород: Интелсервис, 2006. С. 34-41.

162. Ерофеев В.И., Клюева Н.В., Солдатов И.Н. Распространение волн во вращающемся упругом полупространстве // Вычислительная механика сплошных сред. 2008. Т. 1. № 1. С. 39-47.

163. Ерофеев В.И., Клюева Н.В., Солдатов И.Н. Групповая скорость и резонансные свойства упругого слоя // Прикладная механика и технологии машиностроения, вып. 1 (9). Н. Новгород: Интелсервис, 2006. С. 42-48.

164. Дерендяев Н.В., Солдатов И.Н. Волновые движения в слое вращающейся вязкой несжимаемой жидкости //Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2007. № 1. С. 151-155.

165. Солдатов И.Н. Гироскопические волны во вращающемся слое жидкости //Прикладная механика и техническая физика. 2008. Т. 49. № 2. С. 15-20.