Неконсервативные задачи динамики роторных систем, содержащих жидкость тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

Предисловие.

1. Введение

2. О методе исследования устойчивости в малом режима стационарного вращения роторных систем с жидкостью 17 2.1. Свойства симметрии уравнений и круговые движения.

2.2. Движение вязкой несжимаемой жидкости, содержат щейся в полости тела, в случае круговой прецессии

2.2.1. Теорема о движении жидкости в полости пре-цессирующего ротора (плоская модель)

2.2.2. Теорема о движении жидкости в прецессирующем роторе с закрепленной тонкой

2.2.3. Теорема о движении смазывающей жидкости гидродинамического подшипника в случае круговой прецессии ротора.

2.3. Схема метода исследования устойчивости.

3. Устойчивость стационарного вращения цилиндра, частично заполненного вязкой несжимаемой жидкостью

3.1. Постановка задачи.

3.2. Свойства симметрии и круговая прецессия.

3.3. Гидродинамическая задача.

3.4. Вычисление гидродинамической силы.

3.5. Построение области устойчивости стационарного вращения в плоскости параметров закрепления оси цилиндра

Динамика роторных систем с жидкостью представляет интерес как часть общей динамики тел с полостями, содержащими жидкость. Вместе с тем, конкретные результаты исследования динамики таких систем представляют и самостоятельный интерес, в частности при разработке и создании различных турбомалшн (сепарал-торы, жидкостные гироскопы, центрифуги, турбины, охлаждаемые жидкостью изнутри и т.п.)

В диссертационной работе рассматриваются роторные системы, содержащие вязкую жидкость и обладающие приводом, поддерживающим постоянной угловую скорость вращения ротора. Несмотря на широкое распространение таких систем их динамика недостаточно изучена ввиду трудностей, сопряженных с необходимостью учитывать совместное действие таких факторов как быстрое вращение, вязкость жидкости, наличие свободной поверхности или стратификации жидкости, а также внешние неконсервативные силы.

В диссертации систематически проводится оригинальный подход к исследованию устойчивости режима стационарного вращения неконсервативных роторных систем, содержащих жидкость. Этот подход, развиваемый в последние годы, оказывается весьма эффективным при решении различных задач об устойчивости. Суть его исходит из того, что значения параметров системы принадлежат бифуркационному множеству лишь в том случае, когда существует возмущенное движение в виде круговой прецессии ротора с жидкостью. Фактическое построение решения, описывающего круговую прецессию малого радиуса позволяет не только построить бифуркационное множество в пространстве параметров, но и выделить "опасные" и "безопасные" участки границы области устойчивости, т.е. такие участки, при выходе через которые из области устойчивости происходит соответственно докритическая и закритическая бифуркация Андронова-Хопфа.

В первой главе диссертации содержится краткий исторический обзор. Указано место рассматриваемых задач (направления исследования) в общей динамике тел с полостями, содержащими жидкость. Приведена характерная из рассматриваемых задач, ее история и новый подход к решению.

Во второй главе излагается метод исследования устойчивости в малом режима стационарного вращения роторных систем с жидкостью. С использованием свойств симметрии расматриваемых систем доказываются две теоремы. Первая из них - критерий устойчивости, связывает изменение степени неустойчивости в системе с условиями осуществимости возмущенного движения в виде круговой прецессии. Для нахождения этих условий решается задача о движении вязкой несжимаемой жидкости в роторной системе в случае круговой прецессии. Решение последней задачи существенно упрощает вторая теорема, согласно которой в случае круговой прецессии движение жидкости не зависит от времени в специально выбранной прецессирующей системе отсчета.

В третьей главе рассматривается задача об устойчивости стационарного вращения цилиндра, частично заполненного вязкой несжимаемой жидкостью. Излагается решение этой задачи в случае вязкоупругого закрепления оси цилиндра, при условии постоянства его угловой скорости. В рамках плоской модели строится область устойчивости в малом стационарного врвщения цилиндра в пространстве параметров закрепления его оси. Обсуждаются различные механические эффекты, сопряженные с возникновением неустойчивости. Проводится сопоставление с известными экспериментальными результатами.

В четвертой главе рассматривается задача об устойчивости стационарного вращения цилиндра, содержащего стратифицированную жидкость. Излагается решение задачи, отличающейся от сформулированной в предыдущей главе тем, что цилиндр целиком заполнен слоисто-неоднородной вязкой несжимаемой жидкостью. Расслоение жидкости, происходящее в центробежном поле при вращении цилиндра, делает возможным возникновение внутренних волн и неустойчивости вращения. Строится область устойчивости в малом режима стационарного вращения цилиндра в пространстве параметров закрепления его оси. Обсуждаются механические эффекты, вызванные резонансным возбуждением внутренних волн во вращающейся жидкости в случае, когда цилиндр совершает круговую прецессию.

В пятой главе рассматривается устойчивость стационарного враг щения роторной системы, имеющей закрепленную точку и полость с жидкостью. Излагается решение задачи об устойчивости стационарного вращения осесимметричного тела с цилиндрической полостью, частично заполненной вязкой несжимаемой жидкостью, закрепленного в точке на оси симметрии. Предполагается, что проекция угловой скорости тела на ось стационарного вращения поддерживается постоянной, а при отклонениях оси симметрии от оси стационарного вращения на тело действует момент внешних вязкоупругих сил. В отличие от задач, рассмотренных в предыдущих главах, возмущенное движение жидкости в полости рассматривается как трехмерное. Излагается способ решения гидродинамической задачи во вращающемся цилиндре, совершающем коническую прецессию, основанный на разложении по винтовым частным решениям уравнений Навье-Стокса, - способ винтовой факторизации. Строится область устойчивости в малом режима стационарного вращения тела в пространстве параметров.

В шестой главе проводится исследование устойчивости режима стационарного вращения вертикального ротора на гидродинамических подшипниках. Излагается решение задачи об устойчивости в малом режима стационарного вращения вертикального ротора на гидродинамических подшипниках (ГДП). Предполагается, что возмущенное движение ротора и смазывающей жидкости описывается уравнениями плоской модели, а угловая скорость вращения ротора поддерживается постоянной. При некоторых предположениях о внешней силе, приложенной к системе "ротор-подшипники" строятся разбиения плоскости параметров внешней силы на области с различной степенью неустойчивости и выделяются области устойчивости. Эта задача также как и все предыдущие решается методом, предложенным во второй главе. При этом задача о движении смазывающей жидкости в случае, когда вращающийся ротор совершает круговую прецессию малого радиуса, решается на основе уравнений Навье-Стокса. Обсуждаются эффекты, вызванные резонансным возбуждением волны Шлихтинга в смазочном слое. Проводится сопоставление полученных результатов с известными экспериментальными данными.

Седьмая глава диссертации посвящена бифуркации Андронова-Хопфа в динамике роторных систем с жидкостью. Рассматривается задача о поведении режима стационарного вращения роторной системы с жидкостью вблизи границы области устойчивости в пространстве параметров. С учетом нелинейности характеристики внешней вязкоупругой силы, действующей на ротор, строится периодическое движение типа круговой прецессии, рождающейся от режима стационарного вращения при пересечении границы области устойчивости. Для задач, сформулированных в третьей и шестой главах выделяются "опасные" и "безопасные" участки границы области устойчивости режима стационарного вращения. Проводится сопоставление полученных результатов с экспериментальными.

Основная цель диссертационной работы состоит в том, чтобы: '

1) предложить и разработать адекватный подход к исследованию устойчивости режимов стационарного вращения роторных систем, содержащих жидкость;

2) найти условия устойчивости режима стационарного вращения и исследовать характер возникновения автоколебаний для типичных роторных систем, содержащих жидкость, на основе базовых моделей.

3) теоретически обнаружить новые динамические эффекты и изучить возможности их практического использования.

Научная новизна результатов диссертационной работы, прежде всего, в том, что в ней предложен и разработан современный подход к исследованию устойчивости режимов стационарного враг щения роторных систем, содержащих жидкость. В основе подхода построение условий осуществимости возмущенного движения типа круговой прецессии ротора с жидкостью. Эти условия определяют границы областей с различной степенью неустойчивости в пространстве параметров рассматриваемой системы. Исследование условий осуществимости круговой прецессии малого радиуса позволяет также выделить "опасные" и "безопасные" участки границы области устойчивости, т.е. такие участки, при выходе через которые из области устойчивости происходит соответственно докрити-ческая и закритическая бифуркация Андронова-Хопфа. Предложенный в диссертации подход оказался весьма эффективным при исследовании устойчивости режимов стационарного вращения типичных роторных систем на основе базовых моделей. В рамках этого подхода возможно построение всей границы области устойчивости. Он позволил установить, что при возникновении неустойчивости режима стационарного вращения важно соотношение между внутренним трением в жидкости, содержащейся в роторе И внешним демпфированием в опорах оси ротора. Выполненное в работе исследование условий возникновения автоколебаний типа круговой прецессии показало, что они могут возникать "мягко" или "жестко", главным образом, в зависимости от упругих свойств опор оси ротора. Если жесткость опор возрастает с перемещением оси, то автоколебания возникают "мягко", в противном случае - "жестко". Среди других полученных результатов, например, эффект "старения устойчивости". Он состоит в том, что устойчивый режим стационарного вращения ротора, содержащего первоначально однородную вязкую несжимаемую жидкость, может стать неустойчивым по истечении времени, достаточного для расслоения жидкости на компоненты в центробежном поле.

Практическое значение результатов, полученных в диссертации в том, что они могут быть использовании при проектировании и конструкторской разработке различных турбомапшн: турбин, охлаждаемых жидкостью изнутри, сепараторов, ультрацентрифуг, гироскопов с жидкостным наполнением и т.п. Они позволяют теоретически находить области значений параметров конкретных устройств, при которых режим стационарного вращения устойчив, а также предупреждать неожиданную потерю устойчивости вследствие её "старения''. Предложенный диссертантом подход к исследованию устойчивости оказался эффективен в задачах динамики вертикального ротора на гидродинамических подшипниках (ГДП). Результаты исследования устойчивости режима стационарного вращения вертикального ротора на ГДП были использованы в ОКБ машиностроения (Н.Новгород) при разработке новой техники.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались: - на V Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Алма-Ата, 1981); на II Всесоюзном съезде по теории машин и механизмов (Одесса, 1982); на VI Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986);

- на IV Четаевской Всесоюзной конференции по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением (Звенигород, 1982); на двух Всесоюзных конференциях по нелинейным колебаниям механических систем (Горький, 1987; Н.Новгород, 1990); на V Всесоюзной Четаевской конференции "Аналитическая механика., устойчивость и управление движением (Казань, 1987);

- на Всесоюзной школе молодых учёных "Комплексные методы в математической физике" (Донецк, 1984); на Всесоюзной школе "Методы аналитической механики" (Красновидово, 1985);

-на VIII Казахстанской межвузовской конференции по математике и механике (Алма-Ата, 1984); на IV Республиканском совещании по проблемам динамики твёрдого тела (Донецк, 1984);

- на семинаре по аналитической механике под руководством В.В.Румянцева (Москва, 1980); на итоговых научных конференциях Нижегородского университета (1980-1990).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [7], [13], [16], [25], [73], [74], [97], [98].

Структура и объем диссертации. Работа состоит из предисловия и сеМи глав. Диссертация содержит 129 страниц текста, 29 рисунков. Список литературы включает 102 наименования.

Заключение.

В диссертационной работе получены следующие основные результаты.

1). Предложен и разработан новый подход к исследованию устойчивости режимов стационарного вращения для класса роторных систем, содержащих вязкую жидкость.

2). С использованием предложенного подхода на основе базовых моделей найдены условия устойчивости режимов стационарного вращения типичных роторных систем, содержащих жидкость.

3). Исследован характер возникновения автоколебаний на границе области устойчивости режима стационарного вращения в пространстве параметров для вертикального ротора на гидродинамических подшипниках и вращающегося цилиндра, частично заполненного вязкой несжимаемой жидкостью. В этих системах установлена бифуркация Андронова-Хопфа.

4). В числе обнаруженных динамических эффектов "старение устойчивости" режима стационарного вращения ротора, содержащего жидкость. Если ротор, первоначально заполненный однородной жидкостью типа эмульсии, вращается устойчиво, то по прошествии достаточно длительного времени может произойти расслоение жидкости в центробежном поле. Условия устойчивости режима стационарного вращения ротора, заполненного стратифицированной жидкостью - иные; в результате режим стационарного вращения по прошествии достаточно длительного времени может потерять устойчивость.

1. Епишев J1.B. О динамической неустойчивости вращающегося ротора при неполном наливе жидкости. //Научн. докл. высш. школы. Машиностроение и приборостроение.- 1959, N 2, с.66-74.

2. Румянцев В.В. Об устойчивости установившихся движений твердых тел с полостями, наполненными жидкостью.//ПММ.-1962.-Т.26, вып.6.-С.977-991.

3. Saito S., Someya Т. Self-excited vibration of a rotating hollow shaft partially filled with liquid. //Trans. ASME. J. Mech. Design. -1980.- V.102, No. 1. -P. 185- 192.

4. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Ч. 1. M.: Изд-во иностр. лит. -1949. -799 с.

5. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз. -1961. -339 с.

6. Неймарк Ю.И. Устойчивость линеаризованных систем. Л.: ЛКВВИА. -1949. -141 с.

7. Дерендяев Н.В., Сандалов В.М. Об устойчивости стационарного вращения цилиндра, частично заполненного вязкой несжимаемой жидкостью. //ПММ.- 1982.-Т.46, вып. 4. -С.578-586.

8. Малашенко C.B. Некоторые экспериментальные исследования, относящиеся к вращению тел. //ПМТФ. -1960, N 3. -С.205-211.

9. Справочник по специальным функциям /Под ред. М. Абрамовича, И. Стиган. -М.: Наука. -1979.

10. Моисеев H.H., Румянцев B.B. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. -М.: Наука. -1965. 440 с.

11. И. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика твердого тела с полостями, заполненными жидкостью. -М.: Машиностроение, 1968.-532 с.

12. Bauer Н.Р. Schwingungen nichtmischbarer Flüssigkeiten in rotierenden Kreis-zylinder. //ZAMM. -Bd. 60. -N 12. -1980. -S. 27-32.

13. Дерендяев H.B., Сеняткин В.А. Условия устойчивости стационарного вращения цилиндра, заполненного слоисто-неоднородной вязкой несжимаемой жидкостью. //ПМТФ. -1984, N 1. -С.34-44.

14. Соболев C.JI. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью. //ПМТФ. -1960, N 3. -С.20-55.

15. Stewartson К. On the stability of a spining top containig liquid. //J. Fluid Mech. -1959. -Vol. 5. -P.577-592.

16. Дерендяев H.B. Об устойчивости стационарного вращения цилиндра, заполненного стратифицированной вязкой несжимаемой жидкостью. //Докл. АН СССР. -1083. -272, N 5. -С. 10731076.

17. Жуковский Н.Е., Чаплыгин С.А. О трении смазочного слоя между шипом и подшипником. //Н.Е. Жуковский. Собр. соч. -М.;Л.: Гостехиздат, 1949. -Т.З. -С.133-151.

18. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Наука,, 1965. -703 с.

19. Колебания машин, конструкций и их элементов.-М.: Машиностроение, 1980. -Т.З. -544 с. -(Вибрации в технике: Справочник в 3-х т. /Под ред. Ф.М. Диментберга, КС. Колесникова.)

20. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика.: В 2-х ч. -М.: Физматгиз, 1963. -4.2. -727 с.

21. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. -М.: Наука, 1968.

22. Вибрации в технике. Справочник. -М.: Машиностроение, 1979. -Т.2. -351 с.

23. Капица П.JI. Устойчивость и переход через критические обороты быстровращающихся роторов при наличии трения. //ЖТФ. -1939. -Т.9, вып.2. -С.124-147.

24. Андронов A.A., Леонтович Е.А. Некоторые случаи зависимости предельных циклов от параметра. //Ученые записки Горьковского ун-та. -1939, вып.6. -С.3-24.

25. Дерендяев Н.В., Сеняткин В.А., Сандалов В.М. Исследование устойчивости режима стационарного вращения ротора вокруг вертикальной оси на гидродинамических подшипниках. /¡UM. -1987. -Т.23, N 12. -С.95-104.

26. Андронов А.А, Любина А.Г. Применение теории Пуанкаре о "точках бифуркаций" и "смене устойчивости" к простейшим автоколебательным системам. //ЖЭТФ, -1935. -Т.5, вып.3-4. -С.296-309.

27. Баутин H.H. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. -М.; Л.: Гостехиздат, 1949. -176 с.

28. Кувыкин В.И., Сеняткин В.А. Устойчивость стационарного вращения проводящего шара в осесимметричном поле. //ЖТФ. -1984. -Т.52, N 12.

29. Четаев Н.Г. Об устойчивости вращательных движений твердого тела, полость которого наполнена идеальной жидкостью. //ПММ. -1957. -Т.21, вып.2.

30. Румянцев В.В. Устойчивость вращения твердого тела с эллипсоидальной полостью, наполненной жидкостью. //ПММ. -1957. -Т.21, вЫп.6.

31. Румянцев В.В. Методы Ляпунова в исследовании устойчивости движений твердых тел с эллипсоидальной полостью, наполненной жидкостью. //Изв АН СССР, Механика и машиностроение. -1963, -N 6.

32. Рубановский В.Н., Степанов С.Я. О теореме Рауса и методе Четаева построения функций Ляпунова из интегралов уравнений движения. //ПММ. -1969. -Т.ЗЗ, вып.5.

33. Моисеев H.H. О двух маятниках, наполненных жидкостью. //ПММ. -1952. -Т.14, вып.6.

34. Колесников H.H. Об устойчивости свободного твердого тела с полостью, заполненной несжимаемой вязкой жидкостью. //ПММ.-1962.-Т.26, вып.4.

35. Юдович В.И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости. Изд-во Ростовского ун-та. -1984.

36. Румянцев В.В. Об устойчивости вращательных движений твердого тела с жидким наполнением. //Сб. науч. трудов. Вопросы прикладной математики и механики. -1956, N 2.

37. Румянцев В.В. Об устойчивости вращения волчка с полостью, заполненной вязкой жидкостью. //ПММ. -1960. -Т.24, N 4. -С.603-609.

38. Румянцев В.В'., Озиранер A.C. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. -М.: Наука. -1987.-256 с.

39. Жак C.B. Об устойчивости некоторых частных случаев движения симметричного гироскопа, содержащего жидкие массы. //ПММ. -1958. -T.22, N 2. -С.245-249.

40. Цельман Ф.Х. Об устойчивости вращения твердого тела с эллипсоидальной полостью, наполненной жидкостью. //ПММ. -1962. -Т.26, N 6. -С.1128-1130.

41. Карапетян A.B. Об устойчивости регулярной прецессии симметричного твердого тела с эллипсоидальной полостью. //Вестник Моск. ун-та. Мат., Мех. -1972, N 6. -С.122-125.

42. Савченко А.Я., Игнатов A. JI. Исследование устойчивости равномерных вращений симметричного волчка с жидким заполнением. //ПММ. -1974. -Т.10, N 8. -С.107-111.

43. Игнатьев А.О., Марголис С.М., Савченко А.Я. Исследование областей устойчивости равномерных вращений асимметричного волчка с жидким заполнением. //Механика тв. тела. Респ. межвед. сб. -Киев. -1977, N 9. -С.71-81.

44. Игнатьев А.О. К достаточным условиям устойчивости осесим-метричного волчка с жидким заполнением. //Механика тв. тела. Респ. межвед. сб. -Киев. -1977, N 9. -С.82-86.

45. Parks P.S. Stability of liquid-filled spinning spheroids via Liapunov's second method. //Trans. ASME. J. Appl. Mech. -1976. -Vol.46, N 2. -P.259-262.

46. Румянцев B.B. Об устойчивости движения твердого тела с жидкостью, обладающей поверхностным натяжением. //ПММ. -1964. -Т.28, вып. 4. -С.746-753.

47. Пожарицкий Г.К. Задача минимума в задаче об устойчивости равновесия твердого тела с частичным жидким заполнением. //ПММ. -1962. -Т.26, N 4, -С.593-605.

48. Пожарицкий Г.К., Румянцев В.В. Задача минимума в вопросе об устойчивости движения твердого тела с полостью, заполненной жидкостью. //ПММ. -1963. -Т.27, N 1. -С.11-26.

49. Самсонов В.А. О задаче минимума функционала при исследовании устойчивости движения тела с жидким наполнением. //ПММ. -1967. -Т.31, вып. 3. -С.523-526.

50. Самсонов В.А. О некоторых задачах минимума в теории устойчивости движения тела с жидкостью. //Матем. методы в динамике косм, аппаратов. Сб. науч. Трудов. Вып. 6. -М.: Вычис. центр АН СССР. -1968. -С.250-268.

51. Рубановский В.Н., Румянцев В.В. Об устойчивости сложных механических систем. //Успехи механики (ПНР). -1979. -Т.2, N 2. -С.53-79.

52. Рубановский В.Н. Об устойчивости некоторых движений твердого тела с упругими стержнями и жидкостью, //ПММ. -1972. -Т.36, вып. 1.-С.43-59.

53. Черноусько Ф. JI. Движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость. -М.: Изд-во ВЦАН СССР. -1968. -230 с.

54. Ишлинский А.Ю., Стороженко В.А., Темченко М.Е. Вращение твердого тела на струне и смежные задачи. М.: Наука. -1991.330 с.

55. Сретенский JI.H. Колебание жидкости в подвижном сосуде. //Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. -1951, N 10. -С.1483-1494.

56. Моисеев H.H. О двух .маятниках, наполненных жидкостью. //ПММ. -1952. -Т.16, N 6. -С.671-678.

57. Крейн С.Г., Моисеев H.H. О колебаниях твердого тела, содержащего жидкость со свободной поверхностью. //ПММ. -1957. -Т.21, N 2, -С.169-174.

58. Ишлинский А.Ю., Темченко М.Е. О малых колебаниях вертикальной оси волчка, имеющего полость, целиком наполненную идеальной несжимаемой жидкостью. //ПМТФ. -1960. -N 3.

59. Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи. -М.: Наука, -1989. 416 с.

60. Малашенко C.B., Темченко М.Е. Об одном методе экспериментального исследования устойчивости движения волчка, внутри которого имеется полость, наполненная жидкостью. //ПМТФ. -1960. -N 3. -С.76-80.

61. Десятов В.Т. Экспериментальное исследование устойчивости вращательного движения тел с жидким наполнением. //Динамика космических аппаратов и исследование космического пространства. -М.: Машиностроение, 1986. -С. 254-261.

62. Куликов В.П., Самсонов В;А. О малых колебаниях около тривиального вращения на струне твердого тела с полостью, частично заполненной жидкостью. //МТТ. -1985. -N 4. -С. 33-37.

63. Мархашов JI.M. Колебания и устойчивость твердой оболочки с идеальной жидкостью на упругих опорах (к теории карусельного гидроканала). //ПМТФ. -1962, N 6. -С. 81-84.

64. Кумок Ю.З., Новгородцева JI.3. О малых свободных колебаниях вращающегося цилиндра, частично заполненного жидкостью. //ПМ. -1965. -Т.1, вып. 12. -С.87-94.

65. Дайч И.М. Неконсервативная задача о колебаниях твердого тела с полостью, частично заполненной идеальной жидкостью. //ПМ. -1971. -T.7, вып.7. -С.44-48.

66. Дайч И.М. О динамических воздействиях ротативных машин с жидким заполнением на строительные конструкции. -Строительная механика и расчет сооружений, N 4, 1967.

67. Дайч И.М, Бар И. Л. Колебания вращающегося твердого тела с полостью, частично заполненной вязкой жидкостью. //ПМ. -1973. -Т.9, вып.5. -С.64-69.

68. Дайч И.М., Каждан Л.С. Колебания вращающегося твердого тела с полостью, частично заполненной произвольной вязкой жидкостью. //ПМ. -1973. -Т.9, вып.8. -С.96-100.

69. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. -М.: Физматгиз, 1960.

70. Вольф (мл.). Динамика прецессии ротора, частично заполненного жидкостью. //Прикладная механика. Труды ASME, т.35, серия Ё, N 4, 1968.

71. Лихтенберг Г. Колебания упруго закрепленного вращающегося ротора, частично заполненного жидкостью. //Технология и конструирование машиностроения. Труды ASME. -1982. -Т. 104, N 2, -С.79-86.

72. Crandall S.H. Rotaiting and Reciprocating Machines. /Handbook of Engieering Mechanics. Ed. Flugge W. -McGraw-Hill. -New York. -1962. -P 58.1-58.24.

73. Дерендяев H.B., Сеняткин В.А. Исследование устойчивости стационарного вращения осесимметричного тела с закрепленной точкой, содержащего неоднородную вязкую несжимаемую жидкость. //Устойчивость движения. -Новосибирск, 1985. -С.119-122.

74. Дерендяев Н.В., Сандалов В.М. Устойчивость стационарного вращения ротора, заполненного стратифицированной вязкой несжимаемой жидкостью. //Машиноведение. -1986, N 1. -С. 19-26.

75. Сандалов В.М. Динамическая неустойчивость турбомашин, обусловленная радиальными зазорами в подшипниках скольжения и жидкостным наполнением полостей роторов. Диссертация. -Горький,1982.

76. Сеняткин В.А, Неустойчивость роторных систем, обусловленная содержащейся в них вязкой жидкостью. Диссертация. -Горький,1985.

77. Солдатов И.Н. Устойчивость и автоколебания роторных систем, содержащих проводящую вязкую жидкость в магнитном поле. Диссертация. -Нижний Новгород, 1994.

78. Sommerfeld А. Zeitschrift für Mathematik und Physik. -1904.

79. Распространение задачи Чаплыгина С.А. и Жуковского Н.Е. о динамике смазки на случай подвижного шипа. Научно-техн. отчет. У03688, 1984.

80. Бургвиц А.Г., Завьялов Г.А. Устойчивость движения валов в подшипниках жидкостного трения. М.: Машиностроение. -1964.

81. Лунд. Устойчивость и критические скорости с учетом колебаний гибкого ротора на жидкостных подшипниках. -Конструирование и технология машиностроения. N 2, М.: Мир, 1974.

82. Позняк Э.Л. Влияние масляного слоя в подшипниках скольжения на устойчивость и вынужденные колебания роторов. -В кн.: Колебания валов на масляном слое. М.: Изд-во АН СССР, 1968.

83. Филиппов А.П., Шульженко Н.Г. Устойчивость колебаний нагруженного неуравновешенного ротора в коротких опорах жидкостного трения. //Машиноведение, N 4, 1973.

84. Сергеев С.И. Динамика криогенных турбомашин с подшипниками скольжения. М.: Машиностроение, 1973.

85. Левитан С.П. Устойчивость движения высокоскоростного ротора в подшипниках скольжения. //Изв. вузов, сер. Машиностроение, N 7, 1970.

86. Позняк Э.Л. Колебания роторов на упруго-массивных опорах с учетом динамических свойств масляной пленки в подшипниках скольжения. //Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, N 4, 1960.

87. Тондл А. Динамика роторов турбогенераторов. -Л.: Энергия, 1971.

88. Hagg A.C. The influence of oil-film journal bearings on the stability of rotating machines. //J. of Appl. Mech., September, 1946.

89. Лунд. Об устойчивости упругого ротора в радиальных подшипниках На упругих опорах с демпфированием. //ПМ. -1965, N 4.

90. Олимпиев В.И. Собственные и вынужденные колебания роторов на подшипниках скольжения. //Труды ЦКТИ им. И.И.Ползунова. -Вып.44, 1964.

91. Yukio Hori. A theory of oilwhip. //J. of Appl. Mech., June, 1959.

92. Someya T. Stabilität einer in zylindrischen Gleitlagern laufenten, unwunchtfreien Welle. //Ingenieur-Archiv, 33. Band, 2. Heft, 1963.

93. Newkirk B.L. Varieties of shaft disturbances due to fluid film in journal bearings. //Trans, of the ASME, July, 1956.

94. Newkirk B.L., Lewis J.F. Oil film whirl — an investigation of disturbances due to oil films in journal bearings. //Trans, of the ASME, January, 1956.

95. Pinkus O. Experimental investigation of resonant whip. //Trans, of the ASME, July, 1956.

96. Tondl A. Einige Ergebnisse ezperimenteller Untersuchungen der Zapfenbewegung in Lagern. //Revue de mecanique appliquel, tome VI, N 1, 1961.

97. Дерендяев H.B., Сандалов B.M., Солдатов И.Н. О рождении периодического движения в задаче об устойчивости стационарного вращения вертикального ротора на гидродинамических подшипниках. //Машиноведение. -1988, N 4. -С.98-103.

98. Дерендяев Н.В. Бифуркация Андронов-Хопфа в динамике роторной системы, содержащей жидкость. //ДАН СССР. -1988. -Т.301, N 4. С.798-801.

99. Дерендяев Н.В., Солдатов И.Н. О движении точечной массы вдоль колеблющейся струны. //ПММ. -1997. -Т.61, вып.4. -С.703-706.129

100. Дерендяев Н.В., Сеняткин В.А. Вычисление моментов гидродинамических сил, действующих на тело, совершающее коническую прецессию. //Отчет по НИР N ГР 0186. 0115703, Горький, 1987, 40с.

101. Дерендяев Н.В., Сеняткин В.А. Устойчивость стационарного вращения вертикального ротора на гидродинамических подшипниках. // Горький, 1985. - Деп. в ВИНИТИ, N 1958-85.

102. Дерендяев Н.В., Сандалов В.М., Солдатов И.Н. Поведение режима стационарного вращения вертикального ротора на гидродинамических подшипниках вблизи границы области устойчивости. // Горький, 1985. -34с. - Деп. в ВНТИЦ, N ГР 018. 50042442.