Численное исследование движения тела с полостью, частично или полностью заполненной вязкой жидкостью тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

БОТАЛОВ Андрей Юрьевич

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА С ПОЛОСТЬЮ, ЧАСТИЧНО ИЛИ ПОЛНОСТЬЮ ЗАПОЛНЕННОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005555037

13 НОЯ 2014

Пермь-2014

005555037

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Тюменский государственный университет» на кафедре математического моделирования н в Тюменском филиале Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Родионов Сергей Павлович

Официальные оппоненты: Любимова Татьяна Петровна,

доктор физико-математических наук, профессор, Институт механики сплошных сред УрО РАН, заведующая лабораторией вычислительной гидродинамики.

Псрминов Анатолий Викторович.

кандидат физико-математических наук, доцент. Пермский национальный исследовательский политехнический университет, допет кафедры общей физики

Ведущая организации: НИИ прикладной математики и механики Томскою 1осударственного университета

Зашита диссертации состоимся "23" декабря 2014 г. в 15-15 на заседании диссертационного совета Д 212.189.06 при Пермском государственном национальном исследовательском университете, зал заседаний Ученого совета (6К990. г. Пермь, ГСП, ул. Букирева, 15).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного национального исследовательского университета. Электронная версия текста диссертации и автореферата доступны на сайте ПГНИУ по адресу: http://www.psu ru.

Автореферат разослан « » ОС T$6Pß 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

к. ф.-м. «.. доцент В. Г. Гшеа

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Задачи динамики тел с полостями, частично или полностью заполненными жидкостью вот уже более ста лет привлекают внимание исследователей, представляя как практический, так и теоретический интерес. Являясь классическими задачами механики и находясь на стыке таких дисциплин, как теоретическая механика и гидродинамика, задачи движения тел с жидкостью в полостях имеют огромное практическое значение. Практическое приложение данных задач связано с динамикой летательных аппаратов, имеющих на борту запас жидкого топлива, теорией движения кораблей и подводных лодок. В последнее время много внимания уделяется разработке эффективных демпферов колебаний различных высотных конструкций, которые представляют собой сосуды, частично заполненные жидкостью с частотой первой моды, согласующейся с собственной частотой колебания конструкции.

За более чем сто лет исследований задачи движения тел с полостями, частично или полностью заполненными жидкостью, получили решение для некоторых частных случаев моделей жидкого наполнителя и моделей движения тела. Так, было показано, что влияние идеальной жидкости, наполняющей полость, сказывается на движении тела посредством добавочного тензора инерции. Кроме того, учет влияния жидкости удалось свести к дополнительным членам в уравнении движения тела в случаях сильновязкой жидкости и слабовязкой при условии малости амплитуды движения тела. В задачах разработки гасителей колебаний основное внимание уделяется экспериментальному исследованию и численному исследованию приближенных уравнений динамики волнового движения жидкости (уравнения мелкой воды, уравнения потенциального движения). Однако в настоящее время почти не исследовано движение тел с полостями, частично или полностью заполненными вязкой жидкостью, в полной нелинейной постановке, и мало данных по течению жидкости, возникающем в движущихся полостях.

Цели работы:

■ исследовать влияние жидкого наполнителя на движение вокруг неподвижной оси или неподвижной точки тела с полостями различной формы под действием силы тяжести;

" провести анализ влияния полости, частично заполненной жидкостью, на диссипацию энергии колебаний твердого тела.

Научная новизна:

■ численно исследовано движение тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью, вокруг неподвижной оси и неподвижной точки в полной нелинейной постановке;

■ исследована зависимость скорости затухания плоских колебаний замкнутых сосудов в форме квадрата и эллипса от изменяющихся в широком диапазоне параметров системы;

■ установлены траектории движения кубической полости вокруг неподвижной точки для различных значений начальной гироскопической угловой скорости;

■ проведен сравнительный анализ влияния различных конфигураций вставок (вертикальные и горизонтальные перегородки, вертикальные решетки) на скорость диссипации энергии колебаний тела с полостью, частично заполненной жидкостью;

■ получены картины течения жидкости в колеблющихся полостях различной формы, полностью заполненных жидкостью, и в прямоугольной полости, частично заполненной жидкостью и имеющей различные конфигурации вставок.

Научная и практическая значимость. Результаты исследований важны для понимания влияния оказываемого жидким наполнителем на движение тел с полостями, частично или полностью заполненными вязкой жидкостью. Результаты могут быть использованы при проектировании вязких демпферов для гашения нежелательных колебаний различных систем, а также при разработке быстро вращающихся роторов и гироскопов, имеющих жидкий наполнитель.

Достоверность результатов работы обеспечивается использованием общих законов и уравнений механики сплошной среды, применением хорошо апробированных численных методов, контролем получаемого решения с помощью аналитических интегралов, сравнением численного решения с известными асимптотическими решениями и проверкой сеточной сходимости численного решения.

На защиту выносятся результаты численного моделирования движения замкнутого сосуда, заполненного вязкой жидкостью, вокруг неподвижной оси и точки и поступательного движения тела с полостью, частично заполненной жидкостью:

■ значения параметров задачи, при которых скорость диссипации энергии колебательного движения системы «тело с жидкостью» максимальна;

■ структура вихревого течения жидкости в колеблющихся замкнутых сосудах с формой, отличной от цилиндрической, и открытых сосудах, имеющих различные конфигурации вставок;

■ вывод о виде траекторий движения замкнутого кубического сосуда вокруг неподвижной точки при различных значениях начальной гироскопической угловой скорости;

■ вывод о том, что полость со вставкой в виде двух вертикальных решеток с относительной высотой пластин, зависящей от амплитуды колебания тела, максимально увеличивает скорость диссипации энергии колебаний тела по сравнению с рассмотренными конфигурациями вставок.

Личный вклад автора заключается в написании программы для расчета задач динамики жидкости со свободной поверхностью с криволинейной геометрией стенок полости, проведении всех расчетов и анализе полученных результатов. Постановка задачи и обсуждение полученных результатов выполнены совместно с научным руководителем.

Публикации и апробация работы. По теме диссертации опубликовано 9 работ. Из них 3 статьи в журналах из перечня ВАК, 3 статьи в трудах международных и российских конференций, 3 - тезисы докладов конференций. Результаты работы докладывались на следующих международных и всероссийских конференциях и семинарах: 54-ая Всероссийская молодёжная научная конференция с международным участием МФТИ «Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе», Москва-Долгопрудный-Жуковский, 2011; X Международная конференция молодых ученых «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики», Новосибирск, 2012; Международная научная школа молодых учёных «Волны и вихри в сложных средах», Москва, 2012; семинар ТюмГУ под руководством проф. A.A. Вакулина, Тюмень, 2012; семинар НИИ механики МГУ под руководством проф. В.П. Стулова, Москва, 2012; семинар ТюмФ ИТПМ СО РАН под руководством проф. A.A. Гу-байдуллина, Тюмень, 2012, 2014; Пермский городской гидродинамический семинар им. Г.З. Гершуни и Е.М. Жуховицкого, Пермь, 2014.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы, содержащего 123 наименования. Полный объем диссертации составляет 135 страниц, включает 58 рисунков и 3 таблицы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность проблемы, определены цели исследования, отмечены научная новизна и практическая значимость работы. Приведено краткое содержание работы.

В первой главе проводится анализ литературных источников с точки зрения современного состояния проблем динамики твердого тела с жидким наполнителем. Приведен обзор работ по движению тел с полостями, как полностью заполненными вязкой или идеальной жидкостью, так и частично заполненными.

Во второй главе приведена общая постановка задачи исследования: рассматривается тело с полостью, частично или полностью заполненной вязкой несжимаемой жидкостью, могущее двигаться произвольным образом. Течение предполагается ламинарным, вязкость постоянной.

В пункте 2.1 приведена полная система уравнений в векторном виде, описывающая движение тела с полостью, частично или полностью заполненной вязкой жидкостью. Данная система содержит уравнения неразрывности и Навье-Стокса движения жидкости, записанные в неинер-циальной системе отсчета, связанной с телом, и уравнения Эйлера и Пуассона движения твердого тела. Также приведены граничные условия: условия прилипания или непротекания и идеального скольжения на стенках полости, кинематические и динамические условия на свободной поверхности.

В пункте 2.2 приведена система уравнений в размерном и безразмерном виде для случая плоских колебаний замкнутого сосуда в форме квадрата и эллипса, полностью заполненного жидкостью, вокруг неподвижной оси.

В пункте 2.3 приведена система уравнений в размерном и безразмерном виде для случая движения замкнутого кубического сосуда с жидкостью вокруг неподвижной точки.

В пункте 2.4 представлены уравнения движения тела с полостью квадратной или эллиптической формы, полностью заполненной сильно или слабовязкой жидкостью. Данные уравнения получены Ф.Л. Черно-усько и в работе применяются для проверки численного решения. Приведены параметры расчетной сетки и значения параметров задачи. Для решения уравнений Навье-Стокса использован метод контрольного объема применительно к модифицированному алгоритму SIMPLER, особенностью которого является отказ от использования поправок скорости. Данный алгоритм реализован на структурированных криволинейных

сетках. Для решения уравнений движения сосуда использовался BDF метод второго порядка точности.

В пункте 2.5 приведена система уравнений, описывающая поступательные колебания тела с полостью прямоугольной формы, частично заполненной жидкостью. Рассматриваются свободные и вынужденные колебания тела. Рассматриваемая полость содержит различные вставки в виде вертикальных и горизонтальных перегородок и вертикальных решеток, полностью погруженных в жидкость. Также в данном пункте приведены значения, которые принимают параметры данной задачи.

В третьей главе представлена численная методика решения задач динамики вязкой жидкости со свободной поверхностью. Численное моделирование данных задач проводилось методом контрольного объема с использованием Эйлеро-Лагранжева (ALE) подхода который подразумевает решение уравнений гидродинамики в системе координат, меняющейся в соответствии с движением свободной поверхности, и модифицированного алгоритма SIMPLER.

В пункте 3.1 приведена запись разностных уравнений искомой системы на криволинейной подвижной расчетной сетке. В качестве зависимых переменных выбраны контравариантные компоненты вектора скорости и давление.

В пункте 3.2 представлена запись граничных условий для рассматриваемых зависимых переменных в криволинейной системе координат. Для аппроксимации граничных условий используется квадратичный профиль зависимой переменной между расчетными точками, что дает второй порядок аппроксимации граничных условий. Для аппроксимации производной по времени в кинематическом условии используется метод Рунге-Кухты четвертого порядка точности.

В пункте 3.3 приведено описание метода построения структурированной ортогональной к свободной поверхности расчетной сетки для заданных границ области. Для построения расчетной сетки применен метод решения эллиптических уравнений. Для обеспечения ортогональности к границе использован подход Дирихле, который заключается в перемещении внутренних точек сетки при фиксированных граничных точках.

В пункте 3.4 приведены результаты тестирования численной методики на ряде задач со свободной границей, имеющих аналитическое или численное решение, или по которым имеются экспериментальные данные.

В четвертой главе представлены результаты численного моделирования плоских колебаний невесомого замкнутого сосуда в форме квадра-

та и эллипса, заполненного вязкой жидкостью, вокруг неподвижной оси. В качестве параметров задачи выступают: Rea - параметр, обратно пропорциональный вязкости жидкости, <р0 - угол начального отклонения и a/b ~ отношение малой полуоси к большой (для формы эллипса). Значения параметра Rea изменяются в диапазоне: 7 < Ren < 5700, отношение полуосей: 0.25 < ^ < 1. В качестве угла начального отклонения взято:

л п Зтс (Р° = 4'2'Т'

В пункте 4.1 рассмотрен случай сосуда квадратной формы. Был проведен анализ течения жидкости, возникающего при колебании сосуда. На рис. 1 изображены изолинии функции тока в фиксированный момент времени. Следствием периодичности движения маятника является перемена направления вращения жидкости в полости на противоположное каждые полпериода. Данное изменение направления вращения сопровождается возникновением вторичных вихрей, оказывающих существенное влияние на скорость диссипации энергии колебаний маятника.

При увеличении значения параметра Ren картина течения усложняется. Образующиеся вторичные вихри продолжают оказывать влияние на течение продолжительное время, взаимодействуя с новыми, возникающими вихрями, что приводит к появлению высших гармоник в изменении компонент вектора скорости с течением времени.

Наличие диссипативных сил в жидкости приводит к постепенному уменьшению амплитуды колебания маятника. Характерное время затухания, которое определим как время, за которое амплитуда уменьшается в 1000 раз по сравнению с начальной, зависит от значения Rea немонотонно, что следует из рассмотрения предельных случаев большого и малого значений Rea. В работе найдено значение Rea, при котором характерное время затухания минимально. Оно зависит от величины начального отклоне-

0.2 0.4 0.6 0.8 Рис. 1. Изолинии функции тока при Яеп = 15ит = 0.5, (р0 = Ъпи

ния: Неп. = 13 ± 0.5 при

"ТП1П — г

<Ро = 7ф ^ты = 14 ± °-5 при ф0 - я/2 и 11еатЫ = 15 ±

0.5 при (¡о0 = 3я/4-

На рис. 2 представлен график зависимости характерного времени затухания от значения параметра При изменении

<р0 качественное поведение зависимости не меняется.

В пункте 4.2 рассмотрен случай сосуда в форме эллипса. В данном случае зависимость характерного времени затухания от Яеп качественно похожа на случай квадратной формы сосуда: она также является немонотонной, причем значение Яеа, при котором характерное время затухания минимально, при ср0 — 11 ¡2 и 1 ~ 0-5 равно 10. Однако время затухания сосуда в форме эллипса больше времени затухания квадратного сосуда. Стоит отметить, что при увеличении значения параметра ~ до единицы, характерное время затухания колебаний уменьшается. Это связано с тем, при увеличении - растет масса

жидкости, вовлекаемая в движение.

Течение жидкости в эллиптической полости качественно похоже на течение жидкости в квадратной полости за исключением того, что вторичные вихри возникают в областях симметрично смещенных в сторону движения маятника относительно линии х = 0. При - = 1 (случай полости в форме кругового цилиндра) вторичные вихревые течения отсутствуют. Из данного факта следует, что смена направления вращения жидкости в полости, совершающей вращательные колебания, сопровождается вторичными вихревыми структурами только при отклонении формы полости от кругового цилиндра.

В пятой главе исследовано пространственное движение кубического замкнутого сосуда, полностью заполненного жидкостью, вокруг неподвижной точки под действием силы тяжести. В качестве параметров задачи выступают: Яеа - параметр, обратно пропорциональный вязкости жидкости, со2 - начальная гироскопическая угловая скорость

200

150

100

б 1000 2000 3000 4000 5000 Рис. 2. Зависимость времени затухания от параметра Яеа при (р0 = п^

и Yx> Yy> Yz ~ косинусы углов между подвижными главными и вертикальной осями. Значения параметров задавались следующими:

Rea = 100,у* = -J%,Yy = 0,yz = - ^

0 < ш7п < 150.

'л/3'

В пункте 5.1 рассмотрен случай ш2(} = 0. При данном значении ш2о движение сосуда представляет собой плоские колебания с уменьшающейся амплитудой. Здесь применимы качественные выводы, сделанные в главе 4.

В пункте 5.2 рассмотрен случай ш20 > 0. В данном случае движение полости становится трехмерным и стремится к регулярной прецессии. На рис. За изображена траектория движения центра масс сосуда при малом значении со20 (бо2о = 10). В этом случае сосуд совершает затухающие колебания с поворотом плоскости колебаний. По мере уменьшения амплитуды колебания сосуда характер его движения изменяется на регулярную прецессию - вращение вокруг вертикальной оси, причем радиус вращения тем больше, чем больше значение ш2о, при этом угол нутации стремится к постоянному значению.

Рис. За. Траектория центра масс при coZQ = 10 (т = 0. .50)

Рис. 36. Траектория центра масс при 6JZQ = 150 (т — 0. .2.5)

На рис. 36 показана траектория движения центра масс сосуда при большом значении ojzq (coZo = 150). В данном случае сосуд вращается вокруг оси, двигающейся вокруг начальной оси вращения, с амплитудой движения, увеличивающейся тем медленнее, чем больше значение ш

'го-

Это объясняется тем, что при больших угловых скоростях силы инерции значительно преобладают над гравитационными, что приводит к тому, что движение сосуда можно рассматривать как свободное, а свободное

движение тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью, происходит так, чтобы главная ось инерции с максимальным значением момента инерции совпала с осью начального вращения. Стоит отметить, что время перехода движения в режим регулярной прецессии зависит немонотонно от ¿о2о и принимает минимальное значение в случае ш20 = 45 + 5.

Таким образом, переход движения тела с жидким наполнителем к регулярной прецессии при малых значениях со2о происходит через колебания с поворотом плоскости колебаний, а при больших значениях ш2о -через вращение вокруг оси, близкой к оси начального вращения.

В шестой главе представлены результаты численного моделирования свободных и вынужденных поступательных колебаний тела с прямоугольной полостью, частично заполненной жидкостью. Заданными параметрами задачи являются: отношение массы жидкости к массе тела (ц = 0.01), коэффициент затухания колебаний тела (5 = 0.01), высота начального уровня жидкости (1г — 0.5), отношение собственных частот колебаний тела к первой моде колебаний жидкости (П = 1). Варьируемыми параметрами задачи являются: для свободных колебаний - отношение величины начального отклонения к длине полости (0.001 < £ < 0.01), для вынужденных колебаний - отношение частоты внешнего воздействия к собственной частоте колебаний тела (0.9 < /? < 1.1).

В пункте 6.1 представлены картины течения жидкости в колеблющейся полости, имеющей различные конфигурации вставок. Наличие в полости вставок приводит к возникновению интенсивного вихревого течения, что интенсифицирует процесс диссипации энергии колебания жидкости и приводит к тому, что смена направления течения жидкости сопровождается серией вихрей. Так, на рис. 4 изображены изолинии функции тока для случая размещения в полости двух решеток. На этом рисунке видны вихревые структуры, генерируемые решеткой, и два крупных вихря, вращающиеся в противоположных направлениях, в которые сворачивается поток жидкости при смене направления течения. Также в данном пункте показано, что увеличение расстояния между перегород-

У 9 0Л0031 8 ОЛОО!» 7 0 Д0006 6 0 Д0002 5 <1СОООО 4 -О ЙОООЗ 3 -0 ДООС'8 2 -0Й0012 1 -01)0016

-

/ / / СОТ 6 <** \V-ft - \ 1 ■ - 11 й > А > 1 г ь у У , . , ,

Рис. 4. Картина течения жидкости в колеблющейся полости

ками приводит к уменьшению интенсивности вихреобразования и уменьшению скорости диссипации энергии движения жидкости.

В пункте 6.2 представлены результаты моделирования случая свободных колебаний тела с полостью. Показано, что при заданных значениях параметров наличие полости с жидкостью приводит к сильным биениям колебаний тела, что связано с тем, что энергия колебаний тела, переходящая в жидкость, не успевает дисси-пировать и переходит обратно в времени: 1 - одна перегородка (й = 0.7), Движение тела. Размещение в 2 — две перегородки (й = 0.7), 3 - две полости различных вставок в горизонтальные перегородки (с* = 0.7), виде вертикальных перегородок 4 - две решетки, 5 - три решетки - высота перегородок), гори-

зонтальных перегородок (с1 -высота расположения) и вертикальных решеток приводит к интенсификации диссипативных процессов в жидкости. Как видно из рис. 5, на котором показано изменение полной энергии системы, нормированной на начальное значение, при размещении в полости двух решеток скорость диссипации энергии колебаний тела является максимальной среди рассмотренных случаев.

При изменении величины начального отклонения тела меняется относительная высота пластин решеток (5П), размещенных в полости, при которых диссипация энергии максимальна. Расчеты показали, что при £ = 0.001 быстрее всего уменьшается энергия колебаний в случае размещения двух решеток с5„ ~ 0.7. При увеличении е относительная высота пластин, при которой энергия диссипирует максимально быстро уменьшается: 5П ^ 0.5 при е - 0.005, 5П « 0.45 при £ - 0.01.

В пункте 6.3 представлены результаты численного моделирования случая вынужденных колебаний тела с полостью с жидкостью. На рис. 6 показана зависимость амплитуды колебания тела в установившемся режиме от относительной частоты внешнего воздействия при размещении в полости одной решетки (5П = 0.5; пунктирная линия) и двух решеток (с1 = 0.9; сплошная линия). Когда вставки слабо интенсифицируют дис-

0 20 40 60 80 100 Рис. 5. Зависимость полной энергии от

сипативные процессы в жидкости имеется два ярко выраженных максимума, иначе - один. Таким образом, изменение геометрии вставок приводит к изменению резонансных частот колебаний тела. Также в данном пункте показано, что диссипация энергии колебаний тела максимальна среди рассмотренных случаев при размещении в полости двух вертикальных решеток (5П = 0.4). В этом случае максимум и среднеквадратиче-ское отклонение от среднего значения амплитуды колебаний тела минимальны по сравнению с другими случаями.

В заключении к диссертации подведены итоги работы и сформулированы выводы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ РАБОТЫ

■ Жидкость в полости оказывает демпфирующее воздействие на тело, изменяя характер его движения вокруг неподвижной точки. При а>20 > 0 предельное движение - регулярная прецессия с радиусом вращения, увеличивающимся с ростом ш20. Переход к предельному движению происходит при малых ш2о (ш2о < 80) через колебания с поворотом плоскости колебаний, при больших ш20 (о)го £ 80) - через вращение вокруг оси, колеблющейся около начальной оси вращения с амплитудой, увеличивающейся тем медленнее, чем больше значение ш2о.

■ Скорость диссипации энергии движения тела немонотонно зависит от параметров системы «тело с жидкостью». При плоских колебаниях сосуда, полностью заполненного жидкостью, характерное время затухания минимально при Иеп ~ 10. При пространственном движении вращающегося кубического сосуда характерное время выхода на стационарный режим минимально при ш2о =45.

■ Для поступательных колебаний тела с полостью, частично заполненной жидкостью, наиболее быстрая диссипация энергии среди рас-

колебаний тела от относительной частоты внешнего воздействия

смотренных случаев происходит в случае расположения в полости двух вертикальных решеток. При этом относительная высота пластин решеток, при которой полость с жидкостью диссипирует энергию наиболее быстро, зависит от амплитуды колебания тела, что позволяет путем изменения угла наклона пластин подстраивать демпфер под конкретную амплитуду колебания тела.

■ При плоских колебаниях замкнутого сосуда формой, отличной от кругового цилиндра (например в основании квадрат или эллипс), и при поступательных колебаниях открытого сосуда, имеющего вставки, смена направления течения жидкости сопровождается возникновением вихревого течения, существенно влияющем на скорость диссипации энергии.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ

1. Боталов А. Ю., Зубков П.Т. Колебания маятника с полостью, полностью заполненной вязкой несжимаемой жидкостью // Тепловые процессы в технике. 2012. Т.4. № 10. С. 449-454.

2. Боталов А. Ю. Движение полости, заполненной вязкой жидкостью, вокруг неподвижной точки // В мире научных открытий. Математика, механика, информатика. 2013. № 2.1(38). С. 9-23.

3. Боталов А. Ю., Родионов С.П. Вынужденные колебания твердого тела с полостью, частично заполненной жидкостью // Вестник Тюменского государственного университета. Физико-математические науки. Информатика. 2014. №7. С. 120-126.

4. Боталов А. Ю., Зубков П.Т. Численное исследование затухающих колебаний полости, содержащей вязкую жидкость // Труды 54-й научной конференции МФТИ «Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе». Аэрофизика и космические исследование. (10-30 ноября 2011). Москва. 2011. С.192-194.

5. Боталов А. Ю. Численное исследование влияния жидкого наполнителя на гироскопическое движение тела // Труды 55-й научной конференции МФТИ «Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе». Управление и прикладная математика. Т. 2. (19-25 ноября 2012). Москва. 2012. С. 41-43.

6. Боталов А. Ю., Родионов С.П. Численное исследование колебаний тела с полостью, частично заполненной вязкой жидкостью // Труды

56-й научной конференции МФТИ «Актуальные проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе». Управление и прикладная математика. (25-30 ноября 2013). Москва. 2013. Т.2. С. 53-54.

7. Боталов А. Ю. Численное исследование свободного движения тела с полостью, полностью заполненной вязкой жидкостью // Тезисы докладов XXI Всероссийской школы-конференции молодых учёных и студентов «Математическое моделирование в естественных науках». Пермь. 2012. С. 22-24.

8. Боталов А. Ю. Численное исследование движения тела с полостью, полностью заполненной вязкой жидкостью // Тезисы докладов X Международной конференции молодых ученых: «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики» (13-16 июня 2012). Новосибирск. 2012. С.23-24.

9. Боталов А. Ю. Движение структуры с одной степенью свободы с полостью, частично заполненной жидкостью // Тезисы докладов XXII Всероссийской школа-конференции молодых ученых и студентов: «Математическое моделирование в естественных науках» (2-5 октября 2013). Пермь. 2013. С. 26-28.

Подписано в печать 20.10.2014. Тираж 100 экз. Объем 1,0 печ. л. Формат 60x84/16. Заказ 661.

Издательство Тюменского государственного университета 625003, г. Тюмень, ул. Семакоич, 10. Тел./факс (3452) 45-56-60; 46-27-32 E-mail: izdatelstvo®)utmn.ru