Исследование пространственного движения спутника-гиростата как системы твердых тел с полостями, заполненными жидкостью тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правах рукописи

□□3449323

АЛЕКСЕЕВ Алексей Владимирович

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА-ГИРОСТАТА КАК СИСТЕМЫ ТВЕРДЫХ ТЕЛ С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ЖИДКОСТЬЮ

Специальность 01.02.01 - Теоретическая механика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 6 ОПТ 2008

Самара 2008

003449323

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С П Королева» (СГАУ)

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущее предприятие

доктор технических наук, профессор Асланов Владимир Степанович

доктор технических наук, профессор Кудюров Лев Владимирович

доктор технических наук, профессор Тимбай Иван Александрович

Федеральное государственное унитарное предприятие «Государственный научно-производственный ракетно-космический центр «ЦСКБ -Прогресс» (г. Самара)

Защита состоится « 17 » октября 2008 г, в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212 215 07 при Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С П. Королева» по адресу 443086, г. Самара, Московское шоссе, 34, корпус За

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СГАУ

Автореферат разослан « 16 » сентября 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, А/

профессор //¿/Зг.-'^.с^-у ив Белоконов

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Применение систем управления, высокоточных приборов и чувствительного оборудования требует учета влияния на движение космических аппаратов (КА) малых возмущений Подобные возмущения, в том числе, могут быть вызваны влиянием жидкого топлива, находящегося на борту КА с жидкостными ракетными двигателями, а также другими жидкостными компонентами агрегатов Влияние жидкости на поведение КА обусловлено рядом причин Так в частично заполненном баке имеются колебания свободной поверхности жидкости, из-за которых происходит относительное перемещение центра масс аппарата, а также изменение других инерционно-массовых характеристик Эта проблема может решаться с помощью поддавливающих мембран, которые исключают свободную поверхность Другим возмущающим фактором является само внутреннее движение жидкости в полости, оказывающее влияние на кинетический момент корпуса КА, а также изменяющее другие параметры движения в связи с наличием внутреннего вязкого трения Возможны и другие факторы В работе проводится исследование движения КА с жидкостью, целиком заполняющей полость Рассматривается пространственное движение КА с жидкостью большой и малой вязкости, при этом КА моделируется как одним твердым телом, так и системой тел Для исследования движения КА в качестве механической модели принимается твердое тело с полостью, целиком заполненной вязкой жидкостью Движение КА относительно центра масс подобно движению физического маятника, поэтому большое внимание в настоящей работе уделяется изучению динамики плоских колебаний твердого тела с жидкостью В работе исследуется движение гиростата с жидкостью, представляющего собой систему, состоящую из основного твердого тела и маховиков, использующихся для гироскопической стабилизации пространственного положения Рассматриваемый гиростат состоит из четырех твердых тел несущего тела с жидкостью и трех роторов, вращающихся вокруг осей, совпадающих с главными осями инерции системы

Н Е Жуковский, а позднее Н Н Моисеев и В В Румянцев изучали движение твердого тела с идеальной жидкостью, целиком заполняющей полость внутри твердого тела Из их результатов следует, что при определенных условиях движение твердого тела с полостью, заполненной жидкостью, аналогично движению твердого тела с системой роторов, создающих постоянный относительный кинетический момент Таким образом, движение твердого тела с идеальной жидкостью внутри полости эквивалентно движению гиростата В этой связи в диссертационной работе уделяется внимание исследованию пространственного движения трехроторного гиростата с медленно вращающимися роторами

Проблеме исследования движения систем тел с жидкостью в научной литературе уделяется большое внимание ввиду ее практической важности и возможности непосредственного применения результатов исследования для анализа динамики соосных КА и спутников-гиростатов Основополагающие результаты, связанные с анализом движения тел с жидким наполнением, а также движения тел внутри жидкости, получены известными отечественными и зарубежными учеными, в том числе, Жуковским Н Е, Моисеевым Н Н, Румянцевым В В , Черноусько Ф JT , Рабиновичем Б И, Наримановым Г.С и Докучаевым Л В , A Clebsch, G Halphen, F Kotter, R Liouville, H Minkowski, V A Stekloff, H Weber и многими другими К настоящему времени рассмотрено много задач, касающихся вопросов пространственного движения твердых тел с жидкостью Однако остается недостаточно исследованной проблема динамики движения систем твердых тел с полостями, заполненными жидкостью, при наличии внутреннего взаимодействия между телами Поэтому, актуальность настоящей работы определяется получением математических моделей и аналитических зависимостей, описывающих режимы пространственного движения широкого класса КА, содержащих маховики и баки с жидкостью, а также связана с дальнейшим развитием задач исследования движения систем твердых тел с жидкостью

Целью работы является разработка математических моделей движения твердых тел и систем твердых тел, содержащих полости, заполненные жидкостью различной вязкости, и получение аналитических зависимостей, позволяющих проводить анализ движения КА с вращающимися элементами с учетом движения жидкости внутри полости

К основным методам исследования, используемым в настоящей работе, следует отнести известные методы теоретической механики, механики жидкости и газа, теории колебаний, асимптотические и численные методы решения дифференциальных уравнений

Научная новизна работы состоит в следующем:

1 Построена математическая модель движения и получены аналитические зависимости для параметров плоских колебаний физического маятника с жидкостью малой вязкости

2 Разработаны и сопоставлены математические модели пространственного движения трехроторного гиростата с полостью с жидкостью, твердого тела с внутренним сферическим демпфером и трехроторного гиростата с вязким трением между элементами

3 Получены асимптотические решения для параметров свободного пространственного движения трехроторного гиростата с полостью с жидкостью и гиростата с медленно вращающимися роторами

4 Решена задача Дарбу, состоящая в определении угловых параметров движения по известным компонентам угловой скорости

Практическая ценность работы заключается в возможности непосредственного использования полученных математических моделей и аналитических зависимостей для описания движения КА вокруг центра масс и синтеза на их основе начальных условий, инерционно-массовых, кинематических и других параметров КА

Апробация результатов, полученных в настоящей диссертационной работе, осуществлялась в рамках следующих научных конференций. VII Всероссийская молодежная научная конференция «Королевские чтения», г Самара (октябрь 2003 г), XII, XIII и XIV международная молодежная научная конференция «Туполевские чтения», г Казань (ноябрь 2004, 2005, 2006 гг), IX международная на>чная конференция «Решетневские чтения», г Красноярск (ноябрь 2005 г), XXXII и XXXIII международная молодежная научная конференция «Гагаринские чтения», г Москва (апрель 2006 и 2007 гг), XII и XIII Всероссийские научно-технические семинары но управлению движением и навигации летательных аппаратов, г Самара (июнь 2005 и 2007 гг)

Результаты исследований вошли в научные отчеты по следующим проектам Российского фонда фундаментальных исследований 1 Проект РФФИ № 06-01-00355 «Возмущенное движение систем твердых тел постоянного и переменного состава», руководитель д т н, профессор Асланов ВС, 2006-2008 гг, 2 Проект РФФИ № 06-08-00325 «Динамические процессы, движение и управление составными космическими аппаратами переменной массы», руководитель ктн, доцент Дорошин А В , 2006-2007гг

Достоверность результатов обеспечивается корректностью математической постановки задачи, строгостью применяемых методов решения, а также соответствием полученных аналитических результатов с результатами численных расчетов

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 работ, в том числе 3 статьи - в ведущих рецензируемых журналах и изданиях, определенных высшей аттестационной комиссией Личный вклад.

1 Разработка математической модели движения и получение приближенных аналитических зависимостей для параметров плоских колебаний физического маятника с жидкостью малой вязкости

2 Построение математической модели пространственного движения гиреглага с лочостыо, заполненной жидкостью большой вязкости, и ее приведение к другим известным математическим моделям

3 Приближенное аналитическое решение уравнений движения i рехроторного гиростата с жидкостью и трехроторного гиростата с медленно вращающимися роторами, а также решение задачи Дарбу.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 81 наименования и четырех приложений Общий объем диссертации составляет 120 страниц

На защиту выносятся следующие результаты: 1 Математическая модель движения и приближенные аналитические зависимости для параметров плоского движения физического маятника с жидкостью малой вязкости

2. Математическая модель движения гиростата с полостью, заполненной жидкостью большой вязкости

3 Приближенное аналитическое решение динамических уравнений движения однороторного гиростата с полостью, целиком заполненной жидкостью большой вязкости

4, Приближенное аналитическое решение дифференциальных уравнений движения трехроторного гиростата с медленно вращающимися роторами, в том числе и решение задачи Дарбу

Содержание работы.

Во введении приводится характеристика решаемой в диссертации задачи, и обосновывается актуальность темы диссертации, а также формулируется цель диссертации Описываются результаты, выносимые на защиту, и сведения об апробации работы и публикациях Кратко излагается содержание глав диссертации

В первой главе дается пример КА, использующего жидкое топливо, осуществляется обзор полученных к настоящему времени результатов отечественных и зарубежных авторов, и описывается круг зада", рассматриваемых в диссертационной работе, а именно

1 Исследование плоских колебаний маятника и КА с жидкостью малой вязкости,

2 Построение и сопоставление математических моделей пространственного движения гиростата с полостью, целиком заполненной жидкостью, твердою тела с внутренним сферическим демпфером и гиростата с вязким трением в рабочих элементах,

3 Определение асимптотических зависимостей для параметров движения гиростата, в том числе для решения задачи Дарбу

Далее описываются используемые в диссертации методы, включая классические методы теоретической механики и механики жидкости и газа В частности отмечается использование теоремы об изменении кинетического момента и уравнений Лагранжа второго рода, классической теория потенциального течения в приложении к внутренним задачам гидродинамики и известных асимптотических методов, таких ьак метод Пуанкаре, Ван-дер-Поля и усреднения

Во второй главе рассматривается пространственное движение твердого тела с полостью, заполненной жидкостью малой вязкости На

основании теоремы об изменении следующее уравнение движения

\díú d с . Iv + р — |r xadv + z?,

кинетического момента записано

(j„ + j)—+ р— frxa dv + p. v " ' dt dt i

b _ d ';l>}(r)dT

Jt-tv dt,; v/-r

= M%

(1)

где J0 - тензор инерции твердого тела относительно неподвижной точки, J -тензор присоединенных масс, то есть тензор инерции замороженной жидкости, ы -вектор угловой скорости тела, р и v -плотность и кинематическая вязкость жидкости, Е - тензор, характеризующий диссипацию энергии в вязкой жидкости н зависящий только от формы полости, Н -объем жидкости, г - радиус вектор Вектор-функция а зависит от формы полости и от начального распределения скоростей частиц жидкости и однозначно находится из условий

raía = roiuD, diva = 0 в //, а п = 0 на S, где u 0 - начальные скорости частиц, S -поверхность полости, п - вектор нормали поверхности Вектор-функция b

определяется формой полости и зависит от вектора а

На основании уравнения (1J составляется уравнение плоских колебаний физического маятника со сферической полостью, заполненной жидкостью малой вязкости (рисунок 1) Учитывая, что течение жидкости Н утри полости в начальный момент отсутствует и вектор-функции а и b обращаются в ноль, дифференциальное уравьение движения будет иметь вид

Рисунок 1 - Физический маятник с жидкостью

(j0 + j}p +

p4v Ed 'rjpdr di}'

+ GLsm<p = Q,

(2)

4л М,щ~т

где С - вес маятника, Ь - длина подвеса, ср - угол отклонения от вертикали, Е = 8лг4 /3 Для малых колебаний маятника уравнение (2) примет вид

,2 ¿1 (pdт <р + к <р = -е. — .-

(3)

где к2 = С^/(Л + -1), = + ./)] - малый параметр Выбирая в

качестве начальных условий / = О, Ф = <рл <р - 0, решение порождающего уравнения будет иметь следующий вид

'р - <р0 eos '7, <р = -<ри í sin kt

(4)

Подставляя (4) в правую часть (3), получим следующее уравнение

где

„/\ d'rsmkxdz

Fi!)-7t\~lrrr

(б)

Получим приближенное выражение для функции (6), проделав следующие преобразования.

F(t)*k[c{kt)-1-

sin kt

-fankt

1-

13 13 5

- + -

cos kt

V27±t

(2 kt)1 (2ft)4

_1__1 3 5

2 kt (2 kt)

^ sin ft ■Jlnkt

Тогда приближенное дифференциальное уравнение движения физического

маятника с жидкостью примет вид

,1 ,г!>тк1

<р + к <р = £,<р0к (7)

Для уравнения (7) можно записать первый интеграл, соответствующий интегралу энергии

' yllnk

^--J-c

2 U

№

(8)

где E,, = const определяется начальными условиями В соответствии с методом вариации произвольных постоянных определим из (8) зависимость амплитуды колебаний от времени

<Р,А<)=<Р оМ-

pE4v

— —J=c

п V2

2J—л/7

л

(9)

Аналогичный результат получается при рассмотрении плоского движения спутника с жидкостью относительно центра масс под действием гравитационного момента

Проводится сравнение решений, полученных аналитически и численно (рисунок 2), а также анализируется влияние вязкости жидкости (рисунок 3) и других параметров системы на амплитуду колебаний Наблюдается гашение колебаний из-за диссипативных свойств вязкой жидкости С увеличением кинематической вязкости наблюдается более интенсивное уменьшение амплитуды колебаний (рисунок 3)

</>, рад

Рисунок 2 - Сопоставление решений: сплошная линия - аналитическое, пунктирная - численное

Рисунок 3 - Анализ влияния вязкости на скорость уменьшения амплитуды

колебаний: 1) V = 1.25 х Ю-6 л/2 /с; 2) у = 8х10~" м21с, 3) V = 1x10 м1 !с\ 4) V = 1хЮ"3 мг /с

В третьей главе исследуется движение вокруг центра масс гиростата, содержащего бак с вязкой жидкостью и три ротора (рисунок 4). На основании теоремы об изменении кинетического момента проводится построение математической модели:

Ар + (С- В)дг + /<т, + /(<70-3 - га2)= тх,

Вд + {А-С)рг + 16-1+/{га,-ра,)=ту, (10)

Сг + (В - А)рц + /а, + 1{рсг2 - дст,) = т,, £7, = -р, &2 = -с/, &, = -г,

где р,ц,г - компоненты вектора угловой скорости несущего тела 4; А, В,С -главные центральные моменты инерции гиростата, I - осевой момент инерции роторов, а, (/ = 1 3) - относительные угловые скорости роторов; правые части первых трех уравнений системы (10) являются компонентами вектора момента, возникающего в результате влияния жидкости, и определяются по формуле

И, = = (*.**)•(1

V 1=0 7=0 к=Ч

Коэффициенты в соотношениях (11) приводятся в диссертации в приложении А, а величина О - характеризует форму полости

Для случая, когда два ротора не имеют относительного вращения, а

гиростат является динамически симметричным получено приближенное аналитическое решение методом Пуанкаре, представленное в виде асимптотического ряда по степеням малого параметра В первом приближении указанное решение имеет следующий вид

Рисунок 4 - Гиростат с жидкостью, используемые системы координат и обобщенные скорости

р({)= pllCOSs0t + q0Slns0t + £J

2 2 (О,.

(лсов^ + ^вш^/)-

А-С,

(Яо С05.Г0/-Л,51П50Г)

я(<) = Яо со^о' + —

0}„

+ | *{Р1 + д1 (Ро СОБ + 1П .?„/)

(12)

со,, ^ Сг I

где .г = [(Л - С)г - /а]Л ', ег ~ А^С К< ^ " малый параметр, характеризующий большую вязкость жидкости Приближенные

аналитические решения сравниваются с результатами численного интегрирования

В четвертой главе математическая модель движения гиростата с жидкостью приводится к двум другим известным математическим моделям с вязким фением между частями системы 1) гиростат без жидкости с внутренним трением роторов, 2) твердое тело со сферическим демпфером в вязком слое Как показывается в диссертационной работе, математическая модель движения гиростата с вязким трением полностью соответствует модели гиростата с полостью с жидкостью, если аппроксимировать вид моментов трения в подшипниках роторов функциями, совпадающими с выражениями (11) Уравнения движения тела с демпфером также совпадают с моделью движения гиростата с полостью, если трение демпфера аппроксимировать функциями (11) с учетом гироскопического момента Отмечаются преимущества указанных эквивалентных моделей

- конечное число степеней свободы,

- широкое исследование приведенных моделей в литературе

Также в этой главе исследуется и сравнивается динамика движения трех указанных систем с помощью численного моделирования

В пятой главе исследуется математическая модель движения гиростата без жидкости с медленно вращающимися роторами Как показали в своих работах НЕ Жуковский, а позднее НН Моисеев и В В Румянцев, влияние жидкости внутри полости на пространственное движение твердого тела аналогично влиянию присоединенных к телу роторов, в том числе и с постоянными малыми относительными угловыми скоростями вращения Динамические уравнения движения приводятся к безразмерному виду и решаются с помощью асимптотических методов Получены приближенные аналитические решения следующими тремя методами 1 Решение по методу Пуанкаре

Р(т) = QB sin Яг + Q0 cos Яг + еъ Р<1> (г)

/>«>(г) = -

Дсг,

В,а,

л [л л

sin Яг +

Дет,

{В.а, Я

cos Яг +

(13)

+ a'Vsin Яг + апт собЯг +—sin 2Яг--соб2Яг.

2 Решение по методу Ван-дер-Поля

р{т) - х, cos|

e(0=*.sm Д(г) = =„

Л

А

Г + Уо

Т + Уо

X0=ylPo+Q2o, уа = arctan

Ро

= Л„

(14)

3. Решение по методу усреднения;

х(т)= х„ +s, — [Г,(cos y-cosy„)+ i 2(sin J*—-siny(1 )},

P(r)=*(r)cos(y(r)), Q{t) = x(r)s¡n(y(r)), R{t)=z(T),

l

«Г, + r — (Г, eos + r2 sin y„)

^ + Л -

y —+ a—If, (sin y-sinya)- Г, (eos y - eos y„}}

z{t) = z0 + e, ——[r, (eos - eos у) + Г, (sin y0 - sin y)] a, z0

где t-íco0 - безразмерное время, прописными буквами обозначаются

л/О".2 +СТ22 +CTj

безразмерные параметры движения, малый параметр е.1 = —. --1 « 1

-Jpt+gt+r»2

характеризует малость относительных угловых скоростей роторов, коэффициенты и постоянные выражены через начальные условия движения и параметры системы и приведены в диссертации, На рисунке 5 сравниваются приближенные аналитические решения (13) - (15) с результатами численного интегрирования. Как видно, наиболее точным методом является метод усреднения, однако этот метод является наиболее трудоемким.

Рисунок 5 - Сопоставление аналитических и численного решений для безразмерной угловой скорости Р: 1 - метод Пуанкаре, 2 - метод Ван-дер-Поля, 3 - метод усреднения, 4 - численное интегрирование

В этой же главе решается задача Дарбу, связанная с определением зависимостей для углов Эйлера по зависимостям компонент угловой скорости. Для углов Эйлера методом Пуанкаре получены следующие решения:

где

0"'(l) =

<

Cr

6» = arceos —± + e,9<[>(t), К

(p = Xj + arctg£± + s, <pd> (i), <7»

d¡'Ál -d"nt sm20o ^

ч n¡ nsm0c

л d¡' df^-d"^ sin2 0t

sin ni +1 —!---r + ~H-T-1 eos ni +

{nsm90 n nг~Л,2 J

Kn, sin2 ва W, J

—'-t+-n,

п2-Я2

, d. X, - d. n. sin Qq n -Л,

<r'4>)=

fdy-d™ sinft, d^+dfn, '

sin2 fl„ - </,'" ¿."Я, - d'2nsm в„) nsm2e„ {n2 -Af)sin0o

sino-

cos«/ +

«2

/7, Sin2 в„ П2 Sin2

'о У "i

w, sm2 0„

i + -1—5-p-smA/ + -H-2—-собЯ,/

«2-Я!

я -Я?

ГЬ(') = (<С -с,"«, cos0o) + i(<' cos0o>2 --c>, cos0„XcosA,/-l)+

i A|

+—{d" -c¡2n, cos0a)sm Á¡t +—G,^ cos0„(cosnl-l)- — G2n¡ cosOa sin ni, Я, n n

где с? и df (i,j,k = О З) - постоянные, приведенные в диссертации На рисунке 6 для угла нутации приведено сравнение приближенного аналитического решения с численным

Рисунок 6 - Сравнение аналитического и численного решений для угла нутации- 1 - аналитическая зависимость, 2 — численная

Заключение содержит выводы по основным результатам работы

Выводы и основные результаты

1 Построена математическая модель движения и получены аналитические зависимости для параметров плоских колебаний физического маятника с жидкостью малой вязкости

2. Разработаны и сопоставлены математические модели пространственного движения трехроторного гиростата с полостью с жидкостью, твердого тела с внутренним сферическим демпфером и трехроторного гиростата с вязким трением между несущим телом и вращающимися роторами

3 Получены асимптотические решения для параметров свободного пространственного движения трехроторного гиростата с полостью с жидкостью и гиростата с медленно вращающимися роторами

4 Решена задача Дарбу, состоящая в определении угловых параметров движения по известным компонентам угловой скорости

Полученные результаты позволяют производить исследование движения летательных аппаратов, имеющих на борту запас жидкого топлива, осуществлять выбор начальных условий движения, инерционно-массовых, кинематических и других параметров КА, обеспечивающих реализацию тех или иных режимов движения

Основное содержание диссертационной работы опубликовано

- в ведущих рецензируемых журналах и изданиях, определенных высшей аттестационной комиссией-

1. Алексеев, А В Движение твердого тела с жидкостью малой вязкости [Текст] / А В Алексеев, В С Асланов // Известия Саратовского университета 2007 Т 7 Сер. Математика, Механика Информатика, вып 2 - Саратов -2007.-С. 44-48.

2 Алексеев, А В Приведение спутника-гиростата с полостью с жидкостью к системам твердых тел с вязким трением [Текст] / А В Алексеев, А В Дорошин // Общероссийский научно-технический журнал «Полёт» -2007 -№9 - С 26-33.

3 Алексеев, А В Движение спутника-гиростата, содержащего полость с жидкостью большой вязкости [Текст] / А В Алексеев // Известия СНЦ РАН №9 -2007 -С671-676

- в других изданиях:

4 Алексеев, А В Движение спутника с полостью, заполненной жидкостью, относительно центра масс [Текст] / А В Алексеев, В С Асланов // Сб тр XIII Всерос научи -техн семинара по управлению движением и навигации летательных аппаратов Самар. гос аэрокосм ун-т- Самара. -2007-С 35-37

5 Алексеев, А В Движение системы соосных тел с медленно вращающимися роторами [Текст] / А В Алексеев, А В Дорошин // Сб тр XII Всерос научи-техн семинара по управлению движением и навигации летательных аппаратов Самар гос аэрокосм ун-т. - Самара - 2006 - С. 912

6 Алексеев, А В Асимптотические методы в задаче исследования движения систем соосных тел [Текст] / А В Алексеев // Решетневские чтения, материалы IX Междунар. Науч Конф, посвящ 45-летию Сиб гос. аэрокосмич ун-та имени акад M Ф Решетнева / Сиб гос аэрокосмич ун-т -Красноярск - 2005. - С 229-230

7 Алексеев, А В Динамика движения спутника-гиростата с топливными баками [Текст] / А В Алексеев // XXXIII Гагаринские чтения Научные труды Международной молодежной научной конференции в 8 томах Москва, 4-8 апреля 2006 г - M MATH - 2006 - Т 5 - С 83-84

8 Алексеев, А В Исследование движения системы соосных тел с динамической асимметрией [Текст] / А В Алексеев // XII Туполевские чтения Международная молодежная научная конференция Материалы конференции Том I Казань Изд-во Казан гос техн ун-та - Казань - 2004 -С 3

9 Алексеев, А В Исследование движения соосной системы тел с тремя роторами [Текст] / А В Алексеев // XIII Туполевские чтения Международная молодежная научная конференция Материалы конференции. Том I Казань Изд-во Казан гос техн ун-та - Казань -2005.-С 3.

10 Алексеев, А В. Исследование динамики движения соосных тел при наличии возмущений [Текст] / AB Алексеев // Тезисы докладов XXXI Самарской областной студенческой научной конференции Часть I Общественные, естественные и технические науки - Самара - 2005 - С 145

11 Алексеев, А В Моделирование движения космических аппаратов с гироскопической стабилизацией системой соосных тел с тремя роторами [Текст] / А В Алексеев // XXXII Гагаринские чтения Научные труды Международной молодежной научной конференции в 8 томах Москва, 4-8 апреля 2006 г - M МАТИ - 2006 - Т.5 - С 83-84

12 Алексеев, AB Моделирование движения системы соосных, динамически несимметричных тел [Текст] / А В Алексеев // Тезисы докладов XXX Юбилейной Самарской областной студенческой научной конференции

Часть I: Общественные, естественные и технические науки - Самара - 2004 -С 129

13 Алексеев, А В Моделирование движения соосных тел с полостью заполненной жидкостью [Текст] / А В Алексеев // XIV Туполевские чтения Материалы конференции Том 1. Казань Изд-во Казан roc техн ун-та -2006 - С. 3-5

14 Алексеев, А В Эволюция свободного движения соосных тел под действием внутреннего момента [Текст] / А В Алексеев // Королевские чтения Тезисы докладов Всероссийской студенческой научной конференции Самарский гос аэрокосм ун-т - Самара - 2003 - С 70

Подписано в печать « 27 » июня 2008 г

Тираж 100 экз Отпечатано с готовых оригинал-макетов СГАУ 443086, Самара, Московское шоссе, 34

Основные обозначения

1. Проблема пространственного движения твердых тел с жидкостью, задачи и методы исследования

1.1 Блок выведения «Икар»

1.2 Состояние проблемы

1.3 Постановка задачи

2. Пространственное движение твердого тела с жидкостью малой вязкости

2.1 Математическая модель движения твердого тела с жидкостью малой вязкости

2.2 Плоские колебания маятника с жидкостью. Приближенное аналитическое решение уравнения движения

2.3 Движение космического аппарата с жидким топливом вокруг центра масс под действием гравитационного момента

3. Движение спутника-гиростата, содержащего полость с жидкостью большой вязкости

3.1 Математическая модель движения

3.2 Уравнения движения системы двух тел с вязкой жидкостью

3.3 Приближенное аналитическое решение уравнений движения

4. Приведение спутника-гиростата, содержащего полость с жидкостью, к системам твердых тел с вязким трением

4.1 Математические модели движения

4.2 Сопоставление и приведение математических моделей

4.3 Численное моделирование движения систем твердых тел с жидкостью

5. Асимптотическое исследование движения трехроторного гиростата

5.1 Приведение уравнений движения к безразмерному виду

5.2 Решение динамической системы методом Пуанкаре

5.3 Решение динамической системы методом Ван-дер-Поля

5.4 Решение динамической системы методом усреднения

5.5 Сравнение результатов, полученных асимптотическими методами

5.6 Решение задачи Дарбу

Применение систем управления, высокоточных приборов и чувствительного оборудования требует исследования влияния на движение космических аппаратов (КА) малых возмущений. Подобные возмущения, в том числе, могут быть вызваны влиянием жидкого топлива, находящегося на борту КА с жидкостными ракетными двигателями. Влияние жидкости на поведение КА обусловлено рядом причин. Так в частично заполненном баке имеются колебания свободной поверхности жидкости, из-за которых происходит относительное перемещение центра масс аппарата, а также изменение других инерционно-массовых характеристик. Эта проблема может решаться с помощью поддавливающих мембран, которые исключают свободную поверхность. Другим возмущающим фактором является само внутреннее движение жидкости в баке, оказывающее влияние на кинетический момент корпуса КА, а также изменяющее другие параметры движения в связи с наличием внутреннего вязкого трения. Возможны и другие факторы. В данной работе проводится исследование движения КА с жидким топливом, целиком заполняющем бак. Рассматривается пространственное движение КА с жидкостью большой и малой вязкости, при этом КА моделируется как одним твердым телом, так и системой тел.Для исследования движения КА в качестве механической модели принимается твердое тело с полостью, целиком заполненной вязкой жидкостью. Пространственное движение КА, движущегося по орбите под действием гравитационного момента во многом подобно движению физического маятника. Поэтому большое внимание в настоящей работе уделяется изучению динамики плоских колебаний твердого тела с жидкостью.Также в работе исследуется движение гиростата с жидкостью, представляющего собой систему, состоящую из основного твердого тела и массивных маховиков, использующихся для гироскопической стабилизации пространственного положения. В данной работе гиростат состоит из четырех твердых тел: несущего тела с жидкостью и трех роторов, вращающихся вокруг осей, совпадающих с главными осями инерции системы.Проблеме исследования движения систем тел с жидкостью в научной литературе уделяется большое внимание ввиду ее практической важности и возможности непосредственного применения результатов исследования для анализа динамики соосных КА и спутников-гиростатов. Основополагающие результаты, связанные с анализом движения тел с жидким наполнением, получены отечественными и зарубежными учеными, в том числе, Жуковским Н.Е. [30], Черноусько Ф.Л. [67-70], Моисеевым Н.Н. [46-50], Румянцевым В.В. [50, 60-63], Рабиновичем Б.И. [56-59], Наримановым Г.С. [53, 54], Докучаевым Л.В. [27-29, 53], A. Clebsch [72], G. Halphen [74], F. Kotter [75], R. Liouville [76], H. Minkowski [78], V.A. Stekloff [79, 80], H. Weber [81] и многими другими.Актуальность настоящей работы определяется получением математических моделей и аналитических зависимостей, описывающих режимы пространственного движения КА, содержащего массивные маховики и баки с жидкостью, а также связана с дальнейшим развитием задач исследования движения систем твердых тел с жидкостью.Целью работы является разработка математических моделей движения твердых тел и систем твердых тел с жидкостью различной вязкости и получение аналитических зависимостей, позволяющих проводить анализ движения КА с массивными вращающимися элементами и жидкостью.К основным методам исследования, используемым в настоящей работе, следует отнести известные методы теоретической механики, механики жидкости и газа, теории колебаний, асимптотические и численные методы решения дифференциальных уравнений.Научная новизна работы состоит в следующем. ь 1. Построена математическая модель движения и получены аналитические зависимости для параметров плоских колебаний физического маятника с жидкостью малой вязкости.2. Разработаны и сопоставлены математические модели пространственного движения трехроторного гиростата с полостью с жидкостью, твердого тела с внутренним сферическим демпфером и трехроторного гиростата с вязким трением между несущим телом и вращающимися роторами.3. Получены асимптотические решения для параметров свободного пространственного движения трехроторного гиростата с полостью с жидкостью и гиростата с медленно вращающимися роторами.4. Решена задача Дарбу, состоящая в определении угловых параметров движения по известным компонентам угловой скорости.Практическая ценность работы заключается в возможности непосредственного использования полученных математических моделей и аналитических зависимостей для описания движения КА вокруг центра масс и синтеза на их основе начальных условий, инерционно-массовых, кинематических и других параметров КА. Апробация результатов, полученных в настоящей диссертационной работе, осуществлялась в рамках научных конференций: VII Всероссийская молодежная научная конференция «Королевские чтения», г. Самара (октябрь 2003 г.); XII, XIII и XIV международная молодежная научная конференция «Туполевские чтения», г. Казань (ноябрь 2004, 2005, 2006 гг.); IX международная научная конференция «Решетневские чтения», г. Красноярск (ноябрь 2005 г.); XXXII и XXXIII международная молодежная научная конференция «Гагаринские чтения», г. Москва (апрель 2006 и 2007 гг.); XII и XIII Всероссийские научно-технические семинары по управлению движением и навигации летательных аппаратов, г. Самара (июнь 2005 и 2007 гг.). б Результаты исследований вошли в научные отчеты по следующим проектам Российского фонда фундаментальных исследований: 1. Проект РФФИ № 06-01-000355 «Возмущенное движение систем твердых тел постоянного и переменного состава», руководитель д.т.н., профессор Асланов B.C., 2006-2008 гг.; 2. Проект РФФИ № 06-08-00325 «Динамические процессы, движение и управление составными космическими аппаратами переменной массы», руководитель к.т.н., доцент Дорошин А.В., 2006-2007гг.Материалы, вошедшие в диссертацию, опубликованы в 14 печатных работах [1-14]*, в частности, в журналах «Полет» [4]*, «Известия Саратовского университета» [2]*, «Известия Самарского научного центра Российской академии наук» [6]*, включенных в перечень ВАК, а также в сборниках научных трудов Всероссийских научно-технических семинаров «Управление движением и навигация летательных аппаратов» [1, З]* 1 .Результаты диссертационных исследований получили высокую оценку «Программы поддержки технического образования Фонда Alcoa»: 1. AYF 07 - 003s, 2007 г., 2. AYF 08 - 005s, 2008 г.Структура диссертации.В первой главе осуществляется краткий обзор полученных к настоящему времени результатов, опубликованных различными учеными, описывается круг задач, рассматриваемых в диссертационной работе, и указываются методы их решения.Во второй главе исследуется пространственное движение твердого телас полостью, заполненной жидкостью малой вязкости. Для общего случая строится векторное интегро-дифференциальное уравнение движения, которое применяется для анализа движения физического маятника с полостью с жидкостью, а также для исследования движения спутника с жидким топливом на борту. Находятся аналитические зависимости параметров движения от времени. Проводится анализ влияния параметров 1 Здесь и далее звездочкой отмечены работы, содержащие результаты, полученные автором жидкости малой вязкости на пространственное движение рассматриваемых систем.В третьей главе исследуется движение спутника-гиростата, содержащего полость с жидкостью большой вязкости. Спутник состоит из несущего тела с полостью и трех роторов, вращающихся относительно несущего тела вокруг своих осей симметрии. На основе теоремы об изменении кинетического момента составляются уравнения движения системы относительно центра масс. Для случая вращения одного ротора уравнения приводятся к безразмерному виду, и определяется их приближенное аналитическое решение. Проводится анализ влияния жидкости большой вязкости.В четвертой главе рассматривается пространственное движение вокруг центра масс спутника-гиростата с полостью, содержащей жидкость, при малых числах Рейнольдса. Математическая модель движения гиростата, содержащего полость с жидкостью, приводится к двум более простым: к модели гиростата с вязким трением между телом-носителем и роторами и к модели твердого тела, содержащего внутри сферический демпфер. Переход от гиростата с полостью, содержащей жидкость, имеющего бесконечное число степеней свободы, к. указанным системам, обладающим шестью степенями свободы, важен с прикладной точки зрения, так как существенно облегчает анализ динамики движения спутников-гиростатов и космических аппаратов с двойным вращением, содержащих жидкостные ракетные двигатели, на пассивных участках их орбитального движения.В пятой главе рассматривается одна из эквивалентных систем: система четырех тел без полости с жидкостью, для исследования невозмущенного движения. В работах Жуковского Н.Е. [30], а также Моисеева Н.Н. и Румянцева В.В. [50] говорится об эквивалентности движений твердого тела с полостями, заполненными идеальной жидкостью, и твердого тела с присоединенными вращающимися роторами, в том числе и с постоянными относительными угловыми скоростями. Строятся уравнения движения системы, вводится малый параметр, и находится приближенное аналитическое решение системы уравнений движения различными методами.Результаты, полученные разными методами, сравниваются, и выбираются наиболее точный и наиболее удобный методы. Находится решение задачи Дарбу, связанной с определением угловых параметров движения по известным угловым скоростям.Разработанные математические модели могут применяться для описания движения простых и составных КА, содержащих жидкость различной вязкости, а найденные аналитические решения представлены в достаточно общем виде, что определяет возможность использования их в других областях науки и техники.Основные обозначения А, В,С - моменты инерции твердого тела относительно главных осей инерции. J - тензор инерции. Q — вектор количества движения.К — вектор кинетического момента. F - главный вектор внешних сил.М - главный момент внешних сил. г - радиус вектор какой-либо точки. р — плотность жидкости. v — кинематическая вязкость жидкости. V — скорость какой-либо точки системы. т —масса. со - вектор угловой скорости. p,q,r — компоненты вектора угловой скорости в связанной системе координат. \f/,6,(p — углы Эйлера.5г — угол относительного закручивания ротора. <т1 — скорость относительного закручивания ротора. D - параметр полости. D — тензор, задающий форму полости. а,Ь — вспомогательные векторы, используемые для определения кинетического момента жидкости малой вязкости. L - кинетический момент жидкости большой вязкости. t — время. т - безразмерное время. ех, s2, БЪ — малые параметры.ГХ,Г2,Г3 — величины, характеризующие гироскопические моменты. / - момент инерции динамически симметричного ротора относительно оси симметрии или сферического демпфера относительно диаметра. P,Q,R,Ht — безразмерные компоненты угловой скорости и скорости относительного закручивания.А,В,С — безразмерные моменты инерции.Х<г>— коэффициент при s' в разложении по степеням s величины X. a,b,c,d - вспомогательные величины, используемые при решении дифференциальных уравнений.

Основные результаты работы заключаются в следующем.

1. Построена математическая модель движения и получены аналитические зависимости для параметров плоских колебаний физического маятника с жидкостью малой вязкости.

2. Разработаны и сопоставлены математические модели пространственного движения трехроторного гиростата с полостью с жидкостью, твердого тела с внутренним сферическим демпфером и трехроторного гиростата с вязким трением между несущим телом и вращающимися роторами.

3. Получены асимптотические решения для параметров свободного пространственного движения трехроторного гиростата с полостью с жидкостью и гиростата с медленно вращающимися роторами.

4. Решена задача Дарбу, состоящая в определении угловых параметров движения по известным компонентам угловой скорости.

Полученные результаты позволяют производить исследование движения летательных аппаратов, имеющих на борту запас жидкого топлива, осуществлять выбор начальных условий движения, инерционно-массовых, кинематических и других параметров КА, обеспечивающих реализацию тех или иных режимов движения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе проведено исследование движения твердых тел и систем твердых тел с полостями, заполненными жидкостью различной вязкости. Решен ряд самостоятельных задач с использованием классических и современных методов механики, теории колебаний, решения дифференциальных уравнений, а также проведено численное моделирование движений.

1. Алексеев, A.B. Движение твердого тела с жидкостью малой вязкости Текст. / A.B. Алексеев, B.C. Асланов // Известия Саратовского университета. 2007. Т.7. Сер. Математика, Механика. Информатика, вып.2. Саратов. - 2007. - С. 44-48.

2. Алексеев, A.B. Приведение спутника-гиростата с полостью с жидкостью к системам твердых тел с вязким трением Текст. / A.B. Алексеев, A.B. Дорошин // Общероссийский научно-технический журнал «Полёт». 2007. - № 9. - С. 26-33.

3. Алексеев, A.B. Движение спутника-гиростата, содержащего полость с жидкостью большой вязкости Текст. / A.B. Алексеев // Известия СНЦ РАН. № 9. 2007. - С.671-676.

4. Алексеев, A.B. Моделирование движения соосных тел с полостью заполненной жидкостью Текст. / A.B. Алексеев // XIV Туполевские чтения: Материалы конференции. Том 1. Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та. 2006. - С. 3-5.

5. Алексеев, К.Б. Управление космическими летательными аппаратами Текст. / К.Б. Алексеев, Г.Г. Бебенин // М.: Машиностроение. — 1974.

6. Арнольд, В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений Текст. / В.И. Арнольд // М.: Наука. — 1978.

7. Арнольд, В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Учеб. пособие для вузов Текст. / В.И. Арнольд // М.: Наука. — 1984.

8. Асланов, B.C. Движение системы соосных тел переменной массы Текст. / B.C. Асланов, A.B. Дорошин // Прикладная математика и механика. -2004.-№ 6. С. 999-1010.

9. Асланов, B.C. Стабилизация спускаемого аппарата частичной закруткой при осуществлении неуправляемого спуска в атмосфере Текст. / B.C. Асланов, A.B. Дорошин // Космические исследования. — 2002. Т. 40. № 2. - С. 193-200.

10. Асланов, B.C. Уменьшение ошибок стабилизации соосных тел переменного состава при входе в атмосферу Текст. / B.C. Асланов, A.B. Дорошин, Г.Е. Круглов // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета. 2002. — № 1. - С. 126-134.

11. Бабаков, И.М. Теория колебаний Текст. / И.М. Бабаков // Учеб. пособие. М.: Дрофа. - 2004.

12. Белецкий, В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс Текст. /В.В. Белецкий // М.: Наука. 1965.

13. Боголюбов H.H. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний Текст. / H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский // М.: Наука. 1974.

14. Бухгольц, H.H. Основной курс теоретической механики. Ч. 2 Текст. / H.H. Бухгольц // М.: Наука. 1972.о

15. Виттенбург, И. Динамика систем твердых тел Текст. / И. Виттенбург // М.: Мир.-1977.

16. Докучаев, JT.B. Влияние жидкого наполнения на устойчивость быстрого вращения тела с периферийно расположенными полостями Текст. / JI.B. Докучаев, B.JI. Ездаков // Устойчивость движения. Новосибирск: Наука. 1985. С. 123-127.

17. Докучаев, JI.B. МГД-элемент в задачах ориентации и стабилизации вращающихся космических аппаратов Текст. / JI.B. Докучаев, А.И. Мытарев, P.P. Назиров, Б.И. Рабинович // Общероссийский научно-технический журнал «Полет». 2006. - № 11. - С. 23-31.

18. Докучаев, JI.B. Нелинейная динамика летательных аппаратов с деформируемыми элементами Текст. / JI.B. Докучаев // М.: Машиностроение. 1987.

19. Жуковский, Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью Текст. / Н.Е. Жуковский // Собрание сочинений. Т. 2. Гидродинамика. М.: Гостехиздат. — 1949.

20. Заболотнов, Ю.М. Теория колебаний. Конспект лекций Текст. / Ю.М. Заболотнов // Самар. гос. аэрокосм. ун-т. — Самара. — 1999.

21. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров Текст. / Г. Корн, Т. Корн // М.: Наука. 1974.

22. Крементуло, В.В. Стабилизация стационарных движений твердого тела при помощи вращающихся масс Текст. / В.В. Крементуло // М.: Наука. 1977.

23. Крылов Н.М. Введение в нелинейную механику Текст. / Н.М. Крылов, H.H. Боголюбов // Киев: Изд. АН УССР. 1937.

24. Лампер, P.E. Методы конечных и граничных элементов в задачах динамики упругих сосудов с жидкостью Текст. / P.E. Лампер, В.Е. Левин // Прикладная математика и механика. 2004. - Т. 68, вып. 1. -С. 91-97.

25. Луковский, И.А. Собственные колебания жидкости в усеченных конических баках Текст. / И.А. Луковский, A.B. Солодун, А.Н. Тимоха // Акустический вестник. 2006. — Т. 9, № 3. - С. 42-61.

26. Луковский, И.А. Введение в нелинейную динамику тел с полостями, частично заполненными жидкостью Текст. / И.А. Луковский // К.: Наук. Думка. 1990.

27. Маркеев, А.П. Теоретическая механика: учеб. Пособие для университетов Текст. / А.П. Маркеев // М.: Наука. — 1990.

28. Меркулов, A.B. О стабилизации объектов с жидким наполнением на основе использования магнитогидродинамических эффектов Текст. / A.B. Меркулов, А.И. Мытарев, Б.И. Рабинович // Общероссийский научно-технический журнал «Полет». 2000. - № 2. — С. 40-44.

29. Механика. Новое в зарубежной науке. Задачи стабилизации составных спутников Текст. // Сборник статей под редакцией Белецкого В.В. М.: Мир. 1975.

30. Моисеев, H.H. Асимптотические методы нелинейной механики Текст. / H.H. Моисеев // М.: Наука. 1969.

31. Моисеев, H.H. Движение твердого тела, имеющего полость, частично заполненную идеальной капельной жидкостью Текст. / H.H. Моисеев // ДАН СССР. 1952. - т. 85, № 4. - С. 719-722.

32. Моисеев, H.H. Задача о движении твердого тела, содержащего жидкие массы, имеющие свободную поверхность Текст. / H.H. Моисеев // Математический сборник, т. 32, вып. 1. — 1953.

33. Моисеев, H.H. Задача о малых колебаниях открытого сосуда с жидкостью под действием упругой силы Текст. / H.H. Моисеев // Укр. матем. жур. 1952. - т. 4, № 2. - С. 168-173.

34. Моисеев, H.H. О колебаниях тяжелой идеальной и несжимаемой жидкости в сосуде Текст. / H.H. Моисеев // ДАН СССР. 1952. - т. 85, №5.-С. 963-965.

35. Моисеев, H.H. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость Текст. / H.H. Моисеев, В.В. Румянцев // М.: Наука. 1965.

36. Мытарев, А.И. Об устойчивости вращающегося космического аппарата, частично заполненного жидкостью. Случай одной полости Текст. / А.И. Мытарев, Б.И. Рабинович //Космические исследования. — 2006. т. 44, № 3. - с. 239-248.

37. Назиров, P.P. О гировертикали с маятниковой МГД-коррекцией. Общая концепция Текст. / P.P. Назиров, Б.И. Рабинович // Общероссийский научно-технический журнал «Полет». — 2004. — № 11. — С. 43-50.

38. Нариманов, Г.С. Нелинейная динамика JIA с жидкостью Текст. / Г.С. Нариманов, JI.B. Докучаев, И.А. Луковский // М.: Машиностроение. — 1977.

39. Нариманов, Г.С. О движении симметричного гироскопа, полость которого частично заполнена жидкостью Текст. / Г.С. Нариманов // Прикладная математика и механика. 1957. — Т. 21. Вып. 2. - С. 696700.

40. Нейштадт, А.И. Переход через сепаратрису в динамике спутника с двойным вращением Текст. / А.И. Нейштадт, М.Л. Пивоваров // Прикладная математика и механика. 2000. - Т. 64. Вып. 5. - С. 741746.

41. Рабинович, Б.И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов Текст. / Б.И. Рабинович // — М.: Машиностроение. — 1977.

42. Рабинович, Б.И. Космический аппарат с жидкостью, стабилизированный вращением, плазменный тор и задача Альвена Текст. / Б.И. Рабинович, В.И. Прохоренко // Общероссийский научно-технический журнал «Полет». 1999. - № 5. — С. 9-16.

43. Рабинович, Б.И. Математическая модель космического аппарата с полостью, частично заполненной жидкостью. Режим стационарного вращения Текст. / Б.И. Рабинович // Общероссийский научно-технический журнал «Полет». — 2003. — № 8. — С. 55-60.

44. Рабинович, Б.И. Об учете вязкости жидкого топлива при исследовании движения управляемых аппаратов с ЖРД Текст. / Б.И. Рабинович, В.М. Роговой // Космические исследования. 1970. - Т. VIII, № 3. - С. 315-328.

45. Румянцев, В.В. Об устойчивости вращательных движений твердого тела с жидким наполнением Текст. / В.В. Румянцев // Прикладная математика и механика. 1959. - т. 23, вып. 6. - С. 1057-1065.

46. Румянцев, В.В. Об устойчивости вращения волчка с полостью, заполненной вязкой жидкостью Текст. / В.В. Румянцев // Прикладная математика и механика. 1960. - т. 24, вып. 4. — С. 603-609.

47. Румянцев, В.В. Об устойчивости установившихся движений твердых тел с полостями, наполненными жидкостью Текст. / В.В. Румянцев // Прикладная математика и механика. 1962. — т. 26, вып. 6. - С. 977991.

48. Румянцев, В.В. Устойчивость вращения твердого тела с эллипсоидальной полостью, наполненной жидкостью Текст. / В.В. Румянцев // Прикладная математика и механика. 1957, т. 21, вып. 6. -Москва. 1957. - С. 740-748.

49. Соболев, C.JI. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью Текст. / C.J1. Соболев // ПМТФ, № 3. — 1960. -С. 20-65.

50. Троценко, В.А. О колебаниях жидкости в сосудах, свободная поверхность которой закрыта мембранной оболочкой из гиперупругого материала Текст. / В.А. Троценко // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1980. - № 6. — С. 166-177.

51. Хапаев, М.М. Асимптотические методы и устойчивость в теории нелинейных колебаний. Учеб. пособие для вузов Текст. / М.М. Хапаев // М.: Высш. шк. - 1988.

52. Черноусько, Ф.Л. Вращательные движения твердого тела с полостью, заполненной жидкостью Текст. / Ф.Л. Черноусько // Прикладная математика и механика, т. 31, вып. 3. Москва. - 1967. — С. 416-432.

53. Черноусько, Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, заполненными вязкой жидкостью, при больших числах Рейнольдса Текст. / Ф.Л. Черноусько // Прикладная математика и механика, т. 30, вып. 3. — Москва. 1966. - С. 476-494.

54. Черноусько, Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, заполненными вязкой жидкостью, при малых числах Рейнольдса Текст. / Ф.Л. Черноусько // Вычислительная математика и математическая физика, т. 5, № 6. Москва. - 1965. - С. 1049-1070.

55. Черноусько, Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость Текст. / Ф.Л. Черноусько // М.: Изд. ВЦ АН СССР. - 1968.

56. Янке, Е. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы Текст. / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш // М.: Наука. - 1968.

57. Clebsch, A. Uber die Bewegung eines Korpers in einer Flüssigkeit Текст. / A. Clebsch // Math. Annalen, Bd. 3. 1871. - S. 238-262.

58. Gavrilyuk, I. Linear and nonlinear sloshing in a circular conical tank Текст. / I. Gavrilyuk, I.A. Lukovsky, A.N. Timokha // Fluid Dyn. Resch. 2005. -V. 37.-P. 399-429.

59. Halphen, G. Sur le mouvement d'un solide dans un liquide Текст. / G. Halphen // J. Math. Pure et appl. 1988. - v. 4. - p. 28-37.

60. Kotter, F. Uber die Bewegung eines festen Korpers in einer Flüssigkeit, I, II Текст. / F. Kotter // J. Reine Angew. Math. 1892. - Bd. 109. - S. 51-81, 89-111.

61. Liouville, R. Sur le mouvement d'un solide dans un liquide indéfini Текст. / R. Liouville // Comp. Rend. Ac. Sc. ser. 2. - 1896. - p. 874-876.

62. Lukovsky, I.A. Variational methods of solving dynamic problems for fluid-containing bodies Текст. / I.A. Lukovsky // Int. Appl. Mech. 2004. - V. 40, № 10.-P. 1092-1128.

63. Minkowski, H. Uber die Bewegung eines festen Korpers in einer Flüssigkeit Текст. / H. Minkowski // Sitzungsber. Konig. Preuss. Akad. Wiss. Berlin. -1888.-v.30.-p. 1095-1110.

64. Stekloff, V.A. Remarque sur un problème de Clebsch sur le mouvement d'un corps solide dans un liquide indéfini en sur le problème de M. De Brun Текст. / V.A. Stekloff// Comp. Rend. Ac. Sc. Paris. 1902. - v. 135. - p. 526-528.

65. Stekloff, V.A. Sur le mouvement d'un corps solide ayant une cavité de forme ellipsoïdale remple par un liquide incompressible en sur les variation des latitudes Текст. / V.A. Stekloff// Ann. de la fac. des Sei.: de Toulouse. -Ser. 3.-1909.-v. 1.

66. Weber, H. Anwendung der Thetafunktionen zweiter Verandlicher auf Theorie der Bewegung eines festen Körpers in einer Flüssigkeit Текст. / H. Weber // Math. Ann. 1879. - Bd. 14. - P. 143-206.

67. С Л + - С) ■- ф + <т30 )2 (С - А- ВХ(А - В) + /Х/70 + С710 )21. А-ф-1) (В — 1\С -/)1. Г* + «■ Уг + <т + + +л^о ","с'2оЛ/о (В—1\а — 1) '1. ООО ~ (зо °"20 ) г,000т201 —5./

68. С-А + В\В -сХг0 + ^30 )2 В\А-В\р, + сг10 )2л-/) (С-/)с-л5./11. С-/тш (р0 + )-(С-ф-1)-'011.^0+СГ20; (С-ф-1)лс-1+а-в\с-а+1) -К'о + <Гэо) (в-ф-1))(С-1-а + ВХ(С-В)+1)зо) (С-ф-1) тюо ~{Ро+сг1оАг0+сг30)-(В-ф-1)-'т200т020

69. V ^A-B-C + l\2(C-B)+l)-l(C-B + l) = feo + 0-20 X'o + О"зо )--(A-I\C-I)-- ;(В A + C\(B - C) + I\q0 +cr20)2 + (Л-Д + CX(^Í - C) + l\pQ + a J1. A-I)(C-I)1. B-IXC-I)(ro +О"зо )1. С-/

70. A-B-CjB cX<7o + <T20)2 (Л - g + C\C - ^Xpo + ^io)2 (A-I) (B-I)

71. Значения инерционно-массовых характеристик и начальных условий, принятые для численных экспериментов в четвертой главе.