Задачи движения ИСЗ относительно центра масс с пассивными системами ориентации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. Анализ положений относительного равновесия спутника-гиростата. Общий случай.

1.1. Уравнения движения спутника-гиростата.

1.2. Положения равновесия спутника-гиростата. Обратная задача.

1.3. Прямая задача. Частные случаи.

1.4. Общий случай

1.5. Исследование равновесных решений

1.6. Устойчивость положений равновесия

1.7. Численные результаты.

Глава 2. Положения равновесия спутника-гиростата при действии аэродинамического момента

2.1. Уравнения движения спутника-гиростата с учетом сопротивления атмосферы.

2.2. Постановка задачи.

2.3. Положения равновесия спутника-гиростата

2.4. Устойчивость положений равновесия

2.5. Другой способ решения задачи

2.6. К вопросу об асимптотической устойчивости положений равновесия.

Глава 3. Положения равновесия спутника при действии постоянных моментов

3.1* Уравнения движения

3.2. Анализ положений равновесия спутника с использованием системы аналитических вычислений ЙЕВиСЕ

3.3. Численные результаты

Одним из важных направлений развития современной космической техники является создание пассивных (без расходования энергии и рабочего тела) систем ориентации искусственных спутников Земли. При разработке таких систем можно использовать свойства гравитационного и магнитного полей, эффект соцротивления атмосферы и светового давления, гироскопические свойства вращающихся тел и др. Применение пассивных методов ориентации наиболее предпочтительно для проектов спутников без сложных программных маневров, с большим временем активного существования и точностью ориентации порядка нескольких градусов [25].

Из систем, использующих свойства внешней среды, наибольшее распространение получили гравитационные системы ориентации, принцип работы которых основан на том, что в центральном ньютоновом поле сил спутник с неравными главными центральными моментами инерции имеет на круговой орбите четыре устойчивых положения равновесия, соответствующих совпадению наибольшей оси эллипсоида инерции спутника с радиусом вектором и наименьшей оси с нормалью к плоскости орбиты [ 5] . Как правило, для проведения научных экспериментов нормального функционирования радиосвязи теле- и фотооборудования необходимо, чтобы спутник находился во вполне определенном положении равновесия.

При практической реализации спутников с гравитационной системой ориентации нужно решить следующие основные задачи. Во-первых, необходимо демпфировать собственные колебания спутника относительно положения устойчивого равновесия, что сводится к выбору способа создания демпфирующего момента и разработке конкретного механизма демпфирования. Другая задача связана с неоднозначностью положения устойчивого равновесия спутника. Если спутник после демпфирования собственных колебаний.должен занять заданное устойчивое равновесное положение, а утлы и угловые скорости спутника после отделения от ракетоносителя слишком велики, то их необходимо уменьшить с помощью системы предварительного успокоения до величин, обеспечивающих выход спутника в определенное положение равновесия, либо успокоить спутник в любом устойчивом равновесном положении и уже после успокоения перевести его с помощью программного поворота в заданное положение равновесия. Решение этих задач требует знания всех положений равновесия спутника и исследования их устойчивости.

Гравитационные системы ориентации отличаются, в основном, методами демпфирования собственных колебаний. Для обеспечения демпфирования используют относительное движение составных частей спутника, свойства магнитного поля и т.д.

Различают пассивное, полупассивное и активное демпфирование. В спутниках с чисто пассивными системами демпфирования для рассеивания энергии собственных колебаний используется относительное движение стабилизируемого корпуса и одной или нескольких вспомогательных частей спутника. Пассивное демпфирование собственных колебаний спутника может осуществляться с использованием прикрепленной к спутнику пружины с большим механическим гистерезисом [39], с помощью полости с плавающим в вязкой жидкости магнитом [24], явлений, связанных с возникновением вихревых токов, эффекта магнитного гистерезиса [63] . В [17] было предложено присоединить к спутнику второе тело (стабилизатор) с трением в точке подвеса. При этом демпфируется относительная скорость спутника и стабилизатора.

Примером полупассивной системы демпфирования может служить гиродемпфер, представляющий собой два двухстепенных гироскопа, установленных в корпусе спутника. Оси вращения роторов гироскопов в равновесном положении расположены симметрично относительно нормали к плоскости орбиты. Собственные колебания спутника вызывают прецессию связанных с демпфирующим устройством роторов гироскопов, ■что приводит к рассеиванию вращательной энергии спутника. Гироскопы используются как для обеспечения демпфирования собственных колебаний, так и для получения дополнительных восстанавливающих моментов по рысканию и 1фену. В схеме ориентации с гиродемпфировани-ем энергия нужна не дня поддержания собственно ориентации, а для компенсации сил трения различной природы, приводящих к замедлению вращения ротора гироскопа.

К первым исследованиям по теории гравитационных систем ориентации с гиродемпфированием относятся [ 38, 43, 48, 62].

Спутники с активными системами демпфирования включают в себя, как правило, датчики ориентации и исполнительные элементы. Свойства гравитационного поля служат здесь лишь для получения восстанавливающих моментов.

Гравитационная система ориентации спутник-стабилизатор представляет собой два твердых тела (спутник и вспомогательное тело-стабилизатор), соединенных шарниром. Положение стабилизатора, обычно выполненного в виде одной или нескольких выдвижных штанг с грузами на концах, фиксируется относительно спутника центрирующими дружинами. Стабилизатор позволяет переориентировать, если потребуется, эллипсоид инерции всей системы в целом. Кроме того, используя относительное движение спутника и стабилизатора, можно ввести в систему трение. Исследованию теории гравитационной системы спутник-стабилизатор посвящен ряд работ, например, 17, 26, 27, 65] .

На круговых и слабоэллиптических орбитах в диапазоне высот до 700 км для ориентации оси симметрии спутника по набегающему потоку, направление которого мало отличается от направления касательной к орбите, можно использовать аэродинамические моменты. Если спутник аэродинамически устойчив, то при нарушении нормальной ориентации возникают восстанавливающие моменты по тангажу и рысканию, стремящиеся совместить продольную ось спутника с векто- ' ром скорости набегающего потока.

Одно из первых кратких упоминаний о возможности использования сопротивления атмосферы для ориентации спутника содержится в [ 55]. Более подробно эта проблема изложена в [64], где для двух типов конструкции спутника с аэродинамическим стабилизатором исследуются колебания в плоскости орбиты под действием аэродинамического момента. Общие вопросы динамики спутников с аэродинамической системой ориентации рассмотрены в [ 28, 33, 61 ] . Впервые аэродинамический принцип ориентации спутника по тангажу и рысканию был использован на спутниках "Космическая стрела" ("Космос - 149", "Космос - 320"), предназначенных для исследования физических процессов в атмосфере и определения атмосферных параметров. В [ 7,33] описывается гироаэродинамическая система ориентации, применявшаяся на спутниках "Космическая стрела". Система ориентации состоит из специального аэродинамического стабилизатора, выполненного в виде усеченной конической оболочки, отнесенной в полете от корпуса спутника на расстояние около 4 метров на четырех трубчатых штангах. Выносной стабилизатор такой конструкции при сравнительно небольшом увеличении силы аэродинамического сопротивления спутника позволяет получить достаточный по величине восстанавливающий аэродинамический момент [ I ] ♦ Гиродемпфер обеспечивает демпфщювание собственных колебаний спутника и устойчивость по крену равновесного положения спутника.

Разработка спутника с аэродинамической системой ориентации представляет сложную техническую проблещу. Основные трудности определяются сильной зависимостью параметров атмосферы от солнечной активности, что приводит к изменению в широких пределах восстанавливающих аэродинамических моментов, а также влиянием эллиптичности орбиты.

Большое распространение среди пассивных систем ориентации искусственных спутников получили системы ориентации вращением. Они применяются для обеспечения неизменного направления некоторой оси спутника в инерциальном пространстве и основаны на гироскопических свойствах вращающихся тел. Так, например, известно, что стационарное вращение спутника вокруг осей, соответствующих минимальному и максимальному моментам инерции, устойчиво при отсутствии внешних моментов, обусловленных гравитационными и магнитными полями Земли, сопротивлением атмосферы.

Следует отметить, что требование о необходимости совпадения оси вращения с осью максимального момента инерции спутника, ориентируемого вращением, может быть снято, если в корпусе спутника поместить вращающийся с постоянной угловой скоростью ротор, ось вращения которого параллельна оси вращения спутника. В этом случае может быть ослаблено также и требование к величине угловой скорости спутника.

Общая теория спутников с двойным вращением, т.е. спутников, состоящих из двух тел, вращающихся вокруг общей оси с различными скоростями относительно инерциального пространства, изложена в [14] .

Исследовать динамику спутника с расположенными внутри маховиками (гиростат), оси которых фиксированы относительно корпуса спутника, важно по двум причинам. С одной стороны, благодаря введению маховиков, открывается принципиальная возможность получения новых положений равновесия, интересных для практических приложений. С другой стороны, исследование динамики гиростата позволяет проанализировать влияние на спутник нескомпенсированного постоянного кинетического момента.

По видимому, впервые факт существенного влияния вращающегося маховика на динамику спутника был отмечен в [5б] . Аналогичная идея для двух соооных вращающихся осесимметричных тел изложена без учета внешних моментов в [45, 47] и с учетом гравитационного момента в [46] . В работе [15] показано, что уравнения движения, стационарные решения и достаточные условия устойчивости этих решений для осесимметричных гиростата и спутника на круговой орбите с учетом гравитационных моментов совпадают с точностью до обозначений.

Основная масса работ по спутникам-гиростатам посвящена определению стационарных решений и исследованию устойчивости этих решений. Прежде чем перейти к рассмотрению вопросов по спутникам-гиростатам, введем понятия прямой и обратной задачи. Определение параметров, задающих ориентацию спутника, через инерционные характеристики и компоненты кинетического момента маховиков назовем прямой задачей. Если в число определяемых параметров входят и конструктивные параметры системы (например, компоненты кинетического момента), то будем говорить об обратной задаче.

Задача определения положений относительного равновесия спутника-гиростата в "элементарных" случаях, когда главная ось инерции спутника совпадает (в равновесном положении) с одной из осей орбитальной системы координат или лежит в одной из плоскостей, образуемых осями орбитальной системы, подробно рассмотрена в работах [22, 57, 58, 59, 60] . В общем случае исчерпывающее решение найдено для обратной задачи [ 37, 54, 35, 20] . В [37] все положения равновесия гиростата определены из условий экстремума динамического потенциала с помощью метода неопределенных множителей Лаг-ранжа. В [ 54] положения равновесия выражены через специальные углы. В [35, 20] предложен простой метод решения уравнений для определения положений равновесия гиростата.

Прямая задача решена лишь для частных случаев, когда суммарный кинетический момент маховиков совпадает с одной из осей или лежит в одной из координатных плоскостей связанной со спутником системы координат [ 2, 57, 49, 23, 50^ .В [ 49 ] прямая задача решена для частного случая совпадения вектора кинетического момента маховиков с главной осью инерции спутника. Если модуль кинетического момента Ь достаточно мал, то существуют 24 изолированных положения равновесия. С ростом Ь число изолированных положений равновесия убывает и при очень большом А возможны лишь такие положения равновесия, когда вектор И совпадает с нормалью к плоскости орбиты. При умеренных величинах /7 картина усложняется. Показано, что если вектор кинетического момента совпадает с осью максимального или минимального момента инерции гиростата, то при некоторой критической величине модуля кинетического момента, зависящей от моментов инерции спутника,существуют два однопараметрических семейства положений равновесия гиростата. Устойчивость этих семейств исследовалась в [ 52] .В [5о] прямая задача решена для случая, когда вектор кинетического момента маховиков расположен в плоскости двух главных центральных осей инерции спутника.

Отметим также работы [ 40, 53 ] , где излагаются некоторые соображения о численном анализе решений прямой задачи, и работу £42] , где прямая задача решена для осесимметричного гиростата.

Несколько работ посвящено определению стационарных движений гиростата, на который, кроме гравитационного момента, действуют также и другие внешние моменты. В ["15, 1б] исследуется вращательное движение осесимметричного спутника-гиростата, вектор гироста-тического момента которого направлен вдоль оси симметрии спутника, на круговой экваториальной орбите. На спутник действуют гравитационный, магнитный и аэродинамический моменты. В [15] определены семейства стационарных вращений спутника и получены достаточные условия устойчивости этих вращений при дополнительном предположении -V .В [1б] исследуются положения равновесия спутника-гиростата в орбитальной системе координат.

Определены: I) все решения, когда главные центральные оси инерции спутника направлены вдоль осей орбитальной системы координат; 2) все решения, когда одна из главных центральных осей инерции спутника совпадает с осью орбитальной системы координат и спутник повернут относительно этой оси на постоянный угол; 3) некоторые решения, не относящиеся к случаям I) и 2). Исследуется устойчивость полученных стационарных решений. Утверждается, что для спутника, находящегося под действием гравитационного и аэродинамического моментов, возможны лишь решения типа I) и 2). В [20, 35] в рамках обратной задачи определены положения равновесия спутника-гиростата, на который действуют гравитационный, аэродинамический и постоянный (в связанной со спутником системе координат) моменты.

В [35, 4l] рассматривается движение спутника с демпфирующими маховиками с учетом действия гравитационных моментов. Исследована устойчивость положения равновесия системы спутник-маховики на круговой орбите, проведен анализ влияния на спутник различных возмущающих эффектов.

Для анализа устойчивости стационарных движений механических систем применяют различные методы, большинство из которых основывается на теории устойчивости, созданной А.М.Ляпуновым и развитой многими учеными. Так, в [26, 28] для исследования устойчивости спутника с гравитационной системой ориентации применен второй метод Ляпунова и теорема Е.А. Барбашина - H.H. Красовского [ • В [ 22, 23, 37] условия устойчивости получены путем исследования экстремума динамического потенциала. В работах [ 16, 59] использована теорема Четаева, а в качестве функции Четаева взята связка интегралов уравнений движения. В работе £ 5l] при исследовании устойчивости стационарных движений гиростата применена теорема Томпсона-Тэта-Четаева, позволяющая судить об устойчивости тривиального решения линеаризованной в окрестности стационарного решения системы уравнений второго порядка, путем анализа собственных чисел симметричной матрицы коэффициентов при векторе координат.

В настоящей работе рассмотрены задачи движения искусственных спутников Земли относительно центра масс с различными типами пассивных систем ориентации в предположении, что влиянием движения спутника вокруг центра масс на движение центра масс по орбите можно пренебречь. Основное внимание уделяется исследованию стационарных движений спутников.

Диссертация состоит из 3 глав.

В первой главе рассмотрена задача определения всех положений равновесия спутника-гиростата в общем случае, В разделе 1.1 введены основные системы координат и углы, необходимые для описания движения спутника-гиростата относительно орбитальной системы координат. Получены выражения для кинетической и потенциальной энергии системы. Считая, что на спутник-гиростат действуют аэродинамический и постоянный (в связанных со спутником осях) моменты, выписаны уравнения движения гиростата на круговой орбите. В разделе 1.2 в рамках обратной задачи рассматриваются решения алгебраических уравнений для определения стационарных движений гиростата. Система алгебраических уравнений записана в направляющих косинусах между орбитальной и связанной со спутником системами отсчета.

Спроектировав уравнения данной системы на оси орбитальной системы координат и произведя ряд преобразований,переходим к двум алгебраическим уравнениям, из которых в разделе 1.3 получены оба частных случая прямой задачи, когда вектор кинетического момента маховиков либо совпадает с главной центральной осью инерции спутника, либо ортогонален одной из осей, связанной со спутником системы координат. Общий случай прямой задачи для спутника-гиростата рассмотрен в разделе 1.4. Заменяя в двух алгебраических уравнениях направляющие косинусы их выражениями через утлы Эйлера, с использованием понятия результанта, получено алгебраическое уравнение 12-го порядка, которое определяет все положения равновесия спутника-гиростата. Каждому действительному корню уравнения соответствуют два стационарных решения гиростата, а так как число действительных корней не превышает 12, то спутник-гиростат на круговой орбите, может иметь не более 24 положений равновесия в орбитальной системе координат.

В разделе 1.5 проведено исследование этого уравнения и его решений. Численно определялась зависимость числа действительных решений уравнения от параметров, характеризующих моменты инерции спутника и кинетический момент Ь . В плоскости параметров построены границы областей с равным числом действительных решений. Показано, что при достаточно малой величине Ь существуют 24 положения равновесия. С ростом величины ¡1 число возможных положений равновесия уменьшается последовательно на 4 и, начиная с определенных значений Ь , при дальнейшем увеличении кинетического момента существует только 8 равновесных решений.

Изложен алгоритм численного построения границ областей с равным числом действительных корней, основанный на методе выделения квадратичных множителей с применением метода Ньютона.

В разделе 1.6 описывается схема исследования устойчивости положений равновесия гиростата с использованием второго метода Ляпунова.

В разделе 1.7 построены кривые зависимости решений уравнения 12-го порядка от параметра. Изложен метод построения кривых. Проведено численное исследование устойчивости полученных решений.

Глава 2 посвящена исследованию условий существования единственного устойчивого положения равновесия спутника-гиростата с аэродинамическим; стабилизатором на круговой орбите.

В разделе 2.1 проводится анализ влияния сопротивления атмосферы на движение спутника-гиростата в центральном ньютоновом силовом поле. Рассматриваются уравнения движения гиростата на круговой орбите в среде с сопротивлением.

В разделе 2.2 излагаются некоторые соображения о возможности обеспечения однозначности трехосной гравитационной ориентации спутника-гиростата с аэродинамическим стабилизатором без активной системы предварительного успокоения. Рассматривая систему уравнений для определения стационарных движений гиростата с учетом сопротивления атмосферы полагаем, что ось ротора параллельна одной из главных центральных осей инерции спутника, а центр давления спутника лежит за его центром масс на главной оси инерции. Условия устойчивости нулевого решения, когда соответствующие оси орбитальной и связанной систем совпадают, получаем с помощью исследования интеграла энергии.

Все возможные положения равновесия спутника-гиростата при сделанных предположениях определены в разделе 2,3.

В разделе 2.4 определены значения параметров, характеризующие моменты инерции спутника, кинетический и аэродинамический моменты, при которых устойчивым является лишь нулевое положение равновесия, а другие положения равновесия либо неустойчивы, либо не существуют. Достаточные условия неустойчивости решений получены на основании теоремы Кельвина.

В разделе 2.5 предложен более простой метод оцределения условий существования единственного устойчивого положения равновесия. В системе, определяющей стационарные движения гиростата, осуществлен переход от направляющих косинусов к Эйлеровым углам и для спутников с инерционными характеристиками из более широкой области, чем в разделе 2.4, получены условия, при которых решения, отличные от нулевого, либо неустойчивы, либо невозможны.

В разделе 2.6 получены условия существования единственного, асимптотически устойчивого положения равновесия для спутника-гиростата с аэродинамическим стабилизатором и демпфирующим маховиком.

Исследования асимптотической устойчивости стационарных решений проведены на основании теоремы Барбашина-Красовского.

В главе 3 рассматривается движение спутника на круговой орбите при действии постоянных моментов.

В разделе 3.1 приведены уравнения движения спутника под действием постоянных моментов. Система алгебраических уравнений, определяющая стационарные движения спутника, методом исключения неизвестных сведена к алгебраическому уравнению 6-го порядка. Это уравнение представляет собой определитель, элементы которого суть.полиномы от нескольких величин, характеризующих моменты инерции спутника и постоянный момент. Для получения явного вида этого уравнения необходимо выполнить большой объем преобразований, проведение которых вручную требует значительного времени. Вычисление определителя матрицы, приведение подобных членов после подстановки выражений ее элементов и представление окончательного уравнения в виде, удобном для численного исследования его решений, проведено с использованием системы,аналитических преобразований РЕйиСЕ-Я ,

Описанию этой системы посвящен раздел 3.2. Приводится последовательность команд программы, реализующей перечисленные преобразования. Показано, что каждому действительному корню полученного алгебраического уравнения, определяющего все положения равновесия спутника под действием постоянных моментов, соответствует четыре положения равновесия спутника. Так как число действительных корней уравнения не превышает 6, то спутник под действием постоянного момента на круговой орбите, как и спутник-гиростат, может иметь не более 24 положений равновесия в орбитальной системе координат.

В разделе 3.3 приведены результаты численного исследования стационарных решений при помощи метода, описанного в разделе 1.5.

Таким образом, в диссертационной работе исследован ряд пассивных систем ориентации и предложены конструктивные рекомендации по выбору значений параметров этих систем. Результаты работы, опубликованные в[8,9,29,30,661 применимы к практическим задачам проектирования новых систем ориентации спутников и улучшения характеристик уже существующих систем.

Диссертация содержит 75 страниц основного текста, 77 рисунков, список литературы из 66 наименований.

Выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В.А.Сарычеву за постоянное внимание и поддержку в ходе выполнения работы. ч

- 17

Основные результаты, полученные в диссертационной работе,состоят в следующем:

1. Предложен метод определения всех положений равновесия спутника-гиростата. Показано, что на круговой орбите для спутника-гиростата с заданным вектором гиростатического момента и главными центральными.моментами инерции в общем случае существует не более 24 положений равновесия в орбитальной системе координат. Если модуль кинетического момента ¡1 достаточно мал, то имеют место 24 изолированных положений равновесия, с ростом Ь число изолированных положений равновесия убывает и, начиная с некоторых определенных значений И , при дальнейшем увеличении кинетического момента возможны лишь 8 положений равновесия. Проведено численное исследование равновесных решений и условий их устойчивости.

2. Получены условия существования единственного устойчивого положения равновесия спутника-гиростата с аэродинамическим стабилизатором на круговой орбите. Проведено исследование асимптотической устойчивости положений равновесия.

3. С использованием системы аналитических преобразований на ЭВМ проведены исследования положений равновесия спутника на круговой орбите под действием гравитационного и постоянного (в связанной системе координат) момента, показано, что в этом случае существует не более 24 равновесных ори-ентаций в орбитальной системе координат.

- 76

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Анчев A.A. О стабилизации относительного равновесия спутника с маховиками. Космич. исследования, 1966, т. 4, № 2, с. 192-202.

2. Анчев. А., Лилов Л. Равновесии ориентации на спътник-жиростат по кръгова орбита при фиксирани вътрешни движения. Теоретична и приложна механика, 1978, т. 9, № 4, с. 9-29.

3. Барбашин Е.А., Красовский H.H., Об устойчивости движения в целом Докл. АН СССР, 1952, т. 86, В 3, с. 453-456.

4. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. Наука, 1965. - 416 е., ил.

5. Гердт В.П., Тарасов О.В., Широков Л.В. Аналитические вычисления на ЭВМ в приложении к физике и математике. Успехи физических наук, 1980, т. 130, вып. I, с. II3-II7.

6. Колесников H.H. Регулярная прецессия свободного гиростата. -Прикл. мат. и мех., 1966, т. 30, $ 3, с. 589-593.

7. Крылов В.И., Бобков B.B., Монастырский П.И. Вычислительные методы, т. I М.: Наука, 1976. - 304 е., ил.

8. Курош А.Г. Курс высшей алгебры М.: Физматгиз, 1968»

9. Лавров C.G., Силагадзе Г.С. Автоматическая обработка данных. Язык ЛИСП и его реализация. М., 1978.

10. Мингори Д.А. Влияние диссипации энергии на устойчивость ориентации спутников с двойным вращением. В кн.: Стабилизация искусственных спутников. Сб. статей М., Мир, 1974, с. 209-228.

11. Морозов В.М. Об устойчивости движения гиростата под действием гравитационных, магнитных и аэродинамических моментов. Кос-мич. исследования, 1967, т. 5, № 5, с. 727-732.

12. Морозов В.М. Об устойчивости относительного равновесия спутника при действии гравитационного, магнитного и аэродинамического моментов. Космич. исследования, 1969, т. 7, № 3, с. 395401.

13. Охоцимский Д.Е., Сарычев В.А. Система гравитационной стабилизации искусственных спутников: Сб. Искусственные спутники Земли, М., изд. АН СССР, 1963, Jfc 16, с. 5-9.

14. Пеньков В.И., Сарычев В.А. Оптимизация параметров гравитационной системы стабилизации спутников с одностепенным -шарнирным подвесом. Прецринт Ин-та прикл. мат. АН СССР, 1974, $ 68.

15. Пеньков В.И., Сарычев В.А. Гравитационная система стабилизации спутников с одностепенным шарнирным подвесом. Космич. исследования, 1977, т. 15, I 4, с. 499-510.

16. Садов Ю.А. Периодические движения спутника с магнитным демпфером в плоскости 1фуговой орбиты. "Космич. исследования", 1969, т. 7, I, с. 51-60.

17. Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников. В кн.: Исследование космического пространства. Итоги науки и техники. ВИНИТИ, 1978, т. II.

18. Сарычев В.А. Исследование динамики системы гравитационной стабилизации. Сб. "Искусств, спутники Земли", М., изд. АН СССР, 1963, 16, с. 10-33.

19. Сарычев В.А. Упрощение схемы системы гравитационной стабилизации спутника. Космич. исследования, 1964, т. 2, В I, с.33-45.

20. Сарычев В. А. Условия устойчивости системы гравитационной стабилизации спутников с гиродемпфированием. Astronaut. Acta , 1969,v. 14, № 4,р. 299-310.

21. Сарычев В.А., Бирюкова М.П., 1утник С.А. О положениях равновесия спутника-гиростата на круговой орбите.-Космич* исследования, 1982, т. 20, № 6, с. 837-847.

22. Сарычев В.А., 1утник С.А. К вопросу о положениях относительного равновесия спутника-гиростата. Космич. исследования, 1984» т. 22, В 3, с. 323-326.

23. Сарычев В.А., Мирер С.А. Гравитационно-гироскопические системы ориентации спутников. Препринт Ин-та прикл. матем. АН ССС5 1975, гё 123.

24. Сарычев В.А., Пеньков В.И., Яковлев Н.И. Оптимизация параметров линейных систем.-Препринт Ин-та прикл. матем. АН СССР, 1975,124.

25. Сарычев В.А., Садов Ю.А. Анализ динамики спутника с гироаэроди-намической системой ориентации: Сб. Космическая стрела М.: Наука, 1974, с. 71-88.

26. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Мельник Н.В. Пространственные периодические колебания спутника относительно центра масс. Препринт Ин-та прикл. матем. им.М.В.Келдыша АН СССР, 1978, № 118.

27. Сарычев В.А,, Яковлев Н.И. Исследование динамики гравитационно-ориентированного спутника с маховиками. Препринт Ин-та прикл. матем. АН СССР, 1973, № 32.

28. Система программирования reduc.e « 2. руководство под редакцией В.А.Ростовцева. Дубна, 1982, Объед. ин-т ядер, исслед., ЛВТА.

29. Степанов С.Я. О множестве стационарных движений спутника-гиростата в центральном ньютоновском поле сил и их устойчивость. -Прикл. мат. и мех., 1969, т. 33, » 4, с. 737-744.

30. Токарь E.H. Возможные принципы ориентации космического,аппарата относительно вращающейся системы координат. Космич. исследования, 1966, т. 4, « 3, с, 356-366.

31. Фишел P.E., Мобли Ф.Ф. Система пассивной гравитационно-градиентной стабилизации искусственных спутников Земли. В кн. Проблемы ориентации искусственных спутников Земли. Сб. статей. М., Наука, 1966, с. 106-142.

32. Яковлев Н.И. 0 положениях относительного равновесия гиростата. Препринт ин-та прикл. матем. АН СССР, 1976, № 78.

33. Яковлев Н.И. 0 динамике гравитационно-ориентированного спутника-гиростата с демпфирующим маховиком. Космич. исследования, 1977, т. 15, № 4, с. 5II-5I5.

34. Дпсбегг A. Eyuiáfau/r? oz¿en/a¿¿o/?s о/ sy/nmefee pyzestó saú&'ZÍesm¿/? c¿ speol/¿ec/ c/itetnaf axcjctfot /яо/тгея^и/п. 3&ф<?гса/7 Лсаг/еягуо/ Sciences. r/?eoze¿¿cae а*с/ Appf. A/ecAa*/es, /#?3, л//,#£-93.

35. Delisfa J.E., Ogtetzee£.0., f/tfc/e6za/r¿6M T/?e appácaáo/? о/pyzo-staéóázezs ú> ozé¿¿¿/i£ ve/?¿c¿es. ~ Toques сгяс/ a¿é¿fa¿/e se/?s¿/rp eait/í satenes, A/e и/ Y0z/r ¿олс/о/?, Acad. Press, /964,/}, 3/-1Я.

36. Hew A. C. REDUCE-Z ¿/sets та/гиае. Шая союритЬ&жа?pAgs/cs ptotyb, fefotá А/о. OCP-/9, /9?3.

37. Huston G^zoscojbía bta&ázatcen о/ space veAcefes. 4 14A Joa%na£, 4963, и ¿ , А/?, p. /694-/696.

38. J.K. The feasièLàty cf aewdynamic attitude staêiâzûûon of a saieéêiée tehiûfe. A met. Pocket Soc. Ptefitinés, 1959,t/W.

39. E.E. bcimping cf a gzavitatLona^ otîevtec/ tm-6ody satePàte. APS Jouzs?a£, Ш, u. 52, M2, p. W/-WS.

40. Svych&rUA., ûutnikSJ. EyaiùBvun positions ofasatettiteqyiodat. 35 ih Intezncrtionaê Astionaccèica? Confess, Lausanne, 1984; тезисы докладов, с. 356.

41. Рис. I.I Основные сист&.ты координат

42. Рис. 1.2 Определение углов ос , р , %У

43. Рис. J л Uo.S, h5 = 0.ze Puc.15.

44. Рис.16. 0.2, k3~Ö.?5 Puc.L?. ))=o.Z,k3={16 Ал