Влияние магнитного поля Земли на вращательное движение заряженного искусственного спутника Земли тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ПЕТРОВ Константин Георгиевич

ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ НА ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННОГО ИСКУССТВЕННОГО СПУТНИКА ЗЕМЛИ

01.02.01 - теоретическая механика.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2003

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.

Научный руководитель

- доктор физико-математических наук, профессор Тихонов Алексей Александрович.

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Лестев Александр Михайлович, - доктор физико-математических наук, профессор Иванова Елена Александровна.

Ведущая организация

- Московский авиационный институт (Государственный технический университет).

Защита состоится «_»_2003 г. в_часов на заседании диссертационного

совета Д 212.232.30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Ст. Петергоф, Университетский пр., д. 28, математико-механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной библиотеке им М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Университетская наб., д. 7/9.

Автореферат разослан «_»_2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук,

профессор С. А. Зегжда

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Развитие космонавтики поставило перед исследователями вопрос об активной защите космических аппаратов от заряженных частиц солнечного ветра с помощью электромагнитных полей, а также связанный с этим вопрос о влиянии лоренцевых сил на вращательное движение заряженного искусственного спутника Земли (ИСЗ) вокруг его центра масс. Радиация, как известно, является одним из основных неблагоприятных факторов космического полета и борьба с ней представляет собой важную проблему, возникающую при обеспечении продолжительного космического полета. Одним из наиболее эффективных способов радиационной защиты космических аппаратов является активная защита с помощью электростатических полей, отклоняющих заряженные частицы. ИСЗ, оснащенный электростатической защитой, подвергается воздействию лоренцевых сил со стороны магнитного поля Земли (МПЗ), которые способны оказывать существенное влияние на вращательное движение ИСЗ вокруг его центра масс. Разработка поставленных проблем обнаружила богатое идейное содержание и большое количество малоисследованных вопросов, среди которых выделяется далеко еще не решенный вопрос об адекватной математической модели рассматриваемых явлений. Кроме того, в процессе исследования обнаружилась принципиальная возможность использования момента лоренцевых сил для управления вращательным движением заряженного ИСЗ вокруг его центра масс. Укачанные обстоятельства ставят проблемы влияния лоренцевых сил на вращательное движение заряженного ИСЗ вокруг его центра масс в ряд актуальных задач космодинамики. Цель работы

- Аналитическое исследование влияния момента лоренцевых сил на эволюцию ротационного движения заряженного ИСЗ, движущегося в магнитном поле Земли по кеплеровой орбите.

- Оптимизация моделей магнитного поля Земли для аналитического решения задач о влиянии лоренцевых сил на ротационное движение заряженного ИСЗ.

- Применение в-параметризации при построении и аналитическом исследовании математической модели ротационного движения заряженного ИСЗ.

Методы исследования. В диссертации применяются приближенные аналитические методы исследования динамических систем, описывающих ротационное движение твердого тела, методы тензорного исчисления и методы математической статистики. Научная новизна. В диссертации получены новые результаты, представленные к защите:

1) Впервые на базе новых дифференциальных уравнений ротационного движения твердого тела, записанных с использованием ь-параметров, исследуется задача о влиянии лоренцевых сил на ротационное движение заряженного ИСЗ.

2) Разработан метод усреднения уравнений ротационного движения твердого тела, записанных с использованием в-параметров, по невозмущенному движению Эйлера-Пуансо.

3) Построена осесимметричная квадрупольная модель магнитного поля Земли, позволяющая получать качественно верные результаты в процессе исследования математических моделей ротационного движения заряженного ИСЗ.

4) Методом усреднения уравнений обнаружено, что постоянный по модулю вектор момента импульса заряженного ИСЗ с тремя равными моментами инерции совершает под действием лоренцевых сил коническую прецессию с постоянной угловой скоростью прецессии и осью, проходящей через центр масс ИСЗ.

5) Показано, что эволюция вектора момента импульса ИСЗ под действием одновременно гравитационных и лоренцевых сил имеет гораздо более сложный

характер, чем коническая прецессия.

6) Установлено, что зависимость угловой скорости прецессии момента импульса ИСЗ от параметров орбиты ИСЗ, моментов инерции ИСЗ и распределения заряда ИСЗ существенно зависит от используемой модели МПЗ.

7) Установлено, что качественно верная зависимость угловой скорости прецессии момента импульса ИСЗ от параметров орбиты ИСЗ и от распределения заряда ИСЗ получается при использовании квадрупольной модели МПЗ или более сложной его мультипольной модели, содержащей четное число мультипольных составляющих МПЗ.

8) Обнаружено, что главным фактором, определяющим влияние распределения заряда ИСЗ на момент лоренцевых сил, является статический момент заряда первого порядка.

9) Показано, что при смещении центра заряда ИСЗ относительно его центра масс, составляющем величину порядка нескольких процентов от характерного размера ИСЗ, заряд ИСЗ можно считать точечным зарядом, сосредоточенным в центре заряда ИСЗ, и вычислять момент лоренцевых сил, пользуясь его приближенным выражением, учитывающим только статический момент заряда первого порядка.

10) Установлено, что абсолютная величина вектора угловой скорости прецессии при достаточно большой величине статического момента заряда первого порядка пропорциональна абсолютной величине статического момента заряда первого порядка, а направление вектора угловой скорости прецессии остается при этом постоянным.

11) Показано, что эволюция вектора момента импульса ИСЗ под действием гравитационных и лоренцевых сил происходит медленно по сравнению с вращением ИСЗ вокруг его центра масс, суточным вращением Земли и орбитальным движением центра масс ИСЗ.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением к решению поставленных задач классических методов аналитической механики, математического анализа, асимптотических методов нелинейной механики, метода качественного анализа фазовых траекторий движения, а также решением ранее исследованных задач методами, применяемыми в диссертации. Практическая ценность

- Система уравнений ротационного движения твердого тела, записашт с использованием Б-параметров, и метод ее приближенного аналитического исследования, разработанные в диссертации, могут быть успешно применены при исследовании любых задач ротационного движения твердого тела. Осесимметричная квадрупольная модель магнитного поля Земли позволяет строить качественно верные и достаточно простые математические модели вращательного движения заряженного ИСЗ, что может оказаться полезным на начальном этапе проектирования ИСЗ с электростатическими экранами радиационной защиты, а также в других задачах, связанных с исследованием динамики ИСЗ, взаимодействующих с МПЗ.

- Обнаруженные стационарные точки типа «центр» траекторий апекса момента импульса заряженного ИСЗ на единичной сфере могут использоваться для стабилизации направления угловой скорости ИСЗ.

- Зависимость положения указанных выше стационарных точек от распределения заряда ИСЗ позволяет управлять направлением угловой скорости ИСЗ.

Апробация работы и публикации. Результаты исследования докладывались на Вторых Поляховских чтениях (Санкт-Петербург, 2000 г.), на Третьих Поляховских чтениях (Санкт-Петербург, 2003 г.). По материалам диссертации опубликованы работы [1 - 8].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из пяти глав, введения и заключения, изложена на 99 страницах, включая 53 рисунка, одну таблицу и список литературы, содержащий 58 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении формулируется цель исследования. Рассматривается вопрос о его актуальности и о научной новизне полученных результатов. Дается краткий обзор современного состояния проблемы. Формулируются результаты, выносимые на защиту. В первой главе вводятся системы координат и основные обозначения, используемые в работе.

Во второй главе разработан метод исследования уравнений ротационного движения твердого тела, использующих s-пapaмeтpизaцию вместо углов Эйлера.

Известная система уравнений ротационного движения твердого тела в переменных Андуайе имеет вид

з. Р л, 1 ят2<р

ф = ¿СО80(—--

¥ = Ц—~ + —-£-)--!-т—-2-в---¿-Й ёр,

А В Ь Ь

СОЪ2<р М, + М,8Ш у/

В Ьътв

(1)

в = Ц—---—).Ч1П в вШ ф соя ф +

А В

Мгсо$у/ — М^шу/

В этой системе уравнений наряду с углами Эйлера <р, у/, и в, задающими ориентацию сисгемы главных центральных осей инерции твердого тела Схуг в системе координат СЛ, и Ц (см рис. 1), используются углы р и <т, показанные на рис. 2. Кенигова система координат СХУХ, показана на рис. 2. Предполагается, что ось С7, перпендикулярна плоскости орбиты ИСЗ, а ось СХ параллельна линии узлов орбиты и направлена в сторону ее восходящего узла. Система координат СЦсвязана с вектором Ь момента импульса тела: ось СЛ., коллинсарна вектору момента импульса тела, а ось СХ, образует тупой угол с осью СТ. М1,М2<М3 - проекции момента внешних сил на оси системы координат С^Ц^, £ - абсолютная величина вектора момента импульса тела, А, В, С -главные центральные моменты инерции тела.

рис. 1 рис. 2

Уравнения (1), традиционно используемые для построения математических моделей ротационного движения твердого тела, называются уравнениями Белецкого-Черноусько

(см. В. В. Белецкий «Движение искусственного спутника относительно центра масс» М., Наука, 1965).

Вращение твердого тела можно запараметризовать не только углами Эйлера. Довольно распространенной является параметризация кватернионами ориентации Я,, / =0...3 (см. В.Н. Бранец, И.Г1. Шмыглевский «Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела» М., Наука, 1973), но она является избыточной, четырехпараметрической и применяется при численном моделировании динамики твердого тела. На основе кватернионов ориентации можно построить несколько разновидностей трехпараметрических параметризаций, среди которых находится s-параметрииция (см. S.R. Marandi, V.J. Modi "A preferred coordínate system and the associated orientational represntation in attitude dynamics"// Acta Astronáutica, Vol. 15, No. 11, pp. 833 - 843, 1987.), применяемая в настоящей работе. Вектор s-параметров получается из кватерниона ориентации [Marandi, Modi 1987] следующим образом 5, = Я,/(1—А,,), / = 1...3. Этот вектор также можно выразить через вектор конечною поворота тела на угол ú вокруг оси, заданной направляющим вектором Я в виде ú

s=ñctg—. Система уравнений, использующая вместо углов Эйлера s-параметризацию,

имеет вид

¿ = M3, p-=MjL, <j = AÍ2/(í.sinp),

¡V У А 0 0 4 чг ' -мг '

¿2 = В 0 1/В 0 Аг 0 -В' М,

Л. 0 0 1/С L \ У Aí2ctgp

(2)

А = -

1

<И +D1

где матрицы А и В выражаются через s-параметры следующим образом

'(Jíf+U'-Btf+ií) 4(2Í,Í2-Í3(|.Í|2-1)) 4(2.*Л + *2ф|2-1)) 4(2.v,+í3(|.íf-l)) (|j|2+1)2-8(í,2 + í32) 4(2í2í3 -í,(|j|2 -1)) 4(2V| - *2(j.f -l)) 4(2^2 + 5,(1^-1)) (|s|2 +1)2 -8(.?l2 + j2)

2(.v,Í2 - Í2) 2 (s2s3 + .9,)

(.2. 1

В = ---4

ьг — .*'з +1 2(?,Л'2 + 2(«2^, — 53) - Л2 + - «з +1

2(1У,£, + Л2 ) 2(л'3Л\ — л'|) — .1, — .12 т- .»з ■

Впервые система уравнений (2) была получена_в [6] наряду с несколькими другими разновидностями систем уравнений ротационного движения твердого тела, использующих различные виды кватернионной параметризации. Система уравнений рогационного движения твердого тела в виде (2) выбрана среди них как наиболее удобная для аналитических исследований ротационного движения твердого тела.

Для получения приближенного аналитического решения системы уравнений ротационного движения твердого тела, описывающего эволюцию оскулирующих элементов Ь,а,рротационного движения, уравнения усредняются по невозмущешюму движению Эйлера-Пуансо. Метод усреднения уравнений (1) можно найти в [Белецкий 1965]. Уравнения (2) можно усреднить по невозмущенному движению Эйлера-Пуансо с использованием, как замечено в [6], конфш урационного пространства невозмущенно вращающегося т вердо1 о гела

Конфигурационное пространство, как множество всех ориентаций твердого тела, допустимых при заданных значениях момента импульса и кинетической энергии тела, представляет собой поверхность в пространстве 8-параметров. Уравнение конфигурационного пространства получено автором в [6]. Там же была получена параметризация двумя угловыми параметрами конфигурационного пространства динамически симметричного твердого тела и дано решение кинематических уравнений

свободно вращающегося динамически симметричного твердого тела в этой параметризации. Было замечено, что невозмущенное вращательное движение динамически симметричного твердого тела может обладать квазиэргодическим свойством. Квазиэргодическое свойство может оказаться полезным при усреднении уравнений (2) по невозмущенному движению Эйлера-Пуансо.

Во второй главе эти вопросы исследуются более подробно, чем в [6]. Строится параметризация конфигурационного пространства для трех основных случаев вращательного движения твердого тела: твердого тела с тремя различными моментами инерции, динамически симметричного твердого тела и твердого тела с равными моментами инерции. Разрабатываются методы приближенного аналитического исследования математических моделей ротационного движения твердого тела с тремя равными моментами инерции и динамически симметричного твердого тела.

Параметризация двумя параметрами p¡ и р2 конфигурационного пространства твердого тела в случае трех разных моментов инерции при А> В>С имеет в пространстве углов Эйлера следующий вид

¡2T/L2 -1/ А

eos © = —-г—coso,,

Y ]¡ 1/B-l/A "

у/ = 2arctg(tg рг) (3)

a , , 27*/ü — VA

COSÍ? =+„ —¡-¡-—---r--Sin p,

p/C-l//l + (l/B-lM)cos>, 1 (если ITCjÚ e [C/A, C/S]). Если 2TC/Ü e (С/В, 1], то параметризация имеет вид

eos <р = p¡, у/ = 2arctg(tg р2)

(4)

cos0 = + |l/A-2r/¿z+(l/fi-l/A)cos2p, " 1/ С -1/ Л + (1/ К -1/A) eos2 р,

Конфигурационное Б-пространство представляет собой две горообразные поверхности, которые в случае (3) зацеплены как два кольца, а в случае (4) — вложены одна в другую. Эти поверхности показаны на рис. 3 и 4 соответственно, причем на рис. 4 показана объемлющая поверхность.

4

s2

рис. 3

-2 О рис. 4

В случае двух равных моментов инерции А = В *С конфигурационное пространство твердого тела представляет собой правильный тор, параметризуемый

углами а и /5 в виде .9. = cos^ (l + cos8„ cosa), s7 = (I + cos6,.cosq:).s, = ctgft. sina, smy0 sm0o

где угол 9„ подчиняется следующему соотношению sin2 2в0 = (27/Ü -1/С)/(1/А —1/С).

Показано, что траектория решения кинематических уравнений свободно

вращающегося динамически симметричного твердого тела покрывает этот тор всюду

плотно и что усреднение непрерывных и кусочно непрерывных функций по траектории

можно заменить усреднением по конфигурационному пространству. Это

квазиэргодическое свойство используется далее для усреднения уравнений ротационного

движения заряженного ИСЗ по невозмущенному движению Эйлера-Пуансо. Весовая

функция усреднения по конфигурационному пространству, полученная в этой главе,

имеет вид

к _ sin 0„

4я2(1 + cosfl,,cosa)'

а интегральная формула усреднения непрерывной функции / получается в виде , , _8ш0Лjf(a,P) dadp 4я2 ¿ ¿ 1+cos0o cosa ' Применение этих формул к задаче о ротационном движении динамически симметричного ИСЗ под действием только гравитационных сил показало совпадение результатов с решением, полученным ранее В.В. Белецким.

В случае трех равных моментов инерции траектории невозмущенного движения Эйлера-Пуансо представляет собой, как было показано в [1], движение по окружности, происходящее по закону

I? \ / \\ I. ¡-у

(5)

f(r)=[(>f -l)' +2(í' х,-)]/|í' ,

_.„ -/„1 -.,/4 0) (Ot

где s = 5 (0), s (п = —ctg—, со - угловая скорость вращения тела. Это движение, «а 4

очевидно, является периодическим с периодом Т = 4n/w, а конфигурационное пространство совпадает с траекторией невозмущенного движения Эйлера-Пуансо. Поэтому при усреднении уравнений ротационного движения твердого тела с тремя равными моментами инерции эти уравнения достаточно усреднить по окружности (5) за один период времени.

Положение главных центральных осей инерции твердого гела с тремя равными моментами инерции может быть произвольным, поэтому далее в диссертации считается, что ось инерции С z коллинеарна угловой скорости тела, остальные две оси — это произвольные жестко связанные с телом оси координат, образующие с первой осью правый ортогональный базис. В таком случае закон движения (5) принимает вид

j'(0=*ctgj^ + <I>oj, (6)

где к - орт оси С г, Ф0 - постоянная, зависящая от начальных условий .v" = ,v(o). Закон движения (6) используется при усреднении уравнений ротационного движения заряженного ИСЗ с тремя равными моментами инерции.

В третьей главе строится мультипольная модель МПЗ четвертого порядка. Потенциал мультипольной модели МПЗ четвертого порядка имеет вид

4 р »+2 „

и = cos(mA') + /г,'," sin(mA')), (7)

где R} - радиус Земли, (г,б",Я") - сферические координаты точки околоземного пространства, причем г - расстояние до центра Земли, в' - дополнение географической широты до л¡2, Я - географическая долгота, Р'" (л) - квазинормированные по Шмидту полиномы и присоединенные функции Лежандра, - гауссовы коэффициенты

магнитного поля Земли. В работе используются значения гауссовых коэффициентов международного аналитического поля МАП 2000 (см. Mandea М. et al. International geomagnetic reference field - 2000//Phys. of the Earth and Planetary Interiors, Vol. 120, pp. 39 -42,2000).

При вычислении индукции магнитного поля Земли по формуле В = —VU потенциал (7) представляется в виде суммы потенциалов первых четырех мультипольных составляющих МПЗ

р »+2 п

Vм =^r^P„",(cost?'Xg;;cos(mr)+/!,7sin(m^)), п = 1...4.

Соответственно, индукция МПЗ является суммой индукций этих мультипольных составляющих МПЗ.

Индукции МПЗ вычислена и представлена с использованием разработанной в [8] тензорной нотации потенциалов первых четырех мультипольных составляющих МПЗ и выражений компонент мультипольных тензоров через гауссовы юнффициенты.

В третьей главе рассматривается также вопрос о необходимости учета неоднородности МПЗ в объеме ИСЗ при вычислении момента лоренцевых сил, действующих на заряженный ИСЗ. Вследствие малых размеров ИСЗ сравнительно с размерами Земли неоднородность магнитного поля Земли можно представить в линейном приближении в виде

В(р) = Вс + £>с-р,

где Вс - индукция МПЗ в центре масс ИСЗ, Dc - градиент индукции МПЗ в центре масс ИСЗ, р - радиус-вектор точки относительно центра масс ИСЗ. В третьей главе получены компоненты матрицы Dc в орбитальной системе координат. Показано, что величина Dc ■ р оценивается как индукция магнитного поля Земли Вс, умноженная на отношение

характерного размера ИСЗ к радиусу Земли (т.е. на величину порядка 10"*). Относительная погрешность мультипольной модели МПЗ четвертого порядка по индукции МПЗ может достигать, как показано в диссертации, величин порядка 10~2. Поэтому учет неоднородности магнитного поля Земли существенно усложняет математическую модель магнитного поля Земли, не уточняя ее. По этой причине при вычислении момента лоренцевых сил, действующих на заряженный ИСЗ, по формуле

Мл = japx(vxB)dV,

V

1 где а - объемная плотность заряда ИСЗ, v - скорость движения точки с радиус вектором

р относительно МПЗ, считается, что магнитное поле Земли однородно, а его индукция

равна Вс. Приближенное выражение момента лоренцевых сил, полученное с учетом однородности МПЗ внутри ИСЗ, имеет вид

М Л = Q("x((vc - со, х гс) х Вс) + ю„ х (Q'2' вс), 1де vc - орбитальная скорость центра масс ИСЗ, й>3 - угловая скорость суточного вращения Земли, ft), - абсолютная угловая скорость вращения ИСЗ. Ciai ические моменты заряда ИСЗ первого и второго порядков, участвующие в выражении момента лоренцевых сил, имею г вид следующих интегралов по объему ИСЗ

р<Ж, (3(2,=|(7 р®р (IV.

V V

Полученное приближенное выражение для момента лоренцевых сил используется далее для построения математических моделей вращательного движения заряженного ИСЗ.

В четвертой главе строится математическая модель ротационного движения заряженного ИСЗ с тремя равными моментами инерции. При построении математической модели учитывается только воздействие лоренцевых сил и предполагается, что вековая эволюция оскулирующих элементов ротационного движения происходит медленно по сравнению с суточным вращением Земли и орбитальным движением центра масс ИСЗ. Поэтому при построении приближенного аналитического решения, описывающего вековую эволюцию вектора момента импульса ИСЗ под действием возмущений лоренцевыми силами, уравнения ротационного движения усредняются по невозмущенному движению Эйлера-Пуансо (5(0). суточному вращению Земли (часовой угол ф) и орбитальному движению центра масс ИСЗ (аргумент широты и).

Усредненная математическая модель показывает, что среднее значение момента лоренцевых сил, действующих на заряженный ИСЗ, можно представить в виде

а вековая эволюция момента лоренцевых сил представляет собой коническую прецессию с постоянной угловой скоростью прецессии О.. Вектор угловой скорости прецессии имеет вид

где О,1" - проекция статического момента заряда ИСЗ первого порядка на главную центральную ось инерции С г, <2(21», <3(21« - компоненты статического момента заряда ИСЗ второго порядка в главных центральных осях инерции ИСЗ, ] - момент инерции ИСЗ. Векторы

я и с имеют вид я — \>с х Вс, с ~ {р}^ х ) х Вс. Векторы а > с и , усредненные по суточному вращению Земли и орбитальному движению центра масс ИСЗ, зависят от гауссовых коэффициентов g¡',g2,g",g^ и параметров орбиты ИСЗ. Эти зависимости, имеющие достаточно громоздкие выражения, можно схематически представить в виде

<2>«, = С».0 «г'а.«^. /»)+р)+г? ««'(.-.о^. +»^(лв»,. р)),

(в)^ = (1 - е2)% Ь\исок, р) + 8°еЬ2а, СО,, р) + е\Ъ\1. а„ р) + еЪ\и(0„,р)), где е - эксцентриситет орбиты ИСЗ, р - фокальный параметр орбиты, ¡' - наклонение орбиты, о\ - аргумент перигея. Вектор-функции а", с" и Ъ" представляЮ1 собой ограниченные, не обращающиеся в нуль функции, раскладываемые по четным степеням эксцентриситета орбиты.

Анализ структуры векторов (о)^ и, (с)^ и ^В^ , проведенный в четвертой главе,

позволил сделать заключение, что качественно верная зависимость вектора угловой скорости прецессии £2 от параметров орбиты ИСЗ, сташческих моментов заряда ИСЗ, моментов инерции ИСЗ и его момента импульса получается при использовании в качестве модели МПЗ поля с потенциалом

г г

Это магнитное поле названо оеесимметричной квадрупольной моделью МПЗ.

В четвертой главе построены графики зависимости модуля вектора О и угла между этим вектором и осью С2от относительной величины смещения центра заряда ИСЗ от его центра масс вдоль оси С г- Графики построены для ИСЗ, оснащенного сферическим экраном радиационной защиты радиусом 5 метров, заряженным до потенциала 100 мегавольт. Относительная величина смещения центра заряда выражена в долях радиуса экрана. Графики построены для разных значений наклонения орбиты ИСЗ при использовании трех различных моделей МПЗ. При построении графиков зависимости модуля вектора П и угла между этим вектором и осью СЪ кениговой системы координат обнаружено, что при малых смещениях центра заряда ИСЗ от его центра масс вектор О. сильно зависит от статического момента заряда первого порядка.

рис. 5 рис. 6

Для примера покажем графики, соответствующие наклонению орбиты в 30 градусов. На рис. 5 показана зависимость угла в градусах между вектором О и осью Сгот смещения центра заряда ИСЗ, а на рис. 6 - зависимость модуля вектора Й от смещения центра заряда ИСЗ. Сплошная линия на рис. 5 и 6 соответствует модели прямого диполя, пунктирная - оеесимметричной квадрупольной модели МПЗ, точечная -мультипольной модели четвертого порядка. Упомянутая выше сильная зависимость направления вектора П от статического момента заряда первого порядка заметна на рис. 5 в области малых значений (1. Если же смещение центра заряда составляет несколько процентов от характерного размера ИСЗ и более, то направление вектора £2 асимптотически приближается к некоторому значению, а его модуль оказывается пропорциональным модулю статического момента заряда первого порядка, что заметно на рис. 6. Это позволило заключить, что случай ротационного движения ИСЗ, при котором центр заряда совпадает с центром масс, оказывается труднореализуемым технически и потому - нехарактерным для практических задач космодинамики. Поэтому при построении математических моделей ротационного движения заряженного ИСЗ следует считать, что центр заряда смещен от центра масс ИСЗ на расстояние, достаточное, чтобы при вычислении момента лоренцевых сил можно было пользоваться следующим упрощенным его выражением, зависящим только от статического момента заряда ИСЗ первого порядка:

мл = <з0) х«ус - й3 х ?с) х вс).

Графики показывают, что кривые, выражающие зависимость модуля и направления вектора угловой скорости грецессии от смещения центра заряда, полученные при использовании осесимметричной квадрупольной модели МПЗ мало отличаются от таких же кривых, полученных при использовании более сложной мультипольной модели МПЗ. Дипольная модель МПЗ дает результаты, существенно отличающиеся от результатов, полученных при использовании квадрупольной модели МПЗ. Это может служить еще одним подтверждением необходимости использования осесимметричной квадрупольной модели МПЗ при построении математических моделей ротационного движения заряженного ИСЗ.

Графики, зависимости абсолютной величины вектора £2 от смещения центра заряда ИСЗ (один т которых изображен на рис. 6) показывают, что для обычных значений электростатических параметров ИСЗ, характерных для ИСЗ, снабженных радиационной защитой, угловая скорость прецессии момента импульса ИСЗ оценивается величиной порядка 10 9 - 10" г"' . При наличии управления, описанного патентом [7], эта величина может достигать 10~6 с 1. В любом случае вековая эволюция момента импульса ИСЗ происходит медленно по сравнению с суточным вращением Земли и орбитальным движением центра масс ИСЗ. Поэтому оказывается оправданным усреднение уравнений ротационного движения заряженного ИСЗ по суточному вращению Земли и орбитальному движению центра масс ИСЗ.

В пятой главе строится математическая модель ротационного движения заряженного динамически симметричного ИСЗ.

При построении математической модели предполагается, что ИСЗ находится под действием гравитационных и лоренцевых сил, что вековая эволюция оскулирующих элементов ротационного движения происходит медленно по сравнению с суточным вращением Земли и орбигальным движением центра масс ИСЗ При построении приближенного аналитического решения, описывающего вековую эволюцию момента импульса ИСЗ, уравнения ротационного движения усредняются по невозмущенному движению Эйлера-Пуансо, суточному вращению Земли и орбитальному движению центра масс ИСЗ.

Усредненный момент лоренцевых сил имеет вид

-ПхЕ,

где

1,1 1

Hi

П(2) , П(2> п<2> g " + У (1 + cos2 2в0) + 20,

2 С л

4-

4 s " 2

Угловой параметр 0О определен выше и равен половине угла нутации. Векторы (a)ifu,

(с)ф и ^ определяются также, как и в предыдущем рассмотренном случае.

Усредненный момент гравитационных сил в проекциях на оси системы координат CLfL^L, имеет вид

("">,..=0. («гэ)„=0,

(Мг2),« = ~ е^/2(-А ~ ~ fsi"2 2e.)sin р cos р

Выражение момента лоренцевых сил, аналогичное полученному в предыдущей главе выражению, позволило сделать вывод, что в рассматриваемом стучае ротационного движения справедливы все ранее сделанные заключения о модели магнитного поля Земли и характере зависимости вей opa угловой скорости прецессии ÍI от различных параметров.

Осесимметричная квадрупольпая модель магнитного поля Земли оказывается оптимальной при построении математической модели ротационного движения динамически симметричного заряженного ИСЗ.

Ротационное движение заряженного ИСЗ с центрованным распределением заряда технически трудно осуществимо, поэтому его следует считать нетипичным для космодинамики случаем и предполагать, что центр заряда смещен от центра масс ИСЗ на достаточно большое расстояние. Момент лоренцевых сил можно при этом вычислять, пользуясь полученным в предыдущей главе приближенным выражением.

Угловая скорость прецессии LI достаточно мала длч того, чтобы вековую эволюцию вектора момента импульса ИСЗ можно было считать медленной по сравнению с суточным вращением Земли и орбитальным движением центра масс ИСЗ.

Совместное действие возмущающих моментов гравитационных и лоренцевых сил приводит к тому, что вековая эволюция момента импульса ИСЗ носит гораздо более сложный характер, чем коническая прецессия момента импульса заряженного ИСЗ с тремя равными моментами инерции. Это движение, подчиняющееся системе уравнений

¿ = 0,

р =-£lx sin<7+n, coser, d = 2íírcosp-(ílx coser+ £2,. sin a)ctgp + £2z,

где

г 4 p> L 2 °

имеет первый интеграл

h - Qrcos2 p + (Clx cos ст + Í2|, sin ст) sin p + Í2Z cos p,

который можно свести к интегралу

Í. , 1 2 h = asin рсо&% — асочр ——c„cos р,

полученному и исследованному А.А.Тихоновым (см. A.A. Тихонов <'К вопросу об эволюции ротационного движения экранированного ИСЗ»//Вестн. Ленингр. ун-та, Сер. 1, 1990, Вып. 4(№ 22), С. 104-105) при рассмотрении другой задачи. Соответствие устанавливается по следующему закону

а=-ЩТЩ, с0 =-2Пг, d = -Qz, х = tgoa = йг/Пх.

Траектории апекса момента импульса ИСЗ на единичной сфере имеют плоскость симметрии, проходящую через ось CZ кениговой системы координат и вектор £2. Особые точки траекторий апекса лежаг в эгой плоскости. Вид траекторий апекса различен для каждого из следующих вариантов соотношения знаков параметров к] = ас~' и к2 = <1с~': 1)*,>0Д2>0 2)к, <0,к2 >0, 3)£, >0Д, <0, 4)*, <0Д2 <0.

Для первого из перечисленных вариантов фазовые траектории, в зависимости от знака дискриминанта

Л = ~ kfk¡ \пк;кгг - (1 - к? - к] У ],

имеют вид, показанный на рис. 7 и 8. Рис. 7 соответствует случаю D > 0, а рис. 8 - случаю D< 0. Возможные шпы траекторий апекса для остальных трех вариантов соотношения знаков получаются поворотом рис. 7 и 8 вокруг вертикальной и горизонтальной осей на

180 градусов. Случай 2 получается при повороте рисунков вокруг вертикальной оси, случай 4 - при повороте вокруг горизонтальной оси, а случай 3 - при повороте вокруг вертикальной и горизонтальной осей.

IIa рис. 7 две особые точки типа «центр», на рис. 8 - три особые точки типа «центр» и одна точка типа «седло». Особым точкам типа «центр» соответствуют устойчивые стационарные значения вектора момента импульса ИСЗ, а седловидной точке -неустойчивое. Радиусы, отмеченные на рисунках пунктиром, соответствуют значениям угла р, удовлетворяющим условию cos р = ~кг.

Зависимость дискриминанта D от абсолютной величины вектора Q позволила сделать заключение о возможности параметрического воздействия на траектории апекса момента импульса ИСЗ при управлении распределением заряда ИСЗ, что открывает новую область управления ротационным движением заряженного ИСЗ путем изменения его распределения заряда, например, с помощью устройства, описанного патентом [7].

В заключении сформулированы результаты, представляющие теоретический интерес, но рассматриваемые автором как вспомогательные. Перечислены нерешенные проблемы, как имевшиеся ранее, так и возникшие в процессе диссертационного исследования.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Петров К.Г. Конфигурационное s-пространство твердого тела с равными моментами инерции в случае Эйлера // Веста СПбГУ, Сер. 1, 2002, Вып. 1(№ 1), с. 84 - 86.

2. Петров К.Г. Конфигурационное ^-пространство динамически симметричного твердого тела в случае Эйлера // Труды междунар. науч. конференции "Третьи Поляховские 'пения", СПб, 2003 г (в печати).

3. Петров К.Г. Модель магнитного поля Земли для исследования ротационного движения заряженного искусственного спутника Земли // Вторые Поляховские чтения: тез. докл. Всеросс. науч. конф. по механике, СПб, 2-4 февраля 2000 г. -СПб.: Изд. НИИХ СПбГУ, 2000. - 161 е., С. 43 - 44.

4. Петров К.Г., Тихонов A.A. Момент сил Лоренца, действующих на заряженный спутник в магнитном поле Земли. Ч. 1. Напряженность мапштного поля Земли в орбитальной системе координат// Вестн. С.-Петербург. Ун.-та. Сер.1., 1999, вып. 1 (№ 1), с. 92 -100.

5. Петров К.Г., Тихонов A.A. Момент сил Лоренца, действующих на заряженный спутник в магнитном поле Земли. Ч. 2. Вычисление момента и оценки его составлякмцих // Вестн. С.-Петербург. Ун.-та. Сер.1.1999, вып. 3 (№ 15), с. 81 - 91.

6. Петров К.Г., Тихонов A.A. Уравнения ротационного движения твердого тела, основанные на использовании кватернионных параметров //Изв. РАН. Мех. тверд, тела, 2002, №. 3, с. 3 -16.

7. Петров К.Г., Тихонов A.A. Способ полупассивной стабилизации искусственного спутника Земли и устройство для его реализации // Патент Российской федерации № 2191146 на изобретение «Способ полупассивной стабилизации искусственного спутника Земли и устройство для его реализации» МПК 7 B64G 1/32, 1/38. Приоритет 16.03.01.

8. Тихонов A.A., Петров К.Г. Мультипольные модели магнитного поля Земли // Космич. иссследования, 2002, том. 40, № 3, с. 219 - 229.

ЛР № 040815 от 22.05.97.

Подписано к печати 12.09.2003 г. Формат бумаги 60X84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ 3013 Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр, 26.

*15 0 £

T50S Г

Введение.

Глава I. Системы координат и основные обозначения

§1.1 Системы координат

§1.2 Матрицы направляющих косинусов

§1.3 Основные обозначения

Глава II. Уравнения ротационного движения твердого тела, основанные на использовании s-параметров.

§2.1 Уравнения ротационного движения

§2.2 Конфигурационное s-пространство твердого тела, невозмущенно вращающегося вокруг неподвижной точки

§2.3 Конфигурационное s-пространство свободно вращающегося динамически симметричного твердого тела

§2.4 Конфигурационное s-пространство свободно вращающегося твердого тела с равными моментами инерции

Глава III. Момент лоренцевых сил

§3.1 Построение модели магнитного поля Земли.

§3.2 Вычисление момента лоренцевых сил

Глава IV. Ротационное движение заряженного ИСЗ с равными моментами инерции.

§4.1 Математическая модель ротационного движения

§4.2 Эволюция момента импульса ИСЗ под действием лоренцевых сил

Глава V. Ротационное движение динамически симметричного заряженного ИСЗ

§5.1 Вычисление момента гравитационных сил

§5.2 Вычисление момента лоренцевых сил

§5.3 Уравнения ротационного движения ИСЗ

Вопрос о влиянии лоренцевых сил на вращательное движение электростаиче-ски заряженного искусственного спутника Земли (ИСЗ) возник в связи с разработкой теоретических и практических вопросов применения электростатической защиты ИСЗ от солнечного ветра и других корпускулярных излучений, которые являются вторым по значимости неблагоприятным фактором космического полета после невесомости [Труханов и др. 1970]. В наибольшей степени радиационному повреждению подвержены экипаж космического корабля, биологические объекты и микроэлектронная аппаратура [Воробьев, Ковалев 1983]. Они более всего нуждаются в защите от ионизирующих излучений. Кроме того, радиационно чувствительными, при длительном нахождении в космическом полете, оказываются и полимерные материалы, входящие в конструкцию космических аппаратов.

Радиационную защиту космических аппаратов можно подразделить на два существенно отличающихся друг от друга типа: пассивную защиту и активную защиту электромагнитными полями. Пассивная защита, или защита поглощающими материалами, является традиционным видом радиационной защиты, широко применяющимся при сооружении противорадиационных убежищ и укрытий. Ее эффективность, выраженная коэффициентом ослабления мощности ионизирующего излучения, зависит от толщины слоя поглощающего материала и от его плотности. Поэтому масса защитных устройств пассивной защиты космического аппарата может оказаться неприемлемо большой. Еще одним недостатком пассивной защиты оказывается радиоактивность, приобретенная под действием ионизирующего излучения. Главным достоинством пассивной защиты является то, что она не потребляет энергии и не требует расходуемых материалов.

Активная защита космического аппарата осуществляется электромагнитными полями, отклоняющими корпускулярную часть ионизирующего излучения. Идея ее создания основана на хорошо известном защитном действии магнитного поля Земли (МПЗ). Поток корпускулярного излучения Солнца — солнечный ветер — отклоняется МПЗ и выпадает в пустынных околополярных районах Земли. Впервые идея активной защиты была высказана еще Ф.А. Цандером, а ее разработка применительно к радиационной защите живых организмов и чувствительного оборудования ИСЗ от солнечного ветра началась в 1970-х годах. Было показано, что активная электростатическая защита позволяет получить значительно большую кратность ослабления излучения на единицу массы защитных устройств по сравнению с традиционной защитой поглощающим материалом, и что она исключительно эффективна для защиты больших объемов, а ее энергопотребление составляет незначительную часть энергоресурсов ИСЗ [Труханов и др. 1970], [Воробьев, Ковалев 1983], [Рябова 1983]. Защита космического аппарата магнитным полем менее эффективна по причине высокого расхода энергии электромагнитами и наличия внутри аппарата сильного магнитного поля, которое может оказывать помехи работе аппаратуры, установленной на космическом аппарате. Применение электростатического поля для отклонения от поверхности ИСЗ падающего потока заряженных частиц было положено в основу электростатической защиты (ЭСЗ) [Воробьев, Ковалев 1983, Ковалев, и др. 1975, 1976, Рябова 1983, Труханов и др. 1970]. Конструктивно электростатическая защита представляет собой сплошной или фрагментарный электростатический экран, выполненный из пленочного проводящего материала [Frisina 1985], заряженный до достаточно высокого потенциала порядка 108В. Конструктивные параметры защитного экрана и его потенциал должны ограничивать напряженность электростатического поля величиной порядка 107В/м, при которой сохраняются электроизоляционные свойства околоземного пространства [Лунев 1979]. В настоящее время продолжаются исследования ЭСЗ и ее усовершенствование на базе лабораторных исследований и натурных экспериментов на биоспутниках серии "Космос" (605, 690, 782, 936, 1129, 1887, 2044, 2229).

В этих условиях актуальной проблемой является исследование влияния лоренце-вых сил на вращательное движение ИСЗ, оснащенного ЭСЗ, поскольку электрически заряженные защитные экраны, установленные на ИСЗ, двигаясь вместе с ним относительно магнитного поля Земли (МПЗ), подвергаются воздействию лоренце-вых сил со стороны МПЗ.

Исследования этой проблемы начались с работ [Bentsik 1975] и [Лунев 1976], в которых были проделаны сравнительные оценки главного момента лоренцевых сил относительно центра масс ИСЗ с моментами сил тяготения и других сил различной природы. В результате этих и более поздних исследований [Белецкий, Хентов 1982, Кузнецов 1981, Ляховка 1981, Чикова 1981, Кузнецов, Тихонов 1985] показано, что лоренцевы силы могут существенно влиять на динамику вращательного движения заряженного ИСЗ вокруг его центра масс, поэтому их необходимо учитывать.

Влияние лоренцевых сил на динамику вращательного движения заряженного ИСЗ вокруг его центра масс рассмотрено и исследовано многими авторами [Bentsik 1975], [Лунев 1976], [Кузнецов 1981], [Ляховка 1981], [Белецкий, Хентов 1982], [Чикова 1981], [Тихонов 1985, 1991], этому вопросу посвящено множество работ, но вопрос нельзя считать исчерпанным. В процессе исследования проблемы обнаруживаются новые малоисследованные ее стороны. Среди них проблема выбора оптимальной модели МПЗ (простейшей модели, позволяющей получать качественно верные математические модели вращательного движения заряженного ИСЗ) [Петров, Тихонов 1998] и вопрос о принципиальной возможности использования момента лоренцевых сил для управления вращательным движением ИСЗ вокруг его центра масс [Тихонов 1988], [Тихонов 1998], [Петров, Тихонов 2001].

Хорошее аналитическое представление МПЗ является достаточно сложной задачей. Потенциал МПЗ, разложенный в ряд Лежандра, имеет бесконечное число слагаемых, поэтому точного аналитически замкнутого представления МПЗ не существует. Всякое аналитическое представление МПЗ является его приближенной моделью. Наиболее точной моделью МПЗ, принятой в качестве международного стандарта, является международное аналитическое поле (МАП), представляемое отрезком ряда Лежандра, содержащим 10 первых мультипольных составляющих потенциала МПЗ. Коэффициенты ряда Лежандра, называемые гауссовыми коэффициентами, вычисляются по данным магнитометрических измерений и устанавливаются на каждое пятилетие вперед. В настоящей работе используется стандарт МАП 2000 [Mandea et al. 2000]. Задача о выборе аналитического представления МПЗ сводится при этом к выбору приближенного представления потенциала МПЗ, построенного на основе МАП, которое позволит получить правильные выводы о характере влияния лоренцевых сил на вращательное движение заряженного ИСЗ при достаточно компактной аналитической модели динамики ИСЗ.

При построении математической модели вращательного движения заряженного ИСЗ возникает дилемма: взять ли МАП целиком, без упрощений, получая при этом весьма громоздкую систему уравнений и гарантию того, что все электромагнитные эффекты учтены с максимально возможной точностью, либо, ограничившись достаточно простой моделью МПЗ на основе МАП, получить систему уравнений, разрешимую аналитически, но дающую, чаще всего, лишь качественные результаты (упрощенные модели МПЗ использовались до настоящего времени во всех многочисленных уже упомянутых выше работах [Вег^к 1975], [Лунев 1976], [Кузнецов 1981], [Ляховка 1981], [Чикова 1981], [Белецкий, Хентов 1982], [Тихонов 1991], однако мало исследован вопрос о том, насколько полученные результаты будут соответствовать действительности в случае реального МПЗ или, хотя бы, более сложной его модели, полученной на основе МАП). Решением этой дилеммы может быть построение оптимальной — простейшей модели МПЗ, позволяющей учесть все существенные стороны влияния лоренцевых сил на вращательное движение заряженного ИСЗ, и использование этой модели при аналитическом исследовании динамики вращательного движения заряженного ИСЗ. Оптимальная модель МПЗ зависит от характера вращательного движения ИСЗ (будет ли это движение либра-ционным или ротационным), и от параметров орбиты (является ли орбита слабоэллиптической или она сильно вытянута, и каково наклонение орбиты) [Петров, Тихонов 1999]. Перечисленные критерии позволяют выделить восемь классов задач, для каждого из которых можно, рассматривая соответствующую математическую модель вращательного движения ИСЗ, найти подходящую модель МПЗ. Впредь, рассматривая задачу, относящуюся к одному из этих классов, можно пользоваться готовой моделью МПЗ. Если задачу нельзя отнести к какому-либо из перечисленных классов, то к ней надо применять специально подобранную модель МПЗ.

Можно предложить следующий метод подбора подходящей модели МПЗ: сначала, при построении математической модели вращательного движения заряженного ИСЗ, в качестве модели МПЗ используется МАП, либо его достаточно сложное мультипольное приближение (сложнее квадрупольного приближения). Приближенное аналитическое решение полученных уравнений строится с использованием приближенных методов, применимых для данного класса задач. Например, в случае ротационного движения уравнения усредняются по невозмущенному движению Эйлера-Пуансо. Далее, смотря по структуре полученного решения, рассматривается вопрос о том, какие гауссовы коэффициенты можно обнулить без качественного ущерба для построенной математической модели вращательного движения заряженного ИСЗ. Оставшиеся ненулевыми гауссовы коэффициенты определяют искомую модель МПЗ. Этот метод использовался в работе [Петров 1999] применительно к задаче о ротационном движении заряженного ИСЗ.

Исследования подобного рода представляли до настоящего времени существенную трудность из-за большой громоздкости получающихся уравнений вращательного движения заряженного ИСЗ. Так, аналитическое представление проекций индукции МПЗ на оси орбитальной системы координат "обозримы" только для дипольной и квадрупольной составляющих МПЗ [Петров, Тихонов 1999], а проекции индукции октупольной составляющей МПЗ и составляющих более высоких порядков требуют для записи формул многих страниц текста.

В настоящее время, благодаря широкому распространению программных сред, осуществляющих методы компьютерной алгебры (например "МАРЬЕ"), становится возможной работа со столь громоздкими аналитическими моделями, а тензорная запись потенциалов мультипольных составляющих МПЗ, примененная в упомянутой выше работе [Петров, Тихонов 1999], позволяет пользоваться компактной записью проекций индукции МПЗ и момента лоренцевых сил. Те же самые программные среды дают возможность выполнять и вычислительные эксперименты на базе полученных математических моделей.

Вопрос о возможности использования лоренцевых сил для управления вращательным движением ИСЗ вокруг его центра масс возник в процессе исследования математических моделей вращательного движения заряженного ИСЗ. Выводы о характере эволюции момента импульса заряженного ИСЗ, совершающего ротационное движение [Ляховка 1981], [Белецкий, Хентов 1985], [Тихонов 1991], показывают, что траектории апекса момента импульса заряженного ИСЗ, совершающего ротационное движение, на единичной сфере имеют как минимум две осбые точки типа "центр", которые соответствуют устойчивым положениям вектора момента импульса. Очевидно, что это свойство можно использовать для стабилизации ротационного движения заряженного ИСЗ. Кроме того, меняя распределение заряда ИСЗ, можно управлять положениями устойчивого равновесия, а также влиять на эволюционное движение момента импульса ИСЗ параметрически. Это открывает широкий класс малоисследованных задач.

Надо сказать, что электромагнитные взаимодействия ИСЗ с МПЗ давно и успешно применяются на практике для управления ориентацией ИСЗ. В качестве примеров можно привести системы пассивной стабилизации ИСЗ, обладающего собственным магнитным моментом, по вектору индукции МПЗ [Сарычев 1978], и системы демпфирования либрационных колебаний ИСЗ за счет эффекта рассеяния энергии колебаний в стержнях из магнитного гистерезисного материала (ферромагнетика) [Сарычев, Овчинников 1985].

Рассмотренные выше свойства ротационного движения ИСЗ позволяют допустить возможность полупассивной стабилизации ИСЗ [Тихонов 1988, 1998] и управления его моментом импульса при управлении распределением заряда ИСЗ. Одна из систем подобного рода разработана и защищена патентом [Петров, Тихонов 2001] Это устройство, представляющее собой систему пластинчатых электродов, покрывающих внешнюю оболочку ИСЗ, и сети управляемых источников высокого напряжения, создающих управляемый момент лоренцевых сил. Запатентованный способ управления моментом лоренцевых сил осуществляет полупассивную стабилизацию пространственной ориентации ИСЗ и показывает техническую возможность осуществления таких систем управления.

Последние десятилетия ознаменовались стремительным развитием техники, особенно средств связи и обработки информации. Развитие спутникового телевидения и радиовещания, мобильной телефонной связи и портативных навигационных систем повысило спрос на услуги космической связи, поэтому космические аппараты связи, навигации и мониторинга окружающей среды составляют основную часть (70%) космических объектов, запускаемых в настоящее время, остальные 30% делят между собой примерно поровну пилотируемая космонавтика и научные исследования [Лисов 2003а]. ИСЗ, осуществляющие эти, наиболее востребованные ныне задачи, нуждаются в системах стабилизации их пространственного положения. Так, например, остронаправленные антенны и видеокамеры, установленные на таких спутниках, требуют наведения с точностью до градусов, поэтому важными для их работы оказываются системы автоматического поддержания пространственной ориентации. Здесь могут найти свое применение рассмотренные выше системы управления ориентацией ИСЗ с помощью момента лоренцевых сил, основным преимуществом которых, по сравнению с системами реактивных микродвигателей, можно считать остутствие расходуемых материалов, что может существенно повысить продолжительность функционирования ИСЗ.

На долю пилотируемых полетов приходится не более десяти процентов запусков, в чем можно убедиться, рассматривая таблицы запусков, произведенных в СССР в разные годы [Базыкин 1971], [Порцевский 1976, 1981, 1987, 1991]. Остальное составляют запуски автоматических аппаратов. Пилотируемые полеты, как известно, проходят на высотах 200 - 300 километров, где космические аппараты находятся под радиационной защитой магнитного поля Земли. Поэтому радиационная защита обитаемых космических аппаратов не является в настоящее время задачей большой актуальности. Более важной является радиационная защита автоматических космических аппаратов, которая имеет свои особенности.

Современная элементная база космической техники, основанная на применении полупроводниковых и микроэлектронных приборов, оказывается чувствительной к ионизирующему излучению. Быстрые частицы и гамма-излучение способны вызывать ложные переключения логических схем, искажать информацию, хранящуюся в полупроводниковой памяти, и даже вызывать необратимый тепловой пробой полупроводниковых переходов, приводящий к разрушению микроэлектронных устройств [Adams 1983], [Petersen 1983], [Stephenson 1984]. Поэтому микроэлектронные приборы, составляющие основу систем управления космическими аппаратами, нуждаются в радиационной защите, которая в данном случае призвана снизить корпускулярный поток, проникающий внутрь космического аппарата до уровня, при котором частота логических ошибок будет ниже определенного порога и логические ошибки могут быть устранены программными средствами, например, контролем четности. Защитой от возможного необратимого повреждения аппаратуры может быть ее резервирование.

При современном уровне развития микроэлектроники, когда на одном кристалле можно уместить от десятков до сотен миллионов логических вентилей, а тактовая частота микропроцессоров достигает нескольких гигагерц, задачи резервирования и контроля ошибок решаются достаточно просто. Малые габариты микроэлектронных устройств позволяют отказаться от сплошного электростатического экрана и ограничиться экранированием той части космического аппарата, в которой расположены управляющие и информационные устройства. Остальная часть оборудования автоматических космических аппаратов может надежно и продолжительно функционировать при отсутствии радиационной защиты. Примером этого может служить как минимум тридцатилетнее исправное функционирование аппаратуры автоматической межпланетной станции (AMC) Пионер-10, связь с которой была прервана в 2002 году по причине невозможности детектирования слабого сигнала восьмиваттного передатчика AMC, находящейся на расстоянии 12 миллиардов километров, на фоне шумов [Лисов 2003b]. Станция Пионер-10 не была оборудована бортовой ЭВМ и радиационной защитой.

В связи с этим, вопрос о влиянии лоренцевых сил на динамику вращательного движения космического аппарата, оснащенного электростатической защитой от радиации, целесообразно рассматривать при условии, что космический аппарат представляет собой автоматический необитаемый ИСЗ, центр заряда которого смещен от центра масс на расстояние, сравнимое с характерными размерами ИСЗ.

Настоящая диссертационная работа представляет собой исследование влияния лоренцевых сил на ротационное вращательное движение динамически симметричного заряженного ИСЗ (в том числе, ИСЗ с тремя равными моментами инерции). Орбита центра масс ИСЗ предполагается кеплеровой с заданными параметрами. При построении математических моделей ротационного движения ИСЗ, в качестве точной модели МПЗ используется его мультипольная модель, включающая в себя магнитные поля первых четырех мультипольных составляющих МПЗ. Математическая модель строится в системе переменных типа Андуайе, в которой вместо углов Эйлера используются модифицированные переменные Родрига-Гамильтона, называемые иначе s-параметрами.

Первое упоминание об s-параметризации относится, по-видимому, к малоизвестной и потому оставшейся незамеченной диссертационной работе Wiener T.F., выполненной в 1962г. в Массачусетском технологическом институте, а первой доступной для широкого круга читателей публикацией, посвященной s-параметрам, следует считать статью [Marandi, Modi 1987], вышедшую в журнале "Acta Astronáutica". В этой статье излагаются теоретические основы описания движения твердого тела в s-параметрах, строятся соответствующие дифференциальные уравнения движения и в качестве примера приводятся результаты численного интегрирования этих уравнений для случая либрационного движения твердого тела под воздействием момента гравитационных сил. Следующее по времени упоминание об s-параметрах встречается в обзорной работе [Shuster 1993], где отмечается их малая распространенность, сдержанно оцениваются их преимущества при описании либрационного движения твердого тела и, исходя из общих соображений, подчеркивается сингулярность (или разрывность) решений дифференциальных уравнений, описывающих ротационное движение тела или вращательное движение тела в случае его поворота на большие углы. Дальнейшее развитие теории s-параметров в плане обобщения вариантов стереографического проектирования трехмерной гиперсферы в пространстве кватернионов на трехмерную гиперплоскость дано в работе [Shaub, Junkins 1996].

В настоящей работе s-параметры применяются при построении математической модели ротационного движения заряженного ИСЗ и ее приближенного аналитического исследования методом усреднения по "быстрым" переменным. В результате такого исследования выявлены основные закономерности в эволюции ротационного движения заряженного ИСЗ. На защиту выносятся следующие основные результаты.

1. Методом усреднения уравнений обнаружено, что постоянный по модулю вектор момента импульса заряженного ИСЗ с тремя равными моментами инерции совершает под действием лоренцевых сил коническую прецессию с постоянной угловой скоростью прецессии и осью, проходящей через центр масс ИСЗ.

2. Показано, что эволюция вектора момента импульса ИСЗ под действием одновременно гравитационных и лоренцевых сил имеет гораздо более сложный характер, чем коническая прецессия.

3. Установлено, что зависимость угловой скорости прецессии момента импульса ИСЗ от параметров орбиты ИСЗ, моментов инерции ИСЗ и распределения заряда ИСЗ существенно зависит от используемой модели МПЗ.

4. Устанолвлено, что качественно верная зависимость угловой скорости прецесии момента импульса ИСЗ от параметров орбиты ИСЗ и от распределения заряда ИСЗ получается при использовании квадрупольной модели МПЗ или более сложной его мультипольной модели, содержащей четное число мультипольных составляющих МПЗ.

5. Построена осесимметричная квадрупольная модель МПЗ, позволяющая получать качественно верные математические модели ротационного движения заряженного ИСЗ.

6. Обнаружено, что главным фактором, определяющим влияние распределения заряда ИСЗ на момент лоренцевых сил, является статический момент заряда первого порядка.

7. Показано, что при смещении центра заряда ИСЗ относительно его центра масс, составляющем величину порядка нескольких процентов от характерного размера ИСЗ, заряд ИСЗ можно считать точечным зарядом, сосредоточенным в центре заряда ИСЗ, и вычислять момент лоренцевых сил, пользуясь его приближенным выражением, учитывающим только статический момент заряда первого порядка.

8. Установлено, что абсолютная величина вектора угловой скорости прецессии момента импульса ИСЗ при достаточно большой величине статического момента заряда первого порядка пропорциональна абсолютной величине статического момента заряда первого порядка, а направление вектора угловой скорости прецессии остается при этом постоянным.

9. Показано, что эволюция вектора момента импульса ИСЗ под действием гравитационных и лоренцевых сил происходит медленно по сравнению с вращением ИСЗ вокруг его центра масс, суточным вращением Земли и орбитальным движением центра масс ИСЗ.

10. Разработан метод усреднения уравнений ротационного движения твердого тела по невозмущенному движению Эйлера-Пуансо.

Работа состоит из пяти глав. В главе I вводятся системы координат, используемые при исследовании проблемы, параметры, определяющие их взаимную ориентацию, а также основные обозначения.

В главе II вводится система переменных, удобных для исследования ротационного движения ИСЗ. При этом роль "медленных" переменных выполняют координаты момента имульса ИСЗ в инерциальном пространстве, а в качестве "быстрых" переменных используются в-параметры, задающие ориентацию главных центральных осей инерции ИСЗ относительно системы координат, связанной с моментом импульса ИСЗ. Эта система переменных подобна системе переменных Андуайе, в которой углы Эйлера заменены в-параметрами.

Строится система уравнений ротационного движения твердого тела в указанной системе переменных — аналог системы уравнений Белецкого-Черноусько. Рассматривается конфигурационное пространство свободно вращающегося твердого тела в пространстве э-параметров. Для твердого тела с тремя равными моментами инерции и для динамически симметричного твердого тела решаются кинематические уравнения в э-параметрах и разрабатывается метод усреднения уравнений ротационного движения твердого тела по невозмущенному движению Эйлера-Пуан-со. Он заключается в том, что усреднение по траектории невозмущенного движения Эйлера-Пуансо за бесконечный промежуток времени заменяется усреднением по соответствующему конфигурационному пространству. Вводится необходимая для этого весовая функция усреднения.

Возможность замены усреднения по траектории усреднением по конфигурационному пространству для некоторого класса функций, в который входят непрерывные функции, основана на том, что в случае твердого тела с тремя равными моментами инерции конфигурационное пространство полностью совпадает с траекторией, которая представляет собой окружность, а в случае динамически симметричного твердого тела траектория невозмущенного движения покрывает конфигурационное пространство тела всюду плотно, обнаруживая, таким образом, квазиэргодическое свойство. Система уравнений ротационного движения в новой системе переменных и методы их усреднения, использующие квазиэргодическое свойство невозмущенного движения Эйлера-Пуансо, построенные и разработанные во второй главе, используются в настоящей работе для исследования ротационного движения заряженного ИСЗ с тремя равными моментами инерции и динамически симметричного заряженного ИСЗ.

В главе III строится модель МПЗ, учитывающая магнитные поля первых четырех мультипольных составляющих МПЗ, и вычисляется момент лоренцевых сил. При вычислении проекций индукции МПЗ на оси орбитальной системы координат используются вспомогательная декартова система координат и связанная с ней система сферических координат, которые позволяют получить проекции индукции МПЗ на оси орбитальной системы координат в виде физических компонент градиента потенциала МПЗ в осях подвижного базиса вспомогательных сферических координат.

При преобразовании потенциала МПЗ от сферических координат, связанных с Землей и используемых при определении потенциала МАП, к вспомогательным сферическим координатам используются мультипольные тензоры МПЗ. Выражения компонент первых четырех мультипольных тензоров МПЗ через соответствующие гауссовы коэффициенты получены ранее в [Петров, Тихонов 2002b]. Тензорная нотация используется для удобной и компактной записи выражений для проекций индукции МПЗ на оси орбитальной системы координат.

В третьей главе получены также выражения для градиента индукции МПЗ в орбитальной системе координат, обусловленного неоднородностью МПЗ в объеме ИСЗ. Показано, что неоднородность МПЗ в пределах объема ИСЗ влияет на индукцию МПЗ относительно слабо, поэтому при вычислении момента лоренцевых сил можно считать, что МПЗ в пределах объема ИСЗ однородно.

В главе IV строится математическая модель ротационного движения заряженного ИСЗ с тремя равными моментами инерции и ее приближенное аналитическое решение, получаемое методом усреднения уравнений ротационного движения по "быстрым" переменным. К "быстрым" переменным относятся не только s-параметры, но также часовой угол, связанный с суточным вращением Земли, и аргумент широты. Подобный подход основан на предположении о том, что эволюция вектора момента импульса заряженного ИСЗ под действием момента лоренцевых сил происходит медленно не только по сравнению с невозмущенным движением Эйлера-Пуансо, но и по сравнению с орбитальным движением ИСЗ и суточным вращением Земли.

Приближенное аналитическое решение уравнений ротационного движения ИСЗ показывает, что вектор момента импульса ИСЗ совершает коническую прецессию с постоянной угловой скоростью прецессии вокруг оси, проходящей через центр масс ИСЗ. Показано, что абсолютная величина угловой скорости прецесии при всех технически возможных величинах заряда ИСЗ не превышает порядка 106 с-1, следовательно, предположение о том, что эволюция вектора момента импульса ИСЗ под действием лоренцевых сил является медленной по сравнению с суточным вращением Земли и орбитальным движением ИСЗ, оказывается верным.

Вектор угловой скорости прецессии зависит от гауссовых коэффициентов, параметров распределения заряда ИСЗ, параметров орбиты ИСЗ, а также моментов инерции и момента импульса ИСЗ. Обнаружено, что качественно верная зависимость этого вектора от параметров орбиты ИСЗ, его распределения массы и заряда получается при использовании тале называемой осесимметричной модели МПЗ, построенной в этой же главе при исследовании влияния различных факторов на вектор угловой скорости прецессии.

Показано также, что основным фактором влияния распределения заряда ИСЗ на вектор угловой скорости прецесии является статический момент заряда первого порядка, связанный со смещением центра заряда ИСЗ относительно его центра масс. Замечено, что указанное смещение, составляющее величину всего лишь порядка процента от характерного размера ИСЗ, практически полностью подавляет влияние статичеких моментов заряда второго порядка на момент лоренцевых сил. Следовательно, рассматривавшийся ранее случай ИСЗ с центрованным распределения заряда [Ляховка 1981] следует считать технически неосуществимым и нетипичным для космодинамики, и при построении математических моделей ротационного движения заряженного ИСЗ следует считать, что центр заряда ИСЗ и его центр масс не совпадают. Момент лоренцевых сил при этом можно вычислять, пользуясь приближенным выражением, полученным в предположении, что весь заряд ИСЗ сосредоточен в его центре заряда. При таких допущениях абсолютная величина угловой скорости прецесии оказывается пропорциональной абсолютной величине статического момента заряда первого порядка, а угловое положение вектора угловой скорости прецессии от распределения заряда не зависит и определяется параметрими орбиты ИСЗ, гауссовыми коэффициентами, моментами инерции ИСЗ и моментом импульса ИСЗ.

В главе V строится математическая модель ротационного движения динамически симметричного заряженного ИСЗ и ее приближенное аналитическое решение методом усреднения по "быстрым" переменным. Группа "быстрых" переменных и методы усреднения — такие же, как и в предыдущей главе. Полученное методом усреднения приближенное аналитическое решение уравнений ротационного движения ИСЗ представляет собой эволюцию вектора момента импульса ИСЗ. Показано, что абсолютная величина момента импульса ИСЗ постоянна, а "медленные" угловые переменные, определяющие его ориентацию в пространстве, подчиняются первому интегралу. С использованием этого интеграла построены траектории апекса момента импульса ИСЗ на единичной сфере. Показано, что влияние лоренцевых сил на эволюцию вектора момента импульса заряженного динамически симметричного ИСЗ характреризуется постоянным вектором, который, при отсутствии момента гравитационных сил, является вектором угловой скорости момента импульса ИСЗ и имеет структуру, сходную со структурой вектороа угловой скорости прецессии, полученного в предыдущей главе. По этим причинам упомянутый вектор также называется вектором угловой скорости прецесии, несмотря на то, что наличие гравитационных сил приводит к более сложному характеру эволюции вектора момента импульса динамически симметричного заряженного ИСЗ.

Установлено, что влияние различных факторов на вектор угловой скорости пре-цесии в рассматриваемом случае имеет тот же качественный характер, как и в случае заряженного ИСЗ с тремя равными моментами инерции. Поэтому в рассматриваемом случае справедливы все выводы, касающиеся вектора угловой скорости прецессии, полученные в четвертой главе. А именно:

1. При построении качественно верной математической модели ротационного движения динамически симметричного заряженного ИСЗ достаточно использовать осесимметричную квадрупольную модель МПЗ, построенную в четвертой главе.

2. Основным фактором влияния распределения заряда на вектор угловой скорости прецессии является статический момент заряда первого порядка.

3. При построении математической модели ротационного движения динамически симметричного заряженного ИСЗ следует считать, что центр заряда не совпадает с центром масс, а момент лоренцевых сил вычислять, считая, что весь заряд ИСЗ сосредоточен в его центре заряда.

4. Абсолютная величина угловой скорости прецессии пропорциональна абсолютной величине статического момента заряда первого порядка, а направление угловой скорости прецессии не зависит от распределения заряда ИСЗ.

Замечено, что совместное влияние гравитационных и лоренцевых сил на ротационное движение динамически симметричного заряженного ИСЗ позволяет управлять положением стационарных точек траекторий апекса момента импульса ИСЗ на единичной сфере путем изменения статического момента заряда ИСЗ первого порядка. Это открывает возможность параметрического воздействия на эволюцию вектора момента импульса ИСЗ для управления его пространственной ориентацией и для его одноосной стабилизации вращением.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследование, проведенное в настоящей работе принесло, кроме основных результатов, выносимых на защиту, дополнительные результаты, представляющие теоретический интерес. К ним относятся следующие:

1. Предложены вспомогательная система декартовых координат и связанная с ней система сферических координат, используемые при вычислении проекций индукции МПЗ в центре масс ИСЗ на оси орбитальной системы координат и удобные тем, что указанные проекции индукции МПЗ являются физическими компонентами градиента потенциала МПЗ в подвижном базисе вспомогательных сферических координат. Вспомогательные декартовы координаты используются для преобразования потенциала МПЗ от сферических координат, в которых он традиционно задается, к вспомогательным сферическим координатам. Преобразование потенциала производится с использованием полученных ранее [Петров, Тихонов 2002Ь] мультипольных тензоров МПЗ.

2. Обнаружено, что погрешность в определении индукции МПЗ и момента лорен-цевых сил, связанная с неоднородностью МПЗ, относительная величина которой имеет порядок отношения характерного размера ИСЗ к радиусу его орбиты, мала по сравнению с погрешностью, вызванной использованием приближенной модели МПЗ. Поэтому при использовании приближенных моделей МПЗ учет его неоднородности некорректен.

2. Показана принципиальная возможность использования модифицированных параметров Родрига-Гамильтона (называемых иначе э-параметрами) при построе-ниии и исследовании математических моделей вращательного движения твердого тела. В настоящей работе э-параметры применяются при построении математических моделей ротационного движения заряженного ИСЗ под действием гравитационных и лоренцевых сил.

3. Получена параметризация конфигурационного э-пространства твердого тела с тремя различными моментами инерции, невозмущенно вращающегося вокруг точки.

Исследование, проведенное в диссертационной работе, породило многие новые нерешенные вопросы, добавившиеся к существовавшим ранее. К нерешенным проблемам относится вопрос о том, обладает ли невозмущенное движение Эйлера-Пу-ансо твердого тела с тремя разными моментами инерции квазиэргодическим свойством? Какова должна быть весовая функция усреднения по конфигурационному Б-пространству? Ответив на два этих вопроса, можно построить и исследовать математическую модель ротационного движения твердого тела с тремя различными моментами инерции в тех же самых переменных и тем же самым методом усреднения, который который использовался в настоящей работе для построения математических моделей ротационного движения заряженного ИСЗ с тремя равными моментами инерции и динамически симметричного заряженного ИСЗ.

Интересен также вопрос о том, обладает ли построенная в настоящей работе осесимметричная квадрупольная модель МПЗ универсальной применимомстью ко всем трем случаям ротационного движения заряженного ИСЗ, или для случая ИСЗ с тремя различными моментами инерции следует использовать другую модель

МПЗ?

Довольно существенная погрешность при определении углового положения вектора угловой скорости прецессии момента импульса ИСЗ, достигающая двадцати и более градусов, возникающая при использовании осесимметричной квадруполь-ной модели МПЗ, ставит еще один вопрос о том, сколько высших составляющих МПЗ следует включить в его модель, чтобы указанная погрешность не преышала некоторой заданной величины? Это вызывает еще две проблемы. Первая — необходимость определения выражений компонент всех мультипольных тензоров МПЗ через гауссовы коэффициенты МАП (к настоящему времени эти выражения получены только для первых четырех мультипольных составляющих МПЗ). Вторая проблема — это вопрос о том, какую погрешность в определении углового положения ветора угловой скорости прецессии можно получить при использовании МАП в качестве модели МПЗ.

Еще одной проблемой является вопрос о том, насколько соответствуют действительности приближенные аналитические решения уравнений ротационного движения заряженного ИСЗ, полученные методами усреднения уравнений по "быстрым" переменным. Ответ на этот вопрос можно получить численным методом, который требует постановки большой серии вычислительных экспериментов, введения критериев согласия численных и теоретических результатов, теоретического обоснования экспериментальных методов и статистической формулировки выводов. Это заслуживает специального, достаточно объемного исследования и выходит за рамки настоящей диссертационной работы.

Работа не является завершением исследований рассматривающихся в ней вопросов, но предлагает новый взгляд на проблемы динамики вращательного движения заряженного ИСЗ вокруг его ценра масс, возможный благодаря открытиям последних лет и новым возможностям, предоставляемым современной вычислительной техникой.

1. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М., Наука, 1965. 416 с.

2. Белецкий В. В. Вращательное движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М., Изд. Моск. ун-та. 1975. 308 с.

3. Белецкий В. В. Хентов А. А. О вековой эволюции вращательного движения спутника, снабженного наэлектризованным экраном // Косм, исслед., 1982, т. 20, Вып.З, с. 342-351.

4. Белецкий В. В., Хентов А. А. Вращательное движение намагниченного спутника. М., 1985. 288 с.

5. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., Наука, 1974. 503 с.

6. Б р а н е ц В. Н., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973. 320 с.

7. Воробьев Е. И., Ковалев Е. Е. Радиационная безопасность экипажей летательных аппаратов. М., Энергоатомиздат. 1983. 152 с.

8. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М., Наука, 1978

9. Кузнецов JI. И. О влиянии электрического заряда на вращательное движение спутника Земли // Прикл. механика, вып.5. JL, изд. Ленингр. ун-та, 1981, С. 78 83.

10. Лисов И. Сводная таблица космических запусков, осуществленных в 2002 году // Новости космонавтики, 2003, №4, с. 30-31.

11. Лисов И. Pioneer-10 // Новости космонавтики, 2003, №4, с. 40 -43.

12. Лунев В. В. О сферических движениях КЛА под действием сил нулевого потенциала. Тр. 10-х чтений, посвященных разработке научного наследия и развитию идей К.Э.Циолковского. Секция "Механика космического полета". Калуга, 1975, М., 1976, с.72.

13. Лунев В. В. Вращательное движение заряженного тела в магнитном поле // Дисс. канд. физ.-мат. наук. Л., 1979. 152 с.

14. Ляховка Г. В. Частные случаи движения тела с экраном электростатической защиты относительно центра масс // Прикл. механика, вып. 5., изд. Ленингр ун-та, 1981. с. 48-63.

15. Ляховка Г. В. Движение спутника относительно центра масс под действием гравитационных сил и сил Лоренца: // Дисс. канд. физ.-мат. наук. Л., 1981.

16. Петров К. Г. Модель магнитного поля Земли для исследования ротационного движения заряженного ИСЗ: Дипломная работа, СПбГУ, 1999 (в рукописи).

17. Петров К. Г. Модель магнитного поля Земли для исследования ротационного движения заряженного ИСЗ//Вторые поляховские чтения: Тез. Докл. Всеросс. науч. конф. по механике, СПб., 2-4 фев. 2000г. — СПб.: Изд. НИИХ-СПбГУ, 2000. — 161с.

18. Петров К. Г. Конфигурационное э-пространство твердого тела с равными моментами инерции в случае Эйлера//Вестн. С.-Петербург, ун-та, Сер. 1, 2002, Вып. 1(Ш), с. 84 86.

19. Петров К. Г. Конфигурационное в-пространство твердого тела в случае Эйлера// Третьи поляховские чтения: Тез. Докл. Междунар. науч. конф. по механике, СПб., 4-6 фев. 2003г. — СПб.: Изд. НИИХСПбГУ, 2003. — 264с., с. 101 -102.

20. Петров К. Г. Конфигурационное э-пространство динамически симметричного твердого тела в случае Эйлера//Труды междунар. науч. конференции "Третьи поляховские чтения", СПб, 2003г (в печати).

21. Петров К. Г., Тихонов А. А. Момент сил Лоренца, действующих на заряженный спутник в магнитном поле Земли. Ч. 1 Напряженность магнитного поля Земли в орбитальной системе координат.// Вестн. С.-Петербург. Ун.-та. Сер.1, 1999, Вып. 1 (№1), с. 92 100.

22. Петров К. Г., Тихонов А. А. Момент сил Лоренца, действующих на заряженный спутник в магнитном поле Земли. 4.2 Вычисление момента и оценки его составляющих.// Вестн. С.-Петербург. Ун.-та. Сер.1, 1999, Вып. 3 (№15), с. 81 91.

23. Петров К. Г., Тихонов А. А. Уравнения ротационного движения, основанные на использовании кватенионных параметров// Механика Твердого Тела, N0. 3, 2002, с. 3 16.

24. Порцевский К. А. Искусственные спутники Земли и космические объекты, запущенные в СССР в 1976 году// Астрономичекий календарь, Вып. 81, 1976, с. 255 259.

25. Порцевский К. А. Искусственные спутники Земли и космические объекты, запущенные в СССР в 1979 году// Астрономичекий календарь, Вып. 84, 1981, с. 256 260.

26. Порцевский К. А. Искусственные спутники Земли и космические объекты, запущенные в СССР в 1985 году// Астрономичекий календарь, Вып. 90, 1987, с. 257 261.

27. Порцевский К. А. Искусственные спутники Земли и космические объекты, запущенные в СССР в 1989 году// Астрономичекий календарь, Вып. 94, 1991, с. 314 318.

28. Рябова Т. Я. Электростатическая защита от космических излучений (современное состояние и перспективы) // Космич. биолог, и авиакосмич. мед., 1983. 17. №2. С. 4 7.

29. Сарычев В. А. Вопросы ориентации искусственных спутников. "Исследование космического пространства, т. 11 (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН1. СССР)" М., 1978. 223 с.

30. Сарычев В. А., Овчинников М. Ю. Магнитные системы ориентации искусственных спутников Земли. "Исследование космического пространства. Т.23 (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР)" М., 1985. 104 с.

31. Тихонов А. А. О стабилизации заряженного тела в магнитном поле Земли; Ред. ж. Вестн. ЛГУ. Мат.,мех.,астрон. Л., 1988, 14 с. Библ. 10. Рус. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 22.02.88, №1396-В88.)

32. Тихонов А. А. Об уравнениях вращательного движения заряженного твердого тела в геомагнитном поле // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер.1, 1990, Вып. 3 (№15). С. 83-87.

33. Тихонов А. А. К вопросу об эволюции ротационного движения экранированного ИСЗ // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер.1, 1990, Вып. 4 (№22). С. 104-105.

34. Тихонов А. А. Влияние неоднородности геомагнитного поля на эволюцию ротационного движения заряженного твердого тела // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер.1, 1991, Вып.2 (№8). С. 90 99.

35. Тихонов А. А. Патент на изобретение RU № 2159201 - С2 МПК 7 B64G 1/38, 1/32 "Способ управления ориентацией искусственного спутника Земли" по заявке № 98120769/28 от 29.10.98

36. Тихонов А. А. О параметризации ротационного движения твердого тела / Труды Междунар. науч.- практ. конф. "Вторые Окуневские чтения" (СПб, 2-7 октября 2000 г.). В 2-х т., Т. 2. Теор. и прикл. мех. СПб., БГТУ, 2001.- 226 с. С. 124-125.

37. Тихонов А. А. Уточнение модели "наклонный диполь" в задаче об эволюции ротационного движения твердого тела // Космич. исследования, 2002, т. 40, №2, С. 171-177.

38. Тихонов А. А., Петров К. Г. Мультипольные модели магнитного поля Земли//Космич. исследования, 2002, том. 40, №3, с. 219 229.

39. Труханов К. А., Рябова Т. Я., Морозов Д. X. Активная защита космических кораблей // М., Атомиздат. 1970. 229 с.

40. Ч и к о в а Н. В. Возмущение лоренцевыми силами вращательного движения тела в центральном гравитационном поле // Л., изд. Ленингр. ун-та. Прикл. механика. Вып.5. 1981. С. 38 47.

41. Яновский Б. М. Земной магнетизм. Л., изд. Ленингр. ун-та. 1978. 591с.

42. Adams J. Н. The ionizing particle environment near Earth // AIAA Pap., 1983, №1,7 pp.

43. В e n t s i k E. Precessioni regolari di un giriscopio soggetto a forze newtoniane e a forze di potenza nulla // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 1975, vol. 54.

44. В e n t s i k E. Rotazioni uniformi in un campo newtoniano con forze di potenza nulla // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 1975, vol. 54., p. 83-90.

45. F r i s i n a W. Optimizing electrostatic radiation shielding for manned space vehicles// Acta Astronaut., Vol. 12, №12, pp. 995 1003, 1985.

46. Mandea M. et al. International geomagnetic reference field — 2000 / / Phys. of the Earth and Planetary Interiors, Vol. 120, pp. 39 42, 2000.

47. Marandi S. R., Mo di V. J. A preferred coordinate system and the associated orientational represntation in attitude dynamics// Acta Astronautica, Vol. 15, No. 11, pp. 833 843, 1987.

48. Markley F. L. New dynamic variables for momentum-bias spacecraft// he J. of the Astronaut. Sciences, Vol. 41, №4, October-December 1993, pp. 557 567.

49. Morton (Jr) H. S. Hamiltonian and lagrangian formulations of rigid-body rotational dynamics based on the Euler parameters//The J. of the Astronaut. Sciences, Vol. 41, №4, October-December 1993, pp. 569 591.

50. Petersen E. L. Single event upsets in space // AIAA Pap., 1983, №164, 6 pp.

51. Schaub H., Junkins J. L. Stereographic orientation parameters for attitude dynamics: a generalization of the Rodrigues parameters // The Journal of the Astronautical Sciences, Vol.44, №1, January-March 1996, pp. 1-19.

52. Shuster M. D. A survey of attitude representations/ / J. of the Astronaut. Sci., Vol. 41, No. 4, pp. 439 517, 1993.

53. Stephenson D. G. Satellites and soft errors / / Spacefight, 1984, 26, №1, pp. 32-34.

54. Stuelpnagel J. C. On the parametrization of the three-dimensional rotation group // SIAM Review. Vol.6, 1964, pp.422-430.

55. Tsiotras P. New control laws for the attitude stabilization of rigid bodies / Proceedings of the IFAC symposium and automatic control in aerospace. Palo Alto, California, September 1994, pp. 316-321.