Динамика быстро вращающихся малых спутников в геомагнитном поле тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Ордена Ленина ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ имени М.В.Келдыша

на правах рукописи

Ильин Андрей Александрович

ДИНАМИКА БЫСТРО ВРАЩАЮЩИХСЯ МАЛЫХ СПУТНИКОВ В ГЕОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

Специальность 01.02.01 — Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена в Институте прикладной математики им.М.В.Келдыша РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Овчинников Михаил Юрьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник Лемак Степан Степанович

кандидат технических наук, доцент Меркурьев Игорь Владимирович

Ведущая организация: Московский авиационный институт

(Технический университет)

Защита диссертации состоится ° июня 2006 г. в II00 часов на заседании диссертационного совета «Д 002.024.01» при Институте прикладной математики им.М.В.Келдыша РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., 4, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной математики им.М.В.Келдыша РАН

Автореферат разослан /6 мая 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета:

доктор физико-математический наук —-¿^ т.А.Полилова

Общая характеристика работы. Диссертация посвящена исследованию движения малых спутников вокруг центра масс при их быстром вращении. Для таких спутников имеют место жесткие ограничения по энергетике, по измерительным и исполнительным элементам, по вычислительным ресурсам, что необходимо учитывать при разработке систем ориентации. Рассматривается динамика двух спутников с магнитными системами ориентации. Первый спутник стабилизируется собственным вращением с помощью активной системы ориентации, состоящей из трех взаимно ортогональных токовых катушек. Исследуется динамика такого спутника при управлении положением в пространстве оси его вращения. Управление может осуществляться по двум алгоритмам, отличающимся информацией, необходимой для выбора управляющего воздействия. Приводятся результаты численного моделирования вращательного движения спутника вокруг центра масс с такой системой ориентации. Второй спутник оснащен пассивной системой ориентации, которая состоит из постоянного магнита и гистерезисных стержней. Анализ динамики спутника позволил проинтерпретировать результаты летных испытаний спутника ТНС-0, который был успешно выведен на орбиту в 2005 г.

Актуальность темы. В последнее десятилетие в мире возрос интерес к созданию малых спутников. Сейчас малые спутники способны выполнять задачи, которые до недавнего времени были по силам лишь большим и, как правило, дорогостоящим космическим аппаратам. Это явилось результатом достижений в электропике, вычислительной технике, материаловедении, средствах связи. Относительная простота реализации малого спутника и, как следствие, более короткий срок разработки и изготовления и относительно низкая стоимость самого спутника и его вывода на орбиту оказались факторами, способствующими их широкому распространению.

Одним из наиболее простых и часто используемых способов обеспечения заданного углового движения спутника заключается в его закрутке вокруг оси с наибольшим моментом инерции. При этом спутник сохраняет достаточно долго неизменную ориентацию оси закрутки в инерциальном пространстве. Для ориентации оси вращения и регулирования скорости собственного вращения применяется магнитная система, использующая токовые катушки для создания магнитного дипольного момента спутника. Магнитная система обладает тем преимуществом, что она не требует расхода рабочего тела. Это особенно важно для малогабаритных недорогих спутников, связанных множеством ограничений. Кроме того, отсутствие подвижных частей значительно повышает надежность, а, следовательно, и продолжительность активного функционирования такого аппарата. При проектировании малого спутника важной проблемой становится разработка алгоритмов и анализ динамики аппарата при управлении им на основании ограниченного объема информации о его фактическом движении.

Важной является проблема определения фактического вращательного движения малого спутника на основании ограниченного набора сенсоров. Первый российский наноспутник ТНС-0 был оснащен пассивной магнитной системой ориентации, состоящей из сильного постоянного магнита и набора

гистерезисных стержней. С помощью такой системы ориентации предполагалось обеспечить отслеживание осью симметрии спутника вектора индукции магнитного поля. Однако, когда спутник выводили на орбиту, ему придали сильное вращение. Так, вопреки ожиданиям, спутник ТНС-0 также оказался быстро вращающимся телом, взаимодействующим с геомагнитным полем. Правильно проинтерпретировать результаты летных испытаний этого спутника важно для разработки систем ориентации последующих малых спутников.

Цель работы: разработка алгоритмов магнитной ориентации малого спутника, стабилизируемого собственным вращением; исследование динамики малого спутника, стабилизируемого собственным вращением, при использовании предложенных алгоритмов активной магнитной системы ориентации; разработка методики определения и определение фактического вращательного движения малого спутника на основании ограниченного наббра сенсоров.

Научная новизна: усовершенствованы существующие алгоритмы магнитной ориентации малого спутника, стабилизируемого собственным вращением; исследована динамика спутника при использовании алгоритмов активной магнитной ориентации; получены новые результаты по динамике быстро вращающегося спутника с пассивной магнитной системой ориентации.

Практическая ценность: разработанные алгоритмы активной магнитной системы ориентации предполагается использовать на наноспутнике ТНС-1; разработанную методику обработки телеметрической информации ТНС-0 предполагается использовать также для обработки телеметрии проектируемого спутника ТНС-0-К2; результаты аналитического исследования движения спутника с пассивной магнитной системой ориентации при его быстром вращении позволят в дальнейшем избежать выхода на нежелательный режим движения; оригинальные результаты, полученные в диссертационной работе, используются в учебном процессе на базовой кафедре МФТИ в ИПМ им.М.В.Келдыша РАН.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на: научном семинаре отдела N 5 ИПМ им.М.В.Келдыша; научных семинарах механико-математического факультета МГУ им.М.В.Ломоносова; научном семинаре Московского авиационного института (Технического университета) кафедры «Теоретическая механика»; XXVIII, XXIX, XXX Академических научных чтениях по космонавтике, секция Прикладная небесная механика и управление движением, Москва, 2004-2006гг.; ХЬУ1, ХЬУИ, ХЬУШ конференциях МФТИ, Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук, Долгопрудный, 2003-2005 гг.; Сороковых научных чтениях памяти К.Э.Циолковского, секция «Проблемы ракетной и космической техники», Калуга, 14 сентября 2005; Совещании «Управление движением малогабаритных спутников», Москва, 7

декабря, 2005г; 5th International Symposium of IAA "Small Satellites for Earth Observation", 4-8 April, 2005, Berlin, Germany; 55th Congress IAF, 4-8 October, 2004, Vancouver, Canada; 1st International Workshop "Spaceflight Dynamics & Control", 15-16th of September, 2005, Covilha, Portugal.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы изложены в 21 печатной работе, список которых приведен в конце автореферата.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Общий объем диссертации составляет 137 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении разобраны вопросы, связанные с актуальностью темы и целью настоящей диссертационной работы, кратко описана история разработок активной магнитной системы ориентации для спутника, стабилизируемого собственным вращением, приведено краткое содержание диссертации.

В первой главе приводятся два достаточно простых по вычислительным затратам алгоритма активной магнитной ориентации спутника, стабилизируемого собственным вращением. Алгоритмы условно названы первый и второй. Каждый из них содержит в себе алгоритм управления ориентацией спутника, алгоритм управления скоростью вращения спутника, алгоритм гашения нутационного движения.

Первый и второй алгоритмы различаются измерительной информацией, требуемой для выбора управляющего воздействия. Для работы первого алгоритма необходимы измерения напряженности геомагнитного поля, измерения требуемого направления в связанных со спутником осях и измерения угловой скорости спутника. Этот алгоритм является более точным по сравнению со вторым, для работы которого необходимы только измерения напряженности магнитного поля и измерения в связанных осях требуемого направления оси ориентации.

Для описания вращательного движения спутника используются связанная с Землей инерциальная система координат ОдУ^^з и связанная со спутником система координат Ох 1*2*3- Матрицу перехода можно представить в виде А = (а!,а2,аз). Пусть на спутнике установлены три взаимно перпендикулярные токовые катушки. Током через каждую из них можно управлять независимо. Катушка с дипольным моментом Ш3 = т-^а^, создающая дипольный момент вдоль оси симметрии спутника с ортом аз, управляет положением этой оси в пространстве. Катушки, расположенные в экваториальной плоскости спутника, с дипольными моментами mj =т\aj, mj = используются для управления скоростью вращения спутника.

Рассматривается первый алгоритм. Закон управления катушкой, расположенной вдоль оси симметрии спутника, выглядит следующим образом:

}Щ =/nraaxsign(AL,a3,B), (1)

где >"тах - максимальный дипольный момент, создаваемый катушками, AL = Ly - L - рассогласование между требуемым кинетическим моментом Lу

и фактическим на текущий момент времени кинетическим моментом L, В -индукция геомагнитного поля в точке расположения центра масс спутника. Требуемый кинетический момент представляется в виде

L у = Q3Ca03.

Здесь Q3 - требуемая скорость осевого вращения спутника, С - момент инерции спутника вокруг оси симметрии, а 03 - требуемое направление этой оси. В данном случае величина Lу является постоянной.

Катушки, управляющие скоростью вращения спутника, в случае первого алгоритма создают дипольные моменты по законам

Щ = ™maxSign(AL,ai,B), т2 = ттзх sign(AL,a2,B), (2) где AL - рассогласование между требуемым кинетическим моментом Ly и

фактическим на текущий момент времени кинетическим моментом L. В качестве номинального кинетического момента зададим момент, который имел спутник, если бы он вращался вокруг оси симметрии с требуемой угловой скоростью, а ось симметрии ориентировалась так, как она ориентирована в текущий момент времени,

JL/=n3Ca3. (3)

Описывается алгоритм гашения нутационного движения спутника, использующий оценку угловой скорости спутника. Движение спутника описывается динамическими уравнениями Эйлера. Пусть Ы] 2,0^3 - проекции вектора угловой скорости спутника со на связанные оси. Под гашением нутационного движения будем понимать уменьшение компонент Oj и

1 9

угловой скорости. Находится управление, уменьшающее величину + со^ при

неизменной величине закрутке спутника ш3 = const, в следующем виде: '

(NpxNQxN,

m = т ——--—-—

Ша* х N])x Nj|"

Здесь TS0=(-Bico2,Bi6}l,B1ci}2-B2all), l>ii=(B2,-Bl,0), ВЬВ2,В3 -проекции вектора индукции магнитного поля Земли на связанные оси.

Рассматривается второй алгоритм в предположении, что спутник быстро вращается вокруг оси симметрии с моментом инерции С. Тогда текущий кинетический момент спутника L приближенно представляется в виде

L = co3Ca3. (4)

Требуемый кинетический момент спутника Lу записывается так:

Ly=«3Ca03. (5)

Тогда после подстановки выражения (4) и (5) в формулу (1) получен закон управления ориентацией

Щ - wmax sign(co3)sign(a03,a3,B). (6)

Предполагается, что текущий кинетический момент спутника L описывается формулой (4), а требуемый кинетический момент Lf задан

выражением (3). Эти выражения подставляются в формулу (2), что дает закон управления катушками, регулирующими скорость вращения,

щ =OTmaX sign(Q3 -(03)sign(52), т2 = -т^ sign(Q3 -ш3)sign№), (7)

Закон управления (7) требует оценку компоненты угловой скорости соз, то есть фактически - скорости вращения спутника вокруг оси симметрии. При условии, что спутник быстро вращается, скорость вращения спутника определяется с помощью двухосного магнитометра, оси которого расположены в экваториальной плоскости спутника. В случае быстрого вращения спутника изменением вектора индукции магнитного поля вследствие движения спутника по орбите можно пренебречь и считать, что проекция вектора индукции на экваториальную плоскость спутника изменяется только из-за вращения спутника.

Описывается алгоритм гашения нутационного движения спутника, для которого требуется только информация о знаке производной составляющей магнитного поля Земли вдоль оси симметрии спутника. В этом алгоритме уменьшение угловых скоростей (Oj и а 2 выполняется с помощью одной катушки, направленной по оси симметрии спутника с ортом а3. Дипольный магнитный момент ;и3 формируется по закону

т3 =-'»max sign(53). Здесь sign(i?3 ) - знак производной составляющей магнитного поля Земли вдоль оси симметрии спутника. Закон управления (9) получается при условии, что для гашения нутационного движения используется одна катушка.

Во второй главе проведено аналитическое исследование динамики спутника с активной магнитной системой ориентации. Рассмотрено два возможных режима ориентации спутника собственным вращением, когда ось симметрии направлена по нормали к плоскости орбиты и на Солнце. Выбор ориентации по нормали к плоскости орбиты обусловлен простотой работы системы управления, а ориентации на Солнце — максимальным токосъемом с солнечных батарей. Для выбора одного из двух возможных режимов в качестве рабочего производится оценка минимально необходимого дипольного момента спутника, требуемого для поддержания выбранной ориентации. Величина минимального магнитного момента, необходимого для компенсации возмущения гравитационного момента, оценивается аналитически при различных направлениях оси вращения. Для этого анализируется

асимптотическое решение для быстро вращающегося спутника в гравитационном и магнитном полях.

Для описания движения спутника используются динамические и кинематические уравнения Эйлера. Вводятся безразмерные угловые скорости со)- =<Dj: /ю0, где со0 - величина угловой скорости вращения спутника по орбите, а в качестве безразмерного времени используется аргумент широты и. Осуществляется переход к полусвязанной системе координат, которая не участвуют в собственном вращении спутника.

Пусть дипольный момент спутника направлен по оси симметрии, тогда

ЙГ3 = const. Считая, что спутник закручен с высокой скоростью вокруг оси - 1

симметрии, то есть а>3 = —, где е «1, ищется частное решение в виде

£

формального ряда по степеням малого параметра е

£21=еП1+..., Q2=EQ2+--->

V)/ +..., в = 0й +£•{?, +....

Здесь ц/ , 0 - углы Эйлера (прецессии и нутации), £2j, Q2 - проекции угловой скорости на полусвязанные оси. В нулевом приближении спутник сохраняет свою ориентацию: 4/о = const, Qq = const. Направление, определяемое углами у 0,00, может быть выбрано как направление на Солнце. Для расчета поведения спутника в первом приближении получаются уравнения, правые части которых зависят только от параметров орбиты и безразмерного времени и, поэтому их решения можно найти в виде квадратуры. Решения этой системы v|/(u),9(u) содержит как периодические, так и вековые составляющие. Наличие вековых членов означает, что гравитационный момент, действующий на спутник, приводит к возмущениям, которые надо систематически компенсировать, если ось ориентации направлена не под прямым углом к плоскости орбиты. Представляют интерес только вековые составляющие первого приближения Д9 и Д\у .

Пусть направление спутника в нулевом приближении, задаваемое углами \|/ о, б о > совпадает с нормалью к плоскости орбиты 14/ q =Q,Gq = г. В этом случае при отсутствии магнитного момента т(и) = 0 вековые члены также равны нулю Д\|/ = ДО = 0 . Рассматривается другой частный случай. Пусть направление на Солнце, задаваемое углами нулевого приближения x|/q>Oo> лежит в плоскости эклиптики 0 о = п / 2. Долготу восходящего узла, не теряя общности, можно положить равной нулю (Q = 0). В отсутствии магнитного момента существует вековой уход от направления на Солнце.

Управляющий магнитный момент т(м) представляется в виде ряда Фурье

со

т(и) = eg + cos к u+Sfc sin kit). к= 1

Величины С2> $2 можно использовать для устранения векового ухода от требуемого направления. Для того чтобы компенсировать возмущения

гравитационного момента с помощью магнитных катушек, значения коэффициентов С2 и ¿'2 следует положить следующими:

2(/í.-l)cosv|/0cos¿ 2(Л -1) sin\|/ г, eos 2 г" с 2 =--, s 2 =--.

Bq sin¿ Bq sin/

Таким образом, производится оценка минимально необходимого дипольного момента спутника, требуемого для поддержания выбранной ориентации.

Кроме этого во второй главе диссертации с использованием асимптотических методов было проведено аналитическое исследование алгоритмов управления ориентацией. Для этого использовалась осредненная модель геомагнитного поля. Согласно этой модели вектор индукции магнитного поля заметает круговой конус с углом при вершине 20в> оставаясь постоянным по величине. Угол ®в определяется наклонением орбиты спутника. Для описания динамики спутника используются уравнения в переменных Белецкого-Черноусько. Это следующие переменные: величина кинетического момента L, углы р и сг, задающие направление вектора кинетического момента в инерциальном пространстве (в кениговой системе координат ОК/У^Уз) и углы Эйлера ф, и 0, задающие ориентацию связанной со спутником системы координат Ox¡xгх3 относительно системы координат, связанной с направлением кинетического момента OLxLzL3.

Система координат Oíj'í^Fj выбрана так, чтобы орт указывал

направление требуемой ориентации оси симметрии спутника. Тогда угол р будет задавать отклонение кинетического момента спутника от требуемого направления. Ось симметрии спутника с ортом аз будет прецессировать вокруг направления кинетического момента спутника. Угол между направлением кинетического момента и осью симметрии спутника будет равен 0 . Таким образом, максимальный за период прецессии угол между требуемым и текущим направлением оси симметрии спутника равен сумме углов р и 0. Алгоритм, который производит уменьшение угла р, назван алгоритмом управления ориентацией, а алгоритм, который производит уменьшение угла 0 , алгоритмом гашения нутационного движения.

В работе используются направляющие косинусы bj, ¿2 > 63 вектора индукции геомагнитного поля в OY^Y^Yl, и угол х> задающий положение вектора индукции на круговом конусе, который заметает этот вектор при движении спутника по орбите.

Уравнения динамики спутника в переменных Белецкого-Черноусько записаны в безразмерном виде

в' = — (N2 cos^ - N¡ sin^y),

1 (8)

£ _ _

(p' - -77,/cosö -i--(ЛГ, cosy/ + Л'2 sin i/),

/sin#

_ £ _

у' = r¡2l - — AT, cos у/ ctg в -—N2 (ctg p + sin^ ctg в).

Здесь I - безразмерный кинетический момент, величина которого имеет порядок единицы, N = (Ni,N2,Ni) - безразмерный механический момент в системе координат OL1L2L2, Е , г)[, Г|2 - суть безразмерные параметры

2 Ú)0L0 2 со0 К А С J 2а>0А

где т0 - величина управляющего магнитного момента, В0 - модуль индукции геомагнитного поля, который при использовании осредненной модели является неизменным, со о - угловая скорость обращения спутника по орбите, Lq -номинальный кинетический момент спутника. Поскольку рассматривается быстро закрученный спутник, имеющий большой кинетический момент Lq, параметр с предполагается малым, а параметры тц, г|2 - большими. Переменные, описывающие динамику спутника, разбиваются на группы очень быстрых переменных <р и Х|/ , быстрых переменных % , />], ¿2, ¿>3 и медленных переменных /,р,0 . Переменная ст в зависимости от угла р может быть как быстрой, так и медленной переменной. Если угол р не мал по сравнению с безразмерным параметром s , то есть в «sin р , то а является медленной переменной.

Пусть управляющий безразмерный дипольный момент, создаваемый катушкой вдоль оси симметрии спутника, обозначен |Л3. Выражение (1) для момента р3 выглядит следующим образом: Рз = sign { cos9 sin р b4

+ [sin в (b2l sin p + (1 - / eos p)b5)] cos^ - (9)

— [sin^Z-cosp^lsin^}. Выражение (7) записывается так:

ц3 =sign{cos0sinpA4 + ^

+ [sin ¿> ¿>5 ] cos у + [sin Ö cos pb4 ] sin \(Г }.

Предположим, что угол нутации мал, то есть спутник фактически вращается вокруг вектора кинетического момента. Пусть при этом угол между требуемым направлением и кинетическим моментом не мал. Тогда поведение спутника при использовании первого и второго алгоритма будет схожим.

Рассуждая на физическом уровне строгости, это можно заметить, так как величина дипольного момента щ будет определяться первым слагаемым, и это слагаемое в формулах (9) и (10) одинаково. В диссертационной работе этот результат получен с использованием асимптотических методов. Вводится малый параметр 5 , который определяет малость угла нутации 0 . Параметр 5 должен удовлетворять следующим неравенствам: е/г|[,е!г\г «5 «1. В работе рассматривается нулевое приближение по этому малому параметру.

Производится осреднение сначала по очень быстрой переменной и далее по быстрой переменной %. В результате получаем, что в случае первого и второго алгоритма происходит уменьшение угла р, зависимость от времени которого можарируется линейным по времени законом убывания

Ро -Роа — —7-sin0B|cos^|-r. (11)

Здесь р00 - постоянная интегрирования, которая равняется значению угла р в момент времени х = 0, £, - угол между требуемым направлением оси вращения спутника и осью симметрии конуса, заметаемого вектором индукции магнитного поля. Если Е, = 0, то имеется асимптотическое решение для угла р

2s

Ро — Poo---sm©£T. (12)

я70

Формулы (11) и (12) верны, если угол р не мал. Если при использовании первого алгоритма угол р становится малым, возможно возникновение эффекта перерегулирования, который состоит в том, что вектор кинетического момента начинает отслеживать вектор индукции магнитного поля. При этом рассматриваемый угол р перестает уменьшаться. В работе подробно описано возникновение режима перерегулирования для случая полярной орбиты &в =я / 2, когда требуемое направление оси спутника совпадает с нормалью к плоскости орбиты (с, =0). Рассматривается частный случай, когда s и 8 имеют одинаковый порядок малости.

На рис. 1 представлен график зависимости от безразмерного времени т угла р при использовании первого алгоритма управления ориентацией. На рис.1, видно сначала практически линейное уменьшение угла р , как это описывает формула (12). Далее, виден выход на режим перерегулирования, когда уменьшение угла р становится очень медленным.

Существуют, как минимум, два способа избежать выхода системы на режим перерегулирования. Первый способ основывается на факте, что режим перерегулирования возникает не всегда, а только при определенных начальных условиях. Если такое фазовое состояние системы имеет место, то на некоторое время следует выключать управляющий магнитный момент. Второй способ заключается в уменьшении величины управляющего дипольного момента по мере уменьшения величины угла р .

Рис.1. График зависимости от времени угла р при использовании первого алгоритма управления. Показан выход на режим перерегулирования

Рис.2. График зависимости от времени угла р при уменьшении дипольного момента по мере уменьшения угла р для того, чтобы исключить режим перерегулирования

Если уменьшать управляющий дипольный момент спутника при уменьшении угла р по закону тъ = sin р • р. 3, то убывание угла р можно можарировать

формулой

р0 < 2arccta ctg-^- • exp ——sin0B¡cos£| ■ т

Если Е, = 0, то решение для угла р имеет вид

г ,Роо

р0 = 2arcctg

ctg-

•expf ~~~ sin ■

ч

(13)

(14)

2 ух10

Формулы (13) и (14) показывают то, что с течением времени угол р убывает до сколь угодно малой величины. На рис.2, представлен график зависимости угла р от безразмерного времени т при использовании первого алгоритма управления ориентацией. На рис.2, сплошной линией изображен график полученный численно, а пунктирной линией изображено асимптотическое решение (14).

При использовании второго алгоритма при малом угле между требуемым направлением и кинетическим моментом наблюдается увеличение нутационных колебаний спутника. Выходом из этой ситуации является отключение управления. Это говорит о том, что существует предельно возможная точность ориентации спутника.

Вместо использования алгоритмов гашения нутационных колебаний с помощью магнитных катушек рассмотрена также возможность рассеивания энергии колебаний с помощью пассивного нутационного демпфера.

В третьей главе диссертационной работы исследуется возможность применения магнитной системы ориентации, рассмотренной в главе 1, на

наноспутнике ТНС-1, который предполагается стабилизировать в инерциальном пространстве с помощью собственного вращения. Для двух предложенных в главе 1 алгоритмов проведено компьютерное моделирование работы магнитной системы ориентации. Для первого алгоритма, требующего измерения угловой скорости спутника, предложено вычислять угловую скорость путем дифференцирования матрицы перехода между инерциальной и связанной системами координат. Матрица перехода в этом случае вычисляется локальным методом по измерениям двух неколлинеарных векторов: вектора индукции геомагнитного поля и вектора направления на Солнце. Необходимость выбора простого метода определения угловой скорости обусловлена низкой вычислительной мощностью бортового комплекса. Второй алгоритм, не требующий измерения угловой скорости, оказался более подходящим для спутника ТНС-1, который не имеет приборов для ее измерения. Этот алгоритм с учетом погрешностей датчиков дает большую точность ориентации оси вращения спутника, чем первый алгоритм, несмотря на то, что при наличии прибора, измеряющего угловую скорость, этот алгоритм является более точный.

В четвертой главе диссертации проводится аналитическое исследование динамики быстро вращающегося спутника с пассивной магнитной системой ориентации и представлены результаты определения параметров вращательного движения спутника ТНС-0 по результатам летных испытаний.

Спутник ТНС-0 был оснащен пассивной магнитной системой ориентации, состоящей из сильного постоянного магнита и набора гистерезисных стержней. С помощью такой системы предполагалось обеспечить отслеживание осью симметрии спутника вектора индукции магнитного поля. Когда спутник выводили на орбиту, ему придали большую скорость вращения. Спутник ТНС-0 оказался быстро вращающимся телом, взаимодействующим с геомагнитным полем.

Первоначально в каждый сеанс связи спутник передавал измерения солнечных датчиков, проведенные в течение нескольких минут. После нескольких таких сеансов спутник был «усыплен» на длительное время. Когда спутник был «разбужен», то режим проведения измерений был изменен. Это позволило получить измерения датчиков за один виток.

Приводятся метод и результаты обработки кратковременных измерений. Динамика спутника описывается с помощью уравнений в переменных Белецкого-Черноусько. Вследствие того, что спутник быстро вращается, безразмерный параметр е является малым. Поскольку мы рассматриваем движение спутника на коротком интервале времени, то положим переменные I, р, ст, 9 константами, так как их производные пропорциональны е . В выражениях производных для переменных <р, также сохранялись только не малые члены. Фактически это предположение о том, что при движении спутника реализуется случай Эйлера вращения твердого тела. Согласно этому предположению вращение спутника описывается формулами ¿ = ¿0. Р = Ро> ст=<*о> б =60,

Для того чтобы моделировать измерения солнечных датчиков за время одного сеанса, необходимо знать следующий набор постоянных величин: £д, 0О, \]/0, Фо > {о > Р - ПРИ отсутствии альбедо Земли, и , 90, \|/0, <р0, Г0, Р > а > V > ^ ~ ПРИ наличии альбедо Земли. Здесь (3 - угол между кинетическим моментом спутника и направлением на Солнце, а, у - два угла направления на Землю, к -коэффициент, указывающий во сколько раз излучение Земли меньше излучения от Солнца. Если параметры движения известны, то можно вычислить среднеквадратичное отклонение реальных и моделируемых измерений. Если же набор постоянных величин неизвестен, то для их определения можно, рассматривая среднеквадратичное отклонение как функцию этих параметров, найти его минимум. Точка минимума среднеквадратичного отклонения укажет искомые значения неизвестных параметров. Именно таким образом в диссертационной работе производилось определение параметров движения на основании измерений солнечных датчиков. Для интерпретации полученного движения проведен анализ эволюции величины кинетического момента спутника. Анализ измерений показал, что скорость вращения спутника уменьшается согласно тому, как и должно демпфироваться вращение спутника, оснащенного гистерезисными стержнями.

Анализ измерений, сделанных в течение одного витка, показал, что спутник возможно вышел на режим, когда при его достаточно быстром вращении осредненное по периоду нутации направление магнита в среднем отслеживает вектор индукции геомагнитного поля. При этом угол между вектором индукции магнитного поля и осью симметрии составляет примерно 45 градусов. Было проведено аналитическое исследование такого режима для быстро вращающегося осесимметричного спутника с сильным постоянным магнитом и гистерезисными стержнями.

Если на спутнике имеется только постоянный магнит, то осредненные по прецессионному движению уравнения имеют две стационарные точки. Первая стационарная точка соответствует тому, что кинетический момент отслеживает вектор магнитной индукции В. Вторая стационарная точка соответствует тому, что кинетический момент отслеживает вектор -В. Обе стационарные точки являются устойчивыми, но не асимптотически, так как в отсутствии гистерезисных стержней нет демпфирования. Поскольку угол 9 в данном случае может быть любым, то осредненный по прецессионному вращению дипольный момент спутника устойчиво может отслеживать как вектор В, так и вектор -В. Заметим, что это отслеживание не точное. Существует отличный от нуля угол между вектором В (или -В). Чем медленней скорость изменения магнитного поля, тем меньше этот угол. Если же считать магнитное поле постоянным, то в стационарных точках кинетический момент выставлен точно по вектору магнитной индукции В или противоположен ему.

Рассматривается динамика спутника с постоянным магнитом и гистерезисными стержнями в постоянном магнитном поле. Уравнения движения

имеют также две стационарные точки. Пусть вектор кинетического момента сонаправлен вектору индукции магнитного поля. Тогда дифференциальное уравнение для угла 0 будет выглядеть следующим образом:

0' = £ysin6^«icos0-yJ. (15)

Здесь введены безразмерные параметры к = — с = , к - параметр,

описывающий магнитные свойства гистерезисных стержней. Асимптотически

£

устойчивая стационарная точка уравнения (15) будет 0О = arccos—-. Вектор

к/

кинетического момента направлен противоположно вектору индукции магнитного поля. Тогда дифференциальное уравнение для угла 0 и имеет вид

0' = £ysin0^t/cos0 + yj. (16)

£

Асимптотически устойчивая стационарная точка: 0О = jr — arccos—-. В случае

к/

гистерезисного демпфирования существует только определенное значение угла нутации, при котором возможно стационарное вращение.

Рассматривается динамика углов р и £ = а — %, определяющих направление кинетического момента. Два устойчивых положения кинетического момента по вектору магнитной индукции В (2 = 0, р = QB) и противоположному ему -В (2= я, р=я-05) являются асимптотически устойчивыми. Для доказательства устойчивости каждой из стационарных точек используются функции Ляпунова

V = 1Т (sin©ff cosEsinp + cos0B cosp). Эта функция является положительно определенной в окрестности соответствующих стационарных точек. Существование такой функции и выполнения условия V < 0 в выколотой окрестности стационарной точки доказывает асимптотическую устойчивость этой стационарной точки.

Поскольку при наличии гистерезисных стержней угол 0 имеет строго определенное асимптотически устойчивое значение, осредненный по прецессионному вращению дипольный момент спутника может отслеживать только вектор индукции магнитного поля, а не вектор противоположного ему, как это было ранее. Анализ уравнений показывает, что при стационарном вращении отсутствует уменьшение кинетического момента, даже при наличии на спутнике гистерезисных стержней. Это происходит из-за того, что спутник в таком режиме вращается так, что не происходит перемагничивание гистерезисных стержней (перманентное вращение). Наличие же на спутнике гистерезисных стержней делает этот режим асимптотически устойчивым. Проведенное исследование позволило достоверно проинтерпретировать измерения спутника ТНС-0.

В заключении приведены основные результаты и выводы

диссертационной работы

1. Для стабилизации спутника собственным вращением с помощью трех токовых катушек приводится два алгоритма управления. Каждый из алгоритмов включает в себя алгоритм управления ориентацией, алгоритм управления скоростью вращения спутника и алгоритм гашения нутационного движения, реализации которых зависят от состава измерения.

2. Исследовано влияние гравитационного момента на быстро закрученный спутник. Аналитически оценивается величина минимального дипольного момента необходимого для компенсации возмущения, производимого гравитационным моментом. Проведено аналитическое исследование динамики спутника, стабилизируемого собственным вращением, для предложенных алгоритмов управления. Объяснен возникающий эффект перерегулирования. Предложены способы преодоления этого эффекта. Проведено численное моделирование вращательного движения на примере наноспутника ТНС-1 с магнитной системой ориентации для обоих алгоритмов управления.

3. Проведен анализ динамики быстро вращающегося спутника с постоянным магнитом. Доказана устойчивость движения вектора кинетического момента относительно вектора индукции магнитного поля. Для спутника с постоянным магнитом и гистерезисными стержнями в случае постоянного магнитного поля получена асимптотическая устойчивость ориентации вектора кинетического момента вдоль вектора индукции магнитного поля. На основе построенных моделей движения разработана методика и проведен анализ измерений, полученных с наноспутника ТНС-О.

Работы, опубликованные по теме диссертации

1. Овчинников М.Ю., Пеньков В.И., Ильин A.A., Селиванов A.C., Алгоритмы управления ориентацией российского наноспутника ТНС-1 // Актуальные проблемы авиационных и аэрокосмических систем: процессы, модели, эксперимент, 2005, т.10, № 1(19), С. 78-101.

2. Непобедимый С.П., Белов A.A., Ильин A.A., Калинин А.П., Овчинников М.Ю., Орлов А.Г., Родионов И.Д., Родионов А.И., Трехмерное техническое зрение на основе монофотонных технологий // Доклады Академии наук, 2006, т.406, № 3, С.ЗЗЗ-ЗЗб.

3. Воронцов Д.В., Ильин A.A., Калинин А.П., Коровин H.A., Овчинников М.Ю., Орлов А.Г., Родионов А.И., Родионов И.Д., Федунин Е.Ю., Новый класс систем технического активного ЗО-зрения МДМ-локаторы II Датчики и Системы: Измерения, контроль, автоматизация, 2004, № 3, С.56-61.

4. Ильин A.A., Куприянова Н.В., Овчинников М.Ю., Пеньков В.И., Селиванов A.C., Анализ вращательного движения первого российского

наноспутника ТНС-0 по результатам летных испытаний, М.: Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, 2006, № 18.

5. Ильин A.A., Овчинников М.Ю., Пеньков В.И., Алгоритмы магнитной системы ориентации малого спутника, стабилизируемого собственным вращением, М.: Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, 2005, № 19.

6. Ильин A.A., Овчинников М.Ю., Пеньков В.И., Обеспечение ориентации малого спутника, стабилизируемого собственным вращением, М.: Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, 2004, № 83.

7. Овчинников М.Ю., Пеньков В.И., Кирюшкин И.Ю., Немучинский Р.Б., Ильин A.A., Нохрина Ё.Е., Опыт разработки, создания и эксплуатации магнитных систем ориентации малых спутников. М.: Препринт ИПМ им:М.В.Келдыша РАН, 2002, № 53.

8. Ильин A.A., Куприянова Н.В., Овчинников М.Ю., Пеньков В.И., Селиванов A.C., Определение параметров вращательного движения первого российского наноспутника ТНС-0 по результатам летных испытаний, Труды совещания «Управление движением малогабаритных спутников», М.: Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, 2006, № 5, С. 8-10.

9. Ильин A.A., Движение быстро вращающегося спутника с постоянным магнитом. Труды совещания «Управление движением малогабаритных спутников», М.: Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, 2006, № 5, С. 27-31.

10. Ильин A.A., Куприянова Н.В., Овчинников М.Ю., Пеньков В.И., Селиванов A.C., Определение параметров вращательного движения наноспутника ТНС-0 по результатам летных испытаний, Актуальные проблемы развития отечественной космонавтики, Труды XXX Академических чтений по космонавтике, Секция Прикладная небесная механика и управление движением, Москва, 25-27 января 2006 г., М.: Война и мир, 2005, С. 91.

11. Ильин A.A., Два алгоритма управления ориентацией малых спутников с использованием геомагнитного поля, Труды XLVIII научной конференции МФТИ: Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук, Москва—Долгопрудный, 25-26 ноября 2005 г., Часть VII: Управление и прикладная математика, М.: МФТИ, С. 193-194.

12. Ильин A.A., Куприянова Н.В., Определение ориентации первого российского наноспутника ТНС-0, Труды XLVIII научной конференции МФТИ: Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук, Москва—Долгопрудный, 25-26 ноября 2005 г., Часть VII: Управление и прикладная математика, М.: МФТИ, С. 197-198.

13. Ильин A.A., Овчинников М.Ю., Пеньков В.И., Магнитное управление ориентацией наноспутника ТНС-1, Актуальные проблемы развития отечественной космонавтики, Труды XXIX Академических чтений по космонавтике, Секция Прикладная небесная механика и управление движением, Москва, январь 2005 г., М.: Война и мир, 2005, С. 94-95

14. Ильин А.Л., Овчинников М.Ю., Пеньков В.И., Магнитная система ориентации малого спутника, стабилизируемого собственным вращением. Труды XLVII научной конференции МФТИ: Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук, Москва-Долгопрудный, 26-27 ноября 2004 г., Часть VII: управление и прикладная математика, М.: МФТИ, С. 177-178.

15. Ильин А.А., Овчинников М.Ю., Пеньков В.И., Магнитное управление ориентацией ИСЗ, стабилизируемого собственным вращением. Актуальные проблемы развития отечественной космонавтики, Труды XXVIII Академических чтений по космонавтике, Секция Прикладная небесная механика и управление движением, Москва, январь 2004 г., М.: Война и мир, С. 120.

16. Ильин А.А., К теории магнитной ориентации ИСЗ. Труды XLVI научной конференции МФТИ: Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук, Москва-Долгопрудный, 28-29 ноября 2003 г., Часть VII: Математика, управление, экономика, М.: МФТИ, С. 158-159.

17. Овчинников М.Ю., Мирер С.А., Пеньков В.И., Grassi М., Thail S., Дегтярев А.А., Зараменских И.Е., Ильин А.А., Овчинников A.M., Середницкий А. С., Цветков Е.А., Цветков П.Б., Отработка алгоритмов управления и элементов систем ориентации наноспутников в лабораторных условиях. Сборник тезисов докладов 3-ей конференции «Микротехнологии в авиации и космонавтике», Санкт-Петербург, 8-9 июня 2004 г., СПб.: Рестек, С.25-26.

18. Овчинников М.Ю., Пеньков В.И., Кирюшкин И.Ю., Немучинский Р.Б., Ильин А.А., Нохрина Е.Е., Опыт разработки, создания и эксплуатации магнитных систем ориентации наноспутников. Сборник тезисов докладов конференции «Проблемы развития и использования микротехнологий в авиации и космонавтики» в рамках VII ежегодной международной выставки-конгресса «Высокие технологии. Инновации. Инвестиции», Санкт-Петербург, 4-7 июня 2002 г., СПб.: Рестек, С.6.

19. Ilyin A., Ovchinnikov М., Penkov V., Selivanov A., Magnetic Attitude Control System for the Russian Nano-Satellite TNS-1, Paper IAC-04-A.3.10 at the 55th Congress IAF, 4-8 Oct., 2004, Vancouver, Canada, 1 Op.

20. Ovchinnikov M.Yu., Penkov V.I., Ilyin A.A., Selivanov A.S., Magnetic Attitude Control Systems for the Nanosatellite TNS-Series, Selected Proceedings for 5 th International Symposium of IAA "Small Satellites for Earth Observation", Berlin, Germany, 4-8 April, 2005, Wissenshaft und Technik Verlag, pp.337-344.

21. Ovchinnikov M., Pen'kov V., Ilyin A., Kiryushkin I., Nemuchinsky R., Tretjakova N., Lessons Learned from the Development, Building and Operation of a Magnetic Attitude Control System for Small Satellites, Proceedings of 17lh International Symposium on Space Flight Dynamics, Moscow, Russia, 16-20 June 2003, KIAM and SIAS, pp.241-249.

И. П. M. заказ №39. Тираж 50 экз.

Введение

Глава 1. Активная магнитная система ориентации спутника, стабилизируемого собственным вращением

1.1. Уравнения движения спутника

1.2. Алгоритм управления магнитными катушками, требующий измерения угловой скорости спутника (первый алгоритм)

Управление ориентацией оси вращения спутника

Управление скоростью вращения спутника

Алгоритм гашения нутационного движения спутника 22 1.3 Алгоритм управления магнитными катушками, не требующий измерения угловой скорости спутника (второй алгоритм)

Управление ориентацией оси вращения спутника

Управление скоростью вращения спутника

Алгоритм гашения нутационного движения спутника 28 Определение скорости вращения спутника на основании измерений магнитометров

Глава 2. Исследование динамики спутника при использовании магнитного управления

2.1. Асимптотическое решение для быстро вращающегося спутника в гравитационном и магнитном полях

2.2. Осредненная модель геомагнитного поля и используемые системы координат

2.3. Уравнения возмущенного движения

2.4. Исследование алгоритмов управления ориентацией 46 Уравнения движения при управлении ориентацией спутника 47 Осредненные уравнения по переменной v|/ 50 Случай вращения спутника вокруг оси симметрии

Осреднение уравнений движения по быстрой переменной % Анализ уравнений, осредненных по быстрой переменной % Анализ динамики спутника, использующего первый алгоритм, в случае малости угла р Способы преодоление режима перерегулирования Характерные особенности динамики спутника, использующего второй алгоритм, в случае малости угла р 2.5. Использование пассивного нутационного демпфера для гашения нутационных колебаний оси симметрии спутника

Глава 3. Моделирование работы активной магнитной системы ориеитации на спутнике ТНС

3.1. О спутнике ТНС

3.2. Программный комплекс для моделирования движения спутника относительно центра масс

3.3. Моделирование вращательного движения спутника с магнитной системой ориентации, использующей первый алгоритм

3.4. Использование первого алгоритма при вычислении ориентации и угловой скорости спутника с помощью магнитометра и солнечного датчика

Определение ориентации и угловой скорости спутника локальным методом с помощью магнитометра и солнечного датчика

Моделирование вращательного движения спутника с магнитной системы ориентации, использующей первый алгоритм, при вычислении угловой скорости с помощью показаний магнитометров и солнечного датчика

3.5. Моделирование вращательного движения спутника с магнитной системой ориентации, использующей второй алгоритм

Глава 4. Динамика спутника ТНС-0 относительно центра масс

4.1.0 цели запуска спутника ТНС

4.2. Пассивная магнитная система ориентации спутника ТНС

4.3. Задача определение параметров движения наноспутника ТНС-0 по измерениям солнечных датчиков

4.4. Обработка кратковременных измерений при быстром вращении спутника

4.5. Движение быстро вращающегося спутника с постоянным магнитом

4.6. Асимптотическая устойчивость вращающегося спутника с постоянным магнитом и гистерезисными стержнями

4.7. Определение параметров движения спутника по измерениям, сделанным в течение одного витка

В настоящей работе рассматриваются задачи управления ориентацией и анализа вращательного движения спутников с различными магнитными системами ориентации. Спутники предполагаются малым, то есть имеет место множество ограничений: по энергетике, по измерительным и исполнительным элементам, по вычислительным ресурсам, что необходимо учитывать при разработке систем ориентации.

Малые спутники используют, как правило, простые алгоритмы различных систем, включая систему ориентации - одну из самых дорогих систем любого спутника. Поэтому сейчас становятся актуальны идеи, которые легли в основу простых алгоритмов, разработанных на заре «космической науки», когда создание сложных алгоритмов не представлялось возможным из-за низкого уровня развития вычислительной техники.

Первой рассматриваемой в настоящей работе задачей являлась задача обеспечения ориентации осесимметричного спутника, стабилизируемого собственным вращением, при помощи активной магнитной системы. Одним из наиболее простых и часто используемых способов обеспечения заданного углового движения спутника заключается в том, что аппарат, закрученный вокруг оси с наибольшим моментом инерции, сохраняет достаточно долго неизменную ориентацию оси закрутки в инерциальном пространстве [33]. Системы ориентации, построенные по такому принципу, рассматриваются например в работах [1,42]. Для ориентации оси вращения и регулирования скорости собственного вращения можно использовать магнитную систему, использующую токовые катушки для создания магнитного дипольного момента спутника. Магнитная система обладает тем преимуществом, что она не требует расхода рабочего тела, что особенно важно для малогабаритных недорогих спутников, связанных множеством ограничений. Кроме того, отсутствие подвижных частей значительно повышает надежность, а, следовательно, и продолжительность активного функционирования такого аппарата.

Однако, система управления, построенная по такому принципу, обладает как минимум двумя недостатками: магнитное торможение и потеря осью вращения первоначальной ориентации из-за ряда возмущений. Спутник, вращаясь в магнитном поле Земли, теряет часть своей кинетической энергии за счет индуцирования вихревых токов в токопроводящих материалах, гистерезисных потерь и потерь на вихревые токи в магнитном материале. Например, скорость вращения спутника "Vanguard" (1958 02) уменьшилась в течение года с 2.7 до 0.55 рад/сек в основном за счет индуцирования вихревых токов в алюминиевом корпусе [1]. За счет потерь на гистерезис скорость вращения спутника (1960, 01) упала от 0.785 до менее чем 0.002 рад/сек за 24 дня.

Применение метода стабилизации собственным вращением (или просто -вращением) предполагает наличие инерционной конфигурации спутника, близкой к маховику, то есть ось вращения является осью динамической симметрии и осью максимального момента инерции. После отделения спутника от носителя он вращается с некоторой угловой скоростью. При помощи управляющих моментов, создаваемых магнитной системой, ось вращения спутника прецессирует до тех пор, пока не станет перпендикулярной к плоскости орбиты и спутник не будет закручен с заданной скоростью вокруг оси симметрии. С этого момента спутник будет казаться катящимся по орбите вокруг Земли. Если ориентация оси симметрии осуществляется на Солнце, направление на которое составляет некий угол с нормалью к плоскости орбиты (на солнечно-синхронной орбите этот угол практически не меняется), то спутник будет катиться "боком".

Для поворота оси симметрии спутника используется токовая катушка, установленная параллельно этой оси. Для управления скоростью вращения спутника вокруг оси симметрии используются токовые катушки, лежащие в плоскости, ей перпендикулярной.

Рассматривается еще один возможный режим ориентации спутника собственным вращением, когда ось направлена на Солнце [7]. В отличие от первого режима, когда ось вращения параллельна нормали к плоскости орбиты и гравитационный момент играет стабилизирующую роль, здесь гравитационный момент, вообще говоря, возмущает движение. Причем, чем ниже скорость собственного вращения, тем больше его влияние на точность ориентации. Для выбора одного из этих двух возможных режимов в качестве рабочего в данной работе предлагается оценить минимально-необходимый дипольный момент спутника, требуемый для поддержания выбранной ориентации.

Другая проблема, подлежащая решению, - это приведение и удержание оси вращения спутника в инерциальном пространстве при недостаточной точности определения текущего фазового состояния (ориентации и угловой скорости). Вопрос о точности становится критическим, когда спутник подходит к расчетному режиму движения и точность измерений становится сравнимой с требуемой точностью ориентации. Представляется, что существует, по крайней мере, два пути ее решения. Первый путь - это использование более точных датчиков ориентации (магнитометра и солнечного датчика) и повышение точности обработки их показаний. Второй путь -использовать на заключительном этапе приведения пассивный нутационный демпфер, рассеивающий энергию нутационных колебаний. Его принцип действия основан на рассеивании энергии относительного движения установленного на спутнике элемента под действием переносных сил инерции, возникающих при нутационном движении аппарата относительно вектора кинетического момента.

Ранее в системах управления вращением спутников использовалось несколько способов стабилизации скорости вращения. На двух аппаратах метеорологического АЕ-В (The Atmosphere Explorer satellite) и спутника прямых измерений ДМЕ-А (The Direct Measurements Explorer satellite) использовалась магнитная система функционирующая, следующим образом 3

33]. Введем связанную со спутником систему координат Ох\х^х3. Ось Ох3 является осью вращения спутника. Векторные магнитометры измеряют напряженность магнитного поля по осям Ох\ и Ох2 спутника. Сигнал с магнитометра, установленного на оси Ох\, усиливается и подается на обмотку электромагнита оси 0x2. Подобным образом сигнал с магнитометра оси Ох2 усиливается, инвертируется и поступает на обмотку электромагнита оси Ох\.

Если проекция индукции магнитного поля Земли в плоскости 0х\х2 спутника - В12 то система, включающая в себя магнитометры и электромагниты, создаст магнитный диполь 1113, перпендикулярный В^. В зависимости от того, в какую сторону вращается спутник, момент 1113 будет увеличивать или уменьшать скорость вращения. При работе системы возникает гироскопический момент 1П3ХВ, вызывающий прецессию спутника. Если скорость вращения спутника велика, а произведение 1П3ХВ мало, то прецессионное движение спутника можно сделать медленным.

Если требуется поддержать постоянную скорость вращения, то в систему добавляются устройства измерения скорости вращения. Например, скорость можно определить путем подсчета числа нулевых показаний магнитометра.

При полете спутников «АЕ-В» и «ДМЕ-А» требовалось, чтобы ось вращения была перпендикулярна плоскости орбиты. Так как эти аппараты двигались по полярным орбитам, напряженность магнитного поля Земли в требуемой плоскости достигает значительных величин, поэтому была возможность создавать заданную прецессию спутника.

Для функционирования большинства спутников требуется определенным образом ориентировать ось их вращения. Например, спутник "Tiros" ориентировался так, чтобы получить наилучшие условия наблюдения за метеорологических обстановкой [18]. Метеорологические спутники этой серии представляли из себя 18-угольный многоугольник около метра в диаметре и около полуметра высотой. Весил этот спутник 122 кг.

Решение о стабилизации аппарата посредством вращения было принято в процессе разработки первоначальной конструкции спутника "Tiros". Несмотря на ограничения, был выбран этот довольно простой метод. Телевизионные камеры были смонтированы на аппарате так, чтобы их оптические оси были направлены параллельно оси вращения, за которою была принята ось минимального момента инерции космического аппарата. Спутник был выведен на орбиту, вращающимся относительно оси, лежащей в плоскости орбиты, направленной по касательной в точке вывода с номинальной скоростью около 10 об/мин. При стабилизации аппарата выбранным способом его поведение подобно простому идеальному гироскопу, который при отсутствии возмущающих моментов сохраняет фиксированное направление в инерциальном пространстве.

Медленное снижение скорости вращения спутника, вызываемое влиянием магнитного поля Земли, возмещалось включением небольших твердотопливных двигателей, смонтированных на спутнике. Поэтому, в первом приближении, можно считать, что ось вращения спутника сможет поддерживать в инерциальном пространстве примерно постоянное направление, по крайней мере, в течение нескольких месяцев. Кинематика вывода и отделения спутника от носителя была выбрана такой, чтобы в течении первых нескольких недель ось вращения спутника при пролете над Северным полушарием была бы направлена всегда вниз. Такая ориентация позволяет получить информацию о состоянии облачного покрова и инфракрасном излучении Земли. Однако прецессия орбитальной плоскости со скоростью приблизительно 5 градусов в день уже через две недели так изменила положение плоскости орбиты, что ось вращения спутника перестала лежать в ее плоскости, а зона полезного оборота исчезла. Явление непрерывной прецессии плоскости орбиты приводит к периодическому восстановлению полезных условий, при которых снова можно получать полезные снимки. Таким образом, создавалась ситуация, при которой последовательно чередуются промежутки времени, когда, например, в течении 2-х недель имеется хорошая зона обзора затем зона плохого обзора и т.д.

Было решено включить в конструкцию спутника средства для точного измерения положения оси вращения в инерциальном пространстве. Детальное изучение этой информации привело к ряду точных расчетов, которые показали, что эффект, наблюдаемый после нескольких месяцев полета, мог бы быть очень точно рассчитан, если предположить, что аппарат имеет направленное вдоль оси вращения остаточное магнитное поле.

Основные источники внешних моментов имеют гравитационную и магнитную природу [9]. Несимметричное твердое тело будет испытывать в гравитационном поле ощутимый момент, если главные моменты инерции тела не равны между собой. У спутника "Tiros I" главный момент инерции относительно оси собственного вращения больше, чем остальные главные моменты инерции. Оценка величины результирующего гравитационного момента показала, что, несмотря на очевидное влияние момента на спутник, этим моментом можно пренебречь. Выяснилось, что основное возмущающее воздействие является по своей природе магнитным.

Уравнения движения спутника, составленные для последующего использования их в вычислительной машине, основываются на представлении геомагнитного поля в виде диполя и учитывают второстепенное влияние гравитационного момента на движение спутника.

Уравнения получены на базе теоремы об изменении кинетического момента. При выводе уравнений был принят ряд упрощающих допущений. Используемые уравнения имели следующую форму [9]: = ~£ (s • n)(s х n) + //(b х s),

3<Ул I-J М V0 т > М = ---j,

COs I I(DS где s - единичный вектор скорости вращения спутника вокруг центра масс, coq - угловая скорость радиус-вектора, характеризующего положение спутника на орбите, (os - скорость вращения спутника вокруг его центра масс, / - момент инерции спутника относительно оси собственного вращения, J - поперечный момент инерции спутника, п - единичный вектор нормали к орбите, М -составляющая момента магнитного диполя спутника вдоль его оси вращения, Vq - магнитная постоянная для диполя в центре Земли, R - радиус орбиты, b -нормализованный вектор геомагнитного диполя.

Рассматривался идеальный гипотетический случай, когда направление момента от взаимодействия магнитных полей спутника и Земли было таким, что вызывало прецессию оси вращения спутника, которая в течении существования спутника на орбите улучшала ориентацию телевизионных камер и исключала периоды плохой видимости.

Когда задача реализации указанного вида управления была изучена, то сразу стало очевидно, что система должна обеспечивать управляемую прецессию оси вращения со скоростью приблизительно около 25 градусов в день. Поскольку была рассмотрена наипростейшая из возможных систем (а именно система, в которой по катушке, размещенной параллельно оси вращения, протекает постоянный ток) то, естественно, было несколько жестких ограничений на направление, в котором ось вращения могла бы прецессировать. Эта простая схема управления позволила устранить интервалы плохих зон обзора и каждый день получать качественные снимки.

Такая управляющая система использовалась на спутнике "Tiros-II" и всех последующих спутников, вплоть до "Tiros-VIII". Позднее такая же система стабилизации вращением была применена на связном спутнике-ретрансляторе "Relay" и спутнике "Telstar".

Применение другого метода стабилизации на "Tiros-IX" предполагает конфигурацию космического аппарата, выполненного в форме маховика. Этот метод пространственной стабилизации оси вращения по-прежнему использует стабилизацию вращением. Ось вращения спутника после расцепки с носителем направляется по касательной в плоскости орбиты. Затем при помощи управляющих моментов, создаваемых магнитной системой, ось вращения спутника прецессирует до тех пор, пока не станет перпендикулярной к плоскости орбиты. С этого момента спутник будет казаться катящимся по орбите вокруг Земли. Отсюда и появилось название "спутник-колесо".

Система организации магнитного управляющего момента, посредством которого ось разворачивается на 90 градусов и аппарат переводится в режим «колеса», использует тот же самый тип катушки, что и в предыдущих конструкциях спутника, имеющих дипольный момент, направленный параллельно оси вращения. Если обеспечить реверсирование тока протекающего по катушке через каждую четверть орбиты (для круговой орбиты), то можно организовать прецессию в желаемом направлении. Такой прием позволил устранить ограничения, присущие схеме, используемой на ряде первых спутников. На "Tiros-IX" имеется дополнительная магнитная катушка, плоскость которой совпадает с осью вращения. Ее назначение состоит в том, чтобы создавать моменты которые можно было использовать для управления скоростью вращения спутника.

Преимущества режима «колеса» для спутника, несущего телевизионные камеры которые передают снимки облачного покрова Земли, заключается в том, что в процессе каждого оборота спутника оптические оси камер, расположенные перпендикулярно к оси вращения, всегда направлены на Землю. При этом всякий раз, когда оптические оси инфракрасного датчика пересекают линию горизонта, последний вырабатывает импульсный сигнал. Импульсы в определенный момент времени приводят в действие затвор камеры. В результате непрерывно производится серия снимков по направлению местной вертикали.

Поскольку система управления пространственным положением оси вращения содержит катушку, в которой производится изменение направления тока через каждую четверть орбиты, то ее принято называть сокращенно 8

QOMAC (the Quarter-Orbit Magnetic Attitude Control system). Аналогично система управления скоростью вращения спутника сокращенно называется MASC (the Magnetic Attitude Spin Control).

Система QOMAC может работать в двух режимах: грубом и точном. Грубый режим работы с большим по величине магнитным моментом используется для грубой коррекции больших ошибок и выполнения таких быстрых движений оси вращения, которые, например, требуются при начальной ориентации спутника-колеса.

Магнитный момент в грубом режиме, который способен обеспечить прецессию со скоростью около 10 градусов за орбиту, оценивается величиной диполя равной 30 А м2. Величина диполя в точном режиме оценивается 6 Ам 2, а скорость, развиваемая моментом прецессии, около 2 градусов за орбиту. Более поздние спутники этой серии [15] использовали для ориентации помимо токовых катушек также маховики и жидкостные демпферы.

Приведем краткий обзор по системам ориентации, используемых на некоторых современных малых спутниках [56].

Oersted - датский микроспутник изготовлен кооперацией фирм и университетов во главе с CRI, имеет размеры 720x340x450 мм и массу 62 кг [63]. Корпус спутника имеет в разрезе форму буквы Н, где на одной стороне перекладины смонтированы блоки электроники, а на другой - механизм развертывания штанги гравитационной стабилизации. Система ориентации также включает: магнитные катушки, звездный датчик, солнечный датчик и магнитометр. Задачи, решаемые спутником: изучение и съемка магнитного поля Земли.

Наноспутник Берлинского университета Tubsat-N размерами 320x320x104 мм и массой 8.5 кг использует систему ориентации, состоящую из магнитных катушек, магнитометра, силового маховика и звездного датчика [57]. Основное назначение - слежение за перемещениями крупно- и среднеразмерными млекопитающими, угнанными машинами, сбор данных с радиобуев.

Sapphire - микроспутник Стентфортского Университета, имеет форму шестигранного цилиндра шириной 60 см и весит 18 кг [58]. Для его ориентации используется пассивная магнитная система, состоящая из постоянного магнита и гистерезисных стержней. Цель запуска спутника - проверить работоспособность в космосе нового инфракрасного датчика.

Sunsat - микроспутник ЮАР, создан в Стелленбосхском Университете, имеет размеры 45x54x62 см и массу 59 кг [64]. Система ориентации состоит из штанги гравитационной стабилизации, маховиков и магнитометров.

Starshine - микроспутник создан военно-морской исследовательской лабораторией США, имеет форму сферы диаметром 48 см и массой 39.3 кг [59]. Поверхность спутника покрыта 877 полированными алюминиевыми зеркалами диаметром 25 мм. Спутник ориентируется осью вращения вдоль линий магнитного поля с помощью постоянного магнита и закручивается посредством «фотонного флюгера» - пластин, части которых окрашены отражающей и поглощающей красками. Скорость вращения спутника около 1 об/мин.

Спутник TERRIERS разработан Бостонским университетом, служебный борт изготовлен Aero Astro Inc. [65]. Масса спутника 124 кг, служебный борт -75 кг. Спутник имеет прямоугольную форму. Его длина составляет 97 см, поперечный размер 51 см. Используется стабилизация вращением 1-10 об/мин. Система ориентации состоит из двух магнитометров, 6 грубых солнечных датчиков и магнитной катушки. Цель запуска - исследование ионосферы.

DLR-Tubsat - немецкий микроспутник [66]. Полезная нагрузка изготовлена институтом технологии космических датчиков, служебный борт -институтом аэронавтики и астронавтики технического университета Берлина. Имеет форму параллелепипеда 32x32x27 см. Его масса составляет 45 кг. Система ориентации включает звездный датчик, три волоконно-оптических лазерных гироскопа и три маховика. Когда спутник не ведет съемку, он стабилизируется собственным вращением.

ASUSat-1 - наноспутник Аризонского университета изготовлен в виде призмы с 14 боковыми гранями высотой 25.4 см и максимальным поперечным размером основания 34.3 см [67]. Масса спутника составляет 5.9 кг. Система определения ориентации состоит из фотодиодов (простейших солнечных датчиков), размещенных группами по 4 на каждой боковой грани корпуса (один датчик Солнца и три датчика Земли), и фотодиодов, размещенных на основаниях призмы. Система ориентации состоит из гравитационной штанги и жидкостного демпфера.

TiungSat-1 - малазийский микроспутник, построенный SSTL. Его масса составляет 54 кг [68]. Размеры спутника 69x36.6x36.6 см. Система ориентации имеет штангу гравитационной ориентации развертываемая в полете. Спутник оснащен четырьмя камерами для съемки поверхности Земли в разных диапазонах и с разным разрешением, цифровым процессором для обработки данных, оборудованием для мониторинга радиационной обстановки.

Munin - наноспутник, разработанный Шведским институтов космической физики и студентами университетов Умеа и Лулеа [2,60]. Масса спутника: 7.5 кг, размеры: 20x20x25 см. Этот спутник ориентируется по магнитному полю с помощью постоянного магнита. Спутник предназначен для изучения полярных сияний и «космической погоды» над северным и южным полушариями.

QuikToms - малый спутник, изготовленный компанией OSC для изучения и прогнозирования озонового слоя [61]. Масса спутника -162 кг. Спутник представляет собой два кольцевых модуля, расположенных рядом. Система ориентации включает датчик Земли, солнечный датчик, GPS приемник, гироскопический блок, три маховика, магнитометры и токовые катушки и обеспечивает стабилизацию по трем осям с точностью 0.5 град по направлению и 0.01 град/с по скорости, а также определение фактической ориентации с точностью 0.25 град.

Колибри» - научно-образовательный спутник, предназначенный для исследования электромагнитной обстановки в районе геомагнитного экватора с помощью анализатора частиц и полей и трехкомпонентного ферромагнитного

11 магнитометра [62]. Спутник создан РЖИ РАН при участии школьников Обнинска и Сиднея. Масса спутника составляет 20.5 кг. Аппарат имеет форму шестиугольной призмы (высота 51.5 см, диаметр описанной окружности 37 см) с четырьмя раскрывающимися двусторонними панелями солнечных батарей. Система ориентации - магнитно-гравитационная.

Как видно из приведенного обзора, на малых спутниках довольно часто используются магнитные катушки или постоянные магниты, хотя другие подходы к обеспечению ориентации также имеют место. Помимо спутников, стабилизируемых собственным вращением, магнитное управление может быть использовано для спутников с маховиками [40]. На таких спутниках магнитные катушки часто используются для разгрузки маховичной системы [37]. В работе [41] рассматриваются возможности одновременного использования маховиков и магнитных катушек для минимизации расходуемой энергии при поддержании требуемой ориентации. С помощью активной магнитной системы можно осуществлять трехосную ориентацию спутника [44]. Для синтеза управления, осуществляющего трехосную ориентацию спутника, удобно рассматривать линеаризованную систему, как это сделано в работах [45,53]. В работе [54] вращательное движение спутника описывается линейной дискретной периодической системой, и осуществляется поиск оптимального управления.

Ранее на практике использовались различные способы управления токовыми катушками, для обеспечения заданного углового движения спутника, стабилизируемого собственным вращением [48]. Так, в [46] рассматривается способ управления, основанный на методе осреднения, в котором создаваемый механический момент осредняется на периоде управления, а закон управления не зависит от направления оси вращения. В этом случае закон управления изменяется так, чтобы управляющий магнитный момент обеспечивал заданную ориентацию. В [46] исследовались пять законов управления, причем для околополярных орбит выбиралось релейное управления с переключением через каждую четверть орбиты. В [38,52] разработан закон управления для круговой

12 орбиты. В [38] предложен критерий максимума величины магнитного момента и ошибки углового момента. В работе [50] использован фильтр Калмана для минимизации угловой ошибки и создан метод управления с минимальными энергетическими затратами. В работе [16] рассматривается возможность управления как скоростью вращения, так и ориентацией с помощью одной катушки.

Способ управления угловым движением спутника, стабилизируемого собственным вращением, который предложен в работах [35,47], основан на анализе величины рассогласования между номинальным (расчетным) и текущим кинетическим моментом спутника. Этот подход в настоящее время предполагается использовать для ориентации американского малого спутника LionSat [43] и бразильского спутника BDCS (Brazilian Data Collecting Satellite) [39]. В диссертационной работе также используется такой подход для управления ориентацией и скоростью вращения спутника [23]. Алгоритмы управления ориентацией и скоростью вращения являются частями автономного алгоритма управления угловым движением спутника, использующего информацию об угловой скорости спутника.

В первой главе диссертационной работы приведено два простых по вычислительным затратам автономных алгоритма. Алгоритмы условно названы первый и второй. Автономность алгоритмов подразумевает, что каждый из них содержит в себе алгоритм управления ориентацией спутника, алгоритм управления скоростью вращения спутника, алгоритм гашения нутационного движения. Первый и второй алгоритмы различаются измерительной информацией, требуемой для выбора управляющего воздействия. Первый алгоритм требует измерения напряженности геомагнитного поля, измерения требуемого направления в связанных со спутником осях и измерения угловой скорости спутника. Этот алгоритм является более точным по сравнению со вторым. Второй алгоритм требует только измерения напряженности магнитного поля и измерения требуемого направления в связанных осях.

Во второй главе диссертационной работы исследуется динамика спутника, стабилизируемого собственным вращением. Как уже было рассказано ранее, в работе рассматривается два возможных режима ориентации спутника собственным вращением, когда ось симметрии направлена по нормали к плоскости орбиты и на Солнце. Выбор ориентации по нормали к плоскости орбиты обусловлен простотой работы системы управления, а ориентации на Солнце максимальным токосъемом от солнечных батарей. В случае первого режима, когда ось вращения параллельна нормали к плоскости орбиты, гравитационный момент играет стабилизирующую роль. В случае с ориентацией на Солнце гравитационный момент, вообще говоря, возмущает движение. Причем, чем ниже скорость собственного вращения, тем больше его влияние на точность ориентации. Для выбора одного из этих двух возможных режимов в качестве рабочего в данной работе предлагается оценить минимально-необходимый дипольный момент спутника, требуемый для поддержания выбранной ориентации. Величина минимального магнитного момента, необходимого для компенсации возмущения, производимого гравитационным моментом, оценивается аналитически при различных направлениях оси вращения. При этом анализируется асимптотическое решение для быстро вращающегося спутника в гравитационном и магнитном полях. Вместо активного магнитного гашения нутационных колебаний рассматривалась также возможность использования пассивного нутационного демпфера, рассеивающего энергию нутационных колебаний. Было проведено аналитическое исследование алгоритмов управления ориентацией, с использованием асимптотических методов, включая метод осреднения. Аналитические результаты подтверждаются численным моделированием движения спутника относительно центра масс.

В третьей главе представлены результаты численного моделирования работы алгоритмов активной магнитной ориентации спутника, стабилизируемым собственным вращением. Параметры моделируемого спутника соответствуют проектируемому наноспутнику ТНС-1. Спутник

14 предполагается снабдить следующими измерительными приборами: магнитометром, солнечным датчиком и тремя токовыми катушками. При использовании первого алгоритма, требующего измерения угловой скорости спутника, предложено вычислять угловую скорость путем дифференцирования матрицы перехода между инерциальной и связанной системами координат. Матрица перехода в этом случае вычисляется локальным методом по измерениям двух неколлинеарных векторов: вектора индукции геомагнитного поля и вектора направления на Солнце. Ориентация спутника описывается с помощью матрицы направляющих косинусов.

Второй рассматриваемой в работе задачей являлась задача определения параметров вращательного движения и анализа динамики первого российского наноспутника ТНС-0 по результатам летных испытаний. Наноспутник ТНС-0 был успешно запущен в марте 2005 года с борта Международной космической станции. Решению этой задачи посвящена четвертая глава диссертации.

Спутник ТНС-0 был оснащен пассивной магнитной системой ориентации, состоящей из сильного постоянного магнита и набора гистерезисных стержней. С помощью установки на спутнике постоянного магнита решается проблема обеспечения восстанавливающего момента. Для решения проблемы рассеяния энергии возмущенного движения спутника относительно его центра масс выбрано демпфирующее устройство, состоящее из гистерезисных стержней из магнитомягкого материала. Таким образом, предполагалось обеспечить отслеживание осью симметрии спутника вектора индукции магнитного поля. Однако, когда спутник выводили на орбиту, ему придали сильное вращение. Так, вопреки ожиданиям, спутник ТНС-0 также оказался быстро вращающимся телом, взаимодействующим с геомагнитным полем.

Для получения информации о вращательном движении на спутнике было установлено несколько простейших солнечных датчиков и датчик горизонта.

За время функционирования было произведено несколько сеансов обмена информацией со спутником, в течение которых получены измерения приборов

15 за определенные интервалы времени. Сеансы связи происходили тогда, когда спутник ТНС-0 находился в подходящей точке пространства и ориентировался нужным образом по отношению к спутникам системы GLOBALSTAR, через которую осуществлялась связь спутника с Землей.

Первоначально в каждый сеанс связи спутник передавал измерения солнечных датчиков за несколько минут. В настоящей работе описана обработка этих измерений. Анализ измерений показал, что скорость вращения спутника уменьшается согласно тому, как и должно затухать вращение спутника, оснащенного гистерезисными стержнями. После нескольких таких сеансов спутник был «усыплен» на длительное время, чтобы не тратить энергию батарей.

Когда спутник был «разбужен», то ему были переданы команды изменить режим проведения измерений. Это позволило получить измерения солнечных датчиков за один виток. Как показал анализ этих измерений, спутник возможно вышел на режим, когда при его достаточно быстром вращении спутника осредненное по периоду нутации направление магнита в среднем отслеживает вектор напряженности геомагнитного поля. При этом угол между вектором индукции магнитного поля и осью симметрии не мал.

Было проведено аналитическое исследование такого режима. Было получено, что рассматриваемый режим является устойчивым. Для исследования устойчивости применялся второй метод Ляпунова. Показано, что при совпадении направлений вектора магнитной индукции и вектора кинетического момента, как это имеет место в данном режиме, отсутствует уменьшение величины кинетического момента вследствие работы гистерезисных стержней. Это объясняет: почему вращение спутника не затухло за довольно долгий промежуток времени, в течение которого он был «усыплен».

Основные результаты и выводы диссертационной работы

1. Для стабилизации спутника собственным вращением с помощью трех токовых катушек приводится два алгоритма управления. Каждый из алгоритмов включает в себя алгоритм управления ориентацией, алгоритм управления скоростью вращения спутника и алгоритм гашения нутационного движения, реализации которых зависят от состава измерения.

2. Исследовано влияние гравитационного момента на быстро закрученный спутник. Аналитически оценивается величина минимального дипольного момента необходимого для компенсации возмущения, производимого гравитационным моментом. Проведено аналитическое исследование динамики спутника, стабилизируемого собственным вращением, для предложенных алгоритмов управления. Объяснен возникающий эффект перерегулирования. Предложены способы преодоления этого эффекта. Проведено численное моделирование вращательного движения на примере наноспутника ТНС-1 с магнитной системой ориентации для обоих алгоритмов управления.

3. Проведен анализ динамики быстро вращающегося спутника с постоянным магнитом. Доказана устойчивость движения вектора кинетического момента относительно вектора индукции магнитного поля. Для спутника с постоянным магнитом и гистерезисными стержнями в случае постоянного магнитного поля получена асимптотическая устойчивость ориентации вектора кинетического момента вдоль вектора индукции магнитного поля. На основе построенных моделей движения разработана методика и проведен анализ измерений, полученных с наноспутника ТНС-0.

1. Артюхин Ю.П., Каргу Л.И., Симаев В.Л., Системы управления космических аппаратов, стабилизированных вращением, М.: Наука, 1979, - 295 с.

2. Барабаш С.В., Кирюшкин И.Ю., Норберг У., Овчинников М.Ю., Пеньков В.И., Методы определения углового движения наноспутника Munin, М.: Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, 2003, № 24, 24 с.

3. Белецкий В.В., Движение искусственного спутника относительно центра масс, М.: Наука, 1965, 416 с.

4. Белецкий В.В., Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле, М.: Изд-во Моск. ун-та, 1975, 308 с.

5. Белецкий В.В., Новогребелъский А.Б., Существование устойчивых относительных равновесий искусственного спутника в модельном магнитном поле //Астрономический журнал, 1973, т. 50, с. 327-335.

6. Белецкий В.В., Хентов А.А., Вращательное движение намагниченного спутника, М.: Наука, 1985, 288 с.

7. Биркхольд Е., Лейб Ф., Стопфкюхен К, Магнитная система активной стабилизации ориентированных на Солнце вращающихся спутников, Управление в космосе, Труды ИФАК, вып.2, М.: Наука, 1972, с. 223-230.

8. Гехт Е., Мендлсер У.П., Магнитная система управления угловым положением спутников серии «Тайрос», В сб.: Проблемы ориентации искусственных спутников Земли, М.: Наука, 1966, с. 336-350.

9. Гончарский А.А., Хентов А.А., О некоторых режимах вращения намагниченного спутника гиростата в геомагнитном поле // Радиофизика, 1972. т. 15,№ 11, сЛ 631-1636.

10. Гребенников Е.А., Метод усреднения в прикладных задачах, М.: Наука, 1986,-256 с.

11. Ильин А.А., Куприянова Н.В., Овчинников М.Ю., Пеньков В.К, Селиванов А.С., Анализ вращательного движения первого российского наноспутника ТНС-0 по результатам летных испытаний, М.: Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, 2006, № 18, 28 с.

12. Ильин А.А., Овчинников М.Ю., Пеньков В.И., Обеспечение ориентации малого спутника, стабилизируемого собственным вращением, М.: Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, 2004, № 83, 28 с.

13. Ильин А.А., Овчинников М.Ю., Пеньков В.И., Алгоритмы магнитной системы ориентации малого спутника, стабилизируемого собственным вращением, М.: Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, 2005, № 19, -32 с.

14. Ковалик X., Система управления вращением и ориентацией спутников ISIS-I и ISIS-B, Управление в космосе, Труды ИФАК, вып.2, М.: Наука, 1972, с. 183-193.

15. Куприянова Н.В., Овчинников М.Ю., Пеньков В.И, Селиванов А.С., Пассивная магнитная система ориентации первого российского наноспутника ТНС-0, Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша, 2005, №46, -23 с.

16. Моисеев Н.Н., Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1971,-400 с.

17. Непобедимый С.П., Белов А.А., Ильин А.А., Калинин А.П., Овчинников М.Ю., Орлов А.Г., Родионов И.Д., Родионов А.И., Трехмерное техническое зрение на основе монофотонных технологий // Доклады Академии наук, 2006, т.406, № 3, с. 333-336.

18. Новожилов И.В., Фракционный анализ, М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 1995, 224 с.

19. Нохрина Е.Е., Исследование возможности демпфирования колебаний спутника, В сб.: Обработка информации и моделирование, М.: МФТИ, 2002, с. 119-122.

20. Овчинников М.Ю., Пеньков В.И., Ильин А.А., Селиванов А.С., Алгоритмы управления ориентацией российского наноспутника ТНС-1 // Актуальные проблемы авиационных и аэрокосмических систем: процессы, модели, эксперимент, 2005, т. 10, № 1(19), с. 78-101.

21. Пивоваров М.Л., Жидкостное демпфирование колебаний спутника с большим магнитным моментом // Космич. исслед. 1990, т 28, № 6, с. 865-873.

22. Плотников В. А., Зверкова Т.С., Метод усреднения для систем стандартного вида с разрывными правыми частями. // Диффиренц. уравнения, 1982, т. 18, № 6, с. 1091-1093.

23. Раушенбах Б.В., Овчинников М.Ю., Лекции по динамике космического полета: учебное пособие, М.: МФТИ, 1997, 188 с.

24. Сарычев В.А., Овчинников М.Ю., Магнитные системы ориентации искусственных спутников Земли // Итоги науки и техники, Сер.: Исследование космического пространства. М.: ВИНИТИ, т. 23, 1985, -104 с.

25. Сидоренко В.В., Разрушение адиабатических инвариантов на резонансах: пример из динамики твердого тела, М.: Препринт ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, 1995,№76,-24 с.

26. Сидоренко В.В., Об одном классе движений спутника, несущего сильный магнит // Космич. исслед. 2002, т 40, № 2, с. 147-155.

27. Тихонов А.А., Уточнение модели «наклонный диполь» в задаче об эволюции ротационного движения заряженного тела в геомагнитном поле // Космич. исслед. 2002, т 40, № 2, с. 171-177.

28. Фишелл Р.Э., Стабилизация вращения спутников, Автоматическое управления космическими летательными аппаратами, Труды I Международного симпозиума ИФАК по автоматическому управлению в мирном использовании космического пространства, М.: Наука, 1968.

29. Фрелих X, Ганзенхаузер Р., Калман X., Лейб Ф., Активная магнитная система управления для спутника «Аэрос», Управление в пространстве, Труды IV Международного симпозиума ИФАК по автоматическому управлению в пространстве, М.: Наука, 1973, с. 103-112.

30. Шегехара М, Выбор законов управления угловым положением вращающихся спутников, Управление в пространстве, Труды V Международного симпозиума ИФАК по автоматическому управлению впространстве, т.1, М.: Наука, 1975, с.238-249.144

31. Camillo P., MarkleyF., Orbit-Averaged Behavior of Magnetic Control Laws for Momentum Unloading // Journal of Guidance and Control, v.3, № 6, 1980, pp. 563-568.

32. Ergin E.I., Wheeler P.C., Magnetic Attitude Control of a Spinning Satellite // Journal of Spacecraft and Rockets, 1965, v.2, № 6, pp.846-850.

33. Ferreira D.D., Crus J.J., Attitude and Spin Rate Control of a Spinning Satellite Using Geomagnetic Field // Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1991, v. 14, № 1, pp.216-218.

34. Goel P.S., Rajaram S., Magnetic Attitude Control of a Momentum-Biased Satellite in Near-Equatorial Orbit // Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1979, v.2, № 4, pp.334-338.

35. Grassi M., Pastena M., Minimum Power Optimum Control of Microsatellite Attitude Dynamics // Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2000, v. 23, № s, pp.798-804.

36. Hughes P.C., Spacecraft Attitude Dynamics, New York, Dover Publications, 2004, 570 p.

37. Hur Ph., Melton R., Spencer D., Meeting Science Requirements For Attitude Determination and Control in a Low-Power, Spinning Nanosatellite, Paper IAC-04-IAF-A.4.05 at the 55th Congress IAF, Vancouver, Canada, 4-8 Oct., 2004, 9 p.

38. Lovera M., Astolfi A., Global Magnetic Attitude Control of Inertially Pointing Spacecraft // Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2005, v.28, № 5, pp. 1065-1072.

39. Psiaki M.L., Magnetic Torquer Attitude Control via Asymptotic Periodic Linear Quadratic Regulation // Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2001, v. 24, №2, pp.3 86-3 94.

40. Renard M.L., Command Laws for Magnetic Attitude Control of Spin-Stabilized Earth Satellites I I Journal of Spacecraft and Rockets, 1967, v.4, №2, pp. 156-163.

41. Shigehara M., Geomagnetic Attitude Control of an Axisymmetric Spinning Satellite, Journal of Spacecraft and Rocket, 1972, v.9, № 6, pp 391-398.

42. Shrivastava S.K.; Modi V.J., Satellite Attitude Dynamics and Control in the Presence of Environmental Torques-A Brief Survey // Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1983, v. 6, № 6, pp. 461-471.

43. Sidi M.J., Spacecraft Dynamics and Control. A practical Engineering Approach, UK, Cambridge University Press, 1997, 409 p.

44. Sorensen J.A., A Magnetic Three-Degree of Freedom Attitude Control System for an Axisymmetric Spinning Spacecraft // Journal of Spacecraft and Rockets, 1971, v. 8, №5, pp. 441-448.

45. Vallado D.A., McClain W.D., Fundamentals of Astrodynamics and Application., El Segundo California: Microcosm Press, 2001, 958 p.

46. Wheeler P.C., Spinning Spacecraft Attitude Control via the Environmental Magnetic Field // Journal of Spacecraft and Rockets, 1967, v. 4, № 12, pp 1631-1637.

47. Wisniewski R., Linear Time-Varying Approach to Satellite Attitude Control Using Only Electromagnetic Actuation // Journal of Guidance and Control, 2000, v. 23, № 4, pp. 640-647.

48. Wisniewski R., Stoustrup J., Periodic H2 Synthesis for Spacecraft Attitude Control with Magnetorquers // Journal of Guidance and Control, 2004, v. 27, №5, pp. 874-881.

49. Zajac E.E., Some simple solutions to magnetic attitude control of satellites. Proc. 4th U.S. Nat. Congr. Appl. Mech., Berkeley, Calif., 18-21 June, 1962,