Задачи пассивной ориентации искусственных спутников Земли тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ВВВДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОПТИМАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ СИСТЕМЫ

СПУТНИК-СТАБИЛИЗАТОР С МАХОВИКАМИ

1.1. Системы координат.

1.2. Уравнения движения.

1.3. Свойства уравнений движения.

1.4. Устойчивость положения равновесия системы на круговой орбите.

1.5. Оптимальные параметры системы спутник-стабилизатор с маховиками на обоих телах.

1.6. Влияние эллиптичности орбиты на динамику системы.

1.7. Оптимальные параметры системы спутник-стабилизатор с маховиком, закреплённым в корпусе спутника.

Выводы к главе 1.

ГЛАВА П. КОМПЕНСАЦИЯ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТНЫХ КОЛЕБАНИЙ ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ.

2.1. Периодические колебания спутника с компенсирующим маховиком на эллиптической орбите.

2.1.1. Уравнения движения.

2.1.2. Положения равновесия.

2.1.3. Устойчивость колебаний спутника около центра масс.

2.1.4. 2 -периодические колебания системы спутник-компенсирующий маховик в плоскости эллиптической орбиты.

2.2. Периодические колебания спутника с переменными моментами инерции на эллиптической орбите.

2.2.1. Уравнения движения.

2.2.2. Устойчивость собственных колебаний спутника.

2.2.3. 2$1п -периодические колебания спутника на эллиптической орбите.

Выводы к главе П.

ГЛАВА Ш. ПОЛОЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ СПУТНИКА НА КРУГОВОЙ ОРБИТЕ С УЧЁТОМ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ.

3.1. Уравнения движения.

3.2. Преобразования уравнений, определяющих положения равновесия спутника.

3.3. Свойства уравнений движения.

3.4. Зависимость числа положений равновесия от параметров системы.

3.5. Устойчивость положений равновесия.

3.6. Аналитическое определение положений равновесия в некоторых частных случаях.

Выводы к главе Ш.

При создании искусственных спутников Земли важное место занимает разработка методов ориентации. Использование активных методов требует значительных затрат энергии и рабочего тела, поэтому они применяются, как правило, в тех случаях, когда необходима высокая точность ориентации или предполагается сложная программа манёвров спутника. Для спутников с длительным периодом существования, к которым не предъявляются высокие требования по точности ориентации, может оказаться более эффективным применение пассивных методов. В пассивных системах не требуются датчики ориентации и исполнительные элементы, приводящие спутник в рабочее положение, эти системы имеют сравнительно небольшой вес, они могут функционировать практически неограниченное время.

В настоящее время накоплен достаточно большой опыт применения пассивных систем ориентации однако, изучение таких систем, разработка более эффективных конструкций остаётся актуальной задачей техники космических полётов.

Пассивные методы ориентации используют свойства гравитационного и магнитного полей, эффект сопротивления атмосферы и светового давления, гироскопические свойства вращающихся тел и др. Среди пассивных систем, основанных на использовании свойств внешней среды, наибольшее распространение получили гравитационные системы ориентации. В основе принципа работы таких систем лежит свойство центрального ньютоновского поля сил определённым образом ориентировать движущееся в нём тело. В общем случае на круговой орбите спутник имеет 24 положения равновесия, причём главные центральные оси инерции спутника в равновесном положении направлены по осям орбитальной системы координат. Если положение равновесия устойчиво, ось наименьшего момента инерции совпадает с радиусом-вектором, а ось наибольшего момента инерции - с нормалью к плоскости орбиты. При практической реализации гравитационных систем ориентации необходимо демпфировать собственные колебания спутника около устойчивого положения равновесия, возникающие под действием возмущающих моментов. В 1956 г. Д.Е.Охоцимским И 7] была предложена эффективная схема ориентации и демпфирования собственных колебаний. Эта схема представляет собой систему двух твёрдых тел (спутник и стабилизатор) , соединённых с помощью упруго-вязкого подвеса. За счёт относительного движения тел обеспечивается асимптотическая устойчивость системы. Наиболее сложным элементом конструкции такой системы является трёхстепенный подвес, при помощи которого соединяются спутник и стабилизатор.

В работах показана принципиальная возможность построения гравитационной системы ориентации с одностепенным шарнирным подвесом, практическая реализация которого значительно проще.

Для того, чтобы гравитационная система ориентации, выведенная из равновесного положения случайными возмущениями, максимально быстро вернулась в рабочее состояние, необходимо наискорейшее затухание собственных колебаний. В качестве меры длительности переходного процесса асимптотически устойчивой системы в го расстояния от мнимой оси до самого правого корня характери стического уравнения системы. Величина степени устойчивости является показателем быстродействия системы.

Наиболее полный анализ динамики гравитационной системы ориентации с одностепенным шарнирным подвесом дан в работах понятие степени устойчивости § - минимально

•18-21] . Получены необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости собственных колебаний линеаризованной в окрестности положения равновесия системы уравнений движения; с помощью численных методов, подробно изложенных в [36], определены оптимальные по быстродействию параметры системы. В [3?-39] те же методы использованы для получения оптимальных параметров гравитационной системы с одностепенным линейным упруго-вязким подвесом поступательного типа. Вопросы оптимизации различных схем гравитационных систем ориентации рассматриваются в работах [26,37-34,40,4 3,44,40,52].

Если на круговой орбите гравитационная система ориентации через некоторое время переходит в положение равновесия относительно орбитальной системы координат, то на эллиптической орбите из-за неравномерности вращения орбитальной системы координат равновесного положения не существует. В этом случае спутник будет совершать периодические колебания, называемые экецен-триситетными. Если в качестве номинального невозмущённого движения выбрать некоторое периодическое движение спутника относительно орбитальной системы координат, то можно ставить задачи исследования гравитационной системы ориентации, способной функционировать и на эллиптической орбите.

Уравнение, описывающее колебания спутника в плоскости эллиптической орбиты игcosV)-* +JMinotcosoc*2esfnv, аV (B.I) получено в 14] . Работа Г5 ] посвящена исследованию методом Крылова-Боголюбова вынужденных колебаний спутника на эллиптической орбите. Наиболее полное и подробное изучение всех 2Лпериодических решений уравнения (ВЛ) приведено в [б]. В результате численного решения однопараметрической краевой задачи были получены начальные значения угловой скорости, соответствующие

Ж -периодическим решениям этого уравнения, исследована устойчивость периодических решений. Работы [35,44,42]посвящены изучению всех -периодических решений уравнения

1+ ecosv)-71 + JU Jinor созос * о, (в.2) c/v которые при В «1 порождают 2я1ип-периодические решения уравнения (B.I). В Й8] исследуются свойства периодических решений уравнения (В.2) методом осреднения. В качестве малых параметров рассматриваются JUL и 6 При 6 «1 определены и исследованы 9Жт-периодические решения, рождающиеся из -периодических решений уравнения (В.2). Основные результаты работы [451 близки к результатам, полученным в [6] ; кроме того в этой работе строго показано, что при любых значениях JUL и 6, существует по крайней мере одно нечётное -периодическое решение уравнения (ВЛ) и исследованы свойства кривой разветвления при -в «• 1 . В работах [54,55] кроме Q.JC -периодических решений, полученных в [6] , определены А<Л -пери/О) .СО (3) одические решения оСя, шоС Ос,. оСх, уравнения (B.I).

На низких орбитах (~ до 700 км) при исследовании ориентации спутника необходимо учитывать сопротивление атмосферы. Если спутник аэродинамически устойчив, то при отклонении от заданной ориентации возникают восстанавливающие моменты по тангажу и рысканию, стремящиеся совместить продольную ось спутника с вектором скорости набегающего потока. Этот эффект можно использовать при создании пассивных систем ориентации, функционирующих на низких орбитах.

Динамика вращательного движения спутника сферической формы 5 учётом сопротивления атмосферы исследуется в работах [14,16] . 5 [45] рассматривается задача о вращательном движении осесимметрич-юго спутника при совместном действии гравитационного момента, аэро-данамического сопротивления и тормозящих моментов различной природе. В [53] проведено исследование влияния аэродинамического и 'равитационного моментов на положения относительного равновесия на фуговой орбите. Геометрическая форма спутника произвольна, плот-юсть атмосферы считается постоянной, увлечением атмосферы вращаю-;ейся Землёй пренебрегается. В работе получены достаточные условия остойчивости частных положений равновесия. В работах [12.,13] ис-ледуются колебания спутника в плоскости эллиптической орбиты при >азличных соотношениях между гравитационными и аэродинамическими [араметрами, при помощи методов, описанных в [35] » определяются :орождающие решения для -периодических решений при фиксироанном значении аэродинамического параметра, определены области уществования и устойчивости /¿Ж-периодических движений спут-ика.

В настоящей диссертационной работе рассматриваются некоторые адачи динамики гравитационных систем ориентации искусственных спут-иков Земли. По постановке задач и кругу рассматриваемых вопросов абота близка к [18,20, Щ35]. Работа состоит из трёх глав. Перейдём более детальному изложению содержания диссертации.

В I главе предлагается улучшить быстродействие гравитацион-ой системы ориентации с одностепенным подвесом с помощью вращаю-ихся с постоянной угловой скоростью маховиков, предполагается, го центр масс системы движется по круговой орбите, ориентация соб-гвенных осей маховиков неизменна относительно своих носителей.

В п.1.1 описаны системы координат, необходимые для вывода уравнений движения системы спутник-стабилизатор с маховиками на обоих телах, вводятся матрицы перехода между системами отсчёта, приведены выражения для направляющих косинусов.

В п.1.2 представлены выражения для кинетической и потенциальной энергии системы, получены линеаризованные около положения равновесия уравнения движения, выписаны соотношения, определяющие условия существования положений равновесия. В п.1.3 отмечены некоторые свойства уравнений движения, позволяющие изменять отдельные параметры системы, не изменяя её динамических свойств. Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости положения относительного равновесия получены в п.1.4. Раздел 1.5 посвящён определению оптимальных по быстродействию параметров системы. Показано, что в оптимальной конфигурации спутник динамически эквивалентен стержню, а стабилизатор - пластине, максимальное значение степени устойчивости = 1 220

В.З) что в несколько раз превышает значение оптимальной степени устойчивости системы спутник-стабилизатор без маховиков, полученное в И81 (^ = 0,344 ,Ц2=0,47д ). ,В п.1.6 рассматриваются колебания системы спутник-стабилизатор с маховиками на слабоэллиптической орбите. Решена задача оптимизации по быстродействию параметров системы в классе систем, нечувствительных к эллиптичности орбиты.

В п.1.7 ставится задача определения оптимального быстродействия в предположении, что маховик расположен только на спутнике. При этом оказалось, что достигаемое значение степени устойчивости незначительно отличается от приведенного выше (В.З):

- Л •

Таким образом, показано, что усложнение конструкции системы за счёт установки маховика дополнительно и на стабилизаторе не приводит к существенному улучшению быстродействия системы.

Для того, чтобы на эллиптической орбите спутник сохранял неизменную ориентацию относительно орбитальной системы координат, необходимы некоторые дополнительные устройства, которые позволяли бы компенсировать эксцентриситетные колебания. Такие устройства будем называть компенсирующими. В главе П настоящей работы исследуются колебания спутника с компенсирующими устройствами на эллиптической орбите. В первой части раздела эксцентриситетные колебания спутника предлагается компенсировать с помощью активного маховика, во второй части - с помощью двух симметричных выдвигающихся штанг, установленных на спутнике. В п.2.1.1 получены уравнения колебаний спутника с компенсирующим маховиком относительно центра масс. В п.2.1.2 выбирается закон вращения маховика относительно собственной оси таким образом, чтобы обеспечить существование положения равновесия спутника. В п.2.1.3 аналитически при малых в и численно при произвольных значениях эксцентриситета определяется область устойчивости этого положения равновесия. При помощи численных методов, идеи которых изложены в [36 ] , исследуются -периодические движения спутника и их устойчивость в п.2.1.4.

В п.2.2.1 приводятся уравнения движения спутника с выдвигающимися штангами. Закон движения штанг выбирается так, чтобы компенсировать эксцентриситетные колебания. В п.2.2.2 исследуется устойчивость собственных колебаний спутника около положения равновесия. В п.2.2.3 получены начальные условия, определяющие 2<&С-, 4 &С- и -периодические колебания спутника .

В главе Ш решается задача определения всех положений равновесия спутника на круговой орбите с учётом сопротивления атмосферы. При решении задачи учёт действия атмосферы на спутник сводится к силе сопротивления, приложенной в центре давления и направленной против скорости центра масс спутника относительно воздуха, предполагается, что влиянием атмосферы на поступательное движение спутника и влиянием увлечения атмосферы вращающейся Землёй на колебания спутника можно пренебречь. В п.3.1 выводятся уравнения, определяющие положения равновесия спутника на круговой орбите с учётом сопротивления атмосферы. В п.3.2 показано, что если положить сс = сЬдЦ , у = сЬд-&/з1п(р, то система трёх уравнений, определяющих положения равновесия, разделяется на две. Первая система состоит из двух уравнений относительно ОС и У , левые части которых представляют собой полиномы, вторая система состоит из одного уравнения, позволяющего зная углы Ц> и , определить угол ^. В п.3.3 рассматриваются свойства полученных уравнений. Доказа- -но, что число решений не зависит от знаков аэродинамических параметров . При Л2 = Ь3 количество решений не зависит и от знака величины () , где 9-(В'/У(В-ф - инерционный параметр спутника. Раздел 3.4 посвящён численному исследованию зависимости числа корней системы уравнений относительно ЗС, у от параметров системы. При этом показано, что возможно не более 24 положений равновесия. В плоскости параметров Ь.1Г д построены границы областей существования положений равновесия при следующих значениях аэродинамических параметров 9 Н.3

Ышо>< 3 К-а* ' ' о}1 .

4=0,5 '

Из рисунков видно, что кривые симметричны относительно прямой А, = О , а при и относительно прямой В'^-О, что в предыдущем разделе показано аналитически.

В п.3.5 получены условия устойчивости произвольного положения равновесия ~у/09 Ср0 . Построены кривые зависимости \ ^о(^) ^ значениях параметров в-о,б , /ь-4-42 ; И'^, а также кривые зависимости ^ при

И,* 0,1 , = 7 г, =2,0,

На рисунках отмечены устойчивые и неустойчивые положения равновесия.

В последнем пункте главы рассматриваются некоторые частные значения параметров в , Л^ • При этом уравнения существенно упрощаются, и оказывается возможным определить все равновесные положения спутника аналитически.

Таким образом, в диссертации исследованы некоторые системы пассивной ориентации искусственных спутников Земли. На основе этих исследований делаются выводы о конструктивных параметрах системы, так и для улучшения характеристик уже существующих систем пассивной ориентации.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в [22-£5] •

Диссертация содержит 89 страниц основного текста, список цитированной литературы из 58 наименований и 38 рисунков.

Автор выражает глубокую признательность руководителю дис<-сертации д.ф.-м.н., профессору В.А.Сарычеву за постоянное внимание и помощь при выполнении настоящей работы.

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. В задаче о движении гравитационной системы ориентации на круговой орбите предложено увеличить быстродействие системы за счёт маховиков, вращающихся с постоянной скоростью. Показано, что использование маховика, закреплённого в корпусе спутника, позволяет в несколько раз увеличить быстродействие гравитационной системы ориентации; в то же время использование дополнительно маховика, установленного на стабилизаторе, не приводит к значительному улучшению параметров переходного процесса системы. Определены оптимальные по быстродействию параметры гравитационной системы ориентации с маховиками в классе систем, нечувствительных к эллиптичности орбиты.

2. Предложена схема компенсации экецентриситетных колебаний спутника, использующая активный маховик, закон вращения которого выбирается определённым образом; исследована устойчивость полученного положения равновесия на эллиптической орбите. Показана возможность компенсации эксцентриситет ных колебаний спутника за счёт переменности моментов инерции, изучены А Ж- и (~>Ж -периодические решения уравнений движения спутника с ввдвигающимися штангами и их устойчивость.

3. В задаче о движении спутника на круговой орбите с учётом влияния сопротивления атмосферы получена зависимость числа положений равновесия от параметров системы и проведен анализ их устойчивости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.

2. Барбашин Е.А. О гомоморфизмах динамических систем, Мат. сб., т. ХХУП, в. 3, 1950, т. XXIX, в. 2, 1951.

3. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1965.

4. Белецкий В.В. О либрации спутника. Сб. "Искусственные спутники Земли", 1959, вып.З, 13-31.

5. Белецкий В.В. Либрация спутника на эллиптической орбите. Сб. "Искусственные спутники Земли", 1963, вып. 16, 46-56.

6. Златоустов В.А., Охоцимский Д.Е., Сарычев В.А., Торжев-ский А.П. Исследование колебаний спутника в плоскости эллиптической орбиты. "Космические исследования", 1964, 2, №5, 657-666.

7. Кац A.M. Вынужденные колебания нелинейных систем с одной степенью свободы, близких к консервативным. ПММ, 1955, т.19, № I.

8. Красовский Н.Н. Об обращении теорем Ляпунова. ПММ, т. 18, в. 5, 1954.

9. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Физматгиз, 1968.

10. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961.

11. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1956.

12. Мельник Н.В. Периодические колебания спутника на круговой орбите с учётом влиянии, сопротивления атмосферы. "Препринты Ин-та прикл. матем. АН СССР", 1976, № 97.

13. Мельник Н.В. 2JC -периодические колебания спутника в плоскости эллиптической орбиты при наличии сопротивления атмосферы. "Препринты Ин-та прикл. матем. АН СССР", 1976, № 119.

14. Нам Тум По 0 вращательном движении шарового спутника при действии тормозящих аэродинамических моментов. "Вестник Ленингр. ун-та. Сер. мат., мех. и астрон.", 1964, №4, 129-134.

15. Нам Тум По.Влияние тормозящих сил на движение спутника относительно центра масс. "Бюл. Ин-та теор. астрон. АН СССР", 1965, 10, *б, 77-83.

16. Нам Тум По Влияние аэродинамического торможения на движение сферического спутника относительно центра масс. "Бюл. Ин-та теор. астрон. АН СССР", 1965, 10, №5, 84-91.

17. Охоцимский Д.Е., Сарычев В.А. Система гравитационной стабилизации искусственных спутников. Сб. "Искусственные спутники Земли", М., 1963, №16, 5-9.

18. Пеньков В.И., Сарычев В.А. Оптимизация параметров гравитационной системы стабилизации спутников с одностепенным шарнирным подвесом. "Препринты Ин-та прикл. матем. АН СССР", 1974,68.

19. Пеньков В.И., Сарычев В.А. Оптимизация параметров гравитационной системы стабилизации спутников с одностепенным подвесом на слабоэллиптической орбите. "Препринты Ин-та прикл. матем. АН СССР", 1974, № 90.

20. Пеньков В.И., Сарычев В.А. Гравитационная система стабилизации спутников с одностепенным шарнирным подвесом. "Космические исследования", 1977, 15, № 4, 499-510.

21. Пеньков В.И. Компенсация эксцентриситетных колебаний спутника с гравитационной системой стабилизации. "Космические исследования", 1977, 15, № 3 , 376-383.

22. Полянская И.П., Яковлев Н.И. Оптимальные параметры гравитационной системы ориентации спутника с маховиками. "Препринты Ин-та прикл. матем. АН СССР", 1976, № 138.

23. Полянская И.П. О динамике системы спутник-стабилизатор с маховиками на обоих телах. "Препринты Ин-та прикл. матем. АН СССР", 1977, № 38.

24. Полянская И.П. Колебания спутника с компенсирующими устройствами на эллиптической орбите. "Космические исследования", 1982, 20, № 5, 674-681.

25. Полянская И.П. 0 периодических решениях уравнений нелинейных колебаний с периодическими коэффициентами. "Препринты Ин-та радиотехники и электроники АН СССР" 1982, № 11(338).

26. Попп К. Исследование систем гравитационной стабилизации спутников с гиродемпфированием. Сб. "Управление в пространстве Т.1", М.: Наука, 1976.

27. Сарычев В.А. Исследование динамики системы гравитационной стабилизации. Сб. "Искусственные спутники Земли", Изд-во АН СССР, 1963, № 16.

28. Сарычев В.А. Вопросы ориентации искусственных спутников.-В кн.: Исследование космического пространства. Итоги науки и техники, т. И. М.: ВИНИТИ, 1978.

29. Сарычев В.А. Упрщение схемы системы гравитационной стабилизации спутника. "Космические исследования", 1964, 2, № I, 33-45.

30. Сарычев В.А., Гутник С.А, К вопросу о положениях относительного равновесия спутника-гиростата. "Космические исследования", 1984, 22, № 3, 323-326.

31. Сарычев В.А., Луканин К.В. Системы гравитационной стабилизации спутников с максимальным быстродействием. Сб. "Управление в прстранстве Т.1", М.: Наука, 1972, 205-216.

32. Сарычев В.А., Луканин К.В. Оптимальные параметры системы гравитационной стабилизации спутников с гиродемпфированием. "Препринты Ин-та прикл. матем. АН СССР", 1971, № 46.

33. Сарычев В.А., Луканин К.В., Мирер С.А., Оптимальные параметры гравитационно-гироскопических систем ориентации спутников. "Космические исследования", 1975, 13, № 3, 311-321.

34. Сарычев В.А., Мирер С.А. Гравитационно-гироскопические системы ориентации спутников. "Препринты Ин-та прикл. матем. АН СССР", 1975.

35. Сарычев В.А., Златоустов В.А. Периодические колебания спутника в плоскости эллиптической орбиты. "Препринты Ин-та прикл. матем. АН СССР", 1975, № 48.

36. Сарычев В.А., Пеньков В.И., Яковлев Н.И. Оптимизация параметров линейных систем. "Препринты Ин-та прикл. матем.1. АН СССР", 1975, № 124.

37. Сарычев В.А., Пеньков В.И. Исследование гравитационной системы стабилизации спутника с демпфирующей пружиной. "Препринты Ин-та прикл. матем. АН СССР", 1974, № 127.

38. Сарычев В.А., Пеньков В.И. Динамика гравитационной системы стабилизации спутника с демпфирующей пружиной. Сб. "Управление в пространстве ТЛ", М.: Наука, 1976 , 231-237.

39. Сарычев В.А., Пеньков В.И. О быстродействии гравитационной системы стабилизации спутников с демпфирующей пружиной. "Космические исследования", 1977, 15, №5, 683-689.

40. Сарычев В.А., Сазонов В.В. Оптимальные параметры пассивных систем ориентации спутников. "Космические исследования", 1976, 14, № 2 198-208.

41. Сарычев В.А.-,Сазонов В.В. Об одном методе исследования периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений.

42. Препринты Ин-та прикл. матем. АН ССР", 1976, № 105.

43. Сарычев В.А., Сазонов В.В., Златоустов В.А. Периодические колебания спутника в плоскости эллиптической орбиты. "Космические исследования", 1974, 15, № 6, 809-834.

44. Сарычев В.А., Яковлев Н.И. Оптимальные по быстродействию параметры спутника с двумя стабилизаторами. "Космические ис-ледования", 1977, 15, № 3.

45. Сарычев В.А., Яковлев Н.И. Исследование динамики гравитационно-ориентированного спутника с маховиками. "Препринты Ин-та прикл. матем. АН СССР",1973, № 32.

46. Торжевский А.П. Периодические решения уравнения плоских колебаний спутника на эллптической орбите. "Космические исследования", 1964, 2, № 5, 667-678.

47. Цыпкин Я.З., Бромберг П.В. О степени устойчивости линейных систем. "Изв АН СССР. Отд. техн. наук", 1945, № 12, 1163-1168.

48. Цыпкин Я.З., Бромберг П.В. Степень устойчивости линейных систем. "Труды НИСО", 1946, № 9.

49. Черноусько Ф.Л. Резонансные явления при движении спутника относительно центра масс. "Ж. вычисл. математики и матем. физики", 1963 , 3, № 3 , 528-538.

50. Garber T.B. A semi-passive, three-axis stabilisationtechnique for dumbell-type satellite. "Proc. of the Symposium on Gravity Gradient Attitude Ctabilisation, El Sequndo, Calif., 1968.

51. Frik M.A. Attitude stability of satellites subjected to gravity gradient and aerodynamic torques. "AIAA Journal",1970, 8, N 10, 1780-1785.

52. Modi V.J., Brereton R.C. Periodic solutions associated with the gravity-gradient-oriented system: Part I. Analytical and numerical determination. "AIAA Journal", 1969, 7, N 7, 12171225.

53. Modi V.J., Brereton R.C. Periodic solutions associated with the gravity-gradient-oriented system. Part II: Stability analysis. "AIAA Journal", 1969, 7, N 8, I465-I468.