Устойчивость и жесткость частных решений задачи о вращении гиростата вокруг неподвижной точки в консервативных силовых полях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

I. Введение.

Глава I. Устойчивость движения гиростатов постоянной массы.

§ I.I Уравнения движения гиростата постоянной массы вокруг закрепленной точки в консервативном поле сил

§1.2 Об устойчивости перманентных вращений гиростата постоянной массы вокруг закрепленной точки в консервативном поле сил.I®

§1.3 Об устойчивости перманентных: вращений гиростата постоянной массы вокруг закрепленной точки в ньютоновском поле сил.

Глава II. Устойчивость движения гиростатов переменной массы.

§ 2.1 Уравнения движения гиростата переменной массы вокруг закрепленной точки в консервативном поле сил

§2.2 Об устойчивости перманентных вращений симметричного гиростата переменной массы вокруг закрепленной точки в консервативном поле сил Д - в , U-U(£fjJj

§2.3 Об устойчивости перманентных вращений несимметричного гиростата переменной массы вокруг закрепленной точки в консервативном поле сил

Глава III. Жесткость движения гиростатов

§ 3.1. Необходимые сведения из теории жесткости движения

§ 3.2 Применения метода функции Ляпунова к задаче жесткости движения.

§ 3.3 Жесткость оси вертикально выпрямленного симметричного гиростата в консервативном поле сил.

§ 3.4. Жесткость оси вертикально выпрямленного несимметричного гиростата в ньютоновском поле сил.

§ 3.5. Жесткость оси вертикально выпрямленного тяжелого тела в случае сшлера-Пуансо

§ З.б. Жесткость стационарных движений в задаче Розе

Задача об устойчивости перманентных вращений твердого тела в консервативных силовых полях имеет непродолжительную историю. Ее появление связано с потребностями инженерной практики. Моменты гравитационных сил Земли, Луны и планет являются одним из важных факторов, влияющих на вращение искусственных и естественных небесных тел и других космических объектов. Анализ гравитационных полей Земли и Луны показывает, что они являются неоднородными с достаточно сложной нелинейной потенциальной функцией. Нецентральное ть гравитационного поля Земли, а также, и других планет обусловлена неоднородностью массы планеты, ее фигурой и т.п. Неоднородности силового поля создают также магнитные силы, как естественного происхождения, так и искусственно генерируемые.

Первым, кто начал изучать перманентные вращения твердого тела и прежде всего их устойчивость, был Н.Е.Жуковский /24/. В этой связи следует также упомянуть работы Р.Граммеля /20/, 0. Боттема /10/, Н.ГЛетаева /72/, В.В.Румянцева /55,56,58/, В.Г.Демина /23/, В.В.Крементуло /36/, В.Н.Скимеля /62/, В.Н.Рубановско-го /54/ и др. Работы названных авторов объединяет то, что в mix рассматривается движение твердого тела в однородном поле тяжести. Такая модель силового поля Земли, является приближенной и в некоторых задачах механики оказывается довольно- грубой. В таких случаях следует рассматривать более близкое к реальному неоднородное гравитационное поле, например, центральное.

Изучение перманентных вращений твердого тела, движущегося в неоднородном поле сил, связано с развитием космонавтики. За одну из основных моделей гравитационного поля Земли принималась модель, в которой силовое поле Земли трактовалось как центральное ньютоновское поле с силовой функцией, представляющей собой сумму линейной и квадратичной форм относительно направляющих косинусов вертикали с главными осями инерции твердого тела для закрепленной точки. К исследованию такого рода задач относятся работы В.В. Белецкого /9/, Г.К.Пожарицкого /51/, П.А.Кузьмина /37/, А.А.Ан-чева /4/ и др. Ряд практически важных задач устойчивости движения искусственных небесных тел решен Д.Е.Охоцимским и В.А.Сары-чевьзм /49/.

Нахождению всего множества перманентных осей вращения твердого тела и исследованию их устойчивости в произвольном консервативном поле сил с аналитической относительно трех направляющих косинусов, прямой в главных осях инерции силовой функцией посвящены работы Н.Г.Апыхтина /5-7/.

Бурное развитие ракетной техники и космических полетов сделало задачу о движении гиростата, т.е. твердого тела с роторами или с полостями, частично или полностью заполненными идеальной или вязкой жидкостью, одной из первоочередных задач механики.

Задачи динамики тел с полостями, содержащими жидкость, относятся к числу трудных классических задач механики. Их исследование было начато еще в прошлом веке Стокеом /69/ и продолжено затем в работах Гельмгольца, Неймана /46/ и Ламба /38, 39/ . В дальнейшем различные аспекты этой задачи рассматривались Кель-виным /28/, Гринхилмом /21-22/, Пуанкаре /52/ и др. В работах Н.Е.Жуковского /25/ и В.Вольтерра /13/ детально разработана теория движения твердого тела с полостью, полностью наполненной идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей потенциальное движение. Н.Е.Жуковский в работе /25/ показал, что потенциальное движение жидкости в полости определяется движением тела, само лее движение тела совершается так, как если бы жидкость была заменена эквивалентным твердым телом.

Для абсолютно твердого тела с полостями, содержащими жидкость, когда массы тела и жидкости неизменны, наиболее, общий характер имеют дифференциальные уравнения движения, выведенные В.В. Румянцевым /44/.

Задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки служит базой многих технических приложений, прикладной гироско-пии, теории инерциальной навигации и динамики вращательного движения космических аппаратов. Более сложной, по сравнению с классической, является задача о движении твердого тела с одной закрепленной точкой /гиростата/, имеющего роторы и полости с жидкостью, в исследовании которой важную роль сыграли труды Н.Е.Жуковского /25/, А.Ю.Ишлинского /26/, Ламба /39/, Н.Н.Моисеева /43, 44/, Г.С.Нариманова /45/, Д.Е.Охоцимского /50/, В.В.Румянцева /44,57,58/, С.Л.Соболева /68/, Стокса /69/, Н.Г.Четаева /72/.

С середины XIX века была поставлена задача о движении твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью. Как показал В.В.Румянцев /44/, движение такого тела может быть описано конечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.

Одновременно с изучением задачи о движении твердых тел с полостями, заполненными жидкостью, возник вопрос об устойчивости частных движений таких тел. Еще в опытах Кельвина было обнаружено , что вращение волчка будет устойчиво, если полость сжата в направлении оси вращения, и неустойчиво в противном случае. В работах Гринхилла /22/, Хао;а /71/, Пуанкаре /52/ и др. проводилось теоретическое исследование этой задачи.

В работе С.Л.Соболева /68/ рассматривалось движение тяжелого симметричного волчка с полостью, заполненной идеальной жидкостью, им, в частности, указаны некоторые условия устойчивости. Стюартсон в работе /70/ исследовал устойчивость тяжелого волчка с цилиндрической полостью, частично заполненной жидкостью.

Более интересные результаты устойчивости перманентных вращений твердого тела с полостями заполненными жидкостью, принадлежат Н.Г.Четаеву /72/ и В.В.Румянцеву /44,57/. К исследованию такого рода задач относятся работы Н.Н.Колесникова /32-34/, В.Н. Скимеля /63,64/ и др. В названных работах движение твердого тела рассматривается в однородном ньютоновском поле сил.

Развитие современной техники и ее качественное изменение, вызванное широким применением реактивного движения, требует решения задач о движении тел переменной массы.

Механику тел переменной массы, основы которой были заложены в работах И.В.Мещерского /40-42/, можно разбить на два этапа. На первом этапе /до середины 50-х годов XX века/ исследуется, главным образом, движение тел с отбрасыванием частиц и проводится систематическое построение теории. Этому посвящены работы М.Ш. Аминова /2,3/, А.С.Галиуллина /14/, И.Ф.Верещагина /II/, Ф.Р. Гантмахера и Л.М.Левина /19/, Л.А.Космодемьянского /35/, B.C. Новоселова /47,48/ и др.

Второй этап /с середины 50-х годов XX века/ соответствует исследованию движения тел как с отбрасыванием, так и с присоединением частиц. Таковы, например, работы В.М.Карагодина /27/ и В.В.Сапа /61/.

При построении достаточных условий устойчивости движения тела переменной массы оказался плодотворным модифицированный метод Н.Г.Четаева, предложенный М.Ш.Аминовым /I/. М.Ш.Аминов в своей монографии /3/ дал вывод дифференциальных уравнений движения свободного и закрепленного в одной точке твердого тела, масса которого меняется за счет отделения частиц. В этой же работе 1/1.Ш.Аминов изучил устойчивость перманентных вращений тела переменной массы с одной неподвижной точкой в однородном поле сил. Изучению перманентных вращений твердого тела переменной массы в неоднородном поле сил посвящена также работа И.Й.Вовченко /12/.

В работах А.С.Галиуллина /15-18/ изучена устойчивость вращательного движения твердого тела переменной массы, центр тяжести которого совершает программное движение.

Изучению перманентных вращений гиростата переменной массы в ньютоновском поле сил с силовой функцией, представляющей собой сумму линейной и квадрапшчной форм относительно направляющих косинусов вертикали с главными осями инерции гиростата, посвящены работы Ж.Киргизбаева /29-31/.

В работах В.Н.Скимеля /65,67/ вводится определение жесткости движения механических систем. Свойство жесткости можно рассматривать как своего рода обощение и модификацию понятия устойчивости. Действительно, после Ляпунова изучались свойства движений, которые по-прежнему продолжали называть устойчивостью. Термин "устойчивость" приобрел более широкий смысл, нежели тот, который был заложен в определении Ляпунова. Так, например, понятие технической устойчивости /72/ уже не связано непосредственно с представлением об устойчивости /"сохранении"/ движения при малых начальных возмущениях. Также обстоит дело и с понятием жесткости, которое охарактеризуем ниже.

На практике часто встречаются случаи, когда невозмущенное /ведущее/ движение некоторой механической системы по определенной части переменных подвергается большим возмущениям. При этом требуется, чтобы отклонения возмущенного движения от невозмущенного в остальных переменных были бы малыми. Что касается поведения с течением времени первой части переменных в возмущенном движении, то обычно требуется лишь их ограниченность.

Перечисленным требованиям можно удовлетворить выбором величин определенных параметров, содержащихся в уравнениях возмущенного движения рассматриваемой системы. Такие параметры В.Н.Ски-мель называет существенными. Заметим, что за существенные параметры, наряду с некоторыми физическими параметрами системы, могут приниматься и начальные условия, определяющие семейство невозмущенных движений. В работах /65,67/ приводятся и обсуждаются соответствующе определения.

Дифференциальные уравнения возмущенного движения системы предполагаются зависящими от существенных параметров:

0.1) где ОС - /2 -мерный вектор, CL - постоянный векторный параметр, вектор-функция, удовлетворяющая условию

XHfOfOjsO при i У/ и условиям теоремы существования и единственности решения в соответствующей области пространства переменных Х^ • • •, Хп .Обозначим через хЦ-toj Щ решение системы (0.1).

Разделил переменные на части

Хы, Xjj, Ш) р - Wi, • • п) и введем области

П('/х: fx*/**,, Ixfl+bj,

- г П -)

Определение. Решение Х-О уравнения (0.1) обладает жесткостью по переменным , если для любых наперед заданных чисел £f 7 О , <Рл 7 О /первое может быть сколь-угодно мало, а второе - велико/ и момента io У/ "to можно указать зависящие от ншс параметр ft* и числа ^ у 0 , определяющие области

0,2) такие, что решение системы /0.1) ^ Я1* Ol*)^ fli , если только Х0 6 П$ .

Вводится и ряд других определений, представляющих собой модификации основного определения /сильная жесткость, практическая устойчивость и т.п./. Свойство жесткости не исключает возможности использования и других областей, отличных от (0.2). В частности, например, можно было воспользоваться областями вида которыми мы пользуемся в настоящей работе.

Обратим здесь внимание на то обстоятельство, что жесткость решения =г О и его устойчивость представляют собой, вообще говоря, независимые свойства /65/.

Признаки жесткости устанавливаются с помощью теорем, связывающих поведение решений уравнений возмущенного движения /как того требуют определения/ с существованием функции V • С этой целью в рассмотрение вводится функция VHjOCjCt) , зависящая определенным образом от параметров. Такие функции В.Н.Скимель называет обладающими свойствами /\ . Свойство /4 связано также и с принятым разделением переменных на части Хы , Xj} .

Что касается самих теорем жесткости, то как их формулировки, так и доказательства подобны теоремам прямого метода Ляпунова. Однако для этих случаев могут быть использованы функции, не зависящие от параметров. В частности, предлагается аналог известной теоремы Четаева о неустойчивости. Изложение теоремы сопровождается примерами преимущественно академического характера.

В частности, в работе /67/ как пример рассмотрена жесткость перманентных вращений тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой в случае Лагранжа. В работе /66/ изучены свойства жест -кости некоторых движений консервативных систем.

Настоящая работа посвящена исследованию устойчивости перманентных вращений гиростата постоянной и переменной массы с одной неподвижной точкой в произвольном консервативном силовом поле и жесткости перманентных вращений гиростата постоянной массы и стационарных движений в задаче Розе.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной и цитированной литературы.

Во введении дан краткий исторический обзор работ, связанных с рассматриваемыми здесь вопросами устойчивости и жесткости движения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследование условий устойчивости невозмущенного движения твердого тела вокруг неподвижной точки является одной из самых первоочередных проблем механики. Интерес к ней определяется ее практическим значением для прикладной теории гироскопов и динамики вращательного движения космических аппаратов. В нашей работе получены:

- необходимые, и- достаточные условия устойчивости, перманентных вращений гиростатов-постоянной массы в произвольном консервативно!,i поле сил. Практически важный случай ньютоновского поля сил рассмотрен как частный случай, где в разложении силовой функции сохранены три первых гармоники;

- применяя метод Четаева-Аминова для построения функции Ляпунова получены достаточные, условия устойчивости перманентного движения симметричного и несимметричного гиростата переменной массы в произвольном консервативном поле сил. Здесь также ньютоновское поле сил рассмотрено как частный случай консервативного поля сил;

- исследована жесткость оси- вертикально•выпрямленного симметричного и несимметричного гиростата соответственно в консервативном и ньютоновском полях сил ;

- отдельно рассмотрена жесткость оси вертикально выпрямленного гироскопа Зйлера-Пуансо.;

- исследована жесткость стационарных движений связки двух тел с цилиндрическим шарниром и. показано, что стационарное движение обладает жесткостью по углам нутации.

1. Аминов М.Ш. Об одном методе получения достаточных условий устойчивости неустановившегося движения. - ПММ, т.19, вып. 5, 1955, с.621-622.

2. Анчев А.А. О перманентных вращениях твердого тела с одной неподвижной точкой и их устойчивости.- ПММ, т.29, вып.2, 1955, с.380-386.

3. Апыхтин Н.Г. Об устойчивости некоторых перманентных вращений твердого тела.- ПШ, т.29, вып.2, 1965, с.375-379.

4. Апыхтин Н.Г. Об устойчивости перманентных вращений симметричного твердого тела.- ПММ, т.40, вып.1, 1976, с.171-173.

5. Апыхтин Н.Г. Об устойчивости перманентных вращений твердого тела в потенциальном поле сил. В кн.: Числен, мет. реш. задач матем. физики и теории систем. М.: 1978, с.88-96.

6. Архангельский Б.А. Аналитическая динамика твердого тела.-М.:Наука, 1977, 328 стр.

7. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс.- м.:Наука, 1965, 416 стр.10. bviiehvOL О. $2 зЖхЛМоШ. vanban fybaude.- Ekoc. Konimd* /IkcLexJ, Jjmd ♦

8. Верещагин К.©. Методы исследования режимов полета аппарата переменной массы.- Пермь:т. I, 1969, 217 стр., т.2, 1972, стр. 235.

9. Вовченко И.И. Об устойчивости некоторых случаев движения тел переменной массы с одной закрепленной точкой.- Тр. КАЙ, вып. 61, матем. и мех., I960, с.29-46.

10. XhltvvtOL V. Uuz ikzotiz, о/лб bwtLcdc.ofi6du luiUucJes Л da МиШяг,, 1&ЗЭ} i.22, Z0i~$56 (оипои.).

11. Галиуллин А.С. Об одной задаче устойчивости движения тяжелой точки переменной массы на конечном интервале времени.- Тр. КАИ, вып.28, 1953, с.

12. Галиуллин А.С. К устойчивости движения тяжелой точки переменной массы.- Тр. КАЙ, вып.37, 1957, с.

13. Галиуллин А.С. Об устойчивости программного движения тяжелой точки переменной массы.- Тр. КАЙ, вып.37, 1957, с.

14. Галиуллин А.С. 0.6 устойчивости движения тяжелой точки переменной массы.- Тр. КАИ, вып.45, 1959, с.

15. Галиуллин А.С., Мухалетзянов И.А., Мухарлямов Р.Г., Фурасов

16. В.Д. Построение систем программного движения. -Ы.:Наука, 1971, 352 стр.

17. Гантмахер Ф.Р., Левин Л.М. Теория полета неуправляемых ракет.-М. :<3изматгиз, 1959, 239 стр.

18. Ozwm*ite£ R. Die 5>ia$<ilce4 Ыеъ SioutcfescA&z Ж&щ/ ~ кло^ил^ек.--Mai/i> Ь., 1920,Ло/. б, 5.

19. Д. £fyfzu#tics oj a iqp.- Pzoc. la/гс/, Mot6i>

20. Sec., JS9S, 26, 2JS-2S6{CM?U.) .22. (rzeenhtfl J}.&. ffihe. pf £Аг- Science, /90S, JTS, 973-97J*fa/teu.J.

21. Демин В.Г. Об устойчивости перманентного вращения тяжелого твердого тела, мало отличающегося от гироскопа С.В.Ковалевской.- Тр. УДН т.5, вып.2, 1964, с.136-140.

22. Жуковский Н.Е. 0 прочности движения.- Ученые зап. МГУ, вып. 4, 1882, с.1-104.

23. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородною капельною жидкостью.- Избранные соч., т.I, М.-Л.:Гостехиздат, 1948, с.31-152.

24. Ишлинский АЛО., Темченко М.Е. О малых колебаниях вертикальной оси волчка, тлеющего полость, целиком заполненную несжимаемой жидкостью.- ПМТВ, № 3, I960, с.415-421.

25. Карагодин В.М. Теоретические основы механики тела переменного состава.- М.:0боронгиз, 1963, 252 стр.

26. MeJfo-tfi) L<yiol> Ma£h&riaJ:iu>t£ алс/ Physical 3

27. Киргизбаев Ж. Об устойчивости перманентного движения тяжелого тела переменной массы с гироскопом. -Тр. УДН, математика, вып.2, с.215-217.

28. Киргизбаев Ж. Об устойчивости в некоторых случаях движения тяжелого тела переменной массы с одной неподвижной точкой.-Тр. УДН, математика, вып.2, с.218-223.

29. Киргизбаев Ж. К устойчивости перманентных вращений тела переменной массы с гироскопом в ньютоновском поле сил.- Тр. УДН, серия механики, вып.5, 1968, с.13-23.

30. Колесников Н.Н. Об устойчивости свободного твердого тела с полостью, заполненной несжимаемой вязкой жидкостью,- ПММ, т.24, вып.4, 1962, с.606-612.

31. Колесников Н.Н. К устойчивости свободного гиростата. ПММ,т.27, вып.4, 1963. с.699-702.

32. Колесников Н.Н. Об устойчивости свободного гиростата.- Вестник МГУ, В 3, 1966, с.125-128.

33. Космодемьянский А.А. Механика тел переменной массы. М.:Изд. ВВИА им.Н.Е.Жуковского, 1947, стр.235.

34. Крементуло В.В. Стабилизация стационарных движений твердого тела.- М.:Наука, 1977, стр.264.

35. Кузьмин П.А. Стационарные движения и их устойчивость в центральном поле тяготения. -В кн.:Труды межвуз.конфер.по теории устойчивости и аналитич.механ. Казань,1964,стр.93-98.

36. Lcmcl. On- Же ftee motion cc so&o/ МъоадЛ алinJihiU mus«s of ^ulo/,- Рь&с* о/ tAz Ufto/ж . Soc,, J'£S (cweu.).

37. Ламб.Г. Гидродинамика. Перев. с англ.М.:Гостехиздат, 1947, стр.928.

38. Мещерский И.В. Динамика точки переменной массы. Сб.И.В.Мещерский. Работы по механике тел переменной массы.- М.Л.:Гостех-,издат, 1949.

39. Мещерский И.В. Интегрирование уравнений движения в задаче двух тел переменной массы. -Сб. И.В.Мещерский. Работы по механике тел переменной массы. M.-JI. :Гостехиздат, 1949.

40. Мещерский И.В- Уравнения движения точки переменной массы в общем случае.- Сб. И.В.Мещерский, заботы по механике тел переменной массы.- М.-Л.:Гостехиздат,1949.

41. Моисеев Н.Н. Задача о движении твердого тела, содержащего жидкие массы, тлеющего свободную поверхность.- Мат.сб.1953, с.215-219.

42. Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тел с полостями, содержащими жидкость.- М.':Наука, 1965,стр.439.

43. Нариманов Г.С. О движении твердого тела, полость которого частично заполнена жидкостью,- ПШ, т.20, вш.1, 1956,с.65-68.

44. МЫпгапп С. tfydncxtfymwccte ^с/е^исЛсо^^е/г. -Lelfbijf, 1865 (мае J,

45. Новоселов B.C. Некоторые вопросы механики переменных масс с учетом внутреннего движения частиц.-I.Вестник.ЛГУ, № 19, 1956, с.814-817.

46. Новоселов B.C. Некоторые вопросы механики переменных масс с учетом внутреннего движения частиц.-II.Вестник ЛГУ, ii= 1, 1957, с.55-59.

47. Охоцимский Д.Е., Сахычев В.А. Система гравитационной стабилизации искусственных спутников.- Искусст.спутн.Земли, 1963, вып.116, с.5-9.

48. Охоцимский Д.Е. К теории движения тела с полостями частично заполненными жидкостью.- 1ШМ,вып.1, 1956, с.55-59.

49. Пожарицкий Г.К. Об устойчивости перманентных вращений твердого тела с закрепленной точкой, находящегося в центральном ньютоновском поле сил. -ГОН, т.23, выл.4,1959, с.732-793.

50. Рао^салг Н- /к^слш&г c/ej сгукtes. Лсс&е&г. asZvemtntyue, /9/0, t. 3&--3S6,

51. Розе Н.В. Проблема гироскопической стабилизации.- Труды Ленинград. инст. точной механики и оптики, вып.6, 1941, с.57-64.

52. Рубановский В.Н. 0 бифуркации и устойчивости перманентных вращений тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой.-Те ор. и прикл. мех., т. 5, II- 2, 1974, с. 55-70.

53. Румянцев В.В. К задаче о движении твердого тяжелого тела с одной неподвижной точкой.- Докл.АН СССР, т.116, Р 2, 1957, с.185-188.

54. Румянцев В.В. К устойчивости перманентных вращений твердого тела около неподвижной точки.- ПШ, т.21, 3, 1957, с.339-346.

55. Румянцев В.В. Об устойчивости вращательных движений твердых тел с жидким наполнением.- ПШ, т.23,вып.6,1960,с.1057-1065.

56. Румянцев В.В. Об устойчивости вращения твердого тела с одной неподвижной точкой в случае. С.В.Ковалевский.-ПШ, т. 18, К- 4, 1954, с.457-458.

57. Румянцев В.В. Об устойчивости движения гиростатов.- 11ММ, т.25, выпЛ.,1961, с.778-784.

58. Румянцев В.В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных.-Вес тник Моек. ун-та,сер.мат.,мех.,ас троном.,шиз., хим., Р 4, 1957, с.9-16.

59. Сапа В.А. Движение материальной точки переменной массы в случае одновременного отделения и присоединения частиц.-Уч.зап. КГУ, т.30, вып.5,1957,с.573-578.

60. Скимель В.Н. К задачам устойчивости движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки.- ГШ,т.20, И°- I, 1956,с.130-132.

61. Скимель В.Н. Об устойчивости некоторых типов гиростатов.-Тр. КАИ, т.71, 1962, с.33-40.

62. Скимель В.Н. Об устойчивости некоторых движений гиростатов.-Тр. КАИ, т.71,1962, с.36-41.

63. Скимель В.Н. Об одном свойстве движения.- Тр. КАЙ, 1969, вып. 109, с.52-58.

64. Скимель В.Н. 0 свойстве жесткости некоторых гироскопических систем.- Тр. КАИ, вып.119, 1970, с.70-81.

65. Скимель В.Н. О свойстве жесткости движения.- ПШ, т.42, № 3, 1978, с.407-414.

66. Соболев СЛ. О движении симметричного волчка с полостью наполненной жидкостью.- Журнал прикладной механики и технической физики, № 3, I960, с.20-25.

67. Четаев Н.Г. Устойчивость движения.- Работа по аналитической механике. М.:АН СССР, 1962, стр.535.