Некоторые классы асимптотических движений твердого тела, имеющего неподвижную точку тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

t АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНУ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ' МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

НОСЫРЕВА Елена' Павловна

НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ДШЙЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА, ИШЩЕГО НЕПОДВИЖНУЮ ТОЧКУ

0r.02.01 - теоретическая ыеханика

АВТОР ЕОЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата' фйзико - м&тематичвсккх наук

Донецк - Г992

Работа выполнена в Институте прикладной математики и механики АН Украины

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Г.В.Горр

Официальные оппоненты: •

доктор физико-математических наук,

профессор А.П.Маркеев

кандидат физико-математических наук А.Н.^дненко

Ведущая организация: Российский университет дружбы народов.

Зашита состоится "1г иЛок^ 1992 г. в /Г час. на заседании специализированного совета К 016.46.01 по грисужде-нию ученой степени кандидата физико-математических наук при Институте прикладной математики1 и механики АН Украины по адресу : 340114, г.Донецк-114, ул.Розы Люксембург, 74.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института прикладной математики и механики АН Украины.

Автореферат разослан " № " Мл^_ 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук

А.И.Марковский

.„. Ч ОВЦАЯ ХАРШЕРИСШКА РАБОТЫ

ьации I

' Диссертационная работа посвящена изучению некоторых класса асимптотических движений гиростата и свойств неподвижного годо -графа в обобщенной задаче динамики твердого тела с неподвижной точкой .

Актуальность темы. Система связанных твердых тел, часто моделируемая з теоретической механике гиростатом, является одним из интенсивно изучаемых объектов в аналитической механике. Практическая важность разработок в этой области и теоретическая сложность определяют ряд актуальных научных направлений. Среди них видное место занимает не только задача о движении тяжелого Твердого тела, имеющего негодвикцую точку, но и различные ее обобщения. В качестве таких обобщений прежде всего рассматрива-пт задачу о движении твердого тела в специальном поле потенциальных и гироскопических сил и задачу о движении тела в идеаль -ной несжимаемой жидкости .

Общую постанову задачи о движении тяжелого твердого тела дал Л.Эйлер, им введены все основные динамические и кинематические характеристики, созданы как динамические, так и обе формы кинематических уравнений. Этой задачей и ее обобщениями занимались К.Л.Лагранж, С.Цуассон, Л.Г^ансо, К.Якоби , А.Пуанкаре , Ж.Лиувилль, Г.Кирхгоф, А.Клебш, В.Гесс и многие другие ученые. Особенно существенный вклад внесли отечественные ученые - С.В.Ковалевская, Н.ЕДуковский, А.М.Лягунов, С.А.Чаплыгин, В.А.Стек -лов, Д.Н.Горячев, П.А.Некрасов, Г.Г.Аппельрот, Л.Н.Сретенский и другие .

В настоящее время сформировались различные школы по изучению задач теоретической механики и ее приложений (А.Ю.Ишлинско-го, В.В.Румянцева, Д.Е.Охоцимского, В.М.Матросова, П.А.Нузьми -на, И.А.Галиуялина, П.В.Харламова и других).

Один Из перспективных гутей изучения задач динамики твер -дого тела предложил П.В.Харламов. Его подход базируется на комплексной применении аналитических и геометрических методов й гриводит к построенио полного решения. 1Т.В.Харламов предложил новые формы уравнений движения гиростата с неподвижной точкой , а также системы гиростатов, развил метод инвариантных соотношений, метод годографов прямого кинематического истолкования . В

А

результате исследований, прсведендох Д, В.Харламовым и представителями его школы (Е.И.Харламовой, Г.В.Горром, А,М.Ковалевым , А.Я.Савченко, А.А.Илюхиным, Б.И.Коносев#чем, Г.Э.Ыозалевской « другими), к настоящему времени построено большое количество частник решений в динамике и получено явное геометрическое истолкование движения гиростата.

Сейчас актуальной становится проблема изучения движения тела в окрестности известных частных решений, поскольку ее решение позволит подучить информацию о движении гиростата в общем случае. Особый интерес представляет класс асимптотических движений .Асимптотические движения в механике рассматривали А.Цу ал каре, П.Боль, А.Кнезер, Н.Адамар, В.В.Козлов, В.П.Паламодов и другие. В дина -мике твердого тела асимптотические решетя изучались в работах А.П.Ыаркеева, Г.В.Горра и их учеников. Причем последние исследований проводились на основе лвррог.о метода Ляпунова.

Данная диссертация развивает ето направление. В ней изучены новые классы асимптотических движений гиростата и установлены новые свойства неподвижного годографа угловой скорости. При атом рассматривается обобщенная задача динамики твердого тела с неподвижной точкой .

Цель работы состоит в исследовании маятниковых и асимптотически маятниковых движений гиростата, в построении асимптотических к покою движений гиростата, в изучении свойств неподвижного годографа угловой скорости для класса асимптотически равномерных движений .

Методика исследования. Исследования, проводимые в диссертационной работе, основаны на первом методе А.М.Лягунова построения асимптотических решений обыкновенных дифференциальных уравнений, При изучении систем с периодическими коеффициентами ис -пользованы результаты А.Цуанкаре. Анализ свойств неподвижного годографа угловой скорости основан на предложенной П.В-Харлаыо-вш методе годографов грямого кинематического истолкования движения.

Научная новизна. В диссертационной I 1оте получены следующие новые результаты:

- огредедены условия существования маятниковых движений гироста-

та с чеподвижной точкой в обобщенной задаче динамики;

- исследованы условия существования асимтотически маятниковых движений гиростата. На основе первого метода Ляпунова установлены новые классы таких движений как в классической', так И в обобщенной задаче динамики;

- получены новые классы асимптотических к покоп движений гиростата в обобщенной задаче динамики;

- для класса асимптотически равномерных движений гиростата в' обобщенной задаче исследовано поведение полярного угла оС в уравнениях неподвижного годографа, указанных П.В.Харламовым.

Практическая ценность. Полученные в работе результаты имеют теоретическое значение, на практике они могут быть применены в геометрическом истолковании конкретных решений уравнений ди -намики и в изучении движений заряженного и- намагниченного тела в влектрическом и магнитном полях,, происходят их вокруг не под -вижной в пространстве оси ,

Апробация работы . Основные результаты диссертации были доложены на Ре с губли калекой конференции "Динамика твердого те -ла и устойчивость движения" (Донецк, 1990 г.), на П Всесоюзной кон|>еренции "Нелинейные колебания механических систем" (Горь -кий, 1990 г.), на семинарах отделов прикладной механики и технической механики Института прикладной математики и механики АН Украины.

Публикации. По теме диссертации огубликовано б работ, две из них в соавторстве с Г.В.Горром.

Структура диссертации . Работа состоит из пяти глав, за -ключения, списка литературы из 84 наименований и содержит 122 страницы машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой вводной главе рассмотрены актуальность тематики, история вопроса, предмет и метод исследования, дана краткая аннотация работы.

Вторая глава посвящена исследование условий существования маятниковых движений гиростата с неподвижней точкой в обобщенной задаче динамики. Маятниковыми движениями по традиции назва-

ш движения вокруг неподвижной в пространстве оси. Ранее такие движения для частных случаев рассматривали Г.Г.Аппельрот, Б.В. Белецкий, Х.М.Пхья, Н.Б.Курганский, Г.В.Мозалевская, Л.Н.Ореш-кина .

В гункте 2.1 дана постановка задачи. Движение гиростата , име"ощего неподвижно точ1у, под действием специального класса гироскопических и потенциальных сил описывается системой дифференциальных уравнений

Д СО = (Асо + Л)* ¡¿I + + Бх^ + (I)

V = V X СО, (2У

допускающей три первых интеграла

Данцупо задачу называют обобщенной задачей динамики. В Ш-(3)

00 - вектор угловой скорости гиростата, -О - единичный вектор вертикали, точка над переменными обозначает дифференцирование по времени.

Маятниковое движение определено как движение, удовлетворяющее условию

где Л - единичный вектор, неизменно связанный с телом. Из (2) и (4) следует

(5)

и задача определения условий существования маятниковых движе -ний сводится к исследовании условий существования у системы уравнений (I), (2) инвариантных соотношений {А), (5).

В гункте 2.2 на основе анализа указанных уравнений поручены условия существования маятниковых движений в виде системы 20 нелинейных алгебраических урарнений на параметры задачи. Указано, что р сб'лем случае доказать ее разрешимость представляется затруднительным, однако несколько изменяя подход, можно полно-

?

стью решить проблему исследования маятниковых движений. С етой цель» вначале изучены некоторые вариант,- когда можно указать явный вид условий на параметры .

В гункте 2.3 рассмотрен особый случай • \) ) = О I

где А - тензор инерции гиростата. При етом ось, содержащая вектор 0. , является главной осью в теле, и угол между векторами й и прямой. Такие условия характерны для движений типа физического маятника в классической задаче динамики и ее обобщении на гиростат, В обобщенной задаче динамики данный особый случай исследован в работе Н.В,Курганского и выписаны соответствующие условия на параметры .

В гункте 2.4 рассмотрен случай 0 , который

может иметь место только в обобщенной задаче динамики. Проанализированы вариант, когда гиростат движется только в ньютоновском поле сил ( 6 = 0 ) I либо только в поле сил Лоренца (С = О). На основе полученной в работе системы алгебраических уравнений записаны соответствующие условия на параметры. Показано, что при этих условиях Ф с » следовательно, при & = О

либо при С = 0 гиростат может совершать маятниковые движения только вокруг горизонтальной оси, являющейся главной осью в теле. Случаи, когда имеет место соотношение (Дц. ) ^ О и при етом 0 , 6^0, С 0 , были исследованы при частных предположениях в работах Н.В.Курганского и Г.В.Мозалевской , Л.Н.Орешкиной. В данной диссертационной работе на основе одного результата теории целых функций доказано, что втими случаями исчерпываются все тига маятниковых движений гиростата при предположении ( Д 0. • V ) 0 .

В пункте 2.5 последний результат распространен на полуре-гулярцую прецессию первого типа. Сфорцулировано утверждение : случаев подурегулярной трецессии первого типа в обобщенной задаче динамики, отличных от указании в работах Н.В.Курганского и Г.В.Мозалевской, Л.Н.Орешкиной, не сутаествует .

В третьей главе с помощью методов А.Ы.Лягунова и А.Пуанкаре изучены асимптотически маятниковые движения твердого тела с неподвижной точкой. Предполагается, что предельное движение является периодическим .

В гункте 3.1 фазовые векторы гредставлены в виде Ы =

. где (о*=ч>а , ^(а^г.кЦ'.с^сс^а,),

й, ^ - векторы возмущений. Система (1)-(3) записана в переменных й.} К" | получена система первого приближения с периодическими коэффициентами. Для существования у системы (I), (2) решений , асимптотических к маятниковому, необходимо, чтобы система первого приближения имела хотя бы одно положительное характеристическое число. Для определения ненулевых характеристичных чисел система первого приближения редуцирована к уравнению типа Хилла *

8(4)^=0, (6)

причем указанное уравнение получено без привлечения конкретного вида маятникового движения. К уравнению (6) применен достаточ -ный критерий Лягунова: если 6(4) ¿0 (и 6(4) ^ 0 ) для всех ^ , то уравнегае (6) имеет решение с положительным ха -ракте'ристичным числом. Тогда система (I), (2) догускает асимптотическое решение в виде рядов Лягунова

те»

где 5=.1,...,6 « й-я компонента вектора ^ = (2,,

й»)' ~ положительное характеристичное число системы первого приближения, 5 (."О - непрерывные функции , характеристичные числа которых не менее цуля. Ряды (7) абсолютно сходятся для малой [произвольной постоянной о£ , и

Порученное в гункте 3.1 уравнение Хилла было использовано в случаях маятниковых движений, указанных в главе 2. В пункте 3.2 рассмотрено уравнение Хилла в случае

(Ао.^)ЕО.

В гункте 3.3 изучен случай, когда ^(."Ь) из (4) является олементарноЯ функцией времени, а именно

Указаны условия на параметры, при выполнении которых система (I), (2) догу екает решения, асимптотические к маятниковш. При втом предельное движение по своецу характеру.отлично от маятни-

нового движения в классической задаче динамики, поскольку центр масс гиростата не принадлежит главной плоскости.

В гункте 3.4 рассмотрен «учай, когда есть еллипти-

ческая функция времени, то есть

" гГ^^-ССа- + А ^-

В этом случае система первого гриближения для уравнений (I), (2) распалась на две независимые подсистемы. Для гврвой в явном виде указана фундаментальная матрица решений, характеристичные числа которых равны цулю. Для второй подсистемы выполнена редукция к уравнению Хилла и указаны условия существования асимптотически маятниковых движений. Отдельно проанализирован случай гироскопа Гесса-Аппельрота. Доказано, что всегда можно найти такие начальные условия, что движение етого гироскопа при асимптотически стремится к маятниковому движению вокруг горизонтальной оси .

В цунктах 3.1 - 3.4 рассмотрена обобщенная задача динамики.

В гункте 3,5 изучены асимптотически маятниковые движения в классической задаче о движении тяжелого твердого тела с непод -вижной точкой. Это исследование дополняет результаты Г.В.Горра, Ю.П.Вархалева, А.З.Брша, в которых приведенная постоянная интеграла энергии на маятниковом движении принимала все значения из промежутка (1*>+ »о) . Коэффициент при И в уравнении (б) имеет вид

-с + -с« гТ + к * йкгч - [Ь^ + к I +1),

он рассматривается как полином по К , причем К. принадлежит определенным интервалам в промеиутке (1 На основе кри-

терия Лягуиова получены новые достаточные условия существования асимптотически маятниковых движений тяжелого твердого тела с неподвижной точкой.

1и

Четвертая глава посвящена исследованию асимптотических к покою движений гиростата в обобщенной задаче динамики. С помощью теоремы Г.В.Каменкова построены решения уравнений (I), (2) В виде рядов относительно вспомогательной переменной, которые описывают асимптотические к покою движения гиростата. Свойства данных движений' изучены по отношению к маятниковым движениям. &то исследование целесообразно было провести в силу того обстоятельства, что маятниковые движения могут также обладать свойством асимптотического к покою движения, В диссертации получены условия на параметры, при выполнении которых асимптотические к покою движения гиростата отличаются от тривиальных маятниковых движений. Результаты втой главы обобщают результаты, подученные Г.В.Горром и Ю.П.Бархалевым. __ В тункте 4,1 рассмотрены условия существования решения О)—0 системы уравнений (I), (2), характеризующего состояние покоя тела с неподгшжной точкой. Из уравнения (I) при СО — О подучено соотношение

р-до) - , -.Ю)

Ь^) - $ - , (8)

где ^ - некоторый ковффициент пропорциональности. Для существования у системы (I), (2) решения С*) = 0 необходимо, чтобы коеффициент И имел действительные значения. Из (2), (6) получено уравнение и.) — 0 , где и.) - полином шестой степени по переменной и . Доказано, что для достаточно больших (а в сдучае диагональной матрицы С - для любых ) уравнение

и) О имеет не менее друх действительных корней. ^ В цгнкте 4,2 изучен вопрос о существовании асимптотических к покою движений. Введены векторы 2., ^ » характеризующие возмущения, записана система уравнений в возвышениях. Векторы 5., ^ представлены в виде рядов го степеням Т

»»I

ет»> О '

Где Т = С 6 , С > 0 , < О - новая независимая переменная. Для нахождения ковффициентов рядов (9) получена система уравнений

к-1

= о8«)^ (Ю)

*С-1 _ _

Vе1

Указаны в обдам виде условия, при которых справедливо неравенство £ <; 0 • Коеффициенты рядов (9) зависят в обпем случае от одной произвольной постоянной. Сходимость данных рядов следует из теоремы Г.В.Каменкова .

Исследование свойств асимптотических к покою движений проведено при следующих предположениях: центр масс гиростата при -надлежит главной оси инерции и выполняется одно из следующих

условий: I) 1^0 • 6=0_ , С=0 ; 2>В#0 ,А=0 ,

С ~ 0 ; 3) С ^ 0, X = 0 , Ь= О . Как следует из результатов главы 2, при выполнении этих условий тело может совершать маятниковые движения вокруг горизонтальной оси, являющейся главной осью вллипсоида инерции, то есть выполняется условие

(Аа-Ч ) = 0 • - -

В'цункте 4.3 рассмотрен с^чай А г I) .На основе анализа системы уравнений (10) сформулировано утверждение: в случае движения гиростата под действием силы тяжести существует его асимптотическое движение к неустойчивому состоянии покоя и оно не совпадает с вращением вокруг горизонтальной оси.

Аналогичный результат получен в пункте 4.4 для случая движения тела в поле гироскопических сил .

В пункте 4.5 рассмотрено асимптотическое к покоя движение тела в ньютоновском поле сил .

Доказано, что если ни гри каких значениях ^ //

не выполняется условие

то тело асимптотически движется к неустойчивому состояние по -

хоя по эакоцу физического маятника. Ряды (9) в втом случае имеют вид

~ т.(2п-1)

гт, о . ^ г т.(2п-1)

Если же для некоторого к = И0, И0 Ф > имеет место

соотношение (II), то асимптотическое к покою движение не совпадает с движением типа физического маятника.

В пятой главе изучены свойства неподвижного годографа уг -ловой скорости гиростата для класса асимптотически равномерных движений в обобщенной задаче динамики. Указаны свойства непод -вижного годографа, не встречавшиеся ранее в классической задаче динамики .

В гункте 5.1 записаны уравнения неподвижного годографа угловой скорости, полученные П.В.Харламовым. Отмечено, что для поручения полного решения задачи динамики твердого тела необходимо исследовать подвижный и неподвижный годографы вектора угловой скорости и тогда для определения положения тела достаточно знать положение точки касания годографов в каждый момент времени .Уравнения неподвижного годографа представляют собой два конечных соотношения для СО^, и одно интегральное для полярного угла</

О* = й>). (12)

Кроме того, для асимптотически равномерных движений уравнение (12) имеет особенность, позтоку наибольсую трудность представляет исследование зависимости оС С"Ь ) •

Исследование свойств угла Л (+) проведено в достаточно общем случае - в предположении, что вектор-функции СО (б") , •\)(.ЕГ)- аналитические в окрестности спсих предельных значений функции параметра 6- . тс есть

~vle), с* T ^ « S> +D 6,

*=o У

al04ö, fVo, vo).

где t, in, И. принадлежат множеству натуральных чисел .

В гункте 5,2 записаны уравнения, полученные из (1)-(3) подстановкой в них соотношений (13). Доказано, что для обобщенной задачи динамики всегда выполняется условие 1 ^ R , причем возможны такие варианты :

1) m=L ( Ю0 = 0 либо Ц>ф 0 )(

2)na>Ltüo40,t'=Hi

3) m>i, ü), = 0, С= 0, t = п-

4) m>i, и). = о, о, 1'< П.

В гункте б.З рассмотрен случай . Vtt-i , Он является наиболее употребляемым в приложениях и используется , например, при построении асимптотических решений по пэрвсцу методу Ляпунова. Доказана следующая

Теорема 5.1. Если уравнения (I), (2) догускают решение в виде рядов (13), то при ГИ-i Для асимптотически равномерных движений гиростата при ^-»-в-о , если и С

(конечному значению), если Üo=0,

В гункте 5.4 рассмотрен сдучай Щ> 1 , tOo^ 0 . Доказано, что при \г «о о(-—о*, , Результаты imf 5.3, 6.4 являются обобщением случая движения тяжелого твердого тела, рассмотренного Г.В.Горрои .

В гунктах 5.5, 5.6 подучены свойства неподвижного годографа, не встречавшиеся при исследовании асимптотически равномер -них движений в классической задаче динамики, В гункте 5.5 рас -смотрен случай УГ\>1, (Д= О, « доказана

Теорема 5у£. Если уравнения (I), (2) допускают решение в виде рядов (13), то при ГН>1 , и), = 0 , С = 0 : I) угол«/(*) стремится к конечноцу значению при -Ь-» ео , если ГП< ;

2) ¿Ос)„рц ^ , если 1 и Ц<? ,

где Ц, 5 находим из соотношений

5=*1 - в л «у :

В гункте 5.6 рассмотрен вариант №1>1, иЗв= О, С О и доказана следующая

Теорема 5.3. Если параметр Ш> 1 и матрица С. -ненулевая, *о Л-£ А. и для асимптотических к покою движений: I)полярный угол Л стремится к некоторому конечному значению при

.если либо т= к , к < I ;

2) угол при 4: . если т. = Ц.+ 1.

Приведен кинематический пример, подтверждающий выводы те о -ремы 5.3,

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту :

1. Подучены условия существования маятниковых движений гиростата с неподвижной точкой в обобщенной задаче динамики. Доказано , что, кроме указанных ранее, других случаев маятниковых движений гиростата не существует. Этот результат распространен на сдучай полурегулярной прецессии первого типа ,

2. Исследованы условия существования асимггготически маятниковых движений гиростата, на основе первого метода Ляпунова уста -новлены новые классы таких движений как в классической задаче, так и в обобщенной задаче динамики .

3. Подучены новые классы асимптотических к покою движений гиростата в обобщенной задаче динамики, изучены их геометричес -кие свойства на основе сравнительного анализа с маятниковши движениями. Указаны условия на параметры, при выполнении которых асимптотические к покос движения гиростата отличаются от маятниковых движений .

4. Для класса асимптотически равномерных движений гиростата в обобщенной задаче исследовано поведение полярного угла вС. в уравнениях неподвижного годографа, указанных П. В .Харламовым. Подучены свойства неподвижного годографа, не встречавшиеся ранее для такого типа движений в классической задаче динамики.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

1. Носырева Е.П. Об асимптотически маятниковых движениях тела в обобщенной задаче динамики // Твз. докл. респ. кон$. "Динамика твердого тела и устойчивость движения" (Донецк, 4-6 сентября 1990 г.У. - Донецк, 1990. - C.I5.

2. Горр Г.В., Носырева Е.П.ОЗ асимптотически маятниковых движениях гиростата в поле потенциальных и гирослогических сил// Твз.докл. П Всесоюзной конф. "Нелинейные колебания механи -ческих систем* (Горький, IX—13" сентября 1990 г.). - Горький, 1990. - С. 170.

3. HbctipeBa Е.П. Об асимптотически маятниковых движениях гиро -стата в обобщенной задаче динамики // Механика твердого ie -ла. - 1991. - Вып. 23. - C.9-I6.

4. Но сыре в а Е.П. Асимптотические и покою движения гиростата, в обобщенной задаче, динамики // Применение первого метода Ля -гунова в исследовании асимптотических движений в динамике твердого тела. - Донецк, 1991. - С.43-60. - (Преп./ АН УССР. Ин-т прикл. математики и механики; W 91.07).

5. Горр Г.В., Носырева Е.П. Поведение неподвижного годографа для асимптотически равномерных, движений гиростата в обобщенной задаче динамики / Йнг-т прйкл. математики и механики АН Украины. - Донецк, 1992. - II с. - Бйблиогр. 5 назв. - Деп. в УкрНИИНТК 10.01.92 » 14 УК-92.

5. Носырева Е.П. О достаточных условиях существования асимптотически маятниковых движений тяжелого твердого тела с не -подвижной точкой // Механика твердого тела. - 1992. - Вып. 24. - С.42-44.

работах