Влияние эффекта Барнетта-Лондона на вращение тела в магнитном поле тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Московский ордена Ленина, Ордена Октябрьской революции и Ордена Трудового Красного Знамени Государственный Университет им. М.В.Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи

Маршева Наталия Михайловна

Влияние эффекта Барнетта-Лондона на вращение тела в магнитном поле.

01.02.01. - теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Напечатать 80 экз.

Декан . х-.^.Л-'-^ч.

ыеханико-магеыатического факультета МГУ . член-корреспондент АН СССР „ ,0^,\Дупанов

Москва - 1®",. ' /

--- \

Работа выполнена на кафедре теоретической механики механико-математического факультета Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук В.А.Самсонов Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор Г.В.Горр кандидат физико-математических наук А.А.Буров Ведущее предприятие - Московский энергетический

институт

Защита диссертации состоится £да

заседании специализированного Совета Д.053.05.01/N1 по механике при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-10.

Автореферат разослан пи 1990 г.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 етаж).

Ученый секретарь специализированного совета Д.053.05.01 при МГУ,

(р.-Мг. н.

Д.В.Трещев

V-

Общая характеристика работы. Актуальность теш. Интерес к задаче о вращении твердого тела с неподвижной точкой в магнитном поле обусловлен необходимостью изучения влияния гиромагнитного эффекта Баркетта-Лондона на движение тела. Прикладной аспект этой задачи связан с модернизацией широко используемых в современной технике бесконтактных подвесов быстровращаицихся гироскопов, а также с созданием приборов, работающих в сильных электромагнитных полях. Цель работы. Основной целью работы является изучение качественно нового класса движений, возникающего при вращении намагничивающегося твердого тела с неподвижной точкой в однородном постоянном магнитном поле под влиянием эффекта Барнетта-Лондона. Научная новизна. Основные результата диссертации:

1. Установлено, что при движении невесомого твердого тела в магнитном поле при эллиптическом тензоре магнитных характеристик, также как и в случае шарового тензора, множеству стационарных движений на плоскости параметров линейных первых интегралов соответствует множество гипербол, а множество точек бифуркационных значений параметров # , V имеет астровдальную форму. Исследована эволюция карты стационарных движений при варьировании следующих параметров: моментов инерции тела, напряженности магнитного поля, третьей компоненты тензора магнитных характеристик тела.

2. Исследована устойчивость по отношению к углу нутации вращений

тела с неподвижной точкой в постоянном однородном магнитном поле. Проанализированы условия устойчивости стационарных движений при различных значениях параметров, перечисленных в пуркте 1.

3. Обнаружено, что в отличие от случая Лагранжа движения твердого тела с неподвижной точкой, в рассматриваемой задаче тело обладает двумя устойчивыми и одним неустойчивым стационарными движениями. Это объясняется тем, что в отличие от случая Дагранжа функция измененной потенциальной энергии является полиномом не третьей, а четвертой степени. Изучена .зависимость областей возможного . движения от параметров, перечисленных- в пункте 1.

4. Построены бифуркационные-диаграммы в осях

р- — постоянные линейных интегралов, ¿Р -угол нутации) для анализа устойчивости перманентных вращений и некоторых стационарных движений.

5. Дифференциальные уравнения движения твердого« Фела с неподвижной точкой, находящегося в постоянном однородной магнитном поле проинтегрированы до. квадратур. Дана геометрическая интерпретация движения на сфере, Пуассона для |щда характерных случаев. Показано, что в втой задаче, как и в случае Лагранз^ волнистая сферическая кривая, которую описывает апекс, заключена между двумя" параллелями. Однако, если в случае Лагранжа петли и точки возврата траекторий апекса обращены к верхнему полюсу, то в рассматриваемой задаче оба полюса равнозначны в этом смысле и,

следовательно, неразличимы. Кроме того установлено, что если в случае Лагранжа траектория апекса может асимптотически приближаться только к верхнему полюсу, то в данной задаче траектории могут асимптотически приближаться как к .обоим полюсам, так и к параллели.

6. Проанализированы перманентные вращения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой в однородном постоянном магнитном поле, в том случае, когда вектор силы тяжести и напрженности магнитного поля параллельны и противоположно направлены. Исследована устойчивость некоторых вращений по отношению к углу нутации.

7. Показана эволюция карты стационарных движений при стремлении величины силы тяжести к нулю и -увеличении напряженности магнитного поля, что соответствует переходу от случая Лагранжа движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой к случаю, вращения невесомого твердого тела с неподвижной точкой в однородном постоянном магнитном поле. Установлено, что в отличие эт случая Лагранжа даже при малом магнитном поле множество точек бифуркационных значений параметров У- ,^ содеряит петлеобразную область.

Практическая ценность. Результаты работы могут быть использованы три проектировании и , модернизации современных технических устройств, которые содержат твердые тела с неподвижной точкой в эднородном постоянном магнитном поле.

Апробация работы. По теме диссертации сделаны доклады на научных семинарах "Динамика тел, взаимодействующих со средой" в 1987,

1990, 1931 ГГ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы ] работах [ 1, 2].

Структура диссертации. Диссертация изложена на 143-страницах I состоит из введения, 3-х глав, разбитых на 11 параграфов и заключения. Библиография содержит 60 наименований. Содержание работы.

Во введении дается обзор работ, относящихся к теме диссертации, и изложены основные результаты диссертации. В первой главе приводятся дифференциальные уравнения движения динамически симметричного намагничивающегося твердого тела с неподвижной точкой в однородном постоянном магнитном поле с напряженностью Ы , описаны перманентные вращения и регулярные прецессии в случае эллиптического тензора Т ' магнитны! характеристик; исследована устойчивость стационарных движений. — Полагаем, что твердое тело цри вращении приобретает собственный магнитный момент 3 , пропорциональный угловой скорости О вращения тела ( , где / - тензор

Поетому на тело действуют мал________ ______ _____________

Эта модель может быть приемлема для тел, изгототшшпых из иваг.ш!£Х1 ¿юлшии иагериалоа ш ферромагнетиков (эффект Варнетта-Лондона).

Дифференциальные уравнения движения, приведенные в параграфе

магнитных характеристик тела

-¿г-

.1 допускают следующие первые интегралы

а; и*сак*

?де А , С - моменты инерции тела; & , , у - углы Эйлера; Л/М/ 5~ третья компонента тензора лагнитных характеристик.

Система первых интегралов (1) является полной и позволяет провести интегрирование известными методами в- квадратурах путем исключения переменных , у . Таким образом было получено -уравнение фазовых траекторий:

где - измененная потенциальная энергия приведенной

системы или

где

Уравнение такого типа имеет место и в случае Лагранжа движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой, однако там является полиномом третьей степени от & , тогда как в данной задаче ето полином четвертой степени. Этот факт определяет различия между ' этими двумя случаями в областях допустийого изменения угла & .

Количество областей допустимого изменейия угла нутации (т.е. областей действительного движения) - одна или две - зависит от знака выражения

- ¿¿с*

. Этот факт необходимо

учитывать при задании начальных значений: для величины СУ .

В 3-ем параграфе 1-ой главы на основании теоремы Рауса изучались стационарные движения тела - регулярные прецессии ( уф, , Р/'б} ) и .перманентные

вращения (когда одно из значений у , у обращается в

нуль).

Эти значения определены из уравнения

(2)

Среди регулярных прецессий были выделены следующие перманентные вращения: 1. 6>

- произвольная постоянная.

3. , й>~0 , &(*/ - произвольная постоянная.

4. £ д " » У) ~ О , - произвольная постоянная. у »¿7 » ; /9» ф - произвольные постоянные.

Уравнение (2) задает в пространстве С? , ¿Л> , У поверхность ^ 'P'J Мнояество стационарных движений тела в области О - ввиду сложности этой поверхности изображались в виде

проекций на плоскости линий уровня, -которые получаются

при сечении поверхности $ ^плоскостями .

Установлено, что линиями уровня являются гиперболы, которые в частных случаях при определенных' значениях параметров А , С' , $ вырождаются в пару пересекающихся прямых. На плоскости постоянных линейных интегралов и ТУ также описывались множества точек, соответствующих выше перечисленным

перманентным вращениям. Множество стационарных движений изображенных на плоскости и- образует карту стационарных движений.

Установлено, что форма поверхности существенно

зависит от знаков и и возможны, следующие варианты:

I. , Л*-*/*,

п. ,

ш. Оу ¿0 , Iч. =0 . '

у. а? >0 .

Во всех перечисленных случаях описаны стационарные движения тела и вид соответствующих им карт стационарных движений на плоскости

Из проведенного анализа следует:

1. Множества стационарных движений таковы, что на плоскости

У им соответствует парметрическое семейство гипербол или прямых.

2. При

проекциями линий уровня поверхности для люб^х вариантов 1-7 являются взаимно перпендикулярные прямые £ =0 , У^^еС- ~ .

3. Перманентному вращению ¡9-0{Лрш плоскости ^, У. во всех вариантах I - У соответствуют прямые У- , .

4. В частных случаях П и IV все гиперболы вырождаются в пары пересекающихся прямых.

5. При йу происходит взаимной пересечение гипербол (прямых). Пересечение возможно в некоторой ограниченной области

-2в плоскости линейных первых интегралов. Область & имеет астроидальную форму, а ее граница 3 (случай П) или & (случаи I, Ш) критические угловые точки типа точек возврата. Гранща этой области является огибащей данного семейства и множеством точек бифуркационных значений параметров

6. В случаях IV, 7 ( ) поверхность не имеет

"складки" в виде области & в своей проекции на плоскость ^, V .' в случае область & вырождается в точку, а при

вр ^ О в пару взаимно перпендикулярных отрезков.

В параграфе I главы 1 изучалась устойчивость стационарных движений по отношению к углу нутации на основании теоремы Рауса ПО знаку .

Результаты исследования устойчивости перманентных вращений сведены в таблицу 1.

Условия 4 таблицы 1 являются аналогом условий устойчивости Маиевского в случае "волчка Лагранжа".

При исследовании устойчивости остальных стационарных движений учитывалась информация, полученная на основе изучения областей допустимого изменения угла @ . Каздой точке области & отвечают 3 стационарных- движения, два из которых являются устойчивыми, а одно - неустойчивым. Каждой критической точке и точкам вне области /Я" , а также точкам верхней части границы области 6" в случае П отвечает одно стационарное движение и оно устойчиво, точкам границы области (кроме критических)

отвечают два стационарных движения - устойчивое и неустойчивое.

Результаты исследования устойчивости представлены на бифуркационных диаграммах, получаемых сечениями поверхности

и, Г] плоскостями V- ,

Во второй главе представлен качественный анализ движения апекса на сфере Пуассона.

В параграфе 1 главы 2 проводилось интегрирование дифференциальных уравнений движения теми же методами, что и в случае Лагранжа. В результате преобразований получено выражение для времени ^ в виде эллиптического интеграла от %~ . После его обращения можно выразить и ф/^ъ квадратурах.

В параграфе 2.2 выполнена геометрическая интерпретация движения на сфере Пуассона аналогично классическому случаю Лагранжа. Анализ показал, что в этой задаче, как и в случае Лагранжа, волнистая сферическая кривая, которую описывает апекс, заключена между двумя параллелями. Однако, если в случае Лагранжа петли и точки возврата траекторий апекса обращены к верхнему полюсу, то а рассматриваемой задаче оба полюса равнозначны в этом смысле'и, следовательно, неразличимы. Кроме того, если в случае Лагранжа траектория апекса может асимптотически приближаться только к верхнему полюсу (соответствующему "спящему волчку"), то в данной задаче траектории могут асимптотически приближаться как к обоим полюсам, так и к параллели, отвечающей случаю неустойчивой регулярной прецессии. Отмечено также, что, как следует из информации об областях допустимого изменения угла & , областей возможного движет-я может быть две, а не одна, как в случае Лагранжа.

-/л

В таблицах параграфа 2.2 приведены возможные случаи движения апекса для случаев , ¿? и критических случаев

(когда функция имеет корки И ) при последовательном

возрастании. ■¿г •

В третьей главе рассмотрена задача о движении намагниченного тела, находящегося в однородном постоянном магнитном поле М и в поле силы тяжести; исследованы перманентные Бращения тела, изучены условия ех устойчивости; исследована эволюция карты стационарных движений при относительном уменьшении силы тяжести и увьлглекик напряженности магнитного поля.

В параграфе 3.1 дается постановка задачи с учетом предположений, сделанных в параграфе 1.1. Кроме того, предполагалось, что векторы силы тяжести и напряженности магнитного поля параллельны и противоположно направлены, а центр тяжести тела при (Р= (? лежит выше неподвижной точки. В параграфе 3.1 приводятся первые интегралы дифференциальных уравнений движения:

(3)

Следуя известной процедуре, упомянутой в параграфе 1.1 понижался порядок системы первых интегралов (3). Уравнение стационарных движений выписывалось на основе теоремы Рауса об изменении потенциальной энергии приведенной системы. Среди регулярных прецессий выделены следующие перманентные вращения:

произвольные постоянные. . Ф -О , Ш&- -.-гг^^ТГ,» У" Ф - произвольная

остоянная.

у/ - Р , (у » произвольная постоянная.

Нот случай аналогичен безразличному положению равновесия в ¡лучае Эйлера движения тяжелого твердого тела с неподвижной точ-:ой (при частном предположении - динамической симметрии тела -4 — 8> ), однако, если в случае Эйлера это положение >еализуется при произвольной угловой скорости У собственного ¡ращения, то в данном случае определено. Результаты

1Сследования устойчивости сведены в таблицу 2.

= (А-С/Ь- АСеС.

Условия устойчивости в таблице 2 п. 1 сопоставимы с условием.' устойчивости Маиевского вращения "волчка "Лаграшса":

'/Л'

Таблица 1. Устойчивость перманентных вращений.

Номер п/п Состояние системы Достаточные условия устойчивости

1. у

2. у у =0 № о? ¿о с<с</с

Г0

3. у =£> СеС Г & /пл. те -¿и -¿¿¿¿гр-у'У^-лгкл;- ¿¿у

4. я?>0 Сл ¿/¡У

сЬ/'+МСМб - Я/йс-бь)* ^ "Л-3, а#<о

5.

-/з-

Таблица 2. Устойчивость перманентных вращений.

<0- Состояние Условия устойчивости

1/п

1. н

2. ■¡/¿с* >-<№/*• •ра -я*

ч -¿¿¿с]

3. И 1. ^^

Уж г. №

0 - произвольная з 0**0, уе.^

0 '

Б параграфе 3.2 изучалась эволюция карты стационарных движений. Анализ показал, что "складки" на поверхности множества стационарных движений (случай ) возникают при

сколь угодно малой напряженности магнитного поля при

наличии силы тяжести; размеры "складки" увеличиваются с возрастанием, величины напряженности магнитного поля и при стремлении силы тяжести к нулю. Установлено, что наличие магнитного поля для тяжелого тела вносит ассишетрюо в картз стационарных движений, в отличие от случая Лагранжа (симметри* карты стационарных движений относительно прямой ¡¿-V ) I случая ьращения тела в магнитном поле (симметрия карта стационарных движений относительно оси йУ).

Литература.

1. Маршева Н.М. О вращении твердого тела в магнитном пол* //Вест. Моск. Ун-та, Сер. 1. Математ. Механ. -1288. -N5. стр, 87-91.

2. Маршева Н.М. О перманентных вращениях тяжелого твердого тел; в магнитном поле //Б^-ст. Моск. Ун-та, Сер. 1. Математ. Механ.-1Э8Э. -N1. стр. 64-68.