Прецессионные движения в обобщенной задаче о движении гиростата с неподвижной точкой тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

РГ6 од

1 9 ЛПР 1993

институт

АКАДЕМИЯ наук украины ПРИКЛАДНОЙ математики и жханики

На правах рукописи МАЗНЕВ Александр Владимирович

прецессионные движения в обощенной задаче о движении гиростата с неподвижной точкой

01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Донецк. - 1993

Работа выполнена и Донецком государственном университете.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Г.В.Горр

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.Г.Дёмин

доктор физико-математических наук, профессор А.А.Илюхин

Ведущая организация: Институт механики АН Украины

Защита состоится СШ-ЬлиЮ 1993 г. в чаС1

на заседании специализированного совета К 016.46.01 по присуждению учёной степени кандидата физико-математических наук при

Институте прикладной математике и механики АН Украины по адресу:. 340114, г. Донецк-114, ул. Розы Люксембург, 74.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института прикладной математики и механики АН Украины.

Автореферат разослан "_££__" 1993 г.

Учёный секретарь специализированного совета .

кандидат физико-математических науку/<-^»^Д-гМ7Йарковский

общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена исследовании условий существования прецессионных движений гиростата с неподвижной точкой в различим* силовых полях» Рассмотрены гтрвшссии гиростата в обобщенных задачах динамики: в задаче о движении заряженного и намагниченного гиростата в электрическом и магнитном поле; в задаче о движении сверхпроводящего тела в постоянном магнитной поле ( с учетом эффекта Барнетта-Лондона ); в одной задаче о движении системы двух связанных твердых тел. Изучены обобщенные регулярные прецессии, возникающие в задача о понижении порядка исходной системы дифференциальных уравнений.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМАТИКИ. Математически поставленная более двух столетий назад задача о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой до сих пор привлекает внимание многих исследователей . Это объясняется не только большими аналитическими трудностями при её решении, но и многочисленными приложениями в технических областях. Достаточно отметить, что расчет многих технических конструкций использует либо модель абсолютно твердого тела, либо модель системы связанных твердых тел. В качестве обобщений классической задачи выступают задачи о движении гиростата в различных полях, о движении тела в жидкости, о движении системы связанных твердых тел и другие.

Л.Эйлер дал общую постановку Задачи о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой, он вывел основные динамические к кинематические характеристики, а также дифференциальные уравнения движения. Йюгочисленные результаты в этой задаче.получили Ж.Л.Лагранж, С.Цуассон, Л.Цуансо, К.Якобн, А.Пуанкаре, Ж.Лиувилль, Г.Кирхгоф, А.Клебш, В.Гесс и другие. Существенный вклад внесли отечественные учёные - С.В.Ковалевская, Н.Е.Жуковский, А.Н.Ляпунов, С.А.Чаплыгин, В.А.Стеклов, П.А.Некрасов, Г.Г.Аппельрот, Л.Н.Сретенский, П.В.Харламов и другие. Сейчас сформировались различные школы по изучении задач динамики и их приложений ( А.Ю.Ишлинского, В.В.Румянцева, Д.Е.Охо-циаского, В.М.Матросова, П.А.Кузьмина, А.С.Галяуллина, П.В.Харламова н других )»

Достигнутые к настоящему времени успехи в изучении задач динамики твердого тела обусловлены применением различных современных методов исследования. Все эти методы эффективно, работают I. какой-то своей области применения. Например многие учение ( Ф.КляЙн, А.Зоммерфельд, П.В.Харламов и другие ) считают, что исследование движения тела в общем случае должно базироваться на построении и геометрическом анализе отдельных классов точных решений уравнений движения. Для этой цели П.В.Харламовым разработаны метод инвариантных соотношений построения решений и метод годографов прямого кинематического истолкования движения. На основе этих методов найдены многие частные решения классической задачи и её обобщений ( П.В.Харламов, Б.И.Харламова, А.Я.Савченко, Г.В.Горр, И.А.Докшевич, Б.И.Коносевич, Г.В.Моэалевская, Л.М.Ковалева, М.Е.Лесина и другие ), а также получено прямое истолкование движения тела ( П.В.Харламов, Е.И.Харламова, Г.В.ГЪрр, А.А.Илюхин, А.М.Ковалёв, А.Я.Савченко, Б.И.Коносевич, Е.В.Позднякович, Г.В.Мэзапевская, В.С.Ел-фимов, Л.М.Коваяёва, А.П.Харламов, П.М.Бурлака, В.И.Коваль, Е.К.Сергеев, И.Н.Гашененко и другие ). П.В.Харламов ввёл понятие полного решения, то есть решения, для которого проведено не только аналитическое, но и получено кинематическое истолкование движения методом годографов.

Г.В.ГЪрр предложил подход в отыскании решений, в основе которых лежит не аналитическая структура ( или виды инвариантных соотношений ), а типы движений. Он рассмотрел условия существования прецессионных, изоконических, асимптотических и других движений как в классической задаче, так и в различных её обобшениях.

Среди многообразия всех движений прецессионные движения твердого тела занимают особое место, так как относятся к наиболее наглядным с механической точки зрения и в тоже время они находят широкое применение в важной для техники теории гироскопических систем. Начало систематическому изучению прецессий Положили Г.Г.Аппельрог и Д.1^риоли. Г.Г.Аппельрот рассматривал прецессии относительно вертикали гироскопов, эллипсоид инерции которых есть эллипсоид вращения, а центр тяжести находится в

экваториальной плоскости ( гироскопы, подобные гироскопам Ко валевской и Горячева-Чаплыгина ). В классической задаче и ра:. личных её обобщениях много результатов получил Д.Гриоли. Наиболее существенные из них относятся к построению им нового решения в 1947 году ( регулярная прецессия относительно наклонной оси ) и кинематическим условиям прецессионности движения ( в том числе и обобщенных регулярных прецессий ). Большая группа итальянских механиков, следуя методу Д.Г\)иоли, провела обширные исследования условий существования прецессий в задачах динамики твердого тела с неподвижной точкой. Однако они были посвящены или частным случаям интегрируемости (например, решению Гесса), или частным видам прецессий. Ими, например, не получены результаты относительно прецессий общего вида в классической задаче о*движении тела с неподвижной точкой. В работах Г.В.Горра прецессии изучались с общих позиций. Им предложен способ исследования инвариантных соотношений, задающих прецессионное движение, указано интегрирование уравнения Д.Гриоли ( совместно с Е.И.Харламовой ), получен рад теорем о необходимых и достаточных условиях существования прецессий относительно вертикали. Г.В.Горр и его ученики в последнее время обнаружили ряд новых случаев прецессионных движений в обобщенной задаче о движении гиростата с неподвижной точкой.

ЦВЛЬ РАБОТЫ состоит в исследовании условий существования различных классов прецессионных движений гиростата с неподвижной точкой в обобщенных задачах динамики, в изучении обобщенных регулярных прецессий вектора кинетического момента в задаче о понижении порядка дифференциальных уравнений движения в обобщенной задаче.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ основана на методе инвариантных соотношений обыкновенных дифференциальных уравнений и методе годографов прямого кинематического истолкования движения гиростата.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ. В диссертации получены следующие результаты:

- указан способ исследования прецессий для уравнений

М.П.Харламова, в случае прецессии гиростата относительно вертикали для двух модельных задач динамики получены разрешающие тригонометрические многочлены;

- определены условия существования регулярных прецессий гиростата с неподвижной точкой в магнитном поле, вызванных эффектом Барнетта-Лондона;

- получены условия существования регулярных прецессий в одной задаче о движении системы двух связанных твердых тел в поле силы тяжести;

- в случае сферического тензора инерции полностью решена задача об условиях существования прецессии общего вида гиростата относительно вертикали в обобщенной задаче динамики. Получено два новых случая интегрируемости уравнений движения;

- указаны условия существования полурегулярных прецессий второго типа относительно вертикали в обобщенной задаче о движении гиростата с неподвижной точкой. Найдены два новых случая интегрируемости уравнений движения, отвечающих таким прецессиям;

- исследована задача о понижении порядка уравнений движения в обобщенной задаче, основанная на замене уравнений Пуассона первыми интегралами. Полностью решена задача об условиях существования обобщенных прецессий вектора кинетического момента для отдельных случаев движения гиростата в поле сил Лоренца и центральном ньютоновском поле сил.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Полученные в настоящей работе результаты имеют теоретическое значение, на практике они могут быть применены в кинематическом истолковании движения, в частности в классификации возможных типов движения.'

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертации докладывались на Шестой Всесоюзной Четаевской конференции " Аналитическая механика, устойчивость и управление движением и( Казань, 1992 ), на ХУ1 научных чтениях по космонавтике ( Ь5осква, 1992 ), на семинарах отдела прикладной механики Института прикладной математики и механики АН Украины (руководитель -доктор фиэ.-ыат. наук, профессор Г.В.Горр ), на научных кон-

ференциях профессорско-преподавательского состава Донецкого государственного университета.

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 6 работ.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из 5 глав, заключения, списка литературы { 63 наименований ) и содержит 131 страницумашинописного текста. Количество рвсун-юв 9 .

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой, вводной главе, обоснована актуальность темы, история вопроса, предает и метод исследования, кратко изложено содержание работы и сформулированы основные результата, взносимые автором на защиту.

Во второй главе дана постановка задачи и предложен способ исследования прецессионных движений в обобщенных задачах динамики.

В пункте 2.1 введены основные кинематические соотношения и дано определение прецессионных движений. Для одного класса обобщенной задачи, когда сохраняются три- первых интеграла, рассмотрены уравнения М.П.Харламова

Ай » (АсЗ +л)*03 * v * окьскьс?)]* ¿3 *

_ _ (I)

+ ргас^Т/^)** (

V - V х ¿5 (2)

Для этих уравнений три первых интеграла таковы

В Ш-(З) принята следующие обозначения: ¿3 - вектор угловой скорости, V - вектор вертикали, Л - гиростатический момент, Е , А - постоянные интегралов энергии и момента количества движения. Согласно определение прецессионных движе-

ний вектор угловой скорости может быть представлен в виде

¿3 = + г (4)

где <р , уг - углы Эйлера, ¿й - единичный вектор, неподвижный в теле, у - единичный вектор, неподвижный в пространстве. Векторы р и V могут быть записаны следующим образом

р, ¿сои/>, а.), (5)

где а Ъ ^ьС., а^Уг-а* , Ъ^'-с?, ¿¿=(<з!У'б0.

Рассмотрен вопрос о прецессиях гиростата с неподвижной точкой относительно наклонной оси. На основе метода инвариантных соотношений предложен способ исследования этих движений, который приводит к системе алгебраических равенств на параметр« задачи.

В пункте 2.2 рассмотрен случай прецессии общего вида относительно вертикали. Для уравнений (1)«(2) получен разрешающий тригонометрический многочлен. Требование того, чтобы он был тождеством по дает условия на параметры, при выполнении которых движение гиростате будет прецессией относительно вертикали. Ее;ли в (I), (2) положить - ¡г >

Ц(О)* - ¡¡(дЗ-Э) , = О то приходим к обобщенной

задаче о движении гиростата с неподвижной точкой

/¡¿} = (АсЗ+л)кс5 + й'З^* * ЪхСз ^ (б)

. у » V * с? . (7)

Эти уравнения описывают движение заряженного и намагниченного твердого тела с неподвижной точкой в поле потенциальных и гироскопических сил. Оси симметрии полей совпадают и определены вектором . Потенциальные силы возникают при взаимодействии электрических зарядов с электрическим полем Ия НЗ и ньютоновским притяжением масс тела с центром Ощ . При этом

центры кулоновского и ньютоновского притяжений лежат на оси • проходящей через вектор у • Гироскопические силы возникают при лоренцевом воздействии магнитного поля на движущиеся в пространстве электрические заряды ( предполагается, что в теле токи отсутствуют ) и циклических движениях в теле-носителе роторов симметричной формы, не несущих электрические заряда. Уравнения (б),(7) допускают три первых интеграла

2Цй*л) \''-йЪЪъ&к, (б)

Здесь матрица $ характеризует лоренцево воздействие, матрица С определяет ньютоновское и кулоновское притяжение,

§ - вектор обобщенного центра масс. На основе результатов пункта 2.1 получен разрешающий тригонометрический многочлен, который используется,в дальнейшем, при рассмотрении конкретных случаев прецессионных движений, когда задачу можно решить полностью.

Пункт 2.3 посвящен выводу второй формы уравнений для прецессионных движений гиростата относительно наклонной оси. Этот способ изучения прецессий эффективен тогда, когда рассматриваются прецессии относительно наклонной оси с заданными свойствами скоростей прецессии и собственного вращения. Рассмотрен случай, когда прецессионное движение гиростата является прецессией относительно горизонтальной оси. Получено необходимое условие, которое значительно упрощает дальнейшие исследования.

В пункте 2.4 поставлена задача об изучении прецессий относительно вертикали гиростата в магнитном поле, обусловленных эффектом Барнётта-Лондона. Уравнения движения гиростата при этом таковы

ДсЗ = (Асз-* йс5*Ъ+ + г

9 * .

Для этих уравнений существует только два первых интеграла, так как силы возникающие при движении гиростата являются дис-

сипативныии , .

А.

>

Для задачи (9),(10) наедены условия существования регулярных прецессий относительно вертикали.

В пункте 2.5 рассмотрена задача о движении системы двух гироскопов Лагранжа, связанных идеальным сферическим шарниром, которая имеет четыре степени свободы. Получены условия существования регулярной прецессии для такой задачи.

Пункт 2.6 посвящен анализу условий существования прецессий в.обобщенных задачах рассмотренных в пунктах 2.2, 2.4, 2.5. Установлены общие свойства для этих задач.

В третьей главе диссертации рассмотрены условия существования прецессий относительно вертикали в обобщенной задаче динамики твердого тела с Неподвижной точкой в случае, когда эллипсоид инерции является сферой. Найдено два новых случая интегрируемости уравнений движения, которым соответствуют прецессии общего вида гиростата с неподвижной точкой.

В пункте 3.1 выведены основные соотношения и получен . разрешающий многочлен(тригонометрический) задачи (6),(7) при

условии А„ » Л* 4 • 4 * К' К»"

В пункте 372 рассмотрен особый случай задачи (6),(7) и найдено его решение

а!солу, а,), аЦгсм^ yta.iT),

(12)

Условия существования прецессии общего вида относительно вертикали на этом решении таковы

Р\- 4- 4, = -4;). л-4», - - 4 4,,

= (з^аА'.)'-1 {>а/ (За?-а?)С„- \а/[Заея, -

- а? б56)(За!г2а?)+ аМ*(Ви-3„)] } .

Выяснено, что прецессия общего вида при движении гиростата в поле сил Лоренца динамически невозможна.

В пункте 3.3 показано, что если у представима в виде \р * С», то имеется второй случай интегрируемости

уравнений (б),(7): '

V » (а1 »/* у, аI со*</», а0), сЗ *Савуи*у>,

у» У - ц3)

- а'вЛцсыу* + ^а/5зд г к - а,ля -уиа0сс] .

Для решения (13) условия существо!ания прецессии общего вида. записываются так

А» - - Агз - у, А « « ^з - 0, - О, К -^ , б„ - Оц- Сзг п +уХ -

¿¡и = -(2/*с0+ль+о,6ц-а*б33), зг = + а, Ьи+ | а,'* &зз + ),

* ь у Ьи * | а* б„ - 2а.л3+

+ к,- а0ц с*) + + а, Ьи -авб33)(± а1\+1 а?

Доказано, что случай 8е0 ) <2^0 невозможен.

Пункт 3.4 посвящен выводу уравнений подвижного и напод-

вижного годографов для решения (13).

В четвертой главе найдено два новых решения и подучены условия существования полурегулярной прецессии второго типа относительно вертикали в обобщенной задаче динамики' (6),(7). Проведено качественное исследование полученных решений, выведены уравнения и построены подвижный и неподвижный годографы угловой скорости.

В пункте 4.1 дана постановка задачи и получен разрешающий тригонометрический многочлен при условиях у*, н, , ■у ш ус-е) .

Пункт 4.2 посвящен рассмотрении особого случая А& У * О. Получено новое решение и выведены условия существования полурегулярной прецессии второго типа ь

V " С*1'" V, со*, у, О). ¿5* у, угсеа р, н JJ Л ^ (и) Ограничения на параметры задачи следующие

44*, 4*4,4*--^ 4,"4,,

На основании теоремы Пуансо и метода, который предложил П.В.Харламов, выведены уравнения подвижного й неподвижного годографов. Доказано, что подвижный годограф представляет собой улитку Паскаля, а неподвижный - циклоиду, лежащую на круговом цилиндре.

В пункте 4.3 рассмотрен случай Аа-у ф О • При сохранении равенств 4*4« , А^ Аа- Ашь' О, Вн*

* • О , , Я*» 0 , Ц = 0

и требовании О получено второе решение задачи (6),

(7)

v "(a! s: и al Сол </>„ aa), 05= {ûjjra/ny>t ¿¡.'усолу, и+Ооу), + Iа>'Я<, + if = « i ' y., (15)

V* (*чЛ„)~* [/¡„(о.Сп- sj - н.аая, - . - ot л* S/Vf ri.

Найденные условия существования полурегулярной прецессии второго типа имеют вид

ir Kê 4, V ^

ss=- *Д- ^ * « * *

Показано, что движение тела с неподвижной точкой может быть воспроизведено качением без скольжения кривой лежащей на конусе, по циклоиде, расположенной на круговом цилиндре.

Пятая глава посвящена регулярным обЬбщенным прецессиям гиростата с неподвижной точкой.

Пункт 5.1 посвящен вопросу о возможности замены уравнений Пуассона первыми интегралами при понижении порядка дифференциальных уравнений в обобщенной задаче динамики. Выведено условие при котором такая замена справедлива.

В пункте 5.2 рассмотрен особый случай в задаче (6),(7), когдавекторы Cv - 5 и v коллинеарны.

В пункте 5.3 рассмотрены уравнения движения гиростата в центральном ньютоновском полесил. Полагая в (6) ,(7) ВтО, Q ж е*/1 , s э Гё получим следующие уравнения движения

(Аъ*х)*ъ + Г(ё*Ъ) - . (16)

çr в v* ¿о .

Рассмотрен случая, когда система дифференциальных уравнений (16),(17) имеет инвариантное соотношение

СЛа*Д)У = О. Ш)

При этом условия уравнения Пуассона (17), вообще говоря, нельзя заменять первыми интегралами. Показано, что в случае сферического эллипсоида инерции и коллинеарности векторов V и Га - , имеем регулярную прецессию относительно кине-

тического момента, направление которого, вообще говоря, не совпадает с вектором вертикали. Если же эллипсоид инерции не является сферой, то получим случай регулярной прецессии относительно вертикали гироскопа Лагранжа,

Пункт 5,4 посвяиен исследованию обобщенных прецессий. Из (18) вытекает равенство

Аи + Л « ¿(4)3 + /ШГкг (19)

Если Л к р постоянны, то движение тела называют обобщённой регулярной прецессией. Для задач» (16),(17) доказана теорема: движение гиростата с одной неподвижной^точкой в центральном ньютоновском поле сил, при котором модуль момента количества движения постоянен к кинетический момент совершает обобщенную регулярную прецессию, отвечает случаю регулярной прецессии гироскопа Лагранжа. ,

Пункт 6,5 посвящен рассмотрению движения твердого тела с неподвижной точкой в поле сил Лоренца. Доказана теорема: движение тяжелого твердого тела с одноименными зарядами в поле сил Лоренца, при котором кинетический момент совершает обобщенную регулярную прецессию, отв°чает только случаю регулярной прецессии гироскопа Лагранжа.

ОСНОВНОЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСЙШЕ НА ЗАЩИТУ:

I. Установлена условия существования регулярных прецессий гиростата с неподвижной точкой в магнитном поле, вызванных эффектом Барнетта-Лондона.

2. Получены условия существования регулярных прецессий в одной задаче о движении системы двух связанных твердых тел в поле силы тяжести.

3. Указаны условия существования пол.урегулярных прецессий второго типа относительно вертикали в обобщенной задаче о движении гиростата с неподвижной точкой. Найдены два новых случая интегрируемости уравнений движения, отвечающих таким прецессиям.

4. В случае сферического эллипсоида инерции полностью решена задача об условиях существования прецессии общего вида гиростата относительно вертикали в обобщенной задаче динамики. Получено два новых случал интегрируемости уравнений движения.

5. Решена задача Ьб условиях существования обобщенных прецессий вектора кинетического момента для отдельных случаев движения гиростата н поле сил Лоренца и центральном ньютоновском поле сил.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

1. Горр Г.В., Мазнев A.B. О понижении порядка системы дифференциальных уравнений движения твердого тела в линейном поле сил и в поле сил Лоренца// Механика твердого тела.-1987.- Вып.19.- С.33-42.

2. Мазнев A.B. Новый случай полурегулярной прецессии второго типа в обобщенной задаче динамики твердого тела с неподвижной точкой / Донец.гос. ун-т. -1991г. - 7с. - Биб-лиогр.: 17 назв. Рус. - Деп. в УкрНИИНТИ 09.04.91, № 476 -Ук 91.

3. Мазнев A.B. Исследование полурегулярной прецессии второго типа в обобщенной задаче динамики твердого тела с неподвижной точкой / Донец.гос. ун-т. -1992г. -Юс. - Биб-лиогр.: 4 назв. Рус. - Деп. в УкрНИШИ 27.02.92, № 248 -Ук 92.

4. Мазнев A.B. О прецессиях общего-вида в динамике твердого тела с неподвижной точкой// Исследование прецос-

сионних и управляемых движений твердого тела." Донецк.-1992. - С.42-49.- ( Препр, АН Украины. Ин-т прикл. математики и механики, № 92.06. ),

5. Горр Г.В., Мазнев A.B., Верховод Е.В. НовЫе решения обобщенной задачи динамики твердого тела о неподвижной точ-кой//В кн.: Шестая Четаевская конференция " Аналитическая механика, устойчивость и управление движением Тезисы докладов,- Казань, 1992.- С.8.

6. Горр Г.В., Мазнев A.B., Верховод Е.В. Новые решения обобщенной задачи динамики твердого тела с неподвижной точкой/Доклады АЛ Украины. Серия А. Физ.-мат. и техн. науки.-1992.-.» б.- С.60-54.