Динамические флуктуации гидростатов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Р Г 6 од

С ■.' На правах рукописи

МАТЮХИН Сергеи Андреевич

ДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ ГИРОСТАТОВ Специальность 01.02.01 -"Теоретическая механика"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 1997?

Работа выполнена в Московском государственном авиационном институте (Техническом университете).

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор технических наук, профессор И.Н.Синицын доктор физико-математических наук, профессор А.Н.Морозов, кандидат технических наук, с.н.с. М.Е.Шайкин Военно-Воздушная Инженерная Академия им. Н.Е.Жуковского

Защита состоится "_"_1997 г. на заседании

диссертационного Совета К 053.18.02 в Московском государственном авиационном институте (Техническом университете).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ.

Адрес института: 125871, Москва, ГСП, А-80, Волоколамское шоссе, 4.

Автореферат разослан"_"_1997 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета кандидат физико-математических наук

А.В.Муслаев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность работы. Задача о движении гиростата вокруг неподвижной точки представляет собой естественное обобщение задачи о движении твердого тела вокруг неподвижной точки.

В отличие от детерминированной теории движения, в рамках которой получено много важных теоретических и практических результатов (В.В.Румянцев, П.В.Харламов, Л.Н.Сретенский, И.В.Зубов, В.В.Крементуло, Л.И.Каргу и др.), статистическая теория анализа динамических флуктуации гиростатов развита еще сравнительно мало. Наиболее проработанными здесь вопросами являются (И.Н.Синицын, А.И.Маликов, Р.5а^го\у): исследование флуктуаций гиростата на основе статистически линеаризованных уравнений движения, изучение стохастической устойчивости гиростатов (в том числе с учетом структурных изменений) с помощью аппарата стохастических и векторных функций Ляпунова.

Отметим, что к необходимости рассмотрения движения гиростатов в вероятностной постановке приводит целый ряд важных задач современной авиационно-космической техники. Среди них большое значение приобрела задача об оценке предельной потенциальной точности гиростатов из-за случайных возмущений моментов сил, приложенных к гиростату. Источниками таких возмущений являются, например, статистическая нестабильность начальных условий, случайная поступательная вибрация гиростата, флуктуации магнитного поля и атмосферы Земли. Вследствие этого, динамические и кинематические параметры гиростатов испытывают флуктуации, непосредственно влияющие на предельную потенциальную точность. Поэтому, возникает задача анализа таких флуктуаций.

Аналитическое исследование динамических флуктуаций гиростатов является сложным и трудоемким процессом из-за нелинейного характера этих флуктуаций и большого числа дифференциальных уравнений для параметров распределений. Так, например, в рамках корреляционной теории для анализа флуктуаций тяжелого гиростата

з

с неподвижной точкой в случайной среде требуется составить 27 обыкновенных дифференциальных уравнений для математических ожиданий, дисперсий и взаимных ковариаций. Поэтому, очень важной является задача создания комплекса программ для исследования на ПЭВМ как стационарных, так и нестационарных режимов флуктуаций различных гиростатических систем на основе уравнений, выводимых в рамках статистической теории движения, для параметров распределении.

Цель работы. Разработка статистической теории анализа нелинейных динамических флуктуаций гиростатов в случайных средах, создание на ее основе экспериментального программного обеспечения для аналитического моделирования флуктуаций на ПЭВМ.

Научная новизна. Рассмотрены стохастические механические модели движения гиростатов. Поставлена задача анализа нелинейных динамических флуктуаций гиростатов в случайных средах. Обнаружены точные решения этой задачи. Получены выражения для предельно достижимой точности гиростатов в случайной среде. В рамках метода нормальной аппроксимации выведены приближенные уравнения статистической теории динамических флуктуаций гиростатов. Проведено сравнение частных решений этих уравнений с точными решениями. На основе составленных стохастических механических моделей движения гиростатов разработано экспериментальное программное обеспечение для аналитического моделирования флуктуаций на ПЭВМ.

Практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы как для оценки предельной потенциальной точносги-гиростатов в случайных средах, так и для решения задач распознавания, идентификации и других обратных задач статистической динамики гиростатов.

В диссертации изложены результаты, полученные автором за период 1992-1996 гг. при выполнении НИР "НДС-15" по Межвузовской Программе "Университеты России", а также Проектов РФФИ N93-01-00614, N95-01-00426.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах отдела "Статистические проблемы информатики" ИПИ

РАН (1995-1997), кафедры "Теоретическая механика" МАИ (19951997), на XXI Гагаринскнх чтениях (Москва, апрель 1995), на Международной конференции, посвященной 175-летию со дня рождения П.Л.Чебышева (Москва, май 1996).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и приложения, изложена на 167 страницах, содержит 36 рисунков, вынесенных в приложение.

Список использованных источников составляет 133 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы.

В главе 1 приведен подробный обзор и анализ основных результатов по динамике гиростатов. Результаты классифицированы по типу действующих на гиросгатическую систему моментов сил: момент силы тяжести, гравитационный, магнитный, диссипативный, корректирующий, случайный моменты, а также момент сил реакции неголономной связи. Сформулированы постановки задач статистического анализа динамики гиростатов в условиях случайных возмущений (задачи полного статистического и корреляционного анализа динамических флуктуаций гиростатов), приняты основные допущения относительно математических моделей моментов случайных сил, действующих на гиростат.

Глава 2 диссертации посвящена разработке статистической теории анализа динамических флуктуаций одно- и полироторных уравновешенных гиростатов с неподвижной точкой в случайной среде. В разд.2.1 рассмотрена стохастическая модель движения гиростата 8=(8о,51,...,!Зп). Приведены уравнения движения гиростата вокруг неподвижной точки О (в системе координат Охуг, жестко связанной с несущим телом $о, оси которой направлены вдоль главных осей инерции гиростата для точки О)

h<bi+(h-h)cü2o:>3+X©3 [ф'»аь + <ph(ünYh- <üíPi,)]-Li, и,„(lo) - со,,,.

hw:+(Ii-l3)K)iO)3+¿05 [qihPh + <рь(созаь- coi Yh)]-Li, <üM(to) - <o,„,

13¿3+(12-1 i)coi И2+ ¿ © i [ф1.уь + cph(ca I ph - Ы2аь)]=Ьз, со )u (to) = со 3„ (1)

h-í

и уравнения движения роторов Sh (h=l,...,n) вокруг осей их собственного вращения

©з(срь+ óioth + ¿2ph + шзуь) = L*, ф„ (t0) = фм, (2)

где Ii, Ь, Ь - главные моменты инерции S, coi, т, юз и Li, L2, L3 -компоненты вектора угловой скорости So и вектора момента внешних сил, приложенных к S, соответственно, ©5и L* - осевой момент инерции Sh и момент внешних сил, приложенных к Sh, соответственно, фь - угловая скорость вращения Sh вокруг неподвижной в So оси éh (ось, рь , уь - косинусы углов направления eh с осями Oxyz).

Поставлена задача нахождения одномерных распределений стационарных (в узком смысле [1]) и нестационарных стохастических режимов флуктуаций угловых скоростей coi, ©2, юз и фь , вызванных, во-первых, случайностью начальных условий движения, во-вторых, случайностью моментов внешних (для гиростата S) сил, в-третьих, случайностью моментов внешних (для роторов Sh) сил вокруг осей их собственного вращения, в предположении, что компоненты моментов внешних сил L¡ и L* в (1) и (2) допускают представления

L, -L]0 - Ln(ú¡ + V¡ , i=l,2,3, (3)

l; =ц0-ц1ф>+ук ,h=i,...,u. (4)

Здесь, L¡0 и L*0 - постоянные (или зависящие от. углов ориентации) составляющие, Ьпю, и ' Ь*ф4 - диссипативные составляющие, V, и Y\ - случайные составляющие. В качестве математической модели случайных составляющих принята модель нормального стационарного белого шума.

В разд.2.2-2.5 изучаются динамические флуктуации уравновешенного гиростата без гасителя, а в разд.2.6 - с динамическими гасителями колебаний.

В разд.2.2, 2.3 найдены точные выражения распределений нелинейных флуктуации первых интегралов невозмущенных (моменты внешних сил отсутствуют) уравнений движения, угловых скоростей несущего тела и роторов, вызванных случайными начальными условиями движения для случаев вращения роторов по инерции и с постоянными относительными угловыми скоростями. В предположении, что на гиростат действуют постоянный, диссипативный и случайный моменты, на основе теории стохастических дифференциальных систем с инвариантной мерой [2-4] решена задача точного статистического анализа. Получены точные выражения для одномерных плотностей стационарных и нестационарных распределений флуктуаций вектора угловой скорости несущего тела гиростата в гауссовой случайной среде. Интересно отметить, что распределение флуктуаций угловых скоростей в нелинейной гиростатической системе (1),(2) будет нормальным в указанных случаях.

В разд.2.4 дано приближенное аналитическое решение (методом моментов [1]) задачи о стационарных (в широком смысле) флуктуаций уравновешенного динамически симметричного гиростата с неподвижной точкой в гауссовой случайной среде. Исследована устойчивость (в среднем квадратическом) этого решения. Показано, что в рамках принятых допущений наличия только диссипативных сил недостаточно для устойчивости стационарного режима флуктуаций вектора угловой скорости несущего тела гиростата.

Разд.2.5 посвящен исследованию движения вокруг неподвижной точки в гауссовой случайной среде уравновешенного гиростата с произвольными распределением масс и постоянным гиростатиче-ским моментом. На основе метода нормальной аппроксимации {1] разработана корреляционная теория нелинейных динамических флуктуаций гиростата. Выведена приближенная система обыкновенных дифференциальных уравнений (9 порядка) для статистических

характеристик флуктуации вектора угловой скорости й. Найдено условие существования стационарных решений этой системы. Составленные уравнения позволяют изучать переходные режимы при случайных начальных условиях, стационарные и существенно "нестационарные динамические режимы движения гиростата в случайных средах.

В разд.2.6 поставлена и решена в линейном приближении задача о влиянии динамических гасителей колебаний (демпферов колебаний и пасссивных поглотителей колебаний) на динамические флуктуации уравновешенного гиростата с неподвижной точкой в гауссовой случайной среде. Приведены формулы для вычисления дисперсий и взаимных ковариаций угловых скоростей в режиме стационарных флуктуации. Найдены оптимальные значения для коэффициента демпфирования как для случая демпфера колебаний, так и для случая пассивного поглотителя. Пользуясь схемой расчета, основанной на замене линейной динамической системы 3 и 4-ого порядков системой 2-ого порядка, получены приближенные условия эквивалентности гиростата с малым естественным демпфированием и гиростата, снабженного соответственно демпфером и поглотителем колебаний (настроенным на нутационную частоту). Приведена структура и описаны функции, разработанного на основе ППП "СтС-Анализ" (ИПИ РАН), экспериментального программного обеспечения "СтГС-Г'для исследования динамики гиросгатических систем (полироторные уравновешенные гиростаты, гиростаты с неголономными связями, гиростаты, снабженные несколькими демпферами и поглотителями колебаний различных конструкций) в случайных средах.

Глава 3 диссертации посвящена разработке статистической теории анализа динамических флуктуаций тяжелого гиростата с закрепленной точкой О в случайной среде. В разд.3.1 рассмотрена стохастическая модель движения гиростата в поле сил тяжести с учетом диссипативного момента, случайных начальных условий и

случайного момента, вызванного поступательной (пространственной и вертикальной) вибрацией, а также внешней флуктуационнон средой. В качестве математической модели случайных возмущении принята модель нормального стационарного белого шума. Уравнения движения гиростата записаны в декартовой системе координат Oxyz (жестко связанной с несущим телом гиростата) IS + ю x(IS +Н) = mg?c х у - Ф<а +T(cc,p,y)V(t), cù(t„)=œ0, (5)

<х = ct хш, â(t„) =â„, (6)

p = p xSj(t,) = pe, (7)

Y = Y «à, 7(t«) = Yo- (8)

Здесь, I - тензор инерции гиростата для точки О, m - вектор угловой скорости несущего тела гиростата, H - гиростатический момент, m - масса гиростата, Тс - радиус-вектор центра тяжести, Ф -матрица диссипации, а, р, у - орты системы координат, связанной с неподвижным пространством, g - величина ускорения силы тяжести (g = gï). V - объединенный вектор нормальных белых шумов, Ч' -'^ •матрица, определяемая формулой

¥ = [mrtQ; Ез], Q = [а, р,у], Ез = diag(l,l,l),

rt - кососимметрическая матрица, соответствующая вектору гс.

Поставлена задача нахождения одномерных распределений стационарных (в узком смысле [1]) и нестационарных стохастических режимов флуктуаций вектора угловой скорости ю, векторов направляющих косинусов й, р, у, а также классических углов Эйлера, вызванных указанными выше источниками.

В разд.3.2 для тяжелого гиростата (с неподвижной точкой) с произвольными распределением масс и постоянным гиростатиче-ским моментом найдены точные выражения распределений флуктуации общих первых интегралов невозмущенных (диссипативные и случайные моменты отсутствуют) уравнений движения (5),(8), вследствие случайности начальных условий.

Разд.3.3 посвящен гиростатическому аналогу случая интегрируемости Лагранжа. Выведены точные формулы для вычисления распределений флуктуации параметров, определяющих движение гиростата, вследствие случайности начальных условий.

В разд.3.4-3.6 подробно изучаются флуктуации динамических и кинематических параметров тяжелого гиростата с закрепленной точкой в гауссовой случайной среде.

В разд.3.4 на основе теории стохастических дифференциальных систем с инвариантной мерой [2-4] решена задача точного статистического анализа для частных случаев уравнений (5)-(8). Полученные утверждения обобщают утверждения о флуктуациях тяжелого твердого тела в случайной среде [5]. Для несимметричного гиростата получен результат об отсутствии режима стационарных флуктуаций с гладкой одномерной плотностью, обобщающий аналогичный результат для математического маятника в условиях поступательной вертикальной вибрации.

В разд.3.5 на основе метода нормальной аппроксимации выведены приближенные уравнения корреляционной теории нелинейных флуктуаций тяжелого гиростата с закрепленной точкой в случайных средах. Они, в частности, позволяют оценивать динамические систематические и флуктуационные дрейфы, сопровождающиеся ростом математических ожиданий, дисперсий и ковариаций углов и угловых скоростей при случайных возмущениях и отсутствии сил коррекции и демпфирования вокруг соответствующих осей гиростата. Эти уравнения положены в основу аналитического моделирования динамических флуктуаций тяжелого гиростата на ПЭВМ.

Приведена структура и описаны функции, разработанного на основе ППП "СтС-Анализ" (ИПИ РАН), экспериментального программного обеспечения "СтГС-2", с помощью которого исследовано влияние поступательной вертикальной и боковой случайной вибрации на движение тяжелого гиростата. Сделаны выводы о характере стационарных и нестационарных флуктуаций гиростата.

В рлзд.3.6 методом стохастических функций Ляпунова получены достаточные условия асимптотической устойчивости по вероятности нижнего положения равновесия гиростата Ковалевской с учетом диссипативной среды и поступательной вертикальной случайной вибрации.

Разд.3.7 посвящен движению экваториального спутника-гиростата в случайном геомагнитном поле. Поставлена задача нажодения одномерных распределений стационарных стохастических режимов флуктуаций угловой скорости спутника-гиростата и направляющих косинусов мевду осями орбитальной системы координат и осями, направленными по главным осям инерции гиростата, вследствие флуктуаций напряженности геомагнитного поля. Используя известную аналогию между движением тяжелого гиростата и движением экваториального спутника-гиростата вокруг центра масс на круговой орбите в геомагнитном поле, перенесены на последний случай результаты о флуктуациях тяжелого гиростата (разд.3.4).

Глава 4 диссертации посвящена разработке статистической теории анализа динамических флуктуаций систем твердых тел и гиростатов, соединенных неголономными связями. В разд.4.1 рассмотрена стохастическая модель движения механической системы, состоящей из одного в! или двух ОьОг гиростатов (твердых тел), имеющих по одной неподвижной точке О* при наличии неголоном-ной связи типа связи Суслова, диссипативного и случайного моментов. Динамические уравнений Эйлера записаны в связанных с несущими телами декартовых системах координат 0,х'у¥ Г й" + 5' х (Г + Н-) = +АХ' +Х\ ЩХо)= ¡=1,2, (9)

уравнение связи в случае одного гиростата (твердого тела) имеет вид <11)51> = П, (10)

а в случае двух гиростатов (твердых тел) имеет вид <Х11Й1> + <1^Й2>=П (Ц)

п

Здесь через X', Л. Л, К1 дополнительно обозначены орт некоторого известного жестко связанного с несущим телом направления, неизвестный множитель неголономной связи, известная величина, имеющая размерность угловой скорости, случайный момент соответственно. В качестве математической модели случайных возмущений принята либо модель нормального стационарного белого шума, либо модель стационарного процесса, удовлетворяющего уравнению линейного формирующего фильтра первого порядка [1].

Поставлена задача нахождения одномерных распределений стационарных и нестационарных стохастических режимов флуктуа-ций угловых скоростей, момента сил реакции неголономной связи, первых интегралов невозмущенных уравнений движения, вследствие случайности начальных условий и внешней случайной среды.

В разд.4.2-4.6 изучаются флуктуации систем твердых тел, соединенных неголономной связью, в разд. 4.7-4.9 - флуктуации систем гиростатов с неголономными связями, в разд. 4.10 - флуктуации твердых тел и гиростатов с неголономными связями с учетом динамических гасителей колебаний. /

Разд.4.2 посвящен классической задаче Суслова о вращении вокруг неподвижной точки твердого тела с идеальной неголономной связью при случайных начальных условиях. Найдены точные выражения распределений флуктуаций интеграла энергии,^ компонент вектора угловой скорости и множителя неголономной связи.

В разд.4.3 дано решение задачи анализа флуктуаций вектора угловой скорости уравновешенного твердого тела, имеющего одну неподвижную точку и подчиненного неголономной связи в гауссовой случайной среде. Приведены достаточные условия существования и найдены точные выражения для одномерных плотностей стационарных распределений флуктуаций (с инвариантной мерой) вектора угловой скорости. Найдены функции влияния неголономной связи на стационарный режим. Для частного случая нелинейных уравнений движения (9), когда у невозмущенной системы отсутствует абсолютно непрерывная инвариантная мера, выписаны

точные выражения для одномерной плотности стационарного распределения флуктуации и момектных характеристик нестационарного распределения флуктуации кинетической энергии тела.

Разд.4.4 посвящен анализу динамических флуктуаций твердого тела с неголономной связью при случайных автокоррелированных возмущениях. Составлены точные системы дифференциальных уравнений статистических характеристик вектора угловой скорости. В рамках прецессионной теории приведены формулы для вычисления дисперсий и взаимных ковариаций компонент вектора угловой скорости в стационарном режиме. В нормальном приближении получены формулы для вычисления статистических характеристик множителя неголономной связи. Найден новый динамический эффект статистического плана: при случайных автокоррелированных возмущениях математическое ожидание множителя неголономной связи смещается от стационарного значения (в отсутствие случайных возмущений), а дисперсия минимальна, если твердое тело обладает осью динамической симметрии и неголономная связь направлена по этой оси.

В разд.4.5,4.6 решена задача точного статистического анализа динамических флуктуаций системы двух уравновешенных твердых тел, соединенных неголономной связью. Получены достаточные условия существования и найдены точные выражения для одномерных плотностей стационарных распределений (с инвариантной мерой) флуктуаций векторов угловых скоростей твердых тел. На основе метода нормальной аппроксимации разработана корреляционная теория нелинейных динамических флуктуаций системы двух уравновешенных твердых тел, соединенных неголономной связью. Приведены стационарные решения составленных приближенных уравнений для частных случаев распределения масс твердых тел. Дано сравнение полученных решений с точными результатами.

В разд.4.7 для уравновешенного гиростата с неголономной связью точно решена задача о распределениях нестационарных

флуктуации вектора угловой скорости и множителя иеголономной связи, при случайных начальных условиях. Для систем уравновешенных гиростатов с неголономными связями обобщены результаты о распределениях стационарных флуктуаций угловых скоростей твердых тел (разд.4.3,4.5), помещенных в гауссову случайную среду.

Разд.4.8 и 4.9 посвящены задаче статистического анализа флуктуаций тяжелого гиростата с иеголономной связью. Уравнения движения записаны в виде

1ш + 5 х (15 +Н) = ш«Гс ху - Фа +Л1 +Ч'(а,р,у)У(1), ш(10) = ю0, (12) шз= а, " (13)

а = а хш, а(10) = а0, (14)

р=Р х5,Р(1,) = р0, (15)

у =у хю,"уО:0) =у0. (16)

Найден интегрирующий множитель невозмущенных уравнений движения (Ф=0, УеО) при некоторых предположениях относительно распределения масс гиростата и гиростатическо-

I

го момента. На основе полученных результатов обобщены утверждения разд.3.4 о стационарных флуктуациях тяжелого гиростата с закрепленной точкой в гауссовой случайной среде.

В разд.4.10 рассмотрено движение уравновешенного симметричного гиростата (твердого тела) с иеголономной связью с учетом пассивного демпфера колебаний. Аналитически и с помощью разработанного экспериментального программного обеспечения "СтГС-1" исследовано влияние пассивного демпфера на динамические флуктуации гиростата (твердого тела) с иеголономной связью. Показано, что наличие внутреннего трения в роторе демпфера уменьшает дисперсии угловых скоростей по сравнению со случаем, когда ротор вращается по инерции, с ростом внутреннего трения уменьшается время установления стационарного режима. Приведено точное условие эквивалентности стационарных флуктуаций твердого тела с иеголономной связью (без демпфера) при наличии есгесгвен-

ного внешего трения и твердого тела с неголономной связью, снабженного демпфером колебаний.

В заключении приведены основные результаты диссертаии.

Основные результаты диссертации

Итогом диссертационной работы является разработка статистической теории анализа нелинейных динамических флуктуаций гиростатов в случайных средах. Этот итог выражается в следующем:

• Разработаны стохастические механические модели движения гиростатов.

• Поставлена задача анализа нелинейных динамических флуктуаций гиростатов в случайных среде.

• Обнаружены точные решения этой задачи.

• Найдены новые динамические эффекты статистического характера.

• Получены выражения для предельно достижимой точности гиростатов в случайной среде.

• Выведены приближенные уравнения корреляционной теории динамических флуктуаций гиростатов.

• Проведено сравнение частных решений этих уравнений с точными решениями.

• На основе составленных стохастических механических моделей движения гиростатов разработано экспериментальное программное обеспечение для аналитического моделирования флуктуаций на ПЭВМ.

• Проведено аналитическое моделирование флуктуаций в ряде гиростатических систем.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Матюхип ,С.А,, Синицын И.Н. Стационарные флуктуации системы твердых тел, соединенных неголономными связями // Изв. РАИ. MTJ. 1996. N5. с. 9-12.

2. Матюхип С.А., Синицын И.Н. О стационарных флуктуациях уравновешенных гиростатов // Докл. РАН. 1997. т.354. N2. с.1-4.

3. Матюхин С.А. Распределения с инвариантной мерой в статистической динамике . астатических гиростатов // Материалы межд. конференции и Чебышевских чтений, поев. 175-летию со дня рожд. ПЛ.Чебыииева. - М.: Изд-во МГУ, 1996. с " '5-248.

4. Матюхин С.А. Приближенный анализ флуктуаци".. иггемы двух твердых тел, соединенных неголономной евл о // Тез. докл. научной конференции "XXI Гагаринские ~ния". Часть 5.-М.: 1995.

5. Pugachev V.S., Sinitsyn I.N.(Eds). Analitical research problems for stochastic systems// Pugachev V.S., Sinitsyn I.N., Korepanov E.R., Sinitsyn V.I.. Matyukhin S.A. IPI RAN. Preprint 1. 1995. 37p.

Список цитируемой литературы

1. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы // Анализ и фильтрация. -М.: Наука, 1990. 630с.

2. Мощук Н.К., Синицын И.Н. О стохастических неголономных системах// ПММ. 1990. т.54. вып.2. с. 213-223.

3. Moshchuk N.K., Sinitsyn . I.N. On stationary distributions in nonlinear stochastic differential systems. //Q.J. Mech. Appl. Math., 1991, Vol.44, p.571-579.

4. Синицын И.Н. Конечномерные распределения с инвариантной мерой в стохастических механических системах // Докл. РАН. 1993. Т.328. N3. С. 308-310.

5. Мощук Н.К., Синицын И.Н. Стационарные флуктуации тяжелого твердого тела с неподвижной точкой в случайной среде //ДАН СССР. 1991. т.320. N6. с. 1337-1339.

N

5 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.Ломоносова

механико-математический факультет

На правах рукописи Панкова Дарья Викторовна

УДК 62е). 78

РЕГУЛЯРНЫЕ И ХАОТИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СВЯЗКИ ДВУХ ТЕЛ НА ОРБИТЕ.

01.02.1. - теоретическая механика

Автореферат диссертации па соискание ученой степени кандидат а физико-математических наук

// {¿С

Москва - 1997 год

l'aöoia выполнена на кафедре теоретической механики механико-магематического факультета Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор В.В. Белецкий.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор А.П. Иванов, кандидат физико-математических наук A.B. Борисов.

Ведущая организация - Вычислительный центр РАН.

Защита состоится "18" апреля 1997 года в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 053.05.01 по механике при Московском Государственном Университете по адресу: 11989е), Москва, Воробьевы горы, Главное Здание МГУ, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан "18" марта 1997 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 0^.05.0! при МГУ,

цок-ор фичико-математических наук Д.В. Трещев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ. Актуальность темы.

В настоящее время ведутся многочисленные исследования космических тросовых систем различного практического назначения. В основе модельных расчётов лежит теория движения связки двух тел на орбите под действием гравитационных сил и сил другой природы (аэродинамических, магнитных и т.д.). Под связкой можно подразумевать двухсекционный спутник, спутник и зонд, соединённые тросом и т.д.

В последние десятилетия механики всё чаще обращаются к исследованию движения систем с соударениями, так как проблемы современной механики часто приводят к модельным задачам для таких систем. Особо следует выделить класс динамических систем, описывающих движение материальной точки в силовых полях с дополнительным условием ударного отражения материальной точки от ограничивающей поверхности. Такие системы получили название "динамических биллиардов". Оказывается также, что почти все динамические , системы имееют область так называемого детерминированного хаоса, который проявляется в определённых областях фазового пространства, а также в определённых областях значений параметров системы.

Наряду с развитием теоретических методов исследования систем с неудерживающими связями, одной из побудительных причин возрождения интереса к нетривиальным эффектам в динамике

подобных систем было широкое распространение ЭВМ. Использование ЭВМ позволило для исследования уравнений движения широко использовать метод сечения Пуанкаре, при котором интегрирование N-мерных уравнений заменяется итерацией соответствующего (N-1)-мерного отображения. В результате, оказалось возможным наблюдать за движением системы в фазовом пространстве в течение тысяч колебаний и анализировать эволюцию на больших временных интервалах при различных значениях параметров. Представляется весьма актуальным

v

применить иолоПный подход для изучения как устойчивых регулярных, так и хаотических движений орбитальных тросовых систем.

Цель работы.

В диссертации связка двух тел на орбите, соединённых гибкой нерастяжимой невесомой нитью, рассмотрена как динамический биллиард в плоской области. Это модель реальной технической проблемы. Основными действующими факторами являются гравитационный градиент и аэродинамическое давление.

Цель работы заключалась в том, чтобы при условии абсолютно упругого выхода на связь выявить многообразие периодических, регулярных (условно-периодических) движений, а также области хаоса; изучить эволюцию фазовых портретов с изменением параметров и их влияние на существование, устойчивость и бифуркации регулярных движений и на условия возникновения и существования хаотических движений.

Научная новизна.

Постановка задачи об орбитальной связке как динамическом биллиарде с регулярными и хаотическими движениями принадлежит В.В.Белецкому, является совершенно новой и впервые опубликована в докладе "Динамические биллиарды в прикладной небесной механике" XIX Научных чтений по космонавтике (Москва, 30 января - 3 февраля 1995г.) и в препринте [1]. В этом препринте, как и в остальных совместных работах [3], [5]-[7] автору диссертации принадлежат получение и анализ результатов, которые являются новыми и получены автором самостоятельно. В препринте [4] постановка также принадлежит В.В. Белецкому, а результаты и анализ их - совместно всем авторам. Основные результаты диссертации:

1). С помощью численной реализации метода точечных отображений Пуанкаре построено семейство фазовых портретов относительного движения "зонда" с абсолютно упругими ударами в системе типа "спутник" - "зонд", соединённых гибким, нерастяжимым невесомым фалом для чисто гравитационного случая, а также с учетом влияния аэродинамического давления.

2). Показано наличие областей хаотических движений для различных значений энергии и аэродинамического давления. Расчёт показателей Ляпунова позволяет судить о степени хаотичности траекторий.

3). Обнаружены многочисленные периодические траектории и рассмотрена эволюция основных периодических движений при изменении значений параметров задачи. Проведено аналитическое исследование однозвенных периодических траекторий типа "петли".

4). Показано, чю серийный расчёт фазовых портретов задачи позволяет судить об условиях существования, устойчивости и бифуркаций периодических I раекторий.

5). Исследованы безударные периодические движения связки, содержащие д\ ги свободного и связного движений для случая гравитационно-аэродинамического воздействия. Приведена их аналитическая теория.

Практическая ценность.

Полученные и диссертации результаты могут быть применены в проектировании и исследовании возможностей орбитальных тросовых систем. Орбшальный зонд, соединённый упругим тросом с летательным аппаратом - один из простейших примеров подобных динамических систем.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах механико-математического факультета МГУ, XIX Научных чтениях по космонавтике (Москва, 30.01.-03.02.1995г.), международном симпозиуме но анализу негладких динамических систем (Бад Хоннеф, Германия, 13.03.-17.03. 1995г.), на конгрессе 1С1АМ (Гамбург, 3.07.7.07. 1995г.)

Основные результаты диссертации содержатся в работах автора, перечисленных н конце автореферата.

Структура диссертации.

Диссертация изложена на 114-ти страницах и состоит ш введения, двух глав, разбитых на семь параграфов, приложения, заключения и списка литературы (34 наименования).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении даётся обзор работ, относящихся к теме диссертации и изложены основные результаты.

В первой главе диссертации рассмотрена задача о движении орбитальной связки двух тел - две точечные массы, соединённые гибкой безмассовой нерастяжимой нитью - как системы с освобождающей связью. Такую систему можно трактовать как некий динамический биллиард. Получены уравнения свободного и связного движения в случае круговой орбиты центра масс системы с учётом сил гравитационного градиента, аэродинамического давления, аэродинамического градиента и аэродинамического трения. Основными действующими факторами являются гравитационный градиент и аэродинамическое давление. Движение "зонда" относительно центра масс системы "спутник" - "зонд" может быть представлено как серия участков свободного движения между последовательными выходами на связь, т.е. при удалении "зонда" от "спутника" на расстояние, равное длине троса. Эволюция движения системы зависит от характера удара при выходе на связь. Уравнения движения кусочно-интегрируемы, что облегчает анализ и вычисления.

Во втором параграфе первой главы подробно исследован чисто гравитационный случай в предположении, что в момент выхода на связь происходит абсолютно упругий удар (регулярные движения в предположении об абсолютной неупругости удара рассматривались ранее В.В. Ьелецким и Е.Т. Непиковой)'. Множество траекторий движения с соударениями рассматривалось в фазовом пространстве и изучалась его структура. Четырёхмерное фазовое пространство в моменты соударений сводится к двумерному благодаря наличию фиксированною интеграла энергии и фиксированного значения одной из координа! (радиальной координаты). В плоскости - полярный угол и угловая скорость в моменты удара - фазовые траектории исследованы численной реализацией метода точечных отображений Пуанкаре. Результаты вычислений представлены серией рисунков для фазового и конфигурационного пространства для различных значений энергии. Каждый фазовый портрет строится при фиксированном значении константы энергии. Существенно, что в рассматриваемом случае значение энермш является единственным параметром, определяющим структуру фазового портрета. Подробно рассмотрено однопараметрическое семейство однозвенных периодических траекторий тина "петли" (с указанием необходимых условий устойчивости) и двухзвенная периодическая траектория типа "линзы". Численные исследования выявляют также разнообразные устойчивые п-звенные периодические движения наряду с условно-периодическими и

Белецкий В.В , Новикова Е.Т. Об относительном движении связки двух тел на орбите. Космические исследования, т.7 .Ч-\1<<6У

хаотическими и эволюцию "островов" периодических движений в "хаотическом море" с изменением энергии как параметра.

Важно подчеркнуть, что фазовые портреты несимметричны относительно оси абсцисс, т.е. линии нулевой угловой скорости. Это объясняется влиянием кориолисовых сил. Обратные (орбитальному) вращения более подвержены хаотизации, чем прямые. При отсутствии кориолисовых сил, как, например, в задаче о биллиарде в однородном поле тяжести, изученной В.В. Белецким, Г.В. Касаткиным, Е.Л. Старостиным" , такого феномена не наблюдается - фазовые портреты симметричны относительно оси абсцисс. Заметим, что в пределе при бесконечно больших значениях энергии мы приходим к случаю классического биллиарда в круге.

В третьем параграфе первой главы для чисто гравитационного случая изложена аналитическая теория безударных периодических движений связки, содержащих дуги свободного и связанного движения. Такие движения приобрели новый интерес после исследований А.П. Иванова"* , доказавшего, что при неупругом соударении эти траектории имеют области притяжения ненулевой меры.

Вторая глава диссертации посвящена изучению влияния аэродинамического давления на движение рассматриваемой системы с освобождающей связью.

" Beletsky V.V., Kasatkin G.V., Starostin E.L. The pendulum as a dynamic billiard. "Chaos, Solitons, Fractals". 1996. Pergamon, Oxford, UK, Vol 7, №8, pp 1145-1178.

А.П. Иванов. О безударных движениях в системах с неудерживающими связями. "Прикладная математика и механика", т.5б, вып. 1, 1992.

Влияние атмосферы на относительное движение связки двух тел на орбите рассматривалась ещё в 1972 году в работе Л.В. Докучаева и Г.Г. Ефименко"". В первом параграфе второй главы более подробно, чем в указанной работе, описана та часть задачи, которая касается геометрии фазовых траекторий и "зон срыва". Влияние аэродинамического давления относительно гравитационно-градиентного эффекта мало, если безразмерный параметр а аэродинамического давления по модулю много меньше 3; велико, если а по модулю много больше 3; и сравнимо с гравитационным при а по модулю порядка 3. Фазовый портрет связного движения имеет качественно различный вид при значении параметра аэродинамического давления а больше трёх и меньше трёх. В пределе при а—>0 следует и ранее изученный чисто гравитационный случай. Далее проведён анализ области колебательных связных движений.

Второй параграф второй главы посвящён поиску в рассматриваемой задаче гравитационно-аэродинамического воздействия периодических смешанных движений, содержащих дуги как связного, так и свободного движений с условием безударного схода и выхода на связь. Аналитически найдено однопараметрическое множество таких движений. Приведена соответствующая таблица параметров различных безударных движений.

Если система сошла со связи или начальные данные отвечают . несвязному движению, то система, как оказалось, обязятельно выйдет

Докучаев Л.В.. Ефименко Г.Г. Влияние атмосферы на относительное движение связки двух тел на орбите. "Космические исследования" т.Ю, в.1, 1972, с. 57-65.

на связь, и, приняв предположение об абсолютной упругости удара, можно проследить дальнейшую эволюцию движения.

В третьем параграфе в качестве примера движения аналитически получено множество однозвенных периодических траекторий типа "петли". Четвёртый параграф второй главы построен по аналогии со вторым параграфом первой главы и в нём исследуется структура и эволюция фазовых портретов при различных значениях константы энергии и аэродинамического параметра а. Таким образом, в отличие от случая первой главы, задача является двухпараметрической. Численными методами построено необходимое точечное отображение Пуанкаре и проанализированы две серии фазовых портретов соответственно для двух значений параметра а: 1) ¿7=2.0, 2) а=30.0. Первое из этих значений отвечает сравнимым влияниям аэродинамики и гравитационного градиента, второе значение отвечает влиянию аэродинамики на порядок большему, чем влияние гравитационного градиента. Каждый фазовый портрет, вообще говоря, изображает "море" хаотических траекторий, в котором взвешены архипелаги регулярных траекторий. Центры островов каждого архипелага соостветствуют той или иной устойчивой периодической траектории.

"Аэродинамический" биллиард при а, стремящемся к бесконечности, переходит в задачу о динамическом биллиарде в однородном поле, исследованную в упомянутой выше работе В.В. Белецкого, Г.В. Касаткина, Е.Л. Старостина. Приведены асимптотические аналогии. Это сравнение помогает, в частности, сделать некоторые выводы об устойчивости траекторий в "аэродинамической" задаче.

В задачах, рассмотренных в гл. 1-2 диссертации, связные движения всегда регулярны, и детерминированный хаос может возникнуть только в условиях схода движения со связи. Однако в более общих условиях и в более сложных силовых полях это не так, и хаотическими могут быть и связные движения. Так обстоит дело, например, для связного движения связки тел, если центр масс связки движется в поле двух притягивающих центров (например, Земли и Луны). Задача подобного типа вынесена в приложение к диссертации - рассмотрено вращение небесного тела в гравитационном поле двух центров как пример консервативной непрерывной системы, в изучении регулярных и хаотических движений которой отображение Пуанкаре также играет важную роль. Численными методами проанализирована также зависимость от параметров задачи коэффицента в усреднённом уравнении для отклонения от возможного резонансного вращения. "Обратные вращения" небесного тела возмущаются (вследствие влияния второго центра) сильнее, чем аналогичные прямые вращения.

В заключении кратко сформулированы основные результаты диссертации.

Работы автора по теме диссертации.

1. Белецкий В.В., Панкова Д.В. Связка двух тел на орбите как

динамический биллиард. М., Препринт ИПМ им. Келдыша РАН №7,1995,с.32.

2. Д.В. Панкова (Москва). Связка двух тел на орбите как динамический биллиард. Труды XIX Научных чтений по космонавтике (Москва, 30 января - 3 февраля 1995г.). Абстракт.

3. V.V. Beletsky, D.V. Pankova. Connected bodies on the orbit as dynamic billiard. WE-Heraeus-Stiftung-Seminar "Analysis of Non-Smooth Dinamical systems", 13-17 March 1995 at Physikzentrum Bad Honnef (Germany). Abstract.

4. Белецкий B.B., Воронцова B.JI., Коф Л.М., Панкова Д.В. Влияние аэродинамики на относительное движение связки двух тел. Часть 1. Регулярные движения. М., Препринт ИПМ им. Келдыша РАН №38,1996, с.32.

5. Белецкий В.В., Панкова Д.В. Влияние аэродинамики на относительное движение связки двух тел. Часть 2. Хаотические и регулярные движения. М., Препринт ИПМ им. Келдыша РАН №40, 1996, с.30.

6. Beletsky V.V., Pankova D.V.. Connected bodies on the orbit as dynamic billiard. Журнал "Регулярная и хаотическая динамика" Российской Академии Естественных наук, №1, 1996.

7.V.V. Beletsky, D.V. Pankova. Connected bodies on the orbit as dynamic billiard. ICIAM-95, Hamburg July 3-7 1995, Book of Abstracts.

8. Панкова Д.В. К задаче о резонансном вращении небесного тела в гравитационном поле двух центров. Вестник Московского Университета. Сер. 1, Математика. Механика. 1992. № 4.