Исследование стационарных движений твердых тел с абсолютно твердыми включениями

Джиоева, Мария Ивановна

Исследование стационарных движений твердых тел с абсолютно твердыми включениями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Джиоева, Мария Ивановна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Исследование стационарных движений твердых тел с абсолютно твердыми включениями»

Автореферат диссертации на тему "Исследование стационарных движений твердых тел с абсолютно твердыми включениями"

На правах рукописи УДК 531.391

Джиоева Мария Ивановна

ИССЛЕДОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДЫХ ТЕЛ С АБСОЛЮТНО ТВЕРДЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ

Специальность: 01.02.01 — теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена на кафедре высшей математики Московского государственного института радиотехники, электрогожи и автоматики (технический университет).

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук,

профессор Галиуллин Ильяс Абдэльхакович Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,

профессор Косенко Иван Иванович Кандидат физико-математических наук, профессор Зленко Александр Афанасьевич Ведущая организация: Вычислительный центр

им. АЛ. Дородницына РАН

на заседании диссертационного совета К 23Д.203.01 Российского университета дружды народов по адресу: г. Москва, ул. Орджоникидзе Ъ.Д4*-** Л/А.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов (117198, г. Москва, ул. Мшслухо-Маклая, 6).

Автореферат разослан "

Ученый секретарь диссертационного совета Кандидат физико-математических наук Доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы.

Теория стационарных движений механических систем является интенсивно развивающейся областью теоретической механики и восходит к известному трактату Э.Дж. Рауса [40]. Именно задача устойчивости нутационных колебаний волчка Лагранжа стала отправной точкой дальнейших исследований. Среди отечественных работ необходимо отметить книги В.Г. Веретенникова [3], A.B. Карапетяна [25], Д.Р. Меркина [26], BJB. Румянцева [28].

Динамика твердого тела дает обширный материал для приложения развитых методов изучения стационарных движений и в то же время создает базу эвристического характера для получения новых результатов. Необходимо отметить, вместе с тем, что в последние десятилетия сложился такой взгляд на эту ветвь механики, что наряду с абсолютно твердым телом следует рассматривать его естественное обобщение, а именно, гиростат; уравнения движения которого лишь одним дополнительным членом отличаются от классических уравнений Эйлера-Пуассона. Наиболее весомо этот взгляд утверждается в работах донецкой школы механиков [12], которым принадлежит ряд замечательных результатов по теории стационарных движений гиростата, в частности, его перманентным вращениям и регулярным прецессиям.

Определение регулярной прецессии восходит к трудам Л. Пуансо, Ф. Клейна и А. Зоммерфельда. Движения такого типа были долгое время известны для симметричных тел, и лишь в середине прошлого века итальянским математиком Дж. Гриоли [38], был открыт новый случай интегрируемости уравнений движения тяжелого твердого тела, который оказался регулярной прецессией несимметричного тела с осью собственного вращения, перпендикулярной круговому сечению эллипсоида инерции. Позже итальянский механик Э. Бентсик [36] установил существование аналогичного движения у тела в центральном ньютоновском поле. Среди исследований, посвященных поиску других случаев регулярных прецессий, следует отметить работы Р. Граммеля [15], М.П. Гуляева [16], Г.В. Горра [12,13], ВЖ Смотрова [30], в которых тело либо помещалось в поле с силовой функцией конкретного вида, либо она полагалась произвольной, подчиненной некоторым условиям.

Наиболее общий результат был получен в работе И.А. Галиуллина [11], где было дано описание всех существующих регулярных прецессий твердого тела в потенциальном пале с силовой функцией, допускающей разложение в рад Фурье, и как частные случаи были указаны все известные движения такого рода. Методологической основой этой работы стала теория обратных задач динамики.

Обратные задачи динамики всегда были предметом исследований классической механики. Более того, именно при решении обратной задачи об определении силы, под действием которой планеты совершают движение по законам Кеплера, были заложены основы векторной механики Ньютона. В это же время установилось понятие обратных задач динамики как задач об определении сил, действующих на механическую систему, если известны свойства движения этой системы. В дальнейшем, в аналитической механике Лагранжа-Гамильтона понятие обратных задач обрело более широкое содержание — наряду с задачами о построении силовых функций (задача Суслова) ставились и решались задачи об определении функционалов, принимающих стационарное значение в процессе движения механической системы (задача Гельмгольца), задачи построения уравнений движения по заданным свойствам движения (задача Горячева, задача Пуанкаре-Картава). Возможность моделирования многих прикладных задач в виде обратных задач динамики привела к тому, что само понятие обратных задач заметно расширилось. Появились задачи, в которых необходимо определить не только обобщенные силы, но и параметры механической системы, а также наложенные на систему связи, при которых возможно движение механической системы с заданными свойствами.

В настоящее время сложилось определение обратных задач динамики как задач нахождения активных сил, действующих на механическую систему, при которых движение с заданными свойствами является одним из возможных движений рассматриваемой системы.

Существует много работ, в которых сформулированы возможные постановки обратных задач и установлены довольно общие методы их решения. Оказывается, что если заданные свойства движения механической системы могут быть аналитически представлены как первые или частные интегралы соответствующих уравнений движения, то решение обратных задач динамики в общем случае сводится к построению дифференциальных уравнений по заданным их иитегра-

лам и к определению в дальнейшем из них искомых сил и моментов, параметров и связей, необходимых для осуществления движения рассматриваемой механической системы с предварительно заданными свойствами.

Обратная задача теории дифференциальных уравнений в виде задачи построения множества систем уравнений по заданным частным интегралам была впервые сформулирована Н.П. Еругсшым в работе [24], где был указан также и метод решения этой задачи.

Фундаментально обратные задачи исследовал А.С. Галиуллин. В его монографиях [6,7,8] и других работах задачи построения дифференциальных уравнений ставятся и решаются применительно к обратным задачам динамики и к различным задачам управления движениями материальных систем. Согласно разработанному им методу составляются необходимые и достаточные условия того, что заданные интегралы действительно образуют интегральное многообразие строящейся системы дифференциальных уравнений. Для осуществимости заданного движения рассматриваемой механической системы требуется также, чтобы удовлетворялись соответствующие начальные условия.

Методы решения обратных задач динамики в настоящее время широко применяются для изучения поведения материальных систем самой разнообразной природы, прежде всего, механики и физики.

В представленной работе решается обратная задача определения параметров гиростата и силовых характеристик поля, при которых возможен такой вид стационарных движений гиростата, как регулярная прецессия с заданными величинами угловых скоростей и угла нутации. Этому направлению посвящены первые две главы диссертации. Полученные результаты изложены в работах М.И. Джиоевой [18Д1].

предназначенный для их исследования, разработан ВТ. Вильке и наложен в его книге [4]; среди других работ в этом направлении отметим те, что посвящены движению вязко-упругого шара: работу В.Г. Вильке и Ю.Г. Маркова [5], а также (не вошедшую в диссертацию) работу автора [20].

Последние две главы настоящей работы развивают методы, разработанные благодаря взгляду на тело с полостью, заполненной вязкой жидкостью в соответствии со следующей моделью. Рассматривается твердое тело со сферической полостью, в которой находится другое тело сферической формы, и между этим абсолютно твердым шаром и стенками полости имеется узкий зазор, в котором содержится вязкое смазочное вещество. Такая модель — названная твердым телом с демпфером — была исследована в работах Ф.Л. Черноусы» [35] и В.В. Румянцева [29], затем обобщена в статье Н.Е. Болотиной и В.Г. Вильке [2], где рассматривались два симметричных тела (второе уже не предполагалось имеющим сферическую форму), наконец, исследования были продолжены в работах М.И. Джиоевой и Ю.Г. Маркова: для аналогичного спутника [19,22] и для тела о закрепленной точкой при условии слабой диссипации [23].

В них именно эволюционные процессы служат предметом изучения. Стационарные движения, являющиеся темой диссертационной работы, в первых двух главах представлены регулярными прецессиями. В двух других эти движения рассматриваются в случаях их осуществимости, когда два тела — внешнее и внутреннее — движутся как одно твердое тело. В отличие от первой части, где акцент сделан на проблеме описания всех возможных регулярных прецессий тела, во второй части проводится изучение эволюции векторов кинетического момента, а также исследуется устойчивость.

Перспективной областью исследований настоящей работы являются вопросы устойчивости прецессионных движений гиростата и обобщение постановки задачи о твердом теле, содержащем демпфер.

Цель диссертационной работы.

Целью работы является определение условий существования регулярных прецессий гиростата в потенциальном силовом поле, а также исследование эволюционных процессов твердого тела с неконтактным ротором как для спутника такого вида, так и для твердого тела с неподвижной точкой при условии слабой

диссипации в его взаимодействии с абсолютно твердым включением в полости, содержащей вязкую жидкость.

Методы исследования.

В работе используются методы построения уравнений программного движения, теория решений уравнений в частных производных, аналитические методы динамики твердого тела, а также методика усреднения уравнений движения по быстрым переменным и качественные методы исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, в том числе, методы теории устойчивости.

Научная новизна работы. Основные результаты диссертации.

В диссертации представлены следующие основные результаты, имеющие научное и прикладное значение: 1) получены лагранжевы уравнения движения гиростата в предположении, что углы Эйлера выбраны в качестве обобщенных координат; 2) решена обратная задача построения обобщенных сил, составляющих правые части уравнений движения гиростата и соответствующих силовому полю, в котором осуществляется регулярная прецессия гиростата; 3) в соответствии с постановкой задач восстановления определены параметры гиростата и силового потенциального поля, а также условия, наложенные на начальные значения переменных, при которых регулярная прецессия не только возможна, но и действительно имеет место; 4) осуществлен анализ формулы потенциала поля, в котором возможны регулярные прецессии гиростата, — с точки зрения различных комбинаций эйлеровых углов, входящих в эту формулу; 5) составлены уравнения движения относительно центра масс симметричного спутника с нскотактным ротором на круговой орбите и найдены стационарные движения; 6) проведено усредение уравнений по быстрым переменным и исследована устойчивость стационарных движений; 7) дана геометрическая интерпретация эволюции системы: построена траектория конца вектора кинетического момента системы "твердое тело — ротор"; 8) изучено движение неконтактного симметричного ротора в симметричном твердом теле в случае слабой вязкости: методом усреднения в канонических переменных Андуайе получены уравнения, описывающие эволю-

цшо движения системы "твердое тело - ротор"; 9) в случае динамического подобия проведено исследование устойчивости регулярной прецессии указанной системы.

Практическая значимость работы.

Системы, являющиеся объектом изучения в диссертационой работе, как правило, служат моделью, представляющей следующую ступень — после твердых тел — в приближении к реальности таких систем, как например, летательные аппараты. Рахетодинамика дает нам примеры систем, которые уже невозможно трактовать как твердые тела; другим примером являются спутники, имеющие полости с топливом различной степени вязкости, наконец, твердотопливные двигатели следует рассматривать как составные части спутников с управлением. Применение гиростатов в теории навигации и ориентации стало технически неизбежно, а регулярные прецессии гироскопов и гиростатов - известным и используемым видом их движения.

Построенная теоретическая модель может также использоваться в геодинамике. Известно, что исследование вращения вокруг центра масс затруднено сложностью построения высокоточной динамической модели Земли. С помощью асим-тотических методов механики и математического моделирования полученная эволюционная модель позволяет дать качественный анализ сложного динамического процесса, описывающего взаимное движение векторов кинетических моментов мантии и ядра планеты.

Апробация работы и публикации.

Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались в Московском Государственном университете им. Ломоносова на спец. семинаре по аналитической динамике под руководством проф., лауреата Государственной премии Демина В.Г. и проф. Татаринова Я.В. в мае 1989г., на Пятом международном симпозиуме по классической и небесной механике в Великих Луках (23-28 августа 2004г.), на ХЫ Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии в Российском университете дружбы народов (1822 апреля 2005г.), на ХЫ1 Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии в РУДН (20 апреля 2006г.).

Структура и объем диссертации.

Объем диссертации составляет 87 страниц, включая основной текст, четыре рисунка и список литературы из 40 наименований. Диссертационная работа состоит из введения, четырех гнав и заключения. В конце работы помещен список цитируемой литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность диссертационной работы, приводятся известные результаты, дается краткий обзор литературы, перечисляются основные результаты, методы получения решений, сформулированы цели и задачи, научная новизна, практическая ценность и положения, выносимые на защиту.

Первая глава диссертации посвящена методике решения обратных задач динамики на основе построения уравнений движения. Для голономной механической системы с тг степенями свободы задаются свойства программного движения вместе с первыми или частными интегралами, из которых составляется интегральное многообразие

(ц= 1,...,ттг<п), (1)

Система предполагается натуральной. Тоща уравнения движения можно записать в виде:

(м= 1,...,п). (2)

Условия существования движения с заданными свойствами получаются дифференцированием соотношений (1) в силу (2) и имеют вид:

^гаЛи^ • У) 4- ^хаАшр - д) + = Я, & ¿) (м = 1,...,т), (3) я я т

где — произвольные при с^ = 0, обращающиеся в нуль на интегральном многообразии П и тождественно равные нулю при с„ ф 0.

Далее в работе описанный метод применяется для исследования стационарных движений тяжелого гиростата, имеющего закрепленную точку О. С гиростатом 5о связан симметричный абсолютно твердый ротор 5'. Обратная задача

для такой системы решается в следующей постановке: определить параметры А, В, С, тп, хс, ус, zc, <?\,СГ2, <т3, а также с\, а, сз, при которых гиростат совершает движение с заданным свойством = const при каких-либо начальных значениях переменных.

Здесь А, В, С - главные моменты инерции гиростата для точки О, т - масса гиростата, хс, yc,zc- координаты его центра масс, сги сгд» ^з " проекции гиростатического момента на оси координат; Ci, сг, сз - постоянные интеграла энергии, интеграла кинетического момента и независисмого интеграла.

Вторая глава полностью посвящена описанию регулярных прецессий гиростата, состоящего из несущего твердого тела So и связанного с ним ротора - симметричного тела S', вращающегося вокруг своей оси симметрии, фиксированной в теле So■ Некоторая точка О тела So закреплена и является началом неподвижной OXYZ и подвижной Охуг системы координат.

Ставится обратная задача динамики определения параметров гиростата и силовых характеристик такого поля, в котором гиростат совершает регулярную прецессию с заданными величинами угловых скоростей и угла нутации.

Исследованы варианты зависимости потенциала позиционных сил U(ф, в, <р) от различных комбинаций эйлеровых углов.

l)U = const, 2)U = U(<p), 3 )и = и(ф), Л)U=U(d), S)U = U(9,<p), 6)U = U(rP,e), l)U = U{xl>t4>)t 8 )и = и(ф,е,ц>).

Третья глава называется "Спутник с неконтактным ротором на круговой орбите". Здесь в качестве объекта исследования выступает система, состоящая из твердого тела So массы то со сферической полостью радиуса а. В ней находится абсолютно твердое тело S' массы т' шаровой формы, h — толщина зазора (h а). Зазор предполагется заполненым вязкой жидкостью, так что тело S' названо вслед за авторами работ [35,29,2] демпфером.

Точка О в теле So является неподвижной. {OXYZ} и {Oxyz} - неподвижная и подвижная системы кординат. - углы Эйлера. Предполагается, что на

систему действуют внешние активные силы, производные от силовой функции С/(71,72,7з), где 7; (г = 1,2,3) - направляющие косинусы оси Z в подвижной системе; - а также внутренние силы вязкого трения между демпфером и стенка-

ми полости. Мощность диссипативных сил полагается равной

«¿(П*-оч)а, (4)

»=1

где Г2 и О — соответсвенно мгновенные угаовые скорости тел ¿о и 5'.

При исследовании движения такой системы получаем, что стационарным является движение всей системы как одного твердого тела с угловой скоростью ы — ^ вокруг неподвижной оси Я, которое описывается значениями:

а>1 = = 71 = 0, а/2 — Дг = О,

и>3 = Пз = 73 = 1. (5)

Здесь К ~ кинетический момент системы относительно точки О, Л - момент инерции системы относительно оси ¿7.

Полученные результаты служат основой для исследования движений симметричного спутника 5о с неконтактным шаровым ротором в сферической полости, когда центр масс С всей системы обращается вокруг притягивающего центра О по круговой орбите радиуса К. Момент сил взаимодействия двух тел относительно центра масс С принимаем в виде:

М\ = -Мг = - О). (6)

Здесь П и й> - абсолютные угловые скорости спутника и ротора, к - положительная постоянная.

Считаем, что невозмущенное движение системы представляет собой быстрое вращение спутника и ротора вокруг постоянных по величине и направлению векторов кинетических моментов Ке и ас, причем вектор кинетического момента Кс спутника направлен по его оси симметрии.

Целью является изучение эволюции этого движения под действием момента гравитационных сил притягивающего центра О и моментов Л/,- диссипативных сил. Задача решается в переменных Андуайе (I, (р) для ротора и (7, -ф) для спутника.

В результате получаем, что стационарное решение имеют следующий вид: С'1 = ^з = Л, /з = /а,

С~х1г = 73 = -Л, Н = -Ъ, (7)

С~хь = Л^Чг, ^з = 0, 1ъ = о, = ■Фг.

Здесь С - осевой момент инерции спутника, Ло - момент инерции ротора относительно одного из диаметров.

Далее рассматривается эволюция стационарных движений спутника в зависимости от направлений Кс и ас в начальный момент времени и анализируется вопрос их устойчивости. Выделяются различные частные случаи для напрвлений Кстлас~а величин угловых скоростей собственного вращения тел.

Для случая

« = л//| - Л = МО), Ъ = /.(0), » = 2,3. (8)

построена траектория конца вектора кинетического момента системы ас точки М в плоскости его движения.

Если к ф 0, то вследствие диссипации энергии переменные действия эволюционируют. С течением времени "центр" N траектории точки М стремится в начало координат - точку С'. Когда точка N совпадает с точкой С', точка М движется по скручивающейся спирали.

Четвертая глава. В этой главе рассматривается твердое тело 5о с неподвижной точкой О при слабой диссипации во взаимодействии с ротором 5'.

Исследуются эволюция векторов кинетических моментов, стационарные движения и вопросы устойчивости. Предполагается, что кэффициент к мал: к = £■^2(0), где £ <£; 1 - безразмерный малый параметр, 7г(0) — модуль кинетического момента внешнего тела в начальный момент времени.

Усредненные уравнения для переменных 1з и J3 имеют вид:

Л = /з/2_1 - 92 J3J21), ¿3 = -Л, (9)

-7i = cos 52 + ф2 = №- II) +

92 = cosДг + ^2 = [А"1 (Л2 - Л2) + C~lJl]J^.

Эти уравнения далее используются для исследования поведения вектора кинетического момента системы Go = Ко + о~о-

Возможные стационарные движения системы (при условии tp3 = = тг/2) имеют вид:

Aq1I2 = Л"1^, Д = О, Л = 0; Ло^а = A~XJ2, h = /2, = J2) г/2 = Л"1 J2, Л = 0, Л = J2; Л^1/, = Л"1'J2, h = Л = 0, (10) = Л"1 J2> (Л0 - C0)V<?o-1A = (Л - CJ^C"1 Ji, Д = 0.

Далее полученные стационарные движения исследуются на устойчивость. Первые четыре стационарных движения, указанные в (10), представляют вращения вокруг главных осей инерции с одинаковыми угловыми скоростями. Устойчивыми будут только такие вращения, для которых ось вращения является осью с максимальным моментом инерции для каждого из тел. Пятое стационарное вращение возможно только для динамически подобных тел и представляет собой регулярные прецессии тел с одинаковыми угловыми скоростями собственного вращения вокруг осей симметрии и прецессий осей симметрии вокруг однонаправленных векторов кинетических моментов тел. Здесь же исследуется устойчивость регулярных прецессий динамически подобных тел, когда система движется как одно твердое тело.

В заключении сформулированы основные научные результаты, полученные в диссертационной работе.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Березкин E.H. Курс теоретической механики. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1974. 646с.

2. Болотина Н.Е., В ильке В.Г. О взаимном движении симметричных твердых тел вокруг неподвижной точки И Изв. АН СССР. МТТ. 1985. № 1. С.53-58.

3. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука. 1984.320с.

4. Вильке В.Г. Аналитические и качественные методы механики с бесконечным числом степеней свободы. М.: Изд-во МГУ 1982. 118с.

5. Вильке В.Г., Копылов С.А., Марков Ю.Г. Эволюция вращательного движения вязкрупрушго шара в центральном ньютоновском поле сил // ПММ. 1985. Т. 49. Вып. 1. С.25-34.

6. Галиуллин A.C., Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г., Фурасов В.Д. Построение систем программного движения. М.: Наука. 1971. 352с.

7. Галиуллин A.C. Обратные задачи динамики. М.: Наука. 1981.144с.

8. Галиуллин A.C. Методы решения обратных задач динамики. М.: Наука. 1986. 224с.

9. Галиуллин A.C. Обратные задачи динамики тяжелого твердого тала с одной закрепленной точкой // Дифференц. уравнения. 1972. № 8. С.1357-1362.

10. Галиуллин И.А. Построение уравнений движения в квазикоординатах / Темат. сб. науч. тр. МАИ "Аналитические методы механики в задачах летательных аппаратов". М.: Изд-во Моск. авиац. ин-та. 1982. С.45-47.

11. Галиуллин И.А. Регулярные прецессии твердого тела с одной закрепленной точкой И Известия АН СССР. 1987. № 5. С.6-18.

12. Горр Г.В., Илюхин A.A., Ковалев А.М., Савченко АЛ. Нелинейный анализ поведения механических систем. Киев: Наук, думка. 1984. 288с.

13. Горр Г.В, Регулярные прецессии гиростата в центральном ньютоновском поле сил / Механика твердого тела. Киев: Наук, думка. 1972. Вып. 4. С.105-108.

14. Горр Г.В., Кудряшом Л .В., Степанова Л.А. Классические задачи динамики твердого тела. Киев: Наук, думка. 1978.296с.

15. Граммель Р. Гироскоп, его теория и применения. Т. 1. М.: Изд-во иностр. лит. 1952. 352с.

16. Гуляев М.П. О динамически возможных регулярных прецессиях твердого тела, имеющего одну закрепленную точку // Тр. сектора математики и механики АН КазССР. 1958. Т. 1. С .202-208.

17. Понтер Н.М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. Л.;М.: Гостехиздат. 1934.359с.

18. Джиоева М.И. Описание регулярных прецессий гиростата в потенциальном силовом поле // Известия РАН. МТТ. 2006. № 5. С.11-18.

19. Джиоева МЛ, Марков Ю.Г., Миняев И.С. О движении спутника с неконтактным ротором относительно центра масс на круговой орбите // Космич. исследования. 1989. Т. 27. № 3. С.457-461.

20. Джиоева М.И., Марков Ю.Г. К задаче о приливной эволюции вращений вязко-упругой планеты // БСосмич. исследования. 1990. Т. 28. Вып. 5. С.787-789.

21. Джиоева М.И. Регулярные прецессии гиростата в потенциальном силовом поле И Пятый международный симпозиум по классической и небесной механике. Август 2004, Великие Луки: Тез. докл., Великие Луки, 23-28 августа 2004г. / Москва-Великие Луки: ВЦ РАН, 2004. С.80.

22. Джиоева М.И. Эволюция вращений симметричного спутника с неконтактным ротором на круговой орбите И ХЫ Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Тезисы докладов. Секции математики и информатики. М.: Изд-во РУДН. 2005. С.60.

23. Джиоева МЛ., Марков ЮТ. Эволюция стационарных движений твердого тела с неконтактным ротором при слабой диссипации // ХШ Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Тезисы докладов. Секции математики и информатики. М.: Изд-во РУДН. 2006. С.61.

24. Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую // ПММ. 1952. Т. 16. № 6. С.659-670.

25. Карапстян A.B. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС. 1998. 168с.

26. Меркин Д.Р. Гироскопические системы. М.: ГИТТЛ. 1956. 300с.

27. Моисеев H.H., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука. 1965. 440с.

28. Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений спутников. М.: ВЦ АН СССР. 1967. 141с.

29. Румянцев В.В. К задаче об устойчивости движения сложных механических систем / Проблемы математики и механики. Новосибирск: Наука. 1983. С.185-195.

30. Смотров В.М. Регулярные прецессии твердого тела с неподвижной точкой в ньютоновском поле сил / Сб. научно-метод. статей по теорет. механике. М.: Высш. школа. 1977. Вып. 8. С.70-77.

31. Смотров В.М., Шульга П.М. Регулярные прецессии гиростата в ньютоновском поле сил / Сб. научно-метод. статей по теорет. механике. М.: Высш. школа. 1984. Вып. 15. С.104-107.

32. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.-Л.: ОНТИ. 1937. 500с.

33. Харламов П.В. Об уравнениях движения системы твердых тел / Механика твердого тела. Киев: Наук, думка. 1972. Вып. 4. С.53-73,

34. Харламова Е.И., Ковалева Л.М. Уравнения движения гиростата в ньютоновском поле сил / Механика твердого тела. Киев: Наук, думка. 1972. Вып. 4. С.92-98.

35. Черноусы» Ф.Л. О движении твердого тела, содержащего сферический демпфер // Ж. прикл. механики и физики. 1968. К® 1. С.73-79.

36. Bentsik Е. Su di un tipo di precessioni regolari per un coipo asimmetrico soggettto a forze newtoniane // Rendiconti Sem. mat Univ. Padova. 1968-1969. V. 41. P.252-260.

37. Gray A. Treatise on Gyrostatics and Rotation Motion. Theory and Applications. London: Macmillan and со. 1918. 530p.

38. Grioli G. Esistenza e detenninazione delle precessioni regolari dinámicamente possibili per un solido pesante asimmetrico It Ann. mat. pura ed appl. 1947. Ser.4. V. 26, fsc. 3-4. P.271-281.

39. Leimanis E. The General Problem of the Motion of Coupled Rigid Bodies about a Fixed Point (Springer Tracts in Natural Philosophy. Vol. 7). Berlin, Heidelberg, New-York: Springer-Verlag. 1965. 337p.

40. Routh E.J. The advanced part of a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies. P. 2. London: Macmillan. 1884. 343p.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Джиоева М.И. Описание регулярных прецессий гиростата в потенциальном силовом пале//Известия РАН. MIT. 2006. № 5. С.11-18.

2. Джиоева М.И., Марков Ю.Г., Миняев И.С. О движении спутника с неконтактным ротором относительно центра масс на круговой орбите // Космич. исследования. 1989. Т. 27. № 3. С.457-461.

3. Джиоева М.И., Марков Ю.Г. К задаче о прилетной эволюции вращений вязко-упругой планеты // Космич. исследования. 1990. Т. 28. Вып. 5. С.787-789.

4. Джиоева МЛ. Регулярные прецессии гиростата в потенциальном силовом поле // Пятый международный симпозиум по классической и небесной механике. Август 2004, Великие Луки: Тез. докл., Великие Луки, 23-28 августа 2004г. / Москва-Великие Луки: ВЦ РАН, 2004. С.80.

5. Джиоева М.И. Эволюция вращений симметричного спутника с неконтактным ротором на круговой орбите // XLI Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Тезисы докладов. Секции математики и информатики. М.: Изд-во РУДН. 2005. С.60.

6. Джиоева М.И., Марков Ю.Г. Эволюция стационарных движений твердого тела с неконтактным ротором при слабой диссипации // XLII Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Тезисы докладов. Секции математики и информатики. М.: Изд-во РУДН. 2006. С.61.

Подписано п печать /¿р дд Формат 60x84/16. Усл.печ.л. -1,0 Ъ\раж/С0 экз. Заказ (2.

Отпечатано в Отделе печати МГУ

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Джиоева, Мария Ивановна

Введение

Глава 1. Обратная задача динамики гиростатов

§1. Условия существования интегралов движения

§2. Стационарные движения тяжелого гиростата.

Глава 2. Описание регулярных прецессий гиростата —

§1. Лагранжевы уравнения движения

§2. Обратная задача регулярной прецессии гиростата.

§3. Гиростат в поле позиционных сил.

§4. Регулярные прецессии гиростата в потенциальном поле

Глава 3. Спутник с неконтактным ротором на круговой орбите

§1. Твердое тело со сферическим демпфером.

§2. Уравнения движения симметричного спутника со сферическим ротором на круговой орбите.

§3. Эволюция стационарных движений спутника.

Глава 4. Твердое тело с ротором при слабой диссипации

§1. Симметричное тело с неподвижной точкой при слабой диссипации во взаимодействии с ротором

§2. Эволюция кинетических моментов и стационарные движения

§3. Исследование устойчивости

Введение диссертация по механике, на тему "Исследование стационарных движений твердых тел с абсолютно твердыми включениями"

Актуальность темы и содержание работы. Теория стационарных движений механических систем является интенсивно развивающейся областью теоретической механики и восходит к известному трактату Э.Дж. Рауса [40]. Именно задача устойчивости нутационных колебаний волчка Лагранжа стала отправной точкой дальнейших исследований. Среди отечественных работ необходимо отметить книги В.Г. Веретенникова [3], А.В. Карапетяна [25], Д.Р. Меркина [26], В.В. Румянцева [28].

Динамика твердого тела дает обширный материал для приложения развитых методов изучения стационарных движений и в то же время создает базу эвристического характера для получения новых результатов. Необходимо отметить, вместе с тем, что в последние десятилетия сложился такой взгляд на эту ветвь механики, что наряду с абсолютно твердым телом следует рассматривать его естественное обобщение, а именно, гиростат, уравнения движения которого лишь одним дополнительным членом отличаются от классических уравнений Эйлера-Пуассона. Наиболее весомо этот взгляд утверждается в работах донецкой школы механиков [12], которым принадлежит ряд замечательных результатов по теории стационарных движений гиростата, в частности, его перманентным вращениям и регулярным прецессиям.

Между этими движениями тела различие достаточно условно. Например, при изучении регулярных прецессий симметричного спутника отмечалось, что таковыми эти движения являются в инерциальной системе, тогда как в орбитальной системе они являются состояниями равновесия - для стреловидного спутника, и перманентными вращениями - для симметричного тела на орбите.

Определение регулярной прецессии восходит к трудам JL Пуансо, Ф. Клейна и А. Зоммерфельда. Движения такого типа были долгое время известны для симметричных тел, и лишь в середине прошлого века итальянским математиком Дж. Гриоли [38], был открыт новый случай интегрируемости уравнений движения тяжелого твердого тела, который оказался регулярной прецессией несимметричного тела с осью собственного вращения, перпендикулярной круговому сечению эллипсоида инерции. Позже итальянский механик Э. Бснтсик [36] установил существование аналогичного движения у тела в центральном ньютоновском поле. Среди исследований, посвященных поиску других случаев регулярных прецессий, следует отметить работы Р. Граммеля [15], М.П. Гуляева [16], Г.В. Горра [12,13], В.М. Смотрова [30], в которых тело либо помещалось в поле с силовой функцией конкретного вида, либо она полагалась произвольной, подчиненной некоторым условиям.

Наиболее общий результат был получен в работе И.А. Галиуллина [11], где было дано описание всех существующих регулярных прецессий твердого тела в потенциальном поле с силовой функцией, допускающей разложение в ряд Фурье, и как частные случаи были указаны все известные движения такого рода. Методологической основой этой работы стала теория обратных задач динамики.

Обратные задачи динамики всегда были предметом исследований классической механики. Более того, именно при решении обратной задачи об определении силы, под действием которой планеты совершают движение по законам Кеплера, были заложены основы векторной механики Ньютона. В это же время установилось понятие обратных задач динамики как задач об определении сил, действующих на механическую систему, если известны свойства движения этой системы. В дальнейшем, в аналитической механике Лагранжа-Гамильтона понятие обратных задач обрело более широкое содержание - наряду с задачами о построении силовых функций (задача Суслова) ставились и решались задачи об определении функционалов, принимающих стационарное значение в процессе движения механической системы (задача Гельмгольца), задачи построения уравнений движения по заданным свойствам движения (задача Горячева, задача Пуанкаре-Картана). Возможность моделирования многих прикладных задач в виде обратных задач динамики привела к тому, что само понятие обратных задач заметно расширилось. Появились задачи, в которых необходимо определить не только обобщенные силы, но и параметры механической системы, а также наложенные на систему связи, при которых возможно движение механической системы с заданными свойствами.

Итак, обратными задачами динамики называются задачи об определении активных сил, действующих на механическую систему, при которых движение с заданными свойствами является одним из возможных движений рассматриваемой системы.

В настоящее время существует много работ, в которых сформулированы возможные постановки обратных задач и установлены довольно общие методы их решения. Оказывается, что если заданные свойства движения механической системы могут быть аналитически представлены как первые или частные интегралы соответствующих уравнений движения, то решение обратных задач динамики в общем случае сводится к построению дифференциальных уравнений по заданным их интегралам и к определению в дальнейшем из них искомых сил и моментов, параметров и связей, необходимых для осуществления движения рассматриваемой механической системы с предварительно заданными свойствами.

Обратная задача теории дифференциальных уравнений в виде задачи построения множества систем уравнений по заданным частным интегралам была впервые сформулирована Н.П. Еругиным в работе [24], где был указан также и метод решения этой задачи.

В представленной работе решается обратная задача определения параметров гиростата и силовых характеристик поля, при которых возможен такой вид стационарных движений гиростата, как регулярная прецессия с заданными величинами угловых скоростей и угла нутации. Этому направлению посвящены первые главы диссертации, полученные результаты изложены в работах М.И. Джиоевой [18,21].

Другое направление, представленное в диссертации и тесно связанное с первым идеологически и терминологически, продолжает исследования, объектом которых также служат твердые тела с включениями. В ряде случаев, в качестве таких включений может быть жидкость -идеальная или вязкая - заполняющая некоторую полость; соответствующий обзор подобного рода исследований содержится в книге Н.Н. Моисеева и В.В. Румянцева [27]. Заметим при этом, что имеется параллельное направление, изучающее вязко-упругие тела, существующие безотносительно к объемлющему твердому телу. Математический аппарат, предназначенный для их исследования, разработан В.Г. Виль-ке и изложен в его книге [4]; среди других работ в этом направлении отметим те, что посвящены движению вязко-упругого шара: работу В.Г. Вильке и Ю.Г. Маркова [5], а также (не вошедшую в диссертацию) работу автора [20].

Последние две главы настоящей работы развивают методы, разработанные благодаря взгляду на тело с полостью, заполненной вязкой жидкостью в соответствии со следующей моделью. Рассматривается твердое тело со сферической полостью, в которой находится другое тело сферической формы, и между этим абсолютно твердым шаром и стенками полости имеется узкий зазор, в котором содержится вязкое смазочное вещество. Такая модель - названная твердым телом с демпфером - была исследована в работах Ф.Л. Черноусько [35] и В.В. Румянцева [29], затем обобщена в статье Н.Е. Болотиной и В.Г. Вильке [2], где рассматривались два симметричных тела (второе уже не предполагалось имеющим сферическую форму), наконец, исследования были продолжены в работах М.И. Джио-евой и Ю.Г. Маркова: для аналогичного спутника [19,22] и для тела с закрепленной точкой при условии слабой диссипации [23].

В них именно эволюционные процессы служат предметом изучения. Стационарные движения, являющиеся темой диссертационной работы, в первых двух главах представлены регулярными прецессиями. В двух других эти движения рассматриваются в случаях их осуществимости, когда два тела - внешнее и внутреннее - движутся как одно твердое тело. В отличие от первой части, где акцент сделан на проблеме описания всех возможных регулярных прецессий тела, во второй части проводится изучение эволюции векторов кинетического момента, а также исследуется устойчивость.

Методы исследования. В работе используются методы постое-ния уравнений программного движения, теория решений уравнений в частных производных, аналитические методы динамики твердого тела, а также методика усреднения уравнений движения по быстрым переменным и качественные методы исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, в том числе, методы теории устойчивости.

Научная новизна. В диссертации представлены следующие основные результаты, имеющие научное и прикладное значение: 1) получены лагранжевы уравнения движения гиростата в предположении, что углы Эйлера выбраны в качестве обобщенных координат; 2) решена обратная задача построения обобщенных сил, составляющих правые части уравнений движения гиростата и соответствующие силовому полю, в котором осуществляется регулярная прецессия гиростата; 3) в соответствии с постановкой задач восстановления определены параметры гиростата и силового потенциального поля, а также условия, наложенные на начальные значения переменных, при которых регулярная прецессия не только возможна, но и действительно имеет место; 4) осуществлен анализ формулы потенциала поля, в котором возможны регулярные прецессии гиростата, - с точки зрения различных комбинаций эйлеровых углов, входящих в эту формулу; 5) составлены уравнения движения относительно центра масс симметричного спутника с некотактным ротором на круговой орбите и найдены стационарные движения; 6) проведено усредение уравнений по быстрым переменным и исследована устойчивость стационарных движений; 7) даю на геометрическая интерпретация эволюции системы: построена траектория конца вектора кинетического момента системы "твердое тело - ротор"; 8) изучено движение неконтактного симметричного ротора в симметричном твердом теле в случае слабой вязкости: методом усреднения в канонических переменных Андуайе получены уравнения, описывающие эволюцию движения системы "твердое тело - ротор"; 9) в случае динамического подобия проведено исследование устойчивости регулярной прецессии указанной системы.

Практическая ценность. Системы, являющиеся объектом изучения в дисссртационой работе, как правило, служат моделью, представляющей следующую ступень - после твердых тел - в приближении к реальности таких систем, как например, летательные аппараты. Ракетодинамика дает нам примеры систем, которые уже невозможно трактовать как твердые тела; другим примером являются спутники, имеющие полости с топливом, имеющим различную степень вязкости, наконец, твердотопливные двигатели следует рассматривать как составные части спутников с управлением. Применение гиростатов в теории навигации и ориентации стало технически неизбежно, а регулярные прецессии гироскопов и гиростатов - известным и используемым видом их движения.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались в Московском Государственном университете им. Ломоносова на спец. семинаре по аналитической динамике под руководством проф., лауреата Государственной премии Демина В.Г. и проф. Татаринова Я.В. в мае 1989г., на Пятом международном симпозиуме по классической и небесной механике в Великих Луках (23-28 августа 2004г.), на XLI Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии в Российском университете дружбы народов (18-22 апреля 2005г.), на XLII Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии в РУДН (20 апреля 2006г.).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в [18 -23].

Заключение диссертации по теме "Теоретическая механика"

Основные результаты диссертации

В диссертации представлены следующие основные результаты, имеющие научное и прикладное значение:

1) получены лагранжевы уравнения движения гиростата в предположении, что углы Эйлера выбраны в качестве обобщенных координат;

2) решена обратная задача построения обобщенных сил, составляющих правые части уравнений движения гиростата и соответствующие силовому полю, в котором осуществляется регулярная прецессия гиростата;

3) в соответствии с постановкой задач восстановления определены параметры гиростата и силового потенциального поля, а также условия, наложенные на начальные значения переменных, при которых регулярная прецессия не только возможна, но и действительно имеет место;

4) осуществлен анализ формулы потенциала поля, в котором возможны регулярные прецессии гиростата, - с точки зрения различных комбинаций эйлеровых углов, входящих в эту формулу;

5) составлены уравнения движения относительно центра масс симметричного спутника с некотактным ротором на круговой орбите и найдены стационарные движения;

6) проведено усредение уравнений по быстрым переменным и исследована устойчивость стационарных движений;

7) дана геометрическая интерпретация эволюции системы: построена траектория конца вектора кинетического момента системы "твердое тело - ротор";

8) изучено движение неконтактного симметричного ротора в симметричном твердом теле в случае слабой вязкости: методом усреднения в канонических переменных Андуайе получены уравнения, описывающие эволюцию движения системы "твердое тело - ротор";

9) в случае динамического подобия проведено исследование устойчивости регулярной прецессии указанной системы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты описывают условия существования стационарных движений для конкретных механических систем. Далее эти движения используются на устойчивость.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Джиоева, Мария Ивановна, Москва

1. Березкин Е.Н. Курс теоретической механики. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1974. 646с.

2. Болотина Н.Е., Вильке В.Г. О взаимном движении симметричных твердых тел вокруг неподвижной точки // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. № 1. С.53-58.

3. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука. 1984. 320с.

4. Вильке В.Г. Аналитические и качественные методы механики с бесконечным числом степеней свободы. М.: Изд-во МГУ. 1982. 118с.

5. Вильке В.Г., Копылов С.А., Марков Ю.Г. Эволюция вращательного движения вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил // ПММ. 1985. Т. 49. Вып. 1. С.25-34.

6. Галиуллин А.С., Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г., Фурасов В.Д. Построение систем программного движения. М.: Наука. 1971. 352с.

7. Галиуллин А.С. Обратные задачи динамики. М.: Наука. 1981. 144с.

8. Галиуллин А.С. Методы решения обратных задач динамики. М.: Наука. 1986. 224с.

9. Галиуллин А.С. Обратные задачи динамики тяжелого твердого тела с одной закрепленной точкой // Дифференц. уравнения. 1972. № 8. С. 1357-1362.

11. Галиуллин И.А. Регулярные прецессии твердого тела с одной закрепленной точкой // Известия АН СССР. 1987. № 5. С.6-18.

12. Горр Г.В., Илюхин А.А., Ковалев A.M., Савченко А.Я. Нелинейный анализ поведения механических систем. Киев: Наук, думка. 1984. 288с.

13. Горр Г.В. Регулярные прецессии гиростата в центральном ньютоновском поле сил / Механика твердого тела. Киев: Наук, думка. 1972. Вып. 4. С. 105-108.

14. Горр Г.В., Кудряшова JI.B., Степанова JI.A. Классические задачи динамики твердого тела. Киев: Наук, думка. 1978. 296с.

15. Граммель Р. Гироскоп, его теория и применения. Т. 1. М.: Изд-во иностр. лит. 1952. 352с.

17. Гюнтер Н.М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. JI.;M.: Гостехиздат. 1934. 359с.

19. Джиоева М.И., Марков Ю.Г., Миняев И.С. О движении спутника с неконтактным ротором относительно центра масс на круговой орбите // Космич. исследования. 1989. Т. 27. № 3. С.457-461.

20. Джиоева М.И., Марков Ю.Г. К задаче о приливной эволюции вращений вязко-упругой планеты // Космич. исследования. 1990. Т. 28. Вып. 5. С.787-789.

21. Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую // ПММ. 1952. Т. 16. № 6. С.659-670.

22. Карапетян А.В. Устойчивость стационарных движений. М.: Эди-ториал УРСС. 1998. 168с.

23. Меркин Д.Р. Гироскопические системы. М.: ГИТТЛ. 1956. 300с.

24. Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука. 1965. 440с.

25. Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений спутников. М.: ВЦ АН СССР. 1967. 141с.

26. Румянцев В.В. К задаче об устойчивости движения сложных механических систем / Проблемы математики и механики. Новосибирск: Наука. 1983. С.185-195.

27. Смотров В.М. Регулярные прецессии твердого тела с неподвижной точкой в ньютоновском поле сил / Сб. научно-метод. статей по теорет. механике. М.: Высш. школа. 1977. Вып. 8. С.70-77.

28. Смотров В.М., Шульга П.М. Регулярные прецессии гиростата в ньютоновском поле сил / Сб. научно-метод. статей по теорет. механике. М.: Высш. школа. 1984. Вып. 15. С.104-107.

29. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.-Л.: ОНТИ. 1937. 500с.

30. Харламов П.В. Об уравнениях движения системы твердых тел / Механика твердого тела. Киев: Наук, думка. 1972. Вып. 4. С.53-73.

31. Харламова Е.И., Ковалева Л.М. Уравнения движения гиростата в ньютоновском поле сил / Механика твердого тела. Киев: Наук, думка. 1972. Вып. 4. С.92-98.

32. Черноусько Ф.Л. О движении твердого тела, содержащего сферический демпфер //Ж. прикл. механики и физики. 1968. № 1. С.73-79.

33. Bentsik Е. Su di un tipo di precessioni regolari per un corpo asim-metrico soggettto a forze newtoniane // Rendiconti Sem. mat. Univ. Pado-va. 1968-1969. V. 41. P.252-260.

34. Gray A. Treatise on Gyrostatics and Rotation Motion. Theory and Applications. London: Macmillan and со. 1918. 530p.

35. Grioli G. Esistenza e determinazione delle precessioni regolari di-namicamente possibili per un solido pesante asimmetrico // Ann. mat. pura ed appl. 1947. Ser.4. V. 26, fsc. 3-4. P.271-281.

36. Leimanis E. The General Problem of the Motion of Coupled Rigid Bodies about a Fixed Point (Springer Tracts in Natural Philosophy. Vol. 7). Berlin, Heidelberg, New-York: Springer-Verlag. 1965. 337p.

37. Routh E.J. The advanced part of a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies. P. 2. London: Macmillan. 1884. 343p.