Изоконические движения в динамике твердого тела с неподвижной точкой тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ 11АУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

ВЕРХОВОД Елена Валентиновна

И30К0НИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ В ДИНАМИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВШЮЯ ТОЧКОЯ

01.02.01. - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата фивико-матеыатических ипук

Донецк - 1992

Работа выполнена в Институте прикладной математики и ме хаишш АН У крайни.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Г. В. Горр

Официальные оппоненты: доктор фиашсо-математических наук,

профессор. • А. Я. Савченко

доктор физико-математических наук,

профессор А. Г. Сокольский

Ведунья организация : Шсковский авиационный институт.

1902г. в /гч

Зашита состоится " " _1992г. в ' и__час.

|щ васедании специаливнровшшого совета К 016.46.01 по присуждению,ученой степени кандидата физико-математических наук при Институте прикладной математики и механики АН Украины по адресу: 340114, г. Донецк - 114, ул. Ровы Люксембург, 74.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотек« Института прикладной математики и механики АН Украины.

Автореферат разослан " " 1992г.

Ученый секретарь специалиаированного совета

кандидат физико-математических иауй - Марковский

ОППЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАГОШ

Диссертационная работа посвящена исследовании условий су • шстрования иаоконических двитений гиростата в обостренной па диче динамики твердого тела.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕИН. В моделировании двияеииА реальных объектов современной техники широко нспольвуется модель абсолютно твердого тела (в более общем случае гиростата или системы связан ни* твердых тел). Расчет самолета, корабля, вагона не обходится бев испольвования утоЯ модели. Задачи динамики твердого тела вовншодаг в исследовании спутниковых систем, гироскопических приборов и других прикладных областях теоретической механики. Практическая важность разработана в динамике систем твердых тел и их теоретическая сложность определяет ряд актуальных научных направлений. Среди них по-прежнему видное место нанимает вадача о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой и различные ее обобщения.

Достигнутые к настоящему времени успехи в изучении задач динамики твердого тела и ее обобщения обусловлены применение« рпвличных современных методов исследования. Однако дата я сравнительно простых задачах динамики не построены общие рыдания, в которых были бы сохранены все допустимые виаченкя. Наиболее просто ¡юто найти важные для практики стационар;:;.-? режимы, постольку в этом случае вместо ди^ренциалышх уравнении приходится научать систему конечных соотношения. Когда з системе можно ввести малый параметр, то успешно работает ютод ¡¿алого параметра 1Ь мнению многих ученых (Ф. КляПн, Л.Зокмэр-ф«льд, П. а Харламов И другие) единственная возможность исследовать движение тела в общем случае орновнвается на анпдив? отдельных классов точных решений. Число таких решений к настоящему времени в классической вадаче динамики достигло 21, п г раяличннх ее обобщениях оно растет непрерывно. Причем вя достаточно длительный промежуток времени, начало которого моию отнести к моменту создания Л. Эйде, ом уравнений двитачнп (17БЗ г.), а конец к пптидесятьм годам нашего столетия, то есть ва двухсотлетний период было построено лишь 1Й реиениЯ.

Развитие динамики твердого тела в последние десятилетия спяаано, в первую очередь, о исследованиями Я В, Харламова!

нолмьпясь на теории С. Л. Чаплнгина о частник интегралах i¡ нред-лож»шюм Л. Пуанкаре и Т. Лепи Члпитз определении шжариантного соотношения, IL В. Харламов дал конструктивное определение инвариантного соотношения и предложил метод его нахождения. О помогаю этого метода обобщены многие ип найденных ранее и построены полис г,лапой решений ( П. R Харламов, К. И. Харламова, А И. Докгоепич, В. И. Коносевнч, Б. В. Повднякович, Г. R Мооалевпкая, и другие).

Особенно принципиальным результатом в работах II R Харламова является развитие метода годографов. Л. Пуансо при формулировке своей теоремы о представлении движения телп качением fjon скольжения подвижного пксоида угловой скорости по неподвижному, отмечет, что во всех аналитических решениях мм видим только вычисления беэ ясной картины движения, в то время как хотелось бы наблюдать его и следить en ним в течение всего еремени. Известно, что этого сам Пуансо добился В истолковании решения Л Эйлера. Теорема Пушюо много лет не находила применения и только в 1965 году И. R Харламов нашел новые кинематические уравнения. Это но?полило получить прямое кинематическое истолкование движения тела во многих случаях интегрирурмости (II. И. Харламов, К. И. Харламова, Г. В. Горр, А. А. Илюхин, А. М. Ковалей, А. Я Савченко, R И. Коносевич, Е, Р. Швднякович, Г. R Мовалевская, R С. Елфимов, Л М. Ковалева, 1L М. Бурлака, R И. Коваль, Б. К. Сергеев, И. IL i'awjHtrHKu и другие).

11а базе проведенных исследований единственным обраэом IL R /Харламов ввел понятие полного решения. . Под полным решением (в смысле Л. Пуансо, Г1 В. Харламова) в динамике, твердого тела понимают такое решение вадачи, в котором! проведено не только' аналитическое исследование, но и получено кинематическое истолкование дтшжения методом годографов.

К настоящему времени для построения Полного решения разработан алгоритм eró численного получений и сопдапн фильмы, демонстрирующее движение некоторых гироскопов ( Л. IL Харламов, М. П. Харламов, R И.Itoaaab, Е. Я. Сергеев),

В методе годографов выделился весьма важный класс изотонических движений гиростата с неподвижной точкой, для которого не проведены исчериытшняе исследования условий их существования как в 'классической выдаче, так и в обобщенной ва-дчче динамики гиростата.

- ь -

ЦЕЛЬ РШЧ'И состоит Ь научении условий оушрстнопашы |ши-конических длиж^ний гиростата в ненодтшной точкой в оЛобцрн-»011 иядачо динамики.

Ш'ОДИКА ИПОЛКДОЬАНИЯ основана на методы иш>ариан?ии* соотношемий ойыкноьышмх дшцюронциальных уравнений И метода годографов прямого кинематического истолковании дшш-.шм гиростата.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертационной работе получены следующие ревульть'Гы:

- раошгга методика исследования иаоконичеокик днимений, установлены условия существования шюконичееких' двидений гиростата и обобщенной ¡задаче динамики, которые характеринуюгся перним слоем соотиетствумщ.ти инньриантного соотношения;

- получены новые классы шюконичееких днилений и реиеПии Кирхгоф- Харламова; <

- изучены условии суи^опюна/шя ирецессионно ¡шоконнчес-них движений гиростата и оОоСлниШЮй надачо динамики;

- найдены два нопих случаи интегрируемости уравнений дви-л:ния н оОоГяцсиной аацаче, которые описываит классы процессы-онио изоконических движений И характеризуются либо нолурегу-.лнрной прецессией второго типа, лиОо прецессией общ.!!'.'/ вида;

-■ научены условия существования нгюконичаских движений гиростата н одном классе шншномшш.них решений уравнений ДЬИ-КеНИЯ;

- НолуЧЫШ ДВа нових случая интегрируемости уравнений поогненней вадачи динамики, обладмшцие квадратичным инвариантным соотношением.

ИРАКТИЧЬСКА;1 НКШЬхЛ'Ь. Получению в работе результаты ими»»!1 теоретическое значение, на практике они могут Лить применены в кинеыитическом истолковании двилешы, в частности, и классификации ьошюших ачиюн движения.

АПРОБАЦИЯ РАГкУШ. Основные результаты . диссертации Сшш доложены на Республиканской конференции "Динамика твердого тела и устойчивость движения" (Донецк, 1090), на Республиканской научно-техническом семинаре "Нашит.» методы и вадачах механики, устойчивости к унрашшшш" (Казань, 1^00), на XVI научных чтениях по космонавтике (Ьооква, 1 !№£!).

11УИЛИНЛ1ЫЙ. Но теме диссертации опубликовано 7 раПчт.

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. 1-аЛоч'н состоит ш) пяти гнав, вак-

- б -

¿¿Hütuiu, списка литературы nu ü'J наименований и содержит 140 î: границ машинописного гексга. !

VOMPSAtm ДИССЕРТАЦИЯ

i

Л первой главе рассмотрим актуальность тематики, истории toupoca, предмет и метод наследования, дана краткая характеристика диссертации.

Вторая глина iiocBnnsetta постановке ведачи oö условиях су-tpoïBofiiiiiiiH иьоконических дьилшшй гиростата с неподвижной точкой в обиОшенной аадече динамики.

Рассмотрим дmurmle еаряллшого намагниченного твердого •гела с нвнодьилдой точкой 0 и ноле потенциальных и гироскопических сил. Оси симметрии нолей совпадают и определены «¡ектором V . Потенциальные силы воаникадл' при _виаимодейот : bsm алектричеоких аарадон с электрическим полем H с H V и ньютоновским нритнжинии масс тела с центром 0 • При атом цантры кулоновекого и ньютоновского притязаний ле«ат на иен, проходящей череа вектор \> . Гироскопические силы возникают при лоренцовом воздействии магнитного поли на движущиеся в пространстве электрические ьаряды (предполагается, что в теле токи отсутствуют) и циклических движениях и тела-носителе роторов симметричной формы, не несущих электрические ааряди. При определенных допущениях (магнитное поле постоянно, раомеры тела малы по сравнению с ршх'гошшем ме.зду неподвижной точкой н центрами кулоноиского и нышгонпвекого пригнжений) уравнения движения гиростата с неподвижной точкой шгут быть вышешш в

Ч1Д0 ^

Ай) » (A£»+>-)*dù + <ъ* V Sxv> VK Cv, (1)

V « v> * ¿5. . а)

imi уравнения допускам три первых интеграла

Аы- ¿ù - 2,С5ч>) + Cv-v - 2Е, UAcIKÄ).V - Ьуу «fifc. ; _ (3)

Ii (l)-(Ö) Приняты следуидие оОовначения: +

<c03k сектор угловой скорости; V (S^V^)-

liôKïop верш«лли; X в ( Х} , ^ j) - вектор гнростагического киньжта, характериауиций движение внутренних роторов; £>=( i

)- вектор обобщенного центра масс; А . В . С . симметричные матрицы: матрица А - тензор инерции гиростата, матрица & харастерияует лоренцево воадействие, матрица определяется ньютоновским и кулоновскнм притяжениями.

Задачу о движении гиростата, описываемую уравнениями (1), (2) называют обобюрнной задачей динамики. Она моиет быть так названа не только потому, что например, при 0 , 0 , С^ 0 получим классическую вадачу о движении тпиэлого твердого тела.но и в силу установленного Х.КЯхьей и Л Н. Оревккной математического изоморфизма уравнений двикения тела в говдюсти и уравнений (1),(2). Отметим, что иаоморфивм в частных случаях отмечали В.А. Отеклов и II а Харламов. Иногда уравнения (1),(8) называются обьединяюними уравнениями.

Диссертационная работа посвящена исследованию условий су-вкствования иэоконических движений - двииений, для ютторых подвижный и неподвижный годограф вектора угловой скорости симметричны друг другу относительно касательной к ним ллостос-ти (рис. 1).

а\ (Ц)

Если через С. обозначить единичный, вектор, неизменно связанный с телом, то свойство ивоконичносри мотаю охарактеризовать инвариантным соотношением

<£>■ (V- с) -0.

- о -

1к>-видимому впервые иьоконические движении в динамика рассмотрел Р. <1абрн, установив их суа^зствование в известном ре-шнии Е А. Отеклова. Методом годографов это свойство получено Е. И. Харлашьой, Г. Е Моаалевской. Кроме помеченного случая ива-конические дшшйния в настоящее время обнаружены Г. Е Горром и IX П. Вархалевым ь решения* X Лагранжа, Л Е. Чуковского, в решении Гесса-Сретенскпго, в решении Д. Гриоли они найдены Е. И. Харламовой. Все эти исследования относятся к классической задаче о дьижении гиростата с неподвижной точкой в поле силы тяжести.

Во второй главе диссертации рассмотрены условия существовании инвариантного соотношения (4) у системы (1), (;;) ■ Согласно методу инвариантных соотношений вычислены первая и вторая производные от (4) в силу (1),(2) и та>сим образом, привлекая (3), имеем шесть алгебраических соотношений на шесть переменных. Требование того, чтобы они были еависимы дает некоторые условия на параметры задачи, которые и являются условиями существования нэокоиических движений в обобщенной задаче динамики. Напрмер, первая производная от (4) в силу (1),(2) имеет вид

[(Абй+л)*^ Вй+5*\> + \> * (йд~а С.) — (Б) где (Х- А -В диссертации рассмотрен случай первого слоя инвариантного соотношения (4) (по IIЕ Харламову). Это значит, что (6) выполняется на инвариантном соотношении (4). Последнее параметризован» следу клуш образом

¿и ¿а) (?*£) у а) (ух с). 16)

В результате приведенных вычислений во второй главе получены еледумцие условия

с^с^,

при выполнении которых (4) нвлиется инвариантным соотношением первого слоя для уравнений (1),(2).

Покивало, что равенства (?) дамт частный случай интегри руешсти в решении Кирхгофа-Харламова. Если положить У 0 , С - (-15> то имеем мастный случай решения Ж. А Лагранжа. (>

- и -

диссертации при условиях (7) аадача сведена к квадратурам и покааано, что подвижный годограф не является плоской кривой (в отличие от юшссического случая).

В третьей главе научены условии существования изоконичус-ких движений в решении Кирхгофа-Харламова. Поскольку этот глаио движений в данном решении не пустой, о чем сказано выю, то представляет большой интерес найти все изоконичеасие движения. В диссертации установлено дьа клисаа нноконичесчшх движений в решении Кирхгофа-Харламова-. Первый класс имеет место при выполнении условий

2АД-А<В,*Ь>°» Л1 А,-с,АаВ4-КАг-А,)-о,

+ (ЛсЛА2)/А4. (В)

Условия существования второго класса такови

, м:!, А.кЧуаоС^-с,)] ) Сга о ^с,-а0)(1-&гао) I

Таким образом н случае (8) обобщено решение, указанное во второй главе. При выполнении (У) имеет место дополнительно регулярная прецессия гиростата. В общем случае задача исследования ияоконических: движений в обобщенной задаче динамики представляется весьма «ложной (она не решена дазло в классическом варианте). Поэтому в четвертой главе рассмотрены условия существования иаоконических движений при выполнении дополнительного свойства прсцссеионности движения гиростата. Такие движения нваваны прецоссионно квоконическими.

Прецессионные движения твердого тела нмеит наглядный механический смысл и находят широкое применение о важной для техники теории гироскопических систем. Регулярная прецессия гироскопа Лаг ранка служит классическим Примером прецессий в задаче о движении тяжелого твердого тела. Начало систематическому научению условий существования прецессий в различных ва-дачах динамики положили Г. Г. Лнпельрот и Д. Гриоли. В дальнейдаы и этом направлении получены многочисленные результаты. Одна-

ко в общем случае проблема прецессионных движений твердого тела с неподвижной точкой не решена даяе I) классической задаче. Существенным этапом гак в изучении прецессий, так и с исследовании условий существования иооконических движений служит несомненно рассмотрение класса прецессионно иэокони-ч^ских движений.

Пусть движение гиростата является прецессией относительно вертикали V (угол между единичным вектором IX , неизмен-• но связанным с телом, и векторой V постоянен в течение всего времени движения). Тогда имеет место инвариантное соотношение

V • а = а0, _ ^ (Ю)

где 0.0 - 0О ( 0о - угол между а и V . Производная от (10) в силу (2) дает сО-Сб-У.) ~ 0 , или

Положим а -(0,0,1), V -(а.'оЫпи{ , , а„ ),

тогда из (Я),(3),(10) ,(11) вытекает, что То есть

со = + (|>- V . (1г)

В четвертой главе диссертации предполагается, что движение тела является ирецессионно изоконическим, то есть у системы дифференциальных уравнений (1),(2) существуют инвариантные соотношения (4) ,(10) (или (1?.)). При подстановке (12) в (4) получим

ф (а0-ас) + V-с) =0. {13)

Вектор С без ограничения общности зададим так С.= (С.

7_ 1

и, С . где с ♦ С3 . В диссертации рассмотрены случаи, когда прецессионное движение является регулярной прецессией, пол'урегулярной прецессией и прецессией общего вида.

Пусть - н. , »|>- = их , где и_ и »г постоянные, тогда из (13) следует, что С = а " и условия существования прецессионно иооконических движений можно получить из условий существования регулярных прецессий, ус-•тановленных !'. К Горром и Л II Курганским, положив в них п~т- .

Если прецессионно пзоконическое движение является полурегулярной прецессией первого типа : па , Ср Сопз! , то

- и -

ка (13) «ьиеи

<| - ГЛ-С& V ее биг^), | (14)

* а. -с, ' а„-с,

Условия сущестеования полурегулярных прецессий в случае, ¡шгда скорость собственного враияния имеет ' вид (11) получена Г. В. Цовалеьской и Л. Н. Орешкиной.' Если потребовать, чтобы дополнительно выполнялось условие ь ^ - 4 0. ^ . то получим условия существовании прецессионно иескшшчеекил' дни линий при условии »Н1.

Пусть прецессионное движение являетси прецессией второго тина, тогда с^ = ¿и , и ив (13) инеем

Г к (1Б)

Й четвертой главе полностью решен Випрос об условиях су-цустьовашы ирецессионно иаоконических двизпениИ с иолурегу-лярной прецессией второго типа и получен нопый случай интегрируемости уравнений (1),(2).

Предположим, что прецессионное дьилеиие является процас-1;И&Я общего вида, то есть ни одна ив величин <|> , не

ййляотся постоянной. В четвертой главе рассмотрении етого случая привело к новому частному реиению уравнений (1),(2)

£>-<{•(а* 0), V = (а'аа'0сощ>,а,), у./си ¿¿¡ж?,( 1б,

где

* А„(С11-С1>)](А„-А,!);

Б диссертации научено сведение аацачи к квадратурам а {зависимости от значений параметров й и & и выписаны уравнения, онредолшодие подвишыД годограф вектора угловой скорости. Таким обравом, в четвертой главе при рассмотрении прецессионно иаоконических движений получено два новых случая интегрируемости уравнений (1),(2). Аналогов ¡.тих случаев а классической выдача динамики не существует.1

В пятой главе научаются условия суаествовшш иаоконичзо-

7)

(1ÖJ

- \'¿ -

|.ял дыш.най i) одна« luiuccu полиномиальных уравнении ( I ), ( i-'J • 'Лот mítico не лышетси пустым, тик |иш иавестно, что в решении В. A. Стеклова движение -¡ела обладает сьойствоы иьоконичпости.

IlyeiL, в уравнениях (1),(2) uarpiuiu Ё> и С. iiwem' диагональный ыщ, Х-Сх.,0, ü) . 6-(-i, 0, 0) ; Тогда уравнения движении (Г),(2) и шнырили (3) таковы

А,4 - САГ А/)гр- х-м В^Ч- t^yj. ^(С,-^,

Адг - С А,- At)|'н <4 * MtP" M'f(c-i~ * "<J > - f»^ - '1 > - ty ~ К .

- ^Л < • J К - U:, Ч ( At p V J ) V,, IA11| V)

ft диссертации иостаьлин вопрос иосведаьинии условий су-liMiJtaouaHHrf иьокоиических дшмньй в случае, когда основные luipeueiiiiuo ьадачн имеьт вид

--Qip) « Д ^-ß-ipb^c.p1.,

it (lüi v;~ifCp>« /4P» V f <P>> v)i~ гЯ 'P1»

h,

yip) - 2: е. р\ =>* с р) - ij-p'. 1-0 í-f' i'(jj.iJln,L! 1|£)01»ПШЧНч1Л II Uuil'i'O £ ВИДЬ

(р-с*)^ V -, >,л>, -о, (20)

tu «¡tjifc lipüÄiiojiaiutiTi;«, 41'и lifch'iop С коллипеарен вектору сооП^нного центра nace (такое условна иштоничаости ылюлнн-<íjch, в случаи в. А.Отекювц), Впитой главе- для ре

¡m-iihíJ VHiia ПО) уравнений (Ii ,(2) поставлена и полностью реше « i iiiviii'iii uö условиях cya»jCTüOiiaiuw ивокопических дьнд^иий .H'iii'l.lbSM, 410 oui! оуц^ствуит только ь двух случаях.

- 13 - .

«лучим. Н.Ср)«(С,р С,)р, С? г р> - С Ь, р.

(|У) ев, (р) * , ч>(р) « 0,(3 а„.

случая г. - е,р + е0, эе(р) « ?„р ► е0, <?<!» - ^рЧ ¿,р - «>„, Р>( р)" с,р>У.с<р *с0> (я?)

НЧ " /сбГр^С()) .

К(х>ме того, в диссертации доказано, что решениями В. А. Отекливэ, Л. Н. Горячева, 11 Ковалевского исчерпывается псе ретения классической задачи в классе решений (10). Ранее этот 1<о?ультат II. В. ХпрлпМоп сформулировал для случая существования кпопратичного инвариантного соотношения.

Основные результаты, выносим« на еашиту:

1. Установлены условия существования ивоионических движений гиростатов в обобщенной яадаче динамики с первым слоем инвариантного .соотношения,

2. Получены новые массы изокоиичесКих движений в решения Кирхгофа-Хгфламоря.

Я. Найдены два новых класса прецессионно ивоконичеаш движений в обобщенной задаче динамики. Первый класс характеризуется нолурогуляряой прецессией второго типа, второй - пре ■ нчсеией общего вида.

4. Изучены условия существования изотонических движений гиростата в одном классе полиномиальных решений. Получены два новых случая интегрируемости уравнений обобщенной палачи динамики с квадратичными инвариантным») соотношениями. '

- 14 -

Основные результаты опубликованы в следующих роботам:

1. йерхопод Е. & , Горр Г. а Один класс изотонически* движений в динамике твердого тела с неподвижной точкой// Механика твердого тела.-1990.-Вып. 22.-С. 3?-38. Горр Г. В. , Бырхалов Ю. П. , Верховод Е. П. Применение ЗШ в исследовании условий существования некоторых классов движений тве|>дого тела с неподвижной точкой//й кн,: Машинные методы в задачах механики, устойчивости к управления. Тезисы докладов Республиканского научно-технического семинара. -Казань. -1S9Q. -С. ББ.

3. Верховод Е. В. 00 ичоконических движениях твердого тола в решении Кирхгофа// Tea. докл. респ. конф. "Динамик твердого тела и устойчивость движения".-Донецк.-1990. -С. С.

4. Верховод Е. В. Иеоконические движения в одном -ревекки обобщенной задачи. динамики// Механика твердого теда. -1992. -Вып. 24. -0. Б-9.

Б. Верховод Е. В. Прецессионно изотопические двишнил твердого тела с неподвижной точкой// Исследование прецессионных и управляемых движений твердого тела.-Донецк.-1992.-С. 1-11. ~(Преп. АН Украины, Ин-т прикл. мате матики и механики, N92.08.).

В. Горр Г. В., Мзэнев A. R , Верховод Е. Е Новые ре б? п.: я обобщенной вадачи динамики твердого тела// Тевиом докладов XVI научных чтений по комонавтике.-Ммсква.-199". -С. 13.

7. Горр Г. В., Мазнеп А. Е , Верховод Е. В. Новыо реке кия оОобьтенной вадачи динамики твердого тела// Доклады АН Украины.Сернп Л. Сив.-мат. и техн. науки.- 1992,- КП.-С. 150-64.