О существовании интегрального инварианта в задачах о качении без скольжения твердого тела тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. Ломоносова

р д г^еханико-математический факультет

2 6 ДПР '

На правах рукописи ЯРОЩУК Валентина Александровна

УДК 531.01

О СУЩЕСТВОВАНИИ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИНВАРИАНТА В ЗАДАЧАХ О КАЧЕНИИ БЕЗ СКОЛЬЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

01.02.01 — теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель г

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Я. В. ТАТАРИНОВ

МОСКВА — 1992

Работа выполнена в Московском государственном уни ворситете им. М. В. Ломоносова на механико-математи ческом факультете

Официальные оппоненты: доктор физико-математичес

ких наук, профессор А. П. Маркеев, доктор физико-математических наук, доцент А. П. Веселов

Ведущее предприятие: Вычислительный центр РАН

Защита диссертации состоится .

пр

1993 г. в ^1 час, на заседании специализированного совета Д.053.05.01 в Московском государственном универ ситете имени М. В. Ломоносова на механико-математичес ком факультете.

С диссертацией молено ознакомиться в библиотеке ме ханшсо-математического факультета МГУ им. М. В. Ло моносова.

Автореферат разослан „7г

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физико-математических наук

Д. В. Трещев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. История задачи о качении твердого тела насчитывает более двух с половиной столетий. Она исследовалась еще в работах Л. Эйлера, С. Пуассона, П. Аппеля, Э. Рауса.

Позже вопросы об интегрируемости этой задачи и различных ее модификаций рассматривались Д. К. Бобылевым, П. В. Воронцом, Н. Е. Жуковским, С. А. Чаплыгиным, а также рядом современных ученых: Е. И. Харламова, Ю. П. Бычков, А. П. Маркеев, В. В. Козлов, А. С. Сумбатов, Я. В. Татаринов, А. П. и Л. Е. Веселовы, Н. Г. Мощук, А. А. Буров, Ю. Н. Федоров.

О том, сколь важен поиск новых интегрируемых случаев в гамильтоновой механике, хорошо известно. Не менее важна эта задача и в неголономной механике.

В связи с этим представляет интерес выделение случаев, когда система уравнений движения имеет приводящий множитель. При отсутствии такового уже можно говорить о неинтегрируемости задачи в квадратурах.

Идея приводящего множителя, или абсолютного интегрального инварианта, восходит к К. Якоби и Э. Картану, а ее применение в неголономной механике — к С. А. Чаплыгину. В последние годы она* получила развитие в работах В. В. Козлова.

В настоящей диссертации изучается вопрос о существовании интегрального инварианта в задаче о качении без скольжения по неподвижной поверхности твердого тела, а также в ее многомерном аналоге. (Интегрируемость многомерного аналога задачи Эйлера изучалась В. И. Арнольдом, С. В. Манаковым).

Цель исследования — поиск случаев существования интегрального инварианта в задаче о качении без скольжения по неподвижной поверхности твердого тела, а также в ее многомерном аналоге; разработать методику отыскания множителя Якоби, выявить случаи его существования.

Научная новизна диссертации: Ее основные результаты состоят в следующем:

1. Предложена методика отыскания интегрального инварианта в задаче о качении без скольжения. Дивергенция уравнений Аппеля преобразована к виду, удобному для дальнейших вычислений и исследований. Найдена новая форма кинематических уравнений движения, получающихся из условия качения без скольжения.

2. Обнаружены новые случаи существования интегрального инварианта.

3. Получено необходимое условие существования интегрального инварианта в окрестности положения стационарного вращения твердого тела на неподвижной поверхности при отсутствии внешних сил.

4. Выведены уравнения качения без скольжения многомерного твердого тела по неподвижной гиперповерхности. Часть найденных ранее случаев существования интегрального инварианта обобщена на многомерный случай.

Методы исследования основаны на матричной алгебре, тензорном исчислении, дифференциальной геометрии поверхностей и многообразий.

Практическая и теоретическая ценность диссертации:

Предоставлен выбор задач неголономной механики для выявления случаев возможной интегрируемости в квадратурах, а также для отыскания случаев приведения системы уравнений движения к гамильтоновому виду. Предложенная методика отыскания интегрального инварианта может быть использована и в других задачах неголономной механики, например, в задаче о качении без скольжения по неподвижной поверхности твердого тела с острым краем.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в МГУ на семинаре по классической динамике под руководством проф. В. Г. Демина, доц. Н. Н. Колесникова, вед. н. с. Я. В. Татаринова и на семинаре по динамическим системам классической механики под руководством проф. В. В. Козлова и к. ф. м. н. С. В. Болотина.

Публикации автора по теме диссертации перечислены в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Она состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы (39 наименований). Всего 94 стр.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении освещается история вопроса, изучению которого посвящена настоящая диссертация, и перечислены основные ее результаты.

В первой главе рассматривается задача о качении без скольжения твердого тела по неподвижной поверхности, когда точка контакта единственна, а действующие на систему силы зависят только от ее положения.

В § 1.1 дана постановка задачи. Считается, что подвижная и неподвижная поверхности двумерные их градиенты в точке контакта ненулевые. (Движение без скольжения по неподвижной поверхности твердого тела" с острым краем исследовалось в 1872 году" Н. Феррерсом, а в наше время — А. П. Маркеевым и Ю. Н. Федоровым).

В § 1.2 из геометрического условия касания обеих поверхностей и условия отсутствия проскальзывания получены кинематические уравнения движения в форме, отличной от данной в работах П. В. Воронца. Уравнения получены во всех сделанных предположениях, а также с учетом ограничения на главные кривизны обеих поверхностей в точке контакта, достаточного для ее единственности. Исследованы свойства этих уравнений, необходимые дЛя преобразования дивергенции уравнений Аппеля предложенным в диссертации методом.

В § 1.3 дивергенция уравнений Аппеля (в случае, когда справедливы кинематические уравнения, выведенные в § 1.2 ) преобразована к виду, удобному для дальнейших вычислений и исследований. Она представляет сумму трех слагаемых: первое — всегда является полной производной, второе — линейная по скоростям позиционных переменных форма, третье, вообще говоря, не может быть приведено к такой форме. Во всех примерах, где найден множитель Якоби, оно нулевое.

В § 1.4 дан новый вывод известных результатов: интегральный инвариант задач о качении шара Чаплыгина по плоскости и по сфере.

В § 1.5 рассмотрена задача о качении эллипсоида со специальным распределением масс по плоскости. Центр тяжести эллипсоида совпадает с его геометрическим центром. Геометрические оси эллипсоида являются главными осями его тензора инерции в центре масс. Главные моменты инерции в центре масс на константу отличаются от произведения массы эллипсоида на квадрат длины его соответствующей полуоси. Такой эллипсоид в любом положении при отсутствии внешних сил может вращаться с постоянной угловой скоростью, касаясь неподвижной поверхности одной точкой. В этой задаче найден интегральный инвариант.

В § 1.6 получен интегральный инвариант длй описанного эллипсоида на сфере.

В § 1.7 найден интегральный инвариант для пластинки на поверхности с двумя ненулевыми главными кривизнами.

В § 1.8 рассмотрено движение тела с шаровым тензором инерции в центре масс. Отмечено существование интегрального инварианта во взаимно обратных задачах, а именно:

а) поверхность ненулевой гауссовой кривизны на плоскости и качение тела плоским основанием по описанной поверхности;

б) произвольная поверхность на сфере и однородный шар на произвольной поверхности.

Во всех рассмотренных случаях плотность интегрального инварианта зависит только от положения системы.

Во второй главе, получено условие существования интегрального инварианта в окрестности положения стационарного вращения твердого тела.

В § 2.1 изложена постановка задачи. При отсутствии внешних сил тело может вращаться с постоянной угловой скоростью, касаясь неподвижной поверхности единственной точкой, тогда и только тогда, когда направление нормали в точке контакта является главным для тензора инерцци в этой точке. (Такое вращение названо стационарным.)

Конкретный результат получен, как следствие теоремы В. В. Козлова о существовании интегрального инварианта гладкой динамической системы, имеющей решение с компактным замыканием его траектории. В качестве такого движения берется именно стационарное вращение.

Все нужные вычисления сделаны в § 2.2. Необходимое условие существования интегрального инварианта в окрестности описанного стационарного вращения твердого тела состоит в следующем:

главные оси тензора инерции в точке контакта должны совпадать с главными направлениями подвижной поверхности в этой же точке.

Из примеров, рассмотренных в главе 1, стационарное вращение при отсутствии внешний сил в любом положении возможно для следующих тел:

плоская пластинка, однородный шар, эллипсоид, описанный в § 1.5.

В третьей главе рассматривается многомерный аналог задачи о качении твердого тела без проскальзывания по неподвижной поверхности. Выведены уравнения движения по инерции. Часть обнарулсенных ранее случаев существования множителя Якоби обобщена на многомерный случай.

В § 3.1 дана строгая постановка задачи. Точка контакта единственна. Действующие силы зависят только от положения системы.

В § 3.2 получены уравнения Аппеля в виде, напоминающем представление Гейзенберга.

В § 3.3 найден множитель Якоби для многомерного шара Чаплыгина на гиперплоскости и на гиперсфере. Уравнения Аппеля в этих задачах допускают Ь — А пару.

В § 3.4 получен множитель Якоби в многомерном аналоге задачи качения плоской пластинки по сфере. В трехмерном случае для интегрируемости этого примера не хватает одного интеграла.

В § 3.5 множитель Якоби найден для тела с плоским основанием на гиперсфере. Одна из главных осей тензора масс в центре тяжести перпендикулярна плоскому основа-

кию. Главные моменты тензора масс, кроме момента, соответствующего этой оси, равны между собой. В трехмерном случае интегрируемость этой задачи сводится к квадратурам.

В § 3.6 получены кинематические уравнения движения без скольжения многомерного твердого тела по неподвижной гиперповерхности. Они справедливы при выполнении некоторых условий для обеих поверхностей.

В § 3.7ч рассмотрено движение тела с шаровым масс в центре масс. Как и в трехмерном случае, при справедливости уравнений, полученных в § 3.6, дивергенция уравнений Аппеля всегда является полной производной. Множитель Якоби найден для многомерных аналогов всех примеров из § 1.8.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ярощук В. А. «Новые случаи существования интегрального инварианта в задаче о качении твердого тела без проскальзывания по неподвижной поверхности.» (Вестник МГУ, Серия 1, математика, механика, 1992, № 6, с. 26-30).

2. Ярощук В. А. «Интегральный, инвариант в нескольких случаях задачи о качении без скольжения твердого тела по неподвижной поверхности». (Статья депонирована в ВИНИТИ РАН 15.06.92, № 1937-В92).

3. Ярощук В. А. «О существовании множителя Якоби в задачах о качении без проскальзывания п — мерного твердого тела по неподвижной гиперповерхности вп — мерном пространстве». (Статья депонирована в ВИНИТИ РАН 15.06.92, № 1936-В92).