Численные и аналитические методы в неголономной механике тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Мамаев Иван Сергеевич

ЧИСЛЕННЫЕ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В НЕГОЛОНОМНОЙ МЕХАНИКЕ

Специальность 01.02.01 — теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ижевск — 2005

Работа выполнена в Удмуртском государственном университете

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН

В.В. Белецкий

доктор физико-математических наук, профессор A.B. Болсинов доктор физико-математических наук, ~ профессор М.П. Юшков Ведущая организация: Институт математики СО РАН

им. С.Л.Соболева, г. Новосибирск

Защита диссертации состоится * 9ПП5 года в ^ часов

на заседании диссертационного совета Д 212.232.30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Старый Петергоф, Университетский пр., д. 28, ауд. 3536.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9.

Автореферат разослан ^ истцеЭППЙГ.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук, профессор С.А.Зегжда

¡¡hn/w

Общая характеристика работы Актуальность темы

Настоящая диссертация посвящена развитию современных методов анализа динамических систем для изучения неголономных систем, а также некоторых задач динамики твердого тела и вихревой динамики. Тема диссертации имеет большую историю, тем не менее, большинство вопросов актуальны и сегодня. Основа диссертации — систематическое изучение динамики неголономных систем с использованием различных методов, разработанных в гамильтоновой механике, а также с применением компьютерных исследований.

В настоящее время достигнут большой прогресс в исследовании как интегрируемых, так и неинтегрируемых систем, описываемых уравнениями лагранжевой и гамильтоновой механики. К ним относятся прежде всего конечномерные системы из небесной механики (задача п тел), динамики твердого тела (уравнения Эйлера-Пуассона), вихревой динамики, динамики многочастичных систем и др. Аппарат лагранжевой и гамильтоновой механики существенно связан с тем, что связи, наложенные на систему, являются голономными (интегрируемыми, геометрическими). Если связи не являются интегрируемыми, т. е. не сводятся к некоторым конечным соотношениям между обобщенными координатами, то уравнения движения уже не записываются в форме уравнений Лагранжа и Гамильтона, в них добавляются «члены неголономности», которые приводят к новым интересным динамическим эффектам.

Наиболее полный обзор всевозможных форм уравнений с подробными обсуждениями и примерами приведен в монографии Зегжды С. А., Солтаганова Ш. X. и Юшкова М. П. Уравнения движения неголономных си-

стем « вариационные принципы механики. Особо отметим новые результаты о нелинейных неголономных связях, развивающие пример Больцмана-Гамеля, а также о связях высшего порядка, изложенные в указанной монографии. В этой монографии имеется также ряд примеров из робототехники и механики космического полета, которые иллюстрируют важность подобных более общих постановок задач. Различные физические и математические аспекты неголономных задач исследованы в работах A.M.Вершика, В. Я. Гершковича, С. А. Зегжды, Н. Н. Поляхова, М. П. Юшкова.

Значительный прогресс в последние два десятилетия в исследованиях неголономных систем связан с нахождением новых интегрируемых задач, которые принадлежат В.В.Козлову, А.П.Маркееву, А.П. и Л.Е.Весело-вым, Ю.Н.Федорову, а также с компьютерными и качественными исследованиями как в интегрируемых, так и в неинтегрируемых ситуациях.

Укажем также на ряд исследований, в основном проведенных Дж. Марс-деном и его коллегами, в которых приводятся различные способы записи неголономных систем и методы редукции уравнений при наличии симмет-риЬ- Один из важных динамических эффектов, препятствующих существованию пуассоновой структуры, связанный с несуществованием инвариантной меры и асимптотическими свойствами, был отмечен В. В. Козловым.

Укажем здесь на также сравнительно недавние замечательные исследования В. А. Ярощук, обнаружившей новые случаи существования инвариантной меры, а также работы А.В.Карапетяна и В.В.Козлова, посвященные вопросу реализации неголономных связей. Эти работы развивают более ранние исследования К. Каратеодори, который связывал вопрос происхождения неинтегрируемых связей с наличием сил вязкого трения с бесконечно большим коэффициентом вязкости (Каратеодори рассматривал также случай сухого трения). Имеется ряд работ относительно других мо-

делей динамики систем с неинтегрируемыми связами (о механике Дирака и вакономной механике). Отметим также работы Я. В. Татаринова, в которых рассматриваются вопросы строения интегральных многообразий интегрируемых неголономных систем (в частности, для некоторых интегрируемых вариантов задачи Суслова они не являются торами как в гамильтоновом случае), им также введено представление о слабо неголономных системах и методами усреднения исследована их эволюция.

Следовательно, неголономная механика активно развивается в настоящее время и поставленная в диссертации цель является актуальной задачей теоретической механики.

Целью работы

является развитие современных аналитических и компьютерных методов исследования динамических систем и их приложение к вопросам неголо-номной механики, динамики твердого тела, вихревой динамики. Основные проблемы диссертации связаны с интегрируемостью и неинтегрируемостью, существованием различных тензорных инвариантов, систематизацией более ранних и новых результатов.

Научная новизна

Все основные результаты, выносимые на защиту, получены автором впервые. Среди них особо отметим установление различных случаев существования первых интегралов и инвариантной меры в различных задачах него-лономной механики, связанных с качением твердых тел. Для систематизации результатов автором было введено понятие иерархии динамического поведения в зависимости от наличия того или иного набора тензорных инвариантов. В приложении указаны новые интегрируемые случаи в ди-

намике вихрей, взаимодействующих с цилиндром, в динамике твердого тела. Приведены новые интегрируемые системы в пространствах постоянной кривизны, а также выполнена полная классификация интегрируемых обобщенных цепочек Тоды.

Обоснованность научных результатов и выводов

Достоверность результатов диссертации обеспечена сочетанием аналитических и компьютерных методов исследования, сравнением с результатами других авторов, полученных другими методами. Результаты работы опубликованы в ведущих российских и зарубежных журналах (Прикладная математика и механика, Regular & Chaotic Dynamics, Математические заметки, Доклады РАН и др.), неоднократно докладывались на крупных международных конференциях и на семинарах в известных научных центрах, хорошо известны специалистам и активно цитируются.

Положения, выносимые на защиту

1. С использованием современных методов качественного и компьютерного анализа получены новые интегралы движения для задач о качении твердого тела по плоскости и сфере и задачи Рауса о качении симметричного шара по произвольной поверхности. Рассмотрены различные гироскопические обобщения.

2. Указаны случаи существования у указанных выше задач различных тензорных инвариантов, отличных от первых интегралов. Эти результаты позволяют говорить об иерархии динамики неголономных систем.

3. Компьютерными методами с использованием общих аналитических

соображений показано наличие сложных стохастических движений в динамике кельтских камней, связанных с существованием странного аттрактора.

4. Выполнен качественный анализ задачи о движении симметричного шара по поверхности произвольного цилиндра (задача Штюблера).

5. Для интегрируемой задачи о движении шара Чаплыгина указаны новые препятствия к гамильтоновости, связанные с «неравномерностью» движения по резонансным инвариантным торам.

6. Решен вопрос о полной классификации интегрируемых по Биркгофу обобщенных цепочек Тоды.

7. Указан новый интегрируемый случай для уравнений Пуанкаре-Жуковского (на 50(4)) с интегралом 4-й степени.

8. Найдены новые интегрируемые задачи на двумерной сфере, имеющие отношение к небесной механике в неевклидовых пространствах.

9. Указана пуассонова структура и новый интегрируемый случай в задаче о взаимодействии системы точечных вихрей и кругового цилиндра с циркуляционным обтеканием в безграничном объеме идеальной жидкости.

10. Систематизированы различные формы уравнений неголономной механики и разобраны наиболее интересные способы понижения порядка.

Практическая ценность работы

Практическая ценность работы состоит в возможном применении результатов диссертации для аналитического и компьютерного изучения дина-

мических систем, возникающих в различных областях математической и теоретической физики. При этом эти системы не всегда могут быть представлены в гамильтоновой форме, а их поведение может быть существенно отличным от гамильтоновых систем. Установленные закономерности в поведении неголономных систем являются полезными для более глубокого и обширного исследования таких систем с использованием возможностей компьютерной техники.

Апробация работы

Результаты диссертации и основные положения неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах в МГУ (рук. В. В. Козлов, Д. В. Трещев, рук. В.В.Румянцев, А.В.Карапетян, рук. А.Т.Фоменко, A.B.Болсинов, рук. В.В.Белецкий, Ю.Ф.Голубев), а также на российских и международных конференциях.

Публикации по теме диссертации

Основные результаты диссертации опубликованы в 15 статьях в реферируемых журналах [1-15], а также в четырех монографиях.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, пяти приложений и списка литературы. Общий объем — 164 страницы. Библиография содержит 196 наименований.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, определены основные задачи и цели исследования, отражена научная новизна работы, сформулированы основные положения, выносящиеся на защиту, рассмотрена научная и практическая значимость работы.

В главе I приведены основные формы уравнений движения негсшоном-ных систем (применительно к задачам качения) и рассмотрены типичные случаи понижения порядка, связанные с действием различных групп сим-метрий. Затронуты также общие вопросы явного интегрирования уравнений неголономной механики, которое возможно (в отличие от гамильтоно-вой ситуации и теоремы Лиувилля) различными способами. Эта глава в целом носит методический характер, хотя некоторые результаты и являются новыми. Они связаны с исследованием общей формы уравнений динамики в групповых переменных (обобщающие уравнения типа Пуанкаре-Четаева) и современным способом алгебраического понижения порядка

Для вывода уравнений движения твердого тела по произвольной поверхности в этой главе используются уравнения движения неголономной механики в форме Эйлера-Пуанкаре-Суслова с неопределенными множителями А^:

В уравнениях (1) предполагается, что имеется система обобщенных избыточных координат (91,..., 9) = q, обобщенные скорости которых д,..., 4п выражаются через компоненты квазискоростей го = (ш1,..., У)п-а) по формулам

л (а«;,) ^ - ^к

3,к М

г = 1,... ,тг. (1)

п — Я

Величины ,..., ып-а называют иногда параметрами Пуанкаре, они представляют собой компоненты скорости в базисе векторных полей вида

»<=£«;<<. с«

В общем случае этот базис является неголономным и коммутаторы векторных полей (3) отличны от нуля:

п-1

[г,'Х] = £ (^(дУ. к=1

В диссертации содержится вывод уравнений (1) из уравнений Лагранжа первого рода.

Далее в первой главе рассматриваются вопросы понижения порядка в неголономных системах и наличия у уравнений (1) набора тензорных инваг риантов. В диссертации дано строгое определение тензорных инвариантов системы, здесь мы только отметим, что эти объекты обобщают понятия первых интегралов, полей симметрий, пуассоновой структуры и инвариантной меры.

При наличии достаточно большого числа тензорных инвариантов него-лономная система является интегрируемой. В первой главе рассматриваются два основных метода интегрируемости. Первый из них восходит к Лагранжу и Ли, а второй — к Эйлеру и Якоби. Последний метод интегрирования в современном виде широко обсуждается в работах В. В. Козлова. Поэтому изложим здесь основы интегрирования уравнений (1) по методу Лагранжа-Ли. В диссертации сформулирована и доказана следующая теорема о приводимости.

Теорема 1. Пусть система (1), заданная на многообразии Мп, имеет к первых интегралов Р = ,. ., и интегрируема, причем совместная

поверхность уровня является (п-к)-мерным тором. При этом в окрестности некоторого тора существует набор угловых переменных (01,..., 0n-k) mod 2л- таких, что векторное поле (1) принимает вид

¿1=и»г(П 02 = <2(0ъП .... ¿„-* = Сп-*(вьП (4)

Тогда существует дифференцируемая (аналитическая) замена переменных, приводящая систему (4) к виду

ffi=Ui(F), 02= и;2(F), ..., ¿n-fc = u„-k(F). (5)

При этом система (4) является гамилътоновой (и даже мулътигамилъ-тоновой).

В главе П рассматриваются различные упрощенные постановки задачи о движении без проскальзывания твердого тела по неподвижной поверхности, в которых уравнения движения имеют форму, близкую к уравнениям Эйлера-Пуассона (т.е. шесть дифференциальных уравнений, обладающих интегралом энергии и геометрическим интегралом). К ним относятся системы, описывающие качение без проскальзывания произвольного твердого тела по плоскости и сфере (рис. 1), а также описывающие качение динамически симметричного шара по произвольной (фиксированной) поверхности (рис. 2). В этой главе указаны новые случаи существования тензорных инвариантов: первых интегралов, инвариантных мер, полей симметрий, пуассоновых структур (найденные с использованием аналитических и компьютерных методов). Вместе с результатами классиков (С. А. Чаплыгин, П. В. Воронец и др.) эти результаты представлены в виде нескольких таблиц, иллюстрирующих иераросию динамического поведения.

Остановимся на результатах этой главы более подробно. С помощью сформулированной выше теоремы о приводимости в этой главе показана

Рис. 1

Рис. 2

интегрируемость и гамильтоновость уравнений качения тяжелого динамически и геометрически симметричного твердого тела по плоскости; этот результат обобщает более ранние исследования С. А. Чаплыгина, Аппеля и Картевега.

Далее рассмотрена задача Чаплыгина о качении динамически несимметричного уравновешенного шара, описываемого уравнениями

где I = diag(/i, /г, 1з) — центральный тензор инерции, D — параметр него-лономности, U = U(-у) — потенциальная энергия. Как показано В. В. Козловым (обобщившим рассуждения С. А. Чаплыгина), в случае U = \к{ 17,7), к = const система (6) обладает четырьмя первыми интегралами

ии .

M = MXW + 7X—, ,7 = 7x01, М = IW + D7 х (w х 7), D = mR2,

(6)

>2 = 1, F2 = (M, 7),

(7)

(7,А7), A = I-x

и инвариантной мерой с плотностью

1

Р =

Вследствие этого система является интегрируемой по методу Эйлера-Якоби. Новым результатом диссертации является явное доказательство гамильто-новости уравнений (6) после замены времени <1т = рМ для любых потенциалов Л = и (-у). В главе 2 приведен следующий вид скобки Пуассона и гамильтониана для системы (6):

{Мг,М3} = £г3кр~1(Мк -д-ук), {Мг,ъ} =еХ]кр~11к, {7.,7»} = °.

£>(7,АМ)

я = (8)

Я = ¿(М, АМ) + ^(АМл) + и (-у).

В частности, показан изоморфизм при II = О системы (6) с известной системой Брадена, описывающей движение частицы на сфере в дробно-рациональном потенциале.

В пункте 1.5 главы 2 рассмотрена также задача Чаплыгина, но при условии, что центр масс не совпадает с геометрическим центром. Показано, что в этом случае система уже не обладает инвариантной мерой и не является интегрируемой, тем не менее сохраняется нетривиальный первый интеграл вида

^ = М2 -пгг2(М,ш), г = Лц + а, (9)

где а — вектор, соединяющий центр масс с геометрическим центром.

Отметим еще ряд результатов этой главы. Один из них касается существования инвариантной меры для эллипсоида, катящегося по плоскости и сфере, центральный эллипсоид инерции для которого является шаровым. Другой результат связан с гиростатическими обобщениями интегрируемых систем, связанных с качением твердого тела по плоскости и сфере. Особенно отметим новые случаи существования инвариантной меры и аналога ин-

теграла (9) для задачи Воронца, описывающей качение по сфере твердого тела, имеющего плоское основание.

Одним из центральных результатов этой главы является исследование неголономной задачи Якоби, описывающей движение однородного шара по поверхностям второго порядка. Оказывается, что в фазовом пространстве этой задачи существует инвариантная мера и новый дополнительный первый интеграл вида

где (ж,В_1а;) = 1, В = diag(i>i,f>2>Ьз) — уравнение поверхности второго порядка, М — вектор кинетического момента шара относительно точки контакта в неподвижных осях, 7 — нормаль к поверхности. Интеграл F2 из (10) обобщает классический интеграл Иоахимсталя в задаче Якоби о геодезических на эллипсоиде. В диссертации приводится также обобщение интеграла (10) для потенциалов вида U = |ж2 +1k,Ct = const. Оно имеет вид

Тем не менее, несмотря на существование интегралов (10), (11), неголо-номная задача Якоби не является интегрируемой. Этот результат показан с помощью метода точечного отображения Пуанкаре, которое демонстрирует хаотическое поведение системы.

В заключении главы 2 рассмотрена задача Штюблера о качении однородного шара по наклонному произвольному цилиндру, помещенному в поле тяжести. С помощью методов качественного анализа показано, что шар в среднем не смещается вниз (т.е. не наблюдается векового ухода). С

р=( 7,В7)-2,

(7 х М,В~1(7 х М)) (Т,В7)

(10)

F2 =

(7 х u>,B~1(7 х ар)

(7,В-17)

<п)

помощью численных расчетов более подробно рассмотрен случай эллиптического цилиндра.

В главе Ш более подробно изучена наиболее сложная ситуация — полного отсутствия дополнительных тензорных инвариантов в динамике твердого тела на плоскости. Такая ситуация типична для кельтских камней, характеризующихся несовпадением в точке контакта геометрических и динамических осей (рис. 3). В этой главе описаны наиболее важные аналитические результаты по устойчивости вертикальных вращений, начиная с результатов Дж.Уолкера, впервые заметившего асимптотический характер устойчивости в такой системе.

Устойчивость перманентных вращений кельтского камня была исследована И. С. Астаповым и А. В. Карапетяном, последний обнаружил также бифуркацию Хопфа в этой системе. Малые колебания кельтского камня (при малых энергиях) с помощью метода усреднения были одновременно изучены А. П. Маркеевым и М. Паскаль. Отметим также численные исследования Кейна и Левинсона, Линдберга и Лонгмена, позволивших описать различные динамические режимы в этой системе.

Рис. 3

Вкратце, необычное поведение кельтских камней заключаются в следующем. Если кельтский камень поставить на горизонтальную плоскость и закрутить в определенном направлении, то он может устойчиво продолжать свое вращение. Если же направление вращения изменить на противоположное, то он вскоре перестает вращаться, начинает колебаться относительно горизонтальной оси, а затем изменяет направление вращения. Описанный реверс может повторяться многократно, если вращение камня в обе стороны неустойчиво.

В главе 3 диссертации исследуется неголономная модель движения кельтского камня (хотя и существуют модели, учитывающие сухое и вязкое трение). При этом в качестве модели камня используются поверхности эллиптического параболоида и эллипсоида. Они соответственно задаются соотношениями

Для численного моделирования используются переменные Андуайе-Депри (Ь, в, Н,1,д, к), связь которых с переменными Эйлера-Пуассона (М, 7) задается взаимно-однозначным отображением. В этих переменных мы исследуем на уровне энергии Н = к трехмерное отображение Пуанкаре, которое и позволяет сделать ряд новых выводов о хаотической динамике кельтского камня. Для этого отображения доказан ряд утверждений, которые связаны с симметрией потока (что, в частности, позволяет применить КАМ-теорию для обратимых систем).

С помощью методов компьютерного анализа с привлечением общих теорем современной теории динамических систем для динамики кельтского камня установлено существование сложных стохастических движений,

Ь? Ь| т ы

6, = сош^

Рис. 4

в которых хаотически чередуются вертикальные вращения и горизонтальные колебания. Оказалось, что такие движения связаны с появлением в фаг зовом пространстве трехмерного точечного отображения Пуанкаре странных аттракторов (рис. 4), аналогичных хорошо известному аттрактору Лоренца. Полученные результаты позволяют более полно изучить глобальную динамику кельтского камня.

В приложениях собраны результаты автора о классификации интегрируемых обобщенных цепочек Тоды, о новых интегрируемых случаях в динамике твердого тела, имеющего полости, заполненные вихревой идеальной жидкостью (уравнения Пуанкаре-Жуковского), в «искривленной небесной механике» (аналоги задачи Эйлера двух центров). Рассмотрена также новая задача о плоском циркуляционном движении твердого тела в жидкости, взаимодействующего с точечными вихрями, для которой указана нетривиальная пуассонова структура, и один случай интегрируемости (случай кругового цилиндра и одного точечного вихря). Разобраны также результаты численных экспериментов для классической интегриру-

емой задачи о качении по плоскости шара Чаплыгина, позволяющие указать негамильтонов характер этой задачи. Несмотря на интегрируемость, в этом случае имеется различие в периодах движения по различным траекториям, лежащим на резонансном торе, приводящее к явлению слабого перемешивания и к отсутствию глобальной приводимости к гамильтонову виду.

Основные публикации по теме диссертации

[1] Борисов A.B., Мамаев И.С. Гамильтоновость задачи Чаплыгина о качении шара. Матем. заметки, 2001, т. 70, №5, с. 793-795.

[2] Борисов А. В., Мамаев И. С. Препятствие к гамильтоновости него-лономных систем. Докл. РАН, 2002, т. 387, Л>6, с. 764-766.

[3] Борисов A.B., Мамаев И.С. Случай Гесса в динамике твердого тела. ПММ, 2003, V. 67, т, с. 256-265.

[4] Борисов A.B., Мамаев И.С. Случай Горячева-Чаплыгина на so(4) и его обобщения. Мат. заметки, 2004, т. 75, вып. 1, с. 20-23.

[5] Борисов A.B., Мамаев И.С. Странные аттракторы в динамике кельтских камней. Успехи физ. наук, 2003, т. 173, №4, с. 407-418.

[6] Борисов A.B., Мамаев И.С. Шар Чаплыгина, задача Суслова и задача Веселовой. Интегрируемость и реализация связей. В сб. Неголстом-ные динамические системы. Интегрируемость. Хаос. Странные аттракторы. Под ред. А. В. Борисова, И. С. Мамаева. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных иследований, 2002. — С. 118-130.

[7] Борисов A.B., Мамаев И.С., Килин A.A. Новый интеграл в задаче о качении шара по произвольному эллипсоиду. Доклады РАН, 2002, т. 385, №3, с. 338-341.

[8] Мамаев И. С. Две интегрируемые системы на двумерной сфере. До* клады РАН, т. 48, №3, 2003, с. 338-340.

[9] Мамаев И. С. Обобщенная задача Эйлера в пространствах постоянной кривизны. Труды IX международного семинара «Гравитационная энергия и гравитационные волны», Дубна, 1996, Р2-97-401, с. 75-78.

$17133

[10] Мамаев И. С., Килин А. А. Точки либрации в ограниченной задаче трех тел на S2. В сб. Известия института математики и информатики, Ижевск, 1998 вып. 1, стр. 61-66.

[11] Borisov А. V., Mamaev I.S. An integrability of the problem on motion of cylinder and vortex in the ideal fluid, Req. & Chaot. Dyn. 2003, v. 8, №2, p. 163-166.

[12] Borisov A. V., Mamaev I. S. Rolling of a rigid body on plane and sphere. Hierarchy of dynamics. Reg. & Chaot. Dyn., 2002, v. 7, №2, p. 177-200.

[13] Borisov A. V., Mamaev I. S., Kilin A. A. Rolling of a bail on a surface. New integrals and hierarchy of dynamics. Reg. & Chaot. Dyn., 2001, v. 6,

m, p. 201-220.

[14] Borisov A.V., Mamaev I.S., Ramodanov S.M. Motion of a circular cylinder and n point vortices in a perfect fluid. Reg. & Chaot. Dyn., 2003, v. 8, N*4.

[15] Mamaev I.S. New cases when the invariant measure and first integrals exist in the problem of a rigid body rolling on a surface. Reg. & Chaot. Dyn., v. 8, 2003, №3, p. 331-336.

Подписано в печать 14.09.2

Усл. печ. л. 11,63 Уч. изд. л. 11,32. Тираж 40 экз. Заказ №67. AHO «Институт компьютерных исследований» 426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.

РНБ Русский фонд

11247

Введение

Глава 1. Уравнения движения и методы интегрирования неголономных систем

§1. Уравнения движения неголономных систем.

§ 2. Тензорные инварианты и свойства динамических систем.

2.1. Тензорные инварианты неголономных систем.

2.2. Тензорные инварианты и динамические особенности поведения

§3. Интегралы и поля симметрии, понижение порядка и интегрируемость

3.1. Поля симметрий и понижение порядка.

3.2. Интегрируемость и приводимость.

Глава 2. Тензорные инварианты в динамике твердого тела на абсолютно шероховатой поверхности

§1. Тело на плоскости.

1.1. Уравнения движения, интегрируемость, иерархия динамики

1.2. Трехмерные точечные отображения в неголопомной механике

1.3. Тело вращения на плоскости (С. А.Чаплыгин [115], П. Аппель [1,127])

1.4. Качение уравновешенного динамически несимметричного шара (шар Чаплыгина [117]).

1.5. Качение динамически несимметричного неуравновешенного шара по плоскости

1.6. Произвольное тело с шаровым центральным эллипсоидом инерции.

1.7. Качение эллипсоида по плоскости.

1.8. Гиростатические обобщения.

§2. Тело на сфере.

2.1. Уравнения движения.

2.2. Качение тела вращения.

2.3. Динамически несимметричный уравновешенный шар на сфере

2.4. Динамически несимметричный неуравновешенный шар на сфере

2.5. Качение тела с плоским участком по сфере.

2.6. Качение произвольного тела с шаровым тензором инерции (I = /иЕ, ¡л = const, Е = ||5ij||) по сфере. ■ 2.7. Эллипсоид со специальным распределением масс на сфере.

2.8. Гиростатические обобщения.

§3. Качение динамически симметричного шара по неподвижной поверхности

3.1. Уравнения движения.

3.2. Интегралы движения и инвариантная мера.

3.3. Движение шара по поверхности вращения.

3.4. Качение шара по поверхностям второго порядка — неголономная задача Якоби.77 i

3.5. Движение шара по цилиндрической поверхности.

Глава 3. Динамика кельтских камней

§1. Постановка задачи и уравнения движеиия.

§2. Переменные Андуайе—Депри и трехмерные отображения Пуанкаре.

§3. Симметрии потока и отображения.

§4. Известные аналитические результаты в динамике кельтского камня.

§5. Численные исследования динамики кельтского камня.

В настоящее время достигнут большой прогресс в исследовании как интегрируемых, так и неинтегрируемых систем, описываемых уравнениями лагранжевой и гамильтоновой меха; ники. К ним относятся прежде всего конечномерные системы из небесной механики (задача п тел), динамики твердого тела (уравнения Эйлера —Пуассона), вихревой динамики, динамики многочастичных систем и др. Аппарат лагранжевой и гамильтоновой механики существенно связан с тем, что связи, наложенные на систему, являются голономными (интегрируемыми, геометрическими). Если связи не являются интегрируемыми, т. е. не сводятся к некоторым конечным соотношениям между обобщенными координатами, то уравнения движения уже не записываются в форме уравнений Лагранжа и Гамильтона, в них добавляются «члены неголономности», которые приводят к новым интересным динамическим эффектам, систематическому изучению которых и посвящена данная работа. I

В развитии неголономной механики можно выделить два направления, в каждом из которых имеются интересные исследования. Одно из них связано с общим формализмом уравнений динамики, который отличается от лагранжева и гамильтонова метода составления уравнений движения. Исторически ряд ошибок известных математиков, среди которых можно назвать К. Неймана [ 174] и Э. Линделефа [ 169], был связан с некорректностью применения уравнений Лагранжа при наличии неинтегрируемых связей для описания задачи о качении тела без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Окончательное понимание неприменимости уравнений Лагранжа и вариационных принципов в неголономной механике принадлежит Г. Герцу, который обсуждает эти вопросы в своем фундаментальном труде «Принципы механики, изложенные в новой связи» [36]. Именно Г. Герц ввел термины голономные и неголономные связи. Замечания Герца развил А. Пуанкаре [96] в своей • известной работе «Идеи Герца в механике»

Основное отличие неголономной механики от обычной лагранжевой состоит в том, что уравнения связей, записанные через обобщенные координаты ^ и обобщенные скорости ^ в виде

Мя, 9,0=°« г = 1, ., к, д = (г/1, ., (1) не могут быть представлены в конечном (интегральном) виде задающем ограничения только на обобщенные координаты. В этом случае говорят, что связи являются неинтегрируемыми (дифференциальными). По Герцу [36] они также называются неголоиомными1.

Исторически первой общей формой уравнений неголономной механики следует считать уравнения Феррерса с неопределенными множителями Аь ., А* (1872 г.)

В уравнениях (3) Т — кинетическая энергия, — обобщенные силы, а А.,- являются неопределенными множителями, которые, вообще говоря, однозначно восстанавливаются из условий связи /¿(д, д) = 0. Рассматриваемые в неголономной механике связи, как правило, являются линейными по обобщенным скоростям

Именно такие связи реализуются в содержательных задачах. Тем не менее, Больцманом и Гамелем был указан несколько искусственный пример нелинейной неголономной связи. Феррерс также исключил неопределенные множители и получил некоторый аналог лагран-жевых уравнений движения [ 156]. Неголономные уравнения изучались также М. В. Остроградским.

Кроме уравнений Феррерса в неголономной механике используются также уравнения Аппеля, Чаплыгина, Маджи, Вольтерра, Больцмана —Гамеля. Все эти формы связаны с различными способами исключения неопределенных множителей. Наиболее полный обзор всевозможных форм уравнений с подробными обсуждениями и примерами приведен в монографии [44]. В этой монографии также строится теория составления уравнений движения для некоторого нового класса задач, которые характеризуются связями высокого порядка.

Второе направление представляет собой исследования, связанные с анализом конкретных неголономных систем, с развитием компьютеров оно приобретает все большее значение. Первые постановки подобных задач восходят к Э. Раусу, С. А. Чаплыгину, П. В. Воронцу, П.Аппелю и Г.К.Суслову, которые нашли замечательные интегрируемые ситуации и дали их аналитическое и качественное описание. Большинство из этих задач связано с качением тел. Кроме нахождения интегрируемых случаев было выполнено множество исследований устойчивости частных решений (как правило, стационарных вращений) для общих, неинтегрируемых, систем. Среди них наиболее известны исследования, связанные с устойчивостью вращений вокруг вертикальной оси так называемого кельтского камня (т. е. тела, характеризующегося несовпадением геометрических и динамиче

1 Термин голономный происходит от двух греческих слов д\о( (целый, интегрируемый) и ио^оС, (закон).

3)

4) к ских осей), который демонстрирует удивительную зависимость устойчивости от направления вращения. Наиболее полные аналитические результаты получены здесь Дж. Уол-кером, В. В. Румянцевым, А. В. Карапетяном, И. С. Астаповым, А. П. Маркеевым, М. Паскаль, которые, тем не менее, не решили полностью проблему описания эволюции такой системы (предварительные численные результаты имеются в [168]). До сих пор имеется ряд свойств кельтских камней, не получивших надлежащего теоретического объяснения.

В последние два десятилетия развитие исследований неголономных систем связано с нахождением новых интегрируемых задач, которые принадлежат В. В. Козлову, А. П. Мар-кееву, А. П. и Л. Е. Веселовым, Ю. Н. Федорову, Я. В. Татаринову, а также с компьютерными и качественными исследованиями как в интегрируемых, так и в неинтегрируемых ситуациях.

Укажем также на ряд работ [129, 128, 130, 148], в которых приводятся различные способы записи неголономных систем и методы редукции уравнений при наличии симметрий. В работе [190] предложена почти гамильтонова форма записи уравнений неголономной механики (кососимметричная форма записи без сохранения тождества Якоби), без обсуждения препятствий к гамильтоновости. Один из важных динамических эффектов, препятствующих существованию пуассоновой структуры, связанный с несуществованием инвариантной меры и асимптотическими свойствами был отмечен В. В. Козловым в фундаментальной работе [54].

Укажем здесь па также сравнительно недавние замечательные исследования В. А. Яро-щук [122, 121], обнаружившей новые случаи существования инвариантной меры, а также работы А. В. Карапетяна [47] и В. В. Козлова [64], посвященных вопросу реализации неголономных связей. Эти работы развивают более ранние исследования К- Каратеодори [146], который связывал вопрос происхождения неинтегрируемых связей с наличием сил вязкого трения с бесконечно большим коэффициентом вязкости. Относительно других моделей динамики систем с неинтегрируемыми связами — о механике Дирака и вакономной механике можно прочитать в обзорах [ 15, 192]. Отметим также работы Я. В. Татаринова [ 109], в которых рассматриваются вопросы строения интегральных многообразий интегрируемых неголономных систем (в частности для некоторых интегрируемых вариантов задачи Суслова они не являются торами как в гамильтоновом случае), а также введено представление о слабо неголономных системах и методами усреднения исследована их эволюция.

Отметим также вклад в развитие неголономной механики Санкт-Петербургской школы механики, в результате чего многие пеголономные проблемы вошли известный университетский курс теоретической механики [90]. Различные физические и математические аспекты неголономных задач исследованы в работах A.M. Вершика, В.Я- Гершковича, С.А. Зег-жды, Н.Н.Поляхова, М.П. Юшкова [91, 92,93,45, 119]. Особо отметим новые результаты о нелинейных неголономных связях, развивающие пример Больцмана—Гамеля, а также о связях высшего порядка, изложенные в монографии [44]. В этой монографии имеется также ряд примеров из робототехники и механики космического полета, которые иллюстрируют важность подобных более общих постановок задач.

С современными достижениями в исследовании устойчивости неголономных систем можно познакомиться по книге [49], более элементарные вопросы разобраны в [86, 101 ].

Укажем также ряд исследований по устойчивости и странным аттракторам, выполненных в Санкт-Петербургской математической школе [73,74,75,89]. Отметим, что в работах Г.А.Леонова проблемы существования странных аттракторов связываются с классическими результатами теории устойчивости, а также обсуждаются методы практического их обнаружения и математического описания.

В данной работе систематически изучаются уравнения движения твердого тела, движущегося по неподвижной поверхности при условии отсутствия проскальзывания в точке контакта. В этом случае уравнения движения являются неголономными, хотя и обладают интегралом энергии (т.е. свойством консервативности). Данная система в зависимости от динамических и геометрических параметров имеет целую иерархию динамического поведения, связанную с наличием (или отсутствием) тензорных законов сохранения (инвариантов). В частности большое значение имеет анализ существования скалярных инвариантов — первых интегралов. Однако, для неголономных систем не менее важное значение имеют другие инварианты — инвариантные меры, поля симметрии, пуассоновы структуры.

Остановимся несколько подробней на структуре диссертации.

В главе I приведены основные формы уравнений движения неголономных систем (применительно к задачам качения) и рассмотрены типичные случаи понижения порядка, связанные с действием различных групп симметрий. Затронуты также общие вопросы явного интегрирования уравнений неголономной механики, которое возможно (в отличие от га-мильтоновой ситуации и теоремы Лиувилля) различными способами. Эта глава в целом носит методический характер, хотя некоторые результаты и являются новыми. Они связаны с исследованием общей формы уравнений динамики в групповых переменных (уравнения типа Пуанкаре—Четаева) и современным способом алгебраического понижения порядка.

В главе II рассматриваются различные упрощенные постановки задачи о движении без проскальзывания твердого тела по неподвижной поверхности, в которых уравнения движения имеют форму, близкую к уравнениям Эйлера —Пуассона (т.е. шесть дифференциальных уравнений, обладающих интегралом энергии и геометрическим интегралом). К ним относятся системы, описывающие произвольное твердое тело, катящееся без проскальзывания по плоскости и сфере, а также описывающие качение динамически симметричного шара по произвольной (фиксированной) поверхности. В этой главе указаны новые случаи существования тензорных инвариантов: первых интегралов, инвариантных мер. полей симметрий, пуассоновых структур (найденные с использованием аналитических и компьютерных методов). Вместе с результатами классиков (С.А.Чаплыгин, П. В. Воронец и др.) эти результаты представлены в виде нескольких таблиц, иллюстрирующих иерархию динамического поведения.

В главе III более подробно изучена наиболее сложная ситуация — полного отсутствия дополнительных тензорных инвариантов — в динамике твердого тела на плоскости. Такая ситуация типична для кельтских камней, характеризующихся несовпадением в точке контакта геометрических и динамических осей. В этой главе описаны наиболее важные аналитические результаты по устойчивости вертикальных вращений, начиная с результатов Дж.Уолкера, впервые заметившего асимптотический характер устойчивости в такой системе. С помощью методов компьютерного анализа с привлечением общих теорем современной теории динамических систем для динамики кельтского камня установлено существование сложных стохастических движений, в которых хаотически чередуются вертикальные вращения и горизонтальные колебания. Оказалось, что такие движения связаны с появлением в фазовом пространстве трехмерного точечного отображения Пуанкаре странных аттракторов, аналогичных хорошо известному аттрактору Лоренца. Полученные результаты позволяют более полно изучить глобальную динамику кельтского камня.

В приложениях собраны результаты автора о новых интегрируемых случаях в динамике обобщенных цепочек Тоды, в динамике твердого тела, имеющего полости, заполненные вихревой идеальной жидкостью (уравнения Пуанкаре—Жуковского), в искривленной небесной механике. Рассмотрена также новая задача о плоском циркуляционном движении твердого тела в жидкости, взаимодействующего с точечными вихрями, для которой указана нетривиальная пуассонова структура и один случай интегрируемости. Разобраны также результаты численных экспериментов для классической интегрируемой задачи о качении по плоскости шара Чаплыгина, позволяющие указать негамильтонов характер этой задачи. Несмотря на интегрируемость в этом случае имеется различие в периодах движения по различным траекториям, лежащим на резонансном торе, приводящее к явлению слабого перемешивания и к отсутствию глобальной приводимости к гамильтонову виду.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [13, 16, 17, 18, 19, 21, 27, 76,77,79, 133, 134, 141, 143, 172]

Результаты исследования, для случая качения тела по плоскости, собраны в таблице 1. Следующие пункты, по-существу, представляют собой комментарии к этой таблице.

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертации.

1. С использованием современных методов качественного и компьютерного анализа получены новые интегралы движения для задач о качении твердого тела по плоскости и сфере и задачи Рауса о качении симметричного шара по произвольной поверхности. Рассмотрены различные гироскопические обобщения.

2. Указаны случаи существования у данных задач различных тензорных инвариантов, отличных от первых интегралов. Эти результаты позволяют говорить об иерархии динамики неголономных систем.

3. Компьютерными методами с использованием общих аналитических соображений показано наличие сложных стохастических движений в динамике кельтских камней, связанных с существованием странного аттрактора.

4. Выполнен качественный анализ задачи о движении симметричного шара по поверхности произвольного цилиндра (задача Штюблера).

5. Для интегрируемой задачи о движении шара Чаплыгина указаны новые препятствия к гамильтоновости, связанные с «неравномерностью» движения по резонансным инвариантным торам.

6. Решен вопрос о полной классификации интегрируемых по Биркгофу обобщенных цепочек Тоды.

7. Указан новый интегрируемый случай для уравнений Пуанкаре—Жуковского (на 50(4)) с интегралом 4-й степени.

8. Найдены новые интегрируемые задачи на двумерной сфере, имеющие отношение к небесной механике постоянной кривизны.

9. Указана пуассонова структура и новый интегрируемый случай в задаче о взаимодействии системы точечных вихрей и кругового цилиндра с циркуляционным обтеканием в безграничном объеме идеальной жидкости.

10. Систематизированы различные формы уравнений неголономной механики и разобраны наиболее интересные способы понижения порядка.

1. Аппель П. Теоретическая механика. В 2-х т., М., Физматгиз, 1960, 515 с., 487 с. Пер. с франц.: Appell P. Traité de mécanique rationnelle. Paris, Gauthier—Villars, ed. 4-th, v. 1, 1919, 619 p.; v. 2, 1924,575 p.

2. Арнольд В.И, Козлов B.B, Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. Совр. пробл. матем. Фундаментальные направления, М.: ВИНИТИ, 1985, т. 3, 304 с.

3. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука. 1991.

4. Астапов И. С. Об устойчивости вращения кельтского камня. Вести. МГУ, сер. 1, мат., механ. 1980, №2, с. 97-100.

5. Афонин А. А., Козлов В. В. Задача о падении диска, движущегося по горизонтальной плоскости. Изв. РАН, Мех. тв. тела, 1997, № 1, с. 7—13.

6. Бобылев Д. К. О шаре с гироскопом внутри, катящемся по горизонтальной плоскости без скольжения. Мат. сборник, 1882, т. 16, вып. 3, с. 544—581.

7. Богоявленский О. И. Опрокидывающиеся солитоны. Нелинейные интегрируемые уравнения. М.: Наука, 1991,320 с.

8. Богоявленский О. И. Интегрируемые случаи динамики твердого тела и интегрируемые системы на сферах Sn. Изв. АН СССР, сер. мат., т. 49, 1985, №5, с. 899-915.

9. Борисов A.B. Необходимые и достаточные условия интегрируемости уравнений Кирхгофа, Reg. & Chaot. Dyn., 1996, v. 1, №2, p. 61—73.

10. Борисов А. В., Емельянов К. В. Неинтегрируемость и стохастичность в динамике твердого тела. Ижевск, Изд-во Удм. ун-та, 1995.

11. Борисов А. В., Мамаев И. С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильто-новой механике. Ижевск: Изд.-во РХД, 1999,464 с.

12. Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твердого тела. М.-Иж.: РХД, 2001,384 с.

13. Борисов А. В., Мамаев И. С. Гамильтоновость задачи Чаплыгина о качении шара. Матем. заметки, 2001, т. 70, №5, с. 793-795.

14. Борисов A.B., Мамаев И.С. (ред.) Неголономные динамические системы. Интегрируемость. Хаос. Странные аттракторы./Сборник статей. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных иследований, 2002, 324 стр.

15. Борисов А. В., Мамаев И. С. Скобки Дирака в геометрии и механике. В кн. Дирак П. Лекции по теоретической физике. Ижевск, 2001,230 с.

16. Борисов A.B., Мамаев И.С. Странные аттракторы в динамике кельтских камней. Успехи физ. наук, 2003, т. 173, №4, с. 407—418.

17. Борисов A.B., Мамаев И.С. Случай Гесса в динамике твердого тела. ПММ,2003, v. 67, №2, с. 256-265.

18. Борисов A.B., Мамаев И.С. Случай Горячева—Чаплыгина на so(4) и его обобщения. Мат. заметки, 2004, т. 75, вып. 1, с. 20—23.

19. Борисов А. В., Мамаев И. С. Современные методы теории интегрируемых систем, Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2003, 296 с.

20. Борисов A.B., Мамаев И.С. Препятствие к гамильтоновости неголономных систем. Докл. РАН, 2002, т. 387, №6, с. 764-766.

21. Борисов A.B., Мамаев И.С. Обобщенная задача двух и четырех ньютоновских центров. В сб. «Классическая динамика в неевклидовых пространствах». Науч. ред. А. В. Борисов, И. С. Мамаев. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, с. 183-194.

22. Борисов A.B., Мамаев И.С. Системы на сфере с избыточным набором интегралов. В сб. «Классическая динамика в неевклидовых пространствах». Науч. ред. А.В.Борисов, И.С.Мамаев. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований,2004, с. 167-182.

23. Борисов A.B., Мамаев И.С., Килин A.A. Новый интеграл в задаче о качении шара по произвольному эллипсоиду. JXоклады РАН, 2002, т. 385, №3, с. 338—341.

24. Борисов А. В., Федоров Ю. Н. О двух видоизмененных интегрируемых задачах динамики. Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1995, №6, с. 102—105.

25. Буров А. А., Карапетян А. В. О несуществовании дополнительного интеграла в задаче о движении тяжелого твердого эллипсоида по гладкой плоскости. Прикл. Мат. Мех., 1985, т. 49, №3, с. 501-503.

26. Бычков Ю. П. О катании твердого тела по неподвижной поверхности. ПММ, 1965, т. 29, вып. 3, с. 573-583.

27. Вагнер В. Геометрическая интерпретация движения неголономных динамических систем. Труды семинара по векторному и тензорному анализу, 1941, вып. 5, с. 301-327.

28. Вершик A.M., Гершкович В. Я. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи. ВИНИТИ, 1987, Итоги науки и техники: Фундаментальные направления, т. 16, с. 5—85.

29. Билля А. Теория вихрей. ОНТИ, M.-J1. 1936. Пер. с фр. Villat H. Leçons sur la theoriedes tourbillions. Gauthier-Villars. 1930.

30. Воронец П. В. К задаче о движении твердого тела, катящегося без скольжения по данной поверхности под действием данных сил. Универ. Извест. Уни-версит. св. Владимира, 1909, с. 1 — 11.

31. Герц Г. Принципы механики, изложенные в новой связи. М.: Изд-во АН СССР, 1959, 386 стр. Пер. с нем.: Hertz H. Die Prinzipien der Mechanik in neuem Zusammenhange dargestellt. Ges. Werke, Bd. 3, Leipzig, Barth., 1910,3129.

32. Грановский Я. И., Жеданов А. С., Луценко И. М. Квадратичные алгебры и динамика в искривленном пространстве. I. Осциллятор; II. Проблема Кеплера. Те-ор. и мат. физ., 1992, т. 91, №2, с. 207-216; №3, с. 396-410.

33. Гриффите П. А. Внешние дифференциальные системы и вариационное исчисление. М.: Мир, 1986.

34. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

35. Дерябин М. В. Об инвариантной мере в задаче о качении симметричного шара по поверхности. Прикл. мат. и мех., 2003, т. 67, вып. 3, с. 384—389.

36. Добронравов В. В. Основы механики неголономных систем. М.: Высшая школа, 1970,271 с.

37. Емельянов К. В. К вопросу о классификации интегрируемых по Биркгофу систем с потенциалом экспоненциального вида. Мат. заметки. 2002. т. 67, вып. 5, с. 797-800.

38. Жуковский Н. Е. О гироскопическом шаре Д. Н. Бобылева. Труды отд. физич. наук Общ. люб. естествознания, 1893, т. VI, 1893, вып. 1,с. 11 — 17.

39. ЗегждаС.А., Солтаханов Ш.Х., ЮшковМ.П. Уравнения двиоюения неголономных систем и вариационные принципы механики. Изд-во Санкт-Петербургского университета, 2002,272с.

40. ЗегждаС.А. Применение обобщенного оператора Лагранлса при неголономных связях высокого порядка. Вестник Санкт-Петербургского университета, Сер. 1, 1998, №8, Вып.2, с. 76-77.

41. Карапетян А. В. Бифуркация Хопфа в задаче о движении тяжелого твердого тела по шероховатой плоскости. Изв. АН СССР, мех. тв. тела, 1985, №2, с. 19-24.

42. Карапетян А. В. О реализации неголономных связей силами вязкого трения и устойчивость кельтских камней. ПММ, 1981, т. 45, вып. 1, с. 42—51.

43. Карапетян А. В. Семейства перманентных вращений трехосного эллипсоида на шероховатой горизонтальной плоскости и их ветвления, в сб. Актуальные проблемы классической и небесной механики, под ред. С. Д. Фурты, 1998, с. 46-51.

44. Карапетян А. В. Устойчивость стационарных движений, УРСС, 1998, 150 с.

45. Кирхгоф Г. Механика. Лекции по математической физике. М.: АН СССР, 1962. Пер. с нем. Kirchhoff G. Vorlesungen über mathematische Physik. Mechanik, Leipzig. 1874.

46. Козлов В. В., Трещев Д. В. Полиномиальные интегралы гамильтоновых систем с экспоненциальным взаимодействием. Изв. АН СССР, Сер. матем., 1989, т. 51, №3, с. 537-556.

47. Козлов В. В., Трещев Д. В. Числа Ковалевской обобщенных цепочек Тоды. Мат. заметки, 1989, т. 46, №5, с. 17-28.

48. Козлов В. В. Некоторые интегрируемые обобщения задачи Якоби о геодезических на эллипсоиде. Прикл. мат. и мех., 1995, т. 59, вып. 1, с. 3—9.

49. Козлов В. В. К теории интегрирования уравнений неголономной механики. Успехи механики. 1985. т. 8. №3. с. 85—101. (См. статью 14 в сборнике под ред. А.В.Борисова, И.С.Мамаева «Неголоиомные динамические системы», М.-Иж.: ИКИ, 2001).

50. Козлов В. В .Диффузия в системах с интегральным инвариантом на торе. Доклады РАН, 2001, т. 381, №64, с. 390-393.

51. Козлов В. В., Федоров Ю. Н. Интегрируемые системы на сфере с потенциалом упругого взаимодействия. Мат. заметки, т. 56, 1994, вып. 3, с. 74—79.

52. Козлов В. В., Онищенко Д. А. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа. Докл. АН СССР, 1982, т. 266, №6, с. 1298-1300.

53. Козлов В. В. Некоторые интегрируемые обобщения задачи Якоби о геодезических на эллипсоиде. Прикл. Мат. Мех., 1995, т. 59, вып. 1, с. 3—9.

54. Козлов В. В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во Удм. ун-та, 1995.

55. Козлов В. В. Интегрируемые случаи задачи о движении точки по трехмерной сфере в силовом поле с потенциалом четвертой степени. Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1985, №3, с. 93-95.

56. Козлов В. В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. Ижевск: РХД, 2000, 256 с.

57. Козлов В. В. О существовании интегрального инварианта гладких динами че-ских систем. ПММ, 1987, т. 51, вып. 4, с. 538—546.

58. Козлов В. В. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002,320 стр.

59. Козлов В. В. О реализации неинтегрируемых связей в классической механике. ДАН СССР, 1983, т. 272, №3.

60. Козлов В. В., Колесников Н. Н. О теоремах динамики. ПММ, 1978, т. 42, вып. 1, с. 28-33.

61. Колесников С. Н. О качении диска по горизонтальной плоскости. Вестник МГУ. Мат. мех., 1985, №2, с. 55-60.

62. Колесников С.Н. Некоторые задачи механики о качении твердых тел. Дисс. на соискание уч. ст. к. ф.-м.и. Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, 1988. 88 с.

63. Колмогоров А. Н. О динамических системах с интегральным инвариантом на торе. ДАН СССР, т. 93, 1953, №5, с. 763-766.

64. Кулешов A.C. О стационарных качениях диска по шероховатой плоскости. ПММ, 2001, т. 65, вып. 1, с. 173-175.

65. Кулешов A.C. Об обобщенном интеграле Чаплыгина. Вестн. молодых ученых, СПб, Прикл. мат. и мех., 2000, №4, с. 26-30.

66. Ламб Г. Гидродинамика. ОГИЗ, Гостехиздат. 1947. Пер. с анг. Lamb Н. Hydrodynamics, Ed. 6-th., N. Y. Dover publ. 1945.

67. Ландау Л.Д., Лифшиц М. Е. Курс теоретической физики. Т. 1. Механика. М.: Наука, 1973.

68. Леонов Г. А. Глобальная устойчивость двумерных систем управления угловой ориентацией. ПММ, 2000, т.64, вып.5.

69. Леонов Г. А. Оценки аттракторов и существование гомоклинических орбит в системе Лоренца. ПММ, 2001, т.65, вып. 1.

70. Леонов Г. А. Странные аттракторы и классическая теория устойчивости движения. СПб, Издательство Санкт-Петербургского университета, 2004, 144с.

71. Мамаев И. С. Обобщенная задача Эйлера в пространствах постоянной кривизны. Труды IX международного семинара «Гравитационная энергия и гравитационные волны», Дубна, 1996, Р2-97-401, с. 75-78.

72. Мамаев И.С., Килин A.A. Точки либрации в ограниченной задаче трех тел на S2. В сб. Известия института математики и информатики, Ижевск, 1998 вып. 1, стр. 61—66.

73. Мамаев И. С. Переход к хаосу в уравнениях Эйлера—Пуассона. В сб. Устойчивость, управление и динамика твердого тела, 8 Международная конференция, Донецк, 2002, с. 70-71.

74. Мамаев И. С. Две интегрируемые системы на двумерной сфере. Доклады РАН, т. 48, №3, 2003, с.338-340.

75. Маркеев А. П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М.: Наука, 1992,336 с.

76. Маркеев А. П. О динамике твердого тела на абсолютно шероховатой плоскости. Прикл. мат. и мехаи., 1983, т. 47, вып. 4, С. 575—582.

77. Маркеев А. П. Об интегрируемости задачи о качении uiapa с многосвязной полостью, заполненной идеальной жидкостью. Изв. АН СССР, механика твердого тела, 1985, №1, с. 64-65.

78. Маркеев А. П. Теоретическая механика. Изд. 2-е. Ижевск, Изд-во РХД, 1999, 570 с.

79. Маркеев А. П. Качественные анализ движения тяжелого тела вращения на абсолютно шероховатой плоскости. ПММ, 1988, т. 52, вып. 2, с. 203—210.

80. Маркеев А. П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978,312 стр.

81. Неймарк Ю.И., Фуфаев Н. А. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967, 519 с.

82. Ольшанецкий М.А., Переломов A.M., Рейман А.Г., Семенов-Тян-Шанский М. А. Интегрируемые системы II. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т. 16, М.: ВИНИТИ, 1987, с. 86—226.

83. Паскаль М. Асимптотическое решение уравнений движения кельтского камня. Прикл. мат. и механ., 1983, т. 46, вып. 2, с. 321—329.

84. ПлиссВ.А., СеллДж.Р. Об устойчивости нормально гиперболических множеств гладких потоков. Доклады РАН, 2001, т.378, №2, с. 179—180.

85. ПоляховН.Н., ЗегждаС.А., ЮшковМ.П. Теоретическая механика. М: Высшая школа, 2000, 592с.

86. Поляхов H.H., Зегжда С.А., Юшков М.П. Уравнения динамики как необходимые условия минимальности принуждения по Гауссу. Колебания и устойчивость механических систем, Прикл. механика, Вып. 5, Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1981, с. 9-16.

87. Поляхов H.H., Зегжда С.А., Юшков М.П. Обобщение принципа Гаусса на случай неголономных систем высших порядков. Доклады АН СССР, 1983, т.269, №6, ' с. 1328-1330.

88. ПоляховН.Н., ЗегждаС.А., Юшков М.П. Специальная форма уравнений динамики системы твердых тел. Доклады АН СССР, 1989, т.309, №4, с. 805-807.

89. Прандтль Л. Гидроаэромеханика 576 стр. Ижевск: НИЦ«РХД», 2000.

90. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. В кн. Избранные труды, Т. 1,2. М.: Наука, 1971, 771 стр., 1972, с. 9-356.

91. Пуанкаре А. Идеи Герца в механике. В кн. Последние работы А. Пуанкаре, пер. с франц. Ижевск: Изд-во «РХД», 2001.

92. Раус Э .Динамика системы твердых тел. т. II, М., 1983. Перевод с англ. Routh Е. Dynamics of a System of Rigid Bodies. Dover Publications, New York.

93. Раус Э. Дж .Динамика системы твердых тел, т. II. М.: Наука, 1983. Пер. с англ.: Routh E.J. Dynamics of a System of Rigid Bodies. Dover Publications, New York.

94. Рейман А. Г., Семенов-Тян-Шанский M.A. Интегрируемые системы: теоретико-групповые методы. М.-Иж.: ИКИ, 2003.

95. Рубановский В.Н., Самсонов В. А. Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах. М.: Наука, 1988,304 с.

96. Румянцев В. В. О принципе Гамильтона для неголономных систем. ПММ, 1978, т. 42, вып. 3, с. 407-419.

97. Румянцев В. В. Об интегральных принципах для неголономных систем. ПММ, 1982, т. 46, вып. 1, с. 3-12.

98. Садетов С. Т. Условия интегрируемости уравнений Кирхгофа, Вестн. МГУ, сер. мат. мех., 1990, №3, с. 56-62.

99. Соколов В. В. Новый интегрируемый случай для уравнений Кирхгофа, ТМФ, 2001, т. 129, №1, с. 31-37.

100. Соколов В. В., Цыганов А. В. Коммутативные пуассоновы подалгебры для скобок Склянина и деформации известных интегрируемых моделей. Теор. и мат. физ., 2002, т. 133, №3, с. 485-493.

101. Ч Суслов Г. К- Теоретическая механика. М.-Л.: Гостехиздат, 1946, 655 с.

102. Сэффмэн Ф. Дж. Динамика вихрей. М., Научный мир. 2000, пер. с англ. Saffman P. G. Vortex Dynamics. Camb. Univ. Press. 1992.

103. Татаринов Я. В. Построение компактных многообразий, отличных от торов в одной интегрируемой неголономной задаче. Усп. мат. наук, 1985, т. 41, вып. 3, с. 216.

104. Татаринов Я. В. Разделяющиеся переменные и новые топологические явления в голономных и неголономных системах // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. Т. XXIII, М., 1988, 160-174.

105. Татаринов Я. В. Слабо неголономное представление задачи о качении твердого тела и возможности усреднения по фазовым торам // МТТ, 1988, N1.

106. Татаринов Я. В. Следствия неинтегрируемого возмущения интегрируемых связей. Нелинейные эффекты движения вблизи многообразия равновесий // ПММ, 1992, 56, вып. 4.

107. Федоров Ю. Н. О качении диска по абсолютно шероховатой плоскости. Изв. АН СССР. Мех. твердого тела, 1987, №4, с. 67-75.

108. Чаплыгин С. А. Новое частное решение задачи о движении твердого тела в жидкости. Собр. соч., т. 1, М.-Л.: ГИТТЛ, 1948, с. 337—346. (Изд. 1-е: Труды отд. физ. наук общ-ва любителей естествознания, 1903, т. 11, вып. 2, с. 7—10.)

109. Чаплыгин С. А. О движении тяжелого твердого тела вращения на горизонтальной плоскости. Собр. соч., т. 1, М.-Л.: ОГИЗ, 1948, с. 57—75.

110. Чаплыгин С. к. К теории движения неголономных систем. Теорема о приводящем множителе. Собр. соч., т. 1, М.-Л.: ОГИЗ, 1948, с. 15—25.

111. Чаплыгин С. А. О катании шара по горизонтальной плоскости. Собр. соч., т. 1, М.-Л.: ГИТТЛ, 1948, с. 76—101. (Изд. 1-е: Мат. сборник Кружка любителей мат. наук, 1903, т. 24, вып. I.e. 139-168.)

112. ШильниковЛ.П., Шильников А.Л., ТураевД.В., ЧуаЛ. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 1, М.-И.: Институт компьютерных исследований, 2004,416с.

113. ЮшковМ.П. Уравнения движения машинного агрегата с вариатором как неголономной системы с нелинейной связью второго порядка. Механика твердого тела, 1997, № 7, с. 40-44.

114. Якоби К. Лекции по динамике. М.—Л., 1936, 272 с. Пер. с нем.: Jacobi C.G.J. Vorlesungen über Dynamik. Berlin, G. Reimer, 1884, 300 S.

115. Ярощук В. А. Интегральный инвариант в задаче о качении без скольжения эллипсоида со специальным распределением масс по неподвижной плоскости. Изв. РАН, Мех. тв. тела, 1995, №2, с. 54-57.

116. Ярощук В. А. Новые случаи существования интегрального инварианта в задаче о качении твердого тела без проскальзывания по неподвижной поверхности. Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1992, №6, с. 26—30.

117. Adler M., van Moerbeke P. A new geodesic flow on so(4). Probability, statistical mechanics and number theory. Advances in mathematics supplementary studies, v. 9, 1986, p. 81-96.

118. Adler M., van Moerbeke P. Kowaleuski's asymptotic method, Kac-Moody Lie algebras and regularization. Commun. Math. Phys., 1982, v. 83, p. 83—106.

119. Adler M., van Moerbeke P. Completely integrable systems, Euclidean Lie algebras, and curves. Adv. Math., 1980, v. 38, p. 267-317.

120. Adler M., van Moerbeke P. Linearization of Hamiltonian systems, Jacobi varieties and representation theory. Adv. Math., 1980, v. 38, p. 318—379.

121. Appell P. Sur l'intégration des équations du mouvement d'un corps pesant de révolution roulant par une arête circulaire sur un plan horizontal; cas particulier du cerceau. Rendiconti del circolo matematico di Palermo, 1900, T. 14, P. 1—6.

122. Bates L., Sniatycki J. Nonholonomic reduction. Rep. on Math. Phys, 1993, v. 32, №1, p. 99-115.

123. Bates L., Cushman R. What is a completely integrable nonholonomic dynamical system? Rep. on Math. Phys., 1999, v. 44, №1/2, p. 29-35.

124. Bloch A., Krishnaprasad P., Marsden J., Murray R. Nonholonomic Mechanical Systems with symmetry. Arch. Rational. Mech. Anal., 1996, v. 136, p. 21—99.

125. Bogoyavlenskij О. I. On perturbation of the periodic Toda lattice. Commun. Math. Phys., 1976, v. 51, №3, p. 201-209.

126. Bolsinov A. V., Borisov A.V., Mamaev I.S. Lie algebras in vortex dynamics and celestial mechanics — IV. Reg. & Chaot. Dyn., 1999, v. 4, №1.

127. Borisov A. V., Mamaev I. S. Rolling of a rigid body on plane and sphere. Hierarchy of dynamics. Reg. & Chaot. Dyn., 2002, v. 7, №2, p. 177-200.

128. Borisov A. V., Mamaev I. S. An integrability of the problem on motion of cylinder and vortex in the ideal fluid, Req. & Chaot. Dyn. 2003, v. 8, №2, p. 163—166.

129. Borisov A. V., Mamaev I. S. Some Comments to the Paper of Perelomov A.M. A note on geodesies on ellipsoid. Reg. & Chaot. Dyn., 2000, v. 5, №1, p. 92—94.

130. Borisov A. V., Mamaev I. S. Adiabatic Chaos in Rigid Body Dynamics. Reg. & Chaot. Dyn., 1997, v. 2, №2.137.138.139.140.141.142.143.144.145.146.147.148.149.150.1511152.

131. Borisov A. V., Mamaev I. S. Euler-Poisson Equations and Integrable Cases. Reg. & Chaot. Dyn., 2001, v. 6, №3.

132. Borisov A. V., Mamaev I. S. Generalization of the Goryachev—Chaplygin Case. Reg. & Chaot. Dyn., 2002, v. 7, №1.

133. Borisov A. V., Mamaev I. S. Non-linear Poisson brackets and isomorphisms in dynamics. Reg. & Chaot. Dyn., 1997, v. 2, №3-4.

134. Borisov A. V., Mamaev I. S., Kholmskaya A.G. Kovalevskaya Top and Generalizations of Integrable Systems. Reg. & Chaot. Dyn., 2001, v. 6, №1.

135. Borisov A. V., Mamaev I. S., Kilin A. A. Rolling of a ball on a surface. New integrals and hierarchy of dynamics. Reg. & Chaot. Dyn., 2001, v. 6, №2, p. 201—220.

136. Borisov A. V., Mamaev I. S., Kilin A. A. Dynamics of rolling disk. Reg. & Chaot. Dyn., 2003, v. 8, №2, p. 201-212.

137. Borisov A. V., Mamaev I. S., Ramodanov S.M. Motion of a circular cylinder and n point vortices in a perfect fluid. Reg. & Chaot. Dyn., 2003, v. 8, №4.

138. Borisov A. V., Mamaev I. S., Ramodanov S.M. Dynamics of a circular cylinder interacting with point vortices. Accepted for publication in a special issue of Discrete and Continuous Dynamical Systems B, v. 5, №1, 2005.

139. Broer H., Simo C., Vitolo R. Bifurcations and strong attractors in the Lorentz-84 climate model with seasond forcing

140. Caratheodory C. Der Schlitten. ZAMM, 1933, B. 13, S. 71-76.

141. Chernikov N. A. The Kepler problem in the Lobachevski space and its solution. Acta Phis Polonika, V. 23, 1992, P. 115-124.

142. Cushman R., Kemppainen D., Sniatycki J., Bates L. Geometry of nonholonomic constraints. Rep. on Math. Phys., 1995, v. 36, №2/3, p. 275-286.

143. Cushman R., Hermans J., Kemppainen D. The rolling disk. University of Calgary, Preprint, 1995,51 p.

144. Dirac P. A. M. Generalizated Hamiltonian Dynamics. Canadian Journal of Math., v. 2, № 2, 1950, p. 129-148. (См. также сб. Дирак П. А. М. Лекции по теоретической физике. М-И: РХД, 2001.)

145. Eddington A. S. Relativity theory., M.-SPb., 1934.

146. Gaffet В. J. Spinning gas clouds without vorticity. J. Phys. A, 2000, v. 33, p. 3929— 3946.

147. Gaffet B. J. A completely integrable Hamiltonian motion on the surface of a sphere. J. Phys.A, 1998, v. 31, p. 1581-1596.

148. Gaffet B.J. An integrable Hamiltonian motion on a sphere: 11. The separation of variables. J. Phys. A, 1998, v. 31, p. 8341-8354.

149. Greenhill A. G. Plane vortex motion. Quart. J. Pure Appl. Math. 1877/78, v. 15, № 58, p. 10-27.

150. Ferrers N.M. Extension of Lagrange's equations. Quart. J. of pure and applied mathematics. 1872, V. 12, № 45, P. 1-5.

151. Havelock T. H. The stability of motion of rectilinear vortices in ring formation. Phil. Mc. 1931, Ser. 7, v. 11, № 70, p. 617-633.

152. Hermans J. A symmetric sphere rolling on a surface. Nonlinearity, 1995, v. 8(4), p. 493-515.

153. Hermans J. Rolling Rigid Bodies with and without symmetries. Utrecht: Universitet Utrecht, Facultiet Wiskunde en Informatica, 1995, 107 p.

154. Inosemtsev V.I. The finite Toda lattices. Commun. Math. Phys., 1989, v. 121, p. 629— 638.

155. Kane T. R., Levinson D.A. Realistic mathematical modeling of the rattleback. International Journal Non-Linear Mechanics, 1982, v. 17, №3, p. 175-186.

156. Kholmskaya A. G. Motion of a disk within a sphere. Reg. & Chaot. Dyn., 1998, V. 3, №2, P. 74-81.

157. Kholmskaya A. G. On a disk rolling within a sphere. Reg. & Chaot. Dyn., 1998, V. 3, №1, P. 86-92.

158. Kilin A. A. The Dynamics of Chaplygin Ball: the Qualitative and Computer Analysis, Reg. & Chaot. Dyn., 2001, V. 6, №3, p. 291-306.

159. Kozlov V. V. On dynamics in spaces of a constant curvature. Vestnik MGU, Math.-mech., 1994, №2, P. 28-35.

160. Kozlov V. V., Harin A. O. Kepler's problem in constant curvature spaces. Cel. Mech. and Dyn. Ast., v 54, 1992, p. 393-399.

161. Kuznetsov V. B. Separation of variables for the Dn type periodic Toda lattice. arXiv: solv-int/9701009, 1997.

162. Linderberg R. E., Longman R. W. On the dynamic behavior of the wobblestone. Acta mechanica, 1983, v. 49, №1-2, p. 81-94.

163. Lindelöf E. Sur le mouvement d'un corps de revolution roulant sur un plan gorizontal. Acta Societ., Scient. Fennicae, 1985, t. 20, №10, p. 1-18.

164. Liouville R. Sur le mouvement d'un solide dans un liquide indéfini. Comp. Rend. Ac. Sc., ser.2, 1896, p. 874-876.

165. Mamaev I.S., Chernoivan V. A. The restricted two-body problem and the Kepler problem in the constant curvature spaces. Reg. & Chaot. Dyn., 1999, v. 4, №2.

166. Mamaev I. S. New cases when the invariant measure and first integrals exist in the problem of a rigid body rolling on a surface. Reg. & Chaot. Dyn., v. 8, 2003, №3, p. 331-336.

167. Moser J. Geometry of Quadrics and Spectral Theory, The Chern Symposium. Berkeley, June, 1979. Русс. пер. в книге: Мозер Ю. Интегрируемые гамильтоновы системы и спектральная теория. М.-Иж.: РХД, 1999, с. 128—181.

168. Neumann С. Über die rollende Bewegung einer Körper auf einer gegebenen Horisontal Ebene unter dem Einflüss der Schweren. Math. Annal., 1886, Bd. 27, S. 478-505.

169. Nöether F. Über rollende Bewegung einer Kugel auf Rotationsßäche. Leipzig, Teubner, 1909, 56 S.

170. O'Reilly О. M. The Dynamics of rolling disks and sliding disks. Nonlinear Dynamics, 1996, v. 10, p. 287-305.

171. Perelomov A.M. A note on geodesies on ellipsoid. Reg. & Chaot. Dyn., 2000, v. 5, № 1, p. 89-94.

172. Ramodanov S. M. Motion of a Circular Cylinder and a Vortex in an ¡deal Fluid. Reg. & Chaot. Dyn. 2001, v. 6, № 1, p. 33-38.

173. Ramodanov S.M. Motion of a Circular Cylinder and N Point Vortices in a Perfect Fluid. Reg. & Chaot. Dyn. 2002, v. 7, № 3, p. 291-298.

174. Ramos A. Poisson structures for reduced non-holonomic system, 2004, (submited to J. Phys A: Math. Gen.)

175. Rosochatius E. Über die Bewegung eines Punktes. Inaugural Dissertation, Univ. Göttingen, Berlin, 1877.

176. Sevryuk M. B. Reversible Systems. Lect. Notes, Math., 1211, Berlin, Springer-Verlag, 1986,319 p.

177. Shashikanth B.N., Marsden J.E., Burdick J.W., Kelly S.D. The Hamiltonian structure of a 2D rigid circular cylinder interacting dynamically with N point vortices, Phys. of Fluids. 2002, v. 14, p. 1214-1227.

178. Sklyanin E.K. Boundary conditions for integrable quantum systems. J. Phys. A, v. 21, 1988, p. 2375-2389.

179. Slesser G. M. Notes on rigid dynamics. Quart. J. of Math., 1861, v. 4, p. 65-77.

180. Stüber E. Rollbewegung einer homogenen schweren Kugel auf einer Zylinderfläche. Zeitschrift für Mathematik und Physik. 1909. Bd. 57, S. 260-271.

181. Sumbatov A. S. Nonholonomic systems, Reg. & Chaot. Dyn., 2002, v. 7, №2, p. 221 — 238. (Перев. на рус.: Сумбатов A.C. «Неголономные системы» в сб. «Неголоном-пые динамические системы» под ред. А. В. Борисова, И.С. Мамаева. М.-Иж.: ИКИ, 2002.)

182. Synge J.L. On the motion of three vortices. Can. J. Math. 1949, v. 1, p. 257-270.

183. Walker J. The mysterious «rattleback»: a stone spins in one direction and then reverses. Scientific American, 1979, №10, p. 144-149.

184. Weber R. Hamiltonian systems with constraints and their meaning in mechanics. Arch. Rat. Mech. Anal., 1986, v. 91, p. 309-335.

185. Wojciechowski S. Integrable one-particle potentials related to the Neumann system and the Jacobi problem of geodesic motion on an ellipsoid. Phys. Lett. A, v. 107, №3, p. 106-111.

186. Woronetz P. Über die Bewegung eines starren Körpers, der ohne Gleitung auf einer beliebigen Fläche rollt. Mathematische Annalen, 1911, Bd. 70, S. 410-453.

187. Woronetz P. Über die rollende Bewegung einer Kreisscheibe auf einer beliebigen Fläche unter der Wirkung von gegebenen Kräften. Mat. Annalen, 1909, Bd. 67, S. 268-280.

188. Yoshida H. A criterion for the non-existence of an additional integral in hamiltonian system with a homogeneous potential. Physica 29D, 1987, p. 128—132.