Исследование устойчивости и бифуркаций стационарных движений некоторых неголономных систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Содержание.

Введение.

Глава 1. Об обобщенном интеграле Чаплыгина.

1. Постановка задачи.

2. Историческая справка.

3. Получение основного соотношения.

4. Движение шара по плоскости.

5. Движение шара по внутренней поверхности сферы.

6. Движение шара с гироскопом по плоскости.

7. Движение шара по произвольной поверхности.

Дополнение. Вывод формулы (5.3).

Глава 2. Диск на абсолютно шероховатой плоскости.

Введение.

1. Историческая справка.

2. Уравнения движения и их первые интегралы.

3. Стационарные движения.

4. Анализ условия существования стационарных движений.

5. Условие устойчивости стационарных движений и его анализ.

6. Первоначальные выводы об устойчивости.

7. Результаты численного исследования.

8. Предварительные рассуждения для дальнейшего исследования устойчивости.

9. Исследование устойчивости на интервале < а < а*(к)

10. Исследование устойчивости на промежутке а*(к) < а < 7г/

11. Выводы.

12. Наглядный материал. Сравнение с другими работами.

Дополнение. Соотношения между

Глава 3. Диск с гироскопом на абсолютно шероховатой плоскости

1. Постановка задачи. Стационарные движения диска с гироскопом

2. Устойчивость найденных решений.

Глава 4. Шар на абсолютно шероховатой плоскости.

1. Постановка задачи. Уравнения движения и их интегралы.

2. Историческая справка.

3. Предварительные рассуждения.

4. Построение эффективного потенциала.

5. Стационарные движения шара.

6. Анализ уравнения (5.7).

7. Условие устойчивости стационарных движений (5.3).

8. Некоторые выводы об устойчивости регулярных прецессий

Глава 5. Исследование частных случаев.

1. Регулярные прецессии шара с дополнительным ограничением на распределение масс.

2. Случай С1 = 0.

3. Случай С2 — 0.

Задача о движении тяжелого твердого тела без проскальзывания по заданной поверхности (в частности, по плоскости) является одной из основных задач целого раздела аналитической механики - динамики неголономных систем. Классическая динамика неголономных систем, с одной стороны, имеет примерно вековую историю, а с другой - все еще, так или иначе, сохраняет облик дисциплины изолированной и отчасти противопоставленной динамике систем голономных. Дело здесь не столько в названии, сколько - во первых - в том, что объекты этой дисциплины исследуются скорее индивидуально, нежели на основании общих подходов, которые расширяли бы методы динамики голономных систем и - во вторых - в том, что ведут себя эти объекты, согласно широко распространенному мнению, часто неожиданно. В динамике неголономных систем известно сравнительно немного точно решенных задач (практически полную информацию можно найти в книгах [2,30,39,48]), поэтому исследования, относящиеся к этой науке, вызывают известный интерес как у нас в стране, так и за рубежом.

Все сказанное в равной мере относится и к исследованию устойчивости движения неголономных систем. Постановка задач об устойчивости движения таких систем требует большого внимания, что не раз отмечалось многими известными специалистами в этой области [20,49,50]. Разрозненные результаты по исследованию устойчивости стационарных движений конкретных неголономных систем впервые были систематизированы, по-видимому, в книге [39]. Описанию дальнейших результатов, полученных в этой области, посвящены обзоры [23] и [42].

Неголономные модели различных механических систем находят применение при решении многих технических задач: в теории движения велосипеда и мотоцикла [25,33,54,55], в теории движения автомобиля [15,16,26,27], в теории взаимодействия колеса и дороги [4,5,16,25], в теории движения электрических машин [7,8,28,29,31] и, с недавнего времени, при изучении движения мобильных роботов [10,24,32,37], а также в целом ряде других областей техники.

Интерес к механике неголономных систем и, в частности, к задаче о качении тела по неподвижной поверхности без проскальзывания ничуть не ослабевает, свидетельством чему являются появившиеся сравнительно недавно работы [53,58] и [66]. Современное состояние этого вопроса и обширная библиография имеются в монографии [30].

В предлагаемой диссертации изучаются вопросы устойчивости и бифуркации стационарных движений некоторых конкретных неголоном-ных систем, в частности, неоднородного динамически симметричного шара и диска, катящихся без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости (если движение по некоторой поверхности происходит без скольжения, то принято говорить, что она абсолютно шероховатая). Подробные обзоры литературы по этим вопросам приведены в соответствующих главах. В первой главе предлагается способ нахождения одного из первых интегралов в задаче о движении неоднородного динамически симметричного шара по абсолютно шероховатой плоскости - интеграла Чаплыгина. Указанный способ не только устраняет все сложности, имевшиеся в других методах построения данного интеграла, но и обобщает его на случай движения шара по поверхности сферы в отсутствии поля тяготения.

Во второй главе дано полное аналитическое исследование условий устойчивости и бифуркаций стационарных движений тяжелого круглого диска, катящегося по неподвижной абсолютно шероховатой плоскости. Все аналитические результаты подтверждены численными экспериментами. Результатом исследования явилось построение полного атласа бифуркационных диаграмм в данной задаче. Попытки изучения бифуркаций в рассматриваемой задаче проводились и ранее. Особенно успешными, в этом смысле, являются работы [56] и [62]. Однако в этих работах проводились только численные исследования условий существования и устойчивости стационарных движений, что мотивировалось значительной сложностью этих условий.

В третьей главе проводится аналогичное исследование для случая, когда на диске установлен быстровращающийся ротор, ось которого проходит через центр диска, перпендикулярно к его плоскости. Также, как и в главе 2, исследования проводились двумя путями - аналитически и численно. В результате был построен полный атлас бифуркационных диаграмм.

В четвертой главе исследуются бифуркации в задаче о движении неоднородного динамически симметричного шара по абсолютно шероховатой плоскости. Здесь исследования такой полноты, как в главах 2 и 3, провести не удалось, что вызвано большой сложностью исследуемых выражений, поэтому для некоторых построенных численно бифуркационных диаграмм нет надлежащего аналитического обоснования. Однако, удалось выделить несколько частных случаев, когда при дополнительных ограничениях на распределение масс в шаре, такое исследование все же возможно провести до конца. Этому посвящена последняя пятая глава диссертации.

Все аналитические рассуждения, проведенные в диссертации и связанные, зачастую, с анализом довольно громоздких выражений производились вручную и проверялись затем с помощью компьютерной программы символьных вычислений MAPLE V Release 5.1. С помощью этой же программы производились все численные расчеты и строились бифуркационные диаграммы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Кратко сформулируем основные результаты диссертации.

1. Предложен новый способ нахождения одного из первых интегралов в задаче о движении неоднородного динамически симметричного шара по абсолютно шероховатой плоскости - интеграла Чаплыгина. Указанный способ не только устраняет все сложности, имевшиеся в других методах построения данного интеграла, но и обобщает его на случай движения шара по поверхности сферы в отсутствии поля тяготения.

2. Дано полное аналитическое исследование условий устойчивости и бифуркаций стационарных движений тяжелого круглого диска, катящегося по неподвижной абсолютно шероховатой плоскости. Все аналитические результаты подтверждены численными расчетами. В результате построен полный атлас бифуркационных диаграмм в данной задаче. Аналогичное исследование проведено для случая, когда на диске установлен быстровращающийся ротор, ось которого проходит через центр диска, перпендикулярно к его плоскости.

3. Проведено исследование устойчивости и бифуркаций в задаче о движении неоднородного динамически симметричного шара на абсолютно шероховатой плоскости. Построены бифуркационные диаграммы. Выделен и исследован ряд интересных частных случаев.

1. Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука. 1968. 912 с.

2. Аппелъ П. Теоретическая механика. Т. 1-2. М.: Физматгиз. 1960. 515 с. 487 с.

3. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: ГИТТЛ. 1955. 608 с.

4. Вилъке В.Г. О качении вязкоупругого колеса // Изв. РАН. МТТ. 1993. N 6. С. 11-15.

5. Вилъке В.Г. Качение колеса с пневматической шиной // Вестник МГУ. Сер.1. Мат. мех. 1998. N 5. С. 30-39.

6. Воронец П.В. Уравнения движения твердого тела, катящегося без скольжения по неподвижной поверхности. Киев: Тип. Ун-та Св. Владимира. 1903. 152 с.

7. Гапонов A.B. Неголономные системы С.А. Чаплыгина и теория коллекторных электрических машин // Докл. АН СССР. Новая серия. T. LXXXVII. N 3. С. 401-404.

8. Гапонов A.B. Электромеханические системы со скользящими контактами и динамическая теория электрических машин // Сб. памяти A.A. Андронова. М.: Из-во АН СССР. 1955. С. 196-214.

9. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука. 1971. 1108 с.

10. Девянин Е.А. О движении колесных роботов // Доклады научной школы-конференции "Мобильные роботы и мехатронные системы" (с международным участием). М.: Из-во МГУ. 1999. С. 169-200.

11. Добронравов В.В. Основы механики неголономных систем. М.: Высшая школа. 1970. 270 с.

12. Дувакин А.П. Об устойчивости движения волчка по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости // Инж. журн. 1962. Т. 2. Вып. 2. С. 222-230.

13. Дувакин А.П. Об устойчивости движения волчка с гироскопом по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости // Инж. журн. 1963. Т. 3. Вып. 1. С. 131-134.

14. Дувакин А.П. Об устойчивости движений диска // Инж. журн. 1965. Т. 5. Вып. 1. С. 3-9.

15. Жуковский Н.Е. К динамике автомобиля. Полное собр. соч. Т. 7. М.-Л. ГИТТЛ. 1950. С. 362-368.

16. Журавлев В.Ф., Фуфаев H.A. Механика систем с неудерживаюгци-ми связями. М.: Наука. 1993. 240 с.

17. Карапетян A.B. К вопросу об устойчивости стационарных движений // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР. 1982. С. 87-102.

18. Карапетян A.B. Некоторые задачи динамики неголономных систем. Дисс. докт. физ.-мат. наук. М. 1982. 259 с.

19. Карапетян A.B. Об устойчивости стационарных движений систем некоторого вида // Изв. АН СССР. МТТ. 1983. N 2. С. 45-52.

20. Карапетян A.B. О специфике применения теории Рауса к системам с дифференциальными связями // ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 3. С. 17-22.

21. Карапетян A.B. Устойчивость стационарных движений. М.: Эди-ториал УРСС. 1998. 168 с.

22. Карапетян A.B. О теореме Рауса для систем с неизвестными первыми интегралами // Сб. научно-метод. статей по теор. мех. Вып. 23. М.: Из-во МГУ. 2000. С. 45-53.

23. Карапетян A.B., Вумянцев В.В. Устойчивость консервативных и диссипативных систем // Итоги науки и техники. Общая механика. Т. 6. М.: ВИНИТИ. 1983. 132 с.

24. Кобрин А.И., Мартыненко Ю.Г. Неголономная динамика мобильных роботов // Доклады научной школы-конференции "Мобильные роботы и мехатронные системы" (с международным участием). М.: Из-во МГУ. 1999. С. 107-123.

25. Левин М.А., Фуфаев H.A. Теория качения деформируемого колеса. М.: Наука. 1989. 272 с.

26. Линейкин П. С. О качении автомобиля // Труды Саратовского ав-томоб.-дор. ин-та. 1939. N 5. С. 3-22.

27. Лобас Л.Г. Неголономные модели колесных экипажей. Киев: Нау-кова думка. 1989. 232 с.

28. Львович А.Ю., Поляхов H.H. Приложение неголономной механики к теории электромеханических систем // Вестник ЛГУ. 1977. Вып. 3. N 13. С. 137-146.

29. Львович А.Ю., Родюков Ф.Ф. Уравнения электрических машин. СПб: Из-во С.-Петерб. ун-та. 1997. 289 с.

30. Маркеев А.П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М.: Наука. 1992. 336 с.

31. Мартыненко Ю.Г. Аналитическая динамика электромеханических систем. М.: МЭИ. 1984. 63 с.

32. Мартыненко Ю.Г. Устойчивость неуправляемых движений одноколесного мобильного робота с маховичной системой стабилизации // Проблемы механики современных машин. Улан-удэ: 2000. С. 96-101.

33. Метелицын И.И. Избранные труды. Теория гироскопа. Теория устойчивости. М.: Наука. 1977. 131 с.

34. Миндлин И.М. Об устойчивости диска, несущего гироскоп // Инж. журн. 1964. Т. 4. Вып. 1. С. 101-104.

35. Миндлин И.М. Об устойчивости движения тяжелого тела вращения на горизонтальной плоскости // Инж. журн. 1964. Т. 4. Вып. 2. С. 225-230.

36. Миндлин И.М., Пожарицкий Г.К. Об устойчивости стационарных движений тяжелого тела вращения на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости // ПММ. 1965. Т. 29. Вып. 4. С. 742-745.

37. Морозов В.М., Каленова В.И., Шевелева E.H. О стабилизации установившихся движений неголономных механических систем // Труды международной конференции "Математика в индустрии". Таганрог. 1998. С. 232-233.

38. Мощук Н.К. Качественный анализ движения тяжелого тела вращения на абсолютно шероховатой плоскости // ПММ. 1988. Т. 52. Вып. 2. С. 203-210.

39. Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Динамика неголономных систем. М.: Наука. 1967. 519 с.

40. Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел. Т. 1-2. М.: Наука. 1983. 404 с. 544 с.

41. Румянцев В.В. Об устойчивости движения гиростатов некоторого вида // ПММ. 1961. Т. 25. Вып. 4. С. 778-784.

42. Румянцев В.В., Карапетян A.B. Устойчивость движения неголономных систем // Итоги науки и техники. Общая механика Т. 3. М.: ВИНИТИ. 1976. С. 5-42.

43. Смейл С. Топология и механика // УМН. 1972. Т. 27. Вып. 2. С. 77-133.

44. Сумбатов A.C. Интегралы, линейные относительно скоростей. Обобщения теоремы Якоби // Итоги науки и техники. Общая механика. Т. 4. М.: ВИНИТИ. 1979. С. 3-57.

45. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Т. 1-2. М.: Гос. из-во физ.-мат. лит-ры. 1963. 344 с. 516 с.

46. Федоров Ю.Н. О качении диска по абсолютно шероховатой плоскости // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. N 4. С. 67-75.

47. Чаплыгин С. А. О движении тяжелого тела вращения по горизонтальной плоскости // Труды Отделения физических наук общества любителей естествознания, антропологии и этнографии. 1897. T. IX. Вып. 1. С. 10-16.

48. Чаплыгин С.А. Исследования по динамике неголономных систем. M.-JL: Гостехиздат. 1949. 112 с.

49. Четаев Н.А. О некоторых задачах об устойчивости движения в механике // ПММ. 1956. Т. 20. Вып. 2. С. 309-314.

50. Четаев Н.А. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Из-во АН СССР. 1962. 535 с.

51. Ярощук В.А. Новые случаи существования интегрального инварианта в задаче о качении твердого тела без проскальзывания по неподвижной поверхности // Вестник МГУ. Сер. 1. Мат. мех. 1992. N 6. С. 26-30.

52. Appell P. Sur l'intégration des équations du mouvement d'un corps pesant de révolution roulant par une arête circulaire sur un plane horizontal; cas particulier du cerceau // Rend. circ. mat. di Palermo. 1900. V. 14. P. 1-6.

53. Bloch A.M., Krishnaprasad P.S., Marsden J.E. and Murray R.M. Non-holonomic Mechanical Systems with Symmetry // Arch. Rational Mech. Anal. 1996. 136. P. 21-99.

54. Bourlet M.C. Traite des bicycles et bicyclettes. Paris. Gauthier-Villars. 1898.

55. Carvallo E. Theorie du mouvement du monocycle et de la bicyclette // Journ. de l'ecole Polytechnique. Serie 2. V Cahiers. 1900. P. 119-188. Serie 2. VI Cahiers. 1901. P. 1-118.

56. Cushman R., Hermans J. and Kemppainen D. The rolling disk // Nonlinear Dynamical Systems and Chaos (Groningen 1995). Progr. Nonlinear Differential Equations Applicat. 19. Birkhauzer, Basel. P. 21-60.

57. Gallop E.G. On the rise of a Spinning Top // Proc. Cambr. Phylos. Soc. 1904. V. 19. pt. 3. P. 356-373.

58. Hermans J. Rolling Rigid Bodies, with and without Symmetries. PhD thesis. University of Utrecht. 1995. 108 p.

59. J eilet J.H. A Treatise on the Theory of Friction. Dublin, London: MacMillan. 1872. 230 p.

60. Karapetyan A. V. On construction of the effective potential in singular cases // Regular and Chaotic Dynamics. V. 5. No 2. 2000. P.219-224.

61. Korteweg D. Extrait d'une lettre a M. Appell // Rend. circ. mat. di Palermo. 1900. V. 14. P. 7-8.

62. O'Reilly O.M. The Dynamics of Rolling Disks and Sliding Disks // Nonlinear Dynamics. 1996. 10. P. 287-305.

63. Routh E.J. A Treatise on the Stability of a Given State of Motion. London: Macmillan and Co. 1877. 108 p.

64. Salvadori L. Un osservazione su di un criteria di stabilita del Routh // Accad. sei. fis. math. Napoli (4). 1953. V. 20. P. 267-272.

65. Vierkandt A. Uber gleitende und rollende Bewegung // Monatshefte fur Mathematik und Physik. 1892. Jahrgang 3. S. 31-54, 97-134.

66. Zenkov D.V., Bloch A.M. and Marsden J.E. The energy-momentum method for the stability of nonholonomic systems // Dynamics and Stability of Systems. Vol. 13. No 2. 1998. P. 123-165.

67. Кулешов A.C. О стационарных движениях диска на абсолютно шероховатой плоскости // ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 5. С. 797-800.

68. Кулешов A.C. К динамике волчка на шероховатой плоскости // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН. 1999. С. 130-140.

69. Кулешов A.C. Об интеграле Чаплыгина // Сб. научно-метод. статей по теор. мех. Вып. 23. М.: Из-во МГУ. 2000. С. 95-98.

70. Кулешов A.C. Об интеграле Желле-Чаплыгина // Вестник МГУ. Сер. 1. Мат. мех. N 2. 2000. С. 54-56.

71. Кулешов A.C. Об обобщенном интеграле Чаплыгина // Вестник молодых ученых. Сер. Прикл. мат. и мех. N 4. 2000. С. 26-30.

72. Кулешов A.C. О стационарных качениях диска на шероховатой плоскости // ПММ. 2001. Т. 65. Вып. 1. С. 173-175.