Применение методов математической теории особенностей к исследованию динамических систем с неголономными связями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СССР ПО НАРОДНОМУ ОШЗОВАЕИЮ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНША И СРДЕНА (ЖТЯН>ЬСКОЙ РЕВОШЩ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ имени СЕРП» ОРДКШКИДЗЕ

На правах рукописи

СТАНШКО СЕРГЕЙ ВЛАДИМИРОВИЧ

УДК 531.01

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОСОШНОСТЕЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С НЕГОШОШШИ СВЯЗЯМ

Специальность: 01.02.01 "Теоретическая механика"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва Издательство МАИ

1990

Работа выполнена в Московском ордена Левина и ордена Октябрьской Револвдни авиационном институте вмени Сергс Ордкониетдзв

Научные руководи гели - доктор физико-ыатематиче ских наук

профессор В.Г.Веретенников, кандидат физико-математических наук

B.М.Закалюкин

Официальные оппонента: доктор физико-математических наук

профессор А.Н.Варчэнко кандидат физико-математических наук

C.Д.Фурта

Ведущая организация: Московский государственный

университет им.Ломоносова

Защита состоится » /£> « д^^/^ог^и^р 1990 г. на заседании специализированного совета К 053.18.02 в Московском авиационном институте

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ Адрес института: 125871, Москва,ГСП,Волоколамское шоссе,4.

Автореферат разослан " /<Ь » а+Л^цг-г 1989г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических

наук, доцент /У (—} Л.Ф.Лобанова

ОВДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертацня посвящена изучению различных свойств механических систем с неголономными связями.

Актуальность темы. Начало неголономной механики было соложено в классических работах Г.Иерца, С.А.Чадлютгаа.Ап-пвля и др.ученых. Основным источником задач этого раздела механики служит динамика твердого тела.

Современные достижения теории неголономных систем связаны с развитием качественных методов исследования динамических систем .проникновением в механику математического аппарата, развитого в геометрии,топологии, теории особенностей и др. разделах математики. Интерес к некоторым направлениям - таким как геометрия неголономных многообразий, симметрии в неголономной механике - вырос лишь в самое последнее время, с развитием бескоординатных методов,теории групп Ли.

С другой стороны, в настоящее время большой интерес проявляется к нвголономннм вариационным задачам, возникающим в квантовой теории,термодинамике, а также различным обобщениям метода канонического оператора Маслова,связывающего решение некоторых групп дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. В связи с этим возникает необходимость детального изучения свойств лагранжевых и лежандровых многообразий, каустик и волновых фронтов в механических системах.

В диссертационной работе дано инвариантное изложение некоторых свойств неголономных механических систем,получены обобщения известных результатов в задачах Суслова - о движении твердого тела вокруг неподвижной точки при наличии неголономной связи, и Чаплыгина - о качении динамически несимметричного шара. Обсуждаются вопросы использования методов гамилътоновой механики в неголономных системах. Проведено также исследование произвольных деформаций лагранхевых и лежандровых отображений, в частности,деформаций, обусловленных фазовым потоком неголономной механической системы.

Одна из падай работы состоят в выводе с помощью аппарата внешних дифференциальных форм уравнений движения негодоноыннх механических систем, в частности, систем Чаплыгина, описании на этой основе понятий квазикоординат и приводящего множителя в системах произвольное размерности, изучении различных свойств интегрального иварианта, изучении возможности редукции уравнений к гашльтоновой форме.

Другая цель - исследование лагранжево и дежацдрово устойчивых отображений, в частности, отображений простейших серий А ц и при действии произвольных возмущений, проверка свойства общности положения возмущений, определяемых неголономным фазовым потоком.

Валкая шаэаа лерршчэшя в ЯРШУРЙСЕЗЯ значимость. В диссертационной работе получены следующие результаты:

^Уравнения нвгодономной механика щюдставлвны в инвариантном виде с помощь» аппарата дифференциальных форм.Дока-зан ряд новых свойств интегральных инвариантов неголоном-ных систеы,связывающих существование инвариантной меры в свободной неголономной системе и системе с позиционными силами. Получены обобщения свойств неголономных систем Чаплыгина и Суслова. Предложен способ исследования неголономной системы с двумя степенями свободы при наличии интеграла, сводящий задачу к исследованию гамильтоновой системы.

П.Доказаны некоторые свойства произвольных деформаций ла-гранхевых отображений.Исследовано распадение простейших лагравжевых особенностей. Доказана теорема об общности положения неголономных возмущений для лазранжевых отображений.

Ш. Подучен ряд свойств произвольных деформаций лежандрово устойчивых отображений простейших серий. Приведены рисунки, иллюстрирующие бифуркацию фронтов в трехмерном случае. Полученные результаты могут быть использованы в задачах неголономной механики,теории особенностей, при чтении

специальных курсов по динамике неголономных систем.

Аггообадия работы и пуб^икздтд. Результаты диссертационной работы опубликованы в работах / 1-4 / , а также докладывались на Всесоюзной Каменковской конференции по устойчивости движения, колебаниям механических систем в аэродинамике (Москва,1988г.), на семинаре по аналитической динамике МГУ (руководители - проф.Козлов В.В., доц.-Болотин С.Б., 1988г.), семинаре кафедры теоретической механики МАИ (руководитель - проф.Веретенников В.Г., 1988г.,1989г.).

Стотаттра и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы - 117 страниц, в том числе 3 рисунка.йб-лиография содержит 55 названий.

Первар глава посвящена инвариантному изложению некоторых вопросов аналитической механики неголономных систем.

В первом параграфе дается описание механических систем на касательном расслоении,использующее аппарат дифференциальных форм. Изложение следует идеям работ К.Год-бийона, А.М.Верпшка,1.Д.Фаддеева. Здесь же даны необходимые определения - специальных полей,горизонтальных форм. Во втором параграфа указанный формализм применяется к него-лономнда системам. Основная изль здесь получение дифференциальной формы си , не обязательно замкнутой, с помощью которой векторное толе X. системы можно задать уравне-

Н - гамильтониан, р - форма на конфигурационном пространстве. Алгоритм вывода уравнений применяется к задаче Суслова о движении твердого тела вокруг неподвижной точки при неголономной связи: 1фоекция утловой скорости на неподвижное в теле направление равна нулю и задаче о движении динамически несимметричного шара ( шара Чаплыгина) по шероховатой плоскости. В случае шара Чаплыгина

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ни ем

р =>0.

В третьем параграфе доказано несколько свойств интегрального инварианта. Доказательство основано на следующем наблюдении:специальное векторное поде,т.е. векторное поле механической системы состоит из двух компонент - динамической и кинематической. Бели в системе приложены произвольные позиционные силы, это проявляется в динамической компоненте векторного поля и не меняет его дивергенции.Отсвда выводятся следующие свойства. Если инвариантная мера есть у исходной система, она остается после добавления позиционных сил. Обратное утверждение дается с помощью необходимых условий существования аналитического интегрального инварианта, доказанных в работе. В.В .Козлова. Из этих утверждений как следствие выводится существование инвариантной меры у шара Чаплыгина с произвольными позиционными силами,а также доказательство гипотезы В.В.Козлова ( инвариантная мера в задаче Суслова существует в том и только в том случае, когда вектор связи является собственным для оператора инерции) для произвольного потенциала. В четвертом параграфе кратко изяокена теория приводящего множителя Чаплыгина. Множитель вводится как функция во всем фазовом пространстве, являющаяся интегрирующим множителем для формы СО в уравнении (*) . Показано,что при достаточно общих условиях из существования множителя во всем пространстве следует существование множителя - функция координат . В пятом параграфе обсуждается проблема приведения уравнения (*) к гамильтоновой форме с гамильтонианом Н. Приведены критерии существования аналитической приводящей замени координат .Квазикоординаты вводятся как неаяалити-ческая, многозначная замена ко ординат, по зв олямцая построить нужную поправку к форме со . В шестом параграфе предложен новый подход к указанной проблеме. Доказано следующее утверждение: если неголономная система с двумя степенями свобода имеет дополнительный интеграл,кроме Н , то для каждого интегрального многообразия существует гамильтонова система с тем же гамильтонианом, для которой траектории на атом многообразии совпадают с траекториями исходной

неголономной системы. Результата проиллюстрированы на примере системы, не имеющей приводящего множителя и инвариантной меры.

В следующих двух главах исследуется действие фазовых потоков механических систем на лагранжевы и лежандровы многообразия.

В первых двух параграфах второй главы даются определения и некоторые факты из теории особенностей. В третьем параграфа изучаются свойства дагранжевнх отображений как отображений пространств одинаковой размерности. Дня отображений лазранжевой серии доказаны следующие свойства: неустойчивость, устойчивое появление каустики З)^ в однопараметрических семействах отображений.

Наедена !/" - версальная деформация для этих отображений.

Дрз четном к распадается на два обобщенных ласточкиных хвоста Д(г.-| , 7)к- - на более простые особенности-/4^-2 и т.д. При нечетном к отображения У - версаль-ной деформации, близкие к » имеют одну хфитическую точку . Показано,что при распадении лаоранжевых особенностей коранга 2 в однопараметрических деформациях общего положения образующиеся точки коранга 2 лежат за пределами некоторой окрестности, (своей для каадой деформации), не зависящей от параметра. Доказательство использует симметрию якобиана лагранжевых отображений. В качестве примера описана бифуркационная диаграмма двухпараметричес-кой деформации , одна из образующих которой - образующая усеченной • V - версальной деформации, другая -произведение этой образующей на компоненту отображения^. Оцнопараметрические поддеформацви, для которых параметры пропорциональны, имеют устойчивую точку коранга 2 (платок) на расстоянии р от нуля, где ^ - коэффициент пропорциональности.

Основной результат четвертого параграфа - для большинства начальных точек деформация лагранжева отображения, определяемая неголономным фазовым потоком, является дефор-

мацией общего положения.

Первый параграф третьей главы содержит некоторые определения и теоремы из теории лежандровых особенностей. В следующем параграфе сравниваются различные определения Й>онта, выпущенного с начального многообразия в конфигурационном цространстве - как огибающей семейства фронтов,выпущенных из точек многообразия, в как проекции образа нормального расслоения. Построена форма на касательном пространстве к исходной поверхности, зависящая от точки движущегося фронта. Показано,что для фронтов, построенных указанным способом,значения формы совпадают в первом црв-ближении по Ú . В третьем параграфе изучаются общие п свойства лежандровых отображений как отображений из R. в Подробно рассмотрен случай лежандровой серии /4

Для этих отображений доказано свойство, аналогичное лаг-ранжевому случаю коранга 2 : однопарамэтрические деформации общего положения лежандрова отображения А к состоят из отображений, не имеющих критических точек ( кроме исходного отображения) внутри некоторой окрестности,своей для кавдой деформации. Взфуркационное множество усеченной V- версальной деформации лежандровых Ак совпадает с дискриминантным множеством некоторого многочлена. Вне этого множества отображения,входящие в деформацию, устойчивы и в окрестности оптических точек эквивалентны тривиальному расширению двумерного "зонтика Уитни". Дана бифуркационная диаграмма и рисунки для V - версальной деформации Аз в R3.

В заключительном параграфе третьей главы обсуждаются вопросы общности положения фронтов в негодономных системах

Результаты диссертационной работы перечислены в Заключении.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1.3акалюкин В.М.,Стантенко C.B. Инвариантная форма уравнений динамики систем с неголономннми связями.Устойчивость и колебания нелинейных: сисгем.Тематич.сб.научн.тр. института. МАИ.,М.,1987. С.34-37.

2.Станченко C.B. Об инвариантной мере в системах Чаплыгина.-Всес.конф.по устойчивости движения,колебаниям механических систем и аэродинамике. Секция колебаний механических систем. Тезисы докл.-М.,1988.-Дэя.в ВИНИТИ 22.12.88 » 8886-В88.

3.Сганченко C.B. О неголономных системах Чаплыгина ШМ.1989. Т.53,вып.1,0.16-23.

4.Станченко C.B. Лаграниевы многообразия и неголоном-ные деформации. МАИ. ,М.,1989.18с.Двп.в ВИНИТИ. 09.06.89.

& 38462 В-89.