Определение управляющих сил, обеспечивающих выполнение связей высокого порядка

Солтаханов, Шервани Хусаинович

Определение управляющих сил, обеспечивающих выполнение связей высокого порядка тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Солтаханов, Шервани Хусаинович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Определение управляющих сил, обеспечивающих выполнение связей высокого порядка»

Автореферат диссертации на тему "Определение управляющих сил, обеспечивающих выполнение связей высокого порядка"

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УПРАВЛЯЮЩИХ СИЛ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИХ ВЫПОЛНЕНИЕ СВЯЗЕЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

Специальность 01.02.01 - Теоретическая механика

Автореферат на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи

Солтаханов Шервани Хусаинович

1 1 НОЯ 2010

Санкт-Петербург 2010

004612362

Работа выполнена на кафедре теоретической и прикладной механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор ЮШКОВ Михаил Петрович

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор ЛЕОНОВ Геннадий Алексеевич (Санкт-Петербургский государственный университет)

доктор физико-математических наук, профессор КАРАПЕТЯН Александр Владиленович (Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова)

доктор физико-математических наук, профессор ТХАЙ Валентин Николаевич (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН)

Ведущая организация: Вычислительный центр им. Й .А. Дородницына РАН

Защита состоится "........'Уз?^-.......2010 г. в "...^1.. "часов на заседании

совета Д 212.232.30 по защите докторских и кандидатских

диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете

по адресу 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., д. 28.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034 С.-Петербург, Университетская набережная, д. 7/9.

Автореферат разослан "......г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор

Е.В. Кустова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы и ее цель. Неголономная механика — это один из важнейших разделов аналитической механики, и одним из направлений ее развития является изучение движения систем со связями высокого порядка. Здесь разработано большое количество форм записи уравнений движения (И. Нильсен, И. Ценов, До Шань, Мэй Фунсян, H.H. Поляхов, С.А. Зегжда, М.П. Юшков и др.) и выдвинут ряд вариационных принципов (Манжерона-Делеану, обобщенный принцип Гаусса). Помимо специальной литературы эти вопросы обсуждаются и в монографиях по неголономной механике (напр., Ю.И. Неймарка, H.A. Фуфаева, 1967г., В.В.Добронравова, 1970г., Г.Гамеля, 1949г., H.H.Поляхова, С.А.Зегжды, М.П.Юшкова, 1985г., С.А.Зегжды, Ш.Х.Солтаханова, М.П.Юшкова, 2005г., 2009 г.). При создании теории движения систем со связями высокого порядка была сформулирована смешанная задача динамики, когда движение системы должно подчиняться дополнительной системе дифференциальных уравнений порядка п > 3. С позиций неголономной механики эту дополнительную систему можно рассматривать как связи высокого порядка, но фактически она является программой движения, осуществление которой выполняется созданием управляющих сил, определяемых как реакции этих связей высокого порядка (поэтому их лучше называть программными связями). Тем самым формулируется новый класс задач управления.

В работе приведены примеры реальных механических систем, движение которых находится как решение смешанных задач механики. Основная же цель работы состоит не только в дальнейшей разработке теории смешанной задачи механики, но и в распространении ее для решения таких практически важных задач управления, как перемещение механических систем за заданное время из одного состояния в другое заданное состояние. Тем самым выбранную тему исследования можно считать актуальной.

Научная новизна. Разработан общий подход к решению смешанной задачи динамики, которая заключается в отыскании дополнительных обобщенных сил, обеспечивающих выполнение программных связей, заданных в виде системы дифференциальных уравнений порядка п ^ 3; составлена совместная система дифференциальных уравнений относительно неизвестных обобщенных координат и неизвестных реакций связей; впервые приведены и исследованы два примера реальных механических систем из области космонавтики при нелинейной неголономной связи второго порядка и при линейной неголономной связи третьего порядка; введено понятие управляющей силы при связях высокого порядка; найдены условия, при которых управление движением при связях любого порядка осуществляется в соответствии с принципом Гаусса; дана новая трактовка обобщенного принципа Гаусса, и он применен для нахождения управляющей силы при гашении колебаний механических систем с конечным числом степеней свободы и с распределенными параметрами; указанный подход может быть использован и для нахождения управляющей силы, обеспечивающей перемещение механической системы из заданного состояния в новое состояние в течение заданного промежутка времени. Тем самым, в научный оборот вводится новый класс задач управления, причем предложенными методами решен ряд реальных механических задач, имеющих практическое значение.

Помимо этого, приведено доказательство эквивалентности основных форм уравнений движения неголономных систем уравнениям Маджи, решено большое количество неголономных задач, в пространственном случае исследовано наведение на цель по методу погони как неголономная задача, показана необходимость введения системы управления для реализации нелинейной неголономной связи в задаче Аппеля-Гамеля и доказано, что введение такой связи подменяет в задаче диск шаром, предложена методика составления уточненных уравнений движения сложных механических систем на основе применения теории движения неголономных систем со связями высокого порядка.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением к решению поставленных задач классических методов аналитической механики, математического анализа, теории дифференциальных уравнений, теории упругости и дифференциальной геометрии. Результаты, относящиеся к решению конкретных задач, согласуются с выводами других авторов и с экспериментальными данными.

Теоретическое и практическое значение. Разработанная теория решения смешанных задач механики, отражающих фактически новый класс задач управления, может быть применена для новых решений практически важных задач по нахождению управляющей силы, переводящей в заданный промежуток времени механическую систему из имеющегося состояния в любое другое заданное состояние, в частности, при наличии устойчивого положения равновесия эта задача превращается в задачу о гашения колебаний. Помимо этого, полученные результаты могут быть использованы при исследовании движения автомобиля и колесных мобильных роботов, при изучении переходных процессов в системах с гидродинамическими передачами, при рассмотрении работы машинных агрегатов с вариаторами.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались: на 9-ом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г.),

на всероссийских и международных конференциях по механике "Поляховские чтения" на базе Санкт-Петербургского государственного университета (Санкт-Петербург, 1997г., 2000г., 2003 г., 2006 г., 2009 г.),

на всероссийской и международной научно-практических конференциях "Оку-невские чтения" на базе Балтийского государственного технического университета "Военмех" (Санкт-Петербург, 1997 г., 2000 г.),

на всероссийской научной конференции "Интеграция науки, образования и производства - решающий фактор возрождения экономики и социальной сферы в посткризисный период"на базе Комплексного научно-исследовательского института РАН (Грозный, 2000 г.),

на международном научном симпозиуме "Пуанкаре и проблемы нелинейной механики" на базе Балтийского государственного технического университета "Военмех" (Санкт-Петербург, 2004 г.),

на 9-ом международном семинаре им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" на базе Института проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН (Москва, 2006 г.),

на международном конгрессе "Нелинейный динамический анализ-2007" (Санкт-Петербург, 2007г.),

на международных конференциях "Магдебургские дни машиностроения" (Германия, Магдебург, 2003г., 2005г., 2007г., 2009г.),

на "Второй научной конференции по динамике, вибрациям и контролю" (Китай, Пекин, 2006 г.),

на "Втором научном конгрессе по механике" (Сербия, Субботица, 2009г.), на научных семинарах (Франция, Париж, Институт шоссе и мостов, 2005 г., Италия, Салерно, Университет Салерно, 2007г.).

Неоднократно результаты диссертации докладывались и обсуждались на кафедре теоретической и прикладной механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета (2005 г., 2006 г., 2007г., 2009г., 2010 г.), на заседаниях секции теоретической механики им. H.H. Поляхо-ва при Санкт-Петербургском Доме ученых РАН (2005г., 2006г., 2008г., 2010г.), а также на научном семинаре в Институте проблем механики РАН (руководитель академик РАН Ф.Л. Черноусько, Москва, 2006г).

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, приложения, заключения и списка литературы, насчитывающего 368 наименований. Число иллюстраций равно 44. Общий объем работы 237 страниц.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 53 научных публикациях, в том числе в 14 статьях, опубликованных в журналах, рекомендованных ВАК'ом [1-14], в 5 монографиях [15-19], в учебнике для университетов "Теоретическая механика" [20].

Среди научных работ, опубликованных в журналах, рекомендованных ВАК'ом, статьи [1, 3, 6, 8, 9, 11, 13] выполнены без соавторов.

В совместных работах [2, 4, 5], выполненных в соавторстве с М.П.Юшковым, основные результаты получены автором, соавтору принадлежит постановка рс-сматриваемых задач. В работе [7] автор является основным исполнителем, соавторы С.А. Зегжда и М.П. Юшков осуществляли научные консультации. В статье [10], выполненной совместно с К.К.Тверевым, автору принадлежит идея работы, соавтор выполнил расчеты, необходимые для исследования. Статья [12] написана автором, соавтор Т.Н. Погребская выполнила численные расчеты. В статье [14], выполненной совместно с С.А.Зегждой, автор сформулировал проблему и предложил алгоритм ее решения, соавтор исследовал связь между смешанными и краевыми задачами механики.

В остальных совместных публикациях вклад автора таков. В монографиях [1519] автор разработал теорию движения в классической неголономной механике при связях высокого порядка и применил ее для решения задач управления, в частности, в теории гашения колебаний. Соавтор С.А. Зегжда преимущественно занимался созданием новых методов исследования задач теории упругости на основе применения аппарата аналитической механики. Другой соавтор М.П. Юшков в основном развивал теорию движения в классической неголономной механике при связях высокого порядка. В учебнике [20] автору принадлежат все примеры и задачи, касающиеся неголономной механики, и параграф "Вывод наибо-

лее употребительных форм записи уравнений движения неголономных систем из уравнений Маджи", что составляет 60 страниц книги. В статьях [22, 25, 26, 28, 29, 32, 33, 47] основные результаты получены автором, соавтору М.П.Юшкову принадлежат идеи работ, причем соавтор H.A. Хорькова в работе [26] выполнила расчеты на компьютере, соавтор Г.Е. Иванов в работах [28, 29, 32] предложил техническую реализацию выполнения предельного случая задачи Аппеля-Гамеля и соавтор Ю.С.Шевердин в работе [29] осуществил подборку научной литературы. В работах [30, 35, 40, 41, 43, 44, 45, 46, 51, 52], выполненных в соавторстве с С.А. Зегждой и М.П. Юшковым, автор является основным исполнителем, соавторы осуществляли научные консультации. Основным исполнителем в статьях [36, 39,42, 48] является автор, соавтор М.П. Юшков предлагал идеи, соавтор Р. Каспер объяснял необходимость этих исследований для мехатроники. Статью [53] написал автор, соавтор К. Каттани участвовал в обсуждении работы.

Содержание диссертации

Во введении излагаются основные этапы развития неголономной механики, отмечается возможность применения ее методов для решения конкретных технических задач, прослеживается связь неголономной механики и теории управления, подчеркивается целесообразность использования понятия касательного пространства для векторного представления уравнения движения механической системы произвольной структуры, обсуждается возникновение обобщенного принципа Гаусса, подчеркивается роль связей высокого порядка для создания нового класса задач управления, указывается возможность применения обобщенного принципа Гаусса к задачам гашения колебаний механических систем.

Введение изображающей точки позволяет второй закон Ньютона для матери-альныз точек системы представить в виде одного векторного равенства

A/W = Y, (1)

записанного в ЗАг-мерном евклидовом пространстве, где N — число точек системы, а М — масса всей системы.

Пусть s = 3N vi <f, а = l,s, — криволинейные координаты изображающей точки, а Q„ — обобщенные силы, соответствующие координатам <f. Тогда векторы W и Y таковы:

Wj^f + r^gVK, Y = Qce°,

а = 1,5, a,ß = 0,s, q° = t, 9° = 1.

Здесь и e" — соответственно основной и взаимный базисы криволинейных координат q", а Г"1/3 — символы Кристоффеля второго рода.

В выражениях (2) и в дальнейшем предполагается суммирование по дважды встречающимся индексам.

Предположим, что на движение системы наложены нелинейные неголономные связи, которые в криволинейных координатах д = (д1,..., д3) имеют вид

лх(*,<м) = о, (3)

Перейдем от переменных д = (д1,..., дя) к новым неголономным переменным V, = V*) по формулам

< = Р = ~з- (4)

Если выполнены условия разрешимости, то можно записать обратное преобразование:

9" =?"(*, «.), а = М. (5)

Считая, что производные от функций (4), (5) непрерывны, можно ввести две системы линейно независимых векторов:

д? „ а* т у- ,,,

Так как

= 10, т з^а»: г 11, р = 7-,

то векторы (6) можно принять за векторы новых основного и взаимного базисов. Будем называть базисы (6) неголономными базисами. Уравнения связей (3) будем считать такими, что

я/* _

В этом случае в формулах перехода (4) последние функции можно задать следующим образом:

= г = в- А, хг = 17^,

так что при выполнении связей (3) имеем = 0. Тогда согласно формулам (6) можно записать равенства

е,+* = У/Г, х=17Л.

Введем два ортогональных друг другу подпространства — ¿-пространство и К-пространство с неголономными базисами {£1,...,£;} и {е1+1,... ,е"}. Разложим вектор ускорения на две составляющие:

\У = \У£, + \У£, = И?А£Л, = Й',+Хе'+Х, МУь-УГ* = 0.

Здесь значком волны подчеркивается, что компоненты вектора ускорения берутся не для обычных основного и взаимного базисов, а для неголономных базисов (6). Второй закон Ньютона

М\У = У+11 (7)

заменится при этом двумя уравнениями:

М\¥ь = У*, + Н* , (8)

МЧ?К =УК + ЯК. (9)

Дифференцируя уравнения связей (3) по времени и учитывая, что вектор может быть представлен в виде (2), в результате получим:

я — 1, к, а,/3 = 0,5. Из этих уравнений следует, что вектор

ЧУ*

как функция переменных 5<т,д<т, а = однозначно определяется уравнениями связей. Согласно уравнению (9) получение вектора \УЛГ при данной силе УК обеспечивается реакцией связей И* = N = Л^У'/Г- В отличие от этого на составляющую \У/, математическое задание уравнений связей не влияет. Эта составляющая может быть определена из уравнения (8) при любом векторе Лл, в частности и при Дь = То = 0, когда в ¿-пространстве уравнение собственно движения имеет вид

М\Уь = Уь ■

Неголономные связи (3), не влияющие на вектор WL, естественно назвать идеальными. Для них вектор реакции

И = И* = N = . (10)

Итак, второй закон Ньютона (7), учитывая выражение (10) при идеальных него-лономных связях, имеет вид

ЛШ" = У + Л„У/Г ■ (П)

Данное уравнение является векторной формой записи системы уравнений Лагран-жа второго рода с множителями. Умножая уравнение (11) на векторы Е\, Л = 1,1, получаем уравнения Маджи

до" _

(MW-Y)■ex = (MW„-Q„)-^=0, А = 1(12)

где

Интегрируя дифференциальные уравнения (3), (12) при заданных начальных условиях, можно найти закон движения системы

= «7 = 175. (13)

Умножая уравнение (11) на векторы £1+х, х = 1, к, получим вторую группу уравнений Маджи:

Яд" _

{MW<т-Qa)-^Tc=^>í, х = 1 ,к. (14)

Из этих уравнений при известном законе движения системы (13) могут быть определены обобщенные реакции Л*, ус — 1, к, неголономных связей (3) как функции времени. Формулы (14) не дают непосредственно величины Л*, как функции (¡, д. Эти функции находятся из системы уравнений

■ = ХГ(<, 4,9), = ^ (уК + ЛЖУ7Г), х = Хк.

Таким образом, введение неголономных базисов (6) позволяет для неголономных связей получить два подпространства К и Ь. Эти подпространства оказываются ортогональными друг другу, и исследования в них удобно вести с помощью уравнений Маджи (12) и (14).

Уравнения Маджи являются весьма удобными для исследования движения неголономных систем. Отметим, что они справедливы для любых неголономных связей, в том числе и для нелинейных.

В соответствии с выражениями (12) уравнения Маджи являются скалярными произведеними двух векторов. Из данного векторного представления закона движения неголономных систем, инвариантного относительно выбора системы координат д", а = 1,5, и векторов £д, Л = 1,1, следует, что все виды уравнений движения неголономных систем эквивалентны. Показывается, что все эти виды непосредственно могут быть получены из уравнений Маджи.

Векторное уравнение (11), из которого вытекают уравнения Маджи, приводит к следующей системе скалярных уравнений:

й эт зт п . а/г _

ш-ег-ь+ЧЁ- (15)

Множителям Лагранжа, входящим в уравнения (15), в работе уделяется особое внимание. На их использовании основан предлагаемый новый подход к связям высокого порядка, излагаемый в последующих главах.

В данной же главе приводится решение большого количества задач с помощью различных видов дифференциальных уравнений движения неголономных систем.

Из уравнений Маджи получается принцип Суслова-Журдена, и, в свою очередь, из этого же принципа выводятся уравнения Маджи и уравнения Лагранжа второго рода с множителями.

С помощью принципа Суслова-Журдена выводятся уравнения движения редуктора Новоселова.

В главеН вводится касательное пространство к многообразию всех положений механической системы, которые она может иметь в данный момент времени. Система уравнений Лагранжа второго рода записывается в этом пространстве в виде одного векторного уравнения (1), имеющего вид второго закона Ньютона. В этом уравнении, как и в случае изображающей точки, М — масса всей системы,

а векторы таковы

= {я.г'Г + та>ар г^У = и^е, = + г^ <г/Н - (16)

Т~М п г-Р Г" - п°тТ - 1 (д9т!) л. д9т" дд°Л

Y = Qвe', г,а =175, а, 0 = 0^, = «, д° = 1.

Векторы е^, и е" являются соответственно векторами основного и взаимного базисов касательного пространства в системе координат д", а = Коэффициенты д°т являются элементами матрицы, обратной к матрице с элементами д„т.

Введение касательного пространства и представление в нем системы уравнений Лагранжа второго рода в виде (1) позволяет результаты, полученные в первой главе, обобщить на случай произвольной механической системы, имеющей конечное число степеней свободы.

В этой же главе дается геометрическая интерпретация влияния связей на формирование компонент вектора ускорения системы.

Векторному уравнению движения несвободной механической системы (7) в зависимости от вида идеальных связей сопоставляются дифференциальные вариационные принципы Даламбера-Лагранжа, Суслова-Журдена и Гаусса. Обсуждается взаимосвязь и единство этих принципов.

Выводятся обобщенные уравнения Маджи при связях второго порядка, линейных относительно обобщенных ускорений, непосредственно из второго закона Ньютона.

В главе III рассматривается возможность применения аппарата неголоном-ной механики для решения некоторых задач управления. Изложение опирается, прежде всего, на работы А. Бегена, П. Аппеля, Г. Гамеля, В.И. Киргетова, Н.Н.Поляхова, С.А.Зегжды, М.П.Юшкова. Теория управления движением механической системы неголономными связями, зависящими от параметров, применена для решения двух задач на управляемое движение. В случае преследования цели по методу погони различными методами неголономной механики изложена плоская и решена пространственная задачи.

Исследуется проблема Аппеля-Гамеля о движении механической системы с нелинейной неголономной связью, дается техническая реализация предельного случая, показано, что замена предельным переходом линейных связей нелинейной неголономной связью подменяет изучение движения диска с острой кромкой изучением движения шара. Поясняется, что подобная нелинейная неголономная связь может быть реализована только с помощью введения специальной системы управления, обеспечивающей ее выполнение.

В главе IV на базе расширения теории движения классических неголоном-ных систем, изложенной в главах I и II, на случай неголономных связей высокого порядка формулируется смешанная задача механики (обобщенная задача П.Л. Чебышёва).

Итак, пусть в обобщенных координатах д", а = 1, я, движение механической системы под действием заданных обобщенных сил <2^ описывается уравнениями

Лагранжа второго рода

<1 дТ дТ „ —

<Т=М- (17)

Требуется определить, какие силы В.а как функции времени следует добавить к силам <3,7 для того, чтобы движение удовлетворяло следующей системе дифференциальных уравнений:

/п = <С(*> я, я, •••, (У V + <0(*> я, я, - > {пя1]) = 0,

<т = 1, в, к = 1, к, к ^ в.

Данную задачу при п ^ 3 назовем обобщенной задачей П. Л. Чебышёва. Введенную дополнительную систему дифференциальных уравнений (18) будем рассматривать как идеальные неголоиомные связи порядка п. Введем понятие об обобщенной управляющей силе.

Пусть системой управления создается некоторая сила, возможная элементарная работа которой такова:

6А = А6,т(^<;,д)<5д'т, а = 1,в.

Величину Л, входящую в это выражение, назовем обобщенной управляющей силой.

_Если система управления позволяет формировать к управляющих сил Л*, ус =

1,/г, то имеем _

5А = Я, Фя" - * = ТХ <т=М. (19)

Отметим, что механизм, которым создаются управляющие силы, как правило таков, что коэффициенты ££ в выражении (19) постоянны, а если и являются функциями, то только обобщенных координат.

Из формул (19) следует, что дополнительные обобщенные силы Иа, а — 1, в, соответствующие обобщенным управляющим силам Л*, ус = 1, к, таковы

При п = 1,2 обобщенные управляющие силы Лх, х = 1,/г, однозначно находятся как функции переменных I, ц", . Если же п ^ 3, то искать в этом случае обобщенные управляющие силы х = 1, к, предлагается только как функции времени. При этом дифференциальное уравнение относительно каждой из функций будет иметь порядок (п — 2). Итак, при п ^ 3 обобщенные управляющие силы Л*, х = 1, к, и обобщенные координаты д", а = 1,5, будем рассматривать как искомые функции времени, удовлетворяющие начальным данным

(п—3) ("-3)

Л„(*о) = Л° , Лж(«о) = ,..., ллм = , (20)

яа^о) = яо, <Г(М = Й, х-ТД, о- = 175-

При решении смешанной задачи динамики опять целесообразно воспользоваться понятием касательного пространства. При этом система уравнений (17) при добавлении к силам

сил На запишется в виде одного векторного уравнения М\у = У + ЛХЬ~, *г=1X (21)

в котором

У = д.е* , Ь" = &Х . Из выражений (21) и (16) следует, что

д° = ВД д, д, Л), Ц = + + ЬЛЯдГ/М ,

9°т = е°-ет, (22)

сг, т = 1,5, а,/3 = 0, в, х=1,/с. Рассмотрим случай, когда п = 3. Используя формулы (16) и учитывая, что

запишем систему уравнений (18) в векторной форме

а? • = 9, 9. 9) > аз = К0" . хГ = + (г^У) + (<Г + , (23)

ст, т — 1,5, а, /3 = 0, я, х=1,/г. Дифференцируя по времени уравнение (21), имеем

М\У = У + А„Ъ* + А„Ъ", X (24)

где

V = (Ог - , Ь* = (&* - 6*Г^<Г)ет,

— 1,5, а,/3 = 0,в, х=1,А;.

Умножая уравнение (24) скалярно на векторы а^ и учитывая выражения (23), получаем

АЛГ = д, д, д, А), = М^з — У ■ — - а£,

/.з^Ь^-а^ЬХГ, = х,/1=1,А.

Отсюда, предполагая что в интервале времени ^ ^ t ^ t, выполняется условие

(7, Т = 1,5, /X = 1,к,

следует _

= х,ц = \,к. (25)

Здесь — элементы матрицы, обратной по отношению к матрице с элементами йз'1. Формулы (22) позволяют исключить производные д" из функций , ВЦ и представить правые части уравнений (25) в виде

Лж = С* (¿,9,9, Л), х = Т/к.

При произвольном п появятся функции из которых потребуется ис-

(п-1)

ключать производные д", ..., д" . Из выражений (22) следует, что

ЭК ,т ЭК ,.т ЭК ; __ —

Формулы (22) позволяют исключить производные да из этих выражений и записать их в виде

Т = ^(<,9,9, Л, Л), а = ~з. Рассуждая аналогично, получаем

("-1) . (ч-З) _

€ = ^(¿,9,9, Л, Л,..., Л), <г = 1,в.

Таким образом, в общем случае имеем

("-2) . (»-3) _

Л* 9,А,Л,..., Л ), *г=1Д, п^З. (26)

Уравнения (22) и (26) образуют замкнутую систему уравнений относительно функций 9<т(^ и Л*(<). При начальных данных (20) она имеет единственное решение.

Отметим, что если дифференциальное уравнение, которому должно подчинять-

(п-1)

ся движение, нелинейно зависит от старших производных д" , то, дифференцируя его по времени, придем к уравнению, которое линейно зависит от производных («)

9". Следовательно, предлагаемая теория может быть применена и к нелинейным уравнениям высших порядков.

Вводится понятие идеального управления, при котором формирование обобщенных управляющих сил так согласовывается с уравнениями (18), что Ь* = а = 1,5, я = 1 ,к. В этом случае оказывается, что управление движением осуществляется в соответствии с принципом Гаусса. Подобное управление определяется как идеальное.

Смешанные задачи механики образуют новый класс задач управления. Впервые формулируются два реальных механических примера с нелинейной неголо-номной связью второго порядка и с линейной связью третьего порядка. Примеры относятся к области космонавтики и отражают движение искусственного спутника Земли. В частности, исследуется движение космического аппарата в поле притяжения Земли по эллиптической орбите. Предполагается, что начиная с некоторого момента времени движение космического аппарата должно происходить с постоянным ускорением. Это условие рассматривается как нелинейная неголономная программная связь второго порядка. Момент наложения связи может соответствовать любой точке орбиты, дополнительная сила в этот момент отсутствует.

Данная задача исследована как в размерных, так и в безразмерных переменных. В качестве примера на рис. 1 приведены результаты расчетов в интервале времени 0 < Ь ^ Т/2 при эксцентриситете е = 0.4. Здесь Т — время полного оборота по исходной орбите. На рисунке тонкими линиями показаны исходная эллиптическая орбита, а также концентрические окружности соответственно радиусов п = 0.6 а и г2 = 0.754а (а — большая полуось исходной эллиптической орбиты), между которыми лежит траектория движения спутника, изображенная жирной линией.

В главе V излагается обобщенный принцип Гаусса (принцип Поляхова-Зегжды-Юшкова). Обобщенный принцип Гаусса для связей любого порядка впервые был сформулирован М.А. Чуевым (1974 г.). Независимо от его работ этот же принцип был введен в рассмотрение Н.Н.Поляховым, С.А. Зегждой и М.П.Юшковым (1983г.).

Если линейные неголономные связи любого порядка (программные связи) задаются в виде линейных дифференциальных уравнений порядка (п + 2), то систему дифференциальных уравнений, дополняющую данную систему до полной, целесообразно строить, исходя из обобщенного принципа Гаусса, согласно которому

(") <Л)

¿(П+2)(^-^)2 = 0, (27)

Здесь индекс (п) означает порядок производной по времени от векторов, а индекс (п + 2) — что частный дифференциал вычисляется при фиксированных (п+1)

•■•, ч" ■ Отметим, что при использовании обобщенного принципа Гаусса в начальный момент времени заданными считаем все координаты да и все их производные до порядка (п + 1) включительно, а следовательно, и вектор К и его производные до порядка (п — 1). Векторы У и И введены в касательном пространстве.

Обобщенный принцип Гаусса применяется для дополнительного исследования движения спутника с постоянным по модулю ускорением как системы, подчиненной линейной неголономной связи третьего порядка. Расчеты, проводившиеся по составленным уравнениям для движения одного из советских спутников Земли показали, что в этом случае спутник, превращаясь в космический аппарат, делает небольшое число оборотов вокруг Земли, раскручиваяь по спирали, и асимптотически стремится к равноускоренному движению по прямой (см. рис.2).

-3 -

Рис.2

В этой же главе показывается возможность и целесообразность использования обобщенного принципа Гаусса для исследования задач управления колебаниями механических систем как с конечным числом степеней свободы, так и с распределенными параметрами.

Рассматривается механическая система, имеющая конечное число степеней свободы. Предполагается наличие одной управляющей силы, действующей в некотором промежутке времени. Определяется, какой должна быть эта сила для того, чтобы за конечный промежуток времени система перешла из одного заданного состояния в другое. Для механической системы, имеющей в различных собственных частот, этот переход возможен, во-первых, если управляющая сила влияет на все формы собственных колебаний, и, во-вторых, если она является линейной комбинацией 2в линейно независимых функций. Вторым свойством обладает общее решение линейного дифференциального уравнения порядка 2б\ Если условие на движение сформулировано в виде дифференциального уравнения порядка (2а+2) относительно обобщенных координат, то его выполнение осуществляется силой, удовлетворяющей уравнению порядка 2з. В данном случае связь, накладываемая на движение, выражена не в виде дифференциального уравнения, а в форме краевой задачи. Поэтому необходимо искать какие-то другие методы составления данного дифференциального уравнения. Один из них предложен Ф.Л. Черноусько и основан на минимизации функционала от квадрата управляющей силы с последующим использованием, например, принципа максимума Понтрягина. Это приводит к представлению искомой силы в виде ряда по собственным частотам, что влечет появление резонанса по всем собственным формам колебаний. Следствием этого является раскачка системы в процессе ее перехода из одного состояния в другое. Чтобы избежать резонансов, предлагается использовать новое уравнение порядка 2,5', найденное с помощью обобщенного принципа Гаусса. Логика перехода к другому уравнению основана на анализе связи между уравнением, полученным

по первому подходу, и смешанной задачей механики.

Сначала исследуется задача гашения колебаний тележки с маятником. Пусть на тележке подъемного крана, имеющей массу т\ и движущейся вдоль оси х по горизонтальным рельсам, укреплен_трос длиной I, на котором подвешен груз массой т2. За фиксированное время Т требуется выбором горизонтальной силы F(t), приложенной к тележке, переместить висящий груз на заданное расстояние а из состояния покоя снова в состояние покоя.

Уравнения движения рассматриваемой системы при малых углах ¡р колебания маятника будут иметь вид:

(mi + т2)х - тп21ф = F,

,.. (¿о;

x-lp = gip.

Чтобы обеспечить прекращение свободных колебаний груза при t = Т, управляющая сила F(t) должна быть такой, что

<р{0) = <р(Т) = 0^ ф(0) = Ф{т) — о! (29)

я(0) = ¿(0) = х(Т) = 0, х{Т)=а.

Введем главные координаты и перейдем к безразмерным переменным г, и по формулам

тп1 + тп2/ m2hp ч £=-;—(х--), Г = 7«,

mi« 4 mi + m,2

,2 .

(mi + m2)g

mil ' "f2rriil Здесь £ — безразмерное перемещение центра масс системы, 7 — собственная частота, и — безразмерное управление. Теперь вместо системы дифференциальных уравнений (28) получим два независимых уравнения

<р + <р = и, £ =«, (30)

в которых производные соответствуют безразмерному времени т. Для простоты безразмерное временя г также будем обозначать буквой t. Краевые условия (29) перепишутся в виде:

<р(0) = <р(Т) = 0, ф(0) = ф(Т)=0,

m = № = t(T) = o, ((Т) = 1, Т = 7т.

Система уравнений (28) является линейной, следовательно, решение краевой задачи (28), (29) будет линейно зависеть от величины а. Поэтому при рассмотрении краевой задачи (30), (31) величина а для простоты может быть принята такой, что £(Т) = 1.

Для однозначного решения поставленной задачи (30), (31) необходимо добавить еще одно условие. Оно должно выражать тот принцип, который положен в основу выбора силы F(t) из всего множества сил, при которых данная задача имеет решение. Если выбор управления и подчинить условию минимальности функционала

J= [ u2(t)dt (32)

и воспользоваться затем принципом максимума Понтрягина, то управление и будет таково:

иф = С1 + с2г + с38Ш + с4созг. (зз)

Здесь Ск, 1,4, — произвольные постоянные. Выбрав эти постоянные так, чтобы удовлетворялись краевые условия (31), однозначно найдем искомое управление и(£). Из вида выражения (33) следует, что функция и(£) является общим решением дифференциального уравнения

'и + ü = 0,

которое можно представить в виде

сР fd2

непосредственно связанном с исходной системой (30).

Рассмотрим теперь механическую систему, колебания которой в главных координатах при наличии одной управляющей силы описываются безразмерными уравнениями:

ха + = и, а = Т^. (34)

Все собственные частоты предполагаются разными. Пусть искомая управляющая сила должна минимизировать функционал (32). Тогда, используя при ее определении принцип максимума Понтрягина, придем к уравнению

(35)

Решение его имеет вид

u(t) = ^^(Лст eos Wat + Ва sin Wat) . (36)

<7=1

Выбором произвольных постоянных Аа и Ва, а = 1,5, может быть решена задача о гашении малых колебаний механической системы за время Т, т. е. следующая краевая задача:

^(0) = х°, ¿„(0)=^,

х,(Т)=1,(Г)=0, (37)

а = 1, s.

Минимизация функционала (32), как следует из выражения (35), достигается, таким образом, за счет отыскания искомой управляющей силы u(t) в виде ряда по резонансным частотам.

Систему уравнений (34), описывающую малые колебания механической системы в главных координатах ха, <т = l,s, под действием управляющей силы u(t), запишем теперь в исходных координатах q", а = 1, s. Имеем

^(awf + <VtqT) = bau{t), a = T¡s. (38)

T= 1

Здесь аат,сат,Ь„, а,т — 1,в, — заданные постоянные величины, причем они таковы, что при переходе к главным координатам система (38) принимает вид (34).

В системе (38) какой-либо из коэффициентов Ьа всегда может быть положен равным единице. Пусть, например, ¿>1 = 1. Подставив в уравнение (35) управляющую силу и(£), заданную первым уравнением системы (38), получим дифференциальное уравнение порядка (2в + 2) относительно обобщенных координат д", а = 1,з. Представим это уравнение в виде:

' (2з+2) (2»)

ч" + а2з,<Т 4° + • • • + аоХ) = 0, (39)

сг=1

где а2п,сг, п = 0, з + 1, и = 1, ,з, — найденные в результате вычислений постоянные.

Таким образом, применительно к системе (38) минимизация функционала (32) означает подчинение колебаний системы уравнению связи (39). Наличие связи (39) позволяет задачу определения управляющей силы и (4), обеспечивающей гашение колебаний, рассматривать как некоторую смешанную задачу механики, и подойти к краевой задаче (34), (37) с новой точки зрения и на этой основе предложить другой подход к её решению.

Рассмотрим семейство линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, общим решением каждого из которых является линейная комбинация некоторых новых 2в линейно независимых функций. Представим это семейство в виде

Р») (2з—1) (2.-2)

и =С2в-1 и +С23-2 и +... + С0. (40)

При любом уравнении из данного семейства может быть решена краевая задача (34), (37). Минимизация функционала (32) приводит к такому выбору постоянных с„, п = 0,25 — 1 , при котором общее решение уравнения (40) имеет вид (36). Естественно возникает вопрос, нельзя ли определить постоянные Сп из какого-либо другого условия, также связанного с минимизацией некоторой величины. Это условие может быть найдено на основе учета того, что каждому уравнению (40) в силу системы дифференциальных уравнений (38) соответствует связь порядка (25 + 2). Поэтому при сравнении решений краевых задач, полученных для различных уравнений (40), целесообразно обратиться к теории движения со связями высокого порядка и рассмотреть возможность применения обобщенного принципа Гаусса к подобным задачам.

Использование понятия касательного пространства позволяет записать систему уравнений (38) в виде одного векторного равенства

МЧУ = Y + u{t)Ъ, (41)

где

5 8 8

М\У = £ ' ¥ = - Е , Ь = £ Ьае" .

<Т,Т=1 (Т,Т = 1 (7 = 1

Отметим, что векторы взаимного базиса е" в данном случае не зависят от времени и координат да, а = 1,5, т. е. являются постоянными.

Обобщенный принцип Гаусса (27) порядка 2я по аналогии с обычным принципом Гаусса нулевого порядка основан на рассмотрении выражения

—>2 ( (2«) (2*)\2 И2.+2 = (ЛЛУ- YJ .

Согласна этому принципу данная величина при идеальном удовлетворении связи порядка (2.5 + 2) является минимальной в каждый момент времени £.

—*2

Вектор Ь в уравнении (41) не зависит от времени, поэтому величина 7?.2,+2 может быть представлена в виде

= ( и Ь) •

Отсюда следует, что эта величина тождественно равна своей нижней границе, равной нулю, тогда, когда искомая управляющая сила удовлетворяет уравнению

^ = 0. (42)

—»2

При любом другом уравнении из семейства (40) величина 712.1+2 не будет тождественно равна нулю. В этом смысле решение краевой задачи, полученное при использовании уравнения (42), может быть названо оптимальным. Общее решение уравнения (42) таково:

2з

*(*) = £ С*«*-1. (43)

Ч .

к= 1

В отличие от управления и.{1), задаваемого формулой (36), управление, отыскиваемое в виде полинома (43), не будет вводить систему в резонанс по всем собственным формам колебаний. Таким образом, альтернативное решение задачи о гашении колебаний одной управляющей силой может быть построено на основе обобщенного принципа Гаусса.

Рассмотрим следующую задачу: пусть механическую систему, имеющую п различных собственных частот, отличных от нуля, необходимо за время Т переместить на расстояние а, причем так, чтобы в конце пути она оказалась в положении устойчивого равновесия. Если и в начальный момент система покоилась, то при наличии одной управляющей силы придем к следующей краевой задаче:

¿1 = и, ж;(0) = ¿¡(0) = Х{(Т) = 0, г=1,5, в = гс + 1 ¡с, + 1^-1X3 = и, хх(Т) = а, х3(Т) = 0, ^ = 2, в.

Краевая задача (44) может описывать, например, простейшую модель перемещения поезда на заданное расстояние. Электровоз, вагоны и сцепления между ними моделируются при этом, соответственно, как сосредоточенные массы и податливости. Тягу электровоза, пропорциональную величине и, искать в данном случае в том виде, при котором система входит в резонанс по всем собственным формам колебаний, явно нецелесообразно. Краевой задачей (44) является и задача о гашении колебаний п физических маятников, подвешенных к тележке, которая с искомым ускорением и(<) должна за время Т переместиться на заданное расстояние а. Если же данная тележка перемещается горизонтально, а на ней в

вертикальной плоскости, перпендикулярной к направлению движения, укреплена консоль с массой на конце, то, ограничиваясь учетом только п первых собственных форм ее колебаний, снова придем к задаче (44). Эта модель может, в частности, имитировать движение "руки" манипулятора. Подобную задачу будем подробно обсуждать ниже.

Перейдем к решению краевой задачи (44). Из формул (43) и (44) следует, что функции х^), г = 1, в, могут быть представлены в виде

2з

где

Ы*)= [ ^-'(t-T^r, * = 1,2в, J о

ш = [

J о

/о

'r^'sinWj-iii-r)

dr, j = 2, s.

и,-1

Постоянные Ck при различных собственных частотах однозначно определяются из решения системы уравнений

2 s

YiaikCk = a5], j = VTs, (45)

jt=i

где

¿j = l,j = l,

aik = tjk{T), as+j:к = ijk(Г), j = м, к = 172I. Покажем, что функции w(£) и з:;(£), г = 1, s, в задаче (44) являются такими, что

«(£) = -и(Г - t), xi(i) = а-Ж!(Г-£), (46)

Введем в рассмотрение функции

ij(t) =И (Т-О-а, x,(i) = хДТ - 0 , (47)

j = 27s.

Они таковы, что

aci(i) = — i), ¿ = 175.

Отсюда и из выражений (47) следует, что задача (44) в новых функциях запишется в виде:

§1 = «(«), ^(0) = Xi(0) = х4(Т) = 0, * = 175, ,„0,

.. __(48)

xj + jj.jxj = ü(t), xj{T) = 0, j = 2,5, xi(T) = -a.

Здесь

ü(t) = u(T -1). (49)

Решение системы линейных алгебраических уравнений (45) пропорционально величине а, и потому, сравнивая (44) и (48), видим, что

х¿(4) = -£¡(4), г = 1,5, ЭД = -иЦ).

Из последних формул и из выражений (47) и (49) следует, что соотношения (46) действительно выполняются.

При минимизации функционала (32) управление в данной задаче будет отыскиваться в виде

и({) = ^(С* сое + С„+к втш^) + С2п+1 + Сгп+г^ • к=1

Постоянные Ск, к = 1,2з, в = п + 1, при этом также найдутся из системы вида (45), поэтому соотношения (46) сохранятся.

Расчеты велись при п = 2 и а = 1. Решение в этом случае зависит от двух параметров:

Т Ъ г - ^ т -2ж

Т . 7р" > X = 27Г . -<2 = — •

12 ¿1 М2

На рисунках 3 и 4 пунктиром показано решение, основанное на применении приципа максимума Поитрягина, а сплошными линиями — обобщенного принципа Гаусса.

При малом времени перемещения результаты, полученные обоими методами, практически совпадают (см. рис.3), а при длительном движении в системе успевают в первом случае развиться интенсивные колебания, а при втором подходе колебания остаются незначительными (см. рис.4).

1 т

Г=Г, Г, = 0.5 Т,

Рис.3

Рис.4

Таким образом, применение обобщенного принципа Гаусса к задаче о гашении колебаний упругой системы при ее перемещении на заданное расстояние имеет по сравнению с использованием принципа максимума Понтрягина то преимущество, что оно приводит к меньшей раскачке системы в процессе движения.

В этой же главе обобщенный принцип Гаусса применяется для гашения поперечных колебаний вертикального стержня, основание которого перемещается горизонтально на заданное расстояние в течение заданного промежутка времени. Управлением является ускорение основания. Упругое тело, например консоль, имеет бесконечное число частот. Естественно возникает вопрос, целесообразно ли в этом случае при перемещении основания консоли обеспечивать гашение колебаний в конце пути для всего спектра частот. Дело в том, что вклад высших форм колебаний консоли в ее полную энергию в момент остановки мал. Конструктивное решение данного вопроса предложено Г.В. Костиным и В.В. Сауриным. Искомое ускорение, представленное в виде ряда по степеням £, предлагается определять, исходя из минимизации полной энергии консоли в момент остановки ее основания. Кривая прогиба, входящая в выражение для этой энергии, определяется по методу интегродифференциальных соотношений. В рассматриваемой работе данная энергия вычисляется на основе применения к решению изучаемой задачи уравнений Лагранжа второго рода. Скачки ускорения консоли как абсолютно твердого тела в начале и в конце пути устраняются тем, что разложение ускорения в ряд по степеням времени Ь начинается с £2. Энергия колебаний рассматривается не только в конце пути, но и в процессе перемещения консоли. Этот расширенный энергетический подход позволяет подойти к данной задаче с новой точки зрения.

Пусть для простоты консоль является однородной и имеет постоянное поперечное сечение. Эффективность применения уравнений Лагранжа к рассматриваемой задаче определяется тем, что при представлении прогиба консоли в виде ряда по

собственным функциям Ха(х), а = 1,оо,

оо

yT{x,t) = ^2qa{t)Xa{x),

<7=1

при времени перемещения, близком к периоду первой формы колебаний или его превосходящем, кинетическая и потенциальная энергии консоли найдутся в виде быстро сходящихся рядов

<7 = 1 СГ=1

' р (50)

Me = jJxl{x)dx, ^ = а =

Здесь I — длина консоли, т — ее масса, Е — модуль Юнга, J — момент инерции поперечного сечения, Аст — корни уравнения

cos A ch А = — 1.

Собственные формы и приведенные массы Ма, а = 1,оо, таковы:

v / \ ■ Х"х и Х°х , л ( v. Х"х Х°х\ Ха(х) = sm —--sh —j— + Act I ch —---cos —— j ,

\ ' ' / (gn

. sh Ao- + sin ACT ,

Лт = -гт—-г • M° = •

ch Aff -f cos X„

Пусть функцией £(t) задается перемещение основания консоли по направлению, перпендикулярному оси стержня. Тогда абсолютное перемещение уа(х, t) сечения х консоли представится в виде

Va(x,t) = + yT(x,t),

где pr(x,t) — смещение сечений консоли относительно недеформированного состояния.

Вычислив кинетическую энергию системы

K-flJ {T)2dX

и подставив ее в уравнения Лагранжа

±дК_дК_ _дП

dt di/a- dqa dq„ '

придем к уравнениям

а = 1,оо,

q<T + ulqa = ~§£, «7 = 1,00.

(

аст = у У Ха(х) йх , сг = 1, оо. о

Перейдем к безразмерным переменным по формулам

с ^ „ _

= 7 , ха =--, а = 1,оо, т = ш1*, (52)

I Ос I

и обозначим для простоты также точкой производную по безразмерному времени т.

Тогда получим уравнения

х0 = и, ха+й1х„=и, йа = — = (^ ) , сг=1,з. (53)

\ Л1 /

Здесь и — искомое безразмерное ускорение основания консоли, а« - число учитываемых собственных форм колебаний.

При соударении шаров, как показал Релей, упругие колебания в них почти не возбуждаются по той причине, что и само ускорение центра масс каждого из шаров, и производная от него по времени в начале и в конце соударения равны нулю. Учитывая это обстоятельство, перемещение х0 подчиним следующим краевым условиям:

*0(0) = ¿о(0) = хо(0) = и(0) = '¿'„(О) = ¿(0) = 0, хо(Г) = а, х0{Т) = х0(Г) = и(Т) = х0(Т) = й(Т) = 0. 1 ]

Энергия колебаний консоли, как следует из выражений (50)-(52), такова:

^ + (55)

<7=1 А"

Пусть стержень является абсолютно твердым телом. Тогда ускорение и", отыскиваемое в виде

и* = Схт2 + С2т3 + Сзт4 + С4г5,

однозначно определится из граничных условий (54). Перемещение, соответствующее этому ускорению, обозначим через х*0.

Отметим, что функция и*(т) обладает следующим свойством:

и*{т) = —и*(Т — т).

Отсюда следует, что и*{Т/2) = 0. Учитывая это, а также то, что и* (г) > 0 при 0 < г < Т/2, найдем, что максимальная скорость основания такова:

Ушат = 1ш , Ут = Х*0(Т/2) .

Принимаем за меру энергии и ускорения величины

гг -

~~ 2 ' 24

" 7

Чгаах Нт

где

Сах = , У,т = и" (Г.) .

Здесь —максимальное ускорение консоли как абсолютно твердого тела, а т, — тот момент времени, когда функция и* (г) максимальна. В соответствии с выражением (55) получаем

= ^ = (56)

Л* <7=1

Первоначально задачу о гашении колебаний консоли в момент времени Т рассмотрим как краевую задачу, описываемую уравнениями (53), краевыми условиями на перемещение основания (54) и краевыми условиями на координаты ха

хДО) =¿„(0) = х„{Т) = ха{Т) =0, (7= М.

Данная краевая задача отличается от краевой задачи (44) дополнительными условиями на ускорение «(£) в начальный и в конечный моменты времени. Обобщенный принцип Гаусса позволяет учесть это обобщение краевой задачи (44) за счет повышения порядка принципа на четыре единицы, т. е. за счет подчинения управления и(£) уравнению

(2з+6)

и = 0.

Отсюда при учете того, что и(0) = й(0) = 0, вытекает, что ускорение следует искать в виде

2а+4 к=1

где Ск — искомые постоянные, алгоритм определения которых был описан при решении краевой задачи (44).

Рассмотрим теперь гашение колебаний консоли как задачу минимизации величины Еп{Т), задаваемой формулой (56). Ограничимся случаем, когда функция и(т), удовлетворяющая условиям (54), имеет или два, или четыре свободных параметра. Итак, пусть

и(т) = ^ Сктк+1 + ат6 + ¡Зт7 + 7г8 + <5т9. к= 1

Для простоты описания метода ограничимся двумя параметрами, т. е. положим 7 = 5 = 0. Определив из уравнения ¡¿о = и и из условий (54) постоянные Ск, к = 1,4, как линейные функции параметров а и /3, получим

и = и(т,а,р),

Еп(Т,«,/?) = — £ а,Ц) + ш1хЦТ,а,/?)).

т к=1 а

хк(Т, а, р) - — / «(г,а, ¡3) вта/ЦТ - т) с£т, Ык и о т

хк(Т, а, Р) = J и(г, а, 0) соэсдк(Т -т)йт, о

к= ХШ.

Число N выбиралось из условия, чтобы погрешность вычисления полной энергии консоли не превосходила 0.01 %. Расчеты показали, что при Т/Т\ > 0.6 для этого достаточно положить N = 8. Искомые параметры а и /? определялись из системы линейных уравнений

ац« +«12/3 = -/1(0,0), в21 а + а,22 0 = —/2(0,0),

где

дЕп[Т,а,р) дЕп{Т,а,Р) Л(«,/?) =-^-, Л(а,/?) =---,

3/1 ад д/2

Оц = , 012 — 021 - -77-г , 022 — "577 ■ да ар др

Аналогично строится решение и при четырех свободных параметрах.

Безразмерные переменные в данной задаче введены таким образом, чтобы искомое безразмерное управление зависело только от одного параметра Т/Ть Здесь Т — время перемещения основания консоли, а Тг — период первой формы колебаний консоли.

Расчеты показали, что при Т/Т\ ^ 0.8 решение задачи о гашении одной формы (в = 1) и задачи о гашении двух форм (в = 2) достаточно точно совпадают с решениями, основанными на минимизации Еп(Т) соответственно по двум и четырем параметрам. Точнее можно сказать, что графики функций й(т/Т) и Еп(т/Т), построенные по этим двум подходам, сливаются, а различие в величинах Еп(Т) не превосходит 0.6%.

Результаты расчетов для трех характерных значений Т/Т\ приведены на рис. 57. На них сплошные линии соответствуют стержню как абсолютно твердому телу, кривые, изображенные пунктиром с длинными штрихами, соответствуют гашению первой формы, а кривые с короткими штрихами — гашению двух форм. На этих рисунках через й(т/Т) и Еп(т/Т) обозначены соответственно безразмерное ускорение основания консоли и безразмерная величина полной энергии колебаний консоли.

Из расчетов, выполненных при различных значениях отношения Т/Т1, следует, что при 0.8 < Т/Тх < 1 целесообразно гашение первых двух форм колебаний, при 1 «5 Т/Т\ ^ 1 достаточным является гашение первой формы колебаний, при Т/Т\ > 2 вообще нет необходимости гасить колебания.

Отметим, что предложенная теория может быть применена к расчету гашения колебаний гибкой "руки" манипулятора при ее остановке после перемещения основания на заданное расстояние в течение заданного промежутка времени.

В приложении теорию движения неголономных систем со связями высокого порядка, развитую в предыдущих главах, предлагается использовать для составления уточненных уравнений движения сложных механических систем. К таким системам относятся, например, системы, в которых отдельные части взаимодействуют друг с другом с помощью силовых полей, имеющих сложную электромеханическую, аэро- гидродинамическую и т. п. структуру. Обычно дифференциальные уравнения движения подобных систем составляются при значительных упрощениях характера взаимодействия частей системы. Полученные таким образом

уравнения уточняются путем введения поправочных коэффициентов, найденных экспериментально. Предлагается за счет предварительной математической обработки эксперименальных данных о движении системы составить нестационарные зависимости между обобщенными координатами и их производными в основных режимах работы исследуемой системы. Рассматривая эти зависимости как связи высокого порядка, можно составить уточненные уравнения движения механической системы, учитывающие достаточно точно ее истинное движение. Достоверность выведенных уравнений в этом случае напрямую зависит от точности математической обработки экспериментальных данных. Приводится пример расчета движения гидромуфты на основе использования классической неголономной механики. Этот подход распространяется при возможности составления связей высокого порядка, при этом рекомендутся рассматривать их как неидеальные связи.

В заключении формулируются основные научные результаты, выносимые на защиту. Приводится список научных работ автора, отражающих основное содержание диссертации. Список содержит 53 наименования.

Список основной литературы содержит 368 наименований.

Результаты, выносимые на защиту:

1. Использование множителей Лагранжа для определения управляющих сил в случае, когда программа движения задана в виде дополнительной системы дифференциальных уравнений высокого порядка. Введение в смешанной задаче динамики понятия управляющей силы и понятия идеального управления.

2. Постановка и решение двух задач о движении реальных механических систем из области космонавтики как неголономных систем со связями высокого порядка.

3. Формулировка задачи управления, решаемой с помощью принципа максимума Понтрягина, как смешанной задачи динамики. Постановка обобщенных краевых задач.

4. Применение обобщенного принципа Гаусса для гашения колебаний механических систем с конечным числом степеней свободы и систем с распределенными параметрами.

5. Доказательство эквивалентности основных форм уравнений движения неголономных систем уравнениям Маджи.

6. Анализ ряда новых задач неголономной механики. Новая механическая трактовка задачи Аппеля-Гамеля.

СПИСОК ОСНОВНЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК'ом

[1] Ш.Х. Солтаханов. Об обобщенном представлении управляющих сил, обеспечивающих заданную программу движения // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1990. Вып. 2 (№8). С. 70-75.

[2] Ш.Х. Солтаханов, М.П.Юшков. Применение обобщенного принципа Гаусса для составления уравнений движения систем с неголономными связями третьего порядка // Вестн. Ленингр. ун^га. Сер. 1. 1990. Вып. 3 (№15). С. 77-83.

[3] Ш.Х. Солтаханов. Об одном видоизменении принципа Поляхова-Зегжды-Юшкова // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1990. Вып. 4 (.V 22). С. 58-61.

[4] Ш.Х. Солтаханов, М.П. Юшков. Уравнения движения одной неголоном-ной системы при наличии связи второго порядка // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1991. Вып. 4 (№22). С. 26-29.

[5] Ш.Х. Солтаханов, М.П. Юшков. Определение минимальной производной от добавочной силы, обеспечивающей заданную программу движения // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер.1. 1993. Вып.1 (№1). С. 97-101.

[6] Ш.Х. Солтаханов. Определение обобщенных управляющих сил в смешанной задаче динамики // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. 2005. Вып.ЛН. С. 111115.

[7] С.А. Зегжда, Ш.Х. Солтаханов, М.П. Юшков. Плавный переход спутника с круговой орбиты на круговую как пример движения с неголономной связью третьего порядка // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. 2005. Вып. -V' 2. С. 95-98.

[8] Ш.Х. Солтаханов. Смешанная задача динамики и принципы Гаусса и Манжерона-Делеану // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. 2005. Вып. Л"«3. С. 121— 129.

[9| Ш.Х. Солтаханов. Управление движением спутника с помощью линейной неголономной связи третьего порядка // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. 2005. Вып. №4. С. 119-123.

[10] Ш.Х. Солтаханов, К.К. Тверев. К вопросу об использовании уравнений Схоутена и Чаплыгина в нестационарном случае // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. 2006. Вып. №23. С. 135-137.

[11] Ш.Х. Солтаханов. Расширенные уравнения движения машинного агрегата при наличии неголономной связи третьего порядка // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. 2006. Вып. № 4. С. 95-98.

[12] Т.Н. Погребская, Ш.Х. Солтаханов. Управление преследованием цели по методу погони как неголономная задача механики // Вестн. С.-Петербург, унта. Сер. 1. 2007. Вып. Л* 1. С. 117-126.

[13] Ш.Х. Солтаханов. Гашение колебаний консоли // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер.1. 2009. Вып. №4. С. 105-112.

[14] С. А. Зегжда, Ш.Х. Солтаханов. Применение обобщенного принципа Гаусса к задаче гашения колебаний механических систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2010. Л"'2. С. 20-25 (апрель).

Другие публикации

монографии:

[15] С.А.Зегжда, Ш.Х.Солтаханов, М.П.Юшков. Уравнения движения неголономных систем и вариационные принципы механики. СПб: Изд-во С.Петербург. ун-та. С.-Петербург. 2002. 276 с.

[16] С.А.Зегжда, Ш.Х. Солтаханов, М.П.Юшков. Уравнения движения неголономных систем и вариационные принципы механики. Новый класс задач управления. М.: Изд-во "Наука. Физматлит". 2005. 272 с.

[17] С.А. Зегжда, Ш.Х. Солтаханов, М.П.Юшков. Уравнения движения неголономных систем и вариационные принципы механики. Новый класс задач

управления. Beijing: Beijing institute of technology Press. 2007. 268 p. (на китайском языке).

[18] Sh.Kh. Soltakhanov, M.P. Yushkov, S.A. Zegzhda. Mechanics of nonho-lonomic systems. A New Class of control systems. Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag. 2009. 329p. (на английском языке).

[19] C.A. Зегжда, Ш.Х. Солтаханов, М.П. Юшков. Неголономная механика. Теория и приложения. М.: Изд-во "Наука. Физматлит". 2009. 344 с.

учебник:

[20] H.H.Поляхов, С.А.Зегжда, М.П.Юшков. Теоретическая механика. Учебник для вузов РФ. М.: Изд-во "Высшая школа". 2000. 592/60с.

статьи:

[21] Ш.Х. Солтаханов. Использование принципа Суслова-Журдена при составлении уравнений движения систем с неголономными связями первого порядка // Сб. Динамика механических систем. Владимир. 1989. С. 122-125.

[22] Ш.Х.Солтаханов, М.П.Юшков. Исследование нестационарного движения систем с гидродинамическими передачами методами неголономной механики // Прикладные задачи динамики и устойчивости механических систем. Прикладная механика. Вып. 8. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1990. С. 44-48.

[23] Ш.Х. Солтаханов. О различных формах записи обобщенных уравнений Маджи //Деп. в ВИНИТИ №5535-В90 от 29.10.90. 19с. (Предст. редколл. Вестн. Ленингр. ун—га).

[24] Ш.Х. Солтаханов. К вопросу исследования неголономных систем с линейными связями второго порядка // Деп. в ВИНИТИ №427-В91 от 28.01.91. 11с. (Предст. редколл. Вестн. Ленингр. ун-та).

[25] Ш.Х. Солтаханов, М.П. Юшков. Определение векторной структуры реакций связей высокого порядка // Сб. научно-метод. статей "Теоретическая механика". Вып. 22. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 1996. С. 30-34.

[26] Ш.Х. Солтаханов, H.A. Хорькова, М.П. Юшков. Движение автомобиля на повороте как неголономная задача механики // Прикладная механика. Вып. 10 (К 90-летию со дня рождения профессора H.H. Поляхова). СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 1997. С. 210.

[27] Ш.Х. Солтаханов. Сравнительный анализ уравнений движения неголономных систем, вытекающих из принципа Поляхова-Зегжды-Юшкова и принципа Нордхайма-Долапчиева (принципа Манжерона-Делеану) // Сб. Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы. Пермь. 1997. С. 136-148.

[28] Г.Е. Иванов, Ш.Х. Солтаханов, М.П. Юшков. К вопросу об уравнениях движения и технической реализации задачи Аппеля-Гамеля // Всероссийская научно-практич. конференция "Первые Окуневские Чтения". Материалы докладов. С.-Петербург. 1997. С. 156-157.

[29] Г.Е. Иванов, Ш.Х. Солтаханов, Ю.С. Шевердин, М.П. Юшков. К вопросу об уравнениях движения и технической реализации задачи Аппеля-Гамеля // Всероссийская научно-практич. конференция "Первые Окуневские Чтения". Сб. трудов. Т. 2. Теоретическая и прикладная механика. С.-Петербург. 1999. С. 86-92.

[30] С.А. Зегжда, Ш.Х. Солтаханов, М.П. Юшков. О работе H.H. Поляхо-ва в Ленинградском Доме ученых АН СССР (К 80-летию Санкт-Петербургского Дома ученых РАН) // Всероссийская конференция по механике "Вторые Поля-ховские чтения". Избранные труды. С.-Петербург. 2000. С. 15-21.

[31] Ш.Х. Солтаханов. О значимости связей типа Н.Г. Четаева в нелинейной неголономной механике // Всероссийская научная конференция "Интеграция науки, образования и производства - решающий фактор возрождения экономики и социальной сферы в посткризисный период". Грозный. 2000. Материалы докладов. С.42-46.

[32] G.E.Ivanov, М.Р.Juschkov, Sch.H.Soltachanov. Zum Problem der Aufgabe von Appell-Hamel // Technische Mechanik. 2001. Band 21. Heftl. S. 41-45.

[33] Ш.Х. Солтаханов, М.П. Юшков. Развитие неголономной механики от классических связей первого порядка до связей высокого порядка // Международная научно-практич. конференция "Третьи Окуневские чтения". С.-Петербург. 2002. Материалы докладов. Том 2. Теоретическая и прикладная механика. С. 150— 152.

[34] Ш.Х. Солтаханов. Основные формы уравнений движения неголономных систем // Сб. Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы. Вып. 34. Пермь. 2002. С. 94-100.

[35] С. А. Зегжда, Ш.Х. Солтаханов, М.П. Юшков. Основные результаты Поляховской школы по аналитической механике // Международная научная конференция по механике "Третьи Поляховские чтения". С.-Петербург. 2003. Избранные труды. С. 16-21.

[36] Р.Каспер, Ш.Х. Солтаханов, М.П.Юшков. О возможности использования теории движения неголономных систем высокого порядка в некоторых задачах мехатроники // Международная научная конференция по механике "Третьи Поляховские чтения". С.-Петербург. 2003. Тезисы докладов. С. 45.

[37] Ш.Х. Солтаханов. Дифференциальные принципы механики и проблема их совместимости // Международная научная конференция по механике "Третьи Поляховские чтения". С.-Петербург. 2003. Тезисы докладов. С. 67.

[38] Ш.Х. Солтаханов. Об уравнениях движения неголономных систем // Международная научная конференция по механике "Третьи Поляховские чтения". С.-Петербург. 2003. Тезисы докладов. С. 68.

[39] М.Р. Juschkov, R. Kasper, Sch.H. Soltachanov. Anwendung den Prinzip von Suslov-Jourdain bei der Untersuchung der Bewegung eines Systems mit hudraulischen Getrieben // 6. Magdeburger Maschinenbau-Tage. Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg. 2003. S. 229-235.

[40] C.A. Зегжда, Ш.Х. Солтаханов, М.П.Юшков. Об удовлетворении решений уравнений движения дополнительной системе высокого порядка // Международная научно-практич. конференция "Четвертые Окуневские чтения". Симпозиум "Пуанкаре и проблемы нелинейной механики". Материалы докладов. С.Петербург. 2004. С. 41-42.

[41] М.Р. Juschkov, Sch.H. Soltachanov, S.A. Zegzhda. Anwendung des generalisierten Gaußschen Prinzips auf die Untersuchung der Bewegung eines Satelliten mit konstanter Beschleunigung // Technische Mechanik. 2004. Band 24. Heft 3-4. S. 236-241.

[42] M.P. Juschkov, R. Kasper, Sch.H. Soltachanov. Nichtholonome Mechanik mit idealen Bindungen höherer Ordnung in der Mechatronik // 7. Magdeburger Maschinenbau-Tage. Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg. 2005. S. 102-109.

[43] C.A. Зегжда, Ш.Х. Солтаханов, М.П. Юшков. К вопросу об одном новом классе задач управления // Международная научная конференция по механике "Четвертые Поляховские чтения". С.-Петербург. 2006. Тезисы докладов.

[44] С.А. Зегжда, Ш.Х. Солтаханов, М.П. Юшкоз. О возможности управления движением при помощи неголономной связи высокого порядка // 9-ый международный семинар им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". Ин-т проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН. Тезисы докладов. 2006. С. 99-100.

[45] Sh.Kh. Soltakhanov, M.P. Yushkov, S.A. Zegzhda. Holonomic and non-holonomic constraint forces of any order // Proceedings of the Second International Conference of Dynamics, Vibration and Control. Beijing. China. 2006. P. 172.

[46] C.A. Зегжда, Ш.Х. Солтаханов, М.П. Юшков. Применение обобщенного принципа Гаусса к задаче о гашении колебаний механических систем // Аннотации докладов 9-го Всероссийского съезда по теор. и прикладной механике. Нижний Новгород. 2006. С. 56.

[47] Ш.Х. Солтаханов, М.П. Юшков. Неголономная механика и некоторые задачи теории управления // Успехи механики. 2006. Вып. №4. С. 29-56.

[48] M.P.Yuschkov, R.Kasper, Sch.H.Soltachanov. Über die Bewegungsgleichungen vom hudraulieschen Autogetriebe // 8. Magdeburger Maschinenbau-Tage. Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg. 2007. S. 204-209.

[49] Ш.Х. Солтаханов. История развития неголономной механики и ее связь с задачами управления // Международная научная конференция по механике "Пятые Поляховские чтения". С.-Петербург. 2009. Тезисы докладов. С. 237.

[50] Ш.Х. Солтаханов. К вопросу о гашении поперечных колебаний стержня // Международная научная конференция по механике "Пятые Поляховские чтения". С.-Петербург. 2009. Тезисы докладов. С. 64.

[51] Sh.Kh. Soltakhanov, M.P. Yushkov, S.A. Zegzhda. The theory of motion of the systems with high-order non-holonomic constraints // Proceedings IConSSM 2009. 2-nd International Congress of Serbian Society of Mechanics. Palic(Subotica), 1-5 June 2009. P.xl.

[52] M.P. Juschkov, Sch.H. Soltachanov, S.A. Zegzhda. Verwendung des verallgemeinerten Gauss-Prinzips zur Aufgabe der Dämpfung der Oszillationen der mechanischen Systeme //9. Magdeburger Maschinenbau-Tage. Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg. 2009. S. 112-120.

[53] К. Каттани, Ш.Х. Солтаханов. Дифференциальные принципы механики и проблема их совместимости // Сб. научных трудов Комплексного научно-исследовательского института РАН. Москва. 2009. Вып. № 2. С. 17-28.

Подписано к печати 24.06.10. Формат 60 х84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 4848. Ошечатано в Отделе оперативной полиграфии Химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-40-43,428-69-19

С. 50.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Солтаханов, Шервани Хусаинович

Актуальность работы и ее цель. Неголономная механика — это важнейший раздел аналитической механики, и одним из направлений ее развития является изучение движения систем со связями высокого порядка. Здесь разработано большое количество форм записи уравнений движения (PI. Нильсен, И. Ценов, До Шань, Мэй Фунсян, H.H. Поляхов, С.А. Зегжда, М.П. Юшков и др.) и выдвинут ряд вариационных принципов (Манжерона— Делеану, обобщенный принцип Гаусса). Помимо специальной литературы эти вопросы обсуждаются и в монографиях по неголономной механике (напр., В.В.Добронравова, 1970г., Г.Гамеля, 1949г., H.H. Поляхова, С.А.Зегжды, М.П.Юшкова, 1985 г., С.А.Зегжды, Ш.Х. Солтаханова, М.П.Юшкова, 2005, 2009 гг.). При создании теории движения систем со связями высокого порядка была сформулирована смешанная задача динамики, когда движение системы должно подчиняться дополнительной системе дифференциальных уравнений порядка п ^ 3. С позиций неголономной механики эту дополнительную систему можно рассматривать как связи высокого порядка, но фактически она является программой движения, осуществление которой выполняется созданием управляющих сил, определяемых как реакции этих связей высокого порядка (поэтому их лучше называть программными связями). Тем самым формулируется новый класс задач управления.

Помимо этого, доказана эквивалентность основных форм уравнений движения неголономных систем уравнениям Маджи, решено большое количество неголономных задач, в пространственном случае исследовано наведение на цель по методу погони как неголономная задача, показана необходимость введения системы управления для реализации нелинейной неголономной связи в задаче Аппеля—Гамеля и доказано, что введение такой связи подменяет в задаче диск шаром, предложена методика составления уточненных уравнений движения сложных механических систем на основе применения теории движения неголономных систем со связями высокого порядка.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на 9—ом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г.), на всероссийских и международных конференциях по механике "Поляховские чтения" на базе Санкт-Петербургского государственного университета (Санкт-Петербург, 1997г., 2000г., 2003г., 2006г., 2009г.), на всероссийской и международной научно—практических конференциях

Окуневские чтения" на базе Балтийского государственного технического университета "Военмех" (Санкт-Петербург, 1997 г., 2000 г.), на всероссийской научной конференции "Интеграция науки, образования и производства - решающий фактор возрождения экономики и социальной сферы в посткризисный период" на базе Комплексного научно—исследовательного института РАН ( Грозный, 2000г.), на международном научном симпозиуме "Пуанкаре и проблемы нелинейной механики" на базе Балтийского государственного технического университета "Военмех" (Санкт—Петербург, 2004г.), на 9-ом международном семинаре им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" на базе Института проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН (Москва, 2006 г.), на международном конгрессе "Нелинейный динамический анализ—2007" (Санкт-Петербург, 2007г.), на международных конференциях "Магдебургские дни машиностроения" (Германия, Магдебург, 2003г., 2005г., 2007г., 2009г.), на "Второй научной конференции по динамике, вибрациям и контролю" (Китай, Пекин, 2006 г.), на "Втором научном конгрессе по механике" (Сербия, Субботица, 2009 г.), на научных семинарах (Франция, Париж, Институт шоссе и мостов, 2005 г., Италия, Салерно, Университет Салерно, 2007 г.).

Неоднократно результаты диссертации докладывались и обсуждались на кафедре теоретической и прикладной механики Санкт—Петербургского государственного университета (2005г., 2006г., 2007г., 2009г., 2010г.), на заседаниях секции теоретической механики им. H.H. Поляхова при Санкт— Петербургском Доме ученых РАН (2005 г., 2006 г., 2008 г., 2010 г.), а также на научном семинаре в Институте проблем механики РАН (руководитель академик РАН Ф.Л. Черноусько, Москва, 2006 г),

Объем, структура и краткое содержание диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, приложения, заключения и списка литературы, насчитывающего 368 наименований. Число иллюстраций равно 44. Общий объем работы 237 страниц.

В главе I рассматривается движение системы материальных точек, стесненное неголономными связями, с помощью введения понятия изображающей точки по Герцу. Поясняется векторная структура реакции неголономных связей, предложенная H.H. Поляховым. Векторная форма используется и при выводе уравнений Маджи и уравнений Лагранжа второго рода с множителями. Доказывается эквивалентность основных форм уравнений движения неголономных систем уравнениям Маджи. Приводится решение большого количества задач с помощью различных видов дифференциальных уравнений движения неголономных систем. Из уравнений Маджи получен принцип Суслова—Журдена, и, в свою очередь, из этого же принципа выведены уравнения Маджи и уравнения Лагранжа второго рода с множителями. С помощью принципа Суслова—Журдена получены уравнения движения редуктора Новоселова.

В главеИ вводится касательное пространство к многообразию всех положений механической системы, которые она может иметь в данный момент времени. В результате уравнения Лагранжа второго рода свободной системы удается записать в виде одного векторного уравнения, при этом обобщенные силы оказываются ковариантными компонентами вектора активной силы, действующей на систему. При наложении на движение системы голо-номных, неголономных связей и линейных относительно обобщенных ускорений связей касательное пространство удается разбить на прямую сумму двух подпространств "А"" и "L". В К—пространстве уравнения связей полностью определяют соответствующую компоненту WK вектора ускорения системы W, а в другом при идеальных связях компонента R^ реакции связей R оказывается равной нулю. Вектор R^ находится как известная функция времени, обобщенных координат и обобщенных скоростей системы. Приводится геометрическая интерпретация влияния связей на формирование компонент вектора ускорения системы. Векторному уравнению движения несвободной механической системы в зависимости от вида связей сопоставляются дифференциальные вариационные принципы Даламбера—Лагранжа, Суслова— Журдена, Гаусса. Обсуждается взаимосвязь и единство этих принципов.

В главе III рассматривается возможность применения аппарата него-лономной механики для решения некоторых задач управления. Изложение опирается, прежде всего, на работы А. Бегена, П. Аппеля, Г. Гамеля, В.И. Киргетова, H.H. Поляхова, С.А. Зегжды, М.П. Юшкова. Теория управления движением механической системы с неголономными связями, зависящими от параметров, применена для решения двух задач на управляемое движение. В случае преследования цели по методу погони различными методами неголономной механики, в том числе и с помощью линейных преобразований сил, изложена плоская и решена пространственная задачи. Исследуется проблема Аппеля—Гамеля о движении с нелинейной неголономной связью, дается техническая реализация предельного случая, показано, что замена предельным переходом линейных связей нелинейной неголономной связью подменяет изучение движения диска с острой кромкой изучением движения шара. Поясняется, что подобная нелинейная неголономная связь может быть реализована только с помощью введения специальной системы управления, обеспечивающей ее выполнение.

В главе IV на базе расширения теории движения классических неголо-номных систем, изложенной в

главах I и II, на случай неголономных связей высокого порядка формулируется смешанная задача механики (обобщенная задача П.Л. Чебышёва). Под такой задачей понимается нахождение решения системы дифференциальных уравнений движения, удовлетворяющего дополнительной системе дифференциальных уравнений, содержащей линейно производные от координат выше второго порядка. Эта дополнительная система дифференциальных уравнений рассматривается как набор идеальных неголономных связей высокого порядка (они фактически являются программными связями), реакция которых обеспечивает их выполнение. Вводятся понятие управляющей силы, выполняющей условия программных связей, и понятие идеального управления. Обобщенные реакции связей отыскиваются как неизвестные функции времени, относительно них и обобщенных координат строится совместная система дифференциальных уравнений. Исследуется связь смешанной задачи механики и вариационных принципов Гаусса и Манжерона—Делеану. Смешанные задачи механики образуют новый класс задач управления. Впервые формулируются два реальных механических примера с нелинейной неголономной связью второго порядка и с линейной связью третьего порядка. Примеры относятся к области космонавтики и отражают движение искусственного спутника Земли с постоянным по величине ускорением и плавный перелет спутника с одной круговой орбиты на другую.

В главе V излагается обобщенный принцип Гаусса (принцип Поляхова— Зегжды—Юшкова) и дается его новая трактовка. Данный принцип применяется для дополнительного исследования движения спутника с постоянным по модулю ускорением как системы, подчиненной линейной неголономной связи третьего порядка. Управление движением тележки с маятниками с помощью применения принципа максимума Понтрягина формулируется как смешанная задача механики. Для решения этой же задачи предлагается применять обобщенный принцип Гаусса. Оказывается, что при первом пути решения задачи управление строится в виде суммы гармоник с собственными частотами системы. Такое решение раскачивает систему, стремясь вызвать в ней резонанс. При использовании же обобщенного принципа Гаусса управление находится в виде полинома, обеспечивающего плавное движение системы за заданный промежуток времени из одного состояния в другое. При малом времени перемещения результаты, полученные обоими методами, практически совпадают, а при длительном движении в системе успевают в первом случае развиться интенсивные колебания, а при втором подходе колебания остаются незначительными.

Помимо этого, в данной главе обобщенный принцип Гаусса применяется для гашения поперечных колебаний вертикального стержня, основание которого перемещается горизонтально на заданное расстояние в течение заданного промежутка времени. Управлением является ускорение основания. Существенно, что постановка задачи при использовании обобщенного принципа Гаусса позволяет формулировать обобщенную постановку краевой задачи, при которой в момент остановки основания требуется обращение в нуль не только скорости, но и ускорения. Найдены границы изменения безразмерного параметра, при которых достаточно гасить либо две первых формы колебаний, либо лишь основную форму колебаний, либо вообще не требуется гасить колебания стержня.

Введение диссертация по механике, на тему "Определение управляющих сил, обеспечивающих выполнение связей высокого порядка"

Возникновение неголономной механики. Как известно, неголоном-ная механика возникла из необходимости решать задами о перекатывании твердых тел без проскальзывания. Следует отметить, что еще до возникновения неголономной механики классики механики (И. Ньютон, Л. Эйлер, И.Бернулли, Я.Бернулли, Ж.Даламбер, Ж. Лагранж, С.Пуассон и др.) решали подобные задачи с помощью основных теорем механики.

Однако в конце XIX века попытки исследовать типично неголоном-ные задачи привычными методами голономной механики (К.Нейман [324], Э. Кричини [267], Г. Схоутен [343], Л. Больцман [253] и т.д.) привели к ряду знаменитых ошибок, привлекших пристальное внимание ведущих ученых того времени и сыгравших решающую роль в становлении неголономной механики. Наиболее известна в этом отношении работа Э. Линделёфа [311], предлагавшего для изучения перекатывания тела, ограниченного поверхностью вращения, под действием консервативных сил, зависящих от координат точки касания тела, вместо общих теорем динамики, используемых в монографии С.Пуассона [337], исходить из принципа Гамильтона или из уравнений Лагранжа второго рода, которые можно из него получить. Написав два уравнения неголономных связей, он использует их при составлении кинетической энергии и ошибочно считает, что этим полностью учтена неголономность задачи, а поэтому можно составлять уравнения Лагранжа второго рода. Естественно, что полученная таким образом система дифференциальных уравнений оказалась проще истинной и могла быть решена в квадратурах. Ошибка Э. Линделёфа базировалась на предположении о том, что реакция идеальной неголономной связи имеет такую же структуру, как и реакция идеальной голономной связи. Однако идеальные голономные и неголономные связи имеют принципиально различные векторы реакций связей, о чем подробнее будет указано ниже.

Внешне изящное, но неверное решение Э. Линделёфа настолько понравилось П. Аппелю, что он в качестве примера на применение уравнений Лагранжа второго рода поместил его в § 452 своего первого издания учебника по теоретической механике [247]. Во втором издании 1898г., ссылаясь на исследования Ж.Адамара [282] и А. Фиркандта [358], он пишет: ". результаты Линделёфа ошибочны. Я указал на эту ошибку Линделёфу в 1898 г. и сделал исправление в следующих изданиях моего "Traité"".

Приятно отметить, что допущенную Э. Линделёфом существенную ошибку первым, уже в год опубликования работы Э. Линделёфа, заметил

С.А. Чаплыгин, о чем уведомил автора, а 25 октября 1895 г. сделал об этом доклад на заседании отделения физических наук Общества любителей естествознания, антропологии и этнографии. С.А. Чаплыгин отмечает, что в своей работе ". на первых же страницах . Линделёф допустил важную ошибку, вследствие которой найденные им уравнения оказались проще истинных, чем и объясняется весь кажущийся успех автора". В этом же докладе С. А. Чаплыгин впервые приводит свои уравнения движения неголономных систем. Через два года он нашел правильное решение задачи Линделёфа и опубликовал свои результаты в статье [222].

Как самостоятельный раздел механики Ньютона неголономная механика оформилась в работе Г. Герца "Принципы механики, изложенные в новой связи" [288]. Именно ему принадлежат термины голономные и неголономные системы.

Уравнения неголономной механики. Выяснилось, что идеальные голономные и неголономные связи имеют принципиально различные векторы реакций связей, поэтому вместо уравнений Лагранжа второго рода при изучении движения неголономных систем следует пользоваться уравнениями Лагранжа с множителями. Одними из первых правильные уравнения движения при наложении неголономных связей предложили М. Феррерс [279] и Е. Раус [341]. М. Феррерс рассматривал случай, когда неголономные связи представлены в виде выражений производных от декартовых координат как линейные функции от обобщенных скоростей, а уравнения Е. Рауса содержали множители Лагранжа, причем для линейных связей он ввел форму, которая в настоящее время в литературе обычно называется уравнениями Лаграноюа второго рода с множителями [45].

Первые уравнения без множителей Лагранжа в неголономной механике ввел С.А. Чаплыгин в упоминавшихся выше докладе и статье [222]. Эти уравнения были получены при некоторых ограничениях, но выполнявшихся для большинства реальных механических задач, изучавшихся в то время. Такие системы стали называться системами Чаплыгина.

Фактически одновременно с С.А. Чаплыгиным общие уравнения для систем с любыми идеальными линейными неголономными связями получил и Г. Маджи [313]. Уравнения Маджи являлись линейными комбинациями уравнений Лагранжа второго рода. К сожалению, эти уравнения долгое время не были замечены современниками. Именно это обстоятельство побудило Маджи опубликовать заметку [314], в которой он показал, что уравнения Воль-терра и Аппеля могут быть получены из уравнений, предложенных им еще в 1896 г. в его книге по механике.

Позже А. Пшеборский [338] распространил уравнения Маджи на нелинейные неголономные связи. Отметим, что из уравнений Маджи могут быть получены все основные формы уравнений движения, обсуждаемые ниже.

Работа С.А. Чаплыгина привлекла большое внимание многих выдающихся ученых своего времени. Были предложены различные формы уравнений движения неголономных систем без множителей Лагранжа. Это уравнения В.Вольтерра [359], Л. Вольцмана [254], П.В. Воронца [27], Г. Гамеля [284] и др. Установленные ими различные виды уравнений движения неголономных систем составлены в квазикоординатах и имеют общую структуру уравнений Лагранжа второго рода с корректирующими аддитивными членами неголономности. Уравнения, полученные П.В. Воронцом, Л. Больцманом, Г. Гамелем, весьма похожи по внешнему виду и выводились почти одновременно. Этим объясняется тот факт, что в современной научной литературе у различных авторов они имеют разные наименования. Предлагались и иные формы уравнений движения, например, уравнения П.Аппеля [248], Ж. Куанжеля [340], И.Ценова [354], И. Схоутена [344], Н.Н.Пбляхова [166, 167].

Новое направление в получении уравнений движения дала статья А. Пуанкаре [336]. Как пишет В.В. Румянцев [192, с. 3], "замечательная идея Пуанкаре представлять уравнения движения голономных механических систем с помощью некоторой транзитивной группы Ли бесконечно малых преобразований была развита Четаевым [230, 231, 265] па случай нестационарных связей и зависимых переменных, когда группа преобразований интран-зитивна. Четаев преобразовал уравнения Пуанкаре к виду канонических уравнений и разработал теорию интегрирования этих уравнений". Теория Пуанкаре-Четаева работами Л.М. Мархашова, В.В.Румянцева, Фама Гуе-на [131, 132, 191, 192, 194, 211, 212, 213] была распространена и на него-лономные линейные системы. В 1998г. В.В.Румянцев [194] расширил уравнения Пуанкаре-Четаева и для нелинейных неголономных связей, поэтому эти уравнения следует называть уравнениями Пуанкаре-Четаева-Румянце-ва. Как отмечает В.В. Румянцев [193], эти уравнения являются общими уравнениями неголономной механики, из них могут быть выведены все остальные виды уравнений движения. В работе [66] дается геометрическая интерпретация уравнений Пуанкаре-Четаева-Румянцева.

Многие исследователи для вывода уравнений движения неголономных систем использовали принцип Даламбера-Лагранжа, справедливый для голономных систем, доопределив понятие возможных перемещений при наложении неголономных связей. Дж.У. Гиббс [281] и П. Аппель [247] для этого случая вводили возможные перемещения по правилам, фактически отождествлявшим их с возможными скоростями, что является вполне естественным. Но именно с понятием возможных скоростей связал соответствующий принцип неголономной механики Ф. Журден [296, 297]. Отметим, что практически этот же иринцип, но с несколько видоизмененной терминологией сформулировал и Г.К. Суслов [201]. В связи с этим вариационный дифференциальный принцип для неголономных систем справедливо называть принципом Суслова-Журдена [171].

Параллельно с получением уравнений движения (и для вывода уравнений движения) изучался вопрос и о дифференциальных вариационных принципах неголономной механики. Применение в неголономной механике одновременно принципов и Даламбера-Лагранжа, и Журдена, и Гаусса ставило вопрос о взаимосвязи дифференциальных вариационных принципов механики. Уже в начале XX века этому вопросу уделялось внимание (например, статья Р. Лейтингера [305]), однако всестороннее изучение этой проблемы было начато работой Н.Г. Четаева [229] и завершено исследованиями В.В. Румянцева [186, 187]. Этому направлению и в настоящее время уделяется большое внимание [104, 262, 349].

Н.Г. Четаев в той же статье [229] вводит важнейшее понятие для неголономной механики — возможные перемещения системы при наличии нелинейных неголономных связей (связи типа Четаева). Аналогичную аксиому идеальности неголономных связей вводил и А. Пшеборекий [338] при распространении уравнений Маджи на случай нелинейных неголономных связей. Отдавая должное соответствующим рассуждениям П. Аппеля, B.C. Новоселов такие условия называет условиями Аппеля-Четаева и для соответствующих возможных перемещений вводит термин "Л-перемещений"[157]. Дж. Папаставридис называет данные условия определением Маурера-Аппеля-Четаева-Гамеля возможных перемещений при наличии нелинейных неголономных связей [331, 332]. Эти условия являются основным аппаратом исследований в неголономной механике.

И в настоящее время большое внимание уделяется созданию новых форм уравнений движения неголономных систем и расширению имеющихся видов уравнений на более широкий класс связей (см., например, статьи A.PI. Ван-дер-Шафта и Б.М. Машке [356], Дж. Папаставридиса [330]). Здесь можно обратить внимание на новую форму уравнений неголономной (и голономной) механики, предлагаемую Я.В. Татариновым [207], охватывающую известные записи уравнений движения, причем большинство слагаемых находится с помощью формальной скобки Пуассона. В работе Ф. Удвадиа и Р. Калабы [355] при определении реакций связей, представленных в виде линейных неголономных связей второго порядка, используется матричное исчисление. Разбиение уравнениями связей всего пространства на два ортогональных подпространства автоматически при этом осуществляется за счет использования обобщенной инверсии Мура (Мора) и Пенроуза, предложенной еще в 1920 г. [323, 334]. По мнению авторов "уравнения движения, полученные в этой статье, являются, по-видимому, самыми простыми и всеобъемлющими из выве-деных до сих пор". Много внимания уделяется созданию компьютерно ориентированных методов, опирающихся на использование матричных форм записи уравнений движения. Среди этих работ, в первую очередь, можно выделить статьи В.В. Величенко [19], М.Борри, К. Богассо, П. Мантегацца [256], Ю.Г. Мартыненко [127].

Отметим, что заметный резонанс, особенно в западной литературе, получили уравнения Кейна [300], с их помощью решен целый ряд задач неголономной механики. Однако, многочисленными исследованиями [255, 271,

322, 345j показана прямая связь уравнений Кейна с уравнениями Маджи и Гиббса-Аппеля.

Некоторые проблемы неголономной механики. Выше отмечалось, что первой трудностью, с которой столкнулась иеголономная механика, была необходимость выяснения формирования вектора реакции пеголоночных связей.

Как известно, при наложении идеальных голономных связей fo(t,q)= 0, q = (q\.,qa), x = (0.1) их реакция направлена по нормали к поверхности fo{t,q) = 0, х = 1 ,к, и выражается вектором f)fx dqT где ет, т = l,s, являются векторами взаимного базиса введенной криволинейной системы координат. Интересно, что выражения обобщенных реакций А*, х— 1 ,к, как функций времени и обобщенных координат и скоростей

Ах = А „(i, q,q), x = Tjc, (0.2) были получены в начале ХХ-го столетия Г.К. Сусловым [202] и A.M. Ляпуновым [118].

Вектор реакции идеальных неголономных связей fii.t,q,q) = o, (о.з)

H.H. Поляхов предложил представлять в виде [167, 168] я fx

Введенный здесь вектор л fx д-, r = i,s, естественно назвать вектором Поляхова, он является обобщенным оператором Гамильтона, так как если после дифференцирования голономных связей (0.1) по времени их условно представить в виде неголономных связей (0.3), то их операторы Поляхова совпадут с операторами Гамильтона для связей (0.1).

Длительное время не удавалось получить выражения типа (0.2) для неголономных связей. Впервые с использованием понятия изображающей точки по Герцу для изучения несвободного движения системы материальных точек выражения множителей Лагранжа как функций времени и обобщенных координат и скоростей А^ = А„{t, q, q), я = 1, к, при наложении идеальных нелинейных неголономных связей были получены H.H. Поляховым,

С.А.Зегждой, М.П.Юшковым в 1981г. [169]. В 1985г. эти результаты были повторены в учебнике для университетов "Теоретическая механика" [173] этих же авторов. Помимо этого, было показано, что уравнениями связей (0.3) все пространство разбивается на прямую сумму двух подпространств К (размерности к) и L (размерности I = s — к), причем в первом из них составляющая ускорения системы полностью задается уравнениями неголономных связей, а во втором при идеальных связях уравнение движения имеет вид второго закона Ньютона для свободного движения системы в подпространстве L.

К сожалению, эта русскоязычная литература не была замечена за границей, и позже в разной редакции эти результаты были повторены в США (J.Storch, S.Gates, 1989г. [352]), в России (В.В. Величенко, 1991г. [19]; Ю.Ф., Голубев, 1999 г. [39]), в Италии (М. Borri, С. Botasso, P. Mantegazza, 1992г. [256]), в Польше (W. Blajer, 1992г. [252]), в Швеции (H.Essen, 1992г. [277]).

Указанные выше результаты были распространены на случай движения произвольной механической системы, стесненной идеальными линейными неголономными связями до второго порядка включительно (об этом подробнее см. ниже).

О трудностях создания формулировки вариационного принципа механики, эквивалентного получаемым уравнениям движения неголономных систем, говорилось в предыдущем пункте. Попытка распространить идеологию движения голономных систем на движение неголономных систем и, тем самым, желание воспользоваться принципом Даламбера-Лагранжа привели к необходимости наложить на возможные перемещения 5q°, а = l,.s, условия Четаева (Маурера-Аппеля-Четаева-Гамеля):

В этом случае привычный принцип Даламбера-Лагранжа переходит в обобщенный принцип Даламбера-Лагранжа справедливый для неголономных систем. Именно с помощью принципа (0.5) распространял, например, А. Пшеборский [338] уравнения Маджи на случай идеальных неголономных нелинейных связей. Однако, если следовать Г.К. Суслову и П. Журдену и в неголономных связях (0.3) вариировать при фиксированных времени и обобщенных координатах лишь обобщенные скорости 6'с[а, а = 1, в, то вместо постулируемых соотношений (0.4) придем к строгим математическим условиям на вариации обобщенных скоростей:

0.4)

СГ - 1, S ,

0.5)

Я fx

-£-5'qa = 0, х=1,к, а = 1,з. f)Aa 4 '

0.6)

В этом случае обобщенный принцип Даламбера-Лагранжа (0.5) переходит в принцип Суслова-Журдена (0.7):

Сравнение формул (0.4)-(0.7) поясняет единство и взаимосвязь принципов Даламбера-Лагранжа и Суслова-Журдена.

Большое внимание в неголономной механике уделялось вопросам реализации неголономных связей (исследования A.B. Карапетяна, К. Каратеодори, В.В.Козлова, И.В.Новожилова, В.В.Калинина, H.A. Фуфаева и др. [77, 97, 145, 216, 261]). Особенно большой интерес вызывал пример Аппеля-Гамеля [249, 250, 286], рассматриваемый с точки зрения возможности создания механическим путем нелинейной неголономной связи. К обсуждению этого примера часто возвращаются и современные исследователи. Некорректность предельного перехода, проведенного П. Аппелем и Г. Гамелем, пояснена Ю.И. Неймарком и H.A. Фуфаевым [140]. Переход к нелинейной связи, использованный Аппелем-Гамелем, фактически сводит задачу о качении диска к исследованию движения шара. Таким образом, в классической неголономной механике считается, что при движении твердых тел без проскальзывания и при наличии острых краев могут осуществляться лишь линейные неголо-номные связи. Новый подход по учету взаимодействия тела с поверхностью дают работы В.Ф.Журавлева [56, 57].

Наряду с изучением движения неголономных систем с переменными массами, с неудерживающими связями, с неидеальными связями много внимания уделялось и уделяется исследованию устойчивости и стабилизации движений неголономных систем (напр., работы В.И. Калёновой, В.М.Морозова, М.А.Салминой [74], A.B.Карапетяна [76-82, 196], В.В.Козлова [94, 95], A.C. Кулешова [107, 301], А.П. Маркеева [124], Ю.И. Неймарка и H.A. Фуфаева [141, 142], М.Паскаль [163], В.В. Румянцева [181-184, 189-190, 196], Лилона Кая [310], А. Нордмарка и X. Эссена [327], Жу Хайпина и Мэя Фунсяна [367], П. Хагедорна [283] и др). Весьма интересными здесь являются исследования по устойчивости вращения кельтских камней, необычную особенность вращения которых впервые подметил Г.Т. Уолкер еще в 1895 г. [362].

При изучении движения тел без проскальзывания по неподвижным поверхностям авторы уделяли много внимания интегрированию системы дифференциальных уравнений. Но особенно большое количество работ, посвященных математическим вопросам интегрируемости уравнений движения неголономных систем, появилось, начиная с конца 70-ых годов ХХ-го столетия. Здесь можно упомянуть работы A.A. Афонина, A.B. Борисова, A.A. Бурова, А.П. Веселова, Л.Е. Веселовой, A.B. Карапетяна, A.A. Килина, В.В. Козлова, С.Н. Колесникова, A.C. Кулешова, И.С. Мамаева, А.П. Маркеева, Н.К. Мощука, Ю.Н. Федорова, В.А. Ярощук и др. Среди этих исследований, в свою очередь, выделяются работы В.В. Козлова [93] и А.П.Маркеева [122, 123]. Своеобразной энциклопедией этого научного направления является сборник работ [12], в котором удачно собраны опубликованные ранее и специально написанные статьи, посвященные исследованию динамики качения тел.

Применение в начале XX столетия тензорных методов в механике неголономных систем привело к появлению новой области геометрии — неголономной геометрии. На развитие этого направления были направлены работы В.В. Вагнера, Г. Вранчеану, А. Вундхейлера, З.Горака, А.М.Лопшица, П.К. Рашевского, Дж. Синджа, И. Схоутена, В. Чжоу. Математические аспекты неголономной механики исследовались в работах В.PI. Арнольда, A.M. Вершнка, А.П. Веселова, Л.Е. Веселовон, В.Я. Гершковича, В.В. Козлова, М. Леона, Л.М. Мархашова, A.PI. Нейштадта, H.H. Петрова, П.Р. Родригеса, Д.М. Синцова, С. Смейла, Л.Д. Фаддеева, Д.П. Шевалье и др. Особое значение для их понимания имеют монографии В. PI. Арнольда [3], А.Д. Брюно [13], Б.А.Дубровина, С.П.Новикова,

A.Т.Фоменко [52], К.Трусделла [353].

Новым направлением в исследовании движения неголономных систем является использование современных компьютеров. С их помощью удалось выявить, например, возможность возникновения в неголономных системах хаоса и аттракторов [12], удачное компьютерное моделирование движения кельтского камня приведено в работе И.И. Косенко и М.С. Ставровской [102].

Применение теории движения неголономных систем к решению технических задач. Теория движения неголономных систем успешно применялась и применяется при решении различных технических задач: в теории движения велосипеда и мотоцикла (М. Бурле, М. Буссинеск, Е.Д. Дикарев, С.Б. Дикарева, Е. Карвалло, A.M. Летов, PI.PI. Метелицын,

B.К.Пойда, H.A. Фуфаев [165, 258, 263]), в различных машинах с вариаторами скорости (PI.И. Артоболевский, PI.PI. Вульфсон, Я.Л. Геронимус, В.А. Зиновьев, A.PI. Кухтенко, A.B. Мальцев, B.C. Новоселов, Б.А. Пронин, PI.PI. Тартаковский [5, 28, 35, 108, 119, 149, 177]), в теории движения электромеханических систем (A.B. Гапонов, В.А. Диевский, О.Енге, Г. Килау, А.Ю. Львович, П. Майсер, Ю.Г. Мартыненко, Ф.Ф. Родюков, PI. Штайген-бергер [32, 33, 44, 116, 117, 125, 276, 316, 351]) и в целом ряде других областей техники (например, обкатка ротора по жесткому подшипнику [41]). В последние годы проводились исследования, посвященные движению спортсмена на скейтборде и снейкборде (Ю.Г. Р1сполов, Б.А.Смольников [291], А.С.Кулешов [106]). Особенно успешно эта теория применяется для создания теории движения автомобиля (А.Б. Бячков, Н.Е.Жуковский, П.С. Линейкин, Л.Г.Лобас, Ю.Р1.Неймарк, В.К. Пойда, H.A. Фуфаев, Е.А. Чудаков, Ю.С. Шевердин, М.П.Юшков [55, 60, 113, 114, 142, 165, 233, 238]) и теории взаимодействия колеса и дороги (В.Г. Виль-ке, В.Гоздек, М.И.Есипов, А.Ю.Ишлинский, М.В.Келдыш, И.В.Новожилов, П. Рокар, H.A. Фуфаев [23, 24, 84, 144]). В свою очередь, сложное неголономное взаимодействие шины с дорогой М.А.Левин и H.A. Фуфаев описали феноменологической моделью качения деформируемого колеса [60, 110]. Эта модель позволяет определять силу и момент, действующие при движении автомобиля на колесо со стороны дороги. При таком подходе движение системы описывается обычными уравнениями Лагранжа второго рода. Именно таким путем составляли Е.В.Абрарова, А.А.Буров, С.Я.Степанов, Д.П.Шевалье уравнения движения для исследования устойчивости стационарных движений сложной автомобильной системы, состоящей из тягача-полуприцепа со сцепкой [1].

Теория неголономных систем применяется и при решении ряда задач робототехники. В частности, здесь в настоящее время активно изучаются вопросы динамики и управления мобильными колесными роботами (см., напр., работы А.PI. Кобрина, Ю.Г. Мартыненко, А.В.Ленского, Д.Е. Охоцимского, [128, 129]).

Использование понятия касательного пространства для изучения движения неголономных систем. Для расширения результатов статьи [169] можно ввести касательное пространство к многообразию всех положений системы, которые она может иметь в данный момент времени. Тогда удается записать уравнения Лагранжа второго рода свободной механической систем с s степенями свободы в виде одного векторного уравнения. Основной и взаимный базисы используемой криволинейной системы координат удается построить на основе инвариантности длины вектора возможного перемещения системы и величины элементарной возможной работы. В результате в этом касательном пространстве можно ввести понятие вектора ускорения W механической системы произвольной структуры и вектора активной силы Y, ковариантными компонентами которой являются обобщенные силы Qa, а = l,s. Само же векторное уравнение движения свободной механической системы имеет вид второго закона Ньютона

MW = Y.

Рассматривается наложение на движение системы линейных неголономных связей второго порядка

U Ъ 9. Ф = 9,0)4° + 4ох(*> <7, Ч) = 0 , (() 8) к = 1, k, I = s — к.

С помощью дифференцирования по времени голономные и неголономные связи (0.1) и (0.3) можно так же записать в виде (0.8). Уравнение движения такой несвободной системы примет вид

MW = Y + R, где R — вектор рекции связей (0.8).

Важно, что составляющая ускорения Wh в подпространстве К оказывается полностью определенной математическим заданием связей (0.8), а обеспечивающая выполнение этих связей составляющая реакции связей RA находится из уравнения

MWK = YK + Ra' .

Тем самым оказывается, что на вектор W/, уравнения связей (0.8) непосредственно влиять не могут, поэтому возможно только косвенное воздействие связей на эту составляющую ускорения через вектор R^. В частности, уравнения связей могут выполняться и при R^ = 0, в этом случае связи называются идеальными. Таким образом, влияние идеальных связей на ускорение W полностью определяется их аналитическими представлениями. Таким образом, при идеальных связях (0.8) в касательном пространстве выделяется подпространство L, в котором механическая система не принуждается уравнениями связей иметь ускорение W/,, отличное от ускорения, задаваемого законом Ньютона

MWL = Yl .

Для неидеальных связей отдельно от задания математических законов (0.8) должен задаваться закон формирования вектора Rz,. Например, при изучении голономных связей, выполненных физически в виде некоторых шероховатых поверхностей, при движении по этим поверхностям в подпространстве L со стороны связей будут действовать силы трения Кулона.

Вычисляя частный дифференциал S" при фиксированных t, if, (f от выражении (0.8), получаем е1+* . S" w = е1+>< ■ Ö"WL = О, и = TJc.

Из приведенных формул и из выражения RA = А^£1+>< следует, что RA • 6"W = 0. Если связи идеальные, то

Ra = R = MW - Y, поэтому

MW - Y) • 8"W = 0. (0.9)

Отсюда

6"(W - Y/M)2 = 0. (0.10)

Формулы (0.9) и (0.10) выражают принцип Гаусса.

Если следуя H.H. Поляхову [168] и В.В. Румянцеву [187] ввести возможное перемещение системы по формуле

У = у ¿"W = ~ Ö"WL , где г — бесконечно малый промежуток времени, введенный в рассмотрение Гауссом, то принцип Гаусса (0.9) можно переписать в виде обобщенного принципа Даламбера-Лагранжа:

MW- Y)-5y = 0, (0.11)

В случае неголономных связей первого порядка В.В. Румянцев [187] трактует возможное перемещение как вектор

6у = TS'V.

0.12)

В этом случае принцип (0.10) можно рассматривать и как принцип Суслова-Журдена.

Использование формул (0.9)-(0.12) позволяет пояснить единство и взаимосвязь дифференциальных вариационных принципов механики.

Неголономные системы со связями высокого порядка. Одним из направлений, развиваемых в неголономной механике, является изучение движений при наличии связей высокого порядка. Рассматривая в своем докладе [285] движение, стесненное неголономными связями второго порядка

Г. Гамель вводит условия, которым должны подчиняться возможные перемещения системы:

Условия (0.14) можно считать обобщением условий Четаева (0.4) на случай неголономных связей второго порядка (0.13). Позже Г. Гамель в своей монографии [286] для конкретных формально заданных связей второго порядка строит уравнения движения материальной точки. Г. Гамель связь, налаженную на движение точки, записывает в виде

Применяя принцип Гаусса, Г. Гамель составил уравнения Лагранжа второго рода с множителями, получил два решения и исследовал, какое из них являлось правильным. При этом он писал: "Но может ли быть расширен принцип Гаусса подобным образом, физически еще не доказано. Тем самым мы затрагиваем спорный характер всего этого случая. Так же, как мы не хотим представлять себе силы, зависящими собственно от ускорений — по крайней мере это исключается из рассмотрения, — так и связи вида, в которых встречаются ускорения, представляются спорными. Прежде всего такие, в которых встречаются высшие производные".

Отметим еще раз, что рассматриваемая связь высокого порядка не имеет физического содержания, а представляет собой произвольную комбинацию производных от координат до второго порядка включительно.

Отдельным вопросам движений при связях высокого порядка были посвящены работы Бл. Долапчиева, Д. Манжерона, С.Делеану, Г. Гамеля, Я.Нильсена, Л. Нордхайма, И. Ценова [48, 49, 120, 220, 272, 273, 285, 286, 317, 325, 326, 354]. Эту теорию продолжали и продолжают активно развивать, например, исследования Ю.А. Гартунга, В.В.Добронравова,

9. Ч, q) = 0 ,

0.13)

0.14) г'з = х ] хо ■

0.15)

До Шаня, Ю.Г.Исполова, В.И.Киргетова, Б.Г.Кузнецова, М.А.Мацура, Мэя Фунсяна, Б.Н. Фрадлина, Л.Д. Рощупкина, М.А. Чуева, И.М. Шульгиной, К.Янковского, Ф.Китцки, Р.Хастена др. [34, 50, 51, 72, 86, 105, 132, 138, 179, 215, 234-237, 241, 287, 292, 302, 312, 318, 347, 368]. Так, например, Ф. Китцка [302] приводит в настоящее время единственный пример механически осуществляемой линейной связи второго порядка, когда точка находится на конце нерастяжимой нити, навивающейся на цилиндр. Мэй Фунсян в своих работах [138, 312, 318 - 321] с помощью развитой им теории поля находит интегралы движения опять же для движения точки при формально заданной связи второго порядка (0.15) и для примера Аппеля-Гамеля при записи нелинейной неголономной связи в виде связи второго порядка. В.В.Добронравов [47] строит дифференциальные уравнения вращения искусственного спутника Земли при наложении связей второго порядка на углы Эйлера. В работе [368] выводятся уравнения движения в квазикоординатах при связях высокого порядка для системы с переменной массой.

В 1974 г. М.А. Чуевым [234] был выдвинут новый принцип неголономной механики при связях высокого порядка. Независимо от работ М. А. Чуева позже этот же принцип

2>(W - Y/M)2 = 0, n^l, (0.16) был сформулирован H.H. Поляховым, С.А. Зегждой, М.П. Юшковым [172] и назван ими обобщенным принципом Гаусса. В формуле (0.16) индекс (п) означает порядок производной по времени от вектора, а индекс (н + 2) — что н+1) частный дифференциал вычисляется при фиксированных t,(f,(f, ., (f . Отметим, что при использовании обобщенного принципа Гаусса в начальный момент времени заданными считаются все координаты qa и все их производные до порядка (п + 1) включительно, а следовательно, и вектор R и его производные до порядка (п — 1). Из принципа (0.16) С.А. Зегжда для связей высокого порядка вывел уравнения движения в форме Маджи и в форме Аинеля [62].

Следует отметить, что во всех предыдущих работах отсутствовала численная реализация применения подобных теорий к каким-либо конкретным задачам, в связи с чем не удавалось проследить за обоснованностью этих теорий. В этом отношении интересным оказывается, по-видимому, первый пример реальной идеальной нелинейной неголономной связи второго порядка (или идеальной линейной неголономной связи третьего порядка), отражающий движение космического аппарата с постоянным по модулю ускорением. Для этой задачи были проведены численные расчеты. Интересен и второй пример реальной неголономной связи третьего порядка, отражающий плавный перелет спутника с одной круговой орбиты на другую. Об этих примерах подробнее см. в главе V.

Новую теорию движения неголономных систем со связями высокого порядка разработали С. А.Зегжда и М.П.Юшков [67]. При голономных связях, классических неголономиых связях и при линейных неголономных связях второго порядка обобщенные реакции связей могут быть определены как функции времени, обобщенных координат и обобщенных скоростей. При неголономных связях порядка п ^ 3 так же вводятся два ортогональных подпространства К и Ь, но теперь предлагается множители Лагранжа отыскивать как неизвестные функции времени. Относительно них и неизвестных обобщенных координат строится совместная система дифференциальных уравнений гл), <7 = 17;,

-2) . (»-3) (0.17)

Л* = С£(г, Я, <7, А, А, ., Л), х=1,к, п^З.

Здесь Г* и являются известными функциями своих переменных. Именно система уравнений (0.17) была использована для исследования движения двух реальных механических систем при наличии связей высокого порядка (подробнее см. ниже). Было показано, что уравнениям (0.17) соответствует принцип Манжерона-Делеану [46]: п-1) тп (п-1)

ЛЛУ - У) • <5(п-1} V = 0, 6у = -г б^-У V . п\

В записи этого принципа использованы обозначения, введенные в формуле (0.16).

Отметим, что и связи высокого порядка можно определить как идеальные в том случае, когда существует такое подпространство Ь, в котором математическое задание связей не мешает выполнению закона Ньютона

ЛЛУй =

Неголономная механика и управление. Как указывалось выше, него-лономная механика возникла, прежде всего, из необходимости решать различные задачи о перекатывании тел без проскальзывания. Однако, уже в такой постановке можно было ставить некоторые задачи управления, например изучать управление движением при помощи связей, зависящих от параметров [174]. Пределы применения теории движения неголономных систем значительно расширились при рассмотрении сервосвязей, введенных в изучение А. Бегеном и П. Аппелем [2, 9]. Сам А. Беген сервосвязи применял для исследования движения гирокомпасов Аншютца и Сперри.

Теорию сервосвязей активно развивал В. И. Киргетов [87-89]. Он применил методы аналитической механики для изучения преследования цели. Рассмотрим плоское движение материальной точки с координатами х, у, преследующей цель, движущуюся по закону £ = £(£), т] = г](Ь). Требование наведения точки на цель по методу погони, когда вектор скорости точки всегда направлен на цель, приводит к необходимости выполнения условия х U

0.18)

Программу наведения (0.18) можно рассматривать как нестационарную него-лономную связь наложенную на движение материальной точки.

Это позволяет к исследованию поставленной задачи управления применить аппарат неголономной механики и рассматривать реакцию неголоном-ной связи (0.18) как управляющую силу, обеспечивающую выполнение программы движения (0.19). В работе [112| для решения задачи использовались уравнения Маджи, при этом в конкретных случаях движений цели по заданным траекториям были найдены движения преследующей точки и получены годографы соответствующих управляющих сил (реакции неголономной свя

Еще более аппарат неголономной механики оказался востребованным в связи с решением ряда более широких задач управления (см., например, работы С. Деневой, В. Диамандиева, В.В.Добронравова, Ю.Г. Исполова, Б.А. Смольникова, К. Янковского, Е. Яржебовской, JL Штейгенбергера, Мэя Фунсяна, В. Блайера, И. Парчевского (40, 47, 73, 292-294, 321, 333j). И в этом случае роль неголономных связей играет программа движения, а реакция таких связей опять рассматривается как управляющая сила. Теперь неголо-номные связи правильнее называть программными связями. Теории движения систем с программными связями и исследованию устойчивости вычислительного процесса при учете приближенного выполнения уравнений связей посвящены работы A.C. Галиуллина, H.A. Мухаметзянова, Р.Г. Мухарлямова,

Важно отметить, что программа движения может быть задана и в виде дифференциального уравнения, имеющего порядок выше первого, поэтому актуальной становится теория неголономных систем со связями высокого порядка, обсуждавшаяся выше. Правда, при постановке таких задач возникает ряд вопросов, требующих дополнительного обсуждения.

В классической механике считается, что сила не может зависеть от ускорения (хотя это утверждение и не является бесспорным: например, в кораблестроении учет взаимодействия движущегося судна с водой производят введением присоединенных масс, что создает силы, зависящие от ускорения корабля, а при полете ракеты управляющую силу могут формировать показания акселерометра, измеряющего ускорение ракеты). Однако и в случае зависимости сил лишь от времени, положения и скоростей всегда можно подобрать такую комбинацию сил, которая будет создавать требуемое движение механической системы да = да{Ь), а — 1,5, при этом можно выполнить fi(t, х, у, х, у) = (у - r)(t)).i- - (х - £(t))y = 0 ,

0.19) зи (0.19)).

В.Д. Фурасова [30, 135-137]. любой закон изменения любых производных от обобщенных координат. Тем самым, можно обеспечить обращение в нуль любой комбинации производных от обобщенных координат системы. Очевидно, что поэтому можно требовать, чтобы движение механической системы удовлетворяло дополнительной системе дифференциальных уравнений любого порядка.

Итак, можно поставить следующую задачу: Имеется механическая система с обобщенными координатами , о = 1,5, на которую действуют заданные обобщенные силы о — 1,5. Требуется найти дополнительные силы Яр, о — 1,5, обеспечивающие такое движение механической системы, которое одновременно является и решением заданной системы дифференциальных уравнений.

В постановке такой задачи имеются признаки как прямой, так и обратной задач динамики. Действительно, с одной стороны, по данным силам С, сг = 1,5, отыскивается движение системы, а с другой стороны, одновременно с этим по заданным характеристикам движения (в виде конкретных дифференциальных уравнений) отыскиваются дополнительные силы Яст, а = 1,й, обеспечивающие движение с указанными свойствами. Поэтому С.С. Григорян предложил называть сформулированную задачу смешанной задачей динамики. Фактически при такой постановке решается некоторая задача управления [67], где выполнение программы, задаваемой в виде системы дифференциальных уравнений, обеспечивается приложением к системе управляющих сил Я,,., а = 1,5.

Итак, в рассматриваемом случае связи следует рассматривать как программные, а их реакции — как управляющие силы, обеспечивающие выполнение программы, заданной в виде дополнительной системы дифференциальных уравнений высокого порядка д, (),.,(?) = Ч, ())(/ + <?, я,. ■., %1)) = 0, (0 20) с — 1, к , 1 — 5 — к.

Тем самым, в рассмотрение вводится некоторый новый класс задач управления.

Для решения смешанной задачи динамики применим аппарат неголоном-ной механики, распространенный на идеальные неголономные связи высокого порядка. Однако, здесь могут возникнуть некоторые трудности. Дело в том, что применяя теорию движения неголономных систем, развитую на случай связей высокого порядка (0.20), отыскиваем управляющую силу как реакцию этих идеальных неголономных связей, при этом реакция этих идеальных связей формируется векторами х = Т7к, 1 = з-к, обобщенные векторы Поляхова) и имеет вид

Однако может оказаться, что технические устройства, реализующие выполнение программных связей (0.20), формируют управляющую силу в виде вектора Л^Ь*, где векторы отличны от векторов . Вводится понятие идеального управления, при котором формирование обобщенных управляющих сил так согласовывается с уравнениями (0.20), что b* — a"ff, о ~ TTs. х= 1, к. В этом случае оказывается, что управление движением осуществляется в соответствии с принципом Гаусса. Подобное управление определяется как идеальное.

В главах IV и V изложенная теория иллюстрируется исследованием движений двух реальных механических систем.

Применение обобщенного принципа Гаусса к задачам гашения колебаний механических систем. Обобщенный принцип Гаусса (0.16) может быть использован при рассмотрении задачи о гашении колебаний механических систем. Пусть система имеет л степеней свободы и ее движение управляется силой Л(£)Ь , b = baea , bа — const, а — 1, s. Уравнения движения имеют вид d ОТ дТ д,.,

Управляющая сила должна перевести систему из состояния <7СТ(0) = <7о - Qff(0) = 7о ' а = s > в состояние покоя через заданный промежуток времени Т. В монографиях [226, 227] решение подобных задач строится на основе минимизации функционала J = jJ Л'-(£) dt и с помощью применения принципа максимума Понтрягина. Оказывается, что такой подход можно рассматривать как некоторую смешанную задачу динамики, подчиненную линейной неголономной связи порядка (2s -Ь 2). Поэтому представляет интерес попытаться решить эту же задачу с помощью обобщенного принципа Гаусса (0.16). При малых Т оба численных решения практически совпадают, а при больших Т они значительно различаются. Это объясняется тем, что при первом подходе управляющая сила находится как сумма гармоник по собственным частотам системы, что приводит к раскачке системы, а при использовании принципа Гаусса — в виде полинома, что обеспечивает сглаженный характер решения. Подробнее эта задача излагается в главе V данной работы.

Некоторые возможные области применения теории неголоном-ных систем со связями высокого порядка. Можно предположить, что предложенная теория движения механических систем, управляемых программными связями высокого порядка, найдет применение в различных, областях техники, например, в робототехнике при создании устройств, обеспечивающих движение с повышенными требованиями к их характеристикам, а также при исследовании машинных агрегатов с вариаторами и т. д.

В работе предложен один из новых возможных подходов для составления уточненных дифференциальных уравнений движения сложных механических систем, достаточно адекватно описывающих их поведение. Особенно трудными для составления доброкачественной математической модели являются системы, в которых отдельные части связаны друг с другом сплошной средой или взаимодействуют через сложные поля типа электромагнитных и т. п. Составляемые уравнения требуют серьезных упрощений при постановке задачи, поэтому численные результаты часто заметно отличаются от истинных. Обычно модель уточняют поправочными коэффициентами, полученными из эксперимента. Поэтому предлагается новый подход к составлению уточненных дифференциальных уравнений сложных систем с помощью теории движения неголономных систем со связями высокого порядка. Путем математической обработки экспериментальных результатов движений системы предполагается составлять неголономные связи высокого порядка, достаточно точно отражающие истинное поведение сложной системы. При полученных связях после некоторого расширения указанной выше теории могут быть составлены дифференциальные уравнения движения сложной системы. Дополнительное уточнение создаваемой математической модели предлагается достигать путем учета неидеальности вводимых в рассмотрение связей высокого порядка. Таким образом, приближенность создаваемой модели будет зависеть лишь от точности математической обработки экспериментальных данных.

Весьма перспективным представляется применение обобщенного принципа Гаусса и в задачах отыскания управляющей силы, переводящей механическую систему за указанный промежуток времени из данного состояния (по координатам и скоростям) в другое заданное состояние. Одна из подобных задач обсуждалась в предыдущем пункте со ссылкой на главу V. В той же главе V данной работы исследуются приведение математического маятника в состояние покоя в заданный промежуток времени и гашение поперечных колебаний стержня при перемещении его основания. Можно отметить прямую связь применения обобщенного принципа Гаусса для решения подобных задач с постановкой соответствующих краевых задач. Весьма перспективным представляется при предлагаемом подходе возможность формулировки обобщенных краевых задач, когда в начале и в конце движения задаются условия, наложенные не только на координаты и скорости, а и на ускорения. И при такой постановке задачи работает обобщенный принцип Гаусса, причем в этом случае он дает дополнительное сглаживание решения.

Заключение диссертации по теме "Теоретическая механика"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.205

ОСНОВНЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.206

СПИСОК ОСНОВНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.212

ОГЛАВЛЕНИЕ.234