Неголономные гиперповерхности вращения в трехмерном и четырехмерном евклидовых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Васильева Оксана Владимировна

НЕГОЛОНОМНЫЕ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ В ТРЕХМЕРНОМ И ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01 04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск 2007

00307 1212

003071212

Работа выполнена на кафедре геометрии Томского государственного университета

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент

Онищук Надежда Максимовна.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Столяров Алексей Васильевич;

кандидат физико-математических наук, доцент

Фомин Виктор Егорович. Ведущая организация: Тверской государственный университет

Защита состоится 31 мая 2007 г. в 16 00 в ауд 217 на заседании диссертационного совета Д 212 081.10 Казанского государственного университета по адресу 420008, г Казань, ул Кремлевская, 18, корпус 2, ауд 217

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета (Казань, ул Кремлевская, 18) Автореферат разослан ^¿>/у/т с 2007 года

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук,

доцент СЛг-ЧЧ ЛШб/^Г М. А. Малахальцев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Неголономная геометрия [17] в современном понимании - это геометрия гладкого п-мерного многообразия Мп, на котором задано ^-мерное гладкое распределение, те гладкое отображение, сопоставляющее каждой точке х 6 Мп к-мерную касательную плоскость Такое ^-мерное распределение задают (п -к) независимыми уравнениями Пфаффа Распределение называется голономным, если система, уравнений Пфаффа вполне интегрируема [12], те если через любую точку х 6 Мп проходит к-мерное интегральное многообразие [9], которое в каждой своей точке касается плоскости распределения В этом случае на М„ возникает А;-мерное слоение [8], те через каждую точку х 6 М„ проходит одно ( и только одно) ¿--мерное подмногообразие многообразия Мп Если же система из (п — к) уравнений Пфаффа, задающая распределение, не является вполне интегрируемой, те. не имеет интегральных многообразий размерности к, то распределение называется неголономным [21].

Что касается термина "неголономная поверхность", то его ввел Э Бортолотти [18], [19] для обозначения совокупности интегральных кривых уравнения Пфаффа, заданного в аффинном пространстве

Важнейшая область применения неголономной геометрии - это динамика механических систем с неголономными связями Например, при описании качения твердого гела по поверхности другого тела с учетом грения возникают не вполне интегрируемые уравнения В механике решению такого вида задач уделяется большое внимание

Кроме того, в евклидовом пространстве Еп неголономная I еометрин тесно связана с геометрией векторного поля [2], [14] Векторные же поля естественным образом появляются как поля скоростей потоков жидкостей, а также в теории относительности Векторные поля постоянной длины используются при описании жидких кристаллов.

Серьезные математические работы по неголономной геометрии, появившиеся в 20-40-х годах 20-го столетия [5], [6], [7], [20], [22], описывают в основном общие схемы геометрических исследований

Начиная с шестидесятых годов прошлого столетия появилось большое количество работ по неголономной геометрии с конкретным содержанием. Среди них — работы по неголономной геометрии линейчатых многообразий Достаточный перечень последних содержится в [17].

В семидесятых годах появились серьезные работы по распределениям в аффинном, проективном пространствах и в пространствах с заданной связностью [1], [3], [4], [10], [11], [15]

Как геометрия поверхностей не могла бы хотя бы в какой-то мере считаться законченной, если бы не были исследованы конкретные виды поверхностей, так и теория "неголономных поверхностей" (почти не имеющая конкретных примеров) не должна ограничиваться результатами только общего характера

Таким образом, все вышеизложенное позволяет считать задачу геометрического исследования конкретных неголономных поверхностей актуальной проблемой негояономной геометрии

Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование геометрии неголономных гиперповерхностей вращения в 3-х и 4-хмерном евклидовых пространствах, в частности, выявление основных инвариантов и исследование свойств линий кривизны 1-го и 2-го рода, асимптотических, эквидирекционных и геодезических линий, также доказательство существования наиболее важных неголономных поверхностей вращения Кроме того, одна из поставленных в данной работе задач - сравнение свойств кривых неголономной гиперповерхности вращения, проходящих через заданную точку, со свойствами обычной поверхности вращения в

голономном случае

Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми К основным результатам работы можно отнести следующие

• Дано определение неголономной поверхности вращения (НПВ) в 3-хмерном евклидовом пространстве

• Доказано, что для НПВ главные кривизны 2-го рода -вещественные различные числа

• Найдены условия на инварианты, определяющие НПВ

• Даны определения параллелей и меридианов НПВ в 3-хмерном пространстве и изучены их свойства

• Доказано существование некоторых подклассов НПВ, в частности, существование единственной (с точностью до постоянной) неголономной гиперповерхности вращения нулевой полной кривизны 2-ю рода, все параллели которой являются геодезическими прямейшими Для нее найдено уравнение Пфаффа в некоторой неподвижной декартовой системе координат н интегральные кривые этого уравнения, являющиеся линиями кривизны 2-го рода

• Рассмотрены два вида неголономных гиперповерхностей вращения в 4-хмерном евклидовом пространстве 1) сферические нехолономные гиперповерхности вращения (СНПВ), 2) неголономные гиперповерхности двойного вращения (НПДВ)

• Доказано, что все три главные кривизны 2-го рода СНПВ -вещественные числа, из них две совпадающие

• Получены условия на инварианты, определяющие СНПВ

• Доказано, что для НПДВ также все главные кривизны 2-го рода - вещественные числа При этом НПДВ делятся на два класса-а) НПДВ, для которых все три главные кривизны 2-го рода -различные числа, б) НПДВ, для которых имеется двукратная главная кривизна 2-го рода

• Получены условия на инварианты, определяющие НПДВ

• Даны определения параллелей и меридианов данных неголономных гиперповерхностей вращения в 4-хмерном пространстве и изучены их свойсгва

• Доказаны теоремы существования некоторых частных классов неголономных гиперповерхностей вращения в 4-мерном евклидовом пространстве

• Исследованы их геометрические свойства

Методика исследования. Работа выполнена методом внешних форм Картана [16] с использованием подвижного репера

Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение Могут быть использованы при исследовании векгорных полей и в задачах, приводящих к не вполне интегрируемым уравнениям Пфаффа, например, при изучении динамических систем с неголономными связями частного вида, а также при изучении поля скоростей потоков жидкостей и при описании жидких кристаллов и ферромагнетиков

Степень достоверности результатов проведенных исследований. Основные результаты диссертации доказаны с использованием методов локальной дифференциальной геометрии Достоверность утверждений обосновывается полными

математическими доказательствами, а также сравнением полученных результатов с результатами других авторов

На защиту выносятся следующие положения:

1 Понятие неголономной гиперповерхности вращения в 3-хмерном евклидовом пространстве

2 Особенности инвариантов и инвариантных линий для неголономных гиперповерхностей вращения в 3-хмерном евклидовом пространстве

3 Теоремы существования некоторых частных классов неголономных гиперповерхностей вращения в 3-хмерном евклидовом пространстве.

4 Понятия неголономной сферической гиперповерхности вращения и неголономной гиперповерхности двойного вращения в 4-хмерном евклидовом пространстве

5 Результаты исследования свойств различных инвариантных линий для неголономных гиперповерхностей вращения обоих видов в 4-хмерном евклидовом пространстве

Личный вклад автора. Постановка задач в работе принадлежит научному руководителю, кандидату физ -мат наук, доценту Онишук Н М. Все результаты, приведенные автором в тексте диссертации, получены им самостоятельно

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на VII Всеросс. конф студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука и образование"(Томск, 2003 г), Международной конференции по математике и механике (Томск, 2003 г), на III Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения "(Казань, 2003 г), на ХЫ1 и ХЫП Международных научных студенческих конференциях "Студент

и научно-технический прогресс"(Новосибирск, 2004 г. и 2005 г), на Международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю Г Решетника (Новосибирск, 2004 г), на XIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоиосов"(Москва, 2006 г), на семинаре по геометрии и анализу в Кемеровском государственном университете (2006 г), на краевом геометрическом семинаре в Барнаульском государственном педагогическом университете (2006 г), на семинаре по геометрии в Казанском государственном университете (2006 г) Кроме того, все основные результаты докладывались и неоднократно обсуждались на семинарах кафедры геометрии Томского государственного университета По теме диссертации имеется 12 публикаций

Структура и объем работы. Представляемая диссертационная работа состоит из введения, предварительных сведений, трех глав, списка литературы и приложения Первая глава содержит восемь параграфов, вторая глава - пять параграфов, третья глава - семь параграфов Полный объем диссертации составляет 127 страниц

Содержание диссертации

Во введении формулируется актуальность работы, цель и задачи исследования, излагается краткое содержание работы по главам Вкратце дана исюрическая справка развития неголономной геометрии, к которой относится данное исследование Излагаются основные результаты, полученные в диссертационной работе Обозначен вклад автора в исследования по данной теме, отражена научная новизна работы, практическая и теоретическая ценность полученных результатов

В разделе "Предварительные сведения" изложен общий

подход к исследованию I иперраспределения на Е„, присущий мегоду внешних форм с применением подвижного репера Введено понятие основного линейного оператора, инварианты которого являются важнейшими инвариантами исследуемого геометрического образа Это дает возможность в евклидовом пространстве любого числа измерений, на котором задано гиперраспределение с общей точки зрения ввести такие понятия как главные кривизны 1-го и 2-го рода, полные и средние кривизны 1-го и 2-го рода, тензор неголономности

Первая глава посвящена исследованию неголономных поверхностей вращения в 3-мерном евклидовом пространстве Поверхность вращения в Ез обладает тем свойством, что все ее нормали пересекают одну неподвижную прямую, называемую осью вращения Это свойство мы положили в основу для определения неголономной поверхности вращения

В первом параграфе дается геометрическая характеристика линий кривизны 2-го рода и эквидирекционных линий для неголономной поверхности

Во втором параграфе дано определение неголономной поверхности вращения и найдены условия на инварианты, определяющие ее

Неголономной поверхностью вращения (НПВ) называется распределение, все нормали которого пересекают одну неподвижную прямую пространства

Теорема. Неголономная поверхность будет неголономной поверхностью вращения тогда и только тогда, когда ее главные кривизны 2-го рода &1, являются вещественными различными числами, инварианты а, Ь, р, связаны соотношением

а(к1 — йг) = Ьр, а, дифференциалы инвариантов - соотношениями

^ = а^ + ((М2 + ,

йр + (к\ — к2)ш1 — — (—кхш1 + ри2 + аи>3) _к±__

Р а

-рып + ¿(кг ~ к2) - -{-к2ш2 + Ьш3) __кг__

к-1 — к2 2 3 -р^Ьш1 + рш2 + аи3) - (к! - к2)(-к2ш2 + Ьи>3) - ^ + а""

__«1_кг

~~ а

~к[

В третьем параграфе даны определения меридиана и параллели НПВ Доказано, что для НПВ через каждую точку М 6 С проходят две линии кривизны 2-го рода, одна из которых — плоская линия, лежащая в плоскости, проходящей через ось вращения, в точках второй линии нормали описывают некоторый конус с вершиной на оси вращения Первую из них естественно было назвать меридианом, вторую — параллелью В этом же параграфе изучены их свойства Доказано, что

1) параллели являются линиями, лежащими на сфере, центр которой принадлежит оси вращения (в общем случае параллели не являются плоскими линиями);

2) меридианы НПВ являются геодезическими прямейшими (линия неголономной поверхности является геодезической прямейшей тогда и только тогда, когда ее соприкасающаяся плоскость в каждой точке проходит через нормаль неголономной поверхности) Это свойство верно и в голономном случае

Основными результатами четвертого параграфа являются следующие-

1) Показано, что длина отрезка нормали неголономной поверхности вращения, заключенного между точкой М и осью вращения, равна абсолютной величине одного из радиусов кривизны 2-го рода

2) Найден угол ф между меридианом и параллелью, он

вычисляегся по формуле

соэгр -

Р

уУ + (к1 - к2у

,2

где р — скаляр неголономности, к\, к2 (кг ф к2) — главные кривизны 2-го рода

3) Показано, что параллель не орюгональна оси вращения и образует угол <р, вычисляемый по формуле

4) Доказано, чю линии тока векторного ноля (линии, вдоль которых касательные к ним векторы в каждой точке совпадают с векторами поля) нормалей НПВ представляют собой плоские линии, лежащие в плоскостях меридианов

5) Найдены условия, при которых через каждую точку М е С проходит одна эквидирекционная линия либо эквидирекционная поверхность

В четвертом параграфе получено выражение главных кривизн 1-го рода через главные кривизны 2-го рода Доказано, что главные кривизны 1-го рода являются вещественными различными числами

В пятом параграфе рассматриваются минимальные неголономные поверхности вращения

Доказана теорема сугцествования минимальных НПВ, те НПВ нулевой средней кривизны Широта класса всех таких неголономных поверхностей — одна функция двух аргументов

Показано, что вдоль параллели минимальной НПВ полная кривизна 2-го рода постоянна

Также доказана теорема существования минимальных НПВ, для которых линии тока векторного поля нормалей являются

сову? =

Р

окружностями Произвол таких минимальных НПВ — две функции одного аргумента

В шестом параграфе рассматриваются НПВ, у которых всякая параллель является геодезической прямейшей

Доказала теорема существования НПВ, у которых всякая параллель является геодезической прямейшей Произвол данного класса НПВ — две функции двух аргументов

Также доказано, что все параллели неголономной поверхности вращения являются геодезическими прямейшими тогда и только тогда, когда они — окружности В голономном случае всякая параллель поверхности вращения есть окружность Из них геодезическими линиями (прямейшими и кратчайшими) являются лишь те параллели, в каждой точке которой касательные векторы к меридиану параллельны оси вращения

В седьмом параграфе первой главы исследуются НПВ нулевой полной кривизны 2-го рода Доказана теорема существования таких НПВ, а также теорема существования единственной (с точностью до постоянной) НПВ нулевой полной кривизны 2-го рода, все параллели которой являются геодезическими прямейшими Уравнение Пфаффа для такого распределения имеет вид

(с: у — х)йх + (С2У — = О,

где (сх)2 + (с2)2 ф 0 (уравнение дано в некоторой неподвижной декартовой системе координат). Прямая

X = С1У, 2 = С2У

есть ось вращения Скаляр неголономности

_ С2Х — с\г

(х - сху)2 + (-г + с2у)2

Меридианы определяются системой уравнений

mix — z + ТП2 - О, х — (ci + C2mi)y + mi г = О,

т е меридианы — прямые линии Параллель определяется уравнениями

У = с,

(х - cci)2 + (г - сс2)2 = c2(ci2 + с22) + с3,

те всякая параллель представляет собой окружность, лежащую в плоскости, не ортогональной оси вращения

В заключение отмечаются некоторые свойства НПВ последнего класса

В последнем, восьмом, параграфе первой главы приводится сравнительная характеристика инвариантных кривых поверхностей вращения и неголономных поверхностей вращения в 3-хмерном пространстве

Во второй главе исследованы сферические неголономные гиперповерхности вращения (СНПВ) в 4-мерном евклидовом пространстве

В начале второй главы рассматриваются виды вращений в Е4, дается понятие сферической гиперповерхности в Е4 и определяется сферическая неголономная гиперповерхность вращения, также выбирается канонический подвижной репер

Пусть G С Е4 - некоторая область, в которой задано гладкое трехмерное распределение, не имеющее особых точек Сферической пеголономной гиперповерхностью вращения (СНПВ) называется такое неголономное гиперраспределение, все нормали которого пересекают неподвижную прямую (ось вращения).

В первом параграфе исследуются главные кривизны 2-го рода А также найдены условия на инварианты, определяющие СНПВ

Теорема. Неголономная гиперповерхность является сферической неголономной гиперповерхностью вращения тогда и только тогда, когда все три главные кривизны 2-го рода в каждой точке М е С - вещественные числа, при этом две из них совпадают (ко = к3), а третья к\ не равна им Кроме того, для дифференциала кратной кривизны к имеет место равенство

йк - «12 {{к\ - к)ш1 + 2ри>3) + (к2 - аа^ш4, а для форм и> 1 и дай выполняются условия

и>1 = а12и2, = а12и3,

¿а12 = ~к(кю;1 + 2рш3 - аш4) + ^ {а12{кх - 2к) + Х)^1

к

Второй параграф посвящен исследованию линий кривизны 2-го рода, здесь даны определения параллелей и меридианов СНПВ

1) Доказано, что линии кривизны 2-го рода, соответствующие некратной главной кривизне 2-го рода к\, лежат в двумерных плоскостях, проходящих через ось вращения Эти линии кривизны 2-го рода мы называем меридианами

2) Показано, что линии кривизны 2-го рода, соответствующие кратной главной кривизне 2-го рода к заполняют двумерные поверхности, лежащие на трехмерных сферах с центрами на оси вращения Эти двумерные поверхности назовем параллелями СНПВ

4) Нормали сферической неголономной поверхности вращения во всех точках параллели пересекаются в одной точке, лежащей на оси вращения.

5) Справедливо утверждение кратная главная кривизна 2-го рода постоянна в точках параллели

6) Меридианы и параллели сферической неголономной гиперповерхности вращения не ортогональны

Найден угол ¡3 между касательной плоскостью к параллели и касательной к меридиану в точке их пересечения Он определяется по формуле

кх-к

БШ в = ,

^(кг-к^+Ар2'

где р — скаляр пеголономности

7) Найден угол у?, который всякая параллель образует с осью вращения Показано, что он вычисляется по формуле

__2рк_

у'(*2 + а?2)(4р2 + (А:1-*)а)

8) Доказано, что линия тока векторного поля нормалей в точке М лежит в одной двумерной плоскости с осью вращения и с меридианом и ортогональна последнему

В конце второго параграфа найдены уравнения асимптотических линий

В третьем параграфе изучаются СНПВ нулевой полной кривизны 2-го рода Основные результаты третьего параграфа

1) Доказано, что меридианы являются прямыми линиями лишь тогда, когда полная кривизна 2-го рода К2 равна нулю.

2) Доказано утверждение, если К2 — 0, то в каждой точке М е С касательные к асимптотическим линиям СНПВ образуют действительный конус 2-го порядка Меридиан при этом является прямой линией и одной из образующих этого конуса

Четвертый параграф посвящен исследованию главных кривизн 1-го рода

1) Доказано, что все три главные кривизны 1-го рода сферической СНПВ различны, одна из них совпадает с кратной кривизной 2-го рода

2) Показано, что если полная кривизна 1-го рода К\ равна нулю, то всего лишь одна из главных кривизн 1-го рода обращается в нуль

3) Справедливо утверждение если Кг = 0, то через каждую точку М £ О проходит лишь одна асимптотическая линия, совпадающая с одной из линий кривизны 1-го рода

4) Главное направление 1-го рода, соответствующее ненулевой главной кривизне 1-го рода А^1* = к, взаимно сопряжено относительно оператора А* с другими главными направлениями 1-го рода

5) Главные направления 1-го рода, ортогональные направлению е*2, взаимно сопряжены лишь в голономном случае

Последний параграф содержит сравнительную характеристику сферических гиперповерхностей вращения и сферических неголономных гиперповерхностей вращения

Третья глава посвящена исследованию неголономных гиперповерхностей двойного вращения (НПДВ)

В начале третьей главы определяется неголономная гиперповерхность двойного вращения Неголономной

гиперповерхностью двойного вращения (НПДВ) называется такое неголономное гиперраспределение, все нормали которого пересекают две неподвижные взаимноперпендикулярные двумерные плоскости, пересекающиеся в одной точке

Неподвижные двумерные плоскости называются двумерными осями вращения, а точка их пересечения - центром вращения Предполагается также, что каждая нормаль пересекает каждую двумерную ось вращения в одной точке, не совпадающей с центром вращения

В первом параграфе данной главы выбран ортонормированный подвижной репер и исследованы главные кривизны 2-го рода и линии кривизны 2-го рода Также получены условия на инварианты, определяющие НПДВ.

Теорема. Неголономная гиперповерхность является неголономной гиперповерхностью вращения тогда и только тогда,

когда выполняются следующие условия•

1) в каждой точке все три главные кривизны 2-го рода ¿1, /со, к3 — вещественные числа, причем два из них не совпадающие (к2 ф к3),

2) дифференциалы функций к2, к3 выражаются формулами

йк2 = А ({кг - V1 + 2р3и>2 - 2р2ш3 + сш4) + {к2)2ш4, йк3 = а ({к3 - кг)^1 + 2р3ь? - 2р2шг + аш4) + {к3)2ш4,

в которых р2, р3, а - координаты векторов р = р2е2 + р3е.3 (вектор неголономности) и ае\ (вектор кривизны линии тока), а дифференциал функции ах определяется формулой

йсц = ((ах)2 + к\к3)и!1 - 2р3к3ш2 + 2р2к3ш3 + к3(ах - а)ш4,

3) инварианты к2, к3, ах, /?х связаны зависимостью

к2к3 + ахА = 0, к2 ф 0, к3 ф 0, ах ф О, & ф О, Р\к3 - ахк2 ф О

Во втором параграфе рассматриваются различные виды НПДВ и изучаются свойства их линий кривизны 2-го рода Даны определения меридианов и параллелей для каждого из видов НПДВ Существуют два типа НПДВ

I. НПДВ, для которых все главные кривизны различны

Для них доказаны следующие теоремы

Теорема. Линии кривизны 2-го рода, соответствующие кривизнам /с2 и к3, лежат на двумерных сферах с центрами на двумерных осях вращения

Эги линии кривизны 2-го рода назовем параллелями НПДВ Теорема. Линии кривизны 2-го рода, соответствующие кривизне к\, лежат в двумерных плоскостях, проходящих через нормаль НПДВ

Такие линии кривизны 2-го рода назовем меридианами НПДВ

Получены следующие свойства

1) Меридиан НПДВ является геодезической прямейшей линией (те линией, в каждой точке которой ее двумерная соприкасающаяся плоскость проходит через нормаль НПДВ).

2) Вдоль каждой параллели одна из главных кривизн 2-го рода постоянна

2) Линия тока векторного поля нормалей НПДВ лежит в одной двумерной плоскости с меридианом и ортогональна ему

4) Длины отрезков нормалей, заключенных между точкой НПДВ и двумерными осями вращения, равны абсолютным величинам тех радиусов кривизны 2-го рода, которые соответствуют параллелям

5) Найдены углы между каждой параллелью и меридианом

2 р3

COS (f2 — — ,

ч/(4(р3)2 + (fc2 - fci)2) 2 р2

cosw3 = — =,

где fci, к2, k3 — главные кривизны 2-го рода, р{р1,р'2,р3} — вектор неголономности

6) Угол между двумя параллелями НПДВ, проходящими через точку М 6 G, определяется формулой

4 р2р3

COSWi = .

V(4(p3)2 + {к2 _ А1)2)(4{р2)2 + (к3 -

II. НПДВ, для которых /с2 ф кз, = fc2 Этоi класс, в свою очередь, делится на два подкласса

1) В случае р3 ^ О, А;] = к2 через каждую tomkv М е G проходят только две линии кривизны 2-го рода Кривизне кз соотвегствует параллель - кривая, лежащая на двумерной сфере Кратной главной кривизне 2-го рода кх = к2 сооответствует одна линия кривизны

2-ю рода (вторая параллель, совпадающая с меридианом) Она обладает свойствами, присущими как меридиану (лежит в двумерной плоскости), так и параллели (является окружностью, вдоль которой нормали образуют пучок с центром на двумерной оси вращения Р2 )

2) В случае р3 = 0, ki = к2 через каждую точку М G G проходит одна линия кривизны 2-го рода, лежащая на двумерной сфере (параллель), и одна двумерная поверхность, лежащая в трехмерной плоскости (двумерный меридиан)

Третий параграф третьей главы посвящен исследованию эквидирекционных линий для НПДВ Линия (поверхность) позывается эквидирекционной линией (поверхностью) векторного поля, если вдоль нее векторы поля параллельны Основным результатом этого параграфа является теорема

Теорема. Через каждую точку М е G проходит либо одна эквидирекционная линия, либо двумерная эквидирекционная поверхность

В четвертом параграфе изучаются главные кривизны 1-го рода НПДВ

Теорема. Пусть для НПДВ все три главные кривизны 2-го рода различны Тогда линией кривизны 1-го рода может быть лишь одна из параллелей НПДВ и эта параллель ортогональна меридиану

Теорема. Пусть для НПДВ к\ — к2 Тогда кратная кривизна 2-го рода (ki = k2) может быть главной кривизной 1-го рода лишь в том случае, когда р3 = 0, то есть когда меридиан является двумерной поверхностью При этом соответствующая линия кривизны 1-го рода принадлежит меридиану, а касательные к двум другим линиям кривизны, 1-го рода лежат в одной плоскости с касательной к той линии кривизны 2-го рода, которая соответствует некратной кривизне 2-го рода (кз)

Теорема. Если кратная главная кривизна 2-го рода ( к\ = к2)

НГГДВ является также и главной кривизной 1-го рода, то некратная главная кривизна 2-го рода (к$) не может быть главной кривизной

1-го рода

В пятом параграфе изучаются НПДВ нулевой полной кривизны

2-го рода Основные результаты параграфа

1) Доказано, что меридиан НПДВ является прямой тогда и только тогда, когда полная кривизна 2-го рода равна нулю

2) Доказана теорема существования с произволом в одну функцию двух аргументов существует НПДВ нулевой полной кривизны 2-го рода, для которой одна из параллелей перпендикулярна меридиану

3) Показано, что если = р3 = 0, то одна из параллелей является окружностью

4) Верно утверждение если = (? — 0, то касательные к асимптотическим линиям в каждой точке НПДВ образуют действительный конус 2-го порядка Меридиан при этом является асимптотической линией

Шестой параграф посвящен исследованию НПДВ нулевой полной кривизны 1-го рода Доказано, что если полная кривизна 1-го рода К\ равна нулю, то лишь одна из главных кривизн 1-го рода НПДВ равна нулю

Доказана теорема пусть К\ = 0 и I — линия пересечения плоскостей, на которые распадается конус касательных к асимптотическим линиям НПДВ Тогда в каждой точке Л/ е О линия кривизны 1-го рода, соответствующая нулевой главной кривизне 1-го рода, совпадает с той асимптотической линией которая касается прямой I

И в последнем параграфе третьей главы приводится сравнительная характеристика гиперповерхностей двойного вращения и неголономных гиперповерхностей двойного вращения.

Список литературы содержит 52 наименования

Приложения представляют собой иллюстрации

1) строение элементов НПВ в некоторой точке М € G,

2) строение элементов НПВ нулевой полной кривизны 2-го рода (1.6 16), для которой всякая параллель является геодезической прямейшей, в точке М{0,0,1),

3) строение параллели и меридиана НПВ (1616) в точках (0,0,1), (0,0,2), (0,0,3)

Литература

1 Алшибая Э Д К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве // Тр геометр семинара -ВИНИТИ АН СССР - 1974 - Т 5 - С 169-193

2 Аминов Ю А. Геометрия векторного поля — М Наука, 1990 — 206 с

3 Близникас В И Дифференциальная геометрия неголономной гиперповерхности риманова пространства //Liet mat rinkmys, Лит мат сб - 1971 - Т 11 - JV»1 -С 63-74

4 Близникас В И О неголономной поверхности трехмерного пространства проективной связности //Тр геометр семинара -ВИНИТИ АН СССР - 1971 - Т 3 - С 115-124

5 Вагнер В В Дифференциальная геометрия неголономных многообразий// VIII-ой Международный конкурс на соискание премии им Н И Лобачевского (1937) Отчет Казань Казанское физ -мат общество 1940

6 Вагнер В В Геометрическая интерпретация неголономных динамических систем// Тр семинара по вектор и тензор анализу - ОГИЗ, 1941 Вып V С 301-327

7 Вагнер В В Геометрия (п — 1)-мерного неголономного многообразия в п-мерном пространстве //Тр сечин по векюрн и

тензоры, анализу. - МГУ, 1941 - Вып.5 - С 173-225

8 Дубровин Б. А, Новиков С. П, Фоменко А Т Современная геометрия. Методы и приложения - M • Наука, 1979. — С 683

9. Кобаяси Ш , Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии В 2-х т - M , 1981 Tl. - 347 с

10 Лаптев Г Ф., Остиану H M. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности I // Тр геометр семинара. - ВИНИТИ АН СССР - 1971. - ТЗ - С 49-94

11 Остиану H M Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве //Тр. геометр семинара - ВИНИТИ АН СССР.-1973 -Т4 -С.71-120

12. Рашевский П К Тензорная дифференциальная геометрия// Математика в СССР за 30 лет 1917-1947 — M -Л Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1948 С. 883-918

13. Синцов Д М. Работы по неголономной геометрии — Киев Вища школа, 1972 — 296 с

14 Слухаев В В Геометрия векторных полей - Томск, 1982 - 96 с.

15 Столяров А В Двойственная теория регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективной связности. I // Известия вузов Матем - 1980 -№1. - С.79-82, П // Известия вузов Матем. - 1980 - №2 - С.84-87

16 Фиников С П Метод внешних форм Картана — M -Л ГИТТЛ, 1948. - 432 с.

17. Щербаков Р.Н , Щербаков H. Р Неголономная геометрия — Томск: Томский университет, 2005 — 115 с

18 Bortolotti Е Geometría proiettiva differenziale delle superficie anolonome // Atti dei Congresso dell' Unione Matem Italiana Firen-ze 1937 P 305-311

19 Bortolotti E. Duale Verwandschaften anholonomen Flachen im projektiven und un affinen Räume // Jahresberichte der Deutsch. Math Ver.

1941 №51 Р 151-169

20 Synge J -L Geodesies in non-holonomic geometry// Math Ann 1928 №99 P 738-751

21 Voss A Geometrische Interpretation der Differentialgleichung // Math Ann 1880 №16 S 556-570

22 Vränceanu G Les espases non holonomes et leurs applications mechamques // Met sei math 1936 №76 P 1-70

Работы автора по теме диссертации

1 Васильева О В Поверхности вращения в четырехмерном евклидовом пространстве // VII Всеросс конф студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука и образование—Томск, 2003 Т 1 — С 2127

2 Онищук H M , Васильева О В Неголономные поверхности вращения // Международная конференция по математике и механике. Избр доклады Томск, 2003. С 69-82

3 Васильева О В Неголономные поверхности вращения нулевой полной кривизны 2-го рода // Международная конференция по математике и механике - Томск ТГУ, 2003 С 62

4 Васильева OB О сферических неголономных поверхностях вращения в Е4 // Труды Математического центра им H И Лобачевского — Казань, 2003 Т 21 С 88

5 Васильева О В Неголономные поверхности вращения нулевой полной кривизны 2-го рода // Вестник Томского государственного университета - 2003 - №280 — С 12-16

6 Васильева О В. Об интегральных многообразиях не вполне интегрируемого уравнения Пфаффа частного вида в Е4 // Материалы XLII международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Математика — Новосибирск, 2004 С. 39-40

7. Васильева О В Сферические неголономные поверхности вращения в Е4 // Вестник Томского государственного университета

- 2004 - №284 - С 13-17

8 Васильева О В О неголономных поверхностях вращения в четырехмерном евклидовом пространстве //Международная школа-конференция по анализу и геометрии, поев 75-летию акад Ю Г Решетняка — Новосибирск, 2004 С 75

9 Васильева О В. Интегральные многообразия некоторых не вполне интегрируемых уравнений Пфаффа //Материалы ХЫП международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" Математика — Новосибирск, 2005 С. 34

10 Васильева О В. О неголономных гиперповерхностях вращения в четырехмерном евклидовом пространстве Е4 // Известия Томского политехнического университета — 2005 — Т. 308 — №4 — С 10-14

11 Васильева О В Минимальные неголономные поверхности вращения // Материалы XIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" Том ГУ

- М Изд-во МГУ, 2006 - С 72-73

12 Васильева О В Неголономные поверхности двойного вращения в четырехмерном евклидовом пространстве // Изв вузов Математика - 2006 - №6 (529) - С 3-13

Подписано в печать Л&. 04/. 0?. Формат 60x90/16 бумага офсет Гарнитура Тайме, печать офсет Уч-изд. л 1 Тираж 100 экз Заказ №

Изд-во ТГАСУ, 634003, г Томск, пл Соляная, 2 Отпечатано с оригинал - макета в ООП ТГАСУ 634003, г Томск, ул Партизанская, 15

Введение

Предварительные сведения

1 Неголономные поверхности вращения в трехмерном евклидовом пространстве

§1. Геометрическая характеристика линий кривизны 2-го рода

§2. Условия, определяющие неголономную поверхность вращения

§3. Меридианы и параллели неголономной поверхности вращения

§4. О главных кривизнах 1-го рода неголономной поверхности вращения

§5. Минимальные неголономные поверхности вращения.

§6. Неголономные поверхности вращения, для которых всякая параллель является геодезической прямейшей.

§7. Неголономные поверхности вращения нулевой полной кривизны

2-го рода.

§8. Сравнительная характеристика поверхностей вращения и неголономных поверхностей вращения.

2 Сферические неголономные поверхности вращения в четырехмерном евклидовом пространстве

§1. Главные кривизны 2-го рода сферической неголономной гиперповерхности вращения. Условия, определяющие сферическую неголономную гиперповерхность вращения.

§2. Меридианы и параллели сферической неголономной гиперповерхности вращения.

§3. Сферические неголономные гиперповерхности вращения нулевой полной кривизны 2-го рода.

§4. Главные кривизны 1-го рода сферической неголономной гиперповерхности вращения.

§5. Сравнительная характеристика сферических гиперповерхностей вращения и сферических неголопомных гиперповерхностей вращения.

3 Неголономные гиперповерхности двойного вращения в четырехмерном евклидовом пространстве

§1. Главные кривизны 2-го рода неголономной гиперповерхности двойного вращения. Условия на инварианты, характеризующие

НПДВ.

§2. Меридианы и параллели неголономной гиперповерхности двойного вращения.

§3. Эквидирекционные линии и поверхности векторного ноля нормалей НПДВ.

§4. Главные кривизны и главные направления 1-го рода. Линии кривизны 1-го рода НПДВ

§5. Неголономные гиперповерхности двойного вращения нулевой полной кривизны 2-го рода.

§6. Неголономные гиперповерхности двойного вращения нулевой полной кривизны 1-го рода.

§7. Сравнительная характеристика гиперповерхностей двойного вращения и неголономных гиперповерхностей двойного вращения

Актуальность темы.

Термин "неголономная геометрия" введен немецким механиком Г.Герцем в 1894 году [37]. Так он назвал систему материальных точек, движение которой описывается не вполне интегрируемыми дифференциальными уравнениями. Однако первая работа, в которой рассматривается геометрия интегральных кривых не вполне интегрируемого уравнения Пфаффа

Р(х, у, z)dx + Q(x, у, z)dy + R(x, у, z)dz = О в евклидовом пространстве появилась в 1880 г. Ее автор — немецкий математик и механик А. Фосс назвал ее "Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения Pdx + Qdy + Rdz = 0" [40]. Среди множества интегральных кривых уравнения Пфаффа выделены инвариантные кривые. Было замечено "раздвоение" свойств, присущих неголономной геометрии. Так появились линии кривизны 1-го и 2-го рода, геодезические "прямейшие" и "кратчайшие".

Следует отметить также важный результат, полученный в 1909 году Каратеодори, о возможности соединения двух точек пространства геодезической "кратчайшей". Эта теория понадобилась ему, прежде всего, в работах по основаниям термодинамики.

До конца 20-х годов XX века количество работ в области неголономной геометрии было незначительным. С 1926 года стали появляться работы Д.М.Синцова, впоследствии вошедшие в сборник [27]. Наиболее серьезные результаты по неголономной геометрии в ее связи с механикой относятся к предвоенным годам и принадлежат Г. Врэнчану [41], Дж. Сингу [39], И.А. Схоутену [38], В.В.Вагнеру [6], [7], [8] и другим выдающимся математикам и физикам того времени. В СССР в те годы неголономную проблематику активно пропагандировал В.Ф. Каган [25]. Это он предложил в 1937 году тему, связанную с неголономной геометрией, на премию Н.И. Лобачевского. Премия была присуждена В.В.Вагнеру. Относительно работ по неголономной геометрии П.К. Рашевский в 1948 году писал: "В общем итоге: после большой работы, проведенной в теории неголономных пространств В.В. Вагнером, вряд ли есть необходимость в дальнейшем развитии общих схем, но нужна большая работа по испытанию различных моментов теории, так сказать, на их жизнеспособность и по заполнению конкретным содержанием тех ее отделов, которые способны служить для этой цели. Сам Вагнер дал также ряд совершенно конкретных результатов, однако до исчерпания намеченной задачи еще очень далеко"[25].

Заметим, что работы В.В. Вагнера трудночитаемы. Это объясняется отсутствием в то время ясных понятий, которые облегчили бы чтение геометрических работ по неголономной геометрии. Да и сами методы исследования, используемые в то время, были слишком громоздки. Изменились методы после работ Э. Картана [13] и С.П. Финикова [32]. Изменилась и терминология в связи с использованием идей неголономной геометрии на n-мерных гладких многообразиях Шп. Появилось понятие ^-мерного распределения как гладкого отображения, сопоставляющего каждой точке х многообразия Шп ^-мерное подпространство касательного пространства ТхШп [10], [12], [16], [31].

С распределением размерности к тесно связана система из (п — к) независимых уравнений Пфаффа. Распределение называется интегрируемым (или голономным), если система уравнений Пфаффа вполне интегрируема [23], т.е. если через каждую точку х € 9ЯП проходит £:-мерное интегральное многообразие, которое в каждой своей точке касается плоскости распределения. В этом случае на Шп возникает ^-мерное слоение [12], т. е. через каждую точку х Е Шп проходит одно (и только одно) ^-мерное многообразие, гладко зависящее от точки многообразия (см. классическую теорему Фробениуса [14]). Говорят также, что Шп "расслаивается" на ^-мерные многообразия. Заметим, что одномерное распределение всегда интегрируемо. Распределение размерности (п—1) называется гиперраспределением, которому соответствует одно уравнение

Пфаффа.

Если система из (п — к) уравнений Пфаффа, связанная с распределением, не является вполне интегрируемой, т.е. не имеет интегральных многообразий размерности к, то распределение называется не вполне интегрируемым (или неголономным).

Неголономная геометрия это геометрия гладкого многообразия, на котором задано неголономное распределение [10]. Начиная с шестидесятых годов прошлого столетия появилось большое количество работ по неголономной геометрии с конкретным содержанием (о нехватке которых говорил П.К. Рашевский в [25]). Среди них — работы по неголономной геометрии линейчатых многообразий. Достаточный перечень последних содержится в [34].

В семидесятых годах появился целый ряд серьезных работ по распределениям в аффинном, проективном пространствах и в пространствах с заданной связностью [1], [4], [5], [15], [17], [21], [30].

Что касается термина "неголономная поверхность", то его ввел Э.Бортолотти [35], [36] для обозначения совокупности интегральных кривых уравнения Пфаффа, заданного в аффинном или проективном пространстве. Этот термин использовали после него и другие авторы (см., например, [26]), понимая, что "неголономная поверхность" не является поверхностью, даже если уравнение Пфаффа вполне интегрируемо. Но в последнем случае пространство расслаивается на однопараметрическое семейство поверхностей. Через каждую точку проходит одна интегральная поверхность в голономном случае. Возникает возможность сравнить геометрию кривых, проходящих через одну точку пространства, в голономном и неголономном случаях. Поэтому в некотором смысле этот термин оправдывается. В данной работе он оказывается удобным, и мы будем им пользоваться.

В нашем случае многообразие ШТП — это n-мерное евклидово пространство Е„. В Еп геометрия гладкого (п — 1)-мерного распределения связана с геометрией векторного поля. Действительно, если задано гладкое векторное поле без особых точек (т.е. гладкое отображение, сопоставляющее каждой точке М Е Еп вектор #), то по нему также определено единственное (п — 1)-мерное распределение, сопоставляющее точке М гиперплоскость 7rni, ортогональную вектору v в этой точке. И наоборот, по распределению (М, 7rni) определяется единственное, с точностью до знака, единичное векторное поле (М,е), где е — единичный вектор, ортогональный 7rni. Таким образом, существует тесная связь между неголономной геометрией и геометрией векторного поля. Эта связь хорошо прослеживается в работах [2], [29].

Одна из областей применения неголономной геометрии — это динамика механических систем с неголономными связями. Они появляются в виде не вполне интегрируемых дифференциальных уравнений, например, при описании качения твердого тела по поверхности другого тела с учетом трения. В механике решению такого вида задач уделяется большое внимание [3], [И], [22].

Векторные поля находят свое приложение при изучении поля скоростей потоков жидкостей [28], они появляются также в общей теории относительности. Векторные поля постоянной длины (в геометрии — это поля единичных векторов) используются при описании жидких кристаллов и ферромагнетиков [2], [19].

Таким образом, все вышеизложенное позволяет считать задачу геометрического исследования конкретных неголономных поверхностей актуальной проблемой неголономной геометрии.

Цель работы. Данная работа посвящена изучению геометрии гиперраспределений частного вида в трех- и четырехмерном евклидовых пространствах и относится к локальной дифференциальной геометрии. Исследуемое неголономное распределение получило название "Неголопомпая поверхность вращения" потому, что в случае его голономности слоями будут являться поверхности вращения (или их части, так как работа относится к локальной дифференциальной геометрии).

В работе [42] мною исследованы поверхности вращения в четырехмерном евлидовом пространстве. Таким образом, есть возможность сравнить поверхности вращения в голономном и неголономном случаях.

Целыо диссертационной работы является исследование геометрии неголономных гиперповерхностей вращения в 3-х и 4-хмерном евклидовых пространствах, в частности, выявление основных инвариантов и исследование свойств линий кривизны 1-го и 2-го рода, асимптотических, эквидирекционных и геодезических линий, а также доказательство существования наиболее важных неголономных поверхностей вращения. Кроме того, одна из поставленных в данной работе задач - сравнение свойств кривых неголономной гиперповерхности вращения, проходящих через заданную точку, со свойствами кривых, принадлежащих обычной поверхности вращения в голономном случае.

Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми. К основным результатам работы можно отнести следующие.

• Дано определение неголономной поверхности вращения (НПВ) в 3-хмерном евклидовом пространстве как такого гиперраспределения, все нормали которого пересекают одну неподвижную прямую (ось вращения).

• Найдены условия на инварианты, определяющие НПВ.

• Даны определения параллелей и меридианов НПВ в 3-хмерном пространстве и изучены их свойства.

• Доказано существование и исследована геометрия некоторых частных классов НПВ:

1) минимальных неголономных поверхностей вращения;

2) минимальных неголономных поверхностей вращения, для которых линии тока векторного поля нормалей являются окружностями;

3) неголономных поверхностей вращения, у которых всякая параллель является геодезической прямейшей;

4) единственной (с точностью до постоянных) неголономной поверхности вращения нулевой полной кривизны 2-го рода, все параллели которой являются геодезическими прямейшими. В этом случае не только доказана теорема существования, но и получен результат в целом. Уравнение распределения и уравнения его инвариантных кривых найдены в неподвижной системе координат во всем пространстве Е3. Ось вращения при этом состоит из особых точек распределения.

• Дано определение и исследовано два вида неголономных гиперповерхностей вращения в Е4: 1) сферические неголономные гиперповерхности вращения (СНПВ); 2) неголономные гиперповерхности двойного вращения (НПДВ).

• Доказано, что все три главные кривизны 2-го рода СНПВ являются вещественными числами в каждой точке М € G. При этом две из них совпадающие. Найдены и другие условия на инварианты, характеризующие СНПВ.

• Доказано, что кратной кривизне 2-го рода СНПВ соответствует множество линий кривизны 2-го рода, заполняющих двумерную поверхность, лежащую на трехмерной сфере с центром на оси вращения. Эта двумерная поверхность называется параллелью. Некратной кривизне соответствует линия кривизны 2-го рода, лежащая в двумерной плоскости, проходящей через ось вращения. Эта линия названа меридианом.

• Изучены свойства меридианов и параллелей.

• Доказаны теоремы существования некоторых частных классов СНПВ.

• Доказано, что для НПДВ также все кривизны 2-го рода, две из них различны.

• НПДВ разбиваются на два класса: а) НПДВ, для которых все три главные кривизны 2-го рода - различные числа, б) НПДВ, имеющие двукратную главную кривизну 2-го рода. Подробно изучена геометрия каждого из этих классов.

• Рассмотрены линии кривизны 1-го рода и их особенности для различных классов НПДВ.

• Доказаны теоремы существования для некоторых частных видов НПДВ.

Методика исследования. Работа выполнена методом внешних форм Картана с использованием подвижного репера.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение. Могут быть использованы при исследовании векторных полей и в задачах, приводящих к не вполне интегрируемым уравнениям Пфаффа, например, при изучении динамических систем с неголономными связями частного вида, а также при изучении поля скоростей потоков жидкостей и при описании жидких кристаллов и ферромагнетиков.

Степень достоверности результатов проведенных исследований.

Основные результаты диссертации доказаны с использованием методов локальной дифференциальной геометрии. Достоверность утверждений обосновывается полными математическими доказательствами, а также сравнением полученных результатов с результатами других авторов.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Понятие неголономной поверхности вращения в 3-хмерном евклидовом пространстве.

2. Особенности инвариантов и инвариантных линий для неголономных поверхностей вращения в 3-хмерном евклидовом пространстве.

3. Теоремы существования некоторых частных классов неголономных поверхностей вращения в 3-хмерном евклидовом пространстве.

4. Понятия неголономной сферической гиперповерхности вращения и неголономной гиперповерхности двойного вращения в 4-хмерном евклидовом пространстве.

5. Результаты исследования свойств различных инвариантных линий для неголономных гиперповерхностей вращения обоих видов в 4-хмерном евклидовом пространстве.

Личный вклад автора. Постановка задач в работе принадлежит научному руководителю, кандидату физ.-мат. наук, доценту Онищук Н. М. Все результаты, приведенные автором в тексте диссертации, получены им самостоятельно.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на VII Всеросс. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука и образование"(Томск, 2003 г.); Международной конференции по математике и механике (Томск, 2003 г.); на III Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения"(Казань, 2003 г.); на XLII и XLIII Международных научных студенческих конференциях "Студент и научно-технический прогресс"(Новосибирск, 2004 г. и 2005 г.); на Международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю.Г. Решетняка (Новосибирск, 2004 г.); на XIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов"(Москва, 2006 г.); на семинаре по геометрии и анализу в Кемеровском государственном университете (2006 г.); на краевом геометрическом семинаре в Барнаульском государственном педагогическом университете (2006 г.); на семинаре по геометрии в Казанском государственном университете (2006 г.). Кроме того, все основные результаты докладывались и неоднократно обсуждались на семинарах кафедры геометрии Томского государственного университета. По теме диссертации имеется 12 публикаций.

Структура и объем работы. Представляемая диссертационная работа состоит из введения, предварительных сведений, трех глав, списка литературы и приложений. Первая глава содержит восемь параграфов, вторая глава - пять параграфов, третья глава - семь параграфов. В конце каждой главы представлена сравнительная характеристика поверхностей вращения исследуемых классов в голономном и неголономном случаях. Полный объем диссертации составляет 127 страниц.

1. Алшибая Э.Д. К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве. // Тр. геометр, семинара. - ВИНИТИ АН СССР. - 1974. - Т.5. - С.169-193.

2. Аминов Ю.А. Геометрия векторного поля. — М.: Наука, 1990. — 206 с.

3. Афонин А.А., Козлов В.В. Задача о падении диска, движущегося по горизонтальной плоскости.// Изв. РАН. Механика твердого тела. 1997. -№1. С. 7-13.

4. Близникас В.И. Дифференциальная геометрия неголономной гиперповерхности риманова пространства. //Liet. mat. rinkinys, Лит. мат. сб. 1971. - Т.Н. - №1. - С.63-74.

5. Близникас В.И. О неголономной поверхности трехмерного пространства проективной связности //Тр. Геометр, семинара ВИНИТИ АН СССР. -1971. - Т.З. - С. 115-124.

6. Вагнер В.В. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий// VIII-ой Международный конкурс на соискание премии им. Н.И. Лобачевского (1937). Отчет. Казань: Казанское физ.-мат. общество. 1940.

7. Вагнер В.В. Геометрическая интерпретация неголономных динамических систем// Тр. семинара по вектор, и тензор, анализу. — ОГИЗ, 1941. Вып. V. С. 301-327.

8. Вагнер В.В. Геометрия (п — 1)-мерного неголономного многообразия в п-мерном пространстве //Тр. семин. по векторн. и тензорн. анализу. МГУ, 1941. - Вып.5. - С. 173-225.

9. Ведерников В.И. Поверхности вращения пространства Эвклида пространства Еп.// Изв. вузов. Математика. — I960. — №1. — С. 3947.

10. Вершик A.M., Гершкович В.Я. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. 1987. Т.16. С. 13.

11. Денева Соня. О неголономной задаче качения твердого тела по поверхности.// Гос.Софийский ун-т. Фак-т мат., и инф. мех-ки. -1988(1992). №82. С. 111-134.

12. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения М.: Наука, 1979. — С. 683.

13. Картан Э. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия, изложенные методом подвижного репера. — М.: МГУ, 1963. — 367 с.

14. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии: В 2-х т. — М., 1981. Т.1.- 347 с.

15. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий.// Труды московского математического общества. Москва: ГИТТЛ. 1953. -Т.2. - С. 355.

16. Лаптев Г. Ф. Распределения касательных элементов // Труды Геометрич. семин. (ВИНИТИ АН СССР). 1971. Т.З. С.29-48.

17. Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. геометр.семинара. ВИНИТИ АН СССР. - 1971. - Т.З. - С.49-94.

18. Малаховский B.C. Об одном классе линий на поверхности.// Изв.вузов. Математика. — Казань: Изд-во КГУ. — 1958. С. 153.

19. Мясников В. П., Гузев М. А. Геометрическая структура поля равновесных напряжений сплошной среды // Модели механики сплошной среды: Тр. математического центра им. Н. И. Лобачевского. Казань, 2002. Т. 15. С. 126151.

20. Онищук Н.М. Геометрия векторного поля в четырехмерном евклидовом пространстве.// Междунар. конф. по математике и механике: Избр. доклады. Томск, 2003. С. 60-68.

21. Остиану Н.М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве // Тр. Геометр, семинара /ВИНИТИ АН СССР. 1973. - Т.4. -С. 71-120.

22. Павлов Г.В., Бородин B.C. Движение диска по внутренней шероховатой поверхности неподвижного вертикального цилиндра.// Изв.РАЕН. Сер. МММИУ. 2000. Т. 4, т. - С. 82-92, 162.

23. Рашевский П.К. Геометрическая теория уравнений с частными производными. M.-JL: ГИТТЛ, 1947. - 354 с.

24. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. 4-ое изд. ГИТТЛ: Москва, 1956. - С. 107-108, 191.

25. Рашевский П.К. Тензорная дифференциальная геометрия// Математика в СССР за 30 лет. 1917-1947. — М.-Л.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1948. С. 883-918.

26. Роговой М.Р. К метрической теории неголономных гиперповерхностей в п-мерном пространстве.// Укр. геом. журнал. — 1968. — №5-6. — С. 126-138

27. Синцов Д.М. Работы по неголономной геометрии. — Киев: Вища школа, 1972.- 296 с.

28. Слухаев В. В. Двойное поле и цилиндрическое течение жидкости // Сиб. матем. журнал. 1966. - Т. VII. - №5. - С. 1115-1129.

29. Слухаев В. В. Геометрия векторных полей. Томск, 1982. — 96 с.

30. Столяров А.В. Двойственная теория регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективной связности. I // Известия вузов. Матем. 1980. - №1. - С.79-82; II // Известия вузов. Матем. - 1980. - №2. - С.84-87.

31. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. М.: Мир, 1987. - 304 с.

32. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана. M.-JL: ГИТТЛ, 1948. -432 с.

33. Шилов Г.Е. Математический анализ (конечномерные линейные пространства). — Москва, 1969. — С. 94-95.

34. Щербаков Р.Н., Щербаков Н. Р. Неголономная геометрия. — Томск: Томский университет, 2005. — 115 с.

35. Bortolotti Е. Geometria proiettiva differenziale delle superficie anolonome // Atti dei Congresso dell' Unione Matem. Italiana. Firenze.1937. P. 305-311.

36. Bortolotti E. Duale Verwandschaften anholonomen Flachen im projektiven und im affinen Raume // Jahresberichte der Deutsch. Math. Ver. 1941. №51 P. 151169.

37. Naas J., Schmidt H.L. Mathematiche Worterbuch. B.J. — Berlin Leipzig, 1961.

38. Schouten J. A. Zur Einbettung und Kriimmungstheorie nichtholonomer Gebilde // Math. Ann. 1930. №103. S. 753-783.

39. Synge J.-L. Geodesies in non-holonomic geometry// Math. Ann. 1928. №99. P. 738-751.

40. Voss A. Geometrische Interpretation der Differentialgleichung // Math. Ann. 1880. №16. S. 556-570.

41. Vranceanu G. Les espases non holonomes et leurs applications mechaniques // Met. sci. math. 1936. №76. P. 1-70.

42. Васильева О. В. Поверхности вращения в четырехмерном евклидовом пространстве.// VII Всеросс. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых Наука и образование — Томск, 2003. Т. 1. — С. 21-27.

43. Онищук Н.М., Васильева О.В. Неголономные поверхности вращения.// Международная конференция по математике и механике: Избр. доклады. Томск, 2003. С. 69-82.

44. Васильева О.В. Неголономные поверхности вращения нулевой полной кривизны 2-го рода.// Международная конференция по математике и механике. Томск: ТГУ, 2003. С. 62.

45. Васильева О.В. О сферических неголономных поверхностях вращения в Е4.// Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. — Казань,2003. Т. 21. С. 88.

46. Васильева О.В. Неголономные поверхности вращения нулевой полной кривизны 2-го рода.// Вестник Томского государственного университета. 2003. - №280. - С. 12-16.

47. Васильева О.В. Сферические неголономные поверхности вращения в Е4.// Вестник Томского государственного университета. — 2004. — №284. — С. 1317.

48. Васильева О.В. О неголономных поверхностях вращения в четырехмерном евклидовом пространстве. //Международная школа-конференция по анализу и геометрии, поев. 75-летию акад. Ю.Г. Решетняка. — Новосибирск,2004. С. 75.

49. Васильева О.В. Интегральные многообразия некоторых не вполне интегрируемых уравнений Пфаффа. //Материалы XLIII международнойнаучной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Математика. — Новосибирск, 2005. С. 34.

50. Васильева О.В. О неголономных гиперповерхностях вращения в четырехмерном евклидовом пространстве Е4.// Известия Томского политехнического университета. — 2005. — Т. 308. — №4. — С. 10-14.

51. Васильева О.В. Минимальные неголономные поверхности вращения.// Материалы XIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов". Том IV. М.: Изд-во МГУ, 2006. - С. 7273.

52. Васильева О.В. Неголономные поверхности двойного вращения в четырехмерном евклидовом пространстве.// Изв. вузов. Математика. 2006. - М (529). - С. 3-13.