Конформная структура на гиперповерхности проективного пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА. II ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имепп В. II. ЛЕНИНА

Специализированный Совет К 053,01.02

На правах рукописи

КОННОВ Валерий Владимирович

КОНФОРМНАЯ СТРУКТУРА НА ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации иа соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1992

Работа выполнена на кафедре геометрии Московского ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени педагогического государственного университета имени В. И. Ленина.

II а у ч н ы и р у к о в о д и т е л ь:

доктор физико-математических наук, профессор М. А. АКИВИС

Официальные о и и о п е и т ы:

доктор физико-математических паук, профессор Д. В. АЛЕКСЕЕВСКИЙ,

кандидат физико-математических наук Е. В. ФЕРАПОНТОВ

Ведущая организация — Казанский государственный университет.

Защита состоится «....&.....г. в А.&.... час. па

заседании специализированного совета К 053.01.02 по присуждению ученой степени кандидата фпзпко-математпческнх паук в Московском педагогическом государственном университете пм. В. И. Лехпша по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ пм. В. И. Ленина (адрес университета: 119435, Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1, МПГУ им. В. И. Ленина).

Автореферат разослан «............»........................1992 г.

Ученый секрет-ефь специализированного совета / (^Р Г. А. КАРАСЕВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

■ Актуальность темы исследования. Теория конформных структур' занимает особое место в ряду общих вопросов теории & -структур на многообразиях 119] и представляет собог одно из важнейших и шл1 око изучаемых направлений в диффьрешиаль-ной геометрии* Эта теория первоначально возникла при изучении тех свойств римановьх и псевдоримановых многообразий, которые Остаются инвариантшжн при конформном преобразовании метрики £ .1 • Оказывается, что именно эти свойства играют важ-нув роль, в прикененш: теории гсевдориьановь'х пространств к Теоретической; физике. Конформно.инвариантными являются свето-вье конусы четырехмерного шогообразия обще,'' теории относительное^,' к поэтому конформная метрика играет основную роль в теории; генсторов Пьмроуза [43,161 . Кон£ормно. инвариантные является также автодуальные уравнения Яяга-Г/ялса Г8] , которымуюшетворяет $орма кривизны 5^(2) -связности на четырехмерном многообразии. дон^орию?. Аышется й классификация Петрова- пространств общей теорий относительности. ];се это, а таете кнотке другие аспекты, делаот актуальным изучение чисто геометрической теории кон^ормшх структур.

V Конформная структура иа шогообразии И определяется относительно инвариантной невырожденной квадратичной форток д= = оУи;1. Эта структура будет собственно конформной, то есть СО (и)-структурой, если ^орг/.а д положительно определена, и -СО(р,<); -структурой, если Форш д имеет сигнатуру

Часто Зорма д , 'задавая конфорынуп структуру, определяется на многообразии М каким-либо естественгаш образом. Так на подмногообразиях евклидова пространства конфорклая структура порокдается метрикой этого пространства ПЗ] . Точно также геометрией объемлющего пространства конформная структура порождается на;поданбгообразиях конформного пространства [111.

В последнее время появились работы Поз ,Е121,11С] ,. изучение вопросы вложения многообразий в экгиаТфкнное пространство в качестве гиперповерхностей. В этих работах в качестве метрик, на Гиперповерхностях рассматриваются их вторые Фундаментальные $ормн, называемые "а1фанными метриками". Вторые фун-да«ент£льннб формы ( или, что тоже самое, асимптотические фор-

мы ) рассматривались в качестве метрик такте А.П. Норденом Е5] , П.Л. Щироковкм и А.И. Широкоьыл ГЗЗ при изучении гиперповерхностей аМ\инного и проективного пространств. Однако-конформные свойства этих метрик остались в стороне несмотря на то, что асимптотическая (Торма гиперповерхности задается лишь 'с точностью до множителя и инвариантно определяет' икенно' конформную структуру, тогда как рассмотрение этой Форш в качество метрики требует ее нормировки. ,

В силу вышесказанного, актуельш м является, изучение, кон-; формной структуры, порожденной на гиперповерхности проективного пространства асимптотической Зоркой этой гиперповерхности . (асимптотической конформной структуры), что л составляет настоящего исследования. Кошфётнкки. задачами диссертации яв- : ляются: • ;

1. построение на тангенциально невырожденной гкперповерх- ■ ности проективного пространства инвариантной конфоршойевяз- -; ности и исследование.ее тензора ВеЛад. -•■'.". "

2. Исследование гиперповерхностей с плоской, асимптотичес- . кой конформной структурой. ' . 1 •'•'.•/ . "•;"• " ••

3. Исследование асимптотической конформной структуры; на. ■четырехмерных гиперповерхностях. и изучение гиперповерхностей

с полу плоской ( автодуальной и антиактодуалъной) асимптотической конформной структурой. , • ■

Научная новизна. Все результат». по.' ученное в диссертации . являются новыми. й.'делим из них следующие. ■. •'*. . :

1. К тангенциально невырожденной гиперповерхности V"

Рч-м •-.'-'' " ■ .,

•инвариантно присоединяется., конформная связность, определяемая асимптотической формой гиперповерхности V л . Доказано, что ее тензор Кейля алгебраически • вырачается через тензор Дарбу гиперповерхности V"

2.'Изучены гиперповерхности, несущие плоскую асимптоти-- ;'■. • ческую конформную структуру, Доказано, что в Р*. (« >5> кромО /, гиперквадрик такую структуру несут огибающие второго порядка одиопараиетрических семейств невкрожденйых гиперквадрик,. Лайде- ■■.' ш. конечные уравнения таких огибающих. Сконструкровгик глпер-поверхности с плоской асимптотической кон^оршой .структурой' '-■ любой сигнатуры. ' .. .

3. Найдены.аналитические условия долуплоСкосгяостк к ' плоскостности четырехмерной асимптотической кок1юр:/дой струи- /.

туры сигнатуры (2,2), и дача геометрическая характеристика Вполне изотропных двумерньх подмногообразий асимптотической СО (2,2)-структуры.

4. Выделен и изучен класс четырехмерных гиперповерхностей с полушгоской асимптотической конформной структурой.

!.'етоя исследования. Работа выполнена методом подгибного репера и внешних дифференциальных 'Тори Картана Г1Ч] , lis} . Рассмотрение носит локальный характер, а все многообразия и заданные на них геометрические объекты предполагаются достаточно гладкими.

Теоретическое и практическое значение. Все результате носят теоретический характер и могут быть использованы в исследованиях, посвященных конйорьишм структурам на многообразиях я Проективно-диТ^еренциальной геометрии гиперповерхностей, а так-гг.е при, чтении спепкурсов по этой тематике в высших учебных заведениях. "Полученные уравнения хон}ор1<ио плоских и полуплоских гиперповерхностей могут найти приложение в теоретической физике.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывалась на конференции "йробдешк теоретической и прикладной математики"- /Тарту, 1990 г,/, на заседании школы-семинара по теории тканей /Самара, 1991 г/, на международной кон$еренгяи "ЛобечеесКйй и современная геометрия" /Казань, 1992 г./, на заседаниях семинаров по диТ'Т'еренциальной геометрии в Московском Институте Стали .и Сплавов /1990, 1991 и 1992 гг./ и Московском Педагогическом Государственном Университете /1992 г./.

Публикации, Основное содержание выполненных исследований отреяеш в 6 публикациях П 23 - С ÜTJ , напксашшх'без соавторов.

Структура и объем-работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста, включающих в себя 15 параграфов, и списка цитируемой литературы, содержащего 56 работ отечественных и зарубежных авторов. Объем диссертации составляет 114 • страниц машинописного текста. К тексту прилагаются 7 рисунков.

: j ' . - ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

введении Формулируются основные задачи диссертационного исследования,. обосновывается их актуальность и приводится крат-

кое содержание основных результатов диссертации.

Первая глава . "Ди-Тференциальная геометрия тангенциально непкрожденной гиперповерхности проективного пространства" /§§ 1-4/ посвящена изло<тени;о основных фактов проективно-ди-Мерен-цкалыюй геометрии, являкдкхся основным аппаратом дальнейшего исследования. "

В параграфе I выводятся основные уравнения расслоенного многообразия реперов 3"(Р ) вещественного проективного.прост- , ранстьа Р , которне являются структурными уравнениями Маурера-Картана полной проективной группы ¡РСгИ^).

Далее вводится понятие расслоенного многообразия реперов первого порядка З-(И) , инвариантно связанного с подмногообразием И проективного пространства Р и . Приводятся основные ■ дифференциальные уравнения многообразия £(М) , которые опре-. деляют И в Р" с точностью до проективного преобразова-.' ния. Формулируется основная теорема тензорного анализа дня ' подмногообразий проективного пространства.

Параграф 2 содержит основные уравнения гиперповерхности V"4 проективного пространства Р". Здесь жу определяется вторая фундаментальная Форма и>'со4 гиперповерхности

Vй , которая является относительно инвариантной на V" Ж:' называется танке асимптотической формой гиперповерхности V" .

Гиперповерхность v " называется тангенциально невырожденной, если невыроадена ее асимптотическая форма- V . Далее рассматриваются лиль тангенциально невырожденные гиперповерхности. Для них определяется кубическая .форма Дарбу Ч^/.-у^А^* и записывается уравнение пучка соприкасавшиеся' гиперквадрик Дарбу. Вдоль конусов Дарбу у- О все эти квадрики. иЬ'Врт касание третьего порядка с гиперповерхностью V" ... ..'

Следующий параграф! посведен изучению кубической формы ■ Дарбу . У тангенциально новорожденной гиперповерхности У ■ пространства Рич"' . Здесь вводятся определение ранга гак/; V кубической формы Дарбу Vх , как разность между размерностью ■. »1 гиперповерхности V и размерность» вершинной плоскости конуса Дарбу У - о , и доказывается

Теорема!. Кубическая Форма у тангенциально невк-рохденной гиперповерхности Vй проективного пространства . Рп*1 имеет постоянней ранг х^пкЧ'^м , о < т&п , тогда и только тогда, когда эта гиперповерхность является огибающей т -

параметрического семейства соприкасающихся гиперквадрик /арбу» Если ранг ограничения асимптотической форш Ч гиперповерхности v " на вершинные ююскости конусов Дарбу равен 5 а 5?й-ш, то характеристикам! огибаэдей Vй являются керше' тангенциально вырожденные поверхности второго порядка', ранга 5 .

Эта теорема обобщает результат Вербицкого с2 1 и Лаптева! С 3} о том, что тангенциально невырожденная гиперповерхность V" вырождается в гиперквадрику тогда и только тогда, когда тензор Дарбу гиперповерхности тождественно равен нулю.

Заглотим, что форма Дарбу подробно изучалась Т. К<ят?й«и<С еще в 1925-1930 годах £16]- £18] .

- - Рторая глава /§§ 5-7/ посшаена изучении- кшфорияой: структур» на тангенциально невырожденной гиперповерхности': V' „ определяемой на V" ее асимптотической квадратичной формой» В параграфе 5 дается определение конформной структура на гладком многообразии М , как 0 -структуры па И' а© орр:— турной группой

О - СО р-+<]г И-с/с«., М .

. Далее записывается структурные уравнения инвариантной коа— формяоЙ связности, присоединенной к многообразию М' с заданной на нем' СО (р,ф-структурой. Определяется тензор Вейля этой структуры и перечисляются его свойства.

' В параграфе 6 доказывается Теорем а .2. К тангенциально невырожденной гиперповерхности Vй проективного пространства р"*1 инвариантно присоединяется конформная структура, определяемая асимптотической формой гиперповерхности V"1 , тензор Вейля которой вврааает-ся через тензор Дарбу гиперповерхности V" п& формуле

V = Кир" -¿гЪ^ы+Ъс-

Т(ГГ77{Й^Г) ^ с« I 3

где • ^ Сй'/ - тензор обрат-

ный асимптотическому. J

Отметим, что эта формула приводятся тетехе в работе , вкаедаей из- печати в Ш-8 го,г у. Автором диссертации- она; выведена независимо от 1т и впервые опускиковзда в тезисах ,

Из теоремы 2 следует, что кроего&азм примером гипертшерх-ноетей проективного хфостранства с плоской асимптотическая

конТюриюй структурой являются лешрозденныс гиперквадрики, которые, как известно, служат моделью конформного пространства.

Говорят, что две гиперповерхности V" и V"1 проектиЕНо-находятся в асимптотическом соответствии, если существует диффеоморфизм i : V*—* V* , при котором ; асимптотические линии одной гиперповерхности отображаются на асимптотические хивии другой.

Параграф 7 посвящен изучению асимптотического соответст-. вия гиперповерхностей проективного пространства. Здесь доказывается

Теорема4. Две тангенциально невырожденные гиперпо-всрхности проективного пространства г при п>3 находятся в асимптотическом соответствии тогда и только тогда, когда в подходящей системе координат равны тензоры Ве&ш асимптотических конформных структур этих гиперповерхностей. , .

В силу этой теоремы, класс всех конформно плоских гипер- , поверхностей пространства рп+< при п >л состоит' из гип'ерпо-верхностеГ, находящихся в а симптотическом соответствии с гиперквадриками. ■ : - ■;. - "

Глав 3 "Конформно плоские гиперповерхности проективного ' . пространства" /§§ 8 - II/ посвящена построению нетривиальных примеров гиперповерхностей проективного пространства Р**1 с плоской асимптотической конформной структурой.

Параграф 8 начинается со следующего определения. Гиперповерхность Vм проективного пространтвй Рп+< называется ; : ' огибающей второго порядка семейства гиперквадрик,- есди'' в любой свое?! точке она имеет касание второго порядка с некоторой гиперквадрикой семейства. Справедлива'

Теорема 6. Асимптотическая конформная структура на' огибающей второго порядка однопарамётического семейства невырожденных гиперквадрик в проективном пространстве Рп-М при является плоской.

Геометрическое строение таких огибащах раскрывает ■

Теорема 7. Огибающая однопараметрического семейства невырожденных гиперквадрик в проективном пространстве р"*1 • -при п >,5 является огибающей второго порядка этого семейства ,' гиперквадрик тогда и только тогда, когда характеристиками этой' огибающей являются двукратные поверхности второго порядка.

Следующий параграф, посвящен выводу конечных уравнений таких огибающих. Справедлива

Т е о'р ем а 8. Однопараметрическое семейство невырожденных гиперквадрик (З(^) в проективном пространстве Р**1 имеет огибающую второго порядка тогда и только тогда, когда уравнение этого семейства приводится к виду.

о

причем выполняются услоьия ¿еИс

и</)? 0, 8и (Ь) Ф Сц В (•£ ), чу- о, •

Здесь Сму и Сц - постоянные, а 6И(0 и 6(4) - глад- • клв функции одной переменной. В.силу теорем б, огибачщие таких ' семейств будут. Нес^и плоскую асимптотическую конформную струк-' . туру. Конечные уравнения Таких огибающих получается после исклс-. чения параметр» "6 из систеш уравнений <2 О. ) = о и в'ш=(вцШК и)'1 - О .

В параграфе 10 строятся примеры гиперповерхностей пространства . , , с плоской асимптотической конформной струк1-турой.любой сигнатуры (р, у) , />+<)=»»• Одним из результатов является

П р е д л о к ё й и б -1. Пусть У", п >3,- аффинная гиперповерхность вращения, заданная -уравнением

где ^ - гладкая положительная фушспдя одной переменной,' а квадратичная Сц у'у 4 имеет сигнатуру п .

Тогда на гиперповерхности Vй реализуется плоская асимптотическая конформная структура, которая является СО (р, ¿¡) -структурой, если функция } выпукла вверх ! О /, и -СО(р--структурой, если функция } вкпукла вниз /}"> о /;

! Здесь Сц - постоянные, а < Чч= X /х"У - неоднородные координаты в Р .

Особое значение имеет изучение конформных структур на четырехмерном -многообразии,, ввиду их тесной связи с теорией гравитех'ди, Особенность» четерехмёрных конформных структур является тот факт, что их тензор ЗеУля допускает разложение на • его автодуальную и автодуальную части. Поэтому- в "этом случае г,;ои10 говорить не только о плоских, но и о полуплоских /автодуальных или аятйавтодуальных/ конформных структурах.

Глава 4 /§§ 12 - 15/ посвящена изучению.гиперповерхностей.

пространства Р , асимптотическая конформная структура кото-* ркх имеет сигнатуру (2,2).

Параграф 12 носит реферативный характер и содержит основные отделения и факты из теории С0(2,2)-структур на многообразии, необходимые для дальнейшего исследования.

Б работе Cil , посвященной изучению СО(2,2»-структур, вводится по.чятие вполне изотропных двумерных подмногообразий, с помощью которых находится геометрическая характеристика четырехмерных полуплоских и плоских СО (2,2)-структур.

£ naparpr.f-e 13 полученные выше результаты об асимптотических кон?оркных структурах, а также результат^ работы С 1 1 . переносятся на случай асимптотических СО(2,2»-структур на гиперповерхности пятпмерного проективного пространства. Здесь вычисляются автодуальная и антиавтодуальная части тензора Вей-ля и находится аналитическое условие полуплоскостности и плоскостности аситатотическиг. Ш (2,2) -структур.

Параграф 14 посвящен изучению вполне изотропных двумерных подмногообразий асимптотической СО (ii, 2)-структур!/ на гиперповерхности. Здесь доказывается

Теорема 10. Пусть V а - вполне изотропное подмногообразие четырехмерной гиперповерхности V '' , ьесущйй аш/лто-тическ;..» С0(2,2)-структуру. Тогда возможны .следующие 'четыре случач: I/. у1 - двумерная плоская образуемая гинефноверхнос-ti v' ; 2/, Vя - двумерный торс, то есть тйнгеип'.глыю вырожденная поверхность, несущая однопараметрическое семейство пряыблкнейных образуадих, вдоль которых постоянна касательная •

. плоскость к V 1 . Соприкасающееся .пространство такого подашогообразия ipexvepHO и лежит в касательной гиперплоскости к гиперповерхности V4 ; 3/. V'1 - тангенциально ¡¡еш.т,огненная линейчатая поверхность. Четырехмерное соирикасагаазеся пространство такого подмногообразия совпадает с-касательной гиперплоскость» к гиперповерхноста V4 ; 4/. V ' -тангенциально невырожденная поверхность, несущая сеть сопряженных линий. • Соприкасающееся пространство такого подмногообразия четырехмерно я совпадает с касательной гияерплоскостьо' к гиперповерхности V4 .

В параграфе 15 рассматриваться гиперповерхности с полуплоской асимптотической конформной структурой. Здесь доказывается следуодая теорема.

Теорема II. Пусть V4 - тангенциально нев! гожденная гиперповерхность проективного пространства Р5 , через каждую точку которой проходят две двукернне плоские образующие общего положения. Тогда на гиперповерхности У4 реализуется полуплос-кан асимптотическая СО(2,2)-структура.

Далее находятся конечные уравнения таких гиперповерхностей и доказывается '

Теорема 12. Пусть Уу гиперповерхность с полуплоской СО(2,2)-структурой, 'описанная в теореме Ч. эта пшерповер-хность-является'проекцией многообразия Сегре Р** Рг , лежащего в восьмимерном проективном пространстве Рг , на пяти!,.ер-ное подпространство Р5" из двумерного центра проекции 2 .

Здесь л:е изучается еще один класс копЪрг.яо плоских гиперповерхностей пространства . Имеет место

"Теорема 13. Пусть V4 - тангенциально невкрождишая гиперповерхность проективного пространства Р ъ~ , через каждую точку 'которой проходят четыре плоские образующие, причем дне ;;з них принадлежат одному семейству изотропных плоскостей асимпто-.

тического конуса, а две другие - его втором:) семейству. Тогда ч

гиперповерхность V несет шгоскую асимптотическую СО(2,2)-структуру. . • „ .

Гиперповерхности, описанные в этой теореме, также могут быть получены из многообразия Сегре Р1 X Р1 при лроектпрова/шг Р 8 на Р5 при некотором специальном расположении центра проекции 2 и ногообразия Сегре в пространстве Р* . Необходимые конструкции'приводятся в этом же иараграТ.е. Здесь же находятся конечные уравнения таких гиперповерхностей.

В заключении автор выражает благодарность профессору Акивису (>!. А. за постановку .задачи и постоянное внимание, к рабо-. те.

Использованная-литература

1. Акквис !.;. А. С вполне изотропных подмногообразиях четырехмерной псевдоконформной структуры // Изв. Вузов. Уат.- 1983..'. :» I.- С.ЗЛО. ■ •

2. Вербицкий Л.1. О метрической дифференциальной геометрии

гиперповерхности второго порядка // Труда семинара по векторному и тензорному анализу / Пзд-во ■ МГУ. — 1.1., 1949,- • Ыпуск 7.- С.319-340. ...

3. Лаптев. Г.-i. Ги^'ьренциальная геометрия погруженных многообразий // 1953.- Т.2.- С.275-382.

4. !,'атш Г.'»;. Колибровочяые поля и комплексная геометрия.-• ;,:. : Наука, 1984.- 336 с.

5. Нор/ен А.л. Пространства аЫпнной связности,.2-е изд.-M.: Наука, 1976.- 432 с.

6. Пс.чроуз Р., Риндлер Б. Спиноры и пространство-время.-: 'top, 19£8.- 574 с.

7. Петров А.З. Классификация пространств,"определяющих шля тяготения // Учение записки Казанского ун-та.- Казань, 1954.-T.II4.- Книга 6.- C.55-G9.

8. Фрид J.., Уленбек К. Инетантоны и четырехмерные шогооб-; рйзия.- Ы. : .'.ир, 190G.- 272 с.

9. Широков П.А., Широков А.Л. АЫпниаа диЭДеренцаальная геометрия,- I.:.: Гос. изд-ко fиз,-мат. лит.,: 1959,- 319 с.

10. Бока.". K.^t.non V'. JS$Cni /insets«cja fe s

u'¿Ik cu4c с $охл\ s // Tokoku M&th . T. ~

- -' V. ■92, л/1. ~ p. foi ' 106.

11. Сатрап ê. La dijotma tîou dt-s, kCpix sniijac«s

¿*if4Ct "u-c£ <1 n->s 5" cJiincH^ipni // tjati.

Soc. f-uL^i-i.' 4S Ci*f¥). - ï>.Sï-J2i.

12. F., t/Omlxu kenf. Сон.jtstjj/t сенпис tCûKS> o^-d R<kd.0K'î> ajfcne dlj^i^unii^i ^imfixi / Mo»tiL"t - 5CA. Mai к.- 1330,- V. ÎÛ3.' Д/3.- P. S3 SI

13.

Unis. РгаS, 132e.- /Л€И pp. . '

14. Gx^ftciki, P., Ha.tiîs J. /iéye ¿t<xC<. ^ecwc-tty <nt</ ifoi^f tii^ett^-iCal tf Jntt. sc.Ccué. Ее.

■ b/o*m. s<+f>., -f3ïs. ~ seue.- v. i'2, - p. sss-^jj.

15. Glt-jfctk-b P. Ол £V г ¿a« '5 n\t4iovl Lit gie^-fs ЙЛС( *npvc*uj jtftwtj ai a.f>/>ùed ~éo илС^иелеьв

й-KÎetîiie«sé tjutiirtcH-s. Ы dij^ixeniCaC ^ecntct- ' ty Wati 3b., /З^.- Vf. - Л m.

16. Kan^tAiu j. ¿J, Xiaïfvuii tunres. сн a

N tn -éA< Л- rfi'mi ns.Lo>ulC space // Met. СоЫо^е Se»'.

■ kuo-to Гл.ре.и'ае 1иг</., -<ц:и5.- v. s. - p.ms-fsi.

IV. \{акСЬлч.1 J. ¿(к ¿¿e ¿a $01™ dt Datta-ve.

de ek^lt^z-jacc //&u€C.. ¿oe. Haik. France , ii îr. -- V. S.- Р.йОв- 2/Л .-18. Kfintl-fÀki-j". Sut e'hcpvtsutfixcc doué ¿a fci'Ht de

■Рлт£cut tii un cuit paxfaé Pcx. Scù.%u<iûuift i'ttO.-V. i.-f.DI-H.

19. KoéA^âshî й. "Ttanijo*rmx-iicx fitvups <*« ■ctijftttxéij/ qtentéty,--Shin^li '\ftiia.jj, &t-ttCn-HtUt(gitg-f/t»> Ysxk, tn>, ; ЗЛУ pp.

20^ f/oiHCiu К., Р<!п1«я££ U. 0* 1îA< gtime^ty »S -

'// H&k. z„ i3sr. - KJ3s.~ ùz.- p, ics-i*s.

21. So-iabc r. ûi< ikè ^гсгнНьу cj куры^и-с^аса. ЦиабСшь

' • Ûa*& & ch«.$uf Ci***f>étKt:- V. i C£it*i--

6<XM14> iûSSX Puêe. JW. Hiek. . Jv., Univ. " fksieu*., &it.as<fou^ , - P. 'US-td. .

•■' Публикации автора по теме диссертации

22, Концов В.В. Асимптотическая псевдоконформная структура на ,

-, ' четырёзст/ерной гиперповерхности и ее вполне изотропные дву-'

'•:• мерные подмногообразия // Изв. Вузов. Мат.- 1992.г- fi 6,-С.71-79. • .'.

23: Конноз В.В. О ранге кубической форкы £арбу тангенциально невырожденной гиперповерхности // Пш.-лти Хобачевского посвящается / Изд-в<3 Казанского ун-та.- Казань^ 1992.- Выпуск 2.' с.с-20. '.;'■".

. 24. Концов В.В. КонТормаая структура на гиперповерхности'проективного пространства .// Проблема теоретической и прикладной математики: тезисы докл. конф.- Тарту, 1990.- С.53-54.

25. Конйов В.В. Ko#opv.no плоские гиперповерхности проективного пространстйа //Лобачевский п современная геометрия: тезисы докладов конференции.- Казань, 1992.- Часть I.- С.42.

26. Кониов В.В. Об одном классе гиперповерхностей многомерного проективного прдстраяства- c iutocxoiï асимптотической конформной структурой //, Деп. БШШТИ Jf 2586-392 от 7.0В.92.- 30 с.

27. Коннов В.В. О реализации полушюсгагх 'конформных структур на четырехмерной гиперповерхности проективного пространства // ■

" Деп. 'ВИНИТИ iS 25&7-ВЭ2 от.7.08.92.- 29 с. .' '