Механика нестационарно катящегося деформируемого колеса и ее приложение к динамики колесных систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ¿/^ ИНСТИТУТ им. М. И. КАЛИНИНА '

На правах рукописи

ЛЕВИН Моисей Аронович

УДК 531.3+539.3+629.027.073

МЕХАНИКА НЕСТАЦИОНАРНО КАТЯЩЕГОСЯ ДЕФОРМИРУЕМОГО КОЛЕСА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЕ К ДИНАМИКЕ КОЛЕСНЫХ СИСТЕМ

01.02.06 — Динамика, прочность машин! приборов и аппаратуры

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Ленинград 1990

Работа выполнена в Белорусском ордена Трудового Красного Знамени политехтчвоком институте.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, прсфэсоор Нойлшрк Ю.И.

доктор физико-ыатоматнческнх наук, профессор Нагаев Р.§. доктор физико-математические наук Лоб ас Л.Г.

Ведущая организация -■ ПО "Шшскнй тракторный вавод им, В.И.Яэтящ"

Защита состоится "_ ____ 1989г, в часов

на заседании еяедашшзировшного совета Д 063.За.12 при Ленинградском политехническом институте ш. М.И.Калпшна в ауд. I уч. корпуса по адресу: 135251, Лоншхград, Политехническая ул. '29, ЯШ пи И.Н.Каягнина.

С диссертацией моано ознакомиться в фундаментальной библиотека института.

Автореферат разослан "_"_139 г.

Ученый секретарь спецкаливированного созега Д.Ю.Скубов

'Ленинградский политехнический институт имени М.И.Калинина,199С

ОШЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

В диссертации устанавливаются фундаментальные закономерности динамических процессов нестационарного качонил деформируемого ко-леса.т.е. формулируются определяющие уравнения теории качения,и на этой основе рассматривается динаглшеа колеенкх систем. Теории качения, предложенные в основополагающих работах М.В.Келдыша,А.Ю.Ишгон-окого, И.Рокара, Р. Санкщ. , Ю.И.НеЙмарка, Н.Л.Фуфаева,В.5ск1срра, З.С.Гоздека и др., учитывают прекде всего свойства деформируемого колеса существенно важные в динамике систем с качением. Именно з эусле отого направления лежат основные результаты данной диосерта-да. При таком подходе детали внутреннего устройства деформируемо-то колеса оказываются несущественными и отракактся только з значе-п!ях его параметров(констант теории).Поэтому колесо с шиной может !ыть представлено с помощью достаточно простой модели,что подтверж-вется результатами модельной теорий А.Ю.Ншлииокого и широким применил ем теории М.В.Кедвдша для описаний поведения совершенно различ-:ых по конструкции деформируемых колес в динамике колесных систем.

Актуальность темы и ее практическое значение. Системы о каче-ием,включающие деформируемое колесо, иироко распространены в тех-ике (автомобиль.колесный трактор,самолет на взлетно-посадочной олосе.мотоцикл.железнодорожный состав и другой колесный транспорт^ вменяющаяся во времени(нестационарная)реакция связи, возникающая контакте между катящимся Деформируемым колесом я опорной новерх-остью,определяет в значительной мере динамику, управляемость и зтойчивость движения таких сиотем. Учет деформируемости выдвигает «ясную проблему адекватного описания связи "катящееся деформируете колесо - опорная поверхность". Решение этой проблемы соотавля-г предмет теории качения. Уравнения, описывающие нестационарную »акцию,действующую со стороны опорной поверхности на деформируе->е колесо (колесо о шиной) й области контакта, в зависимости от 1зовых переменных,связанных с законом движения жесткого диска ко->са,являются определяющими уравнениями теории качения. Последние ■длится необходимым компонентом описания систем,включающих колес шиной, и широко используются в исследования динамики колес-х систем.

В то же время в механике нестационарно катящегося деформиру-ого колеса имеется ряд нерешенных проблем. Известные теории ка-

чет я очень часто базируются на феноменологическом подходе, для которого характерно введение различите гипотез и экспериментальное определение большого числа констант теории,причем область применимости данных теорий остается часто невыясненной. Как правило, учитываются не все шесть степеней свободы жесткого диска колеса и не все шесть составляющих обобщешюй реакции опорной поверхности в области контакта. Не всегда учитываются ширина и длина области контакта,оказывающие часто существенное влияние на динамику системы. В недостаточной степени изучено нестационарное качение с учетом скольжения в области контакта и всех шести составляющих реакции, когда продольная и боковая составляющие не малы.Практическ: нет данных (или они единичные) по экспериментальному подтверядени! теории частотными методами для продольной составляющей реакции и некоторых других составляющих.Большие трудности вызывает определе ние многочисленных констант,входящих в различные теории качения. Поэтому тема данной диссертационной работы актуальна и имеет теоретическое,прикладное 1г практическое значение.На актуальность раз работки теории нестационарного качения указывалось А.И.Лурье.

Цель работы заключается а исследовании фундаментальных закономерностей процесса нестационарного качения деформируемого колес и,таким образом, в формулировании определяющих уравнений наиболее полной теории качения без применения гипотез, характерных для известных феноменологичашшх подходов, в оценке точности известных теорий и х'ипотез,лежащих в их основе,с использованием аналитических и экспериментальных методов и в решении сложных конкретных з; дач динамики колеоных систем с применением развитой теории.

Научная новизна и положения, выносимые на защиту:

I. Основываясь на модельном подходе и без использования гиц тез, являющихся неотъемлемым компонентом известных феноменологических теорий,развита наиболее полная и компактная с точки эрени. формы представления теория нестационарного качения деформируемог колеса,принимая во внимание все шесть' составляющих обобщенной ре акции в области контакта и шесть степеней свободы жесткого диска колеса,а также размеры пятна контакта.Основной вариант теории на чз!шя представлен 9 интегро-дифференциальными уравнениями с запаздыванием. 2. На основе теории М.В.Кедцыша и методов,предложенных Ю.И.Неймарком и Н.А.Фуфаевым, получена серия вариантов те рпп качения с дифференциальными уравнениями более низкого поряди

вытекающих из основного варианта теории. Показано,что известные феноменологические и моделышо теории следуют из развитой. 3. Построено обобщение теории М.В.Келдыша с учетом шести степеней свободы диска колеса и шести состезлятощих реакции в области контакта без учета и с учетом частичного скольжения, а также размеров последней и произвольных движений колеса по опорной плоскости. 4.Оценена точность известных теорий качения и лежащих в их основе гипотез. 5. Установлены зависимости для.совокупности констант теории качения через минимально необходимое число входных параметров колеса с шиной (всего девять) и разработаны соответствующий алгоритм и программа для определения констант на ЭШ. 6. Экспериментально с применением частотных методов проверен ряд зависимостей для составляющих реакции и презде всего для продольной и с учетом скольжения в контакте также.Разработаны соответствующие методики и стенды, защищенные авторскими свидетельствами. 7. Решены сложные и вытекающие из запросов машиностроения задачи динамики колесных систем с применением также численных методов (устойчивость управляемых колес трактора МТЗ, динамика разгона трактора, колебания самооривотирующихся колес полуприцепа МАЗ и др.). 8. В развитие подхода А.Ю.Явлинского дано описание качения деформируемого колеса по уп-руговязкопластическому основанию.

Практическая ценность работы заключается в том, что результаты диссертации позволяют исследовать динамику колесных систем более обоснованно и точно, поскольку гораздо более точно и в полном объеме учитывается механика взаимодействия колеса с опорной плоскостью и ряд новых факторов, которые обычно не принимались во внимание либо учитывались с недостаточной точностью. Решена проблема определения многочисленных констант теории, без которых исследование динамики конкретной системы невозможно. Полученные в диссертации результаты позволяют оценить погрешности того' или иного упрощенного варианта теории, что также очень ваяно для практики. Это позволило в уточненной постановке дать в диссертации решение ряда сложных прикладных задач динамики колесных систем. Результаты работы в виде инженерной .методики.алгоритмов,программ и стендов внедрены на МТЗ, МАЗ, в НИИКГШ, НИЙШП, а также в учебном процессе кафздры "Тракторы" ЕЛИ.

Апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в одной монографии, 56 работах,среди которых 4 авторских сви-

детельотва, и доложены на следующих конференциях и семинарах: Научно-техническая конференция молодых ученых Белоруссии, техн. -и с/х пауки (Минск,1969 г.); Шестой Всесоюзный научно-технический семинар "Опыт работы по улучшению устойчивости и управляемости автомобиля..." под руководством Я.М.Пеазнера (Москва,НАШ,1970 г.); Конкуренция по колебаниям механических систем (Киев,1971 г.); Семинар кафедры "Динамика машин и теория управления" под руководством ЮЛГ.Нейшрка (Горький ,ГТУ ,1971 г.); Семинар кафедры "Механика и процессы управления" под руководством А.И,Лурье (Ленинград, ЛШ, 1973 г.); Семинар по проблемам механики под руководством Я.Г.Па-новко (Ленинград,ЛКИ,1973 г.); Семинар по механике систем,твердого тела и гироскопов под руководством А.Ю.ИшлинскогоД.М.Климова, Е.А.Девянина (Москва, 1ШМ АН СССР,1973,1905 гг.); Семинар по гидродинамике под руководством И.Я.Кочаной (Москва, ИПМ АН СССР,1983 г.); Семинар но механике сплошной среди под руководством Н.Х.Ару-тюняна и Б.М.Александрова (Москва, НИМ АН СССР,1986 г.); Республиканский семинар по теоретической механике (Минск,1971,1974 it.); Семинар по методам решения обратно задач дпиамики под руководством А.С.Ганиулляна (Москва, УДН,1985 г.); Всесоюзная конференция по проблемам нелинейных колебаний механических систем (Киев,1974 г.; Горький,1907 р.); Семинар НИИ прикладной математики и кибернетики под руководством В.И.Ноймарка (Горький,1975 г.); Семинар по качению эластичного колеса под руководством А.С.Литвинова (Москва ,МАДИ,1975-1977 ,1973,1901,19В6 гг.); Научно-техническая конференция "Повышение эффективности проектирования и испытания автомобилей" (Горький,1934,1987 гг.); Республиканская научно-методическая конференция "ПсошодеЛствво ходовых систем с почвогруптом" (Минск,1983 г.); Семинары и заседания кафедры "Автомобили" ЕПИ под руководством И.О.Цитовича (Минск,1969 г.), кафедры "Трактора" ЕПИ под руководством В.В.Гусъкова (Мыюк, 1972,1974,1978 гг.) и кафедры "Теоретическая механика" ЖШ; Научно-техническая конференция преподавательского состава ЫШ (Минск,I969-19Ü9 гг.); Первая Всесоюзная конференция "Проблемы шин и резшюкордных композитов" (Москва,1989 г.).

Структура работ». Диссертация состоит нз введения, 8 глав, заключения, списка литературы (19 с), приложения (28 с.) и включает 301 с. машинописного текста, 43 с. рисунков и 15 с.таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ГЛАВА I. ФЕНОЖНОЛОГИЧЕСКШ И МОДЕЛЬНЫЕ ТЕОРИИ КАЧЕШИ.

СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ.

Рассматривается предает теории нестационарного качения деформируемого колеса,феноменологический. И модельный методы исследования и его целя. Дан обзор известных результатов и публикаций автора диссертации. Изложены особенности модельного подхода при формулировании определяющих уравнений теории нестационарного качения применительно к динамике колесных систем.

Как известно, при стационарном качения ориентация диска колеса остается неизменной, центр его Движется равномерно и прямолинейно, а в области контакта колеса с опорной плоскостью действуют постоянные силы. Нестационарное качение характеризуется переменностью во времени указанных факторов в том числе и сил, действующих в области контакта. Так как рассмотрение динамики колесных систем опирается на теорию нестационарного качения деформируемого колеса, то стационарное качение не является предметом данной диссертации и рассматривается лишь как предельный случай нестационарного. По вопросу стационарного качения имеется большое число публикаций. Особый интерес Представляют исследования А.Ю.Ишллнекого в связи с наиболее ранней, реализацией в них модельного подхода и изучением качения колеса по упруговязкому основанию. В области стационарного Качения известны результаты Ш.Кулона, О.Рейнольдса, Ф.Картера, В.Л.Бидермана, Й.Ф.Бочарова, Р.В.Вирабова, Н.И.Глаголева, В.П.Горячкина, В.В.Гуськова, Ю.А.Ечеистова, В.А.Иларионова, И.И.Калкера, В.И.Кнороза, Н.К.Куликова, А.С.Литвинова, О.Н.Мухйна, В.Й.Новопольского, В.А.Нетрушева, Ю.В.Пирковского, -Е.АЛудакова, Р. Вокт. , А.ВиЯ. , К.Е1КШ4, Е. Рю1а., А.Ъг&пк^.РиттММаск^ £М»с1т , К.Бт!!^ , Юоыге и др.

В области нестационарного качения все результаты можно подразделить на две группы. К первой относятся очень немногочисленные исследования.касающиеся формулирования определяющих уравнений теории качения. Это прежде всего работы М.В.Кедцыша, Ю.И.Неймар-ка, Н.А.Фуфаева, В.С.Гоздека, Ф.Картера, Й.Рокара, В. 5ск£фре .

, К^тл1еу, Ь.ЬедйС. ,Н.Расе] к а . Ряд вопро-

сов нестационарного качения колеса с шиной рассматривались в работах А.С.Литвинова, К.С.Колесникова, В,И.Кольцова, Я.М.Певзнера,

М.А.Петрова, Ю.В.Пирковского, А.А.Хачатурова с соавторами, Л.Г. Лобаса, А.Б.Дика и др. Ко второй группе относятся публикации, рассматривающие динамику конкретных колесных систем с учетом различных теорий качения. Здесь следует указать на работы многих из указанных вше авторов, а такие на статьи Г.В.Ароновича, Л.Н.Грод ко, Н.Е.Жуковского, И.И.Метелицына, H.Apeioui. ,Ьшлмг de Ca/cbn , A.Kantvoiúdz , W. Moxzbnd л др.

Рассмотрение механики нестационарно катящегося деформируемог колеса может быть осуществлено на основе феноменологического и мо дельного подходов либо их синтеза. Феноменологический подход' осно вывается на серии гипотез. В феноменологической теории М.В.Келдыш (1945) вводится'предположение о существовании определенных зашей мостей для кривизны линии качения и трех составляющих реакции свя зи, причем принимаются во внимание только три из шести степеней свободы диска колеса, В теории-В.С.Гоздека (1970) учитываются четыре составляющие реакции с одновременным введением дополнительно гипотезы о линейном распределении продольных деформаций в области контакта. Способы построения более простых теорий, вытекающих ив теории М.В.Келдыша, предложены Ю.И.Ноймарком и Н.А.Фуфаевым (1966 Гипотетическая скорость скольжения и дополнительные кривизна проскальзывания и угол скольжения вводятся А.А.Хачатуровш с соавторами (1974). Вое кодотанты феноменологических теорй предполагает ся находить из опыта, что связано' со аначительнши трудностями, н что указывалось, например, Я.Ы.Певанером (1968). Отличаясь завидной простотой, феноменологические теории обладают тем недостатков что если не удалось верно "угадать" вид исходных зависимостей, тс возможны существенные погрешности, а при попытке определить параметры колеса (константы теории) мы приходам к противоречиям.

Модельный подход характеризуется детальным рассмотрением на основе законов механики взаимодействия точек деформируемой периферии катящегося колеса в области контакта с опорной плоскостью. Это избавляет от необходимости вводить различные гипотезы или их оказывается гораздо меньше, В классической модельной, теории ,í>. Schíippe (1941), которая в дальнейшем была уточнена L.Sege£ (1966) и Uracej-ica. (1966), и где шина представляется серией пружин, соединенных нитью, получены выражения для двух составляющих нестационарной реакции. Таким образом, на основе модельного подхода при нестационарном качении не рассматривалась, например, продольная

составляющая реакции, которая определяет динамику торможения и разгона колесной системы, не говоря уже об учете всех шести степеней свободы диска колеса п полном комплекте из всех шести составляющих обобщенной реакции (три компонента главного вектора и три <- главного момента) в области контакта с учетом размеров последней, скольжения и проблемы теоретического и экспериментального определения многочисленных констант теория (см. пункт "Актуальность темы..."). Отметим, что и феноменологические теории такте не учитывают в полном объеме составляющие реаквди и другие упомянутые выше аспекты. Все это сделало необходимым разработку механики нестационарно катящегося.Деформируемого колеса в соответствии с направлением, описанным в пункте "Новизна результатов...".

Основные идеи, связанные о решением проблемы, рассматриваемой в диссертации, были сформулированы а в значительной мере разработаны автором в публикациях 1969-1974 гг. Описание механики нестационарно катящегося деформируемого колеса на основе модельного подхода в форме определяющих уравнений нестационарного качения с запаздыванием впервые и в наиболее общем виде представлено в работах Г16, 17] , а затем в деталях в tl9, 24, 26]. При этом вое константы теории удалось выразить через параметры модели, которые устанавливаются по параметрам конкретней шины. Там ко изложена обобщенная теория М.З.Келдша с учетом шести составляющих реакции я размеров области контакта, а такие дана серия более простых описаний процесса каченияпостроенных по методу Ю.И.Неймарка и H.A. иуфаеВа. В 1973 г. независимо от К. Sdui&tyti. (1972) были получены частотные характеристики боковой силы с/х пин на специально соз-1анном стенде tI5, 20]. Этому предшествовали анализ отдельно боковых и продольных движений колеса Ш, 53-56], описание качения в свазикоординатах tiol, учет скольжений в передней, и задней зонах )бласти контакта и выяснение условий сопряжения деформаций и их [роизводных на границах этих зон IЭ, II, 541, установление аналоги в записи Выражений для боковой и продольной составляющих рв-lkujih 18], введение безразмерной кинематической частоты и опреде-lemie кинематических параметров в теория М.В.Келдыша [9, II], и ;сследование нестационарного качения, принимая во внимание более ложную модель колеса [12] и др. В последующие годы разработан точненннй подход к определению констант теории, который учитыва-т нелинейность дифференциальных уравнений, описывающих деформа-

ция в неконтактной области периферии колеса [27, 29] , а затем и ее сдвиговую жесткость [44, 451. На основе атого подхода созданы программы на Фортране для определения констант, т.е. выходных параметров шины по се входным, устанавливаемым экспериментально'в стационарном качении [34]. Базируясь на синтезе модельного и феноменологического подходов, предложено обобщение теории М.В.Келдыша с учетом частичного скольжения и о введением квазикоординат, следуя Ю.И.Неймарку и Н.А.Фуфаеву, при произвольных перемещениях колеса по опорной плоскости [39, 41], в отличие от обычно рассматриваемых малых отклонешШ движения от прямолинейного и равномерного. Создан новый стенд и предложен способ испытаний, позволивший впервые получить частотные характеристики продольной силы, удовлетворительно подтверждающие теорию шчения оо скольжением [33, 4В1. Предложен и разработан ряд идей по созданию универсального стенда для комплексных испытаний тракторных шин при нестационарном качении с целью получения частотных характеристик всех составляющих реакции в области контакта колеса о [49, 50 ] . Автором исследован ряд вопросов механики нестационарного -качения и представления модели шины, в том числа принимая во иншавде. анизотропию.трения и различие в коэффициентах трения покоя И сколышшш 135, 521. Модельный подход оказался полезным и в механике ременной передачи [зо]. Решены практически нашшв пШенвриив проблемы динамики колес ных систем, среди которых колебания управляемых колес [2б1 и динамика трогания трактора MTS с места [2?А, колебания само ориентирующихся колес оси полуприцепа МА8 f31, 33, 46] и др. ([?, 18, 34, 40, 55]). Основываясь на идеях модельного подхода А.Ю.Ишлинского, развит метод расчета процесса качения колеса с шиной по упруго-вязкопластическому основанию, в том числе и при многократном прохождении колеса по его следу с учотом колееобразования 1зб, 37, 42, 43].

ГЛАВА 2. ЫОДЕЛЫИЙ ПОДХОД К ИЗУЧЕНИИ КАЧЕНИЯ ДЕФОРМИРУЕМОГО КОЛЕСА. ДЕФОТМАЦИИ И СИЛЫ В ОБЛАСТИ КОНТАКТА КАТЯЩЕГОСЯ ДЕФОРМИРУЕМОГО КОЛЕСА ПРИ ПРЕНЕБРЕГЛО МАЛОМ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИИ

§2.1. Постановка задачи. Деформируемое колесо всегда можно представить состоящим из абсолютно твердого диска и деформируемой периферии, например шшш. Пневматическая иина - оболочка переменной толщины, нетонкая, с конечными де^юрмациягли,неоднородная,конструктивно анизотропная с определенным расположением нитей корда

и количеством слоев каркаса,геометрией,конструкцией брекера,протектора й других ее элементов, а также с характерных давлеш1ем и мехшшческими и температурншл свойствами резин, корда, вшючая релаксационные и внутреннее трение. Очевидно, что аналитическое решение проблемы прочности и износа шипи или деже ее простого статического нагружения с учетом всех указанных факторов оказывается практически невозможный. Поэтому очень часто уже в случаях статического нагружения, не говоря о стационарном качении, используются относительно простые модели, включающие кривые брусья, нити, стержни, пружины и т.д.

Механика нестационарно катящегося колеса тем более должна основываться, на более простом представлении Деформируемой периферий колоса, во-первых,из-за чрезвычайной сложности описываемого явления, а во-вторых,в связи с тем, что в Динамике колесных систем валит внешние характеристики шины й наиболее существенные особенности процесса нестационарного качения колеса, отражающиеся в одинаковых по структуре уравнениях теории нестационарного качения, не зависящих в главном от свойств конкретной шиш, которые проявляются лишь в значишяХ констайт теории,или другими словами.выходных параметров шины. И если бы это было не так, то известные и тодтверждаемые опытом теорий Ф.Картера, М.В.Келдша и др. не имели 5ы шансов быть универсальными вне зависимости от структуры периферии (в том числе и для железнодорожного) колеса. Аналогичная картина возникает и в механике сплошных сред (см. работы А.П.Филина, 1 также [2, 3]), где одно и то же анизотропное тело может быть федставлено бесконечно большим числом различных моделей.

В этой главе модель колеса со свободным радиусом Д пред-;тавляется в виде совокупности, по меньшей Мере, двух секций или :вух однодисковых колес. Одаа секция (см.рис.I) состоит из тонкого ;иска с полувалом Длиной $ и безмассовой периферии (ее масса присоединена к массе диска) в форме набора стержней или пружин (их :есткости на единицу длины периферии в продольном, боковом и ра-иальном направлениях равны соответственно' С, , Сг , С3), соединен-ых нитью с жесткостью на растяжение /V, й предварительным натя-ением N2 • Каждой нагрузке соответствует длина области контакта 'а или контактный угол 2<£а в Иейозмущешгом движении, при кото-ом колесо перемещается равномерно и прямолинейно в вертысалыюй лоскости Х02 в свободном режиме, т.е. при отсутствии продольной илы. ,

Так как в дальнейшем рассматривается двухсекционная модель,то колесо характеризуется пятью параметрами жесткости Ф=2С, , ,

с%~2с3,№л~2^ , и тремя геометрическими параметрами К ,2а ,

. Принимается,что опорная плоскость X0Y абсолютно твердая,зоны проскальзывания в области контакта пренебрежимо малы,2а/<К ,а демпфирующие свойства периферии таковы,что деформации ее элемента в процессе двидения оказываются пренебрежимо малыми на расстоянии порядка îtR от области контакта по экватору.

В контактной области колеса с опорной плоскостью возшпсает система распределенных сил.Задача механики нестационарно чтящегося деформируемого колеса или теории нестационарного качения заключается в нахождении зависимостей для приведенных к центру С трех составляющих главного вектора и трех - главного момента этих сил, или другими словами шести составляющих обобщешой реакции в области контакта Р, , Ра , Р3 , М(, М^, М, в функции закона движения диска колеса УД),Zc(t),^Ct),fi(U и других фазовых переменных, Положение диска колеса в каждый момент времени i определяется координатами центра С колеса Xt, Yc ,ZC и углами поворота диска,

,0 , у .отсчитываемыми в системе отсчета с ортами е,, €z , еэ , f причем орт параллелен плоскости XQY, направлен вдоль вала, а е5 - по линии наибольшего наклона срединной плоскости диска.Шеей составляющих реакции также определяются в этой системе отсчета.Во многих случаях вместо параметра t используется SS .

А ! \(Ч>,0) A, M, О)

Puc.I Схема деформации и система отсчета

§2.2. Получены выражения для деформаций периферии колоса в области контакта.Сначала рассматривается односекционное (однодис-ковое) колесо. Невозмущенкое движение его характеризуется следующими параметрами: Ус= 8 = 4'-= 0 , 1Со~ > «¿= «¿¿= шц>Ь, )(= ХЦ , где 1 - радиус качения в свободном' режиме. Деформации и распределенные усилия в направлении ортов 'е,, е^ обозначены

, Л2» А3 ,, 02 , При этом малыми отклонениями в возмущенном движении являются » аго^о» . а передний и задний контактные углы равны сС-оСоЛ-^С^),^

В момент времени Ь , когда угол поворота диска в позиции II равен (рис. I), каждой точке А" , определяемой углом /Ч .отсчитываемым от передней границы области контактами окружности Я диска соответствует вектор деформации периферии . В момент времени .когда угол поворота диска равен (позиция I),точка деформируемой периферии /у.* .которой на диске соответствует А .впервые вступает в контакт с плоскостью ХОУ . При отсутствии проскальзывания точка остается неподвижной на плоскости,пока даек не повернется на угол порядка <?оС0. В позиции П точка А' займет положение А __и,таю1м_рбразом, принимая во внимание находим = где

что позволяет вычислить деформации в контактной области и выраже»-1шя для Хг, Уг , ¿с .удерживая таены с малыш отклонениями в степени не выше первой. В невозмущенном-движении находятся конечные деформации , при чем А,0(0) ггобД-Ц А»

В практически важном случае,когда Ус и 6 также являются ма-лыглп отклонениями,в качестве'таковых удобно ввести

со*0 результате перехода от зависимостей , к специалыга подобранным функциям и (■$), являющимся тагске машми отклонениями,окончательно получаем выраке-1Ия для'деформаций периферии колеса в области контакта

)=ЦГД (у-|м 1 - а2т - и й-/ч) г 9 &),

и

= -& Щ<9)~ и5т -Кьиг (¿„-/М) /9 К [ ССб^Щ-Ш^^О).

§2.3. В результате интегрирования распределенных усилий в кон тактной области колеса о/ +^>(4^-0 записаны интегральные выражения для шести составляющих реакции в области контакта катящегося деформируемого колеса,представляемого также двухсекционной (двухдисковой) и многосекциошюй моделью.

§2.4. Определены все составляющие реакции катящегося колеса, представляемого простейшей моделью с параметрами С/, С5°,/с/а,

(Л^"—ЛС=о), для которого следует Л1(У,0) = =

Диссипация энергии в свободном качении учитывается посредством дополнительно вводимого параметра - момента сопротивления качению в этом режиме Мт . В частном случае при стационарном качении показано, что полученные результат не противоречат известным экспериментальным фактам, относящимся к режимам .качения и вычислению мощности диссипативных сил и установленным в работах Ш.Кулона, Е.А.Чудакова В.И.Кнороза и др.

ГЛАВА 3. ОПРЕЛЩШШЗ СМ В ОБЛАСТИ КОНТАКТА КАТЯЩЕГОСЯ ДЕФОРМИРУЕМОГО КОЛЕСА В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ. ОСНОВНОЙ (I) ВАРИАНТ ТЕОРИИ КАЧЕНИЯ

В этой главе в отличие от §2.4 излагается наиболее общий результат в определении составляющих реакции в области контакта нестационарно катящегося колеса в соответствии с постановкой задачи в §2.1.При этом учитываются восемь параметров модели колеса С', С/ , Сз , К, , ,26 ,Р\ и девятый Мт ,, непосредственно входящий в выракекие в качестве слагаемого.

§3.1. Устанавливаются уравнения,связывающие распределенные усилия и деформации периферии колеса. Деформации Д., ,Д3 не являются малыми отклонениями в связи с присутствием в соответствующих •выражениях конечных членов. Для обеспечения достаточно высокой точности вычислений кинематических параметров при преобразованиях приходится удерживать произведения деформаций и их производных до третьей степени включительно. Далее рассматривается равновесие бес конечно малого элемента периферии однодискового колеса. В результате находим,что углы,которые образует касательная к деформированной нити со срединной плоскостью колеса ( ^ ) и о тангенциальным направлением ( ^ ),а также дополнительное натяжение нити Е равны

е - - >е< + х « /1, fr - (i + Kfixf-xj/3), y2= ( i+x,+xf - Xf/2 -3X, xi /2 +X*) dAa /(Rd(4),

( *'3 + /d(4 )/R , « i-^+d Vs/djU )/R , S .

Имеем также

сдЛг -d[(/l/ -«-styJ/CRdfO, с,У, - c3/V3y,-f ds^Rd(ii)-^О-^/б)/^/R, <U= с,*; -Cyf/2

Здесь Я| и твнгенцйалъные и радиальные деформации нити, а^ п Яч ~ распределенные усилия в направления .касательной и нормали К деформированной нити. Удерживай м&Мй отклонения в первой степени с коэффициентами,содержащим слагаемые с точностью До (¿„вш-чительно, и конечные члены о комйойейяамй порядка не Еыие <£* , з области контакта находим

Чг сЛ dlX,

qз= (с,- C9)U-ih) Л1 + с3Л3 + Nt С {- J/R.

§3.2. Анализируются деформации эа предела}.® области контакта. Цифферекциальнне уравнений для mix следуют из соотношений §3.1,если положить Ц, Предполагается,что деформации достаточно быстро убывают за областью контакта и учитывается нелинейность дифференциальных уравнений. Последние используются только для того,чтобы найти выражения производных деформаций , dA^/djy, dA3/d|4 з неконтактной области периферий на границах с областью контакта, т.е.- в точках /И = 0 и jM . С этой целью разработана специ-зльная процедура,которая основывается на представлений указанных 1ройзводных в виде полиномов, содержащих произведения Деформаций в степени не выше третьей. Подстановка этих зависимостей в дифференциальные уравнения и приравнивание к нулю постоянных перед члена-га, содержащими о4 в степени не вше третьей, дает 10 алгебраических уравнений для коэффициентов,входящих в выражения dA/d^.d^/cfyw. 1ля представления d^/dj^ = F^i используется близкая по смыслу троцедура,которая позволяет найти шесть коэффициентов полиномиаль-

ного описания коэффициента 1г . Таким образом,в результате сложной процедуры на границах неконтактной области деформируемой периферии однодискового колеса получены выражения производных А^/Л/ч , /с(ум, с!А3/с1|ч при |Ч = 0 и (и = Лл .содержащие также и произведения деформаций. Получены■ также и выражлшя первого приближения,в которые деформации входят только в первой степени.

§3.3. Устанавливаются условия сопряжения деформаций и их производных на границах области контакта.Очевидно,что поскольку модель имеет в своем составе нить,то вое деформации на границах в точках (К = 0 и (И оказываются непрерывными,так как иначе

имелись бы разрывы нити.-Рассмотрим вопрос о непрерывности производных при (4 = 0. Из рис. I следует,что в результате поворота диска колеса на угол ¿У отрезок контактной области ^^Гу представляет собою бесконечно малый отрезок нити,до поворота входивший в неконтактную область и теперь, фиксирующий на плоскости ХОУ в салу пренебрежимо малого скольжения деформации неконтактной области вплоть до первых производных в окрестности точки (Ч = 0. Это значит, что в этой точке шпрерцрщ Что касает-оя точки на задней границе области контакта,то в силу невозможности возникновения сосредоточенной силы в направлении вертикали следует признать непрерывной с! /4^ . Приравнивая четыре выражения для указадшых вцща Производных р неконтактной области в соответствии с §3.2 к тем аналогичным значениям,которые следуют' из формул §2.2, получаем четыре уравнения Д4Д нахождения четырех функций рШУ.^т и-постоянных 1 и Й30. Производные

и с1Да/с1|Ч при оказвдартся разрывными и позволяют

вычислить равнодействующую сил трения,действующих в пренебрежимо малой,но существующей задней зоне проскальзывания в области контакта, Таким образом,имеется ррзмовдость по валйздНам компонент атой равнодействующей судить о справедливости предположения о пренебрежимо малом проскальзывании в области контакта.

§3.4. Определяются все шесть составляющих (три силовые и три моментные) обобщенной реакции в области контакта гатящегося деформируемого колеоа,приведенной, к центру С колеса, Эти выражения образуют основной (I) вариант теории качения и получаются в результате вычисления главного вектора и главного момента распределенных усилий 0,,. <13 по формула.'.! §3.1 как- следствие интегрирования по области После перехода к двухсекционноЖдвух-

дисковой) модели в форме двух сблокированных однодисковых колес с величинами ОС равнымии после введения функций %~

=-{-МгА + ^4,-6)3/2, = ^МЯД

находим 2<Са

СУ7 = С^-(Мга^чч-^Е Щ<8-2*ф%т

о 2р[

Р2 т = и 4 4- кй

о

/¿сС0

- Кг ~ ^ с %

£ 0 + Ц1Ц т - М т Я|гг ($),

0 + $сГ5 [бт,

к«, а

Яайдет* также,-что очйиь существенно,- зависимости для всех констант к,, ..&го- й функции восьми параметров модели С/ , с/ , С ^, /У, , Тагам образом,двухсекционная модель и введение функций , ^ * , ^ ,позволили представить теорию ка-

ч'енй'я в форме хштегро-дифферейСдаалйгих: уравнений с запаздыванием в' Наиболее общем К компактном виде с учетом также и ширины области контакта. Из приведенных вине зависимостей следует также аналогия в записях выражений' для боковой и продольной Р( составляющих реакции'. Даны также и друтиб формы уравнений теории качения. Отметим, ч'го процесс качения Сопровождается постоянным вступлением и выходом из контакта йов'цх элементов' периферии колеса, что имеет «которое сходство с проблема.®, возникающими при исследовании трочности растущих тел (см. [4, 5] ).

ГЛАВА 4. РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ КАЧЕНИЯ ДЕФОРМИРУЕМОГО КОЛЕСА И СВЯЗЬ 1ШЩ НИМИ'

Рассматриваются различные теории качения при пренебрежимо ма лом нроскальзывшши в области контакта,вытекающие из основного (I варианта. Построение других вариантов теории,описываемых дцфферен циальнши уравнениями более низкого порядка л вытекан11их из предложенной в этой главе обобщенной теории М.В.Келдыша, осуществляет ся на основе метода, развитого Ю.И.Неймарком и Н.А.Фуфаевш. Проведено сравнение точности этих теорий,опираясь на сравнение частотных характеристик,« установлена связь с известными описаниями поведения нестационарно катящегося колеса с оценкой их точности.

§4.1. По выражениям основного (Т) варианта находятся изображения по Лапласу для шести составляющих обобщенной реакции в области контакта колеса при начальных нулевых условиях. Дано определение кинематической частоты } - 4Зг4оЛ в) И р 1.2 „ , пропорциона ной числу циклов гармонического воздействия, совершившихся за промежуток времени," в точение которого центр колеса проходит путь, равный длине области контакта.

§1.2. Сформулирована теория П, обобщающая теорию М.В.Кедцы-па о учетом всех шести составляющих реакции, шести степеней свободы жесткого диска колеса и ширины области контакта. Описание теории имеет следующий вид:

ски,-ыАу-гц, -гс^о,

з, --- г2[^0к<742к^Азк,)]'1, = V1 2 Ы/Дз^Г1, 5, - г К+к «И*.

Здесь коэффициенты \....., ■ з(,найдены из условия

совпадения изображений по Лапласу составляющих реакции в соответствии с вариантами I и П длл больших и малых значений р

54.3. Дано описание теории Ш, построенной по методу Ю.И.Ней-марка и Н.А.Фуфаева и соответствующей "случаю достаточно больших величин кинематических параметров".

§4.4. Рассмотрена теория 1У, вытекающая в "случае достаточно больших скоростей" по методу Ю.И.Неймарка и Н.А.Фуфаева из уравнений варианта П.

§4.5. Приведены выражения теории У, являющейся синтезом выражений вариантов Ш и 1У.

§4.6. Предложен вариант теории УХ, основанный на разложения в ряд по степеням р изображений для составляющих реакции основного варианта (I) при малых р . Эти разложения рассматриваются как символические записи дифференциальных операторов, описывающих сос-тавлнющие реакции. При этом оператор р обозначает операцию дифференцирования, а 1/р - соответствует постоянной. Другие варианты записи выражении для составляющих реакции в области контакта колеса основываются на одновременном использовании соотношений,соот-. ветствующих описаниям I - У1 в зависимости от того, каким составляющим реакции надо отдать.предпочтение с тонки зрения точности их ■ описания.

§4.7. Рассмотрены частотные характеристики составляющих реакции в функции кинематической частоты в соответствии с передаточными функциями^ Р,(р)/а1(р)=Р,/а|) РУа3,Т\/СЬ, , II /5 , Р3 /а,,

Й,кА\ Й,*/В, Ищ/Ег, /а,, й,/?,-

После перехода.к безразмерным комплексным передаточным Коэффициентам и замены /)= ¡-Р /2 сСв находятся амшщтудночастотнда и фазочас-тотные характеристики в соответствии с первыми пятью вариантами списания механики нестационарно гатящегося колеса. На рис. 2 дан пример построения таких частотных характеристик (в Диссертации приведены 14 пар подобных пар графиков) при некоторых параметрах шины.

§4.В. Установлена связь между полученными результатами и известными теориями качения М,В.Келдыша, Ю.И.Неймарка и Н.А.Фуфаева, В.С.Гоздека', И.Рокара, Ф.Картера,В-ЬсМ^ре , ЛОггиЛагшь $тИц} ,

,Н.Расг^ка. Показано,что в той или иной степени они являются частными случаями предложенного вше описания процесса каче-

Рис. 2 Частотные характеристики в соответствии с комплексным передаточным коэффициентом

Ря(«)/и41«')/к,

(цифры 1,...,5 • обозначают номер варианта теории)

ния (основного варианта I) и обобщенной теории М.В.Кедциаа,развитой в форме варианта П. Наименее точными оказываются теории 1У и У (см. рис. 25 .частным случаем которых являются теории П.Рокара й Ф.Картера,как видал справедливые только при достаточно малых V . Теория П, обобщающая теорию М.В.Келдыша,усредняет характеристики теории I и вполне удовлетворительно описывает нестационарное качение колеса. Промежуточное место по точности между П и 1У занимает теория Ш, из которой, в частности, следует представление составляющей Р, по В.С.Гоздеку в пренебрежении шириной области контакта шины.

ГЛАВА б. ВХОДИВ И ШЯОДИ'Е ПАРАМЕТШ КАТЯЩЕГОСЯ ДЕЭД'РМИРУЕМОГО КОЛЁСА

Описаны алгоритм и программа вычисления всех коэффициентов (констант) .присутствующих в выраяетшх теорий качйния,рассмотренных в главах 2-4. Эти коэффициенты,наз'ыйаемые выходными парамзтра-ми программы,определяются с использованием минимально необходимого числа экспериментально' устанавливаемых входных параметров колеса с шиной.

§5.1. Рассматриваются йарадеетры катящегося- деформируемого колеса и его модели. В выражения теории качеш!я для составляющих реакции в области контакта входят ряд коэффициентов (констант) или параметров,зависящих от конструкции конкретной шины и давления в ней. Например, в уравиегош' основного Варианта X входят' зависящие от параметров модели колеса 23' константы',через которые выражаются коэффициенты остальных П-У1 вариантов описания механики взаимодей-

ствия колеса с шиной с опорной плоскостью. Экспериментальное определение упомянутых констант требует создания сложных специализированных стендов и дорожных испытаний,что в настоящее, время в полном объеме трудно осуществимо. Модельный подход,принятый за основу в диссертации, предоставляет уникальную возможность существенно уменьшить число входных или базовых параметров ш»ш,устанавливаемых из опыта или расчетным путем, о целью определения констант теории качения, Двухсекционная модель деформируемого колеса характеризуется восьмью параметрами с,' , Ci , , N1, R ,2.Q.L2cCh,2i> и девятым Мт - моментом сопротивления качению в свободном режиме, который непосредственно входит в определяющие уравнения теории. Через указанные восемь параметров модели выраваются с помощью нелинейных соотношений следующие параметры стационарного качения колеса и его статические жесткости: Сх , Су , Cs - продольная,боковая и угловая несткости, -кк, iiy - коэффициенты сопротиалешш продольному и боковому псевдоскольжениям, Р3 - нагрузка при заданных К и 2<Х(2сО . Приравнивая последние восемь параметров к аналогичным, определенным опытным путем и называемым базовыми или входными, находим параметры модели С° ■, , С\ , /У,°, , по которым вычисляются константы, входящие в теории I -71, что и решает поставленную проблему. Таким образом, параметры модели С° , С! , С, , Л/,, R ,2й ,Z$> являются всего лишь некоторыми приведенными величинами, которые сами по себе не представляют интереса и предназначены только для того .чтобы установить константы нестационарного качешщ (вдаодные параметры) по базовым (входным) параметрам конкретной шины.

§5.2. Дан приближенный способ определения выходных параметров гатящегося колеса. Связь меяду восьмью параметрами модели и восьмью зходными параметрами колеса с конкретной шиной описывается сложной зистемой нелинейных уравнений. Решение поставленной задачи осущест-зляется методом последовательных приближений на ЭВМ, важным эле-гентом которого является правильный выбор первого приближения,"которое. рассмотрено в этом параграфе и приводит к решению 16 нели-гейных уравнений с 16 неизвестными.

§5.3. Приводится еще один способ определения параметров нестационарно катящегося колеса,основанный на более простой математической обработке модели с учетом линейных дифференциальных'уравнений :ервого приб.ашения,описывающих деформации в неконтактной области :ериферии колеса. Программа вычислений при этом оказывается на-

столько простой (96 команд) ,что помещается далее в памяти микрокалькулятора БЭ-34. Дшш простые формулы для вычисления ряда кинематических коэффициентов, входящих в обобщенную теорию М.Б.Келдыша.

§5.4. Описана программа ЭДЮ2 на Фортране по определению всех параметров нестационарного качения колеса с шиной к,,..., к20, г, & , ^.•••»к • ¿со» ii.---.is . 6 на базе восьми

экспериментальных входных параметров шины Сх , (с,, Су , ку, Р3 ,2а , Св | Т? в уточненной постановке с использованием нелинейных соотношений,приведенных в главах 2, 3. Программа, содержащая порядка 570 строк, состоит из- головной программы РП102 и двух подпрог-раг.пл Т'АЯи Р(т. Подпрограмма РАК по параметрам модели вычисляет константы, среди которых и параметры С* , , Су , ку, Р, , Св , Головная программа, сравнивая эти значения с опытными входными параметрами шины с помощью подпрограммы Р& , б заданной, точностью реализует метод•последовательных приближений,позволяющий решить поставленную задачу. Предусмотрены остановы и соответствующие сообщения оператору в случае явно несовместимых опытных данных. Дан расчет параметров шина 9,5-20 мод. ВЗ-222 при давлении 0,15 МПа. Отметим, что в последнее время автором разработана методика расчета констант теории нестационарного качения на основе более сложной модели колеса,учитывающей также и сдвиговую жесткость Периферии колеса (см. программу ТО 1020 [581).

ГЛАВА 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ С'ОСТАНМВДХ РЕАКЦИИ КОЛЁСА, КАТЯЩЕГОСЯ С ШЮСЖАЛЬЗЫВАНЙЁМ В ОБЛАСТИ КОНТАКТА В этой главе Дано феноменологическое описание нестационарюго качения с учетом проскальзывания в области контакта и возможных произвольннх движений колеса по опорной плоскости. Указанное описание базируется на обобщенной теории М.В.Келдыша и предварительном изучении частных видов стационарного движения колеса,принимая во вниматю различные представления его периферии (модельный под^ ход), зонк скольженгя (до двух) и анизотропию трения в контакте колеса с опорной поверхностью. -

§6.1. На основе модельного подхода рассматривается стационарное боковое движение катящегося колеса,т.е. при постоянных силах ,.'' действующих на него и неизменном боковом псевдоскольженни (угле увода). Дана постановка задачи и' изучен случай качения колеса с простейшей деформируемой периферией в виде Набора пружин (стержней) о жесткостями на единицу длины экваториальной окружности С2 ,

СЪ{М2-0) при наличии задней зоны скольжения в области контакта.

§6.2. В отличие от §6.1 исследовано стационарное боковое движение колеса с деформируемой периферией более слолргой конструкции с параметрами , С3,/!4 ,т.е. включающей также и окружную нить. Утштываются две зоны скольжения - передняя и задняя. Рассмотрены условия сопряжения деформаций на границах этих зон с зоной сцепления. Показано,что на границе передней зоны деформации непрерывны вплоть до второй производной,а задней - до первой.Получены выражения для боковой силы,стабилизирующего момента,длин передней и задней зон скольжения в функции от угла увода.С использованием ЭВМ построено семейство безразмерных зависимостей для них.Определен также максимальный угол увода £гта,,при котором возможно еще качение.

§6.3. Рассмотрена еще более сложная модель деформируемой периферии колеса при боковом стационарном движении,которая учитывает жесткости каркаса шины С'г и С3 .натяжение брекерного пояса и боковую жесткость протектора . Получено условие,при котором существует передняя зона скольжениями с .использованием ЭВМ в безразмерных величинах определены те же факторы в функции угла увода, что и рассмотренные ранее в §6.2 для более простой модели колеса.

§6,4. Анализируется стационарное качение при постоянном продольном псевдоскольяении под действием постоянных сил.действующих только в срединной плоскости колеса. Используется аналогия в записи выражений для продольной Р, и боковой сил,которая с допустимой погрешностью распространяется на случай качения колоса с проскальзыванием в области контакта при РА = 0. В результате зависимости,приведенные в §6.1~§6.3 для (£,) ,по аналогии переносятся на зависимости (£,) с учетом различных моделей деформируемой периферии.Справедливость такого подхода подтверждается,например .совпадением по структуре соотношения,вытекающего для мощности дисспативних сил,с тем,которое приведено в работах В.П.Горячкина.

§6.5. Рассматривается стационарное качение колеса с учетом одновременного действия продольной и боковой составляющих реакции и анизотропии трения в области контакта.Жесткостные свойства периферии характеризуются величинами С1 , С2 , Находятся компоненты скорости точек периферии в контактной области. В зонах сцепления эти компоненты приравниваются к нулю. В зоне скольжения относительные скорости точек определяют направление распределенных сил трения скольжения,которые также зависят от распределенных

вертикальных усилий и коэффициенты трения скольжения .Последний изменяется по эллиптическому закону в зависимости от направления относительной скорости скольжения. Интегрируя распределенные усилия в контактной области с применением числешшх методов решения на ЭВЛ системы нелинейных дифференциальных уравнений, находятся безразмерные величины продольной и боковой составляющих реакции, а также стабилизирующего момента. Приведены графики семейства этих безразмерных величин. Показано,что вектор безразмерного псевдоскольжения в общем случае не совпадает с вектором безразмерной составляющей реакции,действующей в опорной плоскости. Из-за различных направлений скоростей то«ек периферии в области контакта в общем случае максимальное значение упомянутой составляющей реакции несколько меньше обычно определяемой по сцеплешш.Числешше результаты,полученные для безразмерных величин после введения полярных координат ро, Уо • приближенно представляются в специальной форме,один из вариантов которой входит как компонент в уравнения параграфа §6.7.

§6.6. Предложена феноменологическая теория нестационарного' каления с учетом частичных скольжений в области контакта. За основу при этом берется теория П(см.§4.2).обобщающая теорию И.В.Келдыша,в которой постоянные коэффициенты заменяются функциями У, , 4'. .подобранными таким образом,чтобы при малых силах и пренебрежимо малых скольжениях и нестационарном качении предложенное описшше переходило в уравнения теории П,а при больших силах и стационарном качешш следовали результаты §6.1—§6.5 или экспериментальные аналогичные соотношения.При этом - | Р, ^ Дк> |

(КЪШ » где зависимости от аргументов , % получены при стационарном качении.

§6.7. Разработана наиболее полная феноменологическая теория, обобщающая теорию М.В,Келдыша с учетом частичного проскальзывания, (т.е. в условиях существования по крайней мере одной непроскальзы-вакяцей точки в области контакта) и принимая во внимание в отличие от §6.6 произвольные перемещешщ-колеса по опорной плоскости. Основываясь на публикации Ю.И.Неймарка и Н.АЛ>уфаева,где используется квазикоордината,связанная с боковым движением колеса,в диссертации введены две квазикоординаты И* я 11 £ ( И? связана с продольным движением) и величины В* и £* .пропорциональные квазйскорос-тям й* и И*.Уравнения,описывающие механику нестационарно катящегося колеса, в этом случае имеют вид:

^co-ie/iJ-frV-i««io, M,=

/¿д -Яго,

£*- dö,/ftd<5)=tf,\ ddi/ftdlffMA +53u,3,

% - de,

t* - cwö d Vc/^) + yftö dyc /fzdy) -i - V dfl/dtf,

£* =-MnQdXc/«d(?H «Aß dYcMd^+^dVAM^X f*/Чи [i - (4-ft V4 Oft |Ц VTkjÜI), h -Ukhzt 1 - H ] sin tfV( К Ш),

Q. = l, , m«, x= Wü™,

Рассмотрены также более проотие варианты описания качения на снове предложенных Ю.И.Неймарком и Н.А.Фуфаевым способов пониже-ия порядка дифференциальных уравнений теории качения.

ГЛАВА 7. ЭКСПБЕЫЕЬТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК КАТЯЩЕГОСЯ КОЛЕСА Описаны результаты экспериментальной работы по проверке тео-ий нестационарного качения,предложенных в главах 2-6. Методика ксперимента и его результаты связаны с тремя стендами. Запроекти-овшпшй в I968-I97I гг. стенд I' ([15, 20}) позволил получить в 973 г. частотные характеристики боковой реакции шины. В 1979 г. а стенде Ш,защищенном авторским свидетельством [48] и разработан-ом в 1977-1978 гг..впервые найдены экспериментальные частотные арактеристики продольной реакции шины. Материалы по универсально-у стенду П для комплексных испытаний тракторных шин,защищенному вторскимл свидетельствами [49, 50] и спроектированному в 1975976 гг..позволяют пояснить основные идеи эксперимента.

§7.1. Рассмотрены особенности метода .экспериментального опре-еления частотных характеристик составляющих реакции в области кон-

такта катящегося колеса с шиной. На примере бокового воздействия, при котором вместе с равномерным и прямолинейным движением срединной плоскости колеса сообщается перемещение в боковом направлении по закону и.г-Ыго ¿¡л (№/2оСа), показано как находятся частотные характеристики | Т^ДО1)/^^)! и агд^а^/и/Ш. При этом кинематическая частота V=4^0- /СVТь") изменяется за счет варьирования скорости движения V при фиксированном и достаточно большом периоде воздействия Те , а в боковом направлении перемещается не колесо, но опорная поверхность,что уменьшает силы инернии,вносящие погрешность в систему измерений. Описан один из возможных и,по-видимому, наиболее универсальных вариантов принципиальной схемы экспе~ риментального стенда П для снятия стационарных и частотных характеристик шести составляющих реакции в области контакта омни. Приведены детали конструкций, схемы измерений и возможные погрешности.

§7.2. Описаны эксперименты,установка и способ определения частотной характеристики Продольной составляющей реакции колеса с шиной. Стенд Ш имеет плоскую опорную поверхность в виде подвижного стола,перемещающегося по периодическому закону,при этом автоматически синхронизированы осцилляционное воздействие,привод стола и перемещение оси колеса при одном приводе. Достоинством является •также и очень малая мощность привода благодаря замыканию силовых факторов в области подвижной опорной- плоскости и реек. На рис. За точкалш отмечены опытные данные (шина 205x56 мод. Л-155).полученные впервые для частотной характеристики продольной составляющей реакции, и показаны результаты обработки этих данных по теориям I - 1У. Основной вариант I наиболее близок к опытнш дашим,полученным при малом возмущении 0,33 мм) и малых зонах скольжения в контакте. Наблюдаемые экстремумы в областях "с", "с£", "е" характерны только для теории I. Показано,что экспериментальные частотные характеристики при значительных зонах скольжения удовлетворительно согласуются с вытекающими из обобщенной теории М.В. Келдыша в §5.7,что и подтверждает последнюю. Опыты обнаруживают объясняемое несовпадением коэффициентов трения покоя я скольжения заметное различие меЗДу статической и "эффективной" жесткостью шины,устанавливаемой при самых малых скоростях качения. С помощью программы т"чл ЭВМ продемонстрирована возможность возникновения принципиальной ошибки при обработке опытных данных,полученных при больших воздействиях, по линейной теории.

Экспериментальные аишштудно--частотные характеристика а) продольной и блоковой сил

Ряс.З-

100

и

4

о

1 У2Г 2.

о 0^5 угк {У»«

§7.3, Кратко изложен результат опытного определения частотных характеристик при боковом возмущении для шины 5,0-10 мод. В-199 на стенде I (см. рис. 36). Измерения для этой и других с/х шин проведены в 1973 г. независимо от работы К.(1972 г.) и удовлетворительно подтверждают теорию I. Экспериментально подтверждена-и аналогия в описании продольной й боковой составляющих реакции шины.

ГЛАВА 8. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ КАЧЕНИЯ ДООШ1РУЕДОГО,. КОЛЕСА К ИССЛЕДОВАНИЮ ДИНАМИКИ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ

В этой главе основные положения механики нестационарно катящегося деформируемого колеса,разработанные в предыдущих главах, применяются к динамике колесных систем (см. такхе § П.1, § П.2 Приложения).

§8.1. Рассматриваются частотные характеристики простейших систем,среди которых подвеска о податливостью и гармоническими возмущениями в направлении движения и 'трансмиссия с гармонической (флуктуацией момента дпигателя.Показано.что более точные теории качения в сравнении с упрощенными позволяют выявить высокие резонансные частоты и существешше количественные отличия в частотных характеристиках .

§8.2. Исследуется динамика самоориентирующегося колеса с использованием простейшей модели его периферии,теории I и в пренебрежении шириной области контакта. При наличии нелинейного демпфирования с применением гармонической линеаризации на ЭВМ получены зависимости для амплитуды и частоты автоколебаний системы при мягком режиме их возбуждения. При отсутствии демпфера границы самых больших областей устойчивости движения в плоскости параметров

[МУУСбсЛ^ и ^ » 1/а. ( ( - момент инерции системы, С - вынос колеса назад) качественно согласуются с тем,что следует из теории М.В.Келдыша. Однако в отличие от последней дополнительно наблюдается также множество перемежающихся областей устойчивости и неустойчивости при сравнительно небольших' величинах 1 . Таким образом, уточненный подход позволяет обнаружить новые эффекты.

§8.3. В отличие от §8.2 рассматриваются малые колебания самоориентирующегося колеса с учетом ширины области контакта и на основе развитой обобщенной теории М.В.Келдыша. Найдены границы областей устойчивости в плоскости параметров I и . С использованием ЭВМ показано,что учет ширины области контакта колеса с шиной существенно влияет на результаты расчета вместе с другим параметрами.

§8.4. Предложена методика расчета колебаний управляемых колес трактора "Беларусь" Ш'Э с целью выявления областей параметров системы (их всего 33), в которых возможно возникновение колебаний со значительной амплитудой. Система управляемых колес имеет шесть сте пеней свободы и ее положение определяется- поворотом колесной оси вокруг оси,образующей угол Рз с горизонтальной продольной осью рамы, поворотами левого и правого колес вокруг осей их вращения, общим поворотом колес вокруг вертикали б ,а также смещениями левой и правой поворотных цапф из-за податлиЕости подвески. Процесс колебаний моделируется на ЭВМ с помощью программы на Фортране и основывается на численном решеш(й 24 дифференциальных уравнений первого порядка,из которых 12 описывают поведение колеса по теории П. При этом предполагается,что р рулевом приводе имеется зазор,а ко, лесом сообщается возмущение 6, .Определено время затухания колебаний Т^ ,в течение которого амплитуда уменьшается в е раз,в зависимости от параметров системы и шины {р6 ,жесткости подвескй,скорости. движения,ширины колеи.размеров поворотной цапфы и т.д.) и найдены границы значений параметров,при которых колебания становятся незатухающими. Это позволяет на стадии проектирования выбирать параметры системы так,чтобы колебания колес трактора достаточно быстро затухали. Известные опытные данные находятся в удовлетворительном согласии с расчетом.

§8.5. Пана методика определения продольной реакций на ведущих колесах трактора- "Беларусь" МТЗ в момент трогания с места и расчета силовшс к кинематических параметров главной муфты оцепле-

ния с учетом сухогс трения.заданного закона ее включения во времени и нелинейной характеристики двигателя.В связи с тем,что продольная сила близка к предельной по сцеплению,используется обобщенная ' теория М.В.Келдыша с учетом частичного скольжения в области контакта шины (см.§6.7). В результате расчета на ЭВМ динамической системы двигатель-трансмиссия-колеса (7 дифференциальных уравнений, 23 параметра) получены безразмерные зависимости для продольной си- '. ли,угловых скоростей вращения ведущей и ведомой полумуфт,скорости движения трактора и момента,передаваемого муфтой сцепления (последний хорошо согласуется с известны?,ш опытными данными) .Продольное усилие на ведущих колесах оказывается значительным,превосходя вдвое его значение в установившемся режиме движения. Результат«,описанные в §8.4 и §8.5,внедрены в практику конструкторских расчетов ходовой системы и трансмиссии и используются при проектировании на МТЗ энергонасыщенных перспективных моделей трактора "Беларусь".

. ПРИЛОЖЕНИЕ

§ПЛ. Изложена методика расчета колебаний самоориёнтирующихся колес полуприцепа МАЗ. Динамическая система имеет пять степеней свободы и с учетом сил сухого трения в шкворнях описывается 22 дифференциальными уравнениями первого порядка,включая и уравнения теории П. Методика реализована в виде программы на Фортране для ЭВМ. В зависимости от величины начального.возмущения.момента сухого тре-кия,скорости движения,выноса колеса назад и в боковом направлении, коэффициента вязкого демпфирования и .других параметров (их всего 38)находится огибающая амплитуд угловых колебаний и их период,которые удовлетворительно согласуются с .опытом. Из-за наличия сухого грения выявлен также неустойчивый предельный цикл.В результате анализа многочисленных расчетов на ЭВМ при тех параметрах системы,которым соответствуют наиболее опасные случаи движения,был выбран зптнмальный демпфер,обеспечивающий устранение незатухающих колеба-И1й колес оси полуприцепа МАЗ при различных скоростях движения автопоезда, что и было использовано на МАЗе для доводи! большегрузных юлуприцепов МАЗ-93-89.

§П.2. Рассмотрено взаимодействие катящегося деформируемого тракторного колеса с почвогрунтовнм основанием при малых продоль-шх силах по условию сохранения структуры и плодородия почвы. Модельный подход,предложенный в главе 2 в развитие идеи А.Ю.Ищлин-жого с учетом механических характеристик многократного нагруже-

ния-разгрузки почвогрунта,установленных в работах М.Беккера,распространяется на. описание качения деформируемого колеса по деформируемому основанию.Модель основания включает непрерывный набор обладающих массой частиц,соединенных в вертикальном направлении с упругими элементами.опирающимися на дополнительные элементы,находящиеся в условиях сухого трения,зависящего от перемещения последних. В состав модели входят и вязкие элементы,а в горизонтальном направлении частицы основания также связаны с деформируемыми элементами.С использованием ЭВМ и программы на Фортране дана методика определения тяговой характеристики.динамического радиуса колеса с шиной,момента на валу колеса,момента сопротивления движению,продольной силы,величин контактных давлений и деформаций почвы,приращения глубины колеи при каждом проходе колеса по следу в зависи- . мости от скорости движения,радиуса качения,нагрузки на колесо и параметров шины и почвогрунта. Расчет взаимодействия с почвой шин 11,2-20 мод.Ф-35, а также 15.5РЭ8 мод.Ф-20, 9,00-20 мод.ВФ223 позволил дать рекомендации по доработке этих шин и их применению для серийной комплектации тракторов "Беларусь" МТЗ.

§П.З.содержит сведения о внедрении и экономическом эффекте результатов работ,представленных в диссертации и выполненных по хозяйственным договорам и договорам о сотрудничестве с МТЗ(Минск), МАЗ(Минск), НШКП1К Днепропетровск), ШШШ(Москва), а также о внедрении в учебный процесс кафедры "Тракторы" БПИ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

I." Разработала наиболее полная теорш нестационарно катящегося деформируемого колеса с учетом шести степеней свободы его жесткого. диска' и шести составляющих обобщешюй рэакции в протяженной области контакта с опорной плоскостью.Уравнениям с запаздыванием, во многом аналогичным по структуре и найдетшт из рассмотрения механизма взаимодействия периферии колеса с опорной плоскостью,опираясь на законы классической механики,с учетом больших деформаций и без привлечения гипотез .характерных для. феноменологического подхода,придана компактная форма в результате также введетт трех функций псевдоскольжения. 2.На основе'метода Ю.И.Неймарка и Н.А. Фуфаева получена последовательная система описаний нестационарного качения в виде уравнений более низкого порядка. 3.Оценена точность этих и'известных теорий и лежащих в их основе гипотез (феноменологического подхода. 4.Предложены различные формы обобщения

теории M.B.Келдыша с учетом шести составляющих реакции,частичного проскальзывания,анизотропии трения в области контакта и возможности любых движений колеса по опорной плоскости.Синтезу модельного и феноменологического подходов при нестационарном качении предшествует выявление с использовшшем ЭВМ закономерностей стационарного качения с проскальзыванием в одной или двух зонах области контакта для различных моделей периферии. 5.С Применением ЭВМ предложен метод определения констант теории нестационарного качения через минимальный набор экспериментально устанавливаемых параметров ши-нн. 6.Разработана методика и соответствующие стенды для экспериментальной проверки теории с использованием ЭВМ и частотных характеристик в функции введенной Кинематической частоты и прежде всего для продольной составляющей реакции с учетом частичного проскальзывания таете.Теория удовлетворительно подтверждается опытом.

7.Решены сложные проблемные задачи динамики колесных систем.Разработаны мзтоды расчета на ЭВМ а)колебаний управляемых колес трактора МТЗ с учетом многих параметров системы,для которых найдены критические значения,соответствующие незатухающим колебаниям;б)ди-намики трактора МТЗ в момент трогания с учетом нелинейной теории качения,н линейной характеристики двигателя,сухого трешщ ь муфте сцепления и других факторов; в)колебшгаЙ еамоориентирующнхся колес полуприцепа ГЛАВ с определением необходимого демпфпровштя,устраняющего нежелательные колебания,и влияния параметров системы на ее динамику. Решен« также и другие оадачя.в том числе и автоколебаний колес. Показано,что учет ширины области контакта существенно влияет на дина,гаку системы. В,Дано более полное описание механизма качения колеса с шиной по упругозязкоплаотическому основанию. При этои о использованием механических характеристик на-гружения - разгрузки почвогрунта на ЭШ получены тяговые характеристики конкретных колесных двигателей,приращение глубины колеи после каждого прохода колеса,контактные давления,момент сопротив-лешш качению и др. Э.разрабдтадние комплексы прогршд»,экспериментальные стенды, защищенные авторскими свидетельства!®, и методы расчета внедрены в промышленности и в учебном процессе.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Левин М.А.,ФуФаев H.A. Теория качения деформируемого колеса. - М. гНаукаДЭВЭГ- 272 0.

2. Левин М.А. Поедсталзление анизотропного тела в виде регулярной стержневой модели// ДАН БССР,1905,т.8,Л 12*0. 772-775.

3. Левин М.А. Построение дискретной модели анизотропного тела в виде регулярной стержневой системы/Жрименение ЭВМ в строительной механике.- Киев:Наукова думка,I968-C. 74-79.

4. Левин .U.A. Напряжения и деформации в растущих телах// ДАН БССР, 1967 ,т.II,là ЗтС. 222-225.

5. Левин U.A. Определите напряжений в затвердевающей отливке //Прикладная механика,1969,К 9-:С. 76-82.

6. Левин М.А. Определение боковой силы увода и момента,действующих на колесо автомобиля со стороны дороги/Дезисы докл. научно-техн. конф. молодых учета Белоруссии.- Минск:БГИ,1969тС. 4-6.

7. Левин U.A. К вопросу о шимми переднего колеса трехколесного шасси на основе теории увода,приводящей к разностным уравнениям// Тезисы докл. конф. по колебаниям механ. систем.- Киев: Наукова думка,197ЬС. 56-57.

8. Левин U.A. Зависимость тангешшалыгоИ реакции от псевдоскольжения при качении упругого колеса//ДАН БССР,I97I,t.I5,Jc5-C.414-416.

9. Левин М.А. Определение параметров стационарного и нестационарного увода колеса/Аи У1 Всесоюзные научно-техн.семинары "Опыт работы по улучшению устойчивости и управляемости автомобиля",18-20 ноября 1969, 27-29 октября 1970.Тезисы докл.-М.-НАШ, I972-.C.IÔ-20.

10. Левин М.А. О реакциях связей упругого колеса при качении // ДАН БССР,1972,т.16,й 5-С. 414-417.

ZI. Левин U.A. Стационарные и амплитудно-фазо-частотные характеристики для колеса с пневматической шиной//Механизация лесоразработок и транспорт леса.-Мииск:Вышэйш..шк. Д&72,вып.2-.С. 96-104.

12. Левин М.А. Исследование нестационарного увода шины с учетом жесткости протектора// Изв. АН БССР,физ.-техн. серия,1973,)й.-С.

13. Левин М.А. Некоторые результаты исследования реакций связи деформируемого колеса// Теopeт. и прикладн. механика:(тематический сборник) ,Минск:ШИ,1973тС. 3-17.

14. Левин М.А. Характеристики установившегося увода депортируемого колеса// Там же. - С. 18-26.

15. Левин М.А.,Гурвич Ю.А. Экспериментальная установка для получения характе^истик^нестационарного увода деформируемого колеса

16. Левин М.А, Определите реакций связи катящегося деФошируе-мого колеса //Институт проблем мехшшки. Семинары.-Изв. All СССР, ЫТТ,1974,№ 4,С. 184.

17. Левин М.А. Поююшше порядка зависимостей для реакций связей катящегося деформируемого колеса// ДАН БССР,1974,т.18,AS .-С. 516-519.

18. Левин М.А. О нелинейных колебаниях в системе с дефор,тируемым колесом// Проблемы нелинейных колебаний механических систем. Тезисы докл. конф. - Киев.-Наукова думка,1974тС. II4-II5.

19. Левин М.А. К вопросу о понижении порядка выражеш1й, описывающих реакции связи катящегося деформируемого колеса// Теоретич. и прикл. механика. - Минск:Вышэйш.ик. ,1975',выл.2-С. 146-166.

20. Левин М.А»,Гурвич Ю.А. Экспериментальное определение характеристик пневматика при боковых гармонических воздействиях/Дам же. - С. 166-172.

21. Семинар по качению эластичного колеса// Автомобильная промышленность,1976,43-44.

22. Левин М.А..Солонский А.С..Мататова А.П. Приложение теории качения деформируемого колеса к исследованию донашки разгона трак-тора/Деорет.и прикл.механика.-Минск:Выш.шк. ,1976,вып.З^С. 146-156.

23. Левин М.А. .Гурвич Ю.А. Об экспериментальном определении фа-зо-частотных характеристик боковой составляющей реакции связи в функции кинематической частоты// Там же. - С. 140-146.

24. Левин М.А, Определение реакций связей катящегося деформируемого колеса// Изв. АН СССР,МТТ,197775-86.

25. Применение теории качения деформируемого колеса к исследо-1нию колебаний управляемых колес трактора/ М.А.Левин,В.В

ф vi а тч.^пт. .г / / ..„„г,™..,, м

А.Т.Скойбеда.Ю.А.Гурвич// Теоретич. и прикл. механика.- Минск: Вы-с. ,197?,ВШ1.4^С. 56-67.

текшего деформируемого колеса// Теоре~тич. и*прикл.механика.-Минск: ВишэЙш.ик.,1981,вш1.8тС.---^

26. Левин М.А. Безразмерные частотные характеристики реакций связи катящегося деформируемого колеса в соответствии с различными вариантами теории качения// Тал же. - С. 67-70.

27. Левин М.А. Определение коэффициентов в теории качешш Деформируемого колеса/лГеоретпч. и лрикл.механика.-$:шск:Вышэйш.шк., 1978. вып. 5-.С. 78-82.

28.. О качении эластичного колеса (по материалам (ЩИ)// Автомобильная промышленность,1978,45-47.

29. Левин М.А. Определение кинематических коэффициентов в теории качения// Теоретич. и прикл. механика.-Минск:Вышэйш.шк.,1979, вып.б^С. 53-63.

30. Баршай 0.С.,Левин М.А. Нестационарное движение гибкой нити, взаимодействующей со шкивом// Там же. - С. 63-71.

31. Левин М.А..Выгонный А.Г. К исследованию динамики катящегося самоустанавливающегося колеса// Теоретич. и прикл. механика. -Минск:Вшэйш.шк.,1980,вып.7тС. 21-24.

32. Левин М.А. К определению реакции опорной поверхности прос-элеса//

31-38.

33. Левин М.А. Экспериментальное определение частотных характеристик продольной реакции катящегося деформируемого колеса/Дам же.-С. 38-47.

34. Левин М.А. Развитие и приложение теории качения к динамике систем с деформируемым колесом// Теоретич. и прикл.механика.-Минск:Вышэпш.шк. ,1982 ,внп. ЭтС. 95-105.

35. Левин М.А. Исследование качения с проскальзыванием в области контакта с учетом анизотропии трения// Теоретич. и прикл.меха-ника.-Минск-.Вышэйш.шк. ,1983,вып.10тС. 89-96.

36. Левин М.А. Качение деформируемого колеса по грунтовому основанию и твердой опорной поверхности// Взаимодействие ходовых систем с почвогрунтом. Тезисы докл.республ.конф.,г.Минск,6-9 декабря 1983.-Шшск:БИМСХ, 1983-С. 37-39.

37. Левин М.А.,Бойков В.П. Исследование стационарного качения деформируемого колеса по деформируемому основанию// Теоретич. и прикл.механика.-Минск:Вышойш.шк.,1984,выл. П-С. 70-75.

38. Коэффициент сопротивления стабилизаторов самоустанавливаю-

щихся колес автопоездов/ А.Г.Выгонный,М.А.Левин,Л.И.Кадолко,А.И. Хаткевяч// Автомобильная промышленность,198417-19.

39. Левин М.А. Теория нестационарного качешш деформируемого колеса с учетом больших сил в области контакта// Теоротич.и пршсл. механика.-Минск:Вышэйш.шк. ,1985,вш.12-С. 98-105.

40. Левин U.A. Исследование устойчивости движения системы с качением в зависимости от ширины области контакта деформируемого колеса с опорной поверхностью// Теоретич. и прикя. механика.-Минск: Вышэйш.шк.,1986,вып.104-108.

41. Левин М.А. .Фуфаев H.A. О теории качения.// Динамшса систем.-Горький :ГО',1986-.С. 119-143.

42. Бойков В.II.,Левин М.А. Определение некоторых показателей взаимодействия колесного движителя трактора с почвогрунтом// Тракторы и сельхозпашны,198б,Л6^С. 6-Ю.

43. ЕоЙков В.П. .Левин 1,1.Л, Взаимодействие »ластичного колесного движителя с основанием,характеризующимся унруговязкоплаотическиш свойства!.'in// Конструирование и эксплуатация автомобилей и тракто-ров.-Мшгск:Вншэйш.шк. ,1986, вып. I-.C. 46-50.

44. Левше U.A. Моделирование радиальной шины с целью определения параметров важных в дпнашко автомобиля и трактора// Научно--техн. кенф. IloBiraemie эффективности проектирования и испыташш автомобилей. Тезисы дом.и сообщешйи-Горький:ГПИ,1987-.С. 103-104.

45. Левин М.А. Определите констант теории качения на основе модельного подхода и базовых параметюов деформируемого колеса/Де-оретич. и прши.мехшгагл.-ШшскгВышэйш.шк. ,1987,вып. 14тС. 3-10.

46. Левин М.А..Выгонный А.Г. Колебания самоорйентирующихся колес полуприцепа МАЗ с учетом сухого трения в подвгатшках шворневого устройства// Нелинейные колебания механических систем.Тезисы докл. Всесоюзной копф.,сент.1987,часть 2.-Горький:1987-С. 5-6.

47. Левин М.А. Моделпровште колеса с шиной с учетом параметров ее конструкции примеш1тельно к динамике систем с качением// Теоре-тич. и прикл.мехшгака.Д!инск:В>шэйш.1дк.,1988,вып.I5-;C. 9-16.

48. A.c. 875240(СССР). Стенд для испытания колес и способ испытания колес на стендел1.А.Левпн,В.П.БоПков//Б.И. ,1981,1539.

49. A.c. 821998(СССР). Устройство для измерения сил и моментов в пятне контакта пневматической типы с опорной поверхностью/ц.А. Амельченко,В.11-.Бойков,В.В.Гуськов,М.Л.Левин .О.И.МолоДан,Л.I.I.Евг-левская//Б.И. .1981

50. A.c. 954844(СССР). Стенд для испытания Колес под нагрузкой/ II .А .Амельченко ,В .П .Бойков,В.В.Гуськов ,1Л. А .Левин ,0 .И.Молодан//Б.И., 1982,1ё32.

51. A.c. 1497480(СССР). Способ определения углов увода передней и эвдяей осей колесного транспортного средства/В.П.Бойков, М.А.Левин//F.И.,i 689,Я2Ь.

52. Левин М.А. Влияние трения покоя и скольжения на качение деформируемого колеса// Методические материалы по вопросам преподавания теоретической'механики в высшей школе.-Минск,БТЙ,1986чС.93-103.

53. Левин М.А. Новая теория бокового увода колеса,приводящая к интегрально-разностным или дифференциально-разностным уравнениям j-f^pl-g3^ те°Ре,г- 11 прикл. механики; 25 конф. HD1.-Минск:

54. Левин М.А, Нестационарный увод колеса с учетом проскальзывания в области контакта// Материалы секции теорет. и приел.механики; 26 конф. БЛИ.-Минск:НШД970;0. 73-80.

55. Левин H.A. Примеры определения условий сшлогозбудцения автоколебаний в системах с деформируемым колесом// Там же.-С. 00-Q6.

56. Левин М.А. Теория двинешш деформируемого колеса при отсутствии увода// Там же.- С. 86-88.

5?. Лоеин М.А. 0пг,зделеш1е параметров нестационарного качения шины и их использование в динамике колесной системы при критическом режиме движения// Первая Всесоюзная конф. "Проблемы шин а рзон-нокордннх композитов"17-19 окт. IS89.-М:НШШ,168970. 11-16.

ЛЕВИН ИоисеП Аронович

МЕХАНИКА НЕСТАЦИОНАРНО КАТЯЩЕГОСЯ ДЕФОРМИРУЕМОГО КОЛЕСА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЕ К ДИНАМИКЕ КОЛЕСНЫХ СИСТЕМ

01.02.06 - Динамика, прочность машин,

приборов и аппаратуры Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук Корректор М.П. Антонова. Подписано в печать 30.01.90 AT 04534.

Формат 60x84^/16. Бумага тип. № 2. Офсетная печать. сл.печ.л.2,1. Уч.-изд.л.1,6. Тир.100. Заи.235. Бесплатно.

Белорусский ордена Трудового Красного Знамени политехнический институт.

тпечатано на ротапринте ЕПИ. 220027, [Линек, Ленинский пр. ,65.