Динамика качения колес в рамках моделей систем с бесконечным числом степеней свободы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ, ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи

Дворников Михаил Владимирович

УДК 531.391

ДИНАМИКА КАЧЕНИЯ КОЛЕС В РАМКАХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

01.02.01 - теоретическая механика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор В.Г. Вильке

Москва - 1998

Работа над настоящей диссертацией выполнялась в рамках соглашения между Московским Государственным Университетом им. М.В. Ломоносова и Национальной Школой Мостов и Дорог (Франция).

Диссертант выражает глубокую благодарность французской стороне и лично профессору Д.П. Шевалье за помощь при работе над диссертацией.

Оглавление

Введение 4

I Качение деформируемого колеса по деформируемому рельсу 11

§1.1. Механическая модель системы................................................11

§1.2. Уравнения движения. Стационарный режим................................16

§1.3. Определение формы деформированного рельса............................21

§1.4. Определение формы деформированного колеса............................24

§1.5. Сопротивление движению ..............................................27

§1.6. Прямое вычисление диссипативных функционалов........................29

II Качение пары колес по деформируемому рельсу 37

§2.1. Уравнения движения системы................................................37

§2.2. Стационарный режим..........................................................40

§2.3. Форма деформированного рельса...............................43

§2.4. Числовой пример................................................................46

III Качение колеса с пневматиком по плоскости 47

§3.1. Модель колеса с пневматиком................................................47

§3.2. Уравнения движения колеса с пневматиком................................54

§3.3. Качение колеса с уводом......................................................59

§3.4. Качение колеса ва вираже ....................................................67

IV Качение колеса с пневматической шиной оснащенной упругим бандажом 73

§4.1. Модель колеса..................................................................73

§4.2. Уравнения движения ..........................................................80

§4.3. Стационарный режим качения колеса........................................85

Список литературы 92

Введение

Диссертационная работа посвящена исследованию некоторых задач динамики качения автомобильных и железнодорожных колес методами аналитической механики систем с бесконечным числом степеней свободы. Рассматриваются стационарные режимы движения.

Актуальность темы.

В современной технике можно найти множество примеров систем с подвижным контактным сопряжением, например, при качении колеса, причем контакт может происходить как в точке, та,к и в определенной области.

Прежде всего речь идет о железнодорожном и автомобильном: транспорте, где необходимо повышение эффективности, достижение все более высоких скоростей, обеспечение надежности, снижение производимого шума.

Моделирование системы железнодорожное колесо-рельс позволяет установить зависимость сопротивления движению, обусловленного диссипативными силами, от скорости движения и параметров материала колеса, рельса и балласта (основания),а полученные при этом собственные частоты позволяют судить о характере шумов.

Модель колеса с пневматиком представляет интерес с точки зрения поведения колеса при различных режимах движения. Соотношения между силами, моментами и деформациями пневматика могут быть использованы при построении более сложной модели, описывающей динамику транспортного средства в целом.

Цель работы.

- Построение некоторых моделей в рамках систем с бесконечным числом степеней свободы, описывающих поведение железнодорожных и автомобильных колес.

- Исследование стационарного режима в задаче о качении железнодорожного колеса, нахождение формы деформированного рельса и колеса, определение сопротивления движению.

- Определение соотношений между силами и моментами в различных стационарных режимах качения автомобильного колеса: прямолинейное движение, движение

с уводом и движение на вираже.

Метод исследования.

- Уравнения движения и условия на скачки в точке контакта железнодорожного колеса с рельсом получены из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского для систем с бесконечным числом степеней свободы. Формы деформированного рельса и колеса найдены для стационарного режима движения с постоянной скоростью. Сопротивление движению найдено путем вычисления функционала диссипации энергии.

- На основе анализа конструкции шины предлагаются две модели колеса с пневма-тиком, заполненным совершенным газом. Контакт шины с дорогой предполагается без проскальзывания по заранее неизвестному участку бандажа.

- Уравнения движения и условия на скачки на границах зоны контакта получаются из принципа Гамильтона-Остроградского. Полученные уравнения движения анализируются для различных стационарных режимов.

- Проведены численные расчеты в случае качения одного или двух железнодорожных колес по деформируемому рельсу, найдены формы рельса в стационарном режиме, сопротивление качению, обусловленное диссипацией энергии в материале рельса и основания.

Состояние вопроса.

Проблемам качения пневматических колес автомобиля и самолета был посвящен ряд исследований, основывающихся на различных подходах к выбору моделей и набора параметров, характеризующих взаимодействие колеса с опорной поверхностью (дорогой).

Получил также распространение феноменологический подход, при котором соотношения, характеризующие зависимости сил и моментов, действующих на колесо от параметров движения носят эмпирический характер, а связь между константами теории и практическими данными устанавливается опытным путем.

В работе Рокара [14] рассматривалось явление увода (бокового псевдоскольжения, обусловленного наличием у колеса деформируемой периферии) и предлагалась линейная зависимость угла увода от поперечной силы Ру. В большинстве работ,

основанных на этом подходе ставится целью определение компонент сил реакции и моментов действующих на колесо при контакте с опорной поверхностью как функций от параметров движения, в частности от продольного и поперечного скольжения (псевдоскольжения). В работах Грейдануса, было предложено развитие модели Ро-кара, в которой в качестве параметров, характеризующих деформацию пневматика, выбираются отклонение "средней" точки линии контакта от своего равновесного положения и угол поворота касательной к грузовой линии в "точке контакта". Эти параметры определяют силы и моменты взаимодействия шины с дорогой и участвуют в формулировке неголономных связей.

В известной модели М.В. Келдыша, описанной им в работе но изучению явления шимми [5] деформация пневматика характеризуется расстоянием £ от линии пересечения диаметральной плоскости смещенного обода колеса с опорной плоскостью до центра площадки контакта, углом ф от этой линии до средней линии площадки контакта, угол х наклона плоскости диска колеса по отношению к вертикали и смещения h в плоскости колеса. Реакция опорной плоскости на пневматик сводится к нормальной реакции Fz, поперечной реакции Fy, моментам Мх, Mz. Условия движения при.качении без проскальзывания описываются с помощью кинематических связей.

Все вышеперечисленные модели имели конечное число параметров и неголоном-ные связи. На основе этих моделей и их модификаций был получен ряд результатов в динамике колесных экипажей и даны рекомендации по выбору их характеристик [39]. Особое значение в автомобильной индустрии придается отношению угла увода к ускорению в боковом направлении (cornering compliance).

Проскальзывание пневматика в зоне контакта учитывалось рядом авторов в моделях с контактными элементами, "щетками" И. В. Новожилов [12], Т. Fuji ока,, К. Goda [51], Mastinu, G., Fainello M.,Paira,na E. [37, 38]. Распределение нагрузок в области контакта определяет разбиение последней на "область скольжения" и "область прилипания".

В работах Pacejka, Bakker и др. [28, 29, 30] рассматриваются эмпирически найденные нелинейные зависимости реакций от параметров качения позволяющие получить приемлемые экспериментально подтверждаемые результаты при достаточно

больших значениях параметров ("Магическая формула"). Силы FXy Fy и момент Mz являются функциями параметров продольного и бокового скольжения, вертикальной нагрузки, углов развала и схождения. В работах Y.Q. Wang и др. [46] исследуется зависимость вертикальной реакции Fz от вертикального смешения z0 при различных режимах качения колеса. В работе М. А. Левина [52] включены в рассмотрение такие факторы как возможность существования по крайней мере двух областей проскальзывания, анизотропное трение, различие коэффициентов сухого трения и трения скольжения на малых скоростях, наличие вязко-упругих элементов в конструкции шины.

В работе [9] излагается подход к исследованию проблем качения деформируемого колеса, при котором задача теории качения состоит в нахождении шести компонент обобщенной реакции связи, распределенных сил и моментов в области контакта с учетом деформационных и фрикционных свойств периферии колеса и опорной поверхности как функций фазовых переменных диска колеса. Деформации шины колеса задаются функциями от угла ф и предполагаются существенными лишь вблизи области контакта. Периферия колеса не наделена массой и представляется в виде набора тонких деформируемых дисков разных радиусов. Модель с бесконечным числом степеней свободы для пневматического колеса также предлагается в работе [33], где учитывается масса элементов периферии, состоящей из бандажа (упругий ремень) и боковых стенок.

В целом ряде работ приводится подход, при котором деформированная поверхность оболочки пневматика моделируется методом конечных элементов [34, 36]. При этом подходе для каждого малого фрагмента поверхности записываются условия равновесия и общая система уравнений решается численными методами. В [35] приведен подробный обзор работ основанных на методе конечных элементов.

Однако, ни в одной из вышеперечисленных работ не ставится задача точного определения расположения и размеров зоны контакта в различных режимах качения колеса.

Одна из известных моделей железнодорожного рельса, - балка на вязко-упругом основании (С.П. Тимошенко, А.П. Филиппов [17] и др.) под действием движущейся нагрузки. В многих работах рассматривается более детальное описание железнодо-

рожного пути как состоящего из различных слоев, обладающих различными упругими и вязко-упругими свойствами. В работах А.И.Весницкого, C.B. Крысова, С.Р. Шохина, А.И. Потапова [20, 21, 22, 23, 24] применяется подход, основанный на применении вариационного принципа в задачах с неизвестными подвижными границами возможных разрывов производных искомой функции.

Рассматривались как модели с неперерывным основанием, так и модели с учетом дискретного характера опоры. Для моделирования рельса и основания в этих работах используется метод конечных элементов [43].

Для описания взаимодействия рельса с колесом, моделируемым твердым телом, используется контактная задача Герца. Целый ряд работ [53, 55] посвящен выработке более точных контактных моделей с учетом асимметрии контактной площадки. Нелинейная теория контакта с проскальзыванием описана Калькером в [26] и реализована в известных программах CONTACT и FASTSIM.

В последние годы полнилось значительное количество работ, посвященных динамике железнодорожных вагонов, описываемых значительным, но конечным числом степеней свободы [42].

Научная новизна.

- Предложен ряд новых моделей деформируемых колес, описывающих их движение как систем с бесконечным числом степеней свободы и позволяющих более полно описать процессы взаимодействия колес с твердым или деформируемым основанием.

- Найдены условия существования стационарных режимов обобщающие предложенные ранее законы взаимодействия колес с основанием, в которых использовалось конечное число параметров и неголономные связи.

- Определены силы и моменты сопротивления качению в стационарных режимах с использованием различных моделей диссипативных сил в материале колес и деформируемого основания, что позволяет определить величину "трения качения".

- Для предложенных задач методами аналитической механики получены полные системы интегро-дифференциальных уравнений в обыкновенных и частных производных, описывающих поведение системы и позволяющих определить заранее неизвестные границы зоны контакта, деформированную форму колеса как внутри так

и вне зоны контакта, распределение реакций в зоне контакта.

Практическая ценность.

Результаты работы вскрывают механизм взаимодействия деформируемых колес с основанием, позволяют оценить потребные силы и моменты для реализации различных стационарных режимов и могут быть использованы как при создании новых конструкций колес, так и при динамических расчетах в задачах о движении железнодорожных вагонов и колесных экипажей.

Апробация работы.

1.Доклад на III Международном симпозиуме по классической и небесной механике.( в Великих Луках.

2.Доклады на кафедрах теоретической механики и прикладной механики механико-математического факультета МГУ, на семинарах под руководством проф. Вильке В.Г., Самсонова В.А. и на семинаре под рук. ттроф. Д. Шевалье, М. Паскаль в университете Пьера и Марии Кюри и Национальной Школы Дорог и Мостов (Париж, Франция).

Публикации.

Основные результаты работы опубликованы в [1,2, 3].

Содержание работы.

В первой главе на основе прямого вычисления диссипативного функционала в задаче о качении деформируемого колеса по деформируемому рельсу найдены силы сопротивления пропорциональные нулевой и первой степени параметра х, определяющего диссипацию энергии в материалах рельса и колеса. Оказалось, что члены, пропорциональные нулевой степени \ совпадают с найденным ранее [4].

Во второй главе исследована задача качения пары колес по деформируемому рельсу, найдена формы рельса с учетом взаимного влияния колес, диссипация энергии. Приведены результаты численного расчета, формы рельса для одного и двух колес при различных значениях параметров задачи.

В третьей главе исследуется модель колеса с пневматической шиной, представленной в виде деформируемого тора и нерастяжимого бандажа. Предполагается,

что колесо катится по плоскости без проскальзывания при условии, что плоскость диска колеса остается ортогональной плоскости качения. Найдены уравнения движения, условия на скачки функций, описывающих деформацию бандажа в концевых точках зоны контакта. Исследованы два стационарных режима (качение с уводом и качение на вираже), для которых определены все характеристики движения и условия существования режимов.

В четвертой главе предлагается модель колеса с пневматиком, когда бандаж рассматривается как гибкая криволинейная балка (в главе III он представлен гибкой нерастяжимой нитью). Качение колеса происходит в вертикальной плоскости. Здесь также найдены уравнения движения и условия на скачки функций в граничных точках зоны контакта и исследован стационарный режим - качение колеса с постоянной скоростью.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (55 названий) и содержит страниц, из которых занимают иллюстрации.

Глава I

Качение деформируемого колеса по деформируемому рельсу

Рассматривается модель деформируемого колеса, катящегося без проскальзывания вдоль деформируемого рельса (балки), лежащего на вязкоупругом основании. Контакт колеса с рельсом предполагается точечным, а реакция в точке контакта сводится к силе. Исследуется сопротивление движению в стационарном режиме (качение колеса с постоянной скоростью в вертикальной плоскости). Задача о качении колеса вдоль деформируемого рельса рассматривалась в [4].

§1.1. Механическая модель системы

Пусть колесо и рельс расположены в вертикальной плоскости 0\Х]Х2- Будем считать рельс вязкоупругой балкой, испытывающей изгиб и лежащей на вязкоупругом основании (рис. 1.1). Продольными деформациями оси рельса 10 можно пренебречь, так как рельс обладает значительной продольной жесткостью, а продольные силы (сила трения в точке контакта) намного меньше поперечных сил (нагрузка на рельс в точе контакта). Зададим функционалы кинетической энергии, потенциальной энергии и диссипативных сил, описывающих динамику рельса, в виде

Тг = - J р^йз, -ь

1 Ьг

Т11 = -](к11и"2 + к2г»2)<1з, (1-1)

-ь 1 Ь

А = ~ I Х^гЬ"2 + (1,2ю2уь7

-ь

где рх - линейная плотность материала рельса, ги(.$, /,), (|й| < Ь) перемещения точек нейтральной оси рельса /ц, проходящей через центр тяжести его сечений, вдоль оси

ОхХ2, - изгибная жесткость рельса, к2 - жесткость основания вдоль оси О\Х2 ; ¿1, ¿2 - характеристики внутреннего трения рельса и основания (материал Кельвина,-