Некоторые эффекты общей теории относительности во вращающейся сверхтекучей жидкости тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Министерство Общего и Профессионального Образования Российской Федерации Московский Фнзико-Технический Институт

На правах рукописи УДК 530.] 2:531.51

Андреев Андреи Юрьевич

Некоторые эффекты общей теории относительности во вращающейся сверхтекучей

жидкости

Специальность 01.04.02'—теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени Кандидата физико-МатематйПеских'наук

Москва 1997

Работа выполнена на кафедре проблем физики и астрофизш Московского физико-технического института.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

член-корреспондент РАН, доктор физ.-мат.наук, профессор КИРЖНИЦ Давид Абрамович.

доктор физ.-мат. наук ЛЯПУНОВ Владимир Михайлович Государственный Астрономически: Институт им.П.К.Штернберга MTV

кандидат физ.-мат.наук АЛЬТШУЛЛЕР Борис Львович, Отделение теоретической физики Физического института РАН

Астро космический Центр РАН.

J997 г. в

часов на заседай»

Защита состоится " "_

Диссертационного Совета Ю-063.91.02 Московского физико-техничсског института. "

Адрес: 141700, Московская обл., г.Долгопрудный, Институтский пер., д.! МФТИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ. Автореферат разослан " " ^_1997 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета кандидат физ.-мат.наук

Коршунов С.М.

'бщай характеристика работы

Актуальность проблемы. Представление о единстве законов микромакромира, которое объясняет.характерные параметры и эволюцию езд на уровне коллективных эффектов, коррелирующих движение от-льных микрочастиц, является одним из наиболее фундаментальных стижений современной науки, чрезвычайно обогативших физическую ртину Вселенной. Такие представления утвердились в процессе теоре- • ческой разработки физики нейтронных звезд, начавшейся п середине ■30-х тт.. (Л.Д.Лапдау, В.Бааде и Ф.Цвикки), задолго до астрономиче- ' ого обнаружения самих этих объектов. ^ . . , .

Исследования проявлений сверхтекучести в нейтронной жидкости, звезд -ервые возникли на рубеже в 1950-60-х гг. и, что характерно, также несколько лет до подлинного открытия нейтронных звезд-пульсаров и ¡ала связанного с ним теоретического "взрыва". В его ходе был при-iH существенный вклад сверхтекуче« компоненты в гидродинамику «дающейся нейтронной звезды, сказывающуюся на наблюдаемом пе- • >де пульсара. В настоящий момент, с одной, стороны, представле-i о нейтронной сверхтекучести весьма усложнились по сравнению с изоначальными теоретическими оценками; большую роль играет во--. )с о типе спаривания, структуре и параметрах вихревых нити!, ха-стере их взаимодействия с другими, несверхтекучйми компонентами зды, их прикрепления к коре и взаимного движения-п т.д. (работы 1.Седракяна, К.Петика, Д.Пайнса и др.) В то же время, при совре-(ных расчетах макроскопических параметров звезды, например, зво-шонных кривых, связывающих'последовательности масс и моментов (ульса пульсара (Г.Кук, С.Шапйро, С.ТЪюколкски), гндродинамиче-е свойства сверхтекучей жидкости рассматривают в самом простом геле: говорят, что усредненная.по тесно сконцентрированным вихре- -i нитям угловая скорость ее вращения должна быть постоянна, как у рдого тела, к которому и нужно применять, все дальнейшие эффекты

шоотношеннй между вращением и тяготением звезды: ' • - ...... ..

Тсжду тем. один из центральный вопросов состоит в согласованном ¡танин сверхтекучей жидкости и гравитационного поля в астрофизике, -при сверхвысоких плотностях и давлениях необходимо учитывать эф гьг общей теории отиосиТельнос"1 и. Искривление пространства при «текучем движении вызывается здесь самой жидкогтьк).' Этозна-

чит, что описание на микро- (квантовая статистика) и макро- (общ; теория относительности) уровне нельзя разделять, напротив, уравнеш микротеории, исследование волновой функции конденсата должно бы: соединено с общей гидродинамической задачей о течении гравитиру! щей жидкости в искривленном пространстве.

Совместное описание сверхтекучего конденсата и создаваемого им, также внешними источниками (если они есть), поля в случае электр! магнетизма представляетсобон хорошо развитый формализм: взаим! действие магнитного поля и куперовскнх пар в металле лежит в оснад теории сверхпроводимости. Однако, до сих пор, почти не рассматр) вались особенности поведения конденсата в присутствии гравитацио! ного поля. Это легко объяснить тем, что в обычныхсистемах, которь. исследуют теории многих частиц, гравитационные силы гораздо слабе других'взаимодействий. В массивном же конденсате, где тяготение с] щественно влияет на движение частиц, его вклад казалось достаточны; обсуждать лишь на языке ньютоновской теории.

Однако, уже на качественном уровне ясно, что гравитационные э({ фекты в сверхтекучей жидкости богаче, чем простое влияние силы, тяж« сти. Существует известная аналогия между линейным приближением уравнениям Эйнштейна в ОТО и уравнениями электромагнетизма, коте рая наводит на мысль, что совместное описаниеполя и конденсата в это] приближении должно содержать многие из эффектов, аналогичных тес рии сверхпроводимости. Такой подход к сверхтекучести (впервые пред ложенный Б.С.ДеВиттом) позволяет говорить о "гравимагнитном" пол — векторе д, составленном из компонент метрического тензора и анало гичном магнитному потенциалу А, связь которого со сверхтекучей ско рЬстью, как и в электромагнетизме, должна приводить к своеобразно; "гравимагнитной" сверхпроводимости. Эти эффекты, конечно, имею'; следующий порядок малости в Сопоставлении с ньютоновским тяготе нием, но безусловно должны учитываться в существенно релятивпстско! физике астрофизических объектов тина нейтронных звезд. • Что более важно — это качественно иной характер таких эффектов по сравненик • с классическим тяготением, который мог бы привести к ярким физическим следствиям. '

Новой проблемой, возникающей при сопоставлении свойств сверхпроводника и сверхтекучей жидкости в ОТО уже на качественном уровне, являются ее устойчивые свойства и их возможные проявления в астро-

инке. Здесь можно было бы ожидать рождения новых неустойчивых . ?д,-не двойственных нормальному веществу, но опять такн вытекаю-нх ил различий между электромагнитным полем и гравитацией в ОТО контраналог правила Ленца, который можно назвать "поперечной" или оковой" неустойчивостью Джинса, поскольку он имеет одинаковую с ■ й природу.

Делая акцент на согласованном описании конденсата и поля, мм даем сколько иное освещение проблемы, нежели в развиваемых в последние сятилетня ковариантных теориях сверхтекучести в искривленном про-оанстве с произвольной метрикой (Б.Картер, И.Халатнйков, В.Израэль),' скольку там гсомртрпя- считается заданной, а^Цашей-Постлчопке — эеделяется самим движением жидкости. Обратившись к проблеме сперх-сучего вращения в ОТО, мы затрагиваем еще один фундаментальный 1рос —относительность вращения п природа сил, возникающих при т и действующих на жидкость (основные редультаты, полученные сь в начале XX века Дж.Лензе и Г.ТЬррингом, были развита в 1 ООО е гг. Д.Бриллом, Дж.Коэном, Дж.Хартлем и др.). Положив начало куссиям о принципе Маха, актуальным и до настоящего времени, т вопрос-получает- неожиданное освещение применительно к враще-э сверхтекучей жидкости. Наиболее интересе"" при атом безвихревой' чай, где микроскопическое описание с помощью кондепсатнон во.шо-функщш налагает очень строгое ог]>ашг1енне на вращение, которое в □тором смысле приобретает совершенно те же свойства, что и е<что-е покоя, т'ак что такая жидкость с точки зрения динамики предстает мютно инертной. При таком рассмотрении на первую роль гшету-г известный эффект увлечения ннерцпалыгой системы отсче та, кото-всесторонне проанализирован в настоящей работе применительно к

«текучему движению". " ........ .......... ......: •

аконец, обозначенное выше гравимагнитноо поле представляет со-еще один механизм, которым могут быть связаны друг < другом хтекучее ядро нейтронной звезды н ее твердая кора. Влияет ли .п <> г низм на процесс сбоя периода, и на сколько сильным может быть это ние? Отрицательный ответ на этот вопрос докажет корректное п. лъзуемых до сих пор моделей сбоя периода без учета аффектом ОТО. южительный ответ заставил бы вТ}есги в. эти предм тинлишч ><нр< 1ньте поправки.. Во всех-случаях представления о связи лии < • или 1утренних П внешних областях иентрчнных звезд ОГН.1Ш1.Ич1' .1 Г..-,

лее полными и теперь уже гораздо менее напоминают "стакан с жидки; гелием", как это казалось на заре развития теоретических концепци сверхтекучести.

Цель работы. В настоящей работе мы ставим цель лродемонстри ровать некоторые свойства сверхтекучего вращения в массивном тел< (таком, каким является нейтронная звезда), и, руководствуясь сопоста влением сверхпроводящих, и гравимагнитных свойств конденсата, пока зать их резкую физическую несхожесть, вытекающую из общих прин ципов построения эйнштейновской теории гравитации как геометри; пространства-времени.

Научная новизна. В-диссертации впервые исследованы характерны свойства вращения тяготеющей сверхтекучей жидкости, рассматривав мой в рамках общей теории относительности. Исходя из .представленш о существовании коллективной волновой функции конденсата, выведень гидродинамические уравнения, которым подчиняется сверхтекучая жид кость в ОТО. На основании этих уравнений разработана качественна) теория, проводящая аналогию между сверхтекучестью в гравитационно!, поле, описываемом ОТО, и сверхпроводимостью. Построено основно« уравнение, которому подчиняется гравимагнптное поле и сверхтекуча! скорость вращающейся безвихревой сверхтекучей жидкости. Некоторьн эффекты, существующие в физике сверхпроводников, исследованы применительно к сверхтекучести в гравимагннтном поле. Показано отсутствие у сверхтекучей жидкости аналогов эффекта Мейсснера. Раскрыт* следующая из теоретического анализа неоднозначность самого понятил "вращение" применительно к сверхтекучей жидкости в ОТО.

Полученные результаты применены к модельному исследованию вращения нейтронной звезды, состоящей из сверхтекучей сердцевины н твердой коры. Продемонстрирован физический смысл- ко- и контрвариантных компонент скорости вращения, взаимосвязи между моментом импульса звезды р гравимагнитным полем. С помощью понятия локально ииерцшшьной системы отсчета отсутствие гравимагнитного аналога для эффекта Мейссн.ера и центробежных сил при сверхтекучем вращении соотнесено с интерпретацией принципа Маха в той -его части, которая за-трагивет вращающиеся системы и эффекты Лензе-Тйрринга.

Исследовано динамическое поведение конденсата с учетом связи между, сверхтекучей скоростью и-гравимагнитным полем. Доказывается отсутствие в жидкости эффектов поперечной неустойчивости и отсутствие ак-

геного взаимодействия конденсата с падающей гравитационной волной ¡ашателыгого типа. Впервые обнаружена аналогия между рождением среде неустойчивых возбуждений тахионного типа и существованием язанных состояний в сооветствующем уравнении Шредингера, харак-■ризующим среду. Рассмотрен вопрос о новом механизме связи между этичными областями нейтронной звезды с помощью гравимагнитных л. Показано пренебрежимо малое воздействие этого механизма на просе сбоя периода в классической двухкомпонентной модели. Научная и практическая ценность. Научная и практическая пен-сть диссертации обусловлена возможным применением ее результатов дальнейших исследованиях. Диссертация создает необходимую теоре- -ческу ¡о основу для разработки точных численных схем для общере-. тивистских гидродинамических расчетов внутренностей нейтронных ззд с учетом явлений сверхтекучести. Результаты работы Найдут про-ижение в разработке теории движения вихревых нитей в рамках ОТО, горал необходима для физически адекватных исследований процессов эя периода в релятивистских нейтронных звездах. Эффекты, рассмо-енные в диссертации, имеют важное применение при обсуждении про- ' ;сов слияния двух нейтронных звезд, на последних стадиях которого тятивистские эффекты, связанные с орбитальным и собственным врат пппм звезд,- играют существенную роль.

Апробация. Результаты, полученные в диссертации, докладывались Общемосковском семинаре Физического института РАН (руководись - академик В.Л.Гинзбург), семинарах Отделения теоретической фиги ФИАН, Астрокосмпческого центра РАН, Государственного Аетро-шческого института им.П.К.Штернберга МГУ, Международных на-шх конференциях "Космион-94" (Москва), "Многомерная гравитация осмология" (Ярославль), 9-ой Российской-гравитационной конферен-I "Теоретические и экспериментальные проблемы гравитации" (Нон-юд), 38-ой научной конференции МФТИ. "

'руктура и содержание работы......... ......... _

Диссертация состоит из пяти разделов,-двух приложений; списка ли-атуры и семи рисунков. Первый раздел посвящена постановке иро-аы. обоснованию ее актуальности и значимости. Во втором ¡ызлм'' обзор литературы по теме диссертации, отражающий три огж.,ш!ы.ч

о

"направления исследований: изучение общих свойств и структуры сверэ текучего конденсата нейтронных звезд, построение релятивистских Т( орий сверхтекучести и исследование вращения релятивистских звезд, ег влияния на параметры их равновесия и устойчивости. Третий и четве[ гый разделы представляют собой основную исследовательскую часть ди< сертации. Основные выводы по работе содержит пятый раздел. В кач< стве приложений к диссертации помещен вывод правила Ленца в грави магнитном поле и точное решение уравнений Эйнштейна в случае однс мерного распределения вещества. -

Основная часть открывается разделом "Качественная теория свер текучести в гравимагнитном поле", состоящим из четырех глав.

1. Гидродинамика сверхтекучей жидкости в линейном при ближении ОТО. Вводные замечания. В. главе исследуется вид реля тивистскнх гидродинамических уравнений сверхтекучей жидкости, опи сываемой с помощью конденсатной волновой функции, и аналоги таки: уравнений в теории сверхпроводимости.

Сверхтекучий конденсат куперовских пар со скалярным типом спари вания описывается коллективной волновой функцией 0(£, г"), для которое в ОТО справедливо релятивистское уравнение Клейна-Гордона:

О'О.Ф + =, + т-^у = 0 (1;

где Д - Символ ковариантной производной, д - детерминант метрического тензора. •

Если в этом уравнении перейти к т.н. гидродинамической формулировке квантовой механики (представлению Маделунга). из него следует определение для 4-скоро'сти сверхтекучей жидкости и, = —■

у ¿'(У2)+010,р/у

(где V — модуль, а а — фаза, волновой функции конденсата, в предельном нерелятивистском случае это~ выражение переходит в обычное определение для .скорости конденсата V, =

При безвихревом осесимметричном движении конденсата свойства вол новой функции не должны меняться при повороте на произвольный угол вокруг оси вращения. Тогда из требования однозначности волновой функ цни следует условие или д^а — 0. Это означает, что, согласно определению 4-скорости, '

"з = 0, (2)

т.е. коварнантная скорость осесимметричногр вращения сверхтекучего

шдснсата всегда равна нулю. Запись з'равнения (2) с использованием контрвариаигных компонент лырех-екорости сверхтекучей жидкости приводит его к виду:

, и0

и =------<7о.1 (3;

. • • /?3.1 -

гнное соотношение- связывает контравариантную скорость вращения >нденсата с недиагональными компонентами метрического тензора, ко-:рые возникают в ОТО в гравитационном поле, созданном врашаю-1мся телом. Для характеристики этого поля вводится вектор Ц (как = —д0а). С использованием у в приближении слабого поля, (т.е. та-»i. i üc можно пренебречь отличием и? и упп от I). комшжентв четчррх-зрости и3 совпадает с грех-скоростью в сферических координатах i; авнение (3) приобретает простую формулировку:

. 9зз

г в векторных обозначениях v¡¡ = —д.

Поле д иногда называют гравитационным полем Лензе -Тйрринга, по->льку именно с его компонентами связан эффект увлечения системы от-■та, открытый этими авторами. Более удобным представляется тер н "гравимагнитное иоле" из-за ясной аняюпш между згим по ¡ем и !ейном приближении эйнштейновской теории гравитации и магнит м полем в классической электродинамике. Согласно этой аналогии тору у соответствует векторный потенциал магнитного поля .1. По-шо TOí.iy как источником магнитного поля являются движущиеся за-¡ы, источником гравимагнптного поля являются движущиеся массьг. »'равнение (4) находит прямую аналогию в соотношении ил т> орни рхпроводимости, связывающем сверхпроводящую скорость и.магнит- . i цоле (в отсутствие вихрей) vs = —(е/т)А, из которого следует урав-ие Лондонов для проникновения магнитного поля пгл\ бь сперхпровод-а:

.....У'а=~Л ' ' <-,>■

= yjni1 /Аже^рц —лондонавская r.iy6":ia проникновения), В рас сма-ваемой нами теории гт'рхтекучестп п гравимагни птм поле < ;¡v • *тстпу<?т аналог (5):

V2g - - " .'Г,,

(здесь ка =' \Z16nGpa — гравитационный аналог лондоновсвдго п&раме тра длины). Обращает на себя внимание "неправильный" по сравненш со сверхпроводящим уравнением Лондонов знак в правой части. Это раз личие следует из фундаментальных свойств гравитации, в которой одно именные "заряды" - массы не отталкиваются, как в электродинамике, ; притягиваются.

Продолжая рассматривать аналогию между сверхтекучестью в грави магнитном поле и сверхпроводимостью в магнитном поле, зададимся во просом: будет гравимагнитное поле выталкиваться из сверхтекучего ве щества подобно тому как магнитное поле выталкивается из сверхпровод ника (эффект Мейсснера)? Неправильный знак в (6) наводит на мысль ' что свойства эффекта Мейсснера в гравимагнитном поле должны быт: качественно иными. Другой вопрос возникает "при. рассмотрении ди намического обобщения (6). Спектр этого уравнения.а>2 = к2 — к2 но сит неустойчивый характер, поскольку при малых к и больших длина: волн дает и2 < 0. Следовательно колебания в сверхтекучем конденсат! должны носить иейстойчивый характер, и могут привести к " саморас крутке" системы. Природа такой неустойчивости аналогична неустой чивости Джинса, только там нарастают малые возмущения плотност! покоющегося вещества, а здесь должны нарастать токи.

2. Стационарное вращение сверхтекучей сердцевины и твер дой оболочки нейтронных звезд.. В этой гйаве рассматривается влияние гравимагнитного поля на движение сверхтекучей жидкости I модельном случае вращения коры нейтронной звезды, под которой нахо дится ядро из сверхтекучего нейтронного конденсата.

Результаты предыдущей главы доказывают, что понятие "вращение' применительно к сверхтекучей'жидкости является не вполне однознач ным. Предположим, что сверхтекучая жидкость находится вблизи тела вращающегося относительно системы отсчета, связанной с наблюдате лем, который расположен на бесконечно удаленых звездах. Тогда в это! системе существует гравимагнитное поле д и, если оно проникает в сверх текучий конденсат, то, согласно (4), сверхтекучая скорость должна имет! ненулевую угловую скорость, т.е. вращаться: Однако при этом ее кова-риантная скорость вращательного Движения 'всегда равна нулю, и в эток смысле жидкость покоится.

Другое противоречие содержится в рассмотрении гравим^гнитногс уравнения Лондонов (6) в приближении слабого поля, где вторым па-

iMCTpoM малости, (помимо скорости вещества. По которой происходит шеаризацня уравнений Эйнштейна) является его плотность или про-грциональная ей величина к2,. Можно показать, что слабость поля тяго-ния, искривляющего пространство, верна для размеров системы много льше ее гравитационного радиуса. Для астрофизических объектов, и частности нейтронных звезд это, строго говоря, не так, и в этом сду-е приближения слабого поля недостаточно. Важно отметить, что в ом приближении правая часть (6) имеет более высокий порядок по к2, м левая, что говорит о необходимости коррекции уравнения (C>j в по-едовательно релятивистском рассмотрении. Поэтому в более i очной • становке задачи в левой части уравнения. Лондонов линеаризованные мионннты тензора Риччи запишутся пе на фоне плоского пространен, а. на фоне метрики,' которую описывает сферически симметричное шение без вращения, т.е. решение Шварцшпльда. - • Определим распределение гравнмагннтного поля в сверхтекучей жи'д-:ти нейтронной звезды и связанной с ней угловой скорости враще-я конденсата, исходя из недиагональнон компоненты уравнения Эйн-ейна Л03 = 8лб(Тоз — \дтТ). С учетом свойств решения Шварцшпльда о = е"'г\ г/п ел''') после линеаризации по недиагональным компонсн-J.метрики оно приобретает, вид: ....'. —-

е-х[(д1 + -£>,.) - - к\ + + 3ctgвдв)]^ = sin,, (ГI ;

V Z т

¡деке п относится к параметрам нормального вещества звезды, твер гельио вращающегося с угловой скоростью Г2„.)

Сравнение (7) должно быть исследовано в трех различных объитях звезды при г > П, в нормальной коре при R\ < г < R и п сверхте-[ем Адре, г < R\. Упрощения, которые мы допускаем, сог.чт укт н <■ естными свойстваотг нейтронных звездг внутри сверхтекучего" ядра тность счита»'тся постоянной и равной fit. кора прелполагаетея тои-(/? — Я\) <С Ii и ее плотность pn <С ра давление много менып.' и.км ти. .Решения во всех трех областях нужно сшиваль друг с др>'1«1М < эвием непрерывности д3 и его производных на границе. II.i условия улярностн в нуле мы получаем, что'внутри звезды решением япчяст« я s—П„ — const, в вакууме же д3 прёдст" атяпт собой известное pr токк (апетру. определяющееся полным моментом импутьса з»е)Л1 i /Шивка решений предоставляет нам занисим<»< ть уыоиои « i '.j,.,. , и

сверхтекучего конденсата в ядре от скорости вращения коры

4(н2 -Щ)

п. = а,

в(1 - гд/щ'

а также связь между скоростью коры н моментом импульса, из которо следует выражение для релятивистского момента инерции рассматрпва емои звезды 1„ « ~МпЯ2/(1 — гд/Щ (здесь М„ —масса коры). Как видн отсюда, момент инерции отличается от своего классического в.ыражени на знаменатель (1 — гд/Л), указывающий на нскрниленне прстранства по лем тягот ения звезды.

Таким образом, исследование поведения гравнмагнитного поля внутр! звезды в данной постановке задачи приводит к следующим выводам:

1) Когда вокруг сверхтекучего ядра вращается твердая оболочка, гра вимагнитное поле, создаваемое этим вращением, проникает в Сверхтеку чую жидкость и, благодаря связи между и д, увлекает ее во вращение с-некоторой угловой скоростью. Для объектов типа нейтронных звез; эта угловая скорость мала по сравнению со скоростью вращения коры Этот "индуцированный" сверхтекучий ток не создает вторичного гравнмагнитного поля и не может экранировать поле коры, что и говорит об отсутствии эффекта Мейсснера.

2) Отмеченное вращение конденсата происходит в том смысле, что ■ удаленный наблюдатель, покоющнйся относительно неподвижных звезд,

который фиксирует гравимагнитное поле д, зафиксирует в пашей постановке задачи наличие у сверхтекучей жидкости ненулевой контрвариантной скорости, которая и записывается как П.,. Однако, ковариангная скорость конденсата "при этом будет равна нулю. .Физический смысл ковариантной скорости вращения связан с понятием момента импульса. Тяготеющая сверхтекучая жидкость, не создавая Момента, искривляет пространство только за счет своей массы, что приводит к появлению "геометрического" множителя в формуле для момента инерции корьи

3. Г)равимагчштный эффект Мейсснера во внешнем поле. Целью этой главы является подчеркнуть резкое отличие эффекта Мейсснера в гравитирующей сверхтекучей жидкости и сверхпроводнике, на примере его "классического" варианта: сверхтекучего (сверхпроводящего) шара, находящегося во внешнем гравимагинтном (магнитном) поле.

При эффекте Мейсснера в сверхпроводящем шаре возникают поверхностные токи и индуцируется магнитный момент, поле которого ком-

ненснрует внешнее магнитное поле внутри шара. Как показывает сопоставление решений уравнений для магнитного и грашшлпштного полей (полученного-п предыдз'щей главе), роль аналогичную магнитгго!>гуМоменту выполняет в последнем случае момент импульса гравнтирующего сверхтекучего шара (звезды). Однако, в соответствии с законом сохранения;!, момент импульса у звезды не "индуцируется", в то же время, (как следует нз сшивки решений вне и внутри звезды), внешнее гранима!-нитное поле (созданное другим вращающимся телом, например, второй компонентой двойной системы), не ослабляясь, проникает в сверхтекучую жидкость, которая при этом должна твердотельио вращаться, с тем большей скоростью, чем больше внешнее поле.

В более сложной постановке задачи, рассматривающей ;п1е >'(у «ч» гнерх-текучей сердцевиной и нормальной корон, получается парадоксальный результат: чтобы кора звезды, находящейся во внешнем гравнмагнтном поле, была неподвижна, она должна облад^ь отличным от нуля моментом импульса. Объяснение этого факта лежит в том, что, как обсуждалось выше, момент импульса тела определяется ковариантной скоростью его движения щ = + 303)1 поэтому даже.если угловая скорость

тела в данной системе отсчета равна нулю, но,присутствует внешнее гра-ВИШГНН ГНис а оде (второе слагаемое в этой формуле], момент импульса тела должен быть отличен от нуля.

Другое объяснение возможно на языке сопоставления неш1ерш(а.п,них и ннерннальных гнетем отсчета. Пусть рассматриваем;« звезда была неподвижна относительно инернналыюй системы -отсчета, связанной с бесконечно удаленным от истопника поля наблюдателем. Тогда и при внесении в поле она останется неподвижной, но относительно локальной ннерцнальнон системы отсчета. С точки же зрения наблюдателя пи тем,.! отсчета, связанн.'1я со звездой п_поле, будет неннершпиышп, а меру не-инерциальностн как раз и определяет величина поля..'Эту неинерииаль-ность наблюдатель увидит в виде вращения звезды.

Можно представить оценку дополнительной углопой-скоростн прнооре-таемо'й йз"-'за'эффекта увлечения системы отсчета для системы нз двух нейтронных звезд, обладающих как собственным вращением, так и вращающихся друг относительно друга со скоростью При сближении звезд будет происходить увеличение угловой скорости орбитального вращения По ~ ,//(Л/Л2) и одновременно "подкрутка" собственной угловой скорости, так что полная угловая скорость, измеряемая наблюдателем в

' ннерцналыюй системе на бесконечности:

■ (где г} соответствует гравитационному радиусу одной из звезд, Л — расстоянию между звездами). Второе слагаемое в скобках может достигать существенно отличных от нуля значений перед слиянием нейтронных звезд, что приводит к дополнительной подкрутке вращения каждой из звезд на десятки процентов от орбитальной угловой скорости по мере их сближения, и медленной подкрутке на доли процента на стадии задолго до слияния. . ,

4. Поперечные колебания гравитирующей сверхтекучей жидкости. В главе" исследуется проблема поперечного аналога гравнтаци-. онной неустойчивости Джинса для сверхтекучей среды различных геометрических конфигураций. ' .

Известная еще в ньютоновской теории гравитации джиисовская неустойчивость выводится из гидродинамических уравнений для продольных (звуковых) колебаний жидкости, где, для рассмотрения продольно^ составляющей скорости, беру.т дивергенцию от обеих частей. Эта неустойчивость развивается только при малых волновых числах к из-за стабилизирующего вклада члена, содержащего давление. Однако, если в том же уравнении Эйлера, записанном в линейном приближении ОТО взять ротор обеих частей, то члены с полными градиентами исчезнут, и вместе с ним стабилизирующее противодействие, которое оказывает развитию гравитационной неустойчивости внутренние силы в веществе. Получившееся'уравнение будет описывать, таким образом, чисто гравитационные эффекты, которые, как мы увидим, отсутствуют в ньютоновской теории и появляются лишь при переходе к линейному приближению уравнений ОТО. Уравнению будут соответствовать поперечные колебания вещества (поскольку взятие ротора обнуляет продольную компоненту скорости с к • V = 0). Значит, -обнаруженную нами в рамках такого подхода неустойчивость можно назвать поперечной неустойчивостью Джинса. Есдц продольная неустойчивость отвечает нарастанию сжатий- разрежении в веществе (жидкости), то поперечная неустойчивость — нарастанию Токов противоположных направлений (при этом жидкость остаетс я несжимаемой, и условие постоянной плотности сильно облегчает наше дальнейшее исследование). - .

Особого рода ограничения на возникновение неустойчивости накла-

дызает геометрическая конфигурация среды, в которой они распространяются. Так, распространение вращательных колебаний гравимагннт-ного поля в сверхтекучем конденсате звезды запрещено законом сохранения момента импульса. Поэтому необходимо разобрать также другие конфигурации, не столь жестко связанные законами сохранения — распространение поперечных волн в цилиндре и плоском слое (в каждом случае продольная ось системы совпадает с направлением распространения волны). ' \ " .- , ' ■

Следуя процедуре линеаризации уравнений Эйнштейна с учетом фоно- • вой метрики тяготеющей среды, можно получить следующее уравнение колебаний гравимагнитного поля, которые распространяются (по оси 2) вдоль поверхности бесконечного однородного «уюя толщины к и нч<;т<»-янкой плотностн р и имеют направление колебаний также параллельно поверхности, но перпендикулярно к движению волны (по 'оси у): '

[Л - кг2 + д\ + = 0 (8)

' (здесь в(х) — ступенчатая функция, равная 1 при -/(/2 < х < /г/2).

Решения (8), соответствующие собственным колебаниям системы, происходящим без подводимого извне источника, должны обращаться в ноль . на бесконечности, т.е. для этой системы ставится задача Штурма - Ли-увилля на поиск собственных значений. П квантовой механике такая -задача отве.чает нахождению связанного сос тояния частицы и соответствующего энергетического.уровня.

Аналогия с квантовой механикой здесь далеко не случайна уравнение (8) в точности напоминает задачу о частице в одномерном потенциальном ящике с шириной к, глубиной (1//?2) ~ Ср, где роль энергии Е играет величина (и2 — кг2). При этом дисперсионное соотношение приобретает внд и2 -- кг2 + Е. Поскольку ноль энергии, помещенный на' бесконечности, соответствует краям ямы, а уровень связанного состояния в яме будет располагаться ниже ее края, понятно, что Е < 0. Отечтда следует, что правая часть дисперсионного соотношения пр|. достаточно малых к2также оказывается отрицательной, а колебания ' он

чивыми. Таким образом, можно сделать вывод: если в потенци—. г яме, которой соответствует данная задача о гравимагнптных колебаниях, есть связанное состояние, то существуют такие большие длины волн Аг, при которых колебания будут неустойчивыми. Этот вывод сохраняет свое значение не только для геометрии плоского слоя, но и цилиндра, и шара. "

Написав знамение первого уровня энергии, который в одномерном случае существует в любой потенциальной яме, мы получим конкретную оценку длин волн неустойчивых колебаний Аг > ^//г. Для бесконечного цилиндра (цилиндрической ямы радиуса И и осью вдоль z) уровень энергии также есть всегда, откуда Аг > Пе1'/а'. Здесь неустойчивые длины волн "еще больше" чем в случае плоского слоя, они экспоненциально велики но сравнению с радиусом цилиндра в меру отношения масштаба 1д к этому -радиусу.'

Однако развитию этих неустойчивых колебаний препятствуют ограничения, которые накладывает переход от бесконечной протяженности цилиндра или слоя к их конечным размерам. Одно из ограничений, появляющихся при введении конечных размеров цилиндра и слоя, связано с верхней границей длин волн собственных колебании, которые, очевидно, не могут теперь превышать продольного размера этих систем. Второе ограничение, напротив, дает верхний предел для поперечных размеров системы: задача будет корректна, если гравитационный радиус всей среды не будет превышать наибольшего из ее размеров (в противном случае окажется, что мы работаем во внутренней области'черной дыры, где, как Известно, не существует стационарных решений). Конкретные оценки, показывают, что для слоя эти условия противоречат друг другзг, поэтому развитие неустойчивых колебаний в плоском слое конечной.протяженности проблематично. В цилиндре предсказания более оптимистичны: здесь ограничения задают только нижнюю границу его высоты, которая, тем не менее, даже для максимальной теоретической плотности и-минимального радиуса сверхтекучего вещества слишком велика, чтобы эта неустойчивость нашла применение в реальных звездных объектах. Наконец, те же ограничения позволяют;дать отрицательный ответ относительно существования неустойчивых Собственных колебании в сверхтекучем шаре — в нем вообще не может возникнуть собственных колебаний рассматриваемого нами типа.

Проведенный анализ свойств сверхтекучего движения находит свое развитие в следующем разделе "Вращение сверхтекучей жидкости как проявление эффектов увлечения инерциалыгой системы отсчета в ОТО", состоян-.'м из двух глав.

1. Стационарное вращение сверхтекучей жидкости — новый подход. Плава излагает подход, предложенный Дж.Хартлем для описания вращения релятивистской жидкости в ОТО в первых порядках по

величине угловой скорости вращения и обобщение этого подхода применительно к двухкомпонентной модели сверхтекучей жидкости.

Проблема, впервые поставленная Хартлем, касалась влияния праще нйя на равновесные конфигурации нейтронных и супермассивных звезд, на верхние предельные значения их масс, характер эволюции и пр. "Для решения этих задач было недостаточно постньютоновского приближения, за то малая (по. сравнению с предельным значением, которому соответствует равенство центробежных и гравитационных сил) угловая скорость вращения релятивистских звезд представляла подходящий параметр для разложения в ряд уравнений ОТО, описывающих вращение и искривленную в соответствии с ним метрику пространства-времени.

Кик иоказьшает алтор, все диагошиьиыс метрически« компонент ы _ могут прибретать поправки только четных порядков по П, в то время как единственным поправочным членом нечетного порядка является т от, что отвечает за увлечение системы отчету Это означает, что в первом порядке можно пренебречь искажениями в распределении плотности и давления, записывая метрику в форме:

¿э3 =-е"1г>М* + ех('Ыг3 + г2с102 + г38т30((1<р-и>(г,0)Л)2 (9)

где г(г) и А(г) соответствуютшварцшильдовской метрикеневращаюшейся звезды, для которой распределения давления и плотности считаются уже вычисленными. 1¿>(г,в) представляет собой угловую скорость, которую ' приобретает покоюшийся на бесконечности относительно неподвижных звезд наблюдатель, свободно падая в точку с координатами (г, в]. Такой наблюдатель задает в этой точке локально ннерциальную систему отсчета. сверхтекучей жидкости в этой системе отсчета и ко , и контрплрнантные компоненты скорости равны нулю (последнее следуп из соотношения Лондонов ( I) в предыдущем разделе, которое в новых обозначениях приобретает вид Л, ~"ш). Она находится здесь в сосгоя-• нии покоя и не испытывает действия никаких сил.

Основное уравнение в подходе Хартля записывается для "собственной" - скорости-вращения жидкости в локально инерцп&чьной системе: и — О - и), которая зависит только от радиуса, но не от угла в, и монотонно уменьшается к центру звезды (а скорость увлечения и> также монотонно растет). При безвихревом вращении сверхтекучей жнлкосгн а», — 0. Рассматривая собственную скорость твердотельного вращения

\

нормальной компоненты ш„ = Q„ — w, мы приходим тогда к уравнению: 1 d.,., .dùn. Adj . . _

= ~~rdrQn(r)u3n (10)

^которое представляет обобщение формализма Хартля на двухжидкост-пую модель (ап - доля нормальной компоненты). Этот результат легко со поставляется с полученными нами уравенинями второй главы преды-' дущего раздела. Интегрирование решений уравнения (10) в нормальной коре и сверхтекучей сердцевине, с учетом граничных условий, накладываемых решением вне звезды, приводит к оценке скорости увлечения кон-• денсата в различных предельных случаях соотношений межДу. размерами и массами коры и сердцевины. . • .

Запись метрики в форме (9) позволяет привести анализ структуры уравнения гидродинамического равновесия для вращающейся сверхтекучей жидкости в ОТО, которое приобретает вид

" P,Q = (/> + p)(ln«0),« ' ■ •. (И)

где u° — = е"иjyj 1 - V2, и введено обозначение V = e~"l\sinö(fi — и>). V пропорциональна ковариантной скорости вращательного движения жидкости, однако, как показывает предельный переход к приближению слабого поля, именно через V записывается вклад центробеежных сил в равновесие. Сверхтекучее безвихревое течение характеризуется покоем в локально инерциальной системе отсчета, и, .следовательно, V ~ 0. Это ■ означает,'в подтверждение сказанного выше," что в уравнении (11), задающим равновесную конфигурацию* сверхтекучей звезды, центробежные поправки ~ Q2 отсутствуют.

2. Динамические пррявления эффектов увлечения ' системы отсчета во вращающейся сверхтекучей жидкости. В этой главе с помощью линеаризованных уравнений QTO, аналогичных формализму Хартля, но дополнительно содержащих зависимость от времени, доказано, что не только при стационарном вращении, но и в динамическом случае вращение сверхтекучей жидкости не оказывает никакого обратного влияния на переменное гравитационное поле, будучи лишь механически с ним согласовано, так,.что их активное взаимодействие отсуствует.

В главе исследован обший вид системы уравнений согласованных нера-днальных колебаний жидкости и гравитационной волны нечетного типа (изменяющих знак npifотражении). Как показывают теоретика - групповые соображения, единственными отличными от нуля компонентами

метрики в такой волне должны быть д\з и </оз, которые образуют систему динамических уравнений. Замечательным свойством этой системы является залаженное в ней отсутствие временной зависимости для"ковариант-ной скорости вращения жидкости, что в свою очередь влечет за собой обращение в нуль поправок к распределениям давления и плотности при • колебаниях, т.е. отсутствию вращательных "пульсаций". Система описывает гравитационную волну дп^,г) свободно распространяющуюся л пространстве, лишь искривленном наличием жидкости, но движение ко-, торой не является ее источником. В соответствии с этим, встречаясь с прохождением гравитационной полны, сверхтекучая жидкость "подстраивается" под нее -таким вращением (дифференциальным в смысле' контрвариантной скорости), чтобы ее ковчриантная скорость и полный момент импульса осталась бы равной нулю. Вращение наблюдается в системе отсчета, связанной с бесконечно удаленным объектом, и однако, не оказывает никакого обратного влияния на^рохождение гравитационной ' врлны, т.е. их настоящего взаимодействия не происходит, что только подчеркивает необычные инертные свойства сверхтекучей жидкости.

Если угловая скорость вращения не зависит от в (именно для этого случая, как показано в предыдущем разделе, и существует стационарное решение) в динамических уравнениях мы получаем дополнительную калибровочную свободу, которую можно устранить путем фшаашш калибровки, в приближении слабого поля переходящей в стандартную .калибровку излучения. С ее учетом уравнение, связывающее колебания жидкости в звезде и рассматриваемую гравитационную почну, имеет вид динамического обобщения уравнения Хартля, в котором затем происходит переход к двухжидкостной модели.

Результаты анализа применяются к простейшей модели сбоя периода, согласно которой две области нейтронной звезды вращаются твердо-тельно (из-за существования в сверхтекучем ядре.вихревых нитей), но. со слабой вязкой связью между собой. Динамические уравнения Хартля применительно к такой системе запишутся как уравнения и двух областях, описывающих соответственно две жидкости с твердотельными скоростями вращения П, "и П„.

Влияние гравимагнитных сил приводит к модификации закона сохранения импульса в этой модели: -

лА, +/л =/Ф)(1 -

где, по условиям модели, — характерное время для потерь момента.

а т ~ Я/с — время распространения гравитационной волны в звезде. Отметим, в силу появления в модели 0$(со) как независимой функции, гравитационные волны не будут более однозначно определять скорость вращения сверхтекучей жидкости, как это-было в безвихревом случае, и их роль сведется только к внесению «малых поправок в момент. Для нейтронных звезд эта поправка составляет ничтожную величину. Тем самым, эффект влияния увлечения системы отсчета на сбой периода можно считать отсутствующим. ■ -

Основные выводы '

1) Ключевым-свойством безвихревого вращения сверхтекучей жидкости является следующее из рассмотрения волновой функции конденсата равенство нулю ковариантной скорости ее движения. Состояние сверхтекучей жидкости характеризуется как покой в локально инерциальной системе отсчета (где метрика локально имеет диагональный вид и гра-вимагнитное поле отсутствует). Саму же локально инерциальную си. стему отсчета может вовлекать во вращение относительно неподвижных

звезд гравимагнитное поле от другого вращающегося тела (нормальной коры, второй компоненты двойной звезды). Такое вращение не искажает формы жидкости, поскольку вклад центробежных сил в уравнение гидродинамического равновесия записЫватся именно через ковариантную скорость движения и, следовательно, обращается в нуль. С точки зрения ' принципа Маха это можно было бы выразить так: поскольку во вращающейся (относительно неподвижных звезд) системе отсчета жидкость покоится и при этом на нее не действуют никакие силы, то и в системе ■ отсчета, неподвижной относительно удаленных звезд жидкость, хотя и будет вращаться, но также останется абсолютно инертной, в частности не изменит свою сферически симметричную форму.

2) При стационарном вращении массивного тела с твердой корой и сверхтекучей сердцевиной, в котором существенны общерелятивистские эффекты (нейтронная звезда), вследствие движения коры происходит вовлечение в безвихревое вращение сверхтекучей жидкости -— явление, невозможное при ее классическом описании как "стакана с жидким гелием". Вращение носит твердотельный характер, т.е. обладает не зависящей от радиуса угловой скоростью (контрвариантнои в смысле 4-скоростн!) относительно наблюдателя, связанного с системой отсчета.

18

ч

инерциальной на бесконечности. Сверхтекучая жидкость вращается с ну левым моментом и не может создавать вторичное гравимагнитное пол» (и, таким образом,, "экранировать" внешнее поле, как это происходит и обычном эффекте Мейсснера), и ее вклад в момент инерции системы заключается лишь в том, что из-за большой плотности и искривления про странства она вносит общерелятпвистские поправки к моменту ннерцпО коры.

Таким образом, само понятие вращение сверхтекучего конденсата оказывается неоднозначным. С одной стороны, этот конденсат вращается п смысле отличия от нуля контрварнантной компоненты скорости для уда ленного наблюдателя, но с другой стороны его ковариантная скорость и момент импульса в системе этого наблюдателя равны нулю, что обусловлено состоянием покоя конденсата в локально инерциальной системе отсчета;

3) С этими формулировками согласуютсфаиалогичные выводы для динамических проявлений сверхтекучего вращения. В сферически симметричной сверхтекучей жидкости сохранение моментаимпульса делает невозможными собственные вращательные колебания (которые могла быть предоставить связь сверхтекучей скорости и гравимагнитного поля); в присутствии же внешнего поля от гравитационной волны колебания имею ■ режим, согласованный с изменением внешнего поля, при этом сами не несут угловой момент и не создают вторичную волну. Все это спиде ■тельствует об устойчивом характере колебаний в сверхтекучей жидкости. Рассмотренные возможные проявления поперечной неустойчивости Джинса подавлены не только сохранением момента, но и ограничениями на геометрические размеры системы, следующими из требований суще ствования стационарной фоновой метрики в различных геометрических конфигурациях (протяженный плоский слой, длинный цилиндр).

•4) Вклад-колебаний сверхтекучей жидкости в пульсаре с вихревыми . нитями в перераспределение момента при сбое периода согласно дпухком-' понентной модели Бейма Пайнса-ГТетика-Рудермана оказывается весьма невелик. При изменении углового момента коры происходит возбуждение колебаний гравимагнитного поля, и вследствие этого, колебаний сверхтекучей жидкости, которые однако распространяются по звезде за время, ^г много меньше, чем период ее вращения и вносят очень малую поправку 1! характерное время уменьшения момента, влияющее на изменение производной угловой скорости пульсара после сбоя периода. Это происходит'

потому, что жесткая связь между корой и вращением сверхтекучей сердцевины в безвихревом случае при переходе к развитой конфигурации вихревых нитей-утрачивает свою силу. Теперь угловая скорость вращения ядра зависит'практически единственно от параметров движения вихревых нитей, не имееюгцих отношения к гравитации, а эффекты ОТО при сбое периода дают чисто гравитационноволновой, слабый отклик.

. По теме диссертации опубликованы следующие работы: •

1. Андреев-.А.Ю. Эффекты общей теории относительности и сверхтекучий. конденсат нейтронных звезд //. Многомерная гравитация и космология. Тезисы докладов Международной школы-семинара. Ярославль, 1994. СЛО."

2. Андреев А.Ю., Киржниц Д.А., Юдин С.Н. Может ли враща,ться тяготеющая сверхтекучая жидкость? //■ Письма в ЖЭТФ. Т.61.

. С.825-829 (1995)

.3. Андреев А.Ю., Киржниц Д.А. Точные решения одномерной задачи общей теории относительности // Краткие сообщения 1)0 физике ФИ АН. №5-6. С.34-38. (1996)

4. Андреев А.Ю!, Киржниц Д.А. Тахионы и неустойчивость физических систем//УФН.'тЛбб. С.1135-1140. (1996) .

5. Андреев А.Ю. Аналитическое решение уравнений общей теории относительности в одномерном .случае // Тезисы докладов 9 Российской гравитационной конференции "Теоретические и эксперимент тальные проблемы гравитации". Новгород, 1996. 4.1. С.5.