Равновесие и устойчивость вихревых цепочек во вращающейся сверхтекучей жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

о

ХАРЬКОВСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ОД

На правах рукописи

Зуева Татьяна Ивановна

РАВНОВЕСИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ ВИХРЕВЫХ ЦЕПОЧЕК ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Харьков — 1996

Диссертация является рукописью. Работа выполнена в Физико-техническом институте низких температур, г. Харьков

Научный руководитель: член-корр. HAH Украины,

доктор физ.-мат. наук, профессор ХРУСЛОВ Евгений Яковлевич

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, проф. АДАМЕНКО Игорь Николаевич, доктор физ.-мат. наук, проф. БОЕВ Анатолий Григорьевич.

Ведущая организация:

Симферопольский государственный университет.

•Защита диссертации состоится .2/сис^л 1996 г.

з /t). час. на заседании Специализированного ученого совета Д 02.02.03 Харьковского государственного университета (310077, Харьков, пл.Свободы, 4, ауд. 6-48).

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной библиотеке ХГУ.

Автореферат разослан 2о A/W 1996 г.

Ученый секретарь специализированного ученого совета

и

Ермаков В.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Среда многочисленных интересных и важных эффектов и объектов, открытых в физике нашего века, сверхтекучесть занимает выдающееся место. Это связано как с интересом к самому явлению сверхтекучести, так и с появлением многочисленных практических применений (сверхтекучесть в нейтронных звездах, сверхтекучесть растворов гелий 3-гелий 4 и др.).

Гидродинамика сверхтекучих жидкостей - один из важных разделов современной физики, развивающийся ускоренными темпами. Успехи этох! ветви фундаментальных исследовании служат основой прогресса целого ряда других областей науки (от ядерной физики до астрофизики), техники и медицины.

Вихревые линии, образующиеся в сверхтекучей жидкости при вращении сосуда, играют фундаментальную роль для понимания поведения сверхтекучей жидкости, поэтому изучению вихревых состояний посвящены многие как теоретические, так и экспериментальные работы. Вихревые состояния в сосудах простой формы исследованы ранее: в круговых цилиндрах - Вайненом, Гессом и Феттером, в узких кольцах - Доннеллн, Стауффером, Феттером, в бесконечном пространстве - Ткаченко. Однако в кольцах произвольных размеров скорость сверхтекучей жидкости с вихрями уже не записывается с помощью простых и наглядных формул, а требует решения соответствующей краевой задачи, что осложняет изучение. Такие исследования, важные с точки зрения эксперимента, ранее не проводились. В данной работе предложено решение задачи о пове-дешш вихревой системы в кольцах произвольных размеров.

Целью диссертационной работы является:

- решение краевой задачи для функции тока идеальной жидкости с вихрями в сосудах различной геометрии (в частности, в кольцах произвольных размеров и эллиптических цилиндрах);

- вычисление свободной энергии сверхтекучей жидкости с вихрями в кольцевых сосудах произвольных размеров и получение условия минимума свободной энергии;

- упрощение выражений для скорости и свободной энергии сверхтекучей жидкости в кольце в случае, когда вихри равномерно распределены по окружности;

- исследование равновесных состояний любого числа вихрей в кольцевых сосудах произвольных размеров при увеличении скорости вращения сосуда.

Практическая ценность исследования обусловлена тем, что динамика вихрей не ограничивается приложениями к сверхтекучей жидкости. Существует множество линейных дефектов в других упорядоченных сплошных средах, свойства которых подобны некоторым свойствам сверхтекучих вихрей. Помимо вихрей в сверхпроводниках, к ним относятся дислокации в твердых телах, линии Блоха в магнетиках, дисклинацшг в жидких кристаллах и др.

Методы исследования. При решении задач для функции тока в сосудах различной геометрш1 применен метод Фурье решения дифференциальных уравнений в частных производных. Использованы разложения в ряды Фурье различных функции. Для получения выражений для функции тока и скорости нашли применение представления эллиптических функций Вейерштрасса через тета-функции и в виде рядов. При вычислении свободной энергии использованы

основные законы термодинамики. Программа, позволяющая определять равновесное положение любого числа вихрей, написана на языке Турбо-Паскаль.

Положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Выражения для функции тока и скорости жидкости с вихрями в кольцах в терминах эллиптических функций Венерштрасса (выражения для произвольного расположения вихрен произвольной интенсивности и упрощенные выражения для системы однокванто-вых вихрей, расположенных на одной окружности).

2. Выражения для функции тока и скорости жидкости с вихрями в эллиптических сосудах через тета-функции.

3. Явное выражение для свободной энергии сверхтекучей жидкости во вращающихся кольцах произвольных размеров п условия равновесия вихревых цепочек в кольцах, а также условие устойчивости равновесного положения.

4. Исследование равновесного состояния вращающейся сверхтекучей жидкости в кольцах произвольных размеров: определение количества и равновесного положения вихрей при увеличении угловой скорости вращения сосуда.

5. Приближенные формулы для скорости, свободной энергии и условие равновесия вихревой цепочки в случае, когда число вихрей велико.

Все перечисленные результаты получены автором лично и составляют научную новизну работы.

Результаты, полученные в диссертации, и развитый в ней метод решения краевых задач дтя функции тока может быть практи-

чески использован при отыскании функции тока с вихрями в сосудах любой геометрии. Полученные результаты могут быть использованы для исследования равновесных состояний вращающейся сверхтекучей жидкости.

Достоверность результатов обеспечивается использованием новейших методов исследования. Показано, что в предельных случаях (цилиндров и узких колец) полученные формулы приводят к известным ранее результатам. Результаты численных экспериментов при значениях параметров, соответствующих реальным физическим экспериментам, находятся в качественном и количественном согласии с экспериментальными данными.

Все научные положения и выводы, приведенные в диссертации, достаточно обоснованы и аргументированы. Выкладки полны и математически корректны.

Апробация работы. Материалы работы неоднократно докладывались и обсуждались на семинаре отдела математического моделирования физических процессов Физико-технического института низких температур. Сообщение по материалам диссертации было сделано на научном семинаре кафедры теоретической механики в Харьковском государственном университете. Доклад о полученных результатах был сделан на XXX Совещании по физике низких температур в 1994 году в г. Дубна Московской области. Сделано сообщение на семинаре в Институте математики Ди8з1еи Университета Парпж-7, по материалам которого опубликована работа.

По материалам диссертации опубликовано пять работ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на пункты, дополнения, заключения и списка

литературы. Общий объем диссертагцш составляет 124 страницы, куда входят 12 рисунков и таблица. Список литературы содержит 54 наименования.

Основная цель данной работы - исследование течения гелия II в кольцевых сосудах произвольных размеров.

Во введении содержатся основные сведения о явлении сверхтекучести и наиболее значимые теоретические II экспериментальные результаты, связанные с исследованием течения сверхтекучей жидкости во вращающихся сосудах, а также краткое изложение полученных результатов.

Первая глава посвящена отысканию функции тот;а и скорости идеальной жидкости (сверхтекучей компоненты) с вихрями в кольцах произвольных размеров.

Рассматривается кольцо с внутренним радиусом Л\. внешним радиусом Т?2, вращающееся как твердое тело с угловой скоростью Предполагается, что кольце возникли А* вихрен произвольной интенсивности 7к, расположенные в точках /> = (гк,0,¡.). I- = 1. 2.....А"

(в полярных координатах), и задана циркуляция Г вокру! внутреннего цилиндра:

Тогда для функции тока ф такой жидкоеш имеем следующую задачу:

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Аф = —2я- £ й),

к=i

= const,

(1) (2)

/ v-dl = 2тгГ.

Jr—Ri

(3)

Здесь Е - поверхность кольца, состоящая из границ г = г =

Непосредственное решение задачи для функции тока для произвольного расположения вихрей произвольной интенсивности 7* дает функцию тока в виде ряда Фурье или через сг-функции Вейер-штрасса с полупериодами из\ = 7г и = г1п(/?2/-К1) =

i=i / -«i t=1

Reina

ю-

Дх

а скорость жидкости в кольце может быть записана в виде

(4)

¿Г

ЛГ

1 д

«(г) = -- Е 74+" £ 7*

г ^ ¿=1 г к=1

(5)

где С(^) - ^-функция Вейерштрасса с теми же полупериодами.

Если все вихри имеют одинаковую интенсивность 7 и равномерно распределены по окружности радиуса г о, выражения для скорости и функции тока значительно упрощаются:

г г г

С «■

2Щ{ г0 +-1п —

7Г

, (6)

(7)

но полупериоды С" и сг-функций здесь уже другие: = тг/А*, = ¿¡11(^2/^1) (чтобы об этом не забыть, С, 77 и сг отмечены волной). В Дополнении решена подобная задача в эллипсе. Функция тока идеальной жидкости с единственным вихрем, расположенным в точке (о (в эллиптических координатах), имеет вид

Ф((,Т)) = 7-Ке 1п 01 (С + Со)) + 7Де1п01 (С - Со)) -

-7Де 1п (С + Со)) - 7йе 1п в4 (С - То)) (8)

где величины К = я-, К' = 2£х - четвертьпериоды тета-функцнй, ц = ехр • Комплексно-сопряженная скорость может быть легко вычислена из функции тока.

Если есть N вихрей, расположенных в точках С к (к = 1 ■.... Д") в эллиптическом сосуде, функция тока равна сумме N слагаемых вида (8).

Во второй главе исследуются условия равновесия и устойчивости вихревых цепочек во вращающихся с постоянной угловой скоростью кольцах.

В отличие от односвязных сосудов (цилиндров), в кольцах, кроме квантованных вихрей внутри жидкости, может возникать циркуля-

щ1я вокруг внутреннего цилиндра, которая тоже должна быть квантована: Г = Ьу (7 = к/т- величина кванта циркуляции (/г - постоянная Планка, ш - масса атома Не4), Ь - целое число). Поэтому состояние сверхтекучей жидкости в кольцах определяется двумя целочисленными параметрами - числом вихрей N и числом Ь.

Чтобы исследовать условие равновесия вихрей в кольце, необходимо знать свободную энергию сверхтекучей жидкости как функцию параметров Ь и Ы: будем обозначать ее Г =

Если принять, что при низких угловых скоростях = 0, то для определения угловой скорости, при которой энергетически выгодным становится появление вихря или. кванта циркуляции, необходимо вычислить величины свободной энергии ^од п ^1,0 и сравнить их между собой. Меньшая из них п определяет, появляется вихрь или квант циркуляции, а угловая скорость, при которой эта энергия становится меньше свободной энергии -Ро,о, и будет угловой скоростью, при которой появление вихря (циркуляции) считается энергетически выгодным. Продолжая этот процесс, т.е. считая известной свободную энергию Род или ^о, можно определить порядок появления любого числа вихрен или квантов циркуляции, положение вихрей и угловую скорость, при которой они возникают.

Свободная энергия жидкости, заключенной между двумя цилиндрами радиусов 11-2 (/¡т < Д2), вращающимися с одной угловой скоростью и, вычисляется как некоторый функционал зависящий от скорости нормальной и сверхтекучей компоненты, с учетом того, что нормальная компонента жидкости совершает твердотельное1 вращение, а скорость сверхтекучей компоненты полностью определяется положенном вихрен и величиной циркуляции Ь.

Непосредственные вычисления дают выражение для свободной энергии в виде

у. / XII 7 1=1

rj к= 1 гкг>

„ <т(г 1п(г,7г]ь — (9; — Ок))) , а „ , /„., г,-\

-Де£1п Д * 4/л--1п- + Де1исг 2г1п-^- +

^ сг(г!п (г,-г4/Д? - (0,-- 0*))) г} V Ях

Условия экстремума свободной энергии имеют вид 2N уравнении: N уравнений вида

1{Ь + Ар 7 27г/ " г* , 7 г .Л,., 'V

"т ¿'т 7ггт ях гт \ ль

ЛГ

Гт *=1

кфт

с (г 1п ^ - (0* - бт)) - С (г 1п ^ - (0* - 0„

(т принимает значения от 1 до Лг) и N дополнительных уравнений, которые при равномерном распределении вихрей по окружности выполняются тождественно.

Подробный анализ этих уравнений показывает, что в равновесии вихри в сверхтекучей жидкости движутся вместе с нормальной компонентой (по окружности).

Если все вихри равномерно распределены по окружности радиуса го, то выражение для свободной энергин значительно упрощается, а условие равновесия принимает вид одного уравнения относительно параметра гд:

~г о =

N + 1 1 2Мт)

7

Г0 2 Г0 7ГГ0 Го

Равновесное положение является устойчивым (т.е. соответствует минимуму энергии), если вторая вариация свободной энергии положительна:

где Т(г) - 'Р-функция Вейерпгграсса.

Из общих формул для свободной энергии и скорости можно получить приближенные формулы для случая узких колец (с? = Яг—Щ -С -КО и для случая цилиндров (Щ —> 0), что подтверждает непротиворечивость данной теории результатам других авторов.

Результаты численных экспериментов представлены в диссерта-цш! в виде ряда графиков и в таблице (см. Рис. 1,2).

(1гпС (2|Ь(г0/ДО) + ЖгР (2|1п(г0/.Й1))) } > 0, (11)

я"

N

0

0.5

1.0

1.5

и

Рнс.1. Положение первого вихря (г0) в момент его возникновения. Здесь 3 = (г0 - Яг)/{Я2 - Я^ ■ 100, Я2 = 1.5 см.

Рис.2. Последовательность появления квантов циркуляции (Ь) или вихрей (ЛГ) в кольцах (й-2 = 1.5 см, Ях в сантиметрах указано на графике).

В третьей главе получаются приближенные формулы прп большом числе вихрей и обсуждается проблема потери устойчивости первой вихревой цепочки

Уравнение равновесия при больших . ./V принимает вид

Когда параметры (Rl/ro)2N С 1 и (г0//?2)2Л' <С 1, т.е. вихрей достаточно много, число вихрей в жидкости и циркуляция-вокруг внутреннего цилиндра связаны с угловой скоростью вращення сосуда простым соотношением

ад

Вторая вариация свободной энергии равна в этом приближении

Поскольку показательная функция растет быстрее любой степенной, при го, далеком от стенок, условие положительности второй вариации выполняется при всех Ь и N. Это означает, что предположение о расположении вихрей на одной окружности (которое делалось во всех численных экспериментах, но не при выводе общих формул) сильно ограничивает применимость полученных результатов. Для получения более общих результатов необходимо решать полную систему уравнений относительно положений вихревых линий или отдельно рассматривать положение вихрей на двух, трех и т.д. окружностях.

2N+2■

Выводы

В представленной диссертационной работе продолжены исследования, касающиеся изучения вращающихся сверхтекучих жидкостей. Исследовано поведение сверхтекучей жидкости в кольцах произвольных размеров. Получены следующие результаты:

1. Выражения для функции тока и скорости жидкости с произвольной системой вихрей в кольцах, а также упрощенные выражения для скорости и функции тока для системы одноквантовых вихрей, расположенных на одной окружности. Методом конформных отображений получено выражение для скорости жидкости с вихрями в полосе в виде разности (^-функций Вейерштрасса.

2. Явное выражение для свободной энергии сверхтекучей жидкости во вращающихся кольцах произвольных размеров и условия равновесия вихревых цепочек в кольцах. Выписано условие устойчивости равновесного положения.

3. Разработан и реализован алгоритм, позволяющий находить равновесное положение любого числа вихрей во вращающихся кольцах произвольных размеров: порядок появления вихрей или квантов циркуляции при увеличении угловой скорости вращения сосуда. равновесное положение первого и последующих вихрей, угловую скорость, при которой появляется любое число вихрей.

Получены приближенные формулы для скорости, свободной энер лн и условие равновесия вихревой цепочки в случае, когда число вихрен велико. Показаны пределы применимости сделанного в численных экспериментах предположения о расположешш вихрей на одной окружности.

5. Показано, что описанный метод решения задач для функции гока с вихрями применим для областей любой геометрии. Получены выражения для функции тока и скорости идеальной жидкости с вихрями в эллиптических сосудах.

Работы, опубликованные по теме диссертации

1. Тюпцов А.Д., Зуева Т.И., О функции тока идеальной жидкости с заданными вихревыми линиями в кольце, Мат. физика, анализ и геометрия, 1994, т.1, 3/4, 529-539.

2. Тюпцов А.Д., Зуева Т.И., Равновесие и устойчивость цепочек вихрей в сверхтекучем гелии во вращающихся кольцах произвольных размеров, Физика низких температур, 1994, т.20, 11, 1116-1124.

3. Зуева Т.И., Возникновение вихрей во вращающемся гелии II в кольцах произвольных размеров, в Тезисах докладов 30-го Совещания по физике низких температур, 6-8 сентября 1994 г., Дубна, 1994, часть 2, с.25-26.

4. A.D.Tyuptsov and T.I.Zueva, Equilibrium and stability of vortex chains in superfluid helium in rotating rings of arbitrary size, Low Temp. Phys.(Sov.), 20, Nov.1994, 877-883.

5. Zueva T., The flow function and velocity of ideal liquid with vortices in the elliptic vessel, Prépublication 42, Institut de Mathématiques de Jussieu, Paris, Octobre 1995, 1-10.

Анотащя

Зуева T.I. PiBHOBara та стишсть ланцюжюв BiixopÎB у надплиннш рщиш, що обертаеться.

Дисертащя на здобуття вченого ступеню кандидата (физико-математичних наук за спещальшстю 01.02.05 - мехатка рщини, газу та плазми, Харшвський державний ушверситет, Харгав, 1996.

Захшцаеться 5 наукових робгг, в яких дослщжено теч1ю надплинно1 рщини у шльцевих судннах. Отримано вираження для функцп тока та швндкоот р1дини з дов1льною системою нихорш у мльцях будь-яких po3Mipie в терминах елштичних функшй Вейерштрасса, а також спрощеш формули для швидкосп i вмьноГ енергп в випадку, кол!; вихор! piBHOMipHO розподмеш на кол1. Дослщжено поведшку над-плинноГ р1дини у мльцях при збшьшенш швидкосп обертання судини: з'ясовано порядок виникнення BiixopiB, ix мкцезнаходження, умови, за яких ланцюжки вих-opie е спйкими, кутову швидюстъ, при якш виникае та чи шша шлыйсть BiixopiB. Отримано приблизш формули у випадку, коли ыльюсть вихор'ш велика.

Ключов1 слова: надплинна рщина, ланцюжки BiixopiB, вмьна енерпя, елштичш функцп.

Abstract

Zueva T.I. Equilibrium and stability of vortex rows in rotating superfluid.

5 scientific papers are represented. The flow of superfluid in annulus is investigated. An expression for flow function with arbitrary system of vortices in annulus of arbitrary size in terms of the Weierstrass' cr-function and expression for velocity in terms of the Weierstrass' ^-function are obtained. The simplicity of formulas in case when all vortices are on the circle are represented. The behavior of superfluid in rotating annuli is investigated when the angular velocity of vessel increases: the moment of initiation and the position of any number of vortices, the condition of stability of vortex row and others.

Ответственный за выпуск Н.К.Радякин

Подписано к печати 25.04.1996 г. Физ.п.л. 1 Уч.-нзд. л. 1 Заказ N 8-96. Тираж 100 экз.

Отпечатано во ФТИНТ НАН Украины, Харьков-164, пр. Ленина, 47.