Вихревые волны и вихри в идеальной несжимаемой жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ В ЛАГРАНЖЕВЫХ

ПЕРЕМЕННЫХ.

1.1 .Особенности лагранжевого подхода.

1.2. Матричная форма уравнений гидродинамики.

1.3. Формулы для завихренности.

1.4. Модифицированные лагранжевые координаты.

1.5. Уравнения двумерной гидродинамики в комплексных лагранжевых координатах.

1.6. Один конкретный пример (волны Герстнера).

ГЛАВА 2. ВИХРЕВЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ НА СДВИГОВОМ

ПОТОКЕ.

2.1. Традиционные методы изучения волн.

2.2. Слабонелинейные волны на поверхности сдвигового потока.

2.2.1. Формулировка задачи.

2.2.2. Свойства волновых возмущений.

2.2.3. Примеры.

2.3. О предельной вихревой волне на поверхности жидкости.

6.2. Птолемеевские вихри. .156

6.3. Нелинейные вихревые волны Кельвина.166

6.3.1. Постановка задачи.167

6.3.2. Метод решения.169

6.3.3. Результаты вычислений.173

6.3.4. Примеры.180

6.4. Обсуждение результатов.184

ГЛАВА 7. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ ОДНОРОДНО ЗАВИХРЕННЫХ

ОБЛАСТЕЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ФОРМЫ.186

7.1. Одиночный вихрь в произвольном нестационарном однородном деформационном поле.189

7.2. Случай гармонического по времени деформационного поля.194

7.3. Другие работы, посвященные исследованию системы двух вихрей.203

7.4. Резюме и геофизические приложения.206

ГЛАВА 8. РАСЧЕТ ОТРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЙ ПО СХЕМЕ БЭТЧЕЛОРА.209

8.1. Метод построения вихрепотенциального течения с непрерывным полем скорости.211

8.1.1. Обтекание бугорка с образованием присоединенного вихря.214

8.1.2. Обтекание траншеи.218

8.2. Обобщение метода на случай тангенциального разрыва на границе вихревого и потенциального потока.224--■

8.3. Вместо заключения.227

ГЛАВА 9. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ВИХРЕВЫЕ ТЕЧЕНИЯ

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ).229

9.1. Комплексная форма матричных уравнений гидродинамики.231

9.2. Течения с искривленными вихревыми линиями.235

9.3. Течения с прямыми вихревыми линиями

Вихревые домены.241

9.4. Послесловие ко второй части.245

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.„д.246

ЛИТЕРАТУРА.250

-6 -ВВЕДЕНИЕ

В настоящей диссертации изучаются вопросы динамики распределенных вихревых образований в идеальной несжимаемой жидкости. Они полностью лежат в русле одного из центральных направлений развития механики жидкости, которое принято называть вихревая динамика. Такое название дал, в частности, своей обобщающей монографии один из наиболее авторитетных современных специалистов в области вихревого движения жидкости Сэффмен [1].

Исторически начало вихревой динамики как самостоятельному направлению гидромеханики положила, по-видимому, статья Гельмгольца 1858 года [2], в которой он сформулировал свои знаменитые теоремы о завихренности. Девятью годами позже Тэйт перевел работу немецкого физика на английский язык [3], чем зафиксировал пристальный интерес европейских механиков того времени к вопросам динамики завихренности.

Примерно в эти же годы Кельвин активно разрабатывает основы описания конкретных вихревых течений [4 -- 7]. К примеру, он нашел скорость распространения вихревого кольца в однородной безграничной жидкости [5] и подробно изучил линейные колебания на поверхности цилиндрического вихря [б]. Развивая аналогию между уравнениями электродинамики и гидродинамики,

Кельвин выдвинул вихревую теорию строения вещества [7]. Разумеется, с современной точки зрения она выглядит явно неудовлетворительной, но сам факт ее существования убедительно свидетельствует о том важном значении, которое придавали классики науки фактору завихренности течений.

Период времени, охватывающий последние десятилетия XIX - первые десятилетия XX столетия можно назвать "золотым веком" вихревой динамики. На этот промежуток приходится основная масса наиболее ярких аналитических результатов - таких, например, как эллиптический вихрь Кирхгофа [8], вихри Хилла [9], Чаплыгина-Ламба [10,11], тороидальный вихрь

Максвелла [12], интегрируемые случаи движения точечных вихрей [12-15], эллипсоидальные фигуры равновесия [12], неустойчивость Кельвина

Гельмгольца и знаменитая гипотеза Жуковского. Во второй и третьей четверти нашего столетия внимание исследователей к проблемам вихревого движения жидкости заметно снизилось. В вышедшем в 1970 году четырехтомнике "Механика в СССР за 50 лет" [16] это направление механики жидкости и газа даже не было представлено отдельной статьей. Интерес к задачам вихревой динамики в 60-х ^начале 70-х годов поддерживали, главным образом, физики, занимавшиеся изучением квантованных вихрей в сверхтекучих жидкостях. Но уже в конце 70-х годов после открытия когерентных структур в турбулентности ситуация качественно переменилась.

При исследовании турбулентного слоя смешения Браун и Рошко [17] обнаружили, что преобладающими движениями в этом слое являются крупномасштабные вихревые движения поперек потока. Эти движения рождаются в области перехода и не исчезают, когда возникает мелкомасштабная турбулентность, Авторы [17] наблюдали спаривание соседних вихрей, то есть слияние в процессе взаимного вращения двух близлежащих вихрей в один большего размера. Схожее поведение вихрей в ламинарном свободном сдвиговом слое обнаружили Винант и Браунд [18], правда, ранее на существование высокорегуляризованных вихревых движений на нелинейной стадии развития такого потока указывал еще Фреймут [19]. Позже организованные вихревые структуры были открыты в струях, следах, внутри пограничных слоев и т.д. (см., напр.,[20-22]). Это в значительной степени и предопределило всплеск интереса к задачам динамики вихревых ансамблей в последней четверти нашего века.

Повышенное внимание механиков к подобного рода исследованиям в настоящее время обусловлено также их разнообразными физическими приложениями. К числу последних следует отнести исследования движения вихревых образований в атмосфере [23-28] и океане[29-43]. Конечно, список цитированных работ по данной тематике является весьма неполным, но он ярко отражает факт распространения достижений теории вихрей в смежные области и демонстрирует очевидную актуальность задач вихревой динамики для изучения природных процессов. Если же, возвращаясь, говорить о направлениях, находящихся собственно в ведении механики жидкости, то здесь следует упомянуть о численных работах, в которых точечные вихри используются в качестве элементарных структур течения (см. ссылки [44 - 49] и библиографию в них).

В наступившем в середине 70-х годов "серебряном веке" вихревой динамики вновь активизировались попытки гидромехаников отыскать новые точные решения уравнений Эйлера. Среди результатов данного направления выделим прежде всего новые достижения в задаче о движении конечной системы точечных вихрей [50-54], трехмерные вихревые особенности вортоны [55,56], точечные вихревые диполи [57] и точечные вихревые квадруполи [58], нестационарные решения, описывающие динамику вихревых нитей [59-61], эллиптические вихри Мура и Сэффмена [62] и Киды [63]. Особо отметим изящную теорию движения турбулентного вихревого кольца, предложенную Б.А. Луговцовым [64 - 66].

Данная диссертационная работа продолжает эту линию исследований. Ниже последовательно рассматриваются задачи динамики одиночной вихревой области в окружающем потенциальном течении, взаимодействия двух распределенных вихрей, обтекания тел с образованием присоединенного вихря и некоторые режимы пространственных нестационарных вихревых движений жидкости. Главное внимание в диссертации уделяется выработке новых аналитических методов описания вихревых течений.

Но вопросы, связанные с эволюцией локализованных вихрей в идеальной несжимаемой жидкости, составляют лишь часть диссертации. Другая ее половина посвящена изучению распространения вихревых волн на поверхности жидкости.

В теории волн на воде традиционно широко используется предположение о потенциальности движения жидкости. Оно основывается на теореме Лагранжа, согласно которой, если в начальный момент движение было незавихренным и на жидкость действуют только потенциальные силы, то и в дальнейшем оно останется незавихренным. В реальных условиях, однако, эти предположения не всегда оказываются выполненными.

Начнем с того, что часто процесс волнообразования происходит на фоне сдвигового потока, и потому завихренность как бы присутствует внутри жидкости изначально. Другой фактор привнесения завихренности внутрь жидкости при ее волновом движении связан с проявлением вязких эффектов в приповерхностном слое [67,68]. Внутри этого слоя формируются дополнительные дрейфовые течения, которые могут влиять на характеристики волны, бегущей вдоль свободной поверхности. Наконец, обратим внимание на возможную неустойчивость потенциальных поверхностных волн по отношению к слабым трехмерным возмущениям завихренности [69]. Это служит еще одним аргументом в пользу важности и актуальности исследования вихревых волн на воде.

Начало изучению вихревых волн на воде положило знаменитое исследование Герстнера [70], выполненое еще в начале XIX века. В нем было построено точное решение уравнений гидродинамики для установившихся плоских вихревых волн конечной амплитуды на поверхности идеальной тяжелой жидкости бесконечной глубины [12,14]. Профилем свободной поверхности для волн Герстнера является трохоида, жидкие частицы в них движутся по окружности (дрейф отсутствует!), а завихренность убывает с глубиной. Теория слабонелинейных установившихся волн с более общим распределением завихренности, но по-прежнему при отсутствии сдвигового потока, развивалась в работах Дюбреиль-Жакотэн \71,72] и Гуйона [73]. В настоящей диссертации результаты последних удалось обобщить на случай распространения вихревых волн на фоне произвольного, устойчивого сдвигового потока, а также на случай пространственных волн. Эти результаты, дополненые исследованием вихревых стоячих волн на глубокой воде и анализом движения пакета гравитационных волн в слабозавихренной жидкости, позволяют говорить о создании в рамках данной работы слабонелинейной теории вихревых волн на воде.

Проблема описания вихревых волн естественно вписывается в круг вопросов, затрагиваемых вихревой динамикой, поэтому «волновая» и «вихревая» части представляемой диссертации не столько противостоят, сколько дополняют друг друга. Более того, их объединяют и общие способы математического описания течений, основанные на использовании лагранжевых координат.

Лагранжевые переменные крайне редко используются для решения гидродинамических задач. Причиной тому служит более сложный вид уравнений гидродинамики в форме Лагранжа по сравнению с их эйлеровым аналогом. Среди наиболее впечатляющих примеров применения лагранжевого подхода к задачам вихревой и волновой динамики следует выделить уже упоминавшиеся волны Герстнера: это единственное до сих пор точное решение для гравитационных волн на воде. Лагранжевые координаты использовались Я.И. Секерж-Зеньковичем для изучения потенциальных стоячих волн \74\, Л.Н. Сретенским в задаче о кольцевых волнах на поверхности вращающейся жидкости [75], A.C. Мониным для нахождения некоторых свойств, присущих установившимся гравитационным волнам на поверхности жидкости [76,77], и С.Я. Секерж-Зеньковичем при анализе параметрического возбуждения волн конечной амплитуды на границе раздела двух жидкостей разной плотности [78]. Цикл задач по исследованию устойчивости течений со свободной поверхностью в лагранжевом описании изложен в монографии В.К. Андреева [79]. Среди работ иностранных ученых упомянем методическую работу [80], в которой представлен вывод уравнения Шредингера из лагранжевых уравнений гидродинамики для пакета гравитационных волн на мелкой воде, и публикации норвежской группы геофизиков [81,82], посвященные расчету дрейфовых течений, индуцируемых затухающей гравитационно-капиллярной волной в приповерхностном слое. Этот список, по-видимому, можно несколько расширить, но в целом он по-прежнему будет оставаться фрагментарным и крайне ограниченным. Лагранжевые переменные - весьма непопулярный среди гидромехаников «инструмент исследования». С этой точки зрения использование лагранжевого подхода в качестве основополагающего способа описания вихревого движения жидкости выступает характерным отличительным признаком данной работы.

Диссертация состоит из введения, девяти глав и заключения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации проведено аналитическое исследование ряда основных моделей теории вихревых течений, к которым относятся, в частности, вихревые волны и локализованные вихревые образования во внешнем потенциальном потоке. Решения для них (как точные, так и приближенные) строятся с использованием комплексных и введенных автором модифицированных лагранжевых координат. Оригинальность и эффективность предложенных подходов применительно к анализу некоторых классических задач динамики идеальной несжимаемой жидкости дает основание говорить о придании в итоге работы качественно иного, существенно более высокого статуса одному из старейших направлений в теоретической гидромеханике - лагранжевому описанию течений.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Для изучения слабонелинейных вихревых волн предложен метод модифицированных лагранжевых координат, позволяющий учитывать влияние собственной завихренности волновых возмущений на их распространение.

2. Изучены нелинейные периодические вихревые стационарные волны, распространяющиеся по поверхности произвольного (устойчивого) сдвигового потока. Методом возмущений в модифицированных лагранжевых переменных получены уравнения, описывающие новый класс волновых возмущений с произвольным распределением их завихренности по линиям тока. Свойства волн этого класса детально проанализированы вплоть до третьего приближения. Найденное семейство волновых движений включает в себя как частные случаи все известные типы стационарных поверхностных волн сонечной амплитуды.

-2473. Аналитическое описание слабонелинейных стационарных периодических внутренних волн, распространяющихся на фоне произвольного (устойчивого) сдвигового потока, построено при наиболее общих предположениях о виде лагранжевых инвариантов течения (функции Дюбреиль-Жакотэн и интеграла Бернулли), т.е. их зависимости не только от функции тока (вертикальной лагранжевой координаты), но и от амплитуды возмущений. Показано, что каждой линейной моде внутренних волн может соответствовать целый набор различных волновых движений конечной амплитуды. Рассмотрены примеры нового класса внутренних волн в двухслойной и непрерывно стратифицированной жидкости с линейным профилем сдвигового потока.

4. Дано описание трехмерных стационарных периодических волн на глубокой воде, обладающих слабой завихренностью (пространственных волн Гуйона). Структура волн и их дисперсионные свойства исследованы с точностью до квадрата их амплитуды.

5. Впервые указано на существование стоячих колебаний поверхности бесконечно глубокой жидкости в присутствии слабого, порядка амплитуды волны, сдвигового течения. В результате взаимодействия с течением волны приобретают завихренность, пропорциональную кубу амплитуды.

6. Проведено теоретическое исследование задачи о распространении гравитационных поверхностных волн огибающей в слабозавихренной бесконечно глубокой жидкости. Коэффициенты нелинейного уравнения Шредингера, которому удовлетворяет комплексная амплитуда волны, определены через заданные выражения для завихренностей первого и второго приближений.

Результаты 1-6, собранные воедино, позволяют говорить о создании в рамках диссертационной работы СЛАБОНЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ВИХРЕВЫХ ВОЛН НА ВОДЕ.

7. Изучены свойства нового класса плоских вихревых нестационарных (птолемеевских) течений, описываемых точными решениями уравнений гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости. В дополнение к уже известным волнам Герстнера найдены три новых примера птолемеевских течений - эпициклоидальные волны в центрифуге, гипоциклоидальные волны на поверхности равномерно заряженного столба электронного газа в однородном продольном магнитном поле и стационарные течения электронной и ионной компонент в аналогичном магнитном поле, составляющие при наложении цилиндрическую равновесную плазменную конфигурацию с поперечным сечением в виде гипоциклоиды.

8. Решена задача о динамике птолемеевской вихревой области в окружающем потенциальном спадающем на бесконечности течении. Начальная форма вихря может быть в значительной степени произвольна. По мере вращения вокруг центра завихренности область в общем случае деформируется довольно сложным образом и возвращается через период к своему первоначальному виду. Завихренность внутри вихревого ядра распределена неоднородно. Единственное исключение - вихрь Кирхгофа, который служит простейшим представителем семейства птолемеевских вихрей.

9. Описаны слабонелинейные, обладающие собственной завихренностью, стационарные волны на границе цилиндрического вихря (нелинейные вихревые волны Кельвина). Структура волновых возмущений, а также угловая скорость их распространения определены вплоть до третьего приближения по малому параметру безразмерной амплитуды волны и зависят от заданной завихренности возмущений различных порядков.

10. Получено точное решение уравнений гидродинамики, описывающее динамику однородно завихренной эллиптической области во внешнем однородном произвольном нестационарном деформационном поле. Найдены уравнения для вычисления параметров эллипса. Показано, что в случае взаимодействия двух эллиптических областей, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними, эффект влияния одного вихря на другой сводится к действию гармонического по времени однородного деформационного поля. Изучены различные режимы поведения вихря в таком внешнем поле.

11. Предложен метод построения невязких вихрепотенциальных течений в модели Бэтчелора в случае отсутствия тангенциального разрыва на границе склейки вихревого и потенциального потоков. Впервые аналитически описано обтекание однородным потоком бугорка и траншеи.

12. Проанализированы свойства двух новых типов точных решений уравнений гидродинамики, описывающих пространственные течения с вихревыми линиями, прецессирующими вокруг некоторой оси. Для одного из них вихревые линии представляют собой плоские кривые произвольной формы, что характерно для вихревых шнуров во вращающейся жидкости. Для другого вихревые линии - прямые. Высказана гипотеза, согласно которой течения такого рода могут реализовываться внутри некоторого конечного объема турбулентного потока в качестве когерентных структур («вихревых доменов»).

1. Saffman P.G. Vortex Dynamics. Cambridge University Press, 1992. 311 p.

2. Heimholte H. Uber Integrale der hydrodynamischen Gleichungen welche den Wirbelbewgungen entsprechen. Crelles J. 1858. 55,25.

3. Tait P.G. Translation of «On integrals of the hydrodynamical equations which express vortex-motion» ву H. Helmgoltz// Phil. Mag. 1867. V. 33. P. 485-512.

4. Kelvin, Lord. On vortex motion // Trans. Royal Soc. Edinburg. 1868. V. 25. P. 217260 (Also: Collected works. Vol. IV, P. 13-65).

5. Kelvin, Lord. The translatory velocity of a circular vortex ring // Phil. Mag. 1867. V. 33. P. 511-512.

6. Kelvin, Lord. Vibrations of a columnar vortex// Phil. Mag. 1880. V.10. P. 155-168.

7. Kelvin, Lord. On vortex atoms // Phil. Mag. 1867. V. 34. P. 15-24.

8. Kirchhoff G. Vorlesungen über mathematische Physic: Mechanik. Teubner, 1876. ( Рус. пер.: Кирхгоф Г. Механика. М.: Изд-во АН СССР, 1962. 402с.).

9. Hill M.J.M. On the motion of fluid, part of which is moving rotationally and part irrotationally // Phil. Trans. R. Soc. A. 1884. V.175. P.363-410.

10. Чаплыгин C.A. Один случай вихревого движения в жидкости // Труды физической секции Московского Императорского общества друзей естествознания. 1903. Т.11. С.11-14. См. также: Собр. соч. М.-Л.: ОГИЗ, 1948. Т.2. С. 155-165.

11. Lamb Н. Hydrodynamics (3-rd edn.). Cambridge University Press, 1906.

12. Ламб Г. Гидродинамика. М.-Л.: Гостехиздат, 1947. 928 с.

13. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 758 с.

14. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. 4.1. М.: Физматгиз, 1963. 583 с.

15. Виляя Г. Теория вихрей. M.-J1.: 1936 . 266 с.

16. Механика в СССР за 50 лет. Т. 2 ( Механика жидкости и газа). М.: Наука, 1970.

17. Brown G.L., Roshko A. On density effect and large structure in turbulent mixing layers//J. Fluid Mech. 1974. V.64. P.775-816.

18. Winant C.D., Browand F.K. Vortex pairing, the mechanism of turbulent mixing layer growth at moderate Reynolds number //J. Fluid Mech. 1974. V. 63. P.237-255.

19. Freymuth P. On transition in a separated boundary layer//J. Fluid Mech. 1966. V.25. P.683-704.

20. Кантуэлл Дж. Б. Организованные движения в турбулентных потоках // Вихри и волны ( Под ред. В. Н. Николаевского ). М.: Мир. 1984. С. 9-79.

21. Hussain A.K.M.F. Coherent structures and turbulence //J. Fluid Mech. 1986. V.173. P.303-358.

22. Hussain A.K.M.F. Coherent structures reality and myth // Phys. Fluids. 1983. V.26. N.10. P.2816-2850.

23. Уиднелл HI. Структура и динамика вихревых нитей // Вихревые движения жидкости. М.: Мир, 1979. С.127-159.

24. Гледзер Е.Б., Должанский Ф.В., Обухов A.M. Системы гидродинамического типа и их применение. М.: Наука, 1984. 366 с.

25. Интенсивные атмосферные вихри / Под ред. Л.Бенгтссона и Дж.Лайтхилла. М.: Мир, 1985. 368с.

26. Smith J.H.B. Vortex flows in aerodynamics //Ann. Rev. Fluid Mech. 1986. V.18. P.221-242.

27. Петвиашвили В.И. Красное пятно Юпитера и дрейфовый солитон в плазме-252// Письма в ЖЭТФ. 1980. Т.32. №11.

28. Петвиашвили В.И., Похотелов O.A. Уединенные вихри в плазме и атмосфере. М.: Энергоатомиздат, 1989. 200 с.

29. Каменкович В.М., Кошляков М.Н., Монин A.C. Синоптические вихри в океане. Л.: Гидрометеоиздат, 1982. 264 с.

30. Коротаев Г.К. Теоретическое моделирование синоптической изменчивости океана. Киев : Наукова думка, 1988. 160 с.

31. Петров А.Г. О движении рингов Гольфстрима // Океанология. 1980. Т.20. Вып.6. С.965-973.

32. Ларичев В.Д., Резник Г.М. О двумерных уединенных волнах Россби //ДАН СССР. 1976. Т.231. №5. С. 1077-1079.

33. Коротаев Г.К., Чепурин Г.А. Модель динамики изолированного бароклинного вихря // Вопросы динамики океана. Л., 1984. С. 143-156.

34. Козлов В.Ф. Метод контурной динамики в модельных задачах о топографическом циклогенезе в океане // Изв. АН. Физ. атм. и океана. 1983. Т. 19. №8. С.845-855.

35. Козлов В.Ф. Метод контурной динамики в океанологических исследованиях // Мор. гидрофиз. журн. 1985. Т.24. №4. С. 10-15.

36. Козлов В.Ф., Макаров В.Г. Моделирование эволюции неустойчивых геострофических вихрей в баротропном океане // Океанология. 1984. Т.24. №5. С.737-743.

37. Жмур В.В., Щепеткин А.Ф. Взаимодействие двух квазигеострофических бароклинных вихрей: тенденция к сближению и слиянию // Изв. РАН. Физ. атм. и океана. 1992. Т. 28. №5. С.538-551.

38. Гончаров В.П., Гряник В.М. Геофизические аспекты динамики неоднородной вихревой пелены // Изв. АН СССР. Физ. атм. и океана. 1985. Т.21. №10. С.1011-1019.

39. Гончаров В.П., Гряник В.М. Взаимодействие неоднородной вихревой пелены с дискретными вихрями и течением // Изв. АН СССР. Физ. атм. и океана. 1985. Т.21. №11. С. 1123-1131.

40. Гряник В.М. Динамика локализованных вихревых возмущений «вихревых зарядов» в бароклинной жидкости // Изв. АН СССР. Физ. атм. и океана. 1983. Т. 19. №5. С.467-475.

41. Гряник В.М. Локализованные вихревые возмущения «вихревые заряды» и «вихревые нити» в бароклинной дифференциально вращающейся жидкости // Изв. АН СССР. Физ. атм. и океана. Т.24. №12. С. 1251-1261.

42. Белоцерковский О.М. и др. Моделирование отрывных течений на ЭВМ. М.: Наука, 1984. 121 с.

43. Белоцерковский О.М. Численный эксперимент в турбулентности: от порядка к хаосу. М.: Наука, 1997. 207 с.

44. Leonard A. Vortex methods for flow simulation // J. Comput. Phys. 1980. V.37. №3. P. 289-335.

45. Christiansen J.P. Numerical simulation of hydrodynamics by the method of pointvortices II J. Comput. Phys. 1973. V.13. №3. P.363-379.

46. Beal T., Majda A. High order accurate vortex methods with explicit velocity kernels // J. Comput. Phys. 1985. V.58. №2. P. 188-208.

47. Веретенцев A.H., Рудяк В.Я., Яненко H.H. О построении дискретных вихревых моделей течений идеальной несжимаемой жидкости // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1986. Т.26. №1. С. 103-113.

48. Новиков Е.А. Динамика и статистика ситстемы вихрей //ЖЭТФ. 1975. Т.68. С. 1868-1879.

49. Aref H. The motion of three point vortices // Phys. Fluids. 1979. V.22. P.393-400.

50. Новиков Е.А. Пример течения идеальной жидкости со стохастическими свойствами // Успехи мат. наук 1978. Т.38. №5. С.214-215.

51. Новиков Е.А., Седов Ю.Б. Коллапс вихрей //ЖЭТФ. 1979. Т.77. №2. С.588-597.

52. Aref Н. Integrable, chaotic and turbulent vortex motion in two-dimensional flows // Ann. Rev. Fluid Mech. 1983. V.15. P.349-390.

53. Новиков Е.А. Обобщенная динамика трехмерных вихревых особенностей (вортонов) //ЖЭТФ. 1983. Т.84. Вып. 3. С.975-981.

54. Saffman P.G., Meiron D.I. Difficulties with three-dimensional weak solutions for inviscid incompressible flow// Phys. Fluids. 1986. V. 29 (8). P. 2373-2375.

55. Чефранов С.Г. Динамика точечных вихревых диполей и спонтанные сингулярности в трехмерных турбулентных потоках // ЖЭТФ. 1987. Вып. 1 (7). С. 151-158.

56. Чефранов С.Г. Динамика точечных вихревых квадруполей и эллиптических вихрей на плоскости //ЖЭТФ. 1991. Т.99. С. 1149-1165.-25559. Hasimoto H. A soliton on a vortex filament//J. Fluid Mech. 1972. V. 51. P. 477-485.

57. Lamb G. Solitons and the motion of helical curves // Phys. Rev. Lett. 1976. V.37. P. 235-237.

58. Kida S. A vortex filament moving without change of form // J. Fluid Mech. 1981. V.112. P. 397-409.

59. Moore D.W., Saffman P.G. Structure of a line vortex in an imposed strain // Aircraft Wake Turbulence and its Detection ( ed. J.H. Olsen, A.Goldburg, M.Rogers) .1971. P. 339-354. Plenum.

60. Kida S. Motion of an elliptic vortex in a uniform shear flow // J. Phys. Soc. Japan. 1981. V. 50. P. 3517-3520.

61. Луговцов Б.А. О движении турбулентного вихревого кольца и переносе пассивной примеси // Некоторые проблемы математики и механики. Л. 1970. С. 182-197.

62. Луговцов Б.А. Структура турбулентного вихревого кольца в пределе исчезающей вязкости // ДАН СССР. 1976. Т.226. №3. С.544-546.

63. Луговцов Б.А. Турбулентные вихревые кольца // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики. 1979. Вып. 38. С.71-88.

64. Longuet-Higgins M.S. Mass transport in water waves // Phil. Trans. A. 1953. V.245. P.535-581.

65. Филлипс O.M. Динамика верхнего слоя океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1980. 320 с.

66. Lu Q., Benney D.J. Rotational effects on surface waves II Studies in Appl. Math. 1995. V.94. P.77-82.

67. J. Franz von Gerstner. Theorie der Wellen sammt einer abgeleiteten Theorie der

68. Deichprofile // Gilbert's Annalen der Physik. 1809. V.32. P.412-445.

69. Габов С.А. Введение в теорию нелинейных волн. М.: Изд-во МГУ, 1988. 177 с.

70. Dubreil-Jacotin M.L. Sur la determination rigoureuse des ondes permanentes periodiques dempleur finie // J. Math. PuresAppl. 1934. V. 13. N.3. P.217-291.

71. Gouyon R. Contribution a la theorie des houles // Annales de la Faculte des Sciences de I'Universite de Toulouse . 1958. V.22. P. 1-55.

72. Секерж-Зенькович Я.И. К теории стоячих волн конечной амплитуды на поверхности тяжелой жидкости конечной глубины//Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геофиз. 1951. Т. 15. №1. С.57-73.

73. Сретенский Л.Н. О кольцевых волнах на поверхности вращающейся жидкости //Динамическая теория приливов. М.: Наука, 1987. С.197-212.

74. Монин А.С. Лагранжево описание установившихся волн //ДАН СССР. 1972. Т.203. №4. С.769-771.

75. Океанология. Физика океана. Том 2. Гидродинамика океана / Под ред Монина А.С. М.: Наука, 1978. С.158-160.

76. Секерж-Зенькович С.Я. Параметрическое возбуждение волн конечной амплитуды на границе раздела двух жидкостей разных плотностей // ДАН СССР. 1983. Т.272. №5. С. 1083-1085.

77. Андреев В.К. Устойчивость неустановившихся движений жидкости со свободной границей. Новосибирск: Наука, 1992. 136 с.

78. Osborne A.R., Boffetta G. The shallow water nonlinear Schrodinger equation in Lagrangian coordinates // Phys. Fluids A. 1989. V.1. N.7. P.1200-1211.

79. Weber J.E. Wave attenuation and wave drift in the marginal ice zone // J. Phys. Oceanograf. 1987. V.17. P.2351-2361.-25782. Weber J.E., Forland E. Effect of the air on the drift velocity of water waves // J. Fluid Mech. 1990. V.218. P.619-640.

80. Сэффмен П. Динамика завихренности // Современная гидродинамика. Успехи и проблемы. М.: Мир, 1984. С.77-90.

81. Бежанов К.А., Тер-Крикоров A.M. Исследование граничных задач обтекания препятствия потоком стратифицированной слоистой жидкости // Докл. АН СССР. 1984. Т.277. №5. С. 1102-1104.

82. Бежанов К.А., Тер-Крикоров A.M. Многослойные установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости над неровным дном // Прикл. математика и механика . 1984. Т.48. №5. С.750-760.

83. Госсард Э., Хук У. Волны в атмосфере. М.: Мир, 1978. 532 с.

84. Stokes G.G. On the theory of oscillatory waves // Mathematical and Physical Papers. V.1. Cambridge, 1880. P. 197-229.

85. Dubreil-Jacotin L. Sur les ondes de type permanent dans les liquides heterogenes //Atti Reale Acad. Nationale Lincei. 1932. V.15. N.6. P.44-52

86. Захаров B.E. Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости //Ж ПМТФ. 1968. №2. С.86-94.

87. Hasimoto Н., Ono Н. Nonlinear modulation of gravity waves//J. Phys. Soc. Jpn. 1972. V.33. P.805-811.

88. Davey A. The propagation of a weak nonlinear wave // J. Fluid Mech. 1972. V.53. P.769-781.

89. Yuen H.C., Lake B.M. Nonlinear deep water waves: Theory and experiment // Phys. Fluids. 1975. V.18. P.956-960.

90. Абрашкин А.А. Динамика двумерных вихревых образований в однородной жидкости // Дисс. на соиск. уч. степ. канд. ф.-м. наук. Горький: ИПФ АН СССР, 1986. 112 с.

91. Девидсон Р. Теория заряженной плазмы. М.: Мир, 1978.

92. Rankine W.J. A Manual of Applied Mechanics. 1858, Griffin.

93. Bunyakin A.V., Chernyshenko S.I., Stepanov G.Yu. Inviscid Batchellor-model flow past an airfoil with a vortex trapped in a cavity // J. Fluid Mech. 1996. V.323. P.367-376.

94. Абрашкин А.А. Нелинейные азимутальные волны в центрифуге // Ж ПМТФ. 1984. №.3 С.86-88.

95. Абрашкин А.А. Плоские нелинейные МГД течения в круглом плазменном цилиндре в продольном магнитном поле // Физика плазмы. 1984. Т. 10. №.4. С. 730-734.

96. Абрашкин А.А., Якубович Е.И. О плоских вихревых течениях идеальной жидкости//ДАН СССР. 1984. Т. 276. №.1. С. 76-78.

97. Abrashkin А.А., Yakubovich E.l. On localized vortex formations in an ideal fluid // Nonlinear and Turbulent Processes in Physics. Gordon and Breach, Harwood Academic Publishers, N.Y., 1984. V.2. P.655-658.

98. Абрашкин A.A., Якубович Е.И. О нестационарных вихревых течениях идеальной жидкости //Ж ПМТФ. 1985. №.2. С. 57-64.

99. Абрашкин А.А. К теории взаимодействия двух плоских вихрей // Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. 1987. №.1. С. 62-68.

100. Абрашкин А.А., Якубович Е.И. О стационарных течениях с постоянной завихренностью //ДАН СССР. 1987. Т.292. №.2. С. 280-283.

101. Абрашкин А.А., Якубович Е.И. Двумерные вихри в идеальной жидкости //

102. Нелинейные волны. М.: Наука, 1987. С. 147-159.

103. Абрашкин A.A. Якубович Е.И. Обтекание неоднородностей плоской поверхности с образованием присоединенного вихря //Ж ПМТФ. 1988. №.5. С. 81-84.

104. Абрашкин A.A., Зенькович Д.А. Вихревые стационарные волны на сдвиговом течении // Изв. АН СССР. Физ. атм. и океана. 1990. Т.26. №.1. С. 35-45.

105. Абрашкин A.A. Метод модифицированных лагранжевых координат для описания вихревых волн в жидкости // Волны и дифракция -90. Т.2. М.: Физ. об-во СССР, 1990. С.291-294.

106. Абрашкин A.A., Зенькович Д.А. Вихревые гравитационные волны на сдвиговом потоке // Методы гидрофизических исследований. Турбулентность и микроструктура. ИПФАНСССР, Горький. 1990. С.284-298.

107. Абрашкин A.A. Пакет гравитационных поверхностных волн в завихренной жидкости // Изв. АН СССР. Физ. атм. и океана. 1991. Т.27. №.6. С.633-637.

108. Абрашкин A.A., Зенькович Д.А. О лагранжевом описании нелинейных стационарных периодических внутренних волн на сдвиговом течении // Лабораторное моделирование динамических процессов в океане. Новосибирск, 1990. С.60-63.

109. Абрашкин A.A., Зенькович Д.А. О движении завихренных областей // Изв. АН СССР. 1993. Т.29. №.6. С. 764-770.

110. Абрашкин A.A. Стоячие вихревые волны на глубокой воде // Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. 1996. №.3. С. 158-161.

111. Абрашкин A.A. Пространственные волны Гуйона // Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. 1996. №.4. С. 125-130.

112. Абрашкин A.A., Зенькович Д.А. Нелинейные волны Кельвина на границе цилиндрического вихря // Изв. АН. Мех. жидк. и газа. 1997. №.5. С.64-72.

113. Абрашкин A.A. Зенькович Д.А. Якубович Е.И. Матричная формулировкагидродинамики и трехмерное обобщение птолемеевских течений IIi996

114. Радиофизика. T.XXXIX. №.6. С. 783-796.

115. Абрашкин A.A., Зенькович Д.А., Якубович Е.И. Исследования трехмерных вихревых течений с помощью матричных уравнений гидродинамики // ДАН СССР. 1997. Т.357. №.5. С. 619-622.

116. Монин A.C., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. Т. 1. Санкт-Петербург: Гидрометеоиздат. 1992. 694с.

117. Дим Г., Забуски Н. Стационарные V- состояния, их взаимодействие, возврат и разрушение // Солитоны в действии. М.: Мир, 1981. С.289-304.

118. Чандрасекар С. Эллипсоидальные фигуры равновесия. М.: Мир, 1973. 520 с.

119. Налимов В.И., Пухначев В.В. Неустановившееся движение идеальной жидкости со свободной границей II Новосибирск: НГУ. 1975.172 с.

120. Овсянников Л.В. Общие уравнения и примеры // Задача о неустановившемся движении жидкости со свободной границей. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние. 1967. С. 5-75.

121. Лаврентьева О.М. О движении жидкого эллипсоида // Докл. АН СССР. 1980. Т.253. №4. С. 828-831.

122. Гарипов P.M. Эллипсоидальные капля или вихрь в неоднородном потоке // Ж ПМТФ. 1996. Т.37. №4. С.76-80.

123. Серрин Д. Математические основы классической механики жидкости. М.: Изд-во иностр. лит. 1963. 256 с.

124. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977. 816 с.

125. Ninh F.V. Stokes waves on shear flow//Oceanología. 1984. V. 18. P. 5-17.

126. Цао С. Поведение поверхностных волн на линейно изменяющемся течении // Тр. МФТИ. Исследования по механике и прикладной математике. 1959. Вып. 3. С.66-84.

127. Yih Ch.-Sh. Surfase waves in flowing water// J. Fluid Mech. 1972. V. 51. Pt. 2. P.209-220.

128. Hidy G.M., Plate E.J. Wind action on water standing in a laboratory channel // J. Fluid Mech. 1966. V. 26. Pt. 4. P. 651-687.

129. Burns J.C. Long waves in running water// Proc. Camb. Phil. Soc. 1953. V. 49. P.695-706.

130. Blythe P.A., Kazakia Y., Varley E. The interaction of large amplitude shallow-water waves with an ambient shear flow: non-critical flows // J. Fluid Mech. 1972. V. 56. Pt. 2. P. 241-255.

131. Уизем Г. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 622 с.-262135. Шрира В. И. О нелинейных волнах на поверхности слоя жидкости с постоянной завихренностью//Докл. АН СССР. 1986. Т.286. №6. С. 13321336.

132. Simmen J.A., Saffman P.G. Steady deep-water waves on a linear shear current//Studies in Applied Mathematics. 1985. V.73. N.1. P.35-47.

133. Silva A.F.Teles., Peregrine P.H. Steep, steady surface waves on water of finite depth with constant vorticity // J. Fluid Mech. 1988. V.195. P.281-302.

134. Моисеев H.H. Теорема существования и неединственности вихревых волн периодического типа // Прикл. матем. и механика. 1960. Т.24. Вып.4. С.711-714.

135. Dalrymople R.A. A finite amplitude wave on a linear shear current // J. Geophys. Res. 1974. V.79. P.4498-4504.

136. Dalrymple R.A. A numerical model for periodic finite amplitude waves on a rotational fluid // J. Comput. Phys. 1977. V.24. P.29-42.

137. Thomas G.P. Wave-current interactions: an experimental and numerical study. Part 2. Nonlinear waves II J. Fluid Mech. 1990. V.216. P.505-536.

138. Dubreil-Jacotin L. Sur les ondes de type permanent dans les liquides heterogenes//Atti Reale Acad. Nationale Lincei. 1932. V.15. N.6. P.44-52.

139. Long R.R. Some aspects of the flow of stratified fluids II Teilus. 1953. Pt. 1-5. N.1. P.42-58.

140. Тер-Крикоров A.M. К теории волн установившегося вида в неоднородной жидкости II Прикл. матем. и механика. 1965. Т.29. Вып.З. С.440-452.

141. Миропольский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. Л.: Гидрометеоиздат, 1981. 301 с.-263146. Йи Чиа-шун. Волновые движения в слоистых жидкостях// Нелинейные волны / Под ред. Лейбовича С. и Сибасса А. М.: Мир. 1977. 319 с.

142. Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях. М.: Мир. 1977. 431 с.

143. Taylor G.L. Effect of variation of density on the stability of superimposed streams of fluid // Proc. Roy. Soc. A. 1931. V. 132. P.499-532.

144. Miles J.M. On the stability of heterogeneous shear flows // J. Fluid Mech. 1961. V.10. Pt. 4. P.496-508.

145. Бежанов К.А., Тер-Крикоров A.M. Исследование спектральной задачи теории слоистых течений идеальной несжимаемой тяжелой жидкости // Дифференциальные уравнения. 1987. Т.23. №11. С.1843-1851.

146. Справочник по специальным функциям / Под ред. Абрамовича М. и Стиган И. М.: Наука. 1979. 832 с.

147. Новотрясов В.В. Дисперсионные зависимости и вертикальная структура внутренних гравитационных волн на сдвиговом течении (численный анализ)//Океанология. 1991. Т.31. Вып.6. С.885-891.

148. Гончаров В.В., Лейкин И.А. Волны на течении со сдвигом скорости // Океанология. 1983. Т.ХХШ. Вып.2. С.210-216.

149. Шварц Л., Фентон Дж. Сильно нелинейные волны // Нелинейные волновые процессы / Под ред. В.Н. Николаевского. М.: Мир, 1987. С. 10-36.

150. Schwartz L.W., Whitney А.К. A semi-analytic solution for nonlinear standing waves in deep water// J. Fluid Mech. 1981. V.107. P. 147-171.

151. Найфэ А. Методы возмущений. M.: Мир, 1976. 455 с.

152. Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. М.: Мир, 1964.-264158. Чаплыгин С.А. Вихревой поток, переливающийся через препятствие в форме круглого полуцилиндра //Собр. соч. M.-J1.: ОГИЗ, 1948. Т.2. С.537-546.

153. Чаплыгин С.А. Поток, обтекающий с непрерывными скоростями забор с образованием вихрей впереди и позади забора // Указ. собр. соч. Т.2. С.546-555.

154. Чаплыгин С.А. О пульсирующем цилиндрическом вихре //Труды физической секции Московского Императорского общества друзей естествознания. 1899. Т. 10. №1. С. 13-22. ( См. также: Указ. собр. соч. Т.2. С. 138-154 ).

155. Stuart J.Т. On finite amplitude oscillations in laminar mixing layer// J. Fluid Mech. 1967. V.29. N.3. P.417-440.

156. Shercliff J.A. Simple rotational flows //J. Fluid Mech. 1977. V.82. Pt.4. P.687-703.

157. Капцов О.В. Стационарные вихревые структуры в идеальной жидкости // Ж ПМТФ. 1989. №1. С. 109-117.

158. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: Наука, 1994. 319с.

159. Черный Г. Г. Плоские установившиеся автомодельные вихревые течения идеальной жидкости // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1997. №4. С.39-53.

160. Андреев В.К., Родионов A.A. Групповая классификация и точные решения уравнений плоского и вращательно-симметричного течения идеальной жидкости в лагранжевых координатах // Дифференциальные уравнения. 1988. Т.24. №9. С. 1577-1586.

161. Philips О.М. Centrifugal waves // J. Fluid Mech. 1960. V.7. N.3.

162. Сунь-Цао. О волнах на поверхности жидкости под действием центробежной силы //Ж ПМТФ. 1960. №3.

163. Соловьев Л.С. Винтовые движения в плазменном цилиндре // Вопросы теории плазмы. Госатомиздат, 1963. Вып.З. С.245-312.

164. Кролл Н., Трайвелпис А. Основы физики плазмы. М.: Мир, 1978. 520 с.

165. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М.: Мир, 1971.

166. Su С.Н. Motion of fluid with constant vorticity in a singly connected region // Phys. fluids. 1979. V.22. N.10. P.2032-2033.

167. Миндлин И.М. О волнах в однородной несжимаемой жидкости, индуцированных вихрем // ПММ. 1984. Т.48. Вып. 5. С.761-767.

168. Перепелкин В.В., Петров А.Г. Динамика эллиптического вихря // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1983. №4. С.55-60.-266178. Burbea J., Landau M. The Kelvin waves in vortex dynamics and their stability // J. Сотр. Phys. 1982. V.45. N.1. P.127-156.

169. Ахметов А.Г., Тарасов В.Ф. О структуре и эволюции вихревых ядер //Ж ПМТФ. 1986. №5. С.68-73.

170. Michalke A., Timme A. On the inviscid instability of certain two-dimensional vorterx-type flows//J. Fluid Mech. 1967. V.29. N.4. P.647-666.

171. John F. Two-dimensional potential flows with a free boundary // Comm. Pure and Appl. Math. 1953. N.6. P.497-503

172. New A.L. A class of elliptical free-surface flows // J. Fluid Mech. 1983. V.103. P.219-239.

173. Longuet-Higgins M.S. Parametric solutions for breaking waves // J. Fluid Mech. 1983. V. 121. P.403-424.

174. Melander M.V., Styczek A.S., Zabusky N.J. Elliptically desingularized vortex model for the two-dimensional Euler equations // Phys. Rev. Lett. 1984. V.53. N.13. P. Г222-1225.

175. Брутян M.A., Крапивский П.Л. Гамильтонова формулировка и основные законы сохранения для модели малых эллиптических вихрей // ПММ. 1988. Т.52. №1. С. 164-167.

176. Moore D.W., Saffman P.G. The density of organized vortices in a turbulent mixing layer//J. Fluid Mech. 1975. V.69. P.465-473.

177. John C. Neu. The dynamics of a columnar vortex in an imposed strain // Phys. Fluids. 1984. V.27(10). P.2397-2402.

178. Dritschel D.G., Waugh D.W. Quantification of the inelastic interaction of unequal vortices in two-dimensional vortex dynamics // Phys. Fluids A. 1992. V.4(8). P. 1737-1744.

179. Waugh D.W. The efficiency of symmetric vortex merger // Phys. Fluids A. 1992. V.4(8). P. 1745-1758.

180. Горшков К.А., Островский Л.А., Соустова И.А. Теория возмущений в динамике вихрей // Препринт ИПФ РАН №406. Нижний Новгород, 1996

181. Гольдштик М.А. Вихревые потоки. Новосибирск: Наука, 1981. 366 с.

182. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Физматгиз. 1961.

183. Prandtl L. Uber Flussigkeitsbewegung beu sehr kleiner Reibung//Vehr. d. Ш Intern. Math.- Kongr., Heidelberg, 1904. P.484-491. Leipzig: Teubner.

184. Batchelor G.K. On steady laminar flow with closed streamlines at large Reynolds number//J. Fluid Mech. 1956. V.1. P. 177-190.

185. Batchelor G.K. A proposal concerning laminar wakes behind bluff bodies at large Reynolds number//J. Fluid Mech. 1956. V.1. P.388-398.

186. Лаврентьев М.А. Вариационный метод в краевых задачах для систем эллиптического типа . М.: АН СССР. 1962. 136 с.

187. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1973. 416 с.

188. Асимптотическая теория отрывных течений / Под ред. Сычева В.В. М.: Наука. 1987. 256 с.

189. Шабат А.Б. Об одной схеме движения идеальной жидкости при наличии траншеи на дне //Ж ПМТФ. 1962. №4. С.68-80.-268202. Гольдштик М.А. Математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости // ДАН СССР. 1962. Т.147. №7. С.1310-1313.

190. Шабат А.Б. О двух задачах на склеивание // ДАН СССР. 1963. Т. 150. №6. С. 1242-1245.

191. Садовский B.C. О завихренной области вблизи твердой стенки // Учен. зап. ЦАГИ. 1971. Т.2. №4. С. 117-120.

192. Садовский B.C. О вихревых зонах в потенциальном потоке со скачком постоянной Бернулли на границе // ПММ. 1971. Т.35. Вып.5. С.773-779.

193. Садовский B.C. О некоторых свойствах потенциального и вихревого течений, граничащих на замкнутой жидкой линии тока // Учен. зап. ЦАГИ. 1971. Т.2. №1. С. 113-116.

194. Садовский B.C. Исследование решений уравнений Эйлера, содержащих области с постоянной завихренностью //Тр. ЦАГИ. 1973. Вып. 1474. 14 с.

195. Чернышенко С.И. О приближенном способе определения завихренности в зоне отрыва при вязкости, стремящейся к нулю // Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. 1982. №1. С. 10-15.

196. Садовский B.C., Синицына Н.П. О вихрепотенциальном течении идеальной жидкости на плоскости с углублением // Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. 1983. №2. С. 161-163.

197. Чернышенко С.И. Расчет отрывных течений маловязких жидкостей с помощью модели Бэтчелора // Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. 1984. №2. С.40-45.

198. Chernyshenko S.I. Stratified Sadovskii flow in a channel // J. Fluid Mech. 1993. V.250. P.423-431.

199. Moore D.W., Saffman P.G., Tanveer S. The calculation of some Batchelor flows: the Sadovskii vortex and rotational corner flow // Phys. Fluids. 1988. V.31. P.978-990.

200. Turfus C. Prandtl-Batchelor flow past a flat plate at normal incidence in a channel inviscid analysis // J. Fluid Mech. 1993. V.249. P.59-72.

201. Шафранов B.fl. ЖЭТФ. 1957. Т.ЗЗ. C.710-722.

202. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука. 1982.

203. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. М.: Наука, 1988. 304 с.

204. Hicks W.M. Researches in vortex motion . III. On spiral or gyrostatic vortex aggregates // Phil. Trans. Roy. Soc. 1899. A192. P.33-101.

205. Moffatt H.K. The degree of knottedness of tangled vortex lines // J. Fluid Mech. 1969. V.35. P. 117-129.

206. Шмыглевский Ю.Д. О закрученных течениях идеальной и вязкой жидкости //Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1993. Т.ЗЗ. №12. С. 1905-1911.

207. Скворцов А.Т. Точное решение уравнений магнитной гидродинамики в виде уединенного тороидального вихря // Письма ЖТФ. 1988. Т. 14. Вып. 17. С. 1609-1611.

208. Силаев И.И., Скворцов А.Т. Уединенные тороидальные вихри // Препринт ИПМ АН СССР. 1990. №9.-270224. Капцов O.B. Стационарные вихревые структуры в идеальной жидкости // ЖЭТФ. 1990. Т.98. Вып.2(8). С.532-541.

209. Dirichlet P.G. Untersuchungen über ein Problem der Hydrodynamik. Abhandl. der Konigl.Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen. 1860. Bd 8. N.3.

210. Владимиров В.А., Тарасов В.Ф. Образование системы вихревых шнуров во вращающейся жидкости // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1980. №1. С.44-51.