Новые аналитические методы исследования течений несжимаемой жидкости

Якубович, Евсей Исаакович

Новые аналитические методы исследования течений несжимаемой жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Якубович, Евсей Исаакович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нижний Новгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

2003 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Новые аналитические методы исследования течений несжимаемой жидкости»

Автореферат диссертации на тему "Новые аналитические методы исследования течений несжимаемой жидкости"

На правах рукописи

\ \

ЯКУБОВИЧ Евсей Исаакович

НОВЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕЧЕНИЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

01.02 05-механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

' диссертации на соискание ученой степени

I доктора физико-математических наук

Нижний Новгород - 2003

Работа выполнена в Институте прикладной физики РАН, г. Нижний Новгород

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

А. Б. Езерский,

академик РАН В. Е. Захаров,

доктор физико-математических наук А. И. Потапов

Ведущая организация:

Институт проблем механики РАН

Защита состоится «19» декабря 2003 г. в '•ччасов на заседании диссертационного совета Д212.165.10 по механике жидкости, газа и плазмы при Нижегородском государственном техническом университете по адресу: 603600 г. Нижний Новгород, ГСП-41, ул. Минина, д. 24, корп.1, ауд. 1238.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке Нижегородского государственного технического университета.

Автореферат разослан « » ноября 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физ.-мат. наук

А. А. Куркин

1 «75^

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Своеобразие гидромеханики и, по-видимому, главное ее отличие от остальных областей механики и физики состоит в том, что основные уравнения гидродинамики (уравнения Эйлера для невязкой жидкости и уравнения Навье - Стокса в вязком случае), описывающие движение жидкости, является существенно нелинейными. Классическая электродинамика, например, создавалась как линейная наука, а нелинейные члены «добавлялись» в уравнения Максвелла по мере возрастания сложности рассматриваемых явлений. Нелинейная оптика вообще родилась только в 60-х годах XX века. Точно так же и квантовая механика, теория упругости, акустика и т.д. по преимуществу развивались как науки линейные.

Совсем иная судьба у механики жидкости. Для большинства ситуаций, представляющих интерес, нетривиальных линейных движений просто не существует. В тех же ситуациях, когда линеаризация основных уравнений движения позволяет найти приближенное решение той или иной важной задачи, очень часто область его применимости оказывается очень узкой. В течение более двухсот лет с момента, когда Эйлером были сформулированы основные уравнения гидродинамики (в форме Эйлера и Лагранжа), основной прогресс в теоретическом исследовании течений жидкости был связан, во-первых, с выявлением и «разработкой» таких ситуаций, а затем, в двадцатом столетии, с развитием и использованием асимптотических методов, применяемых к тому же классу явлений. Однако, эффективность асимптотических методов, как правило, ограничивается условием слабой нелинейности рассматриваемых движений или, реже, наличием другого малого параметра. В связи с этим, в последние десятилетия 20го века наиболее интенсивно развивались численные подходы к решению, как исходных уравнений, так и асимптотических моделей (в нашей стране основные достижения связаны с именами: Лаврентьев, Белоцерковский, Сретенский, Гольд-штик, Черный, Моисеев). Несмотря на огромные успехи этого направления и необыкновенный рост возможностей компьютеров, аналитические решения по-прежнему важны для выявления причин и механизмов сложных процессов, для радикального упрощения численных расчетов (а часто и для полного их исключения) и, наконец, как эталоны для проверки правильности прямого численного моделирования.

В этой связи, актуальным остается поиск новых аналитических подходов к решению уравнений гидродинамики, как направленных на непосредственное получение решений, так и на создание новых методов численного моделирования. Удачным примером последнего рода является метод контурной динамики, развитый для двумерной гидродинамики (Deem G.S., Za-busky NJ. Vortex Wavers: stationary «V states», interactions, recurrence and

breaking //Phys. Rev. Lett. 1978. v.40. p.859-862.). Он удобен для численных расчетов контура вихря.

Наиболее значительные аналитические продвижения для существенно нелинейных процессов были достигнуты для потенциальных движений и двумерных течений с постоянной завихренностью. Одной из ключевых причин успехов в этой области было применение мощных аналитических методов теории функций комплексного переменного, развитых до высокой степени совершенства М. А. Лаврентьевым и его школой. Были получены широкие классы точных решений и существенные редукции, значительно упрощающие численное решение ряда фундаментальных и практически важных задач. В реальных течениях область потенциального движения обычно не заполняет все пространство, а граничит с вихревым течением. Таковы, например, практически чрезвычайно важные задачи отрывного обтекания. Задача сшивки потенциальных и вихревых течений, т.е. построения «составного» движения во всем пространстве занимаемом жидкостью, была выделена М.А. Лаврентьевым в качестве ключевой фундаментальной проблемы На пути дальнейшего развития этого плодотворного подхода еще в 1962 году [Лаврентьев М.А. Вариационный метод в краевых задачах для систем эллиптического типа. М., 1962. 136с.]. Эта проблема, несмотря на целенаправленные усилия многих ученых, не поддавалась решению и сохранила свою актуальность.

Важной особенностью гидродинамики является тот факт, что существует два теоретически равноправных, но концептуально различных способа описания движения жидкости, которые принято называть лагранжевым и эйлеровым описанием. В целом, в силу разного рода причин эйлеров подход оказался абсолютно доминирующим, однако в последние годы практические задачи, связанные с анализом движения лагранжевых трассеров в океане, атмосфере и гидродинамических экспериментах, стимулировали развитие численных алгоритмов, основанных на прямом интегрировании лагранжевых уравнений, И новый интерес к их более глубокому теоретическому исследованию. Ввиду того обстоятельства, что крупномасштабные движения океана и атмосферы, определяющие погоду и климат, представляют собой движения в тонком сферическом слое и с хорошей точностью могут считаться Двумерными, предметом особого внимания стала двумерная динамика в рамках лагранжевых уравнений. Здесь определенный прогресс был достигнут на пути анализа сравнительно простых моделей, например, динамики конечного числа точечных вихрей (см. Saffman P.G. Vortex Dynamics. Cambridge Univercity Press. 1992. 311 p. и цитируемую там литературу) и прямого численного Моделирования. В этом контексте особо желательным было бы построение классов точных решений, способных, с одной стороны, описать более широкий круг ситуаций, а с другой, служить

! t . >С<Г 4

; -iJTOKr.Jkrf '

, г

в качестве базовых решений для теории возмущений, в качестве тестовых при построении численных схем, а также способствовать развитию интуиции исследователей.

Помимо «злободневных» проблем гидродинамике присущи и «вечные» темы. Одной из них является не закрытая, но и не реализованная, возможность принципиально новых парадигм связанных с концептуально и математически иными подходами к описанию движений жидкости. По существу, со времен Эйлера, развившего эйлеров и «лагранжев» подходы, пожалуй, наиболее значительным шагом стало осознание и использование векторной природы поля скорости и, соответственно, привлечение аппарата векторного анализа. Фундаментальный вопрос о возможности построения гидродинамики на основе более богатых математических объектов, например матриц, оставался открытым. Весьма ограниченный успех попыток Максвелла, Гамильтона и Лаврентьева и его школы в этом направлении привел к тому, что такая возможность даже перестала обсуждаться. Тем не менее, по мере того как исчерпывались относительно доступные возможности развития в рамках традиционных подходов, актуальность поиска альтернатив лишь увеличивалась со временем.

Одним из наиболее успешно развивавшихся в последние десятилетия разделов гидродинамики является теория нелинейных волновых движений конечной амплитуды. Успех в исследовании слабонелинейных волн для очень широкого круга различных гидродинамических ситуаций связан с осознанием и активной эксплуатацией факта универсальности слабонелинейных моделей. Наиболее прозрачный вид этот факт приобретает для консервативных систем при использовании метода гамильтоновского формализма, развитого Захаровым: в результате применения систематической асимптотической процедуры все разнообразие волновых процессов, будучи представленным в некоторых канонических переменных, сводится к небольшому числу универсальных «канонических» моделей, описываемых сравнительно простыми, так называемыми, укороченными уравнениями. При этом уникальность каждого волнового процесса и особенность гидродинамической ситуации аккумулируется в коэффициентах канонических моделей. В ситуации общего положения большинство волн в гидродинамике является диспергирующими. Для диспергирующих слабонелинейных волн в устойчивых ситуациях реализуется одна из двух возможностей: либо закон дисперсии «распадный» и, соответственно, разрешены трехволновые резонансные взаимодействия; либо, закон нераспадный, тогда трехволновые резонансные взаимодействия запрещены, и доминирующим типом взаимодействия являются резонансные четырехволновые процессы. В любом случае, фундаментальным элементом эволюции волнового поля становится особенности динамики изолированного триплета или квартета резо-

нансно взаимодействующих волн. Несмотря на то, что возникающие укороченные уравнения существенно Проще, чем исходные, тем не менее, они представляют собой системы нелинейных уравнений в частных производных, не имеющих малого параметра в ситуации общего положения. Их доскональное исследование является одной первоочередных задач теории волн. Так называемые «уравнения трех волн», описывающие эволюцию резонансного триплета взаимодействующих волн, исследовались методами обратной задачи теории рассеяния (Захаров В.Е. Точные решения в задаче о параметрическом взаимодействии трехмерных волновых пакетов // ДАН СССР. 1976. Т.228. №6. С.1314-1316; Каир D.J., Reiman A., Bers A. Space-time evolution of nonlinear three-wave interactions // Rev. Mod. Phys. 1979. V. 51. P. 275-310), однако по-прежнему остается актуальным поиск новых классов точных решений.

Цель работы. Диссертация посвящена разработке новых аналитических методов анализа движения идеальной и вязкой жидкости, а также их использованию для получения точных решений. В число основных проблем решаемых в диссертации, в частности, входят следующие:

1. Развитие метода сшивки произвольно завихренных течений с потенциальными и его применение к классическим задачам обтекания с отрывом.

2. Исследование уравнений гидродинамики в форме Лагранжа, включая поиск их новых форм и точных решений.

3. Развитие нового матричного описания идеальной и вязкой гидродинамики.

4. Развитие Нового Метода исследования резонансного взаимодействия трех волн.

Научная новизна работы состоит в следующем. В ней впервые:

Развит метод сшибки однородно завихренных течений с потенциальными И на его основе решены задачи обтекания цилиндрической поверхности с образованием присоединенной вихря. Указанный метод сшивки обобщен йа случай неоднородной Завихренности.

1. Для уравнений гидродинамики в форме Лагранжа найдены новые формы представления, более удобные для анализа, что позволило построить класс Точных решений, включающий, помимо обширного семейства новых решений, такие известные точные решения двумерных лагранжевых уравнений, как волны Герстнера и вихрь Кирхгофа.

2. Показана возможность описания произвольных движений идеальной и вязкой жидкости в терминах лагранжевой матрицы Якоби, что позволило развить новое матричное описание гидродинамики и, в частности, построить обширные классы Точных решений.

3. Предложен метод исследования резонансного взаимодействия трех волн, позволяющий описывать процессы недоступные для изучения традиционными методами.

Научная и практическая значимость. В диссертации разработаны и апробированы принципиально новые методы теоретического анализа динамики несжимаемой жидкости.

На их основе рассмотрен широкий круг проблем, имеющих фундаментальный характер, такие, как методы сшивки вихревых и потенциальных течений, новые формы уравнений Лагранжа, матричное описание вихревых течений, формулировка лагранжевых уравнений для вязкой жидкости.

В месте с тем ряд результатов, полученных в диссертации, представляет и практический интерес. Так, предложенные методы сшивки вихревых течений с потенциальными могут быть использованы при анализе движения квазидвумерных вихрей в атмосфере и океане. Полученные точные решения уравнений гидродинамики могут быть использованы при тестировании численных моделей. Результаты точного решения задачи о динамике триплета резонансно взаимодействующих волн будут полезны для практического анализа широкого круга различных волновых процессов.

Апробация результатов и публикации. Материалы диссертации докладывались на II Всесоюзной школе по нелинейным волнам (Горький, 1973), на IV Всесоюзной конференции «Океан» (Владивосток, 1983), на II Международной рабочей группе по нелинейным и турбулентным процессам в физике (Киев, 1983), на VII Всесоюзной школе по нелинейным волнам (Горький, 1985), на XIII Школе-семинаре «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность» (Московская обл., 1998), на Международном семинаре «Day on Diffraction'99» (Санкт-Петербург, 1999), на Международном симпозиуме «Solitons, Collapses and Turbulence: Achievements and Perspectives» (Черноголовка, 1999), на Международной конференции «Progress in Nonlinear Science» (Нижний Новгород, 2001), на Всероссийской научной школе «Нелинейные волны - 2002» (Нижний Новгород, 2002); а также на семинарах Отделения гидрофизики и гидроакустики ИПФ РАН, Института океанологии РАН, Научной школы акад. В.И. Таланова и опубликованы в 20 работах (из них 12 статей [1-12], 3 препринта [13-15] и 5 тезисов докладов [16-20].

Личный вклад автора. Работы с соавторами [7, 19] выполнены на паритетных началах. Другие работы с соавторами выполнены под научным руководством автора диссертации.

Общая структура работы. Работа состоит из введения, пяти глав, и заключения с перечнем основных результатов. Объем диссертации оставляет 230 страниц, включая 12 рисунков и список литературы из 91 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Цо введении обоснована актуальность темы диссертации, дан обзор затрагиваемых в ней проблем и существующих методов их рещения. Сформулированы цели и задачи исследования, кратко изложено содержание работы, включающее предварительную сводку основных результатов, полученных в диссертации.

Первая глава посвящена рассмотрению одной из центральных проблем гидродинамики вихревых течений - склеиванию вихревых и потенциальных областей.

В разделах ц 1,2 дан краткий рбзор точных решений, не использующих наш метод, а также моделей и схем для описания локализованных вихрей в потенциальном потоке- В конце раздела отмечено отсутствие аналитических методов, связанное с необходимостью преодоления двух трудностей: определения течения в вихревой области и сшивки его с внешним потенциальным потоком.

В разделе 1.3 излагается метод сшивки однородно завихренного, локализованного внутри односвязанной области, течения с внешним потенциальным потоком. Старость на границе с внешним течением предполагается непрерывной (схема Лаврентьева). Суть метода заключается в следующем. Пусть нам известно стационарное течение внутри вихревой области с постоянной завихренностью . Общее выражение для комплексной скррости внутри викрч будет

_ I №

где Ф - некоторая аналитическая функция.

Полагая, что границе вихря соответствует значение функции тока, равное , получим уравнение гранщвд

Движение жидкррти вне вихря запишется как

^"'Т^-ЙТ, (3)

где Ъ - рещение уравнения

(4)

В_рамрм деле, с одной стороны выражение (4) определяет Ъ как функцию IV и, следовательно, скорость Уц - потенциальна, а с другой - на границе вихря Ъ равно (это видно из сравнения (2) с (4)). Отсюда на границе

(I)

скорости вихревого (1) и потенциального (3) потоков равны. При этом граница вихря автоматически совпадает с граничной линией тока обоих типов течений.

Далее в этом разделе тестируются основные вычислительные приемы предлагаемого метода на простейшем известном примере - эллиптическом вихре во внешнем потенциальном потоке.

Затем в разделах 1.3.1 - 1.3.3 развитый метод применяется для решения задач кругового обтекание цилиндра с образованием присоединенного вихря, обтекания траншеи с образованием присоединенного вихря, обтекания бугорка с образованием присоединенного вихря. Определены условия существования присоединенного вихря. Подчеркнем, что указанная методика впервые позволила найти аналитические решения задач обтекания по схеме Лаврентьева.

В разделе 1.4 указано дальнейшее развитие способа сшивки поля скорости вихревой области с внешним потенциальным течением, если известно поле скорости в вихревой области даже для неоднородной завихренности.

Наш метод построения вихре-потенциального течения был обобщен на случай тангенциального разрыва на границе вихревого и потенциального потоков Бунякиным, Чернышенко и Степановым (J. Fluid Mech. 1996. V.323. Р.367-376). В разделе 1.5 кратко изложено содержание этой работы.

Вторая глава посвящена изложению новых форм представления уравнений лагранжевой гидродинамики. Изложенные в ней оригинальные подходы к лагранжевой гидродинамике позволяют развить новые направления исследований течений жидкости.

В разделе 2.1 дана сравнительная характеристика эйлерова и лагран-жевого описания течений жидкости. Здесь же отмечены выигрышные стороны лагранжевого подхода, использованные в других разделах работы.

Раздел 2.2 посвящен изложению лагранжевой формы уравнений гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости. Наряду с исходной системой уравнений приводится также система уравнений для вихря (уравнения в форме Коши).

В разделе 2.3, завершающем вводную часть этой главы, приведены уравнения непрерывности и вихря в цилиндрической и сферической системах координат. Как уже отмечалось, уравнения в форме Лагранжа в гидродинамике применялись крайне редко. Более того, не известно ни одного случая их применения в недекартовой системе координат. Между тем, формулировка этих уравнений в различных системах координат может быть полезна как для геофизических приложений, так и для анализа некоторых проблем механики жидкости. В конце раздела приводится формулировка уравнений в форме Лагранжа для течений на сферической поверхности,

представляющая определенный интерес в связи с геофизическими приложениями.

В разделе 2.4 получены уравнения для инвариантов Коши во вращающейся жидкости. Для жидкости, вращающейся как целое с постоянной угловой скоростью ¿2 , эти уравнения будут:

= (5)

Здесь правые части - инварианты Коши, функции только лагранжевых переменных а,Ь,с; индексы внизу у вектора г означают дифференцирование по соответствующей переменной.

Раздел 2.5 посвящен формулировке уравнений гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости в комплексных лагранжевых переменных. Комплексная форма записи уравнений позволила в двумерном случае представить их в виде условия независимости от времени двух якобианов:

Э/

ЦТ "х щ = 0, э У/ IV- <х

Ж "х щ Э1 IV "х "г

= 0

Здесь Х = + % = -}.(а-и>) п Ф-^Х + ПГ), =

Первое из этих соотношений является уравнением непрерывности, а второе - уравнением вихря. Компактность этой формы записи существенно упрощает исследования и позволит нам в дальнейшем найти новый класс нестационарных вихревых течений (гл. III).

В разделе 2.6 излагается новый подход к лагранжевому описанию динамики жидкости. Он заключается в следующем. Вместо определения координаты X одной частицы как функции времени и лагранжевых переменных а ) описывается относительное перемещение йХ= {(1Х,с1У,(12\ двух бесконечно близких частиц-соседок. Бесконечно малое отличие лагранжевых переменных этих частиц с1а = {Ла,с1Ь,с1с} связано с (¡X с помощью матрицы Якоби:

Ч *ъ К к= X X х ,

Показано, что обычные уравнения вихря сворачиваются в одно матричное уравнение для Я:

(6)

(7)

Дтк- ктк, = 8, (8)

где матрица $ составлена из инвариантов Коши. Полученное уравнение вместе с уравнением непрерывности

1«-о (9)

и условием того, что матрица В. имеет вид (8)

(это условие указано Д. А. Зеньковичем) составляют замкнутую систему уравнений гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости. Тем самым показано, что матрица Якоби может выступать как фундаментальная величина, элементов которой вполне достаточно для описания движения жидкости - подобно скорости при эйлеровом описании или координаты частицы при лагранжевом.

Следует отметить ряд важных свойств полученных уравнений. Они не содержат других неизвестных функций, кроме матрицы Якоби. Они однородны, т.е. Я входит в каждое уравнение в одинаковых степенях. Это позволяет надеяться на получение в будущем автомодельных решений. Уравнение для завихренности (8) содержит только производные по времени, уравнение совместности (10) - производные только по лагранжевым переменным, а уравнение непрерывности (9) вообще алгебраическое.

Далее в этом разделе после анализа свойств полученных матричных уравнений приводятся аналогичные матричные уравнения, следующие из комплексной формы уравнений Лагранжа. Получается система комплексных матричных уравнений того же вида, что и система (8)-(10). Эта же комплексная форма уравнений была выведена Д. А. Зеньковичем путем использования унитарных преобразований.

В заключение этого раздела рассматриваются граничные условия различного типа для лагранжевых уравнений идеальной жидкости.

В разделе 2.7 выводится и подробно анализируется другая форма матричных уравнений гидродинамики.

Идея вывода новой формы матричных уравнений состоит в том, что деформацию жидкого элемента и его поворот (с сохранением длины) можно раздельно описать, представив Я в виде произведения ортогональной матрицы на симметричную: К-ВЬ, где первая матрица ортогональна, а вторая - симметрична. При этом ортогональная матрица опишет вращение, а симметричная - деформацию бесконечно малого жидкого элемента.

Далее выводятся уравнения для этих матриц, т.е. уравнения для деформации и вращения бесконечно малого жидкого элемента.

Уравнение для Ъ совпадает с уравнением непрерывности

!■(<&*£) = о (11)

(Я

Уравнение для 0 имеет вид

0, = 0Л, (12)

где Л(а,1) = --^(.EГl5'^Г, + Ь',Ц - ¿>,Ь'1) - антисимметричная матрица,

зависящая только ОТ £) и не зависящая от0 .

Интересным свойством этой системы является независимость уравнения непрерывности от 0. Иными словами, уравнение непрерывности (11) можно решать, ничего не зная о величине 0. Общий вид матрицы Ъ, удовлетворяющий этому уравнению, будет

)

г1, (13)

14, 0 (Г

Ь= 7 0 ¿22 0

, о 0 ¿33,

где Т - произвольная ортогональная матрица (вообще говоря, функция всех переменных), а произведение элементов внутренней матрицы не зависит от времени и не равно нулю.

Другим важным свойством полученных уравнений является линейность по отношению к 0, как уравнения движения, так и условия градиент-ности.

Интересной особенностью полученной формы уравнения (12) является его удобство для получения членов ряда возмущений для 0. На первый взгляд, даже если известно возмущение для Ь (тем самым определено возмущение матрицы А) определение возмущения для 0 связано с решением системы дифференциальных уравнений третьего порядка с переменными коэффициентами. Однако структура матричного уравнения (12) позволяет довести определение возмущения 0 до квадратур в любом порядке.

В разделе 2.8 предлагается описание течений вязкой жидкости в переменных Лагранжа. Основная идея вывода соответствующих уравнений заключается в следующем. В отсутствии вязкости инварианты Коши, как известно, постоянны. В присутствии вязкости они уже постоянными не будут. Наряду с традиционными неизвестными функциями инварианты Коши рассматриваются как еще три неизвестных функции. Далее показано, что при Наличии вязкости они будут описываться уравнением диффузии во «вмороженной» в жидкость системе координат. Это уравнение и будет искомым. По существу оно является аналогом уравнения Гельмгольца для

вязкой жидкости в переменных Лагранжа. Полученную систему уравнений можно записать для компактности в векторной форме:

§ = гоиктдг/ дО,

> . (14)

Здесь индекс внизу у знака ротора означает, что операция ведется по ла-гранжевым переменным; матрица § ~ /сметрический тензор, характеризующий «жидкую» систему координат, связанную с переменными Лагранжа; вектор 5 имеет своими компонентами инварианты Коши. В этих уравнениях для простоты за лагранжевы переменные приняты начальные координаты частиц жидкости.

Важно отметить, что первое уравнение в этой системе совпадает с уравнением (8) для к в гидродинамике идеальной жидкости. Произошло разделение временных масштабов: инерционных, описываемых первым уравнением, и вязких - вторым уравнением. Последнее обстоятельство упрощает использование приближений для больших и малых чисел Рейнольд-са.

Действительно, пусть характерное время изменения X равно Т, а - характерный масштаб изменения 5 тогда, если » —у (большое число Рей-

нольдса), то в уравнении для 5 вместо точного значения метрического тензора можно поставить его среднее по времени Т значение. Более того, его выражение под знаком усреднения можно брать, исходя из решения для течения идеальной жидкости. Траектории частиц будут выглядеть как при отсутствии вязкости, но с плавно меняющимися параметрами.

Далее в разделе указывается, что в этом приближении возможны такие режимы течений, когда все пространство можно разбить на области двух типов движений жидкости: «плавные», уже отмеченные, и «резкие», представляющие из себя относительно тонкие слои между «плавными» течениями с существенно разными 5.

Для таких типов течений формулируются граничные условия на бесконечно тонком пограничном слое между двумя типами течений с существенно разными завихренностями - условия на скачке завихренности.

Другой предельный случай - это большой коэффициент вязкости Л 1

(—у» — , т.е. малые числа Рейнольдса). Тогда в диффузионном уравнении а Т

можно пренебречь членом и время будет входить в него лишь параметром. При этом уравнения для координат (первое уравнение), конечно, будут содержать производные По времени. Все это будет выполняться до тех пор,

пока производные в правой части диффузионного уравнения не станут настолько малыми, что правая часть сравняется с отброшенной левой.

Глава III посвящена новому классу точных решений уравнений двумерной гидродинамики, открытому благодаря комплексной якобианной форме уравнений Лагранжа (гл. II).

Об этом классе рассказывается в разделе 3.1. Выражение, описывающее этот тип течений, имеет вид

+ (15)

где G, F - аналитические функции, А,|1 - произвольные действительные числа. Отметим, что функции G и F в значительной степени произвольны, т.к. единственным ограничением на их выбор является требование необращения в нуль якобиана D.

Траекториями жидких частиц при таком движении жидкости будут эпициклоиды (гипоциклоиды), т.е. частицы описывают окружность, центр которой в свою очередь движется по другой окружности. По таким орбитам вращались планеты в Птолемеевой картине Мира. В связи с этим данный тип течений был назван птолемеевским.

Далее в этом разделе подробно рассматриваются свойства птолемеев-ских течений: изучена их динамика, распределение завихренности и давления, получено в неявном виде выражение для скорости как функции эйлеровых переменных.

Показано, в частности, что из всех возможных решений в лагранжевых переменных, содержащих конечный набор временных (не зависящих от координат) частот, уравнениям двумерной гидродинамики удовлетворяет только двухчастотное решение, описывающее птолемеевские течения. Во избежание недоразумений подчеркнем, что это относится только к лагран-жевому описанию.

В разделе 3.2 рассмотрены примеры птолемеевских течений: такие известные как волны Герстнера и их обобщение для неоднородного давления на поверхности жидкости, полученное A.A. Абрашкиным. В подразделе 3.2.3 описаны эпициклоидальные волны, которые были подробно исследованы A.A. Абрашкиным в дипломной работе (1981 г.), выполнявшейся под руководством автора и позднее им опубликованной. В 3.2.4 описан вихрь Кирхгофа.

Раздел 3.3 посвящен решению проблемы «сшивки» одиночной области птолемеевского течения с внешним потенциальным потоком.

Проблема сшивки вихревых течений с потенциальными в переменных Лагранжа выглядит также сложно, как и в переменных Эйлера. Однако пто-лемеевское решение обладает достаточной пластичностью для удовлетворения граничным условиям сшивки. Метод определения внешнего потенциального потока заключается в следующем. Пусть выражение

W= avexp(/Ai) + F(v), |v|<l ^

v = exp(ikx), % = a + ib где а - некоторая положительная постоянная, задает птолемеевское течение внутри этой области. Предположим также, что на плоскости лагранже-вой переменной v ей соответствует внутренность единичного круга, что эквивалентно условию Ъ > О. Форма вихревой области при таком выборе может быть в значительной степени произвольной в зависимости от вида функции F.

Обратимся теперь к определению потенциального течения во внешности вихря. Для этого поступим следующим образом. Запишем комплексную координату некоторой точки внешней области W и комплексную скорость в этой точке V в виде следующих функций комплексного параметра v (теперь |v| > 1)

W- avexp(iXt) + Fl — ,

(17)

.. ika ... .

V = -=-exp(i\t)

Эти выражения совпадают с выражениями для W и V птолемеевского течения на границе вихря. Следовательно, они удовлетворяют условиям непрерывности скорости и давления на границе. Во избежание недоразумений подчеркнем, что комплексная переменная v в выражениях (17) уже не является лагранжевой переменной. Она совпадает с переменной Лагранжа только на границе вихря при |v| = 1.

Соотношения (17) решают проблему, так как являются параметрической формой записи искомого потенциального течения. Действительно, из них следует, что V - аналитическая функция от комплексно сопряженной координаты W, т.е. течение потенциально.

В конце этого раздела определяются условия, при которых потенциальное продолжение птолемеевского вихря не будет иметь особенности. Доказано, что при выбранном типе птолемеевского течения, во внешнем потенциальном течении не будет особенностей, если внутри птолемеевского

вихря якобиан D = |G'|2 - |F'|2 не обращается в нуль.

В разделе 3.4 рассмотрена динамика конкретных птолемеевских вихрей во внешнем потенциальном течении, спадающем на бесконечности. В начале раздела описано семейство вихрей, которые вращаются как целое, не меняя своей формы [Абрашкин A.A. Нелинейные волны в центрифуге // ПМТФ. 1984. №3. С.86-88.]. Аналитически они описываются выражением

W= ave*'+ßv\ (18)

где п - целое неотрицательное число. Угловая скорость их вращения равна

<и = — X (19)

п +1

Для п = 1 получаем эллиптический вихрь; вихри, соответствующие значениям п> 2, представляют области гипоциклоидальной формы с числом выступов п +1.

Для функции Т7, отличной от степенной, вихревая область помимо вращения деформируется довольно сложным образом. На рисунках в конце раздела воспроизведена динамика границы вихревой области течения, описываемого функциями IV- + /г(у) с Г(у) = -0,5у + 0,2у2 ; 0,3\>2 + 0,1 V3; 0,2у3 + 0,1 V4. Из них видно, что начальная форма вихря повторяется через период, а ее форма зависит исключительно от вида Р. 1

Глава IV содержит примеры реализации преимуществ матричного описания течений жидкости.

В начале раздела 4.1 для более ясного понимания того, как «работает» матричный подход, он применяется для описания хорошо нам известного двумерного птолемеевского течения (15). Затем ищется трехмерное решение, матричная структура которого аналогична матричной структуре птолемеевского решения. Таким способом Д.А. Зенькович нашел два типа трехмерных обобщений птолемеевских решений: одно с прямыми вихревыми линиями, другое с плоскими кривыми вихревыми линиями.

В разделе подробно анализируется пример обобщенного птолемеевского течения с прямыми вихревыми линиями, полученное Зеньковичем.

Другое решение, со сложными пространственными вихревыми линиями, полученное автором диссертации, рассмотрено в разделе 4.2.

Глава V посвящена одному из наиболее динамично развивавшихся в последние десятилетия разделов гидродинамики - теории нелинейных волновых движений конечной амплитуды.

В гидродинамике такого вида взаимодействие возможно, например, для гравитационно-капиллярных волн, при взаимодействии поверхностных волн с внутренними и т.п. Волновое взаимодействие этого типа возникает также *

в физике плазмы, в нелинейной оптике, в электрических и механических колебаниях и в механике жидкости и газа; подобные взаимодействия встречаются даже в динамике народонаселения. '

В этой главе предлагается эффективный метод исследования динамики триплета резонансно взаимодействующих волн. Он позволил описать такие процессы, исследование которых другими методами (включая и метод обратной задачи) не представлялось возможным.

В разделе 5.1 представлены уравнения, описывающие взаимодействие трех параметрически связанных волн в среде с квадратичной нелинейно-

стью. Рассматривается случай, когда не существует такой системы координат, в которой все три групповое скорости этих волн параллельны. Тогда возможен переход к трем независимым характеристикам для формулировки уравнений взаимодействия

ЭД — , ЗА -; . ЭА . .

-^ = сс,Л2Л3,-^- = а2Д А3,-^ = а3Л1Л2 (20)

Поясним обозначения: Л,,Л2,Л3- комплексные амплитуды резонансно связанных волн, независимые переменные £,т1,т- характеристики, а, ,а2,ос3- коэффициенты взаимодействия. Черта сверху, как и ранее, обозначает комплексное сопряжение.

Следует обратить внимание на то, что в приведенных уравнениях уже нет малых параметров.

В разделе 5.2 предлагается метод получения двух типов решений системы (20), зависящих от произвольных функций.

В результате применения указанного метода получается класс решений:

Л = (сг + Ь + с) ехр(/Ф2 (Т1) + гФ3 (т)),

А2 = +Ь + С) ехрО'Ф, (О - »,(.». (21)

4 = + с) ехр(гФ2(г|) + гФ,(^)),

где а = а(1},Ь = Ь(г\),с = с(х), Ф,(§), Ф2(т1),Ф3(т) - произвольные функции; а функции Д23(9) удовлетворяют системе обыкновенных дифференци-альньгх уравнений. Эта вспомогательная система аналогична исходной:

^ = = = (22)

В частности, масштабным преобразованием систему (20) можно привести к виду, где а, = а2 = а3 = г и тогда эти функции - эллиптические функции Якоби: бп, сп, dn. Перебирая различные частные решения вспомогательной системы, можно получать различные формы решений исходной системы (20).

Этот тип решений служит основой для получения второго значительно более широкого класса решений, когда одна из произвольных функций будет произвольной функцией от двух характеристик.

В качестве примеров использования предложенной теории в этом разделе описывается взаимодействие трех волн с амплитудами в виде импульсов. Динамика рассмотренного процесса может быть весьма разнообразной в зависимости от начальных и краевых условий. В частности, возможно наблюдение такого процесса, как «слетание» с трех направлений трех импульсов, и, после некоторого «варения», разлет уже двух импульсов. При определенных условиях взаимодействие импульсов может привести к так называемой взрывной неустойчивости. Такой тип взаимодействия был исследован Крейком с помощью нашего метода (Craik A.D.D. Evolution in space and time of résonant wave triad // Proc. R. Soc. Lond. 1978. V. A363. P.257-269) ■

В заключительном разделе 5.3 показано, что развитый метод эффективен и при исследовании резонансного взаимодействия двух волн.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

| ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

' 1. Предложен метод сшивки однородно завихренных течений с по-

' тенциальными и на его основе решены задачи обтекания цилиндрической

1 поверхности с образованием присоединенного вихря. Найдено обобщение

' этого метода на случай неоднородной завихренности.

2. Найдена новая форма двумерных уравнений гидродинамики в виде законов сохранения двух якобианов. Полученная якобианная форма уравнений позволила открыть новый класс двумерных нестационарных вихревых

* течений (так наз. птолемеевские течения). Частными случаями течений это-

го класса являются волны Герстнера и вихрь Кирхгофа.

3. Предложен метод сшивки области произвольного птолемеевского ^ течения с внешним потенциальным течением. На его основе изучена динамика произвольного одиночного птолемеевского вихря.

4. Установлено, что система уравнений Лагранжа для произвольного вихревого течения сворачивается в одно матричное уравнение для матрицы Якоби. С помощью этих матричных уравнений найдено и подробно изучено новое семейство нестационарных трехмерных вихревых течений, вихревые линии которого образуют сложные пространственные кривые. Частный случай таких кривых - пространственные спирали.

5. Путем представления матрицы Якоби в полярной форме получена ' система двух матричных уравнений гидродинамики, описывающих раздельно деформацию и вращение бесконечно малого жидкого элемента. С помощью полученной системы найдены в квадратурах выражения для членов ряда теории возмущений.

6. Найдены уравнения для вязкой жидкости в лагранжевых переменных. В полученной системе уравнений произошло точное разделение временных масштабов, ответственных за инерционные и вязкие процессы. Это позволило провести упрощение уравнений при больших и малых числах Рейнольдса.

7. Предложен эффективный метод исследования динамики триплета резонансно взаимодействующих волн, позволивший описать и исследовать пространственное и временное поведение их комплексных амплитуд для широкого класса начальных условий.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Якубович Е.И. О невырожденном взаимодействии параметрически связанных волн. // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1974. Т. 17, №4. С. 627-629.

2. Абрашкин А.А., Якубович Е.И. О плоских вихревых течениях идеальной жидкости. // Докл. АН СССР. 1984. Т.276, №1. С.76-78.

3. Абрашкин А.А., Якубович Е.И. О нестационарных вихревых течениях идеальной несжимаемой жидкости. // Журн. прикл. механики и техн. физики. 1985. №2. С.57-64

4. Abrashkin А.А., Yakubovich E.I. On localized vortex formations in an ' ideal fluid // Nonlinear and Turbulent Processes in Physics. Gordon and Breach, Harwood Academic Publishers, N.Y., 1984. V.2. P.655-658.

5. Абрашкин A.A., Якубович Е.И. О стационарных течениях с посто- I янной завихренностью. // ДАН СССР. 1987. Т.292, №2. С.280-283.

6. Абрашкин А.А., Якубович Е.И., Двумерные вихри в идеальной жидкости//Нелинейные волны. М.: Наука, 1987. С.147-159.

7. Абрашкин А.А., Якубович Е.И., Обтекание неоднородностей плоской поверхности с образованием присоединенного вихря // Журн. прикл. механики и техн. физики. 1988. №5. С.81-84.

8. Абрашкин А.А., Зенькович Д.А., Якубович Е.И. Матричная формулировка гидродинамики и трехмерные обобщения птолемеевских течений // Изв. ВУЗов. Радиофизика, 1996. Т.39. №6. С.783-796.

9. Абрашкин А.А., Зенькович Д.А., Якубович Е.И. Исследование трехмерных вихревых течений с помощью матричных уравнений гидродинамики// ДАН. 1997. Т.357, №5. С.619-622.

10. Yakubovich E.I., Zenkovich D.A. Matrix approach to Lagrangian fluid dynamics // J. Fluid Mech. 2001. V.443. P.167-196.

11. Якубович Е.И., Новый подход к гидродинамике несжимаемой жидкости // Нелинейные волны-2002. Нижний Новгород, 2003. С. 211-222.

12. Yakubovich E.I., Zenkovich D.A. Matrix fluid dynamics. // Proceedings of International Conference «Progress in Nonlinear Science»: v.II «Frontiers of Nonlinear Physics» / Ed. by Litvak A.G. N. Novgorod, 2002. P. 282-287; e-Print arXiv:physics/0110004.

13. Yakubovich E.I., Zenkovich D.A. Matrix approach to Lagrangian fluid dynamics. Preprint of Institute of Applied Physics №533. N.Novgorod: Institute ^ of Applied Physics, Russian Academy of Sciences. 2000. 37p.

14. Абрашкин A.A., Якубович Е.И. О нестационарных вихревых течениях идеальной несжимаемой жидкости. Препринт ИПФ АН СССР №64. Горький: ИПФ АН СССР, 1983.21с.

15. Абрашкин А.А., Якубович Е.И. О стационарных течениях с постоянной завихренностью. Препринт ИПФ АН СССР №128. Горький: ИПФ АН СССР, 1985. 12с.

16. Абрашкин А.А., Зенькович Д.А., Якубович Е.И. Новый метод исследования лагранжевых уравнений гидродинамики для трехмерных вихревых течений // Материалы XIII Международной Школы-семинара Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность /Под ред. С.Я. Герценштейна. М.: Институт механики МГУ, 1998. С. 14-15.

17. Yakubovich E.I., Zenkovich D.A. Matrix formulation of hydrodynamic equations: an analytical approach to three-dimensional vorticity dynamics // Day on Diffraction '99. Intl Seminar. Saint Petersburg, 1999. P.49-50.

18. Yakubovich E.I., Zenkovich D.A. Stretching of Ptolemaic vortices by axisymmetric irrotational strain: exact solutions of matrix equations // Solitons, Collapses and Turbulence: Achievements and Perspectives. International Workshop: Abstracts. Chernogolovka, 1999. P. 63.

19. Shrira V.I., Yakubovich E.I. On the stability of steady 2-d potential flows with respect to 3-d rotational perturbations, vorticity dynamics in weakly nonpotential flows. 2 nd European fluid mechanics conference: Abstract. Warsaw, 1994 P.68.

20. Yakubovich E.I., Zenkovich D.A. Matrix fluid dynamics. - Progress in Nonlinear Science. International Conference: Abstracts. Nizhny Novgorod, 2001. P.191.

ОГЛАВЛЕНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

ВВЕДЕНИЕ........................................................................................................6

ГЛАВА I. Метод построения вихрепотенциального течения

по схеме Лаврентьева......................................................................................40

1.1 Краткий обзор известных точных решений.............................................40

1.2 Проблемы и модели отрывных течений..................................................46

1.3 Метод «сшивки» однородно завихренных течений

с потенциальными............................................................................................50

1.3.1 Круговое обтекание цилиндра с образованием присоединенного вихря.................................................................................................................58

1.3.2 Обтекание бугорка с образованием присоединенного вихря..............67

1.3.3 Обтекание траншеи с образованием присоединенного вихря.............73 '

1.4 Метод «сшивки» произвольно завихренных течений

с потенциальными............................................................................................81

1.5 Обобщение метода на случай тангенциального разрыва на границе вихревого и потенциального потоков............................................................84

ГЛАВА II. Новые способы представления уравнений гидродинамики в форме Лагранжа............................................................................................91

2.1 Особенности лагранжевого подхода........................................................91

2.2 Уравнения гидродинамики в форме Лагранжа.......................................93

2.3 Уравнения в форме Лагранжа в цилиндрической и сферической системах координат.........................................................................................97

2.4 Лагранжево описание вращающейся жидкости....................................100

2.5 Уравнения Лагранжа в комплексной форме. Якобианная форма уравнений для двумерных течений..............................................................106

2.6 Матричная форма уравнений Лагранжа................................................110

2.7 Полярная форма матричных уравнений гидродинамики.....................127

2.8 Описание течения вязкой жидкости в переменных Лагранжа.............134

ГЛАВА III. Птолемеевские течения.............................................................142

3.1 Птолемеевские течения...........................................................................143

3.2 Примеры птолемеевских течений...........................................................155

3.2.1 Волны Герстнера..............................................................................:.... 155

3.2.2 Волны на воде при неоднородно распределенном вдоль ^ поверхности и гармонически изменяющимся со временем давлением.... 158

3.2.3 Эпициклоидальные волны во вращающейся жидкости

(аналог волн Герстнера на цилиндрической поверхности...................-......160

3.2.4 Вихрь Кирхгофа....................................................................................166

3.3 Метод «сшивки» птолемеевских течений с потенциальными.............167

3.4 Динамика птолемеевского вихря............................................................174

ГЛАВА IV. Трехмерные обобщения птолемеевских течений...................181

4.1 Обобщенные птолемеевские течения с прямыми вихревыми линиями......................................................................................'....................183

4.2 Обобщенные птолемеевские течения с криволинейными вихревыми линиями.......................................................................................191

ГЛАВА V. Метод исследования нелинейного резонансного взаимодействия трех волн.............................................................................197

5.1 Основные уравнения для резонансных нелинейных

с взаимодействий трех волн.............................................................................198

5.2 Нелинейное взаимодействие трех волн.................................................202

5.3 Нелинейное взаимодействие двух волн.................................................215

I ЗАКЛЮЧЕНИЕ.............................................!................................................218

ЛИТЕРАТУРА...............................................................................................220

2ооН

»18753

Евсей Исаакович Якубович

НОВЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕЧЕНИЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Автореферат

Формат 60 х 90 '/■«. Бумага офсетная № 1. Усл. печ. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ № 103(2003).

Отпечатано в типографии Института прикладной физики РАН, 603950, г. Н. Новгород, ул. Ульянова, 46

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Якубович, Евсей Исаакович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Метод построения вихрепотенциального течения по схеме Лаврентьева.

1.1 .Краткий обзор известных точных решений.

1.2 Проблемы и модели отрывных течений.

1.3 Метод «сшивки» однородно завихренных течений с потенциальными.

1.3.1 Круговое обтекание цилиндра с образованием присоединенного вихря.

1.3.2.Обтекание бугорка с образованием присоединенного вихря.

1.3.3 Обтекание траншеи с образованием присоединенного вихря.

1.4 Метод «сшивки» произвольно завихренных течений с потенциальными.

1.5.0бобщение метода на случай тангенциального разрыва на границе вихревого и потенциального потоков.

ГЛАВА II. Новые способы представления уравнений t гидродинамики в форме Лагранжа.

2.1. Особенности лагранжевого подхода.

2.2. Уравнения гидродинамики в форме Лагранжа.

2.3. Уравнения в форме Лагранжа в цилиндрической и сферической системах координат.

2.4. Лагранжево описание вращающейся жидкости.

2.5. Уравнения Лагранжа в комплексной форме.

Якобианная форма уравнений для двумерных течений.

2.6. Матричная форма уравнений Лагранжа.

2.7. Полярная форма матричных уравнений гидродинамики.

2.8. Описание течения вязкой жидкости в переменных Лагранжа.

ГЛАВА III. Птолемеевские течения.

3.1 .Птолемеевские течения.

3.2.Примеры птолемеевских течений.

3.2.1 .Волны Герстнера.'.

3.2.2.Волны на воде при неоднородно распределенном вдоль поверхности и гармонически изменяющимся со временем давлением.

3.2.3.Эпициклоидальные волны во вращающейся жидкости аналог волн Герстнера на цилиндрической поверхности).

3.2.4. Вихрь Кирхгофа.

3.3.Метод «сшивки» птолемеевских течений с потенциальными.

3.4.Динамика птолемеевского вихря.

ГЛАВА IV Трехмерные обобщения птолемеевских течений.

4.1 Обобщенные птолемеевские течения с прямыми вихревыми линиями.

4.2 Обобщенные птолемеевские течения с криволинейными вихревыми линиями.

ГЛАВА V Метод исследования нелинейного резонансного взаимодействия трех волн.

5.1.Основные уравнения для резонансных нелинейных взаимодействий трех волн.

5.1 .Нелинейное взаимодействие трех волн.

5.2.Нелинейное взаимодействие двух волн.

Введение диссертация по механике, на тему "Новые аналитические методы исследования течений несжимаемой жидкости"

Своеобразие гидромеханики и, по-видимому, главное ее отличие от остальных областей механики и физики состоит в том, что основные уравнения гидродинамики (уравнения Эйлера для невязкой жидкости и уравнения Навье-Стокса в вязком случае), описывающие движение жидкости, является существенно нелинейными. Классическая электродинамика, например, создавалась как линейная наука, а нелинейные члены «добавлялись» в уравнения Максвелла по мере возрастания сложности рассматриваемых явлений. Нелинейная оптика вообще родилась только в 60-х годах XX века. Точно так же и квантовая механика, теория упругости, акустика и т.д. по преимуществу развивались как науки линейные.

Совсем иная судьба у механики жидкости. Для большинства ситуаций, представляющих интерес, нетривиальных линейных движений просто не существует. В тех ситуациях, когда линеаризация основных уравнений движения позволяет найти приближенное решение той или иной важной задачи, очень часто область его применимости оказывается очень узкой. В течение более двухсот лет с момента,когда Эйлером были сформулированы основные уравнения гидродинамики (в форме Эйлера и

Лагранжа), основной прогресс в теоретическом исследовании течений жидкости был связан, во-первых, с выявлением и «разработкой» таких ситуаций, а затем, в двадцатом столетии, с развитием и использованием асимптотических методов, применяемых к тому же классу явлений. Однако, эффективность асимптотических методов, как правило, ограничивается условием слабой нелинейности рассматриваемых движений или, реже, наличием другого малого параметра. В этой связи, в последние десятилетия 20го века наиболее интенсивно развивались численные подходы к решению как исходных уравнений, так и асимптотических моделей (в нашей стране основные достижения связаны с именами Лаврентьев, Белоцерковский, Сретенский, Гольдштик, Черный, Моисеев). Несмотря на огромные успехи этого направления и необыкновенный рост возможностей компьютеров, аналитические решения по-прежнему важны для выявления причин и механизмов сложных процессов, для радикального упрощения численных расчетов (а часто и для полного их исключения) и, наконец, как эталоны для проверки правильности прямого численного моделирования.

В этой связи, особенно актуальным становится поиск новых аналитических подходов к решению уравнений гидродинамики, как направленных на непосредственное получение решений, так и на создание новых методов численного моделирования. Удачным примером последнего рода является метод контурной динамики развитый для двумерной гидродинамики [1]. Он удобен для численных расчетов контура вихря.

Наиболее значительные аналитические продвижения для существенно нелинейных движений были достигнуты для потенциальных движений и двумерных течений с постоянной завихренностью. Одной из ключевых причин успехов в этой области было применение мощных аналитических методов теории функций комплексного переменного, развитых до высокой степени совершенства М.А. Лаврентьевым и его школой. Были получены широкие классы точных решений и существенные редукции, значительно упрощающие численное решение ряда фундаментальных и практически важных задач. В реальных течениях область потенциального движения обычно не заполняет все пространство, а граничит с вихревым течением. Таковы, например, практически чрезвычайно важные задачи отрывного обтекания. Задача сшивки потенциальных и вихревых течений, т.е. построения «составного» движения во всем пространстве, занимаемом жидкостью, была выделена М.А. Лаврентьевым в качестве ключевой фундаментальной проблемы на пути дальнейшего развития этого плодотворного подхода еще в 1962 году

27]. Эта проблема, несмотря на целенаправленные усилия многих ученых, не поддавалась решению /и сохранила свою актуальность.

Важной особенностью гидродинамики является тот факт, что существует два теоретически равноправных,но концептуально различных способа описания движения жидкости, которые принято называть лагранжевым и эйлеровым описанием. В целом, в силу разного рода причин, эйлеров подход оказался абсолютно доминирующим, однако в последние годы практические задачи, связанные с анализом движения лагранжевых трассеров в океане, атмосфере и гидродинамических экспериментах, стимулировали развитие численных алгоритмов, основанных на прямом интегрировании лагранжевых уравнений,и новый интерес к их более глубокому теоретическому исследованию. Ввиду того обстоятельства, что крупномасштабные движения океана и атмосферы, определяющие погоду и климат, представляют собой движения в тонком сферическом слое и с хорошей точностью могут считаться двумерными, предметом особого внимания стала двумерная динамика в рамках лагранжевых уравнений. Здесь определенный прогресс был достигнут на пути анализа сравнительно простых моделей, например, динамики конечного числа точечных вихрей (см. [9] и цитируемую там литературу) и прямого численного моделирования. В этом контексте особо желательным было бы построение классов точных решений, способных, с одной стороны, описать " более широкий круг ситуаций, а с другой-служить в качестве базовых решений для теории возмущений, в качестве тестовых при построении численных схем, а также способствовать развитию интуиции исследователей.

Помимо «злободневных» проблем гидродинамике присущи и «вечные» темы и одной из них является не закрытая, но и не реализованная возможность принципиально новых парадигм, связанных с концептуально и математически иными подходами к описанию движений жидкости. По существу, со времен Эйлера, развившего эйлеров и «лагранжев» подходы, пожалуй, наиболее значительным шагом стало осознание и использование векторной природы поля скорости и, соответственно, привлечение аппарата векторного анализа. Фундаментальный вопрос о возможности построения гидродинамики на основе более богатых математических объектов, например матриц, оставался открытым. Весьма ограниченный успех попыток Максвелла, Гамильтона и Лаврентьева и его школы в этом направлении привел к тому, что такая возможность даже перестала обсуждаться. Тем не менее, по мере того как исчерпывались относительно доступные возможности, развития в рамках традиционных подходов, актуальность поиска альтернатив лишь увеличивалась со временем.

Одним из наиболее успешно развивавшихся в последние десятилетия разделов гидродинамики является теория нелинейных волновых движений конечной амплитуды. Успех в исследовании слабонелинейных волн для очень широкого круга различных гидродинамических ситуаций связан с осознанием и активной эксплуатацией факта универсальности слабонелинейных моделей. Наиболее прозрачный вид этот факт приобретает для консервативных систем при использовании метода гамильтоновского формализма, развитого Захаровым: в результате применения систематической асимптотической процедуры все разнообразие волновых процессов, будучи представленным в некоторых канонических переменных,сводится к небольшому числу универсальных «канонических» моделей, описываемых сравнительно простыми, так называемыми, укороченными уравнениями. При этом уникальность каждого волнового процесса и особенность гидродинамической ситуации аккумулируется в коэффициентах канонических моделей. В ситуации общего положения большинство волн в гидродинамике является диспергирующими. Для диспергирующих слабонелинейных волн в устойчивых ситуациях реализуется одна из двух возможностей: либо закон дисперсии «распадный» и, соответственно, разрешены трехволновые резонансные взаимодействия; либо, закон нераспадный, тогда трехволновые резонансные взаимодействия запрещены и доминирующим типом взаимодействия являются резонансные четырехволновые процессы. В любом случае, фундаментальным элементом эволюции волнового поля становится особенности динамики изолированного триплета или квартета резонансно взаимодействующих волн. Несмотря на то, что возникающие укороченные уравнения существенно проще,чем исходные, тем не менее они представляют собой системы нелинейных уравнений в частных производных,не имеющих малого параметра в ситуации общего положения. Их доскональное исследование является одной из первоочередных задач теории волн. Так называемые «уравнения трех волн», описывающие эволюцию резонансного триплета взаимодействующих волн, исследовались методами обратной задачи теории рассеяния [3,4], однако попрежнему остается актуальным поиск новых классов точных решений.

Цель работы. Диссертация посвящена разработке новых аналитических методов анализа движения идеальной и вязкой жидкости, а также их использованию для получения точных решений. В число основных проблем, решаемых в диссертации, в частности, входят следующие:

I. Развитие метода сшивки произвольно завихренных течений с потенциальными и его применение к классическим задачам обтекания с отрывом.

II. Исследование уравнений гидродинамики в форме Лагранжа, включая поиск их новых форм и точных решений.

Ш. Развитие нового матричного описания идеальной и вязкой гидродинамики.

IV. Развитие нового метода исследования резонансного взаимодействия трех волн.

Научная новизна работы. Все результаты работы, выносимые на защиту, оригинальны, развитые теоретические подходы не имеют аналогов и прямых предшественников. В частности, в работе впервые:

I. Развит метод сшивки однородно завихренных течений с потенциальными и на его основе решены задачи обтекания цилиндрической поверхности с образованием присоединенного вихря. Указанный метод сшивки обобщен на случай неоднородной и нестационарной завихренности.

II. Для уравнений гидродинамики в форме Лагранжа найдены новые формы представления, более удобные для анализа, что позволило построить класс точных решений, включающий, помимо обширного семейства новых решений, все ранее известные точные решения двумерных лагранжевых уравнений.

III. Показана возможность описания произвольных движений идеальной и вязкой жидкости в терминах лагранжевой матрицы Якоби, что позволило развить новое матричное описание гидродинамики и, в частности, построить обширные классы точных и приближенных решений.

IV. Предложен метод исследования резонансного взаимодействия трех волн, позволяющий описывать процессы, недоступные для изучения традиционными методами.

На их основе рассмотрен широкий круг задач, имеющих фундаментальный характер, такие, как методы сшивки вихревых и потенциальных течений, новые формы уравнений Лагранжа, матричное описание вихревых течений, формулировка лагранжевых уравнений для вязкой жидкости.

В месте с тем ряд результатов, полученных в диссертации, представляет и практический интерес. Так, предложенные методы сшивки вихревых течений с потенциальными могут быть использованы при анализе движения квазидвумерных вихрей в атмосфере и океане. Полученные точные решения двумерных и трехмерных уравнений гидродинамики могут быть использованы при тестировании численных моделей. Результаты точного решения задачи о динамике триплета резонансно взаимодействующих волн будут полезны для практического анализа широкого круга различных волновых процессов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, дан обзор затрагиваемых в ней проблем и существующих методов их решения. Сформулированы цели и задачи исследования, кратко изложено содержание работы, включающее предварительную сводку основных результатов, полученных в диссертации.

Первая глава посвящена рассмотрению одной из центральных проблем гидродинамики вихревых течений - склеивание вихревых и потенциальных областей.

В разделах 1.1 и 1.2 дан краткий обзор точных решений, не использующих наш метод, а также моделей и схем для описания локализованных вихрей в потенциальном потоке. В конце раздела отмечено отсутствие аналитических методов, связанное с необходимостью преодоления двух трудностей: определения течения в вихревой области и сшивки его с внешним потенциальным потоком.

В разделе 1.3 излагается метод сшивки однородно завихренного, локализованного внутри односвязанной области, течения с внешним потенциальным потоком. Скорость на границе с внешнем течением предполагается непрерывной (схема Лаврентьева). Суть метода заключается в следующем. Пусть нам известно стационарное течение внутри вихревой области с постоянной завихренностью Q. Общее выражение для комплексной скорости внутри вихря будет v=i-m 2 в d<$>(W) dW

1) где W - х—iy, а Ф - некоторая аналитическая функция.

Полагая, что границе вихря соответствует значение функции тока, равное 1|/ о, получим уравнение границы WW- i[($>(W) - Ф(Щ = 2% (2)

Движение жидкости вне вихря запишется как

Vn=inz+m> п 2 dW где Z -.решение уравнения

ZW-imW) - Ф(2)] = 2Т0 (4)

В самом деле, с одной стороны выражение (4) определяет Z как функцию W и, следовательно, скорость Vn - потенциальна, а с другой -на границе вихря Z равно W (это видно из сравнения (2) с (4)). Отсюда на границе скорости вихревого (1) и потенциального (3) потоков равны. При этом граница вихря автоматически совпадает с граничной линией тока обоих типов течений.

Далее в этом разделе тестируются основные вычислительные приемы предлагаемого метода на простейшем известном примере -эллиптическом вихре во внешнем потенциальном потоке.

В разделе 2.1 дана сравнительная характеристика эйлерова и лагранжевого описания течений жидкости. Здесь же отмечены выигрышные стороны лагранжевого подхода, использованные в других разделах работы.

В разделе 2.4 получены уравнения для инвариантов Коши во вращающейся жидкости. Для жидкости, вращающейся как целое с постоянной угловой скоростью П,эти уравнения будут:

Vc ~ Vb ~ ЧЩгс) = S{, rtcra ~ rtarc - 2(Qrcra) = S2, (5)

Vb ~ Va ~ 4&rarb) = S3.

Здесь правые части - инварианты Коши, функции только лагранжевых переменных а,Ь,с; индексы внизу у вектора г - означают дифференцирование по соответствующей переменной. Замечательно, что, несмотря на непотенциальную силу Кориолиса, получились три закона сохранения.

Первое из этих соотношений является уравнением непрерывности, а второе - уравнением вихря. Компактность этой формы записи существенно упрощает исследования и позволит в дальнейшем найти новый класс нестационарных вихревых течений (гл. III).

В разделе 2.6 излагается новый подход к лагранжевому описанию динамики жидкости. Он заключается в следующем. Вместо определения координаты X одной частицы как функции времени и лагранжевых переменных а, описывается относительное перемещение dX = {dX, dY\ dZ} двух бесконечно близких частиц-соседок. Бесконечно малое отличие лагранжевых переменных этих частиц da = {da,db,dc} связано с dX с помощью матрицы Якоби: dX= Rda , (6)

Хп Хи х.

R = а

Га 4

Ус

Показано, что обычные уравнения вихря сворачиваются в одно Л матричное уравнение для R;

Л /V л Т /у л . .

R/R- RTRt = S ,

8) Л где матрица 5 составлена из инвариантов Коши. Полученное уравнение вместе с уравнением непрерывности det i? = det Д), Rq = и условием того, что матрица r имеет вид (7) dRnm/daj = dRmj/dan (1Q) это условие указано Д.А. Зеньковичем) составляют замкнутую систему уравнений гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости. Тем самым показано, что матрица Якоби может выступать как фундаментальная величина, которой вполне достаточно для описания движения жидкости -подобно скорости при эйлеровом описании или координаты частицы при лагранжевом.

Следует отметить ряд важных свойств полученных уравнений. Они не содержат других неизвестных функций, кроме матрицы Якоби. Они V однородны, т.е. R входит в каждое уравнение в одинаковых степенях. Это позволяет надеяться на получение в будущем автомодельных решений. Уравнение для завихренности (8) содержит только производные по времени, уравнение совместности (10) - производные только по лагранжевым переменным, а уравнение непрерывности (9) вообще алгебраическое.

Далее в этом разделе после анализа свойств полученных матричных уравнений выводятся аналогичные матричные уравнения из комплексной формы уравнений Лагранжа. Получается система комплексных матричных уравнений того же вида, что и система (8-10). В заключение этого раздела рассматриваются граничные условия различного типа для лагранжевых уравнений идеальной жидкости.

В разделе 2.7 выводится и подробно анализируется другая форма матричных уравнений гидродинамики.

Идея вывода новой формы матричных уравнений состоит в том, что деформацию жидкого элемента и его поворот (с сохранением длины) А можно раздельно описать, представив R в виде произведения

V /V л ортогональной матрицы на симметричную: R = ВD, где первая матрица ортогональна, а вторая - симметрична. При этом ортогональная матрица опишет вращение, а симметричная - деформацию бесконечно малого жидкого элемента.

Далее выводятся уравнения для этих матриц., т.е. уравнения для деформации и вращения бесконечно малого жидкого элемента.

Уравнение для D совпадает с уравнением непрерывности

-^(det Д) = 0 (11) ot

Уравнение для 9 имеет вид

Л А А ег=ел, (12)

Л J Л 1 Л Л | л J л л л 1 где A(a,t) = —(D SD +D Dt-DtD )- антисимметричная

V А. матрица, зависящая только от D и не зависящая отО.

Интересным свойством этой системы является независимость А уравнения непрерывности от 9. Иными словами, уравнение А непрерывности (11) можно решать, ничего не зная о величине 9. Общий А вид матрицы D, удовлетворяющий этому уравнению,будет fdn D=7] 0 d

О л 0 0 0 d33J П

13) где T- произвольная ортогональная матрица (вообще говоря, функция всех переменных), а произведение элементов внутренней матрицы не зависит от времени и не равно нулю.

Другим важным свойством полученных уравнений является Л линейность по отношению к В как уравнения движения, так и условия градиентности.

Интересной особенностью полученной формы уравнения (12) V является его удобство для получения членов ряда возмущений для 0. На Л первый взгляд даже, если известно возмущение для D (тем самым

Л Л определено возмущение матрицы А), определение возмущения для 0 связано с решением системы дифференциальных уравнений третьего порядка с переменными коэффициентами. Однако структура матричного Л уравнения (12) позволяет довести определение возмущения 0 до квадратур в любом порядке.

В разделе 2.8 предлагается описание течений вязкой жидкости в переменных Лагранжа. Основная идея вывода соответствующих уравнений заключается в следующем. В отсутствии вязкости инварианты Коши, как известно, постоянны. В присутствии вязкости они уже постоянными не будут. Наряду с традиционными неизвестными функциями X,Y,Z инварианты Коши рассматриваются как еще три неизвестных функции. Далее показано, что при наличии вязкости они будут описываться уравнением диффузии во «вмороженной» в жидкость системе координат. Это уравнение и будет искомым. По существу оно является аналогом уравнения Гельмгольца для вязкой жидкости в переменных Лагранжа. Полученную систему уравнений можно записать для компактности в векторной форме:

S=rota(RTdr/dt), dS/dt = -r\rota(grota(gS)) (14) Здесь индекс внизу у знака ротора означает, что операция ведется по

Л л у А лагранжевым переменным; матрица g = R ^-метрический тензор, характеризующий «жидкую» систему координат, связанную с переменными Лагранжа; вектор S имеет своими компонентами инварианты Коши. В этих уравнениях для простоты за лагранжевы переменные приняты начальные координаты частиц жидкости.

Важно отметить, что первое уравнение в этой системе уравнений л совпадает с уравнением (8) для R в гидродинамике идеальной жидкости. Произошло разделение временных масштабов: инерционных, описываемых первым уравнением, и вязких - вторым уравнением. Последнее обстоятельство упрощает использование приближений для больших и малых чисел Рейнольдса.

Пусть характерное время изменения X равно Т, а - характерный

1 л масштаб изменения Sfтогда, если — » -у (большое число Рейнольдса), то

Т а в уравнении для S вместо точного значения метрического тензора можно поставить его среднее по времени Т значение. Более того, его выражение под знаком усреднения можно брать, исходя из решения для течения идеальной жидкости. Траектории частиц будут выглядеть как при отсутствии вязкости, но с плавно меняющимися параметрами.

Далее в разделе указывается, что в этом приближении возможны такие режимы течений,когда все пространство можно разбить на области двух типов движений жидкости: «плавные», уже отмеченные, и «резкие», представляющие из себя относительно тонкие слои между «плавными» течениями с существенно разными S.

Другой предельный случай - это большой коэффициент вязкости

-у»—, т.е. малые числа Рейнольдса). Тогда в диффузионном уравнении а Т можно пренебречь членом St и время будет входить в него лишь параметром. При этом уравнения для координат (первое уравнение), конечно, будут содержать производные по времени. Все это будет выполняться до тех пор, пока производные в правой части диффузионного уравнения не станут настолько малыми, что правая часть сравняется с отброшенной левой.

Заключение диссертации по теме "Механика жидкости, газа и плазмы"

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Предложен метод сшивки однородно завихренных течений с потенциальными и на его основе решены задачи обтекания цилиндрической поверхности с образованием присоединенного вихря. Найдено обобщение этого метода на случай неоднородной завихренности.

2. С помощью комплексного представления уравнений Лагранжа найдена новая форма двумерных уравнений гидродинамики в виде законов сохранения двух якобианов. Полученная якобианная форма уравнений позволила открыть новый класс двумерных нестационарных вихревых течений (так наз. птолемеевские течения). Частными случаями течений этого класса являются волны Герстнера и вихрь Кирхгофа.

3. Предложен метод сшивки области произвольного птолемеевского течения с внешним потенциальным течением. На его основе изучена динамика произвольного одиночного птолемеевского вихря.

5. Путем представления матрицы Якоби в полярной форме получена система двух матричных уравнений гидродинамики, описывающих раздельно деформацию и вращение бесконечно малого жидкого элемента. С помощью полученной системы найдены в квадратурах выражения для членов ряда теории возмущений .

7. Предложен эффективный метод исследования динамики триплета резонансно взаимодействующих волн, позволивший описать и исследовать пространственное и временное поведение трехмерных волновых пакетов для широкого класса начальных условий.

Список источников диссертации и автореферата по механике, доктора физико-математических наук, Якубович, Евсей Исаакович, Нижний Новгород

1.Deem G.S., Zabusky N.J. Vortex Wavers: stationary «V states», interactions, recurrence and breaking //Phys. Rev. Lett. 1978. v.40. p.859-862.

2. Лаврентьев M.A. Вариационный метод в краевых задачах для систем эллиптического типа. М., 1962. 136с

3. Захаров В.Е. Точные решения в задаче о параметрическом взаимодействии трехмерных волновых пакетов. ДАН СССР. 1976. Т.228. №6. С.1314-1316.

4. Каир D.J., Reiman A., Bers A. Space-time evolution of nonlinear three-wave interactions. //Rev. Mod. Phys., 1979. v.51. p.275-310.

5. Ламб Г. Гидродинамика. М.-Л.: Гостехиздат, 1947. 928 с.

6. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 758с.

7. Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. М.: Мир, 1964.

8. Чаплыгин С.А. Вихревой поток, переливающийся через препятствие в форме круглого полуцилиндра // Собр. соч. М.-Л.: ОГИЗ, 1948. Т.2. С.537-546.

9. Чаплыгин С.А. Поток, обтекающий с непрерывными скоростями забор с образованием вихрей впереди и позади забора // Указ. собр. соч. Т.2. С.546-555.

10. Rankine W.J. Manual of Applied Mechanics. 1858, Griffin.

11. Kirchhoff G. Vorlesungen uber mathematische Physic: Mechanik. Teubner, 1876. (Рус. пер.: Кирхгоф Г. Механика. М.: Изд-во АН СССРб 1962.402 е.).

12. Чаплыгин С.А. О пульсирующем цилиндрическом вихре // Труды физической секции Московского Императорского общества друзей естествознания. 1899. Т.10. №1. С.13-22 (См. также: Указ. собр. соч. Т.2. С. 138-154).

13. Saffman P.G. Vortex Dynamics. Cambridge Univercity Press. 1992. 311 P

14. Moore D.W., Saffman P.G. Structure of a line vortex in an imposed strain // Aircraft Wake Turbulence and its Detection (ed. J.H. Olsen, A. Goldburg, M. Rogers). 1971. P.339-354. Plenum.

15. Kida S. Motion of an elliptic vortex in an uniform shear flow // J. Phys. Soc. Japan. 1981. V.50. P.3517-3520.

16. Чаплыгин С.А. Один случай вихревого движения жидкости // Труды физической секции Московского Императорского общества друзей естествознания. 1903. Т.П. С.11-14. (См. также: Собр. соч. М.-Л.: ОГИЗ, 1948. Т.2. С.155-165).

17. Lamb Н. Hydrodynamics (3-rd edn.). Cambridge Univercity Press, 1906.

18. Stuart J.T. On finite amplitude jscillations in laminar mixing layer // J. Fluid Mech., 1967. У.29. N.3. P.417-440.

19. SherclifF J. A. Simple rotational flows//J. Fluid Mech., 1977. V.82. Pt.4. P.687-703.

20. Капцов О.В. Стационарные вихревые структуры в идеальной жидкости//Ж ПМТФ. 1989. №1. С.109-117.

21. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: наука, 1994. 319 с.

22. Черный Г.Г. Плоские установившиеся автомодельные вихревые течения идеальной жидкости // Изв РАН. Механика жидкости и газа. 1997. №4. С.39-53.

23. Flierl G.R., Stern М.Е., Whitehead J.A. The physical significance of modons: laboratory experiments and general integral constraints // Dyn. Atmos. Oceans. 1983. V.7. P.233-264.

24. Гольдштик M.A. Вихревые потоки. Новосибирск: Наука, 1981. 366c.

25. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Физматгиз. 1961.

26. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. 4.1. М.: Физматгиз, 1963. 583 с.

27. Prandtl L. Uber Flussigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung // Vehr.d. Ill Intern. Math.-Kongr., Heidelberg, 1904. P.484-491. Leipzig: Teubner.

28. Batchelor G.K. On steady laminar flow with closed streamlines at large Reynolds number//J. Fluid Mech., 1956. У.1. P. 177-190.

29. Batchelor G.K. A proposal concerning laminar wakes behind bluff bodies at large Reynolds number // J. Fluid Mech., 1956. V.l. P.388-398.

30. Лаврентьев М.А. Вариационный метод в краевых задачах для систем эллиптического типа. М.: АН СССР, 1962. 136 с.

31. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1973. 416 с.

32. Асимптотическая теория отрывных течений /под ред. Сычева В.В./. М.: Наука, 1987. 256 с.г

33. Шабат А.Б. Об одной схеме движения идеальной жидкости при наличии траншеи на дне // Ж ПМТФ. 1962. №4. С.68-80.

34. Гольдштик М.А. Математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости//ДАН СССР. 1962. Т. 147. №7. С. 1310-1313.

35. Шабат А.Б. О двух задачах на склеивание // ДАН СССР. 1963. Т. 150. №6. С. 1242-1245.

36. Moore D.W., Saffman P.G. The density of organized vortices in a turbulent mioxing layer //J. Fluid Mech., 1975. V.69. P.465-473.

37. Лаврентьев M.A., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Физматгиз, 1958

38. Садовский B.C. О вихревых зонах в потенциальном потоке со скачком постоянной Бернулли // ПММ. 1971. Т.35. Вып.5 С.773-779.

39. Садовский B.C. О некоторых свойствах потенциального и вихревого течений, граничащих на замкнутой линии тока // Учен. зап. ЦАГИ. 1971. Т.2. №1. С. 113-116.

40. Садовский B.C. Исследование решений уравнений Эйлера, содержащих области постоянной завихренности // Тр. ЦАГИ. 1973. Вып. 1474. 14 с.

41. Чернышенко С.И. О приближенном способе определения завихренности в зоне отрыва при вязкости, стремящейся к нулю // Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. 1982. №1. С.10-15.

42. Садовский B.C., Синицына Н.П. О вихрепотенциальном течении идеальной жидкости на плоскости с углублением II Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. 1983. №2. С.161-163.

43. Чернышенко С.И. Расчет отрывных течений маловязких жидкостей с помощью модели Бэтчелора // Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. 1984. №2. С.40-45.

44. Чернышенко С. И. Асимптотика стационарного отрывного обтекания тела при больших числах Рейнольдса // Прикл матем. и механика. 1988. Т.52. Вып 6. С.958-966.

45. Smith F.T. Laminar flow of an incompressible fluid past a bluff body: the separation, reattachment, eddy properties and drag // J. Fluid Mech., 1979. У.92. P.171-205.

46. Chernyshenko S.I. Stratified Sadovskii flow in a channel // J. Fluid Mech., 1993. У.250. P.423-431.

47. Moore D.W., Saffman P.G. , Tanveer S. The calculation of some Batchelor flows: the Sadovskii vortex and rotational corner flow // Phys. Fluids. 1988. Y.31. P.978-990.

48. Turfus C. Prandtl-Batchelor flow past a flat plate at normal incidence in a channel inviscid analysis // J. Fluid Mech., 1993. V.249. P.59-72.

49. Bunyakin A.V., Chernyshenko S.I., Stepanov G.Yu. Inviscid Batchelor-model flow past an airfoil with a vortex trapped in a cavity // J. Fluid Mech., 1996. V.323. P.367-376.

50. Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. T.l. СПб.: Гидрометеоиздат, 1992. 694 с.

51. Дим Г., Забуски Н. Стационарные V-состояния, их взаимодействие, возврат и разрушение // Солитоны в действии. М.: Мир, 1981. С.289-30

52. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика. М. Мир. 1984. т.1. 400с.

53. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Теоретическая физика. Т.VII. Теория упругости. М.: Наука, 1987.

54. Чандрасекхар С. Эллипсоидальные фигуры равновесия. М.: Мир, 1973. 288с.

55. Андреев В.К. Устойчивость неустановившихся движений жидкости со свободной границей. Новосибирск: ВО «Наука», 1992.

56. Стокер Дж.Дж. Волны на воде. Математическая теория и приложенйя. М.: Наука, 1959.

57. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970.

58. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

59. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. 4.2. М.: Физматгиз, 1963

60. Овсянников Л.В. Задача о неустановившемся движении жидкости со свободной границей. Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1967.

61. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977.816 с.

62. Налимов В.И., Пухначев В.В. Неустановившееся движение идеальной жидкости со свободной границей // Новосибирск: НГУ. 1975. 172 с.

63. Пухначев В.В. О движении жидкого эллипса // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО АН СССР. 1978. Вып. 23. С.68-75.

64. Андреев В.К., Родионов А.А. Групповая классификация и точные решения уравнений плоского и вращательно-симметричного течения идеальной жидкости в лагранжевых координатах // Дифференциальные уравнения. 1988. Т.24. №9. С.1577-1586.

65. Philips О.М. Centrifugal waves // J. Fluid Mech. 1960. У.7. N.3.

66. Сунь-Цао. О волнах на поверхности жидкости под действием центробежной силы // Ж ПМТФ. 1960. №3.

67. Абрашкин А.А. Нелинейные азимутальные волны в центрифуге // Ж ПМТФ. 1984. №3. С.84-86.

68. Абрашкин А.А. Плоские нелинейные МГД-течения в круглом плазменном цилиндре в продольном магнитном поле // Физика плазмы. 1984. Т. 10. №4. С.730-734.

69. Филлипс Оуэн М. Взаимодействие волн. В кн.: Нелинейные волны. М.: Мир, 1977.

70. Goel N.S., Maitra S.C. & Montroll E.W. //Rev. Mod. Phys. 1971. v.43. p.231

71. Бломберген H. Нелинейная оптика. M.: Мир, 1966

72. Craik A.D.D. Evolution in space and time of resonant wave triads// Proc. R. Soc. bond. 1978. v. A363, p.257-269

73. Craik A.D.D. Wave interactions and fluid flows// Cambridge Univercity Press, 1985.

74. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.76.'Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука, 1979

75. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. T.VIII. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982

76. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. М.: Наука, 1986

77. Якубович Е-И., О невырожденном взаимодействии параметрически связанных волн. \\ Изв. ВУЗов: Радиофизика, 1974. Т. 17. №4. С. 627629.

78. Абрашкин А.А., Якубович Е.И., О плоских вихревых течениях идеальной жидкости. \\ Докл. АН СССР. 1984. Е.276, №1. С.76-78.

79. Абрашкин А.А., Якубович Е.И., О нестационарных вихревых течениях идеальной несжимаемой жидкости. \\ Журн. прикл. механики и техн. физики. 1985. №2. С.57-64

80. Abrashkin A.A., Yakubovich E.I. On localized vortex formations in an ideal fluid // Nonlinear and Turbulent Processes in Physics. Gordon and Breach, Harwood Academic Publishers, N.Y. 1984/V.2. P.655-658.

81. Абрашкин A.A., Зенькович Д.А., Якубович Е.И., Матричная формулировка гидродинамики и трехмерные обобщения птолемеевских течений \\ Изв. ВУЗов: Радиофизика, 1996. Т.39. №6. С.783-796.

82. Абрашкин А.А., Зенькович Д.А., Якубович Е.И., Исследование трехмерных вихревых течений с помощью матричных уравнений гидродинамики \\ ДАН. 1997. Т.357, №5. С.619-622.

83. Yakubovich E.I., Zenkovich D.A. Matrix approach to Lagrangian fluid dynamics//J. Fluid Mech. 2001. V.443. P.167-196.

84. Якубович Е.И., Новый подход к гидродинамике несжимаемой жидкости \\ Нелинейные волны' 2002. Нижний Новгород, 2003. С. 211222.

85. Yakubovich E.I., Zenkovich D.A. Matrix fluid dynamics. In: Proceedings of International Conference «Progress in Nonlinear Science»: v.II «Frontiers of Nonlinear Physics» / Ed. by Litvak A.G. N. Novgorod, 2002. P. 282-287; e-Print arXiv:physics/0110004.

86. Yakubovich E.I., Zenkovich D.A. Matrix approach to Lagrangian fluid dynamics. Preprint of Institute of Applied Physics №533. N.Novgorod: Institute of Applied Physics, Russian Academy of Sciences. 2000. 37p.

87. Абрашкин А.А., Якубович Е.И., О нестационарных вихревых течениях идеальной несжимаемой жидкости. Препринт ИПФ АН СССР №64. Горький: ИПФ АН СССР, 1983. 21с.

88. Yakubovich E.I., Zenkovich D.A. Matrix formulation of hydrodynamic equations: an analytical approach to three-dimensional vorticity dynamics// In: Day on Diffraction'99. Intl Seminar. Saint Petersburg, 1999. P.49-50.