Математическое моделирование течений жидкости и газа в каналах с локальными конечными по величине воздействия тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

// /л-

у—

^-/fj (у

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Дубравин Юрий Алексеевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА В КАНАЛАХ С ЛОКАЛЬНЫМИ КОНЕЧНЫМИ ПО ВЕЛИЧИНЕ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ

Специальность 01.02.05 Механика жидкости, газа и плазмы

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук

Пермь 1998

АННОТАЦИЯ

В работе рассмотрена проблема незамкнутости законов сохранения в интегральной форме для течений жидкостей и газов в каналах с локальными конечными по величине воздействиями на поток. С привлечением второго начала термодинамики предложен способ построения замкнутых систем уравнений для таких течений. Способ реализован для незакрученных и закрученных течений в каналах, для сжимаемых и несжимаемых жидкостей. В качестве иллюстраций возможностей способа решен ряд прикладных задач.

Содержание

1.Введение 9

2. "Одномерные" задачи 13

2.1. Течение в каналах со скачком площади сечения 13

2.1.1. Система законов сохранения в интегральной форме 13

2.1.1.1. Основные допущения и условия на границах 13

2.1.1.2. Система уравнений 14

2.1.1.3. Роль теоремы о среднем в незамкнутости законов сохранения 18

2.1.1.4. Краткий обзор существующих приемов построения замкнутой системы уравнений 19

2.1.2. Второе начало термодинамики и его следствия 21

2.1.2.1. Первое и второе начала термодинамики

для зоны перестройки потока в канале 21

2.1.2.2. Формулировки дополнительного условия 23

2.1.3. Модель несжимаемой жидкости 25

2.1.3.1. Линеаризованный вариант законов сохранения 25

2.1.3.2. Альтернативные методы определения (А5, X) 27

2.1.3.3. О связи гидравлических потерь с воздействиями 28

2.1.4. Модель сжимаемой жидкости 30

2.1.4.1. Дополнительное условие в дифференциальной

форме; особые точки 30

2.1.4.2. Альтернативные методы определения фр (Д^ ,Х) 33

2.1.4.3. Замкнутая система уравнений для течения в

канале со скачком площади 35

2.1.5. Тестирование полученных решений

2.1.5.1. Несжимаемая жидкость 3 5

2.1.5.2. Сжимаемая жидкость 3 9

2.1.6. Экспериментальные исследования течения в канале

со скачком площади 41

2.2. Замечание о других возможных типах "одномерных" задач 45

3. "Многомерные" задачи 46 3.1. Течения в каналах с локальным подводом-отводом

массы через боковые патрубки 46

3.1.1. Существующие подходы к схематизации и описанию течений в каналах с раздачей и слиянием потоков 46

3.1.2. Законы сохранения и схемы течения жидкости в

боковых патрубках 49

3.1.2.1. Возможные схемы течения жидкости в боковых патрубках 49

3.1.2.2. Вывод уравнения движения 53

3.1.2.3. Вывод уравнения энергии 59

3.1.2.4. Законы сохранения 60

3.1.2.5. Связи гидродинамических параметров состояния до

и после воздействий 64

3.1.3. Второе начало термодинамики и дополнительные условия 66

3.1.4. О различиях в постановке задач отвода и подвода

массы в канал 70

3.1.5. Отвод массы из канала: течение с отрывом струи

в боковом патрубке 71

3.1.5.1. Случай несжимаемой жидкости 71

3.1.5.2. Дозвуковые течения сжимаемой жидкости 75 3.1.5.3 Замечание об истечении сверхзвукового потока

из канала через боковой патрубок 75

3.1.6. Случай несжимаемой жидкости 76

3.1.6.1. Общее решение задачи об истечении жидкости

из канала через боковые патрубки 76

3.1.6.2. Общее решение задачи о локальном подводе массы

в канал 82

3.1.7. Общие решения задач о локальном подводе - отводе

массы для сжимаемой жидкости 83

3.1.7.1. Задачи истечения 83

3.1.7.2. Задачи подвода массы в канал 85

3.1.8. Замечание о поведении функции ф^

в окрестности Д5 = 0 86

3.1.9. Замечания о других возможных схемах истечения

потока из канала через боковые ответвления 87

3.1.9.1. Истечение со срывом струй с двух кромок (случай 5) 87

3.1.9.2. Истечение из канала с полным заполнением

сечения (£ k = 1) бокового патрубка (случай 6) 89

4. Некоторые задачи прикладной гидрогазодинамики

внутренних течений 91

4.1. Истечение несжимаемой жидкости из канала в среду

с заданным давлением через боковой патрубок 91

4.1.1. Истечение через "короткий" патрубок 91

4.1.2. Истечение через "длинный" патрубок 100

4.1.3. Истечение несжимаемой жидкости из канала

через произвольное число различных патрубков 104

4.2. Перетекание жидкости между перекрещивающимися

каналами через соединительный патрубок [60] 107

4.3. Истечение сжимаемой жидкости из канала через патрубок

в среду с заданным давлением 113

4.3.1 Истечение дозвукового потока из канала через патрубок 113 4.3.2. О расходных характеристиках дульного тормоза

артиллерийского орудия [42, 45] 118

4.4. Истечение сжимаемой жидкости из камеры

конечных размеров [67] 119

4.5. Задача о вдуве газа в канал из камеры [67] 121

4.6. Некоторые обобщения решений на основе

законов сохранения в интегральной форме 126

4.6.1. Обобщение полученных решений на среды, подчиняющиеся уравнению состояния Тэта 126

4.6.1.1. Случай однородных сред 126

4.6.1.2. Случай двухфазных смесей 128

4.6.2. Уточнение смысла и записи уравнений квазиодномерных течений в каналах с распределенными

расходными воздействиями 129

4.6.2.1. Уравнение движения в случае подвода массы в канал 130

4.6.2.2. Уравнение движения в случае отвода массы из канала 131 4.6.3. Общие решения законов сохранения в интегральной

форме как интегралы дифференциальных уравнений

квазиодномерных течений 134 4.7. О затекании газов в деформируемый зазор между гильзой и

каморой артиллерийского орудия (проблема обтюрации) 137

4.7.1. Интерпретация физических явлений, обеспечивающих обтюрацию и сопутствующих процессов 137

4.7.2. Математическое моделирование газодинамических процессов в канале АО и в зазоре между гильзой и каморой 140

4.7.2.1. Обзор работ 140

4.7.2.2. Математическая модель ОЗВБ на основе механики гетерогенных смесей 142

4.7.2.2.1. Законы сохранения 142

4.7.2.2.2. Условия на поверхности фазовых превращений

(на поверхности горения) 143

4.7.2.2.3. Описание правых частей уравнений (4.58) ОЗВБ 146

4.7.2.2.4. Экспериментальное исследование гидродинамического сопротивления

моделей пороховых зерен 149

4.7.2.2.5. Заключение 153

4.7.2.3. Описание газодинамических процессов в деформируемом зазоре между

гильзой (Г) и каморой (К) 154

4.7.2.3.1. Уравнения движения газа в деформируемом канале 154

4.7.2.3.2. Газовые "пузыри" 155

4.7.2.4.Соотношения на "сильном" разрыве 156

4.7.2.4.1. Уравнение движения 157

4.7.2.4.2. Определение ф^ при малых расходном AG и

геометрическом As воздействиях 158

4.7.2.4.3. Система уравнений для определения

расходных воздействий 161

4.7.2.5. Численные методы 164

4.7.2.6. Начальные и граничные условия 166

4.7.2.7. 167

4.7.3. Расчет термоупругопластического деформирования

ствола и гильзы 168

4.7.3.1. Введение 168

4.7.3.2. Задача теплопроводности для системы гильза-ствол 169

4.7.3.3. НДС для системы тел гильза-ствол 170

4.7.3.4. Численные методы 173

4.7.3.5. Некоторые результаты расчета 175 4.8. Неклассическая задача Лагранжа о метании тел из канала при

наличии локального подвода массы в канал 176

4.8.1. Введение 176

4.8.1.1. О сути проблемы 176

4.8.1.2. Интерпретация физических процессов выстрела 177 4.8.2.0 математической модели процесса выстрела 180

5. Закрученные течения в каналах с локальными

воздействиями на поток 183

5.1. Введение 183

5.2. Осреднение по сечению гидродинамических

параметров закрученного потока 184

5.2.1. Распределение гидродинамических параметров

по сечению для "твердотельных" закрученных течений 184

5.2.2. Средние по сечению гидродинамические

параметры и их связи 186

5.3. Общее решение для закрученных течений в канале 190

5.3.1. Законы сохранения для закрученных течений

в терминах средних величин 190

5.3.2. Дозвуковые течения сжимаемой жидкости 193

5.3.2.1. Связь гидродинамических параметров до и после воздействий 193

5.3.2.2. Дополнительные условия для двух частных случаев 195

5.3.3. Случай несжимаемой жидкости 198

5.3.3.1. Гидродинамические параметры и дополнительные условия 198

5.3.3.2. Гидравлические потери при тангенциальном подводе массы в закрученный поток 201

5 .4. Общее решение для закрученных течений

с частично-свободной поверхностью 204

5.4.1. Введение

5.4.2. Течения с наружной свободной границей (рис. 5.5 а,б)

5.4.2.2. Случай несжимаемой жидкости 5.4.3. Течения с внутренней свободной границей

5.4.2.1. Случай сжимаемой жидкости

204

205 205 211 220

5.5. Раздача закрученного потока несжимаемой

жидкости через трубу Ранка-Хилша 227

5.5.1. О проблемах математического моделирования

трубы Ранка-Хилша 227

5.5.2. Законы сохранения в интегральной форме для ВТ в целом 230

5.5.3. О построении замкнутой системы

уравнений для газа в ВТ 233

5.5.4. Сводка уравнений математической модели для

расчета расходных характеристик ВТ в приближении несжимаемой жидкости 5.5.5 Некоторые результаты расчета

240 243 247 250 262

Заключение

Литература

Приложение

1 .ВВЕДЕНИЕ

Одним из инструментов прикладной гидрогазодинамики являются законы сохранения - массы, импульса, энергии и момента количества движения - в интегральной форме, которые после обработки их с помощью теоремы о среднем приводятся к системе алгебраических уравнений. Простота этих уравнений делает их привлекательными для решения задач инженерной практики, а "...при квазиодномерном рассмотрении течений в системах каналов указанная схематизация не только приемлема, но и просто необходима" [70]. Использование такого подхода к описанию течений жидкостей и газов в каналах при различных локальных конечных по величине воздействиях (скачок площади сечения, подвод-отвод массы через различным образом ориентированные патрубки, излом оси канала, подвод-отвод тепла, диссипативные эффекты, комбинация этих воздействий, в том числе со скачками уплотнения) приводит к незамкнутой системе уравнений.

Проблема незамкнутости законов сохранения в интегральной форме для внутренних течений имеет возраст теоретической гидродинамики. В гидравлике и прикладной газодинамике традиционными способами замыкания этих уравнений являются формулировка гипотез или прямое использование экспериментальных данных. Не задаваясь целью составить здесь обзор этих способов (более подробно см. разделы 2. и 3.) отметим лишь (повидимому, исторически первую) работу Борда (1766) [110], где при рассмотрении гидравлических потерь в канале со скачком площади сечения было сформулировано удачное (с точки зрения определения гидравлических потерь), но неверное по существу, допущение о равенстве давления на уступе канала давлению в узкой части канала. Позднее, Нуссельт [109, 110] распространил этот прием на дозвуковые течения газа, после чего это допущение стало достоянием практически всей учебной, а в отдельных случаях, и монографической литературы по прикладной гидрогазодинамике.

Проблема незамкнутости законов сохранения в интегральной форме возникает и в некоторых задачах о распаде произвольного разрыва в каналах. Метод исследования структуры разрывов в каналах постоянного сечения разработан Н.Е.Кочиным [88], Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшицем [97]. Обобщение

подхода Н.Е.Кочина для исследования возможных движений газа в канале с разрывом площади впервые выполнено В.Г.Дуловым [68,69], где использовались экспериментальные значения давления на уступе канала. Позднее этот же подход был использован в работе И.К. Яушева [162]. Названные работы имели принципиальное значение для решения рассматриваемой здесь проблемы, так как в них впервые было указано на необходимость привлечения второго начала термодинамики для определения давления на уступе канала, однако не была указана технология его применения.

В настоящей работе развит общий метод построения замкнутых систем уравнений на основе законов сохранения в интегральной форме для течений в каналах с локальными конечными по величине воздействиями на поток. В основе способа лежат привлечение второго начала термодинамики и использование особенности термодинамической функции - коэффициента восстановления давления, который можно описать двояко: с помощью законов сохранения или первого и второго начал термодинамики. Сопоставление двух способов описания явилось источником необходимого числа дополнительных соотношений, замыкающих систему законов сохранения.

Изложение идеи метода и его обоснование является содержанием раздела 2. диссертации. В качестве объекта исследования выбраны течения в каналах со скачком площади поперечного сечения. Построена замкнутая система уравнений для "сшивания" двух квазиодномерных течений по обе стороны от скачка площади. Выполнено тестирование полученного решения, включая сопоставление с экспериментом автора и других источников. Указан способ учета диссипативных потерь.

В разделе 3. метод обобщен на задачи с произвольной степенью незамкнутости законов сохранения, однако основным объектом исследования являлись задачи с подводом (или отводом) массы в канал (из канала). Отмечены существенные различия задач подвода и отвода массы с точки зрения возможной идеализации гидродинамических процессов.

Раздел 4. посвящен прикладным задачам локального подвода-отвода массы для течений жидкости в каналах. В аналитической форме получены решения задач: об истечении жидкостей (сжимаемых и несжимаемых) из канала

через произвольно-ориентированный патрубок (или различные патрубки); о перетекании жидкости между каналами через соединительный патрубок; о подводе массы в канал под различными углами из камеры. Решение некоторых из названных задач в аналитической форме получено впервые. Дано теоретическое толкование результатам некоторых экспериментов по отводу массы из канала через длинные патрубки. Уточнен смысл и запись уравнения движения для квазиодномерных течений жидкости в перфорированных каналах.

Решения, перечисленных выше, частных задач прикладной гидрогазодинамики были использованы для существенного "...упрощения и фактического разрешения... ; гораздо более сложных задач, решение которых целиком на основе традиционных подходов (законов сохранения в дифференциальной форме) лежит за пределами или на границе возможностей распространенной вычислительной техники/ К числу таких задач относится задача об обтюрации и защемлении гильзы в каморе артиллерийского орудия (АО), включающая комплекс задач нестационарной газодинамики гетерогенных и однородных сред и несвязанные задачи термоупругопластичности и теплопроводности. К их числу относится и математическая модель неклассической задачи Лагранжа о метании тела из канала при наличии локального подвода массы в канал. Ввиду сложности задачи, математическая модель реализована на ЭВМ фрагментарно, но, при этом, охвачены все компоненты математической модели и достаточно убедительно показана роль разработанного в разделах 2. и 3. аппарата для упрощения постановок сложных задач прикладной гидрогазодинамики внутренних течений. Одним из таких фрагментов является задача о гидровыстреле из АО. В Приложении приведены акты о внедрении упомянутых здесь задач.

Раздел 5. содержит обобщение разработанного метода на закрученные течения в каналах. В качестве базы для исследования выбраны закономерности "твердотельного" закрученного потока, для которого характерно отсутствие

*) И

...даже в тех случаях, когда непрерывное решение существует, иногда есть смысл, вводить в рассмотрение движения с разрывами для упрощения и фактического разрешения задач..." (Седов Л.И. [133]).

диссипативных потерь и теплообмена в силу завершенности этих процессов в зонах перестройки течения от некоторого начального состояния к "твердотельному". В качестве иллюстрации прикладных возможностей аппарата построена математическая модель (на примере несжимаемой жидкости) вихревой трубы Ранка-Хилша.

Автор выражает глубокую признательность профессору Лебедеву Н.Ф. за помощь и требовательное внимание к работе, а также своим коллегам и сотрудникам, без помощи которых прикладная часть работы имела бы менее завершенный вид.

2. "Одномерные" задачи

Смысл термина "одномерные" задачи здесь отличен от традиционного толкования, когда гидродинамические параметры состояния зависят от одной пространственной переменной. Здесь он связан с числом "лишних" неизвестных в законах сохранения в интегральной форме. В "одномерных" задачах - одно "лишнее" неизвестное. Наряду с этим будет употребляться и традиционное толкование термина одномерный (без кавычек). Ниже, в качестве примера "одномерной" задачи, рассматривается течение жидкости в канале со скачком площади сечения. Это удобный объект как для изложения основной идеи работы и методологии ее реализации, так и для сопоставления результатов решения с известными теоретическими и экспериментальными материалами.

2.1. Течение в каналах со скачком площади сечения 2.1.1. Система законов сохранения в интегральной форме 2 Л Л Л. Основные допущения и условия на границах

Законы сохранения массы, количества движения и полной энергии записываются для фиксированного объема V части канала, в пределах которого осуществляется воздействие на жидкость и устанавливаются новые гидродинамические параметры потока (рис. 2.1). Вся поверхность 5 объема V разбивается на ряд характерных участков

£ = + + а , (2.1)

в пределах каж