Фрактальные и статистические модели и учет шероховатости поверхности в аэродинамике разреженного газа тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

СЛИКТ-ПЕГЕГГЛ 1'ГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

АКСЕНОВА Ольга Анатольевна

ФРАКТАЛЬНЫЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И УЧЕТ ШЕРОХОВАТОСТИ ПОВЕРХНОСТИ В АЭРОДИНАМИКЕ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Саик 1 -Г1етербур1 2004

Работа выполнена на Кафедре гидроаэромеханики математико-ме-ханимсского факультета Санкт-Петербургского государстпенного университета.

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор

Мирошин Роман Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Алешков Юрий Зосимович

доктор физико-математических наук,

профессор

Григорьев Юрий Николаевич доктор технических наук, профессор

Ерофеев .Александр Иванович Ведущая организация: Балтийский государственный

технический университет

Защита состоится 2005 г. в 14 часов на заседании диссерта-

ционного совета Д 212.232.30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504. Санкт-Петербург. Старый Петергоф. Университетский проспект. 28. математико-механи-ческий факультет Санкт-Петербургского государственного университета.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета но адресу: Санкт-Петербург. Университетская набережная, д. 7/9.

Автореферат разослан _____ 2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета.

доктор физико-математических наук.

профессор / лУ^^/? q д. Зегжда

МХУ/}

1. Общая характеристика работы

Диссертация посвящена решению важной проблемы построения моделей взаимодействия атомов разреженного газа с поверхностями с помощью фракталов.

Актуальность темы. Тема диссертации связана со многими актуальными задачами аэродинамики разреженных газов и теории взаимодействия разреженных газов с шероховатыми поверхностями, в первую очередь находящими применение в аэрокосмической технике. Все возрастающие требования к точности и быстроте аэродинамического расчета приводят к необходимости учета всех воздействующих факторов, в числе которых одно из ведущих мест занимает шероховатость поверхности, при минимальных затратах времени на моделирование. Решение этой задачи представляет интерес как с точки зрения повышения точности аэродинамического расчета за счет более полного учета поправок на шероховатость, так и для развития общей теории взаимодействия газа с поверхностями.

Другой важный аспект — использование полученных результатов о взаимодействии разреженных газов с шероховатыми поверхностями в вакуумной технике. Особенно перспективно направление, связанное с течениями в узких каналах и щелях, возникающими в микроэлектромеханических системах;' например, в зазоре между магнитной головкой и поверхностью жесткого магнитного диска. Шероховатость поверхности — также один из наиболее существенных факторов, влияние которых необходимо учитывать (даже на этапе эскизного проектирования) при постановке граничных условий для течений разреженного газа в каналах, сосудах и при взаимодействии газовых струй с поверхностями.

Полученные результаты, развивающие теорию локального взаимодействия (теорию ЛВ), актуальны для учета многообразных физических и геометрических факторов таких, как: эффекты затенения, вариации режима обтекания, вращение объекта, изменение положения отдельных элементов конструкции в процессе полета, свойства поверхности и физические процессы на ней и др.

Цель работы:

1. Учет шероховатости поверхности при взаимодействии с разреженным газом путем моделирования шероховатости как статистическими методами, так и < '

2. Л ipiuiui.iMirieoKiii! расчсч is ¡а 1ачах внешнего обтекания с укчом шерочоваюсти на основе модети leopim ЛВ, обесиечиваю-mel! наибольшую простоту аэродинамического расчета.

3. Учсч шероховатости для внутренних течений газа.

4. Решение ряда прямых и обратных задач, связанных с разра-fioihofi простых эффектimnux методов аэродинамического расчета обгекаиии тел разреженным газом в переходном режиме (между режимом сплошной среды и сиободномолекулярлым потоком) на основе развития математического аппарата теории JTB.

5. Решение задачи об определении аттракторов и бифуркаций во внутренних течениях разреженного газа с помощью нелинейной динамики.

Используемые методы. При изучении возникающих проблем используются как аналитические методы —■ разложения в ряды, теория аппроксимации, асимптотические разложения, —■ так и численные методы (метод Монте-Карло вычисления многократных интегралов). В задаче об учете шероховатости поверхности на аэродинамические характеристики применяются также методы теории гауссовских случайных процессов, а в задаче об устойчивости внутренних течений разреженного газа — методы нелинейной динамики.

Достоверность результатов определяется несколькими фак-юрами. Во-первых, используются разработанные многими авторами подходы, хорошо зарекомендовавшие себя при решении различных проблем аэродинамики разреженных газов. В частности, к таким подходам относятся моделирование шероховатой поверхности layt совским стучайным полем и интегральное представление аэродинамических коэффициентов в переходном режиме обтекания на основе теории ЛВ. Во-вгорых, производится проверка полученных численных результатов на аналитическом тестовом примере (процесс Уонга для шероховатой поверхности). В-третьих, проводится сопоставление с результатами других авторов, (в большинстве случаев получено соответствие результатов). В-четвертых, при вычислениях контролируется точность и оценивается погреш-nocib расчетов. Наконец, в работе многие формулы получены аналитически, т. е. всегда точны в области своей применимости.

Научная новизна. Существенно новые результаты в задаче о рассеянии атомов газа-ж*-«(.«роховатий поверхности получены бла-

j АН I

i чч**«^!! - 4 ;

1 оларя паю н> юванню концепции разложения по поморам со\дарений, 'но таем по (можпос п. замкнуть носчановку задачи па уровне ксиффпцпешов обмена, не дета нитруя вид функции рассеяния. Впервые для марковских процессов первого порядка появляющиеся здесь континуальные интегралы вычисляются методом разложения и ряды Райса. тю значительно сокращает время счета по сравнению с использовавшимся ;)о сих пор методом аппроксимации континуальных интегралов копечнократными. Новыми являются и все ре зулыаты расчетов для процесса Уопга, который оказался удобным для проведения тестовых расчетов. Впервые предложена фрактальная модель шероховатой поверхности при взаимодействии с разреженным газом. Предложен вариант фрактальной модели, обладающий свойством дифференцируемости (т. е. существования локальной нормали) при сохранении самоподобия. При исследовании внутренних течений разреженного газа впервые применяются тригонометрические разложения, аналогичные аппроксимациям теории ЛВ. Эго позволило получить ряд новых результатов — от изучения влияния шероховатости стенок на проводимость каналов до исследования асимптотической устойчивости внутренних течений сильно разреженных газов при увеличении чи-( та соударений атомов таза со стенками. Научной новизной обладают также формулы, выведенные в диссертации непосредственно в рамках теории ЛВ учет конечности чисел Маха, Рейнольд-са и температурного фактора в коэффициентах режима, решение дифференциальных уравнений в частных производных в терминах операторов дробного интегрирования, о пенка точности расче-юв коэффициентов режима и др. Все положения, выносимые па ШШ1), впервые пол\ чены диссертантом.

Научная и практическая ценность рабо ты состоит в построении новых фрактальных и статистических моделей шероховатой поверхности, использование которых позволяет наиболее эффек-хивно осуществлять азродинамические расчеты взаимодействия разреженных газов с поверхностью.

Как показывают тестовые расчеты, повышается точность вычислений в облает скользящих углов падения, представляющей наибольшею сложность. Существенным вкладом здесь является также предлагаемый меюд вычисления возникающих континуальных интрапов путем разложения в ряды Райса. Это позволяет найси поправки на шероховатость в коэффициенты режима для

произвольной линейной модели теории J1B.

Полученные в диссертации результаты, касающиеся влияния шероховатое! и на проводимость каналов, имеют самостоятельное значение для вакуумной Техники и могут быть использованы при расчетах трубопроводов и других элементов вакуумных приборов и оборудования. Особенно ценно для практики в настоящее время изучение течений газов в очень узких каналах и щелях в связи с широким распространением микроэлектромеханических систем и различных фильтрующих устройств. Чаще всего режим течения в этих областях — переходный по числам Кнудсена, поэтому основным средством для расчета течений газов в таких областях является метод прямого статистического моделирования.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Модель пространственной фрактальной шероховатой поверхности и связь ее параметров с характеристиками шероховатости.

2. Метод вычисления континуальных интегралов, возникающих в задаче учета шероховатости в коэффициентах режима, путем разложения в ряды Райса для марковских процессов первого порядка.

3. Модель рассеяния атомов разреженного газа на шероховатой поверхности, предназначенная для использования при расчете обтекания невыпуклых тел и течений в каналах. Аналитическое решение задачи о зависимости от параметра шероховатости вклада первых соударений молекул газа с поверхностью в проводимость плоского канала.

4. Изучение аттракторов и бифуркаций скорости в задаче о внутренних течениях разреженного газа.

5. Связь аэродинамических величин с параметрами режима течения — с числами Рейнольдса, Маха, с температурным фактором, параметром шероховатости и др. в самых эффективных для расчета моделях теории ЛВ.

6. Метод нахождения коэффициентов режима по экспериментальным измерениям аэродинамических характеристик, обеспечивающий наибольшую Точность расчета.

7. Решение обратной задачи восстановления формы определенного класса тел с простым аналитическим выражением для образующей по аэродинамическим характеристикам при заданном режиме обтекания.

G

Апробация результатов.

01Д(М1>ныс част работы докладывались на X и XI Всесоюзных конференциях по динамике разреженных газоп (Москва, 1989 г., Ленинград, 1991 г.), на Всесоюзной конференции по механике неоднородных сред и кинетической теории газов (Ленинград, 1986 г.), на Всесоюзных совещаниях-семинарах по механике реагирующих сред (Красноярск, 1988 г.) и по гауссовским случайным процессам и полям (Пущино, 1982 г., Ленинград, 1985 г.), на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001 г.), на Всероссийской школе-семинаре по проблемам механики сплошной среды (Снежинск, 2002 г.), а также на международных симпозиумах и конференциях по неравновесным процессам в соплах и струях (Истра-Москва, 2000 г. и С.-Петербург, 2002 г.), по вакуумной технике и приложениям (Репино, 2000 г.), по математическому моделированию (Самара, 2001 г.), по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Истра-Москва, 2001 г., Владимир, 2003 г.), по дифференциальным уравнениям и их приложениям (Самара, 2002 г.), по аэродинамике разреженных газов в Оксфорде (1994 г.), в Вене (1995 г.), Пекине (1996 г.). в Вистлере (Канада, 2002 г.) и в Бари (Италия, 2004 г.).

Работа в целом обсуждалась на заседании кафедры гидроаэромеханики в Санкт-Петербургском госуниверситете и на семинаре в институте прикладной математики им. В. М. Келдыша РАН.

Публикации.

Основные результаты работы опубликованы в статьях [1]—[18] в журналах Математическое моделирование; Вестник Санкт-Петербургского университета, серия 1 (математика, механика, астрономия): в сборнике "Аэродинамика4 (С.-Петербург); в материалах международных конференций и в § 2 и § 8 главы 7 монографии Р.Н.Мирошин, И.А.Халидов '"Локальные методы в механике сплошных сред" (С.-Петербург, 2002).

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы по теме диссертации и приложения. Каждая глава начинается с краткой аннотации, п конце главы кратко формулируются основные выводы. Диссертация изложена на 150 страницах текста, включая 4 страницы приложения. В приложении содержатся сведения о разделении результатов с соавторами. Библиография включает 268 наименований. Иллюстраций — 49. Таблиц — 3.

2. Содержание диссертации

Во введении приводятся общие сведения о работе, обосновывается актуальность темы, достоверность, новизна и практическая ценность результатов. Описана структура диссертации и ее объем.

Первая глава посвящена проблеме учета шероховатости поверхности в аэродинамических характеристиках, в том числе в функции рассеяния, коэффициентах обмена импульсом и энергией, аэродинамических коэффициентах сопротивления и подъемной силы, а также в коэффициентах режима, применяемых в теории ЛВ.

Шероховатость поверхности — один из существенных факторов, которые необходимо принимать во внимание при аэродинамическом расчёте как обтекания тел разреженным газом, так и проводимости каналов. Мелкомасштабная шероховатость поверхности, возникающая в процессе её обработки или эксплуатации, изучается методами теории случайных функций. Данный этап исследования в значительной мере независим от задачи рассеяния молекул газа "в малом'' (на гладкой поверхности), то есть физического взаимодействия с атомами твёрдой поверхности.

Используется постановка задачи учёта шероховатости, разработанная в Ленинградском университете Р. Г. Баранцевым и уточненная Р. Н. Мирошиным, которая вкратце состоит в следующем.

Имеется три резко (на несколько порядков) отличающихся масштаба — газодинамический, масштаб шероховатости и молекулярный масштаб отражения от поверхности. Проблема сводится к построению оператора шероховатости, воздействующего на характеристики взаимодействия "в малом'-, определяемые без учёта неровностей, то есть для гладкой поверхности. В качестве такой характеристики используется функция рассеяния "в малом" VI) (у'[у, п) -— условная плотность распределения скоростей V1 частиц, вылетающих с поверхности после столкновения в точке с локальной нормалью п, при заданной скорости падения V. Функция рассеяния на шероховатой поверхности У(у'|у) в этом случае будет результатом лействия оператора шероховатости 5 на Уо:

Г(у'И = 5Уо(У'|У,П). (1)

Если в масштабе шероховатости частицы газа движутся бе? столкновений друг с другом по ломаной линии с вершинами в

'Iочках cío iMiojMMinH с iionepxiioci ыо, ю оператор S определяется io.'HjKí) гсомс i рпчоской формой неровное гей поверхности. Поэтому его можно изучать методами теории случайных функций независимо от физических параметров газа и поверхности, которые учитываются функцией V0. Оператор S раскладывается в сумму

оо

s = £ (2)

?«=i

операторов Sm, соответствующих то-кратному отражению от поверхности. Шероховатая поверхность моделируется гауссовским однородным изотропным дифференцируемым случайным полем, что позволяет свести дело к одному основному параметру ai и установить конкретный вид операторов STO.

В такой постановке задачи интересные результаты получены многими авторами. В частности. Р. Н. Мирошиным произведён детальный асимптотический анализ на слабо шероховатой поверхности всех величин, возникающих при разложении операторов Si, S2, S3 и введен определяющий параметр а — а\ tg в (в — угол падения атомов газа на поверхность). Численный расчёт методом Монте-Карло выполнен М. В. Аноликом и Р. Н. Мирошиным для §i и В. Д. Хабаловым для So- Приближённая модель, учитывающая анизотропию поверхности, рассматривалась В. JT. Ложкиным и Ю. А. Рыжовым. Расчёты показали, что для умеренной шероховатости и не слишком пологих траекторий (т. е. при небольших значениях а) основной вклад в S вносят однократные столкновения Si. Однако все перечисленные работы опирались на то, что функция рассеяния "в малом" lo(v'|v, п) должна быть заранее известна, и практически дело ограничивалось зеркально-диффузной моделью отражения.

В то же время, па практике нередки ситуации, когда функция рассеяния "'в малом'' Vo(v'|v, п) неизвестна. Во многих случаях для учёта шероховатости при аэродинамическом расчете необходимо применять оператор шероховатости не к функции рассеяния, а к коэффициентам обмена "'в малом"'. Разложение (2) такой возможности не даёт, так как уже оператор S] существенно и сложным образом зависит от скорости вылета v'. Это не позволяет перейти к аэродинамическим характеристикам путём интегрирования. В частности, подобная ситуация имеет место в теории ЛВ.

В дисс ертации вместо ряда (2) используется разложение по номерам соударений, предложенное И. А. Халидовым. Тем самым установлена связь изучаемой проблемы с теорией ЛВ благодаря замыканию постановки задачи на уровне коэффициентов обмена без детального рассмотрения проблемы на уровне функции рассеяния (больцмаповском). Слагаемое 5,„ учитывает здесь вклад молекул газа при т-м соударении с поверхностью независимо от того, вылетит после этого молекула с поверхности или будет сталкиваться с нею и далее. Для первого соударения основная трудность — в вычислении условной вероятности

П »Нв.ах;*,*„*„) =

• = Р{*(0, у) < г + у 0) = г, 4(0,0) = гх, г'у(0,0) = гя}, (3)

которая с точки зрения теории случайных полей есть условная вероятность отсутствия выбросов случайного поля за наклонную траекторию падающей молекулы газа при условии, что значение поля и его производных в точке соударения фиксированы.

Здесь г(т, у) — высота случайного поля, имитирующего шероховатую поверхность, = дг/дх, гу = дг/ду - производные от случайного поля г, оси х и у в плоскости (х. у) среднего уровня шероховатости направлены так (см. рис. 1), что вектор скорости V падающего атома газа лежит в плоскости (у, г), в — угол между Р„с 1 -V и осыо г.

Для модели шероховатости в виде гауссовского однородного изотропного дифференцируемого случайного поля такая вероятность (так называемый континуальный интеграл) не может быть выражена аналитически интегралом конечной кратности и при вычислениях должна быть аппроксимирована многократными (до сотен квадратур) интегралами. Все асимптотические свойства вероятностей и интегралов типа П'1' определяются параметром с>\ = \fMzj = ^Мг"*, где М — символ математического ожидания.

При введенных предположениях функцию рассеяния удаечся полностью исключить, и в § 1 получено представление вклада пер-

вы\ соударений в коэффициенты обмена импульсом р и -)11е[»гне11 ц через коэффициенты обмена "п малом" ро и (¡и

р']>(у) = ¿('»Рок П), = п), (4)

где — интегральный оператор первого соударения, а вектор локальной нормали п определяется величинами гх и гу. Из (4) вытекает, что для коэффициентов обмена ро и д0 можно использовать тригонометрические аппроксимации (например, возникающие в теории ЛВ). В диссертации показано, что зависимость членов разложения р, д от шероховатости определяется величинами

Щ(в) = §™(рк{ соь0„)), (5)

'К«(в) =

ь'тО

- соя в СОБ 0п I Р^ (сое вп )

(б)

которые вычисляются в главе 1 (здесь Рк — полиномы Лежандра, вп — угол между п и г). Тем самым устанавливается зависимость коэффициентов обмена р, су от вида и параметров шероховатости.

При выводе этих формул введено предположение об отсутствии столкновений частиц газа друг с другом в процессе взаимодействия с шероховатой поверхностью. Но это не препятствует применению оператора 5(1) в (4) для конечных чисел Кнудсена, поскольку характерный размер шероховатости а на несколько порядков меньше-характерного размера тела с1, и, следовательно, локальное число Кнудсена Ь/а намного больше общепринятого числа Кнудсена Ь/й (здесь Ь — длина свободного пробега молекул газа). В силу сказанного область применения формул (1)—(6) охватывает практически весь переходный режим, за исключением малых чисел Кнудсена.

Применяемые в главе 1 формулы обладают следующими достоинствами по сравнению с применявшимися ранее разложениями по кратности отражений атома от шероховатой поверхности.

1. Выражения (4) легче проектировать на оси скоростной системы координат. Это удобнее для расчёта аэродинамических коэффициентов сопротивления Сх и подъемной силы Су, чем при использовании проекций р, т на оси системы, связанной с поверхностью тела.

2. При нахождении поправок, учитывающих шероховатость, можно применять аппроксимации для коэффициентов обмена импульсом и -энергией с неограниченным числом параметров.

3. Коэффициенты режима сохраняют постоянное значение при изменении вида и степени шероховатости.

4. Число вычисляемых континуальных интегралов в формулах (4) не увеличивается по сравнению с числом используемых коэффициентов аппроксимаций (в отличие, например, от работ М. В. Аполика и И. А. Халидова).

Проблема расчета вероятности П(1' и интегралов (5)—(6) по множеству реализаций случайного поля решается в работе с помощью разложения в ряд Райса по факториальным моментам числа пересечений траекторий случайного процесса с уровнем траектории атома газа на рассматриваемом интервале (удобство использования факториальных моментов при анализе числа пересечений с уровнем отмечено также в монографии А. П. Хусу, Ю. Р. Витен-берга и В. А. Пальмова). Ряд Райса два важнейших преимущества по сравнению с непосредственной аппроксимацией конечнократны-ми интегралами. Прежде всего, для достижения приемлемой точности не требуется столь огромный объём вычислений, поскольку нет необходимости прослеживать реализацию случайного поля вдоль всего луча падения молекулы газа, то есть устремлять длину интервала к бесконечности, уменьшая в то же время шаг между 1 очками аппроксимации и доводя кратность интегралов до 200 и более. Кроме того, предложенный метод расчётов позволяет избежать потери точности вследствие ухудшения обусловленности корреляционной матрицы с уменьшением шага.

Выражения для факториальных моментов .Y,„, входящих в ряд Райса, записываются в виде 2т-кратных интегралов

г» со оо эо

Nm{oi. 0, г, zT, Zy) = J dyi ■... jdym J d^ ■ ... J

0 0 ctg 0 ctg£>

m

Ш'- ctgff) .....y.n + i/1 Ctg 6?, ,..., г + t/m ctg im |гг, (7)

i=l

где дУ1.....Vm(z + j/x ctg0.ii....,; + (/m ctg0,£m| z,zy) — плотность

распределения значений случайного поля на луче ж=0, 0<у<оо и его производных (г = 1,2,..., т) в точках у = ,... ,ут при заданных значениях zo = г и £о = в точке у = 0.

Возникающие при вычислении факториальных моментов (7) трудности вызваны тем. что за исключением аналитических иро-

цессов. подынтегральная функция имеет при сближении временных аргументов особенности, не обязательно интегрируемые.

В § 3 предлагается использовать класс случайных процессов, для которых все особенности удаётся устранить путем разложения плотности (¡у........ на множители. Это класс гауссовскнх стационарных марковских процессов первого порядка, которые могут иметь один из трёх типов корреляционных функций, имеющих в окрестности нуля асимптотическое разложение вида

Р(г) = 1~^ + Ьа31Г~+о(г3). (8)

Параметры (Т\ и Ь могут принимать любые положительные значения, т. е. класс марковских процессов первого порядка широк с точки зрения поведения корреляционных функций в окрестности нуля, а значит, исследуется более общая ситуация, чем в предшествующих работах других авторов. Разработанный в § 3 метод расчёта моментов /Уга распространяется на все три типа марковских процессов первого порядка, корреляционные функции которых к тому же являются корреляционными функциями изотропных случайных полей на плоскости.

Устранение особенностей в интегралах основано на представлении плотности дУ1 >Ут распределения значений марковского процесса первого порядка и его производных в виде произведения переходных плотностей отвечающих последовательным значениям у. Найдена замена переменных на У,, устраняющая особенности при обращении в нуль корреляционных определителей А,- в переходных плотностях. Интеграл (7) принимает вид, не содержащий особенностей и удобный для вычисления методом Монте-Карло, так как переменные интегрирования можно моделировать как независимые гауссовские случайные величины. При этом используется представление гауссовских марковских процессов через винеровский случайный процесс, предложенное для трех типов корреляционных функций тремя авторами — Р. Н. Мирошиным, Ю. Абрахаме и И. А. Халидовым.

На основе формулы (7) произведен расчёт факториальных моментов ТУ™(с71, в, г, гу) и вероятности П'1'^, 9, г, гу) свободного пролета (по (3)). Обшая кратность интегралов равна 2га 4- 3, если используется т членов ряда Райса. При этом для большинства значений 0\ и 0 достаточная точность достигается с помощью 5

членов ряда РаПса, Значит, кратность вычисляемых интегралов -»дсп> более чем на порядок ниже, чем при расчетах без использования ряда Рай га.

Отметим, что благодаря отсутствию особенностей в интегралах в результате замены переменных точность расчётов может быть увеличена до любого уровня. Однако для дополнительного обоснования в § 4 рассматривается вопрос о достоверности полученных результатов. Известно, что при возрастании параметра А = <Гх tg в как асимптотические, так и численные методы аппроксимации континуальных интегралов дают большую погрешность. Единственным надёжным способом контроля достоверности и точности результатов здесь является тестовой пример, с которым можно сопоставить полученные данные.

В качестве такого примера мы используем процесс Уонга — дифференцируемый гауссовский марковский процесс первого порядка с корреляционной функцией р(г) = р^- (А2е-СГ1Г/А - е~"1Хг). Это единственный процесс среди всех дифференцируемых гауссов-ских процессов с непрерывным спектром, для которого Р. Н. Ми-рошину удалось получить точные формулы в виде трехкратных интегралов для факториальных моментов Л^/) числа нулей на интервале [0,7]. В § 4 произведено сопоставление расчетов факториальных моментов Лг,п(£) вышеуказанным методом с точными формулами Р. Н. Мирошина, которые предварительно преобразованы к более удобному для вычисления виду.

Сопоставление результатов расчетов величин ^Л^ (£), найденных двумя способами для различных т и представлено на рис. 2. Сплошные линии на графике соответствуют расчету трехкратных интегралов методом Симпсона с точностью Ю-5.

Г

Пунктирные линии отвечают расчету методом Монте-Карло по формуле (7) с устраненными особенностями. Как показывает сравнение, в широкой области значений переменной £ графики совпадают с точностью Ю-5.

Рис 2

Посте проверки достоверности расчетов континуальных интегралов па тестовом примере величины (о\, в), K]'(oi, в) вычи-с.лепы для различных к, a-¡, в (на рис. 3—4 приведены графики для А = \/3 и к = 1). Установлено, что пятый член ряда Райса уже не оказывает заметного влияния на величины Л'£(<Ух,0), /^(04,в), а, следовательно, и на аэродинамические характеристики. Это означает, что достаточно вычислять интеграл кратности 11, тогда как при аппроксимации континуальных интегралов конечнократными необходимая кратность — не менее 100. Таким образом, использование разложения в ряд Райса намного сокращает время счета.

1 2 ' 1.0 08 0.6 04 0,2 00

1 0 0,8 0.6 0,4 0 2 0.0

Щ0) —

oí * 0.5

15 25 35 45 55 65 75 85

Рис. 4

на величину К*(ai, в) демонстрирует

_ 15 25 35 45 55 65 75 (>'р'"> Рис 3

Влияние параметра Л рис. 5. Подтвержден вывод о том. что основным параметром шероховатости является <7], а влияние остальных параметров корреляционной функции (в том числе Л) — не столь существенно.

Найденные значения континуальных интегралов К%(а\,0) и

, в) дают возмож-

1.4 1.2 1.0 0.8 0,6 0.4 0,2

к*(0>

.... \= 10 л = 3 ••• X = -Х= 1

cil = 1/3

15 25

55 65 75 О.гра»

ность определять зависимость аэродинамических характеристик в потоке разреженного газа от параметра шероховатости а\. Зависимость коэффициентов обмена импульсом рх (в) и Ру(0) от параметра шероховатости ai изучалась в § 4 для модели

35 45 Рис. 5

теории ЛВ с тремя коэффициентами режима, значения которых взяты из работы 7 авторов (Баранцев Р. Г.. Васильев Л. А., Иванов

Е. П. п лр.). где они получены путем обработки экспериментальных данных. На рис 0—7 приведены графики Рт{&) " Ру{в) ДЛ}| различных значений ст{. Пунктирными линиями отмечены значения тех же характеристик рх{0), Ру(&), вычисленных на основе аппроксимации континуальных интегралов конечнократными.

В § 5 и § 6 строится модель рассеяния атомов газа па шероховатой поверхности для расчета непыпуклых тел и течений в сосудах и каналах. При Кп ~ 1 здесь наиболее широко используется метод прямого статистического моделирования, поскольку чаще всего режим течения в этих областях — переходный по числам Кнудсена. Практическая важность подобных расчетов связана с широким распространением в последнее время микроэлектромеханических систем и различных фильтрующих устройств.

Основные сложности, возникающие при расчете течений газов в очень узких каналах и шелях. связаны с необходимостью учета столкновений атомов газа друг с другом (число Кнудсена недостаточно велико) и учета вклада шероховатости поверхности.

Следовательно, возникает необходимость усовершенствования изложенного в § 1-—4 подхода к учету шероховатости поверхности. Это необходимо во-первых, для приспособления к решению внутренних задач динамики разреженного газа, и во-вторых, для ускорения расчета и уменьшения разброса при проведении статистических испытаний методом Монте-Карло.

Кроме того, представляет интерес проблема восстановления параметра путем решения обратной"задачи его нахождения по экспериментальным данным о проводимости капала. Проводимость канала, характеризующая его аэродинамическое сопротивление по-юку га!л. сильнее зависит' от чем аэродинамические коэффи-

ционты выпуклых чел.

Задача об учете шероховатости стенок при нахождении проводимости капана, рассматривалась различными авторами, однако изучались только частные случаи: либо плоский или осесимме-тричный капал, либо простейшие детерминированные формы шероховатости, диффузное отражение "в малом". При этом все результаты получены только численно, никаких аналитических зависимостей проводимости от параметра шероховатости в сколько-нибудь нетривиальных случаях не выведено.

Предлагаемый подход отличается от работ предшествующих авторов тем, что строится общая модель функции рассеяния на невыпуклой шероховатой поверхности, которая позволяет производить численные расчеты для произвольных форм каналов и шероховатости, а затем для частного случая плоского канача с пилообразной шероховатостью выводится аналитическая формула, характеризующая зависимость проводимости канала от <71.

В отличие от задач внешнего обтекания, при расчете течений в каналах без анализа функции рассеяния на шероховатой поверхности не обойтись. Кроме того, при постановке задачи система координат должна быть связана не с нормалью к поверхности или с вектором скорости падающей частицы газа V, а с главным выделенным направлением — обычно с осью канала. Поэтому основное исходное выражение для вклада первых соударений в функцию рассеяния заметно усложняется.

Зиая функцию рассеяния, мы можем найти функцию /(х, V) распределения вылетающих со стенок частиц газа путем прямого численного моделирования течения разреженного газа в канале.

Если пренебречь столкновениями молекул газа между собой, то функцию распределения вылетающих со стенок частиц газа можно найти из интегрального уравнения

описывающего баланс частиц газа на поверхности стенок. В нем считаем известным интегр&ч по объединению Пд и О в телесных углов, под которыми видны из рассматриваемой точки х входное сечение .4 и выходное сечение В канала. Иначе говоря, считаем заданной ф>шшию распределения /Л(.г,у) поступающих в канал

(9)

ичнно молекул rana. Интеграл же по дополнительному телесному углу ílr содержит функцию распределения /(.r,v) в точке предыдущего соударения частицы газа со стенкой. Ее координаты нетрудно рассчитать, исходя из заданной геометрической формы каната. Например, в плоском случае (для щели) координата Х\ определяется по формуле х\ = х — dcos<£>tg#, а для круглого каната— как .ri =x — dcos<¿Jtg#/(sin2 ctg2#).

Интегральное уравнение в общей форме (9) трудно для решения. Даже если функция рассеяния в (9) — диффузная, канал — круглый, а распределение входящего потока — максвелловское, то (9) сводится к известному уравнению Клаузинга, которое решается только численно. Поэтому с целью получения возможно более простых результатов в § 5 ограничиваемся рассмотрением рассеяния в малом диффузного типа, обобщающего стандартное диффузное рассеяние, и получаем аналитический вид зависимости функции рассеяния от задающих направление вылета углов в' и ф'

Y(i){e',4''\v) = 1и(9,ф) совв'-

- К2{9,Ф) sinfl'cos^' - Щв, ф) sin в'sin ф'. (10)

При этом континуальные интегралы Á'j (9, ф), К->{6, Ф), Кз(в, ф), выражаются через оператор S'1' и имеют в точности такую же структуру, как и вычислявшиеся в задаче внешнего обтекания интегралы К*[в). A'k (б), т. е. могут быть вычислены тем же методом.

Кроме того, в § 5 показано, что полученный общий вид функции рассеяния на шероховатой поверхности (10) позволяет существенно облегчить решение интегрального уравнения (9).

Интегрируя найденную в результате решения (9) функцию распределения вылетающих со стенок канала молекул газа по координате х от 0 до 1 (I — отношение длины канала к характерной ширине) и по углам в и ф в пределах телесных углов Пд и Qg, можно вычислить обратный поток ид и прямой поток wg вылетаюших из канала молекул. По известным потокам м>д и wg можно найти любые характеристики течения, например, проводимость канала непосредственно как отношение потоков р = wg/u>A-

На основе модели (10) и вычисленных интегралов , Ко, К3 были выполнены расчеты проводимости круглых каналов. На рис. 8 приведены результаты для значений удлинений / = 5; 9,9; 15; параметра шероховатости cr-¡ = 0; 0,3; 0.5; 1; угла наклона скорости частиц на входе в канал к его оси о от 5° до 60е. Видим, что

шероховаюсть заметно влияет на проводимость канала, особенно при I = 5 п / = 9,9.

В § 6 решается задача получения наиболее простого результата, в котором найдены аналитические зависимости от параметров а, <71, I, не требующие больших числовых расчётов. Для упрощения используется детерминированная модель шероховатости в виде пилообразной функции с углом наклона ¡5.

0.8 0,7 0.6 0,5 0,4 0,3 0.2 0,1 0,0

I -15,0

15

25 35 Рис. 8

45

СС, град

Вероятность гид раскладывается в ряд по числу соударений со стенками канала в масштабе течения и изучается вероятность Ю1, наиболее зависящая от шероховатости (она характеризует поток молекул газа, вылетающих обратно после первого соударения). Порученное простое аналитическое выражение позволяет с помощью несложных расчётов оценить влияние шероховатости на проводимость канала без вычисления континуальных интегралов и решения интегральных уравнений. Важно, что влияние шероховатости можно установить для любых значений параметров а, /, (функция распределения по углам на входе в канал).

Полученные в §§ 5-6 результаты можно применять также и для изучения влияния шероховатости на характеристики течения в канале в самой общей постановке задачи, т. е. для различных форм каналов и различных моделей взаимодействия атомов газа как с поверхностью стенок канала, так и между собой (при конечных числах Кнудсена). В этой постановке задачи аналитические методы непригодны, поэтому применяются численные методы. Как правило это — методы прямого численного моделирования Монте-Карло. Представление функции рассеяния на шероховатой поверхности в виде (10) позволяет и в данном случае значительно ускорить расчет течения с учетом шероховатости по сравнению с непосредственным прямым численным моделированием процесса отражения частицы от неровностей поверхности.

Во второй главе методами фрактальной геометрии решается проблема моделирования и аиа/пиа шероховатой поверхности в задачах взаимодействия разреженного газа с поверхностями.

Фрактальные, т. е. обладающие свойс твом самоподобия, модели шероховатой поверхности эффективнее статистико-вероятностных прежде всего при учете вклада микрошероховатости (неровностей меньшего масштаба, наблюдаемых экслериментапьно). Микрошероховатость вносит существенный вклад в аэродинамические величины, так как в аэродинамике разреженных газов определяющую роль играет не абсолютная высота точек поверхности над средним уровнем, а наклон шероховатой поверхности относительно ее среднего уровня. Еще одно преимущество фрактальных моделей перед статистико-вероятностными (в частности, перед гауссовской, рассмотренной в первой главе, и перед диффузионной [16]) состоит в простоте моделирования поверхности при расчете методом Монте-Карло и в возможности аналитического определения точки пересечения траектории атома газа с поверхностью.

Моделирование шероховатости в прикладных задачах с помощью фракталов применялось до сих пор только в плоском случае (например, в работе Блэкмора и Чжоу). Однако двумерные модели существенно неточны, т. е. трехмерность сильно сказывается на аэродинамических характеристиках шероховатой поверхности. Это показывают как асимптотические разложения на слабо шероховатой поверхности, так и численные аэродинамические расчеты.

Основные положения постановки задачи (за исключением формы поверхности) остаются такими же. как и в случае статистической модели, т. е. сохраняют силу формулы (1)—(6).

В качестве модели шероховатости используется функция

оо

r(r.p) = a6"1 £/JÍ-2>"V.(/J"r + 7«Ы), (11)

п=1

совпадающая при фиксированном значении полярного угла ф с двумерной моделью, предложенной в работе Блэкмора и Чжоу. Здесь а и ¡3 — постоянные параметры, ф — 27г-периодическая функция, 2 — высота поверхности относительно среднего уровня илощадки dS, (г, р, z) — цилиндрическая система координат с осыо г, направленной вдоль нормали п.

Функция z(r,tp) обладает свойством фрактальности (самоподобия) z(/3r,<p) = ;3~~bz(r, <¿>), которое означает, что шероховатость

меньше! о масшшба приближенно (при больших /:)) повторяет форму кр\ пномасплабной шероховаюсти с измененным характерным размером по горизонтали в /3 раз, а но вер]икали в /З"-'* раз.

Обобщаемая формулой (11) двумерная модель обладает двумя важными преимуществами. Во-первых, она является достаточно общей, чтобы включить в качестве частных случаев ряд известных моделей, в том числе модели Нейака и Всйерштрасса—Мандель-брота. Во-вторых, данная функциональная модель достаточно гибка, чтобы за счет подбора ее параметров успешно приблизить большинство экспериментально наблюдаемых свойств технических поверхностей. В работе Блэкмора и Чжоу сравниваются две усеченные версии указанной модели с экспериментально определенными распределениями профилей, и получено хорошее соответствие но статистическим параметрам. Построенная в § 1 пространственная модель (11) сохраняет упомянутые преимущества, оставаясь при этом более общей и существенно трехмерной. Эта модель наиболее просто реализуема в численных аэродинамических расчетах, речи входящая в (11) функция ф достаточно удобна для аналитического определения точек пересечения траектории атома газа с поверхностью. Поэтому предлагается выбрать эту функцию в виде квадратичного сплайна, продолженного по периодичности с периодом 2л\ Хотя модель, вообще говоря, детерминирована, т. е. не содержит случайных элементов, но ввиду произвольности точки паления аюма газа на поверхность можно говорить о ее статистических характерцетках. получаемых осреднением по площадке (¡Б.

В 2 установлена связь параметров модели с важнейшими характеристиками шероховатости, которыми в аэродинамике служат о\ (среднее квадратичное отклонение производной) и нормированная корреляционная функция р{г). На рис. 9 приведены значения с 1 в зависимости от параметров модели в и /3, а также типичный график функции р(г) с учетом первых 10 членов ряда Фурье.

Р

г

Рис О

В § 3 рассматривав1ся также вопрос о вычиспении вероятностных харак к'рнстнк числа превышений уровня фрактальной кривой. Основные изучаемые характеристики — это:

1) среднее значение МБ, дисперсия ОБ и функция распределения меры 8[и) множества точек поверхности, в которых превышен заданный уровень и (в пределах единичной площадки А в плоскости (г, у) среднего уровня шероховатости); подобные характеристики применяются прежде всего в задачах механики трения и разрушения;

2) Р(6, г0,гу) — вероятность отсутствия пересечений поверхности с известным наклонным уровнем и(х) = гд 4- [х — имитирующим траекторию падающего на поверхность или вылетающего с нее атома газа (обозначения те же, что и в главе 1). Строго говоря, для фрактальных моделей производные гх, гу не определены, так как реализации, обладающие свойством фрактально-сти. как известно, не дифференцируемы. Но определить величины д!/дх и дZ|дy можно и в этом случае — либо путем замены производных конечными разностями с шагом к (что соответствует ограничению масштаба моделирования поверхности величиной /¡). либо путем перехода к рассмотрению функций дифференцируемых, обладающих фрактальными производными.

Первая из рассматриваемых характеристик МЗ выражается через функцию распределения F(w) высоты поверхности 2{х. у).

Остальные две величины представляют собой интегралы по множеству реализаций случайного поля.

В § 3 рассматривается метод расчета данных характеристик для двух фрактальных моделей шероховатости.

Поверхность г(г, <р) моделируется с наименьшими затратами времени с помощью изложенного в § 1 подхода, основанного на аналитическом представлении (11). Особенность данной модели состоит в том, что распределение высоты г(г,<р) не гауссовское.

Наряду с моделью § 1 исследуется и модель фрактального броуновского движения над плоскостью, исследованная В. Мандель-бротом и Дж. Ван Нессом. Для сопоставимости результатов при вычислениях выбраны ждинаковые значения основных параметров а и сг1 случайного поля ¿(х, у). Расчет £)5 и Р(6, го, гх, гу) для фрактального броуновского движения, моделируемого с помощью случайного срединного смещения, выполнен методом прямого статистического моделирования Монте-Карло. Реализация Z(x, у) мо-

дслирупся N рак а интересующие нас характеристики аппроксимирую к-я статистическими оценками но данным наблюдений. Отсутствие дифференцируемости реализаций компенсируется чем, что при моделировании детали ¡размера менее шага А .г игнорируются.

Рис. 10 Рис. И

Для сопоставления чти характеристики вычислены и для модели гауссовского однородного изотропного случайного поля, рассмотренной в главе 1. На рис. 10—11 приведены результаты расчетов DS и P(9,z0,zx,zy) в зависимости от высоты z0 уровня для различных значений параметра шероховатости. Выявлено явное преимущество фрактальных моделей в скорости расчета, особенно для модели (11), в которой возможно аналитическое определение точки пересечения уровня с поверхностью. Например, расчет коэффициентов обмена и аэродинамических коэффициентов сопротивления и подъемной силы про обтекании выпуклого тела (конуса, сферы или цилиндра) с точностью до двух знаков после запятой (т. е. ло Ю-2) с помощью модели (11) требует на порядок (в 10-20 раз) меньше времени, чем расчет континуальных интегралов в традиционном статистическом подходе, при котором поверхность моделируется гауссовским однородным изотропным случайным полем. Еще больше выигрыш при решении таких задач, как численное исследование взаимодействия струи разреженного газа с преградой или расчет внутренних течений газов в каналах и сосудах. Здесь преимущество фрактальных моделей заметно не только в скорости и точности вычислений коэффициентов обмена, но и в удобстве применения результатов для полного расчета течения.

В третьей главе рассматривается вопрос об аэродинамическом расчете обтекания твердой поверхности потоком разреженного raja на основе теории ЛВ. Теория ЛВ.эффектинно исполь ¡уотся в ги-

пор исковой аэродинамике ])азреженных газов на ранних стадиях проектирования летательных апаратов для расчета сил и моментов, действующих на обтекаемое тело (возможно и ее применение для расчета тепловых характеристик). Аэродинамический расчет в разреженном газе по этой теории позволяет избежать решения нелинейного интегро-дифференциального уравнения Больцмана со сложными граничными условиями. При этом, несмотря на полуэмпирическую основу теории, точность вполне удовлетворительна, например, при эскизном проектировании. Данная теория используется в практике аэродинамических расчетов во всем диапазоне чисел Кнудсена с середины 70-х годов.

Третья глава диссертации является продолжением цикла работ, выполненных в лаборатории аэродинамики ЛГУ, и посвященных развитию математической стороны теории ЛВ. В этой главе решается ряд задач данной теории: о нахождении коэффициентов режима как теоретически, так и по экспериментальным данным; о влиянии шероховатости поверхности обтекаемого тела на аэродинамические характеристики; о построении с помощью решения обратной задачи класса тел, позволяющих достичь наибольшей точности и имеющих при этом простую форму, задаваемую аналитическими выражениями. Произведенное в дайной главе развитие математического аппарата теории ЛВ дает возможность еще более расширить область приложения, включая задачу об аэродинамическом расчете объектов в дозвуковом потоке.

В § 1 формулируется наиболее обшая постановка задачи аэродинамического расчета по теории ЛВ, предложенная Р. Н. Миро-шиным. Главное отличие данной постановки задачи от наиболее употребляемых в приложениях моделей — применение интегральною представления аэродинамических коэффициентов сил в виде

где параметр р представляет собой косинус угла между векторами внутренней локальной нормали п и скорости набегающего потока V, а углы атаки а и скольжения <р определяются ориентацией тела в потоке разреженного газа. Выражение (12) дает единую форму записи трёх аэродинамических коэффициентов силы аэродинамического сопротивления Ст, подъемной силы Су и боковой чилы С,.

Функции под знаком интеграла называются функцией реакции

(12)

/(/;) и опорной функцией q(p,i\.if). Функция реакции содержит нею информацию о физическом режиме об текания. Опорная функция определяется только геометрической формой тела и его ориентацией п потоке разреженного газа.

При этом используемые на практике коэффициенты режима и функции формы оказываются обобщенными моментами соответственно функции реакции и опорной функции по некоторым че-бышевским системам функций, что служит основой для многих полученных в работе результатов.

Для свободномолекулярного обтекания выпуклых тел теория JIB точна, поскольку все соударяющиеся с поверхностью молекулы газа приходят непосредственно из невозмущённого потока и поэтому не могут содержать информацию о геометрии тела. Этот факт согласуется с экспериментом при больших числах Кнудсе-на. С другой стороны, в режиме сплошной среды (Кп = 0) при больших гиперзвуковых скоростях данная теория обобщает широко применяемую формулу Ньютона. Распространение теории на переходный режим течений разреженных газов (Кп ~ 1) базируется на теории аппроксимации и соответствует имеющимся экспериментальным данным.

На основе этой постановки задачи в главе 3 получены следующие результаты.

В § 2 найдена зависимость коэффициентов обмена импульсом и энергией в рамках теории ЛВ от параметра шероховатости. При этом используется наиболее эффективная линейная модель теории ЛВ. в которой нормальная составляющая коэффициента обмена импульсом и коэффициент обмена энергией раскладываются по системе полиномов Лежандра

I I

ih = Y, ^ a-(c0s 0) , q = Y, №(c0s в) • (13)

к=0 к—О

а касательная составляющая коэффициента обмена импуи.сом — по системе присоединенных функций Лежандра

ГЦ

Ру0 = . РЦсоч0) --ьтв P'k(cosO). (14)

1

Данная линейная модель предпочтительнее иных моделей при аэродинамическом расчете, так как отпадает необходимость при

нахождении функций формы обращаться к таблицам или производить »итерирование по поверхности тела.

В § 2 обосновываются используемые в первой главе диссертации формулы

I I 11

РЛ V) = $>.лт = 9(у)

к=0 к=1 к=О

которые определяют модель теории ЛВ при нахождении коэффициента аэродинамического сопротивления и обмена энергией между потоком газа и шероховатой поверхностью.

В § 3 получена асимптотика коэффициентов обмена импульсом и коэффициентов режима при стремлении числа Маха к бесконечности. Асимптотика равномерна на интервале 0 < в < \ — £ при любом, но конечном е > 0. Если вкладом скользящих столкновений атомов газа с поверхностью нельзя пренебречь (например, для удлинённых тел при малых углах атаки), то окрестность точки в = ж/2 следует учитывать отдельно.

В частности, для трехпараметрической модели вида (13)—(14) с коэффициентами режима Аь А3 и связанными при М = оо дополнительным условием 2/-ii.ee = —15 А3оо. учёт конечности чисел М приводит с точностью до бесконечно малых более высокого порядка лишь к поправкам в коэффициенты режима вида

л> = Лз = 0 ~ ¿)Лз°°' (15)

где я — М\/к/2. к — отношение теплоёмкостей газа при постоянном давлении и постоянном объёме. Заметим, что предложенное дополнительное ограничение связи коэффициентов режима близко к реальному, выведенному из эксперимента.

В § 4 исследуется зависимость коэффициентов режима А*, /г/с от других параметров режима — числа Рейнольдса и температурного фактора. С этой целью преобразуется к разложению вида {13)—(14) локальная аппроксимация вида р = р\ соя В + р2 сов2 (9, т — т0 ьш 0 сosв. применявшаяся в работх авторов из ЦАГИ (В. С. Галкин. А. II. Ерофеев. А. И. Толстых) для нахождения зависимости коэффициентов режима^, р2 и т() от Ие и

С,

2,0

I 5 1.0

10• 10' Рис. 12

Соответствие полученных аппроксимаций экспериментальным данным для расположенного вдоль потока конуса при различных <ш иллюстрирует рис. 12. Кривые, отвечающие формулам авторов из ЦАГИ, проведены пунктирными

линиями, а экспериментальные точки отмечены кружками и треугольниками.

Получены также более простые формулы для коэффициентов режима, содержащие меньшее число эмпирических констант по сравнению с исходными приближениями ЦАГИ. Результаты расчетов по этим формулам, обозначенные на рис. 12 сплошными линиями, не хуже соответствуют эксперименту.

В § 5 рассматривается проблема связи теории JIB с точными решениями дифференциальных уравнений в частных производных смешанного типа и с операторами дробного интегрирования. Построено аналитическое решение дифференциального уравнения в частных производных смешанного типа, основанное на теории JIB.

Рассмат ривается дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных (обозначенных нижними индексами)

1

sin2 а

+ Час, + qa Ctg а + 2pq„ + (/г - 1 )qpp = 0, (17

вытекающее из геометрического смысла опорной функции и взаимозависимости ее трёх аргументов (/г + /га + р2^/ sin а = 1).

Решение уравнения (17) можно найти на основе представления функционала (12) как поверхностного интеграла для заданной формы тела, соответствующей поставленным граничным условиям. Рассматривается случай тела вращения, когда функция q(p,a) не зависит от ¡р, поэтому уравнение (17) не содержит первого слагаемого. В § 5 получено представление его решения в виде

Л'

1/2

T(t)

s/f^l

или q{í,,ri)

(18)

J_ yfi*

где оператор дробного шпсч рпровнпня порядка —а определяется формулой

«t] --ЦаГ-J< Î^Ti^- (19)

Представление (18) позволяет распространить многие результаты, полученные в общем случае с помощью теории операторов DJ°<p(t), на решения краевых задач для рассматриваемого дифференциального уравнения. Наиболее существенно не само представление решений некоторых краевых задач, а его сопоставление с результатами, полученными на основе теории ЛВ. '

В § 5 получено взаимно однозначное соответствие: каждой геометрической форме тела вращения, обтекаемого по законам теории ЛВ , единственным образом сопоставляется решение краевой i задачи для уравнения Эйлера—Дарбу, записанное через оператор дробного интегрирования в виде (18).

При этом входящая в (18) величина r(f) оказывается равной

r(t) = 2v^F r(oMr')2 + (/')7[Sm (r'Mr')2 + (/')2)'], где (f(7), r(~j)) — параметрическое уравнение образующей тела вращения в связанной с телом системе координат, Sм — характерная площадь сечения тела, а все производные берутся по 7.

Тем самым показана не только возможность при решении уравнения (17) использовать возможности и результаты хорошо развитой теории операторов дробного интегрирования, но и возможность получать простые геометрически наглядные интерпретации в виде обтекания тел вращения для краевых задач для уравнения »

Эйлера—Дарбу. Рассмотрены наиболее простые примеры обтекания тел вращения и отвечающие им краевые задачи для уравнения (17) и соответствующие операторы вида (18).

В § 6 изучается проблема повышения точности аэродинамического расчета путем оптимального выбора коэффициентов режима и метода их нахождения по экспериментальным измерениям аэродинамических характеристик.

Источником получения информации о коэффициентах режима или функции реакции f(p) в теории ЛВ являются экспериментальные данные. Непосредственное измерение f(p) в экспериментах равносильно определению составляющих коэффициента обмена импульсом на поверхности тела. Этот процесс, как в на-:урных экспериментах, так и в аэродинамических трубах весьма

11)\ доемок. Поэтому и рдбок' р.к'сматрин.кчся метол нахождения нелимин Ад. и /(/») путем решения обратных ¡адач восстановления их по результатам измерений аэродинамических коэффициентов Сх, Сч некоторых тел. Используемые с этой целью тела называю] базисными.

Предлагаемый в § б способ определения коэффициентов режима обеспечивает более высокую точность их нахождения по базисным телам, чем другие используемые на практике способы (например, чем решение системы линейных уравнений, образующейся из разложений аэродинамических коэффициентов базисных тел).

Ортогональность шаровых функций Y¿*(a,tp) позволяет выразить коэффициенты режима в виде интегралов от аэродинамических характеристик по всем углам ориентации

fik ~ J J С'(a. ip) sin a dadip (20)

при любом I из промежутка —к<1<к. Если же рассматривается тело вращения, формула (20) приобретает наиболее простой вид, так как шаровые функции здесь пропорциональны полиномам Лежандра Р^ (cos а).

Кроме малого количества требуемой экспериментальной информации. соотношение (20) имеют ещё ряд достоинств. В частности, здесь не возникает проблемы плохой обусловленности и связанной с этим потери точности. Заменяющее её требование, чтобы не бы-m маты соответствующие коэффициенты формы d¡.;¡. значительно проше и нагляднее. Ещё одно достоинство формулы (20) становится очевидным, если подойти к теории ЛВ с точки зрения аппроксимации. Именно, \ казанные формулы совпадают с точными формулами для коэффициентов наилучшего среднеквадратичного приближения произвольной функции линейными комбинациями сферических гармоник (или полиномами).

Также на основе формулы (20) в § 6 сформулирован критерий оптимального выбора формы базисных тел.

В 'j " с помощью выражения (20) получены оценки точности расчета по теории ЛВ. Рассмотрен вопрос о минимизации ошибок, появляющихся вследствие погрешности эксперимента. Полученные оценки позволяют сделать вывод, что максимальная точность нахождения коэффициентов режима достигается в случае обращения всех нечетных коэффициентов формы в нуль при фиксиро-

ванных, отличных си нуля значениях четных коэффициентов формы. Кроме того. Д1я получения наибольшей точности расчета ///, по заданному С(п) необходимо использовать базисные тела с максимальным числом нулевых коэффициентов формы я*. начиная с некоторого фиксированного значения к. Иначе говоря, оптимальными бу;цут тела с опорной функцией в виде полинома. В связи с этим рассматривается задача о построении классов тел вращения с опорной функцией полиномиального вида, причем имеющих наиболее простую аналитическую форму уравнения образующей.

В четвертой главе решается задача об определении границ областей устойчивости по входящим в модель отражения от поверхности параметрам для внутренних течений сильно разреженного газа при неограниченном увеличении числа соударений атомов газа со стенками. Численное решение данной задачи требует аналитического представления результатов расчета движения атомов газа, что возможно лишь для отдельных наиболее простых моделей отражения атомов газа от стенок (даже если пренебречь столкновениями атомов между собой), поскольку при этом необходимо аналитическое решение интегральных уравнений. В § 1 путем применения методов нелинейной динамики удалось получить простые аналитические решения данной проблемы благодаря использованию тригонометрических аппроксимаций теории ЛВ, рассмотренных в главе 3.

В качестве модели отражения атомов газа от поверхности выбрана лучевая модель, обобщающая зеркальную схему. Преимущество рассматриваемой модели состоит в том, что подбор параметров модели позволяет получить любые значения коэффициентов обмена нормальным и касательным импульсом на поверхности. При эгом следует ожидать, что практическая значимость результатов тем выше, чем ближе реальная функция рассеяния к вытянутому в одном направлении лепестку с малой дисперсией, а следовательно, тем точнее получаемые приближения.

Для некоторых простых форм каналов (плоская щель, клин, цилиндр) в § 2 получены предельные множества (аттракторы) в фазовом пространстве, в которые попадают траектории изучаемой динамической системы при неограниченном возрастании времени Найдены области значений параметров, для которых все неподвижные точки первой итерации оказываются неустойчивыми. 1. с. возможны сложные аттракторы. Рассмотрен вопрос об

условиях возникновения каскада бифуркаций Фсйгенбаума. На рис. 13 приведены области плос- " V ^ кости параметров задачи а и Ь (связанных с коэффициентами режима), различающиеся типом аттракторов.

В заключении перечислены основные выводы диссертации.

Рис 13

4. Список основных публикаций по теме работы

[1] Аксенова О. А. Процесс Уонга как тестовой пример // Bccih. Ле-нингр. ун-та, 1983. Вып.13. С. 48-51.

[2] Аксенова О. А. Влияние шероховатости степок иа аэродинамическое сопротивление канала потоку разреженного газа // Вести. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1989. Вып. 2. С. 37-39.

[3] Аксенов а О. А. Зависимость коэффициентов режима в теории локального взаимодействия от параметров режима // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1989. Вып. 1. С. 100-102.

[4] Аксенова О. А.. Халидов И.А. Класс тел, решающих обратную задачу теории локального взаимодействия // Деп. в ВИНИТИ. 59-66-В89. 20 септ. 1989 г. 23 с.

[5] Аксенова О. А. Учет конечности чисел Маха в простейшей линейной модели теории локального взаимодействия // Вестн. Ленингр. vn-та. Сер. 1. 1990. Вып. 4. С. 32-35.

[6] Аксенова O.A. Течения сильно разреженных газов в каналах с учетом шероховатости стенок // Динамика разреженных газов. Труды X Всесоюз. Конф. М., 1991, с.71-76.

[7] Аксенова О. А., Петрова В. Н.. Халидов И. А. Экспериментальное исследование применимости теории локального взаимодействия в дозвуковой аэродинамике // Аэродинамика. Под ред. Р. Н. Миро-шина. СПб., 1997. С. 31-42.

[8] Аксенова О. А. Фрактальное моделирование шероховатой поверхности при аэродинамическом расчете в разреженном iаче // Аэродинамика. Под ред. Р. Н. Мирошина. СПб., 2000. С.120 129.

[9] Ui< urn,ii (> -1 . Мирошип P II , Хапидав И. А. Решение пскоюрмх ia (ач он тми шцнн i> а>родпнамико разреженных raw» с помощью юорни локальною »>анмоде11ствия // Л >родинлмика. Под род Р Н. М|||)ошш1<ч СПб., 2000. С. 130 137.

[10] Ah<c)tot,a О А Фракта'п.пая модель uiepoxonaiofl новерхносги 11j>и м мимо u tin мни с pa фсжепнмм та юм // Маюмат нческое модели-роиаиие. 2001. Т. 13. 7. С 99 103.

[11] Льч-чоаа О А Моделирование фрак г,ш.ио11 шероховатой поверхности и расчет характеристик, спя зпппмх с пересечениями уровня // Аэродинамика. Под рот. Р. Н Мирошииа. СПб., 2001. С. 91 98.

[12] Аксенова О■ А , Халадов И. А О решении применяемых n ieo-рпи ток.ьтьиого взаимодействия дифференциальных уравнений о помощью операторов лробною интегрирования // Аэродинамика. Ред Р. Н. Мирошин. СПб.. 2002. С. 112-119.

[14] Акимова О А.. Халидоп И А. Использование ряда Pailca н численных расчетах аэродинамики шероховатых тел в разреженном late // Лчро шнамика Под ред. Р. Н. Мирошииа. СПб., 2003. С. 148 1G6.

[11] 4к< снова О А.. Халидов И. А. Сопоставление фрактальной и статистической моделей шероховатости в задаче о рассеянии атомов разреженной) газа // Вест. . 1ениип> ,\н-за. Сер. 1. 2004. Вып 1

с. 01 со.

[l.">] Akscnova О A.. Anohk М V.. Khahdou I. A., Miroshin Ii. N. The local interaction theory and its application to the lift and drag cak illation ш the transitional regime // Rarefied Gas Dynamics. Proc. XIX Internat .Symp. on Raiefied Gas Dvnamics. Vol. 2. Oxford; N.-Y . Lok\ o: 1995. Pp. 1223-1229.

'10] lAscnopn О A.. Kliahdov I A. The diffusion process as a model of laiehed ga.s aioin scattering fiот a siulace. Рюс. XIX Int. Symp. on Raiefied Gas Dynamics. Vol.2. 1995. Pp.1030 1036.

'171 11.ЧСП01Ш О .1., AnohL M V. Khahdou I. A.. Miroshin R. X Vppliratioii of the local interne tion theory in aerodynamic calculation '/ Piot Internat. C'onf. on Mathematical Methods in Sci. and Technology (Ed. W. Kainz). Vienna. 1995. Pp. 116 122

¡181 Aksi попа О 4., Khahdou I A., Mnoshm R. V f valuation of > \a< mess of aerodynamical < alrulations using local into; action theon '/ Raieiied Gas Dvnamu s: Рюс XX Internat Symp on Rarefied Gas naiincs / Fd. C'hing Slien / Bciing. 1997 Pp. 1007 J 011.

Подписало в иечаи. 2Н \1 04 Форма г 60 <84 1/16 Бумага офеешая Печаи. офссшая Уел печ л 1.86 Тираж 100'Ж) Закн»№75

ЦОН 1ииографии И )Ла|сл1.с1ьа СПбГУ 199061 С -Пс|ерГ>\рг Средний пр 41

РНБ Русский фонд

2006-4 9602

Введение

Глава 1. Учет шероховатости поверхности, взаимодействующей с разреженным газом, с помощью модели гаус-совского случайного поля

§ 1. Постановка задачи, основаная на модели гауссовского однородного изотропного случайного поля

§ 2. Метод учета шероховатости в аэродинамическом расчете с помощью разложения континуальных интегралов в ряд Райса

§ 3. Численные методы учета шероховатости для марковских процессов первого порядка и соответствующих им случайных полей

§ 4. Тестовой расчет факториальных моментов числа нулей для процесса Уонга.

§ 5. Модель рассеяния на шероховатой поверхности для расчета невыпуклых тел и течений в сосудах и каналах.

§ 6. Влияние шероховатости стенок на проводимость канала

Глава 2. Фрактальная модель шероховатости.

§ 1. Построение пространственной фрактальной модели шероховатой поверхности, достаточно просто реализуемой в численных аэродинамических расчетах.

§ 2. Установление связи параметров модели с характеристиками шероховатости

§ 3. Вычисление вероятностных характеристик числа превышений уровня фрактальной кривой

§ 4. Аэродинамический расчет коэффициентов режима и коэффициентов обмена импульсом и энергией на фрактальной шероховатой поверхности.

Глава 3. Исследование течений разреженного газа в переходном режиме на базе теории локального взаимодействия

§ 1. Постановка задачи обтекания тел потоком разреженного газа в теории локального взаимодействия

§ 2. Зависимость коэффициентов режима от шероховатости поверхности

§ 3. Зависимость коэффициентов режима от числа Маха

§ 4. Зависимость коэффициентов режима от параметров режима

- числа Рейнольдса и температурного фактора

§ 5. Точные решения дифференциальных уравнений смешанного типа для опорной функции и операторы дробного интегрирования

§ 6. Повышение точности аэродинамического расчета путем оптимального выбора коэффициентов режима и метода их нахождения по экспериментальным измерениям аэродинамических характеристик

§ 7. Обратные задачи восстановления формы для тел вращения с простым аналитическим выражением образующей

§ 8. Экспериментальная проверка применимости теории локального взаимодействия в дозвуковом режиме.

Глава 4. Применение теории локального взаимодействия к внутренним течениям разреженного газа с использованием методов нелинейной динамики.

§ 1. Определение границ областей устойчивости в пространстве параметров для течений в плоской щели и цилиндре на базе трехпа-раметрической аппроксимации коэффициентов обмена импульсом и энергией

§ 2. Нахождение аттракторов и бифуркаций для течений в полости клина и в областях более сложной формы.

Настоящая работа направлена на решение важной проблемы построения адекватных физической реальности моделей взаимодействия атомов # разреженного газа с поверхностями с помощью фракталов.

Актуальность темы определяется все возрастающими требованиями к точности и быстроте аэродинамического расчета, к учету многообразных физических и геометрических факторов таких, как: эффекты затенения, вариации режима обтекания, вращение объекта, изменение положения отдельных элементов конструкции в процессе полета, свойства поверхности и физические процессы на ней и др. Полученные результаты открывают возможность создания пакета прикладных программ для персональных компьютеров по решению задач, связанных с аэродинамическим расчетом в разреженном газе.

Изучаемые в диссертации проблемы взаимодействия разреженных газов с шероховатыми поверхностями актуальны также для вакуумной техники. Особенно перспективным является направление, связанное с течениями в узких каналах и щелях, возникающими в микроэлектромеханических системах, например, в зазоре между магнитной головкой и поверхностью жесткого магнитного диска.

Постановка граничных условий для течений разреженного газа в каналах, сосудах, при взаимодействии газовых струй с поверхностями, а также при обтекании движущихся в газе тел, требует учета влияния многих факторов, среди которых один из наиболее существенных — шероховатость поверхности.

Цель настоящей работы состоит в решении комплекса взаимосвязанных задач аэродинамики разреженных газов:

1. Учет шероховатости поверхности при взаимодействии с разреженным газом путем моделирования шероховатости как статистическими методами, так и с помощью фракталов.

2. Аэродинамический расчет в задачах внешнего обтекания с уче-® том шероховатости на основе модели теории локального взаимодействия, обеспечивающей наибольшую простоту аэродинамического расчёта.

3. Учет шероховатости для внутренних течений газа с помощью поправочных множителей в коэффициентах разложения в виде континуальных интегралов по реализациям случайного поля, моделирующего шероховатость.

4. Решение ряда прямых и обратных задач, связанных с разработкой простых эффективных методов аэродинамического расчета обтекания тел разреженным газом в переходном режиме (между режимом сплошной среды и свободномолекулярным потоком) на основе развития математического аппарата теории локального взаимодействия.

5. Решение задачи об определении аттракторов и бифуркаций во вну-Ф тренних течениях разреженного газа с помощью нелинейной динамики.

Для изучения возникающих проблем используются как аналитические методы — разложения в ряды, теория аппроксимации, асимптотические разложения, — так и численные методы (вычисление многократных интегралов). В задаче об учете влияния шероховатости поверхности на аэродинамические характеристики применяются также методы теории гауссовских случайных процессов.

Раскроем подробнее содержание диссертации. Работа состоит из четырех глав.

Первая глава посвящена проблеме учета шероховатости поверхности в аэродинамических характеристиках, в том числе в коэффициентах режима. Решение этой задачи представляет интерес как с точки зрения повышения точности аэродинамического расчета за счет более полного учета поправок на шероховатость, так и для развития общей теории взаимодействия разреженного газа с поверхностями. Шероховатая поверхность моделируется гауссовским однородным изотропным дифференцируемым случайным полем, что позволяет свести дело к одному основному параметру [54], [145]. Использование концепции разложения по номерам соударений [52], [168], дает возможность замкнуть постановку задачи на уровне коэффициентов обмена, не детализируя вид функции рассеяния. Появляющиеся континуальные интегралы вычисляются для марковских процессов первого порядка методом разложения в ряды Райса [145], что значительно сокращает время счета по сравнению с методом аппроксимации континуальных интегралов конечнократными [52].

Одновременно, как показывает тестовой расчет, повышается точность вычислений в области скользящих углов падения, представляющей наибольшую сложность вследствие повышения вероятности выброса случай-Ф ного поля за уровень траектории молекулы газа и увеличения разброса значений в методе Монте-Карло. Предлагаемая методика позволяет найти поправки на шероховатость в коэффициенты режима для произвольной линейной модели теории локального взаимодействия.

При изучении шероховатых поверхностей возникает проблема нахождения параметра шероховатости, который в аэродинамике разреженного газа определяется как корень квадратный из дисперсии тангенса угла наклона шероховатой поверхности к ее среднему уровню. Этот параметр, не поддается прямому измерению методом профилограмм ввиду большого вклада микрошероховатости, которая, хотя и является мелкомасштабной компонентой шероховатости [145], [201], но иногда тем не менее вносит определяющий вклад в аэродинамические характеристики. Восстановление указанного параметра по данным аэродинамических экспериментов более целесообразно производить, исходя из измерений проводимости каналов для потока разреженного газа, поскольку эта величина сильнее зависит от шероховатости, чем аэродинамические характеристики обтекаемых тел. В связи с этим в первой главе диссертации исследуется также вопрос о влиянии шероховатости на проводимость каналов. Результаты этой части работы могут иметь самостоятельное значение для вакуумной техники и могут быть использованы при расчетах трубопроводов и других элементов вакуумных приборов и оборудования. Особенно актуально для практики в настоящее время изучение течений газов в очень узких каналах и щелях в связи с широким распространением в последнее время микроэлектромеханических систем [266] и различных фильтрующих устройств. Чаще всего режим течения в этих областях — переходный по числам Кнудсена, поэтому основным средством для расчета течений газов в таких областях является метод прямого статистического моделирования.

Во второй главе проблема моделирования и анализа шероховатой поверхности применительно к задачам взаимодействия разреженного газа с поверхностями решается методами фрактальной геометрии.

Фрактальные, т. е. обладающие свойством самоподобия, модели шероховатой поверхности эффективнее статистико-вероятностных прежде всего при учете вклада микрошероховатости (неровностей меньшего масштаба, наблюдаемых экспериментально [134]). Микрошероховатость вносит существенный вклад в аэродинамические величины, так как в аэродинамике разреженных газов определяющую роль играет не абсолютная высота точек поверхности над средним уровнем, а наклон шероховатой поверхности относительно ее среднего уровня ([54], [145]). Еще одно вычислительное преимущество фрактальных моделей перед статистико-вероятностными (в частности, перед гауссовской, рассмотренной в первой главе, и перед диффузионной [222]) состоит в простоте моделирования поверхности при расчете методом Монте-Карло и в возможности аналитического определения точки пересечения траектории атома газа с поверхностью.

Одна из фрактальных моделей (предложенная в работе Блэкмора и Чжоу в 1996 г. [229]) во второй главе обобщается и уточняется применительно к аэродинамике разреженных газов. При этом предлагается распространить эту модель с плоского на пространственный случай на основе представления высоты шероховатости z(x,y) над плоскостью среднего уровня в виде конкретного аналитического выражения, представляющего собой разложение в ряд по заданной системе функций. Однако области значений параметров изменены таким образом, чтобы полученная поверхность была дифференцируемой (строго говоря, фрактальная поверхность не может быть дифференцируемой, однако в данном случае фрактальные свойства имеет уже не сама поверхность, а ее производные). Это позволило произвести расчет аэродинамических характеристик взаимодействия разреженного газа с поверхностью без использования искусственного доопределения вектора локальной нормали к поверхности.

Установлена связь параметров фрактальной модели с важнейшими характеристиками шероховатости: дисперсией и корреляционными функциями как высоты поверхности, так и тангенса угла наклона к среднему уровню. Найдены также вероятностные параметры площади превышения поверхностью фиксированного уровня, которые используются в задачах о трении и разрушении шероховатых поверхностей. Произведен расчет коэффициентов обмена импульсом и энергией на шероховатой поверхности, обтекаемой свободномолекулярным потоком газа, с использованием фрактальной модели и произведено сопоставление с другими подходами по точности, времени расчета и другим вычислительным параметрам. Выявлено явное преимущество фрактальных моделей по сравнению с гауссовским однородным изотропным случайным полем в скорости расчета, особенно для модели, в которой возможно аналитическое определение точек пересечения уровня (например, траектории атома газа) с поверхностью.

В третьей главе рассматривается вопрос об аэродинамическом расчете обтекания твердой поверхности потоком разреженного газа на основе теории локального взаимодействия. Теория локального взаимодействия эффективно используется в гиперзвуковой аэродинамике разреженных газов на ранних стадиях проектирования летательных апаратов для расчета сил и моментов, действующих на обтекаемое тело (возможно и ее применение для расчета тепловых характеристик). Аэродинамический расчет в разреженном газе по этой теории позволяет избежать решения нелинейного интегро-дифференциального уравнения Больцмана со сложными граничными условиями. При этом, несмотря на полуэмпирическую основу теории, точность вполне удовлетворительна, например, при эскизном проектировании. Данная теория используется в практике аэродинамических расчетов во всем диапазоне чисел Кнудсена с середины 70-х годов, начиная с работ, выполненных в Ленинградском университете [58], [44].

Третья глава диссертации является продолжением цикла работ, выполненных в лаборатории аэродинамики ЛГУ и посвященных развитию математической стороны теории локального взаимодействия, позволяющей расширить класс решаемых задач [146]—[172], [201]. Интерес к решению таких задач вызван широким применением локальных методов в аэродинамике и космической технике (на стадии эскизного проектирования) [6], [44], [168]. Произведенное в данной главе развитие математического аппарата теории локального взаимодействия позволяет еще более расширить область приложения, включая задачи о проникновении ударника с большой скоростью в твердую среду, и об аэродинамическом расчете объектов в дозвуковом потоке [168].

Решается ряд задач данной теории: о нахождении коэффициентов режима как теоретически, так и по экспериментальным данным; о влиянии шероховатости поверхности обтекаемого тела на аэродинамические характеристики; о построении с помощью решения обратной задачи класса тел, позволяющих достичь наибольшей точности и имеющих при этом простую форму, задаваемую аналитическими выражениями.

Наибольшее внимание в диссертации уделяется проблеме определения коэффициентов режима, содержащих всю информацию о физических параметрах задачи: числах Маха, Рейнольдса, Кнудсена, температурном факторе, параметре шероховатости и др. При определении коэффициентов режима в рамках теории локального взаимодействия используется два подхода. Либо они находятся экспериментально, путем обработки данных измерений аэродинамических характеристик некоторых стандартных тел, либо получаются теоретически, путем установления зависимости от каждого из физических факторов в отдельности.

В диссертации используются оба подхода, причем в первом случае дается критерий оптимального выбора формы обтекаемых тел с помощью разложения аэродинамических коэффициентов в естественный ряд по полиномам Лежандра [158], [168].

Во втором подходе известные результаты — о характере зависимости коэффициентов режима от чисел Маха [54], Рейнольдса и температурного фактора [109], [110] — преобразуются на основе математического аппарата теории локального взаимодействия [168] для линейной модели, обеспечивающей наиболее простой аэродинамический расчет.

Рассматривается методика решения прямых и обратных задач, связанных с аэродинамическим расчетом в разреженном газе. В частности, решаются задачи об оптимальном по точности и быстроте вычислении с помощью теории локального взаимодействия и об аналитическом восстановлении формы тел с опорной функцией в виде полинома. Последний результат позволяет получить простые выражения для образующих тел вращения, аэродинамические характеристики которых дают в точности коэффициенты режима.

В четвертой главе решается задача об определении границ областей устойчивости по входящим в модель отражения от поверхности параметрам для внутренних течений сильно разреженного газа при неограниченном увеличении числа соударений атомов газа со стенками. Численное решение данной задачи требует аналитического представления результатов расчета движения атомов газа, что возможно лишь для отдельных наиболее простых моделей отражения атомов газа от стенок (даже если пренебречь столкновениями атомов между собой), поскольку при этом необходимо аналитическое решение интегральных уравнений. В настоящей работе путем применения методов нелинейной динамики все же удалось получить простые аналитические решения данной проблемы благодаря использованию тригонометрических аппроксимаций теории локального взаимодействия, рассмотренных в главе 3.

В качестве модели отражения атомов газа от поверхности выбрана лучевая модель [44], обобщающая зеркальную схему. Преимущество рассматриваемой модели состоит в том, что подбор параметров модели позволяет получить любые значения коэффициентов обмена нормальным и касательным импульсом на поверхности. При этом следует ожидать, что практическая значимость результатов тем выше, чем ближе реальная функция рассеяния к вытянутому в одном направлении лепестку с малой дисперсией, а следовательно, тем точнее получаемые приближения.

Основными положениями, выносимыми на защиту, являются:

1. Модель пространственной фрактальной шероховатой поверхности и связь ее параметров с характеристиками шероховатости.

2. Метод вычисления континуальных интегралов, возникающих в задаче учета шероховатости в коэффициентах режима, путем разложения в ряды Райса для марковских процессов первого порядка.

3. Модель рассеяния атомов разреженного газа на шероховатой поверхности, предназначенная для использования при расчете обтекания невыпуклых тел и течений в каналах. Аналитическое решение задачи о зависимости от параметра шероховатости вклада первых соударений молекул газа с поверхностью в проводимость плоского канала.

4. Изучение аттракторов и бифуркаций скорости в задаче о внутренних течениях разреженного газа.

5. Связь аэродинамических величин с параметрами режима течения — с числами Рейнольдса, Маха, с температурным фактором, параметром шероховатости в самых эффективных для расчета моделях теории JIB.

6. Метод нахождения коэффициентов режима по экспериментальным измерениям аэродинамических характеристик, обеспечивающий наибольшую точность расчета.

7. Решение обратной задачи восстановления формы определенного класса тел с простым аналитическим выражением для образующей по аэродинамическим характеристикам при заданном режиме обтекания.

Отдельные части работы докладывались на X и XI Всесоюзных конференциях по динамике разреженных газов (Москва, 1989 г., Ленинград, 1991 г.), на Всесоюзной конференции по механике неоднородных сред и кинетической теории газов (Ленинград, 1986 г.), на Всесоюзных совещаниях-семинарах по механике реагирующих сред (Красноярск, 1988 г.) и по гауссовским случайным процессам и полям (Пущино, 1982 г., Ленинград, 1985 г.), на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001 г.), на Всероссийской школе-семинаре по проблемам механики сплошной среды (Снежинск, 2002 г.), а также на международных симпозиумах и конференциях по неравновесным процессам в соплах и струях (Истра-Москва, 2000 г. и С.-Петербург, 2002 г.), по вакуумной технике и приложениям (Репино, 2000 г.), по математическому моделированию (Самара, 2001 г.), по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Истра-Москва, 2001 г., Владимир, 2003 г.), по дифференциальным уравнениям и их приложениям (Самара, 2002 г.), по аэродинамике разреженных газов в Оксфорде (1994 г.), в Вене (1995 г.), Пекине (1996 г.), Вистлере (Канада, 2002 г.) и в Бари (Италия, 2004 г.).

Работа в целом обсуждалась на заседании кафедры гидроаэромеханики в Санкт-Петербургском государственном университете и на семинарах в Балтийском государственном техническом университете и в институте прикладной математики им. В. М. Келдыша РАН. Основные результаты работы опубликованы в статьях [7]—[41], [216]—[225] и в § 2 и 8 главы 7 монографии [170].

Заключение

Итак, в диссертации решена важная проблема построения моделей взаимодействия атомов разреженного газа с шероховатыми поверхностями как на основе статистического подхода, так и с помощью фракталов. Использование построенных новых фрактальных и статистических моделей шероховатой поверхности позволяет наиболее эффективно осуществлять аэродинамические расчеты взаимодействия разреженных газов с поверхностью. Как показывают тестовые расчеты, повышается точность вычислений в области скользящих углов падения, представляющей наибольшую сложность в расчетах. Существенным вкладом здесь является также предлагаемый метод вычисления возникающих континуальных интегралов путем разложения в ряды Райса. Это позволяет найти поправки на шероховатость в коэффициенты режима для произвольной линейной модели теории локального взаимодействия.

Полученные в диссертации результаты, касающиеся влияния шероховатости на проводимость каналов, имеют самостоятельное значение для вакуумной техники и могут быть использованы при расчетах трубопроводов и других элементов вакуумных приборов и оборудования. Особенно ценно для практики в настоящее время изучение течений газов в очень узких каналах и щелях в связи с широким распространением микроэлектромеханических систем и различных фильтрующих устройств.

Рассмотренные в третьей главе новые результаты теории локального взаимодействия, полученные на основе наиболее эффективного современного подхода позволяют расширить рамки применимости данной теории и повысить ее точность. Тем самым появляется возможность не только оперативно производить аэродинамический расчет летательных аппаратов на стадии эскизного проектирования с учетом множества разнообразных факторов, но и исследовать с помощью этой теории широкий класс течений разреженного газа в широком диапазоне чисел Кнудсена вплоть до сплошной среды. Результаты последней главы диссертации позволяют изучать эффекты резкого изменения режима течений газа вследствие потери устойчивости. Определение областей параметров течения, в которых возможны бифуркации и переход к хаотическому режиму, дает возможность учитывать эти явления и по возможности избегать их в практических приложениях.

Таким образом, в работе решены актуальные задачи динамики разреженных газов и теории взаимодействия газов с поверхностями, имеющие большую практическую ценность.

1. Абрамовская М. Г., Басс В. П. Исследование аэродинамических характеристик круговых конусов в переходном режиме обтекания // Ученые записки ЦАГИ. 1980. Т. 11, 1. С. 122-126.

2. Абрамовская М. ГБасс В. П. Аэродинамические характеристики вращающихся тел в многокомпонентном потоке разреженного газа // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1981. 6. С. 166-169.

3. Абрамовская М. Г., Басс В. П. К расчету аэродинамических характеристик тел в переходном режиме обтекания // Космические исследования на Украине. Вып. 16. Киев, 1983. С. 32-36.

4. Абрамовская М. Г., Басс В. П., Лиманский А. В., Тимошенко В. И. К расчету аэродинамических характеристик тел в переходном режиме обтекания / / Прикл. аэродинамика космич. аппаратов. Киев, 1977. С. 69-75.

5. Абрамовская М. Г., Басс В, П., Перминов В. Д., Шведов А. В. О некоторых усовершенствованных алгоритмах расчета аэродинамических характеристик летательных аппаратов в свободномолекулярном потоке // Труды ЦАГИ. 1990. Вып. 2436. С. 68-74.

6. Абрамовский Е. Р., Басс В. П. Аэродинамические характеристики тел в разреженном газе. Днепропетровск, 1986. 128 с.

7. Аксенова О. А. Процесс Уонга как тестовой пример // Вестн. Ленингр. ун-та, 1983. Вып.13. С. 48-51.

8. Аксенова О. А., Халидов И.А. О влиянии шероховатости на теплообмен на поверхности тела в гиперзвуковом потоке разреженного газа. Тез.докл.совещ.-семинара по механике реагирующих сред. Красноярск. 1988. С. 18-19.

9. Аксенова О. А. Влияние шероховатости стенок на аэродинамическое сопротивление канала потоку разреженного газа // Вестн. Ленингр. ун-та, Сер.1. 1989. Вып.2. С. 37-39.

10. Аксенова О.А. Течения сильно разреженных газов в каналах с учетом шероховатости стенок // Динамика разреженных газов. Тез. докл. X Всесоюз. конф. М., 1989. С. 156.

11. Аксенова О. А., Халидов И.А. Класс тел, решающих обратную задачу теории локального взаимодействия // Деп. в ВИНИТИ. 59-66-В89, 20 сент.1989 г. 23 с.

12. Аксенова О. А. Зависимость коэффициентов режима в теории локального взаимодействия от параметров режима // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1989. Вып. 1. С. 100-102.

13. Аксенова О. А., Мирошин Р. Н., Халидов И. А. Обратные задачи теории локального взаимодействия в разреженном газе // Динамика разреженных газов. Тез. докл. X Всесоюз. конф. М., 1989. С. 76.

14. Аксенова О. А. Учет конечности чисел Маха в простейшей линейной модели теории локального взаимодействия // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1990. Вып. 4. С. 32-35.

15. Аксенова О. А., Халидов И. А. О точности аэродинамических расчетов по локальному методу. Динамика разреженных газов. Тез. докл. XI Всесоюз.конф. Л., 1991. С. 152.

16. Аксенова О. А., Халидов И. А. Взаимодействие разреженных газов с вогнутыми шероховатыми поверхностями. Динамика разреженных газов. Тез. докл. XI Всесоюз.конф. Л., 1991. С. 76.

17. Аксенова О.А. Течения сильно разреженных газов в каналах с учетом шероховатости стенок // Динамика разреженных газов. Труды X Всесоюз. Конф. М., 1991, с.71-76.

18. Аксенова О. А., Петрова В. Н., Халидов И. А. Экспериментальное исследование применимости теории локального взаимодействия в дозвуковой аэродинамике // Аэродинамика / Под ред. Р. Н. Мирошина. СПб., 1997. С. 31-42.

19. Аксенова О. А. Фрактальная модель шероховатой поверхности при взаимодействии с разреженным газом // III междунар. конф. по неравновесным процессам в соплах и струях. Тез. докл. 3-7 июля 2000 г., Истра-Москва. С. 18-19.

20. Аксенова О. А. Фрактальное моделирование шероховатой поверхности при аэродинамическом расчете в разреженном газе // Аэродинамика (под ред. Р. Н. Мирошина). СПб., 2000. С.120-129.

21. Аксенова О. А. Оптимизация формы движущихся объектов по локальному методу // Тез. докл. конф. "Соврем, математич. методы и новые информационные технологии", СПб ВМИ, 23-24 ноября 2000 г. С. 33.

22. Аксенова О. А. Фрактальная модель шероховатой поверхности при взаимодействии с разреженным газом // Математическое моделирование. 2001. Т. 13. 7, С. 99-103.

23. Аксенова О. А. Моделирование фрактальной шероховатой поверхности и расчет характеристик, связанных с пересечениями уровня // Аэродинамика / Под ред. Р.Н.Мирошина / СПб: Издательство НИИХ С.-Петербургского университета. 2001. С. 91-98.

24. Аксенова О. А. Фрактальное пространственное моделирование шероховатости твердой поверхности // VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Тез. докл. 23-29 августа 2001 г., Пермь. С. 29.

25. Аксенова О.А., Халидов И. А. Уточненная фрактальная модель шероховатости при взаимодействии разреженного газа с поверхностью // Тез. докл. междунар. научн. конф. по механике "Третьи Поляховские чтения". С.-Петербург, 4-6 февраля 2003 г. С. 116-117.

26. Аксенова О. А., Халидов И. А. Использование ряда Райса в численных расчетах аэродинамики шероховатых тел в разреженном газе // Аэродинамика / Под ред. Р.Н.Мирошина / СПб, 2003. С. 148-166.

27. Аксенова О. А., Халидов И. А. Сопоставление фрактальной и статистической моделей шероховатости в задаче о рассеянии атомов разреженного газа // Вестн. С.-Петербургского ун-та. Сер. 1. 2004. Вып. 1. С. 61-66.

28. Аксенова О. А., Халидов И. А. Исследование течений разреженных газов в каналах и соплах методами нелинейной динамики / / Тезисы XX между нар. семинара по струйным, отрывным и нестационарным течениям. С.-Петербург, 1 3 июля 2004 г. С. 11-12.

29. Аксенова О. А., Халидов И. А. Моделирование шероховатости стенок в задаче о течении разреженного газа в канале // V междунар. конф. по неравновесным процессам в соплах и струях. Самара, 5-10 июля 2004 г. Тез. докл. С. 20.

30. Аксенова О. А., Мирошин Р. Н., Халидов И. А. Исследование течений разреженных газов в каналах и соплах методами нелинейной динамики // Математическое моделирование. 2004. Т. 16. 6, С. 85-87.

31. Алексеева Е. В., Алексеева С. Н. Учет влияния конечности чисел Маха на коэффициенты режима в теории локального взаимодействия // Физическая кинетика. Л., 1983. С. 243-247.

32. Алексеева Е. В., Анолик М. В., Найданова Л. А. Погрешности коэффициентов режима и их влияние на точность аэродинамического расчета по локальному методу // Динамика разреженных газов. Тез. X Всесоюз. Конф. М., 1989. С. 72.

33. Алексеева Е. В., Баранцев Р. Г. Локальный метод аэродинамического расчета в разреженном газе. Л., 1976. 210 с.

34. Алексеева Е. В., Баранцев Р. Г., Эндер И. А. Теория локального взаимодействия с учетом конечности чисел Маха // Аэродинамика разреженных газов. Вып. 8. Л., 1976. С. 162-171.

35. Алексеева Е. В., Мирошин Р. Н. Дисперсионный статистический анализ экспериментальных данных, полученных в аэродинамической трубе низкой плотности // Взаимодействие газа с поверхностью твердого тела. Новосибирск, 1971. С. 59-64.

36. Алексеева Е. В., Мирошин Р. Н. Двухкомпонентная статистическая модель для обработки эксперимента в разреженном газе // Аэродинамика разреженных газов. Вып. 6. Л., 1973. С. 5-8.

37. Алексеева С. Н., Баранцев Р. Г. Теория локального взаимодействия с учетом конечности чисел Маха //IV Всесоюз. конф. по динамике разреженных газов: Сб. аннотаций. М., 1975. С. 70-71.

38. Алексеева С. Н., Баранцев Р. Г., Эндер И. А. Теория локального взаимодействия с учетом конечности чисел Маха // Аэродинамика разреженных газов. Вып. 8. Л., 1976. С. 162-171.

39. Алексеева С. Н., Мирошин Р. Н. О зависимости параметров локального взаимодействия от числа Кнудсена // Аэродинамика разреженных газов. Вып. 7. Л., 1974. С. 180-190.

40. Анолик М. В., Мирошин Р. Н. Вычисление континуальных интегралов в задаче об отражении атомов газа от шероховатой поверхности // Вестн. Ленингр. унта. 1971. 7. С. 52-56.

41. Баранцев Р. Г. О выборе зависимости потока импульса от местного угла падения в теории локального взаимодействия // Аэродинамика разреженных газов. Вып. 7. Л., 1974. С. 168-179.

42. Баранцев Р. Г. Взаимодействие разреженных газов с обтекаемыми поверхностями. М., 1975. 343 с.

43. Баранцев Р. Г. Аналитические методы в динамике разреженных газов // Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа. 1981.Т. 14. С. 3-65.

44. Баранцев Р. Г. Локальная теория передачи импульса и энергии на поверхности тел в разреженном газе // Математические модели, аналитические и численные методы в теории переноса. Минск, 1982. С. 90-98.

45. Баранцев Р. Г. Вариант локального метода для тонких тел в разреженном газе // Вестн. Ленингр. ун-та. 1982. 13. С. 99-101.

46. Баранцев Р. Г., Васильев Л. А., Иванов Е. В. и др. Аэродинамический расчет в разреженном газе на основе гипотезы локальности // Аэродинамика разреженных газов. Вып. 4. Л., 1969. С. 170-184.

47. Баранцев Р. Г., Васильев Л. А., Минайчев А. Д., Мурзов Н. В. Аэродинамические характеристики пластинки в потоке разреженного газа // Аэродинамика разреженных газов. Вып. 4. Л., 1969. С. 190-195.

48. Баранцев Р.-Г., Нарица В. С. Развитие локального метода для тонких тел // Аэродинамика, тепло- и массообмен в разреженном газе. М., 1987. С. 94-98.

49. Баранцев Р. Г., Рахлин Б. Б. Аэродинамические характеристики конечного цилиндра по теории локального взаимодействия // Аэродинамика разреженных газов. Вып. 6. Л., 1973. С. 40-47.

50. Баранцев Р. Г., Федорова В. М. Об учете кривизны поверхности в теории локального взаимодействия // Аэродинамика разреженных газов. Вып. 9. Л., 1978. С. 195-214.

51. Баранцев Р. Г., Федорова В. М. Теория локального взаимодействия с учетом кривизны поверхности // Аэродинамика разреженного газа. Труды VI Всесоюз. конф., Ч 2. Новосибирск, 1980. С. 43-80.

52. Басс В. П., Абрамовская М. Г. Исследование аэродинамических характеристик круговых конусов в переходном режиме обтекания // Ученые записки ЦАГИ.1980. 1. С. 122-126.

53. Басс В. П., Тимошенко В. И. Применение метода локального взаимодействия к расчету аэродинамических характеристик тел сложной формы в гиперзвуковом потоке разреженного газа // Труды ЦАГИ. 1977. Вып. 1833. С. 28-37.

54. Бейтмен Г., Эрдейи А, Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М., 1965. 294 с.

55. Белецкий В. В., Яншин А. М. Влияние аэродинамических сил на вращательное движение искусственных спутников. Киев, 1984. 188 с.

56. Бондарчук В. С., Ведерников Ю. А., Дулов В. Г., Минин В. Ф. К оптимизации звездообразных ударников // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1982. 1. Вып. 3. С. 60-65.

57. Бордюг В. А., Ведерников Ю. А., Дулов В. Г. и др. Параметрическое исследование гиперзвуковых пространственных форм // Прикл. математика и техническая физика. 1983. 1. С. 51-57.

58. Бородин Ф. М. Энергия разрушения фрактальной трещины, распространяющейся в бетоне или горной породе // Докл. РАН. М., 1992. Т. 325. С. 1138-1141.

59. Бородин Ф.М., Онищенко Д.А. Фрактальная шероховатость в задачах контакта и трения (простейшие модели). Трение и износ. Минск, 1993. Т. 14. 3. С. 452-459.

60. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. М., Лейпциг,1981. 718 с.

61. Бунимович А. И. Соотношения между силами, действующими на тело, движущееся в разреженном газе, в потоке света и в гиперзвуковом ньютоновском потоке // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1973. 4. С. 89-95.

62. Бунимович А. И. Аэродинамические характеристики осесимметричных тел при обтекании в условиях "закона локальности" // Вестн. Моск. ун-та. Математика. Механика. 1974. 4. С. 97-102.

63. Бунимович А. И., Воротынцев М. А., Сазонова Н. И. К вопросу об определении аэродинамических характеристик тел, обтекаемых поступательным потоком в условиях "закона локальности" // Вестн. Моск. ун-та. Математика. Механика. 1975. 6. С. 111-116.

64. Бунимович А. И., Дубинский А. В. Метод оптимизации для обобщенного класса функционалов и его приложение к задаче об определении формы тела максимального аэродинамического качества // Вестн. Моск. ун-та. Математика. Механика. 1973. 6. С. 87-90.

65. Бунимович А. И., Дубинский А. В. Вариационный метод для обобщенного класса функционалов и его применение к задачам аэромеханики // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1973. 1. С. 103-111.

66. Бунимович А. И., Дубинский А. В. Обобщенные законы подобия при обтекании тел в условиях "закона локальности" // Прикл. математика и механика. 1973. Т. 37. 5.

67. Бунимович А. И., Дубинский А. В. Об одном классе оптимальных пространственных тел в гиперзвуковом Ньютоновском потоке газа // Газовая и волновая динамика. Вып. 1. М., 1975. С. 46-49.

68. Бунимович А. И., Дубинский А. В. Обобщенные законы подобия при обтекании пространственных тел // Прикл. математика и механика. 1975. Т. 39, 4. С. 103— 111.

69. Бунимович А. И., Дубинский А. В. Об использовании обобщенных законов подобия при расчете аэродинамических характеристик пространственных тел // Вестн. Моск. ун-та. Математика. Механика. 1976. 2. С. 89-95.

70. Бунимович А. И., Дубинский А. В. Об одном классе пространственных тел минимального сопротивления при больших сверхзвуковых скоростях // Вестн. Моск. ун-та. Математика. Механика. 1977. 4. С. 101-107.

71. Бунимович А. И., Дубинский А. В. Обобщенные законы подобия при обтекании тел разреженным газом // Тр. Всесоюз. конф. по динамике разреженного газа и молекулярной газовой динамике. М., 1977. С. 405-410.

72. Бунимович А. И., Дубинский А. В. Оптимальные тупоносые тела вращения в газе различной разреженности // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1980. 3. С. 158-161.

73. Бунимович А. И., Дубинский А. В. О центре давления тел // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1982. 5. С. 129-133.

74. Бунимович А. И., Дубинский А. В. О центре давления пирамидальных тел // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. 1983. 5. С. 74-77.

75. Бунимович А.И., Дубинский А.В. Развитие, современное состояние и приложения теории локального взаимодействия (обзор) // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1996. 3. С. 3-18.

76. Бунимович А.И., Дубинский А.В. Развитие теории локального взаимодействия // Исслед. по истории физики и механики, 1991-1992. М., 1997. С. 198-219.

77. Бунимович А. И., Кузъменко В. И. Аэродинамические и силовые характеристики пространственных звездчатых тел в разреженном газе // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1983. 4. С. 181-183.

78. Бунимович А, И., Садыкова Л. Г. Нестационарное движение одного класса пространственных тел с большими скоростями // Газовая и волновая динамика. Вып. 2. М., 1979. С. 140-145.

79. Бунимович А. И., Сазонова Н. И. Силовые и момеитиые характеристики пространственных тел, обтекаемых потоком газа в условиях "закона локальности" // Газовая и волновая динамика. Вып. 1. М., 1975. С. 32-39.

80. Бунимович А. И., Сазонова Н. И. К вопросу о расчете аэродинамических характеристик осесимметричных и плоских тел в условиях гипотезы локальности // Аэродинамика разреженных газов. Вып. 9. JI., 1978. С. 203-214.

81. Бунимович А. И., Чистолинов В. Г. Аналитический расчет аэродинамических характеристик тел вращения в условиях закона локальности // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1975. 5. С. 94-100.

82. Бунимович А. И., Чистолинов В. Г. Аналитический метод расчета аэродинамических сил в пространственной задаче в условиях "закона локальности" // Прикл. математика и механика. 1975. Т. 39, 3. С. 466-472.

83. Бунимович А. И., Чистолинов В. Г. Аэродинамические характеристики эллиптических конусов, движущихся с большой сверхзвуковой скоростью в условиях "закона локальности" // Газовая и волновая динамика. Вып. 1. М., 1975. С. 40-45.

84. Бунимович А. И., Чистолинов В. Г. Аэродинамические силы, действующие на выпуклое пространственное тело, обтекаемое потоком разреженного газа // Труды Всесоюз. конф. по динамике разреженного газа и молекулярной газовой динамике. М., 1977. С. 414-417.

85. Бунимович А. И., Чистолинов В. Г. Аналитический метод определения аэродинамических характеристик тел в гиперзвуковом потоке газа различной разреженности // Труды ЦАГИ. 1977. Вып. 1833. С. 11-27.

86. Бунимович А. И., Якунина Г. Е. О форме пространственных тел минимального сопротивления, движущихся в пластически сжимаемой и упругопластической средах // Вести. Моск. ун-та. Сер. 1. 1987. 3. С. 105-107.

87. Вапнэ В. Д. Коэффициенты аккомодации как случайные величины // Аэродинамика разреженных газов: Вып. 6. JI., 1973. С. 8-10.

88. Ведерников Ю. А. Обобщенная задача оптимизации поликлиновых носовых частей // Вопросы газодинамики. Вып. 4. Новосибирск, 1975. С. 166-169.

89. Ведерников 'Ю. А. К оптимизации реодинамических систем // Фильтрация многофазных систем. Новосибирск, 1991. С. 167-181.

90. Ведерников Ю. А. Численный метод Парето-оптимизации пространственных проникателей с затуплением // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Новосибирск, 1992. С. 216-234.

91. Ведерников Ю. А., Гонор А. Л., Зубин М. А., Остапенко Н. А. Аэродинамические характеристики звездообразных тел при числах М = 3-5 // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1981. 4. С. 94-99.

92. Ведерников Ю. А., Дулов В. Г., Латыпов А. Ф. Трехмерные гиперзвуковые конфигурации минимального сопротивления // Исследования по гиперзвуковой аэродинамике. Новосибирск, 1978. С. 51-67.

93. Ведерников Ю. А., Дулов В. Г., Латыпов А. Ф. Оптимизация гиперзвуковых пространственных форм // Прикл. математика и техническая физика. 1979. 1. С. 65-71.

94. Ведерников Ю. А., Худяков Ю. С. Поиск рациональных форм пространственных проникателей // Изв. Сиб. отд-ния АН СССР. Сер. техн. наук. 1983. 13. Вып. 3. С. 138-154. .

95. Воронин Ф. С., Жданова Л. Н. О сопротивлении острого конуса в сверхзвуковом потоке разреженного газа // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1987. 1. С. 187-189.

96. Воротььнцев М. А., Сазонова Н. И. Об определении моментов аэродинамических сил, действующих на пространственные тела, обтекаемые в условиях "закона локальности" // Вестн. Моск. ун-та. Математика. Механика. 1976. 1. С. 104-109. .

97. Галкин В. С., Ерофеев А. И., Толстых А. И. Приближенный метод расчета аэродинамических характеристик тел в гиперзвуковом потоке разреженного газа // Труды ЦАГИ. 1977. Вып. 1833. С. 6-10.

98. Галкин В. С., Ерофеев А. И., Толстых А. И. О приближенном методе аэродинамического расчета в разреженном газе // Труды ЦАГИ. 1981. Вып. 2111. С. 27-35.

99. Гальперин Г.А., Земляков А.Н. Математические бильярды. М., 1990. 287 с.

100. Герасимова-О. Е., Борисов С. Ф., Проценко С. П. Моделирование шероховатой поверхности // Математическое моделирование. 2004. Т. 16. 6, С. 40-43.

101. Гонор А. Л. О пространственных телах наименьшего сопротивления при больших сверхзвуковых скоростях // Прикл. математика и механика. 1963. Т. 27. Вып. 1. С. 185-189.

102. Горенбух П. И. Корреляционная зависимость для коэффициентов сопротивления тел в гиперзвуковом потоке газа // Ученые записки ЦАГИ. 1986. Т. 17. 2. С. 80-90.

103. Горенбух П. И. Корреляция коэффициентов сопротивления выпуклых тел в гиперзвуковом потоке разреженного газа // Аэродинамика, тепло- и массообмен в разреженном газе. М., 1987. С. 51-55.

104. Горлин С. М. Экспериментальная аэромеханика. М., 1970. 423 с.

105. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1971. 1108 с.

106. Гусев В. Н., Климова Т. В., Рябова В. В. Основные закономерности изменения аэродинамических характеристик в переходной области при гиперзвуковых скоростях полета // Ученые записки ЦАГИ. 1976. Т. 7. 3. С. 47-53.

107. Данилов Ю. А. Лекции по нелинейной динамике. М., 2001. 190 с.

108. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М., 1966. 228 с.

109. Дубинский А. В. Универсальные соотношения между аэродинамическими характеристиками тел при обтекании в условиях гипотезы локальности // Газовая и волновая динамика. Вып. 3. М., 1979. С. 160-162.

110. Дубинский А. В. Соотношения между силами, действующими на различные по форме тела, движущиеся в газе // Прикл. математика и механика. 1980. Т. 44. 1. С. 178-181.

111. Дубинский А. В. Некоторые закономерности поведения аэродинамических характеристик тел при обтекании в условиях гипотезы локального взаимодействия // Динамика разреженного газа и пограничного слоя. М., 1980. С. 13-32.

112. Дубинский А. В. Исследование и оптимизация аэродинамических характеристик в разреженном газе на основе аналитических и численных методов // Динамика разреженного газа и пограничного слоя. М., 1980. С. 50-68.

113. Дубинский А. В. Некоторые классы оптимальных пространственных тел при обтекании в условиях гипотезы локального взаимодействия // Динамика разреженного газа и пограничного слоя. М., 1980. С. 81-101.

114. Дулов В. Г., Бордюг В. А., Ведерников Ю. А. и др. К вопросу оптимизации пространственных ударников // Материалы VII Всесоюз. конф. по численным методам решения задач теории упругости и пластичности. Новосибирск, 1982. С. 164-175.

115. Ерофеев А. И. О влиянии шероховатости на взаимодействие потока газа с поверхностью твердого тела // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 6, 1967. С. 82-89

116. Ерофеев А. И., Жбакова А. В. Расчет столкновения атома газа с поверхностью для различных моделей твердого тела // Ученые записки ЦАГИ. 5, 1972. С. 40-46.

117. Ерофеев А. И., Жук В. И. О рассеянии потока разреженного газа на шероховатой поверхности // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2, 1977. С. 533-538.

118. Игнатьева С. Е., Ильченко В. В., Мемнонов В. П., Сизова А. Ф. Течения разреженного газа в системах магнитной записи: расчет методом прямого статистического моделирования // Математическое моделирование, т.12, 8, 2000, С. 9-12.

119. Карлин С,, Стадден В. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. М., 1976. 567 с.133134135136137138139140141142143144145

120. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М., 1970. 720 с.

121. Ковтуненко В.М., Камеко В.Ф., Яскевич Э.П. Аэродинамика орбитальных космических аппаратов. Киев, 1977. 156 с.

122. Котов В. М., Лычкин Е. И., Решетин А. Г. и др. Расчет аэродинамических характеристик тел сложной формы в промежуточной области // Численное моделирование в аэродинамике. М., 1986. С. 115-124.

123. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. М., 1969. 364 с.

124. Крейн М. Г., Нуделъман А. А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М., 1973. 551 с.

125. Кузьменко В. И. Приближенный метод расчета конвективного теплообмена при гиперзвуковом обтекании разреженным газом // Динамика разреженного газа и пограничного слоя. М., 1980. С. 33-41.

126. Лабораторный практикум по аэрогазодинамике. Л., 1980. 287 с.

127. Левина О. А. Аэродинамические силы, действующие на тела вращения, и определение формы оптимальных тел в гиперзвуковом Ньютоновском потоке и в потоке разреженного газа // Вестн. Моск. ун-та. Математика. Механика. 1975. 3. С. 113-120.

128. Ложкин В. Л., Рыжов Ю. А. О вероятности однократного отражения и о передаче импульса при взаимодействии молекул разреженного газа с шероховатой поверхностью // Аэродинамика разреженных газов. Вып. 7. Л., 1974. С. 38-50.

129. Минайчев А. Д., Мирошин P. Н. Эмпирические формулы для аэродинамических коэффициентов затупленных конусов в разреженном газе // Аэродинамика разреженных газов. Вып. 4. Л., 1969. С. 185-189.

130. Мирошин P. Н. Линейный регрессионный анализ экспериментов в разреженном газе // Аэродинамика разреженных газов: Вып. 5. Л., 1970. С. 14-38.

131. Мирошин P. Н. Марковские и возвратные стационарные гауссовские процессы второго порядка // Теория вероятн. и ее примен. 1979. Т.24. С. 847-853.

132. Мирошин Р. Н. Пересечения кривых гауссовскими процессами. Л., 1981. 212 с.

133. Мирошин P. Н. Замечания к теории локального взаимодействия в разреженном газе // Вести. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1983. 13. С. 51-57.

134. Мирошин Р. Н. Использование рядов Райса // Теория вероятностей и ее применен. 1983. Т. XXVIII. 4. С. 679-690.

135. Мирошин Р. Н. Аналитическая теория локального взаимодействия в разреженном газе // Прикл. вопросы аэродинамики космических аппаратов. Киев, 1984. С. 42-47.

136. Мирошин Р. Н. Уравнение, ассоциированное с теорией локального взаимодействия в разреженном газе // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1985. 1. С. 69-73.

137. Мирошин Р. Н. Теория локального взаимодействия в разреженном газе — вариант метода касательных конусов // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1985. 15. С. 103-105.

138. Мирошин Р. Н. Математические проблемы теории локального взаимодействия // Докл. АН СССР. 1985. Т. 285, 5. С. 1078-1081.

139. Мирошин Р. Н. Математические вопросы теории локального взаимодействия в разреженном газе // VIII Всесоюз. конф. по динамике разреженных газов: Тез. докл. Т. 1. М., 1985. С. 85.

140. Мирошин Р. Н. Теория локального взаимодействия в гиперзвуковой аэродинамике // IV Всесоюз. школа по методам аэрофизических исследований. Тез. докл. Новосибирск, 1986. С. 51.

141. Мирошин Р. Н. Линейная независимость функций формы острых круговых конусов в теории локального взаимодействия // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1986. Вып. 2. С. 69-76.

142. Мирошин Р. Н. Простейшая линейная модель теории локального взаимодействия // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1987. Вып. 1. С. 63-67.

143. Мирошин Р. Н. Некоторые математические вопросы теории локального взаимодействия // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1987. Вып. 4. С. 41-48.

144. Мирошин Р. Н. Обратные задачи теории локального взаимодействия // Прикл. вопросы аэрогазодинамики. Киев, 1987. С. 3-7.

145. Мирошин Р. Н. Ряд для аэродинамического коэффициента в теории локального взаимодействия // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1988. Вып. 4. С. 65-68.

146. Мирошин Р. Н. О зависимости коэффициента сопротивления выпуклых тел в разреженном газе от числа Рейнольдса // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1989. Вып. 2 (8). С. 48-51.

147. Мирошин Р. Н. Об оптимальных аэродинамических формах в разреженном газе // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1993. Вып. 1 (1). С. 77-82.

148. Мирошин Р. Н. Использование теории локального взаимодействия при движении тела в среде с переменной плотностью // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1995. Вып. 3 (15). С. 85-88.

149. Мирошин Р. Н. Теория локального взаимодействия // Прикл. механика. Вып. 10. СПб., 1997. С. 194.

150. Мирошин Р. Н. Решение некоторых внутренних задач аэродинамики разреженных газов методами нелинейной динамики // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1993. Вып. 2 (8). С. 73-77.

151. Мирошин Р. Н. Бифуркации скорости при протекании разреженного газа в плоской щели // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1994. Вып. 4 (22). С. 72-74.

152. Мирошин Р. Н. О лучевой модели взаимодействия атомов разреженного газа с поверхностью // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1997. Вып. 4 (22). С. 74-79.

153. Мирошин Р. Н. Решение задачи о свободномолекулярном течении газа в полости клина методами нелинейной динамики // Вестн. С.-Петерб. уи-та. Сер. 1. 1998. Вып. 1 (1). С. 73-77.

154. Мирошин Р. Н. Рассеяние атомов разреженного газа длинной щелью // Аэродинамика / Под ред. Р. Н. Мирошина. СПб., 1997. С. 147-163.

155. Мирошин Р. Н., Халидов И. А. Теория локального взаимодействия. JL, 1991. 276 с.

156. Мирошин Р. Н., Халидов И. А. Основные понятия и методы теории локального взаимодействия // Гидроаэромеханика / Под ред. В. Г. Дулова. СПб., 1999. С. 119-146.

157. Мирошин Р. Н., Халидов И. А. Локальные методы в механике сплошных сред. Изд-во Ленингр. ун-та, 2002. 304 с.

158. Мирошин Р. Н., Халидов И. А. Использование теории локального взаимодействия в механике сплошных сред // VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Тез. докл. 23-29 августа 2001 г., Пермь. С. 433.

159. Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М., 1959. 232 с.

160. Нарица В. С. Определение коэффициентов режима для тонких тел по данным численного и лабораторного эксперимента // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1983. 7. С. 53-56.

161. Нарица В. С. Анализ аппроксимаций аэродинамических коэффициентов тонких тел в разреженном газе// Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1984. 8. С. 114-116.

162. Нарица В. С. Расчет аэродинамических характеристик тонких составных тел в разреженном газе с учетом нелокальности. Деп. ВИНИТИ 8214 В85 от 27 ноября 1985 г., 36 с.

163. Нахушев А. М. Элементы дробного исчисления и их применение. Нальчик, 2000. 299 с.

164. Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики. М., 1981. 368 с.

165. Остапенко Н. А. О центре давления конических тел // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1980. 1. С. 99-104.

166. Остапенко Н. А. Проникание тонкого тела со звездообразным поперечным сечением в упругое полупространство // Докл. АН СССР. 1989. Т. 307. 1. С. 62-65.

167. Остапенко Н. А. Оптимальные формы тел, двигающихся в плотных средах. М., 1997. 103 с.

168. Остапенко Н. А., Романченко В. И., Якунина Г. Е. // Прикл. математика и техническая физика. 1994. 4. С. 32-40.

169. Остапенко Н. А., Якунина Г. Е. О телах наименьшего сопротивления, двигающихся в средах при наличии закона локальности // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1992. 1. С. 95-106.

170. Пономарев В. Я., Филиппова Н. А. Экспериментальное исследование сопротивления цилиндра в разреженном газе // Механика жидкости и газа. 1969. 6. С. 166-169.

171. Пярнпуу А. А. Взаимодействие молекул газа с поверхностями. М., 1974. 192 с.

172. Пярнпуу А.-А., Шидловский В. П. Молекулярная газодинамика. М., 1991.

173. Рахматулин X. А., Сагомонян А. Я., Алексеев Н. А. Вопросы динамики грунтов. М., 1964. 215 с.

174. Решетин А. Г., Лычкин Е. Н., Котов В. М., Щелконогов А. Н. Обтекание тел сложной формы потоком вязкого газа // Численные методы механики сплошной среды. 1980. Т. 11. 6. С. 110-122.

175. Ризо А. Е. Эмпирические формулы для конусов в дозвуковой аэродинамике // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1988. Вып. 2. С. 116-117.

176. Сагомонян А. Я. Пробивание плиты тонким твердым снарядом // Вестн. Моск. ун-та. Математика. Механика. 1975. 5. С. 104-110.

177. Сажин О. В., Кулев А. Н., Борисов С. Ф. Роль структуры поверхности в формировании потока ультраразреженного газа в канале // Теплофизика и аэромеханика, т:8, 3, 2001, с.391-399.

178. Сазонова Н. И. К вопросу о неустановившемся обтекании тел в условиях закона локальности // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1977. 3. С. 168-173.

179. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 4. М., 1959. 472 с.

180. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. М., 1985. 304 с.

181. Соколов Е. И., Суслов В. П. Выбор характерного размера течения для расчета силового воздействия струи на тело на основе гипотезы локальности // Тезисы X Всесоюз. конф. по динамике разреженных газов: М., 1989. С. 73.

182. Суслов А. Г. Качество поверхностного слоя деталей машин. М., Машиностроение, 2000.

183. Теория оптимальных аэродинамических форм / Под ред. A. Л. Гонора. М., 1969.

184. Хабалов В. Д. Учет влияния шероховатости на коэффициенты режима в аэродинамических коэффициентах // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1989. 1. С. 80-83.

185. Хабалов В. Д. Вычисление континуальных интегралов с учетом двухкратных отражений атомов разреженного газа от шероховатой поверхности // Динамика разреженных газов. Тез. X Всесоюз. конф. М., 1989. С. 108.

186. Халидов И. А. О зависимости параметров локального взаимодействия от шероховатости поверхности // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1981. 19. С. 118-120.

187. Халидов И. А. Плоский вариант теории локального взаимодействия в разреженном газе // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1. 1988. Вып. 1. С. 72-74.

188. Халидов И. А. Представление гауссовского марковского процесса n-го порядка в виде интеграла от винеровского процесса // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1989. Вып. 4. С. 82-86.

189. Халидов И. А. О нахождении коэффициентов режима по экспериментальным данным // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1991. Вып. 3. С. 88-91.

190. Холявин И. И. Определение коэффициентов режима локальной теории взаимодействия по данным о пластине // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1986. Вып. 2. С. 125-128.

191. Хусу А. П., Витенберг Ю. Р., Палъмов В. А. Шероховатость поверхностей (теоретико-вероятностный подход). М., "Наука", 1975. 344 с.

192. Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М., 1959. 220 с.

193. Черчинъяни К. Теория и приложения уравнения Больцмаиа. М., 1978. 495 с.

194. Шарковский А.Н. Существование циклов непрерывного отображения прямой в себя // Укр. матем. журн. 1964. Т. 14. 1. С. 61-71.

195. Шахов Е.М. Обтекание пластины потоком разреженного газа // Численные методы в динамике разреженных газов. Вып. 4. М., 1979. С. 108-110.

196. Шашип В. М. Гидромеханика. М., 1990. 384 с.

197. Швец А. И. Аэродинамика сверхзвуковых форм. М., 1987. 207 с.

198. Шилов Г. Е. Математический анализ, второй специальный курс. М., 1965. 327 с.

199. Шустер Г. Детерминированный хаос. М., 1988. 240 с.

200. Abrahams Julia, The zero-crossing problem for some nonstationary Gaussian processes // .IEEE TVans. Inform. Theory. 1982. Vol. IT-12, 4. Pp. 677-678.

201. Aksenova 0. A., Khalidov I. A. The diffusion process as a model of rarefied gas atom scattering from a surface. Proc. XIX Int. Symp. on rarefied gas dynamics. Oxford, 1995. Vol.2. P. 1030-1036.

202. Aksenova 0. A., Anolik M. V., Khalidov I. A., Miroshin R. N. Evaluation of exactness of aerodynamical calculations using local interaction theory. XXth Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. Book of abstracts. Beijing, 1996. E14.

203. Aksenova 0. A., Anolik M. V., Khalidov I. A., Miroshin R. N. Application of the local interaction theory in aerodynamic calculation // Proc. Internat. Conf. on Mathematical Methods in Sci. and Technology (Ed. W. Kainz). Vienna, 1995. P. 116-122.

204. Aksenova 0. A., Khalidov I. A., Miroshin R. N. Evaluation of exactness of aerodynamical calculations using local interaction theory // Rarefied Gas Dynamics: Proc. XX Internat. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. / Ed. Ching Shen / Beijng, 1997. P. 1007.

205. Aksenova 0. A., Khalidov I. A. The diffusion process as a model of rarefied gas atom scattering from a surface. Proc. XIX Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. Oxford, 1995. V.2. P. 1030-1036.

206. Aksenova 0. A., Khalidov I. A., Memnonov V. P. Interaction of rarefied gas with rough surface in a channel. 32nd IUVSTA Workshop on gas-surface interaction. Abstracts of papers. St-Petersburg, 2000. P. 12-13.

207. Aksenova 0. A., Khalidov I. A. Fractal and Statistical Models of Rough Surface Interacting with Rarefied Gas Flow // XXIV Int. Symposium on Rarefied Gas Dynamics. Bari, Italy, 11-16 July 2004: Abstracts. P. Fr-4.

208. Aksenova 0, A., Khalidov I. A. Application of Nonlinear Dynamics Methods to Rarefied Gas Flows in Channels // XXIV Int. Symposium on Rarefied Gas Dynamics. Bari, Italy, 11-16 July 2004: Abstracts. P. Su-14. .

209. Anolik M. V., Khabalov V.D., Khalidov I.A. Twofold reflections of rarefied gas atoms from a rough surface // Rarefied Gas Dynamics, Proceedings of the XX International Symp. on RGD, edited by Ching Shen, Peking Unuversity Press, 1997. P. 422-427.

210. Anolik M. V., Khabalov V.D., Khalidov I.A. On normalization of scattering function on a rough surface // XXI Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. Book of abstracts. Marseille, 1998, v.2. P. 71-73.

211. Barantsev R. G. Local method in rarefied gas dynamics // Rozprawy Inzynierskie. 1978. Vol. 26 1. P. 3-9.

212. Blackmore D., Zhou J. A general fractal distribution function for rough surface profiles // SI AM J. Appl. Math. 1996. V.56. 6. P. 1694-1719.

213. Bunimovich A. I., Dubinsky A. V. Mathematical models and methods of localized interaction theory. Singapore, 1995. 226 p.

214. Chapman G.T. A simple relationship between the drag near zero lift and the initialnormal-force-curve slope obtained from Newtonian theory // AIAA J. 1965. Vol. 3. 6. P. 1194-1195.

215. Deheuvels P. On random fractals. Suppl. Rend. Circ. Mat. Palermo. 1997, 50. P. 111-132.

216. Dubinsky A., Elperin T. Method for calculating force coefficients of bodies of revolution // J. of Spacecraft and Rockets. 1996. Vol. 33. 5. P. 665-669.

217. Feder J. Fractals. New York-London, Plenum Press, 1989. 283 p.

218. Gagnepain C., Roques-Carmes C. Fractal approach to two-dimensional and three-dimensional surface roughness. Wear, 1996. N 109, P. 119-126.

219. Jaslow H. Aerodynamic relationships inherent in Newtonian impact theory // AIAA J. 1968. Vol. 6. 4. P. 608-612.

220. Jaslow H. Lift and drag of flat-top configurations of arbitrary cross section // AIAA J. 1968. Vol. 6. 10. P. 2039-2040.

221. Jaslow H. Nonaffine similarity laws inherent in Newtonian impact theory // AIAA J. 1970. Vol. 8. 11. P. 2062-2064.

222. Jaslow H. Nonaffine similarity laws for power law bodies // AIAA J. 1971. Vol. 9. 12. P. 2466-2468.

223. Koppenwalner G. Drag and pressure distribution of circular cylinder at hypersonic Mach numbers in the range between continuum flow and free molecular flow / / Rarefied Gas Dynamics: Proc. 6th Intern. Symp. 1969. P. 739-749.

224. Kussoy M. I., Hortsman С. C. Cone drag in rarefied hypersonic flow // AIAA Paper. 1969. 40. P. 1-6.

225. Legge H., Koppenwalner G. Sphere drag measurements in a free jet and a hypersonic flow density tunnel // Rarefied Gas Dynamics: Abstract 7th Intern. Symp. 1971. P. 156-162.

226. Ling F. Fractals engineering surfaces and tribology. Wear, 1990. N 136, P. 141-156.

227. Longuet-Higgins M. S. The distribution of intervals between zeros of stationary random function // Phil. Trans, of Royal Soc. London, ser. A, 1962. Vol. A254. P. 557-599.

228. Love E. S., Woods W. C., Rainey R. W., Ashby G. C. jr. Some topics in hypersonic body shaping // AIAA Paper. 1969. 181. 17 p.

229. Mandelbrot В., Passoja D., Paullay A. Fractal character of fracture surfaces. Nature, 1984. V. 308. P. 1571-1572.

230. Mandelbrot В. В., Van Ness J. W. Fractional Brownian motions, fractional noises and applications // SIAM Review, 1968. V. 10. 4. P. 422-437.

231. Matting Fred W. Approximate bridging relations in the transitional regime between continuum and free-molecule flows //J. Spacecraft. 1971. Vol. 8. 1. P.,35-40.

232. Memnonov V. P., Plusov S. A., Sizova A. Ph., Yurkov A. V. An alternative procedure for collision simulation in MCDS // Proceedings of the XIX Int. Symp. on RGD, edited by J. Harvey and G. Lord. Oxford, 1995, v.2. P. 892-898,

233. Memnonov V. P. Some Asymptotycal Estimates in the DSMC Method // Proceedings of 2nd St.Petersburg Workshop on simulation, edited by S.M. Ermalcov and V.B. Melas. St.Petersburg, Publ. House of SPbGU, 1996. P. 118-119.

234. Monaco R. On the theory of drag calculation and profile optimization in shockless near free molecular flow // Acta Mech. 1978. Vol. 19. 1-4. P. 275-282.

235. Monaco R. The theory of optimum aerodynamical shapes in near free molecular flow // Acta Astronautica. 1979. Vol. 6. 5-6. P. 733-739.

236. P.Nayak Random process model of rough surfaces. Transactions ASME Journal of Technology. 1971, V. 93. P. 398-407.

237. Peitgen H.-O., Saupe D. The science of fractal images. N.Y., Springer-Verlag, 1988.

238. Pike J. The lift and drag of axisimmetric bodies in Newtonian flow // AIAA J. 1969. Vol. 7. 1. P. 185-186.

239. Pike J. Newtonian lift and drag of blunt-cone cylinder bodies // AIAA J. 1972. Vol.10. 1. P. 176-180.

240. Pike J. Newtonian aerodynamic force from. Poisson's equation // AIAA J. 1973. Vol. 11. 4. P. 499-504.

241. Pike J. Moments and forces on general vortex bodies in hypersonic flow // AIAA J. 1974. Vol. 12. 8. P. 1241-1247.

242. Pike J. Forces on convecs bodies in free molecular flow // AIAA J. 1975. Vol. 13.11. P. 1454-1459.

243. Rice S. O. Mathematical analysis of random noise // Bell System Techn. J. 1944. Vol. 23. P. 282-332.

244. Sokolov E. I., Suslov V. P. Application of local hypotheses for jet-surface interaction calculation in transition region // Proc. 1th Internat. Symp. Fundamental Research in Aerospace Science. M., 1994.

245. Sokolov E. I., Suslov V. P., Bykov F. B. Supersonic jet-surface interaction in free-molecular and transitional flow modes // Rarefied Gas Dynamics. Proc. XVII Internat. Symp. on rarefied gas dynamics. Aachen, 1991. P. 979-986.

246. Stallings R'. L., Campbell J. P. An approximate method for predicting pressure distributions of blund bodies at angle of attack // AIAA Paper. 1970. 70-208. P. 1-10.

247. Thomas T. Rough Surfaces. Longman, Harlow, UK, 1982.

248. Thomas T. Surface roughness: The next ten years. Surface Topography, 1988. N 1. P. 3-9.

249. Vargo St.E., Muntz E.P. Initial Results From the First MEMS Fabricated Thermal Transpiration-Driven Vacuum Pump // Proceedings of the XXII Int. Symp. on RGD, edited by T.J.Bartel and M.A.Gallis. Melville, N.Y., 2001. P.502-509.

250. Whitefield D. L. Analysis of sphere and cylinder drag in rarefied flow // Rarefied Gas Dynamics: Abstract 7th Intern. Symp. 1971. P. 89-102.

251. Wong E. Some results concerning the zero-crossings of Gaussian noise // SIAM J. Applied Mathem. 1970. Vol. 18. 1. P. 67-73.