Взаимодействие атомов разреженного газа со случайными поверхностями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

н о

1 п

САМГГ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ХАЛИДОВ '/пкандер Анасович

взаимодействие атомов разреженного газа со случайны« поверхностями

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмн

авторшегат диссертации на соискание.ученой степени доктора физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ - 1993

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.. Официальные оппоненты -

доктор физико-математических наук, профессор Алешков Юрий Зосимович,

доктор физико-математических наук, профессор Пярнпуу Аарне Антонович,

доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник Григорьев Юрий Николаевич

Ведуцая организация - Институт технической механики АН Украины, г.Днепропетровск.

Завита состоится " О " 1993 г. в «Л» часов

на заседании специализированного совета Д 063*57.34 по защите диссертации на соискание ученой степени доктора физико-матема-пических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 190904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл.2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. A.M. Горького Санкт-Петербургского университета, Университетская наб., д.7/9

Автореферат разослан

Ученый секретарь

специализированного совета Д 063.57.34 докт. физ.-маг. наук,

о

профессор

ОБЩАЯ ХАРЛКТЕКЮШКА. РАБОТЫ

Актуальность теш. Взаимодействие газа с поверхностью м"-разт определяющую роль при решении ваяснейлнх задач аэродинамики разреженных газов и, в частности, при нахождении тепловых пота> ков и сил, действуюл?« на обтекаемые газом тала. Эти проблемы актуальны для космической техники, так как траекторнке параметры орбитальных космических алпаратов и время существования на. • орбите определяются их аэродинамическими характеристики/!!! в ве?-рхних слоях атмосферы. Учет действующих на поверхности случайных факторов - неровности и загрязненности поверхности, неравномерности её структуры, адсорбции и десорбции, температурной неравновесности и др. - необходам как для повышения точности аэродинамического расчета, так и для решения обратных задач из-учети^свойств поверхности по измеряемы.! экспериментально аэродинамическим характеристикам. Среди всего множества разнообразных случайных факторов выделяется статистическая шероховатость поверхности, так кап вычисление возникающих при исследовании еег влияния на аэродинамические величины вероятностных характеристик, так называемых континуальных интегралов, приводит к актуальным задачам теории случайных процессов и полей. Актуальность изучения, в частности, марковских и возвратных процессов и-ого. порядка и их корреляционных функций обусловлена не только внутренней логикой развития теории случайны х процессов и потребностями аэродинамики разреженных газов, но и интересами ряда других прикладных дисциплин, например, радиофизики. Проблемы учета воздействия различных случайных факторов на характер рассеяния атомов на поверхности актуальны также для вакуумной техники.

Цель работы состоит в исследовании влияния случайных факторов, прежде всего шероховатости поверхности, на законы рассо" яния атомов разреженного газа на твердой поверхности и в разработке методов аэродинамического расчета с использованием построенных моделей взаимодействия газа и поверхности.

Общая методика выполнения исследований. В диссертации наряду с методами аэродинамики разреженного газа используются аппарат теории гауссовских случайных функций, методы классического математического анализа и асимптотические разложения.,

Научная новизна. Все результаты работы получены впервые автором. Основные положения, выносимые на защиту:

1. Разложение, аэродинамических характеристик на шероховатой поверхности по номерам соударения атома разреженного газа с поверхностью и его применение к расширению класса рассматриваемых законов рассеяния "в малом", включая аппроксимации теории локального взаимодействия.

2. Метод вычисления континуальных интегралов по множеству реализаций случайного поля или процесса для марковских процессов П-го пордцка или полей с такой же корреляционной функцией с помощью представления через винеровский процесс и суммирования ряда Райса.

3. Обобщение функции рассеяния Черчиньлни на основе модели диффузионного" случайного процесса, что позволяет учитывать различные случайные факторы в процессе взаимоде йствия атома газа с поверхностью.

4. Решение обратных задач, связанных с нахождением коэффициентов режима и восстановлением формы тел в теории локальнаг го взаимодействия, и исследование плоской задачи в рамках этой теории.

5. Построение классов корреляционных функций дифференцируемых случайных процессов и полей, а также характеризация и классификация марковских и возвратных процессов /1-го порядка в, терминах корреляционных функций.

Практическая ценность. Результаты работы позволяют наиболее просто и эффективно находить аэродинамические характеристики. обтекаемых потоком разреженного газа поверхностей с учетом случайных факторов. Использованный подход, базирующийся на разделении информации о физической и геометрической картинах взаимодействия, дает возможность избежать громоздких вычислений, связанных с детальным рассмотрением молекулярной динамики. Посг троенные модели открывают путь к созданию быстродействующих программ для расчета течений разреженных газов а переходном, режиме между сплошной средой и свободномолекулярным потоком. Важнейшая область их приложения - конструкторские разработки на стадии оскизнога. проектирования космических летательных аппаратов.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на УШ, IX, X и XI Всесоюзных конференциях по динамике разреженных газов /Северодонецк, 1980 г., Москва, 1985 г., Свердловск,, 1987 г., Москва, 1989 г., Ленинград, 1991 г./, по механике неоднородных сред и кинетической теории газов /Ленинград, 1986 г./, по новш подходам к решению дифференциальных уравнений /Дргобыч,. 1991 г./, на Всесоюзных совещаниях-сеымнарах по состоянию и перспективам разработки вакуумного оборудования /Казань, 1981 г./, по механике реагирующих сред /Красноярск, 1988 г./, по гауссоз-ским случайным процессам и полям /Цахкадзор, 1979 г., Пупршо, 1982 г., Ленинград, 1985 г./, по взаимодействию атомных частиц с твердой поверхностью /Минск, 1984 г./, па школе-семинаре по механике сплошных сред /Хабаровск, 1989 г./, на ХУП Международном симпозиуме по динамике разреженных газов /Аахен, ФРГ,, 1990 г./, а также на научных семинарах в Институте прикладной и теоретической механики /Новосибирск/, в Московском государственном университете /"Избранные задачи теории случайных процессов и полей", семинар под руководством Ю.К. Беляева/, ВЦ РАН и неоднократно на кафедре гидроаэромеханики и в лаборатории аэродинамики НИИ математики и механики Санкт-Петербургского государственного университета.

Публикации. По материалам диссертации публиковано 30 научных работ. Основные результаты содержатся в монографии [I] и статьях [2] - [20].

Обьем.и структура работы. Диссертация изложена на 213 страницах, включая 17 рисунков и II.таблиц в приложении. Библиография содержит 133 наименования.

Основной текст состоит из введения, четырех глав и заключения. Структура диссертации отражает последовательное приближение от теоретического исследования возникающих вероятностных проблем к практическому аэродинамическому расчету. Разбиение: работы на главы соответствует необходимости изучения проблемы на различных уровнях от молекулярного до газодинамического, каждая из которых требует самостоятельной постановки задач.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введзшш отмечается большой научный и практический интерес, проявляемый в. настоящей время к тематике диссертации, деется краткий обзор основных работ, имеющих к ней непосредственное отношение, обосновывается структура диссертации, излагается цель работа и существо преодоленных трудностей, а также-; формулируются основные положения, выносимые на защиту. Среди упомянутых работ, внесших существенный вклад в решение рассма,-триваеыых проблем, работы Р.Г.Баранцева, Р.Н.Мирошина, Н.В.Аног лика, В.Л.Лоякина, Ю.А.Рыжова, А.К.Ерофеева, В.И.Кука, М.Смита по взаимодействию разрекенньк газов с поверхность», работы К.Черчивьяни, Да.Таллп, А.Оццки псс рассеянна атомов газа в поверхностном слое с-учетом случайных факторов, работы С.О.Райса, Ю.К.Беляева, Г.Крамера, М.Лидбеттера, Р.Н.Мирошина по теории разложений континуальных интегралов в ряды по факториалышм: моментам числа выбросов случайного процесса за уровень, рабатн. В.Г.Дулова, Р.Г.Баранцева, Е.В.Алексеевой, Р.Н.Мирошина, А.И. Б|ушшо5й1ча, А.Б.Дубинского, В.П.Басса, Е.Р.Абраыовского, М.Г. Абраыовской, Г.Дтсслоу, Дас.Пайка по аэродинамическому расчету в. разреженном. газе с помощью локальных методов. Из приведенного краткого обзора сделан вывод о целэсообразности дальнейшего взаимосвязанного решения указанных проблем, опираясь на которое можно как осуществлять аэродинамические расчеты с минимальными вычислительными издержками, так и решать разнообразные практические задачи, например, отыскание параметров газа и поверхности по измеренным экспериментально аэродинамическим характеристикам.

В главе I формулируются два. основных используемых в диссертации подхода к решению проблемы взаимодействия разреженных газов со случайными поверхностями и дается описание классов случайных процессов и полей, возникающих при их применении. В §1 излагается принадлежащая Р.Г.Баренцеву постановка задачи о рассеянии атомов разрешенного газа на шероховатой поверхности и ее сведение к вычислении континуальных интегралов по множеству реализаций гауссовского случайного поля, имитирующего шероховатость. Совокупность основных предположений может быть

задана здесь представлением функции рассеяния на шероховатой поверхности

\f~S4 [1)

д

в виде результата действия оператора шероховатости «> , зависящего лишь от геометрических свойств шероховатой поверхности, на функцию рассеяния "в малом" Х^, несущую в себе всю информацию а физических характеристиках газа и поверхности, функция зависит и от структуры частиц газа, но эта зависимость в работе не изучается, и частицы для краткости именуются атомами газа. Структура оператора шероховатости определяется корреляционной функцией р(г)-=. М + нормированного случайного;

поля г(л ) = г и, прежде всего, параметром шероховато-

сти р"(о) . В частности, от поведения корреляционной фун-

кции зависит решение вопросов о сходимости разложения входящих в о континуальных интегралов в ряд Райса

гл.....

п=0 по конечности членов ряда (2) и об их асимптотика на слабо шероховатой поверхности. Здесь е?¡, ¿Г£1) - значения случайного поля 2(х, У/ и его производных по направлениям осей -т, у в точке ¿-го соударения атома газа с поверхностью, в - угол меяду осью 2 , то есть нормалью к среднему уровню шероховатой поверхности, и вектором —тг, противоположным к скорости падающего атома газа. Использование тех или иных классов случайных процессов и полей при вычислении величин (2) требует характеризации в те рминах корреляционных функций и исследования свойств этих <|1ункций, что и осуществляется в §§3-6 главы I.

Чтобы иметь возможность включить в рассмотрение помимо шероховатости и другие случайные факторы, влияющие на взаимодействие атома газа с поверхностью, в §2 вводится модель случайного процесса марковского типа, в частности, диффузионного процесса. Подобные универсальные модели, основанные на общих принципах, позволяют избежать адекватного описания молекулярной динамики с учетом всех физических параметров и выполнения чрезвычайно ело-

жных траекторных расчетов. Модель диффузионного процесса в. данной задаче была приманена И,Кущером и К.Чэрчиньяни, которда получили ее на базе фундаментального принципа взаимности, отражающего обратимость по вреиени уравнений динамики на микроскопическом уровне. Предлагается более общая модель, основанная на понятии марковских процессов второго порядка, которые, в свою очередь, представляют собой частный случай марковских процессов, а-го порядка. Именно, случайный процесс ^ называется маркова-кда: /1-го порядка, е.сли он дифференцируем п-1 раз в. среднем квадратичном, и процесс , , включаю-

врй производные /с/$к - марковский. В соответст-

вии с. этим определением.вое обычные марковские процессы - первого; порядка, шмарковским процессом.второго порядка является траектория 5сатома.газа в рассматриваемой модели. Класд. марковских процессов л-го порядка достатонно широк и позволяет, охватить описанную вше в. §1 постановку задачи рассеяния на шероховатой поверхности. Однако в главе 3 диссертации, где получены конкретные законы рассеяния атомов газа, мы ограничиваемся диффузионными процессами, так как это позволяет воспользоваться векторным стохастическим. даф$еренциальным уравнением

+ (3)

и дифференциальными уравнениями в частных производных второго* порядка для вероятное наос характеристик процесса х(И

Проблемы харантеризации и классификации марковских и возвратных процессов П-го порядка, изучаемые в §3 и §4, встают не только а связи с тем, что такие процессы могут применяться для моделирования траектории атома газа при взаимодействии со случайной поверхностью, но и в первую очередь благодаря существен:-кому упрощению вычисления континуальных интегралов по. реализат циям случайного поля, обладающего корреляционной функцией подсобного типа. Возвратные процессы, или стохастические мосты, были введены С.ШБерштейном как. обобщение марковских процессов» Процесс ^, заданный на одномерном множестве Т, называют возвратным, если для любой пары точек б"-алгебры £¡¡¡-11

и » порожденные значениями случайного процес-

са на соответствующих множествах, условно независимы относнтелв-но 6-алгебры порожденной значениями и ^ . Йначо го-

воря, "внутренность" и "внешность" условно независимы пр! заданных значениях на границе. Аналогично марковским процессам вводится понятие возвратных процессов и-го порядка. Основной результат §3 - х>арактеризация гауссовских возвратных процессов г\,-га порядка, в терминах их корреляционных функций, сформулированная в виде теоремы.

Теорема I. Пусть ^ - гауссовский, невырожденный, п~1 раз непрерывно дифференцируемый в среднем квадратичном возвратный случайный процесс п-го порядка на отрезке [я, Для того, чтобы^р.и) могла быть его корреляционной функцией, необходимо и достаточно, чтобы: /А/ она была представима в виде

/В/ матрица Г'1^, ё) 8 (•£,£). и.ее приращения по t были симметричны и положительно определены при всех t

/С/ определители иг)), не обращались в

нуль при любых -Ь,\Г, -¿¿У . Здесь 3) - квадратная матрица размера 2п с постоянными элементами, У1^) - векторная, П-1 раз непрорывно дифференцируемая на [0,6] функция, верхний индекс т означает транспонирование, ГН, у) и квадратные матрицы размера 2п, составленные из векторов-строк , у(V),..., ) и (№)&,...Невырожденность процесса понимается как необращение в нуль корреляционных определителей значений процесса и его производных в двух точках 5, и С [<*,£] ив трех точках , 6,

Доказательство теоремы опирается на 6 лемм, среди которых -аналогичный результат для марковских процессов К-го порядка. Рассмотрены также многочисленные примеры применения теоремы I, используемые в последующи главах при вычислении континуальных интегралов. Отмечается, что полученная характеризация марковских и возвратных процессов и.-го порядка, как видно из примеров,

удобнее для применений, чем аналогичная характеризация Ж.Карг шхаэля, Ж.Массе к Р.Теодореску, хотя и выведена автором раньше.

В §4 проведена классификация корреляционных функций гаус-совских стационарных марковских и возвратных процессов п-го порядка по их структурной устойчивости. В задаче о рассеянии атомов газа на шероховатой поверхности основными параметрами, влияющими на асимптотическое и численное поведение функции рассеяния, являются коэффициенты бк асимптотического разложения корреляционной функции в окрестности нуля

1 нГ & е- + нгк

При построении искомой классификации используется терыина-логия теории особенностей дифференцируемых отображений и(ЛДЕ)--классификация В.И.Арнольда и, соответственно, параметры ,..., б„ именуются управляющими. Установлено, что области структурной устойчивости корреляционных функций как марковских, так и возвратных стационарных гауссовских' процессов П-го порядка разделяются в пространстве управляющих параметров 6К бифуркационным множеством каспоидной серии катастроф /¡п . Иначе говоря, пространство параметров разделено на открытые под-

множества, в которых структурный вид корреляционной функции сохраняется при малых ее возмущениях, причем граница этих подмножеств - бифуркационное множество - имеет топологическую структуру катастрофы . Указаны комбинации управляющих параметров для которых уравнение бифуркационного множества записывается наиболее просто. В частности, в интересном случае марковских процессов четвертого порядка эти комбинации получены в виде

6^(^-1) ' 6? ' У <б»

ь соответствующее уравнение бифуркационного множества отвечает катастрофе Я^ "ласточкин хвост".

В §5 дан ответ на вопрос, при каких условиях функция р(-Ь) может быть корреляционной функцией однородного изотропного случайного поля. Предположения об однородности и изотропности случайного поля, имитирующего шероховатую поверхность, вводится с целью уменьшения числа параметров, от которых зависит решение

задачи. Это предположение следует расценивать как априорное усреднение статистических свойств поверхности на элементарной площадке. Однако мы на ограничиваемся двумерным случаем, а рассматриваем общий случай поля Z(x)t заданного на rt-мерном евклидовом пространстве х Ç [R" . Необходимость такого обобщения вызвана наличием приложений в другой области аэродинамики - теории турбулентности, где изучаются корреляционные функции случайных полей, заданных на и (J?5" [ilj. Полученные результаты, формулируемые в §5 в виде теорем, справедливы и для негауссовских случайных полей, если условия однородности и изотропности понимать в широком смысле, то есть примените льно к корреляционной функции и распределениям поля в двух точках. Вообще говоря, необходимым и достаточным условием того, что ji(r) может быть корреляционной функцией однородного изотропного случайного поля в /R" является существование спектральной меры. Однако на практике нахождение многомерного спектра, связанного с о(г) интегральным преобразованием, содержащим функцию Бесссля первого рода «Х)/г-|ЙгЛ 'чак правило, затруднительно. Поэтому полученные в §5 критерии в терминах одномерного спектра либо без обращения к спектральным представлениям, с помощью понижения размерности, удобнее для практического применения.

В §б решается проблема построения корреляционных функций с заданным поведением. Особенно важно для рассматриваемых в диссертации задач поведение j>(i) в окрестности нуля, так как от него зависят локальные свойства реализаций: непрерывность, диффэрен-цируемость, асимптотическая конечность членов ряда (2) и его сходимость. Весьма широкий класс корреляционных функций в одномерном случае, то есть для стационарных случайных процессов, дает критерий Пойа - это выпуклые функции p(i), убывающие к нули при •(• -■»■ оо . Однако соответствующие процессы недаффоренци-руемн, поскольку уже второй спектральный момент их бесконечен. Полученный в §6 более общий критерий позволяет по любой наперед заданной выпуклой интегрируемой на [О функции <р и произвольному неотрицательному на £0,4} многочлену построить корреляционную функцию j)(i) с конечными спектральными моментами. В качестве примера строятся корреляционные функции случайных процессов и однородных изотропных полей, ведущие себя в нуле как = /- tV? ê t1^ +- о (t1^) , o< 2 , „ тождественно

равные нулю при t больших некоторого конечного значения.

Результаты первой главы используются в главах 2 и 3 при вычислении континуальных интегралов по множеству реализаций случайного поля.

Глава 2 посвящена решению проблем рассеяния атомов разреженного газа на шероховатой поверхности в постановке §1 главы I на основе нового подхода к разложению аэродинамических характеристик по номерам соударений. Сущность подхода излагается а §1. Вклад первых соударений в функцию рассеяния Vfv'li?) определяется в виде интеграла не через вероятность Г\л (V,v', i, свободного пролета по лучам падения и вылета, как при традиционном подходе, а через вероятность П11'(б, 2, tx, ¿у) свободного пролета атома газа лишь по лучу падения. Здесь ¡7 и ?'- скорог сти падения и вылета атома газа, Z , Z*, , как и в (2) -значения случайного поля и его производных в точке соударения, определяющие локальную нормаль Я, и угол 9 между осью 2 и вектором -1Г. Аналогичным образом вклад т.-го соударения определяется через вероятность Л'*"' свободного пролета атома газа по участку траектории до точки последнего столкновения а поверхностью, то есть без учета луча вылета. Однако для того, чтобы получить при суммировании всех величин функцию рассеяния Viv'lxr) > необходимо задать функцию V0"'не в виде интеграла от плотности распределения '"<"<Jj t?) по скоростяид7',и"';

пролета отрезка между столкновениями с номерами п-1 и ж., а в виде разности интегралов

и) = IIfn-yv' ^w) dv^-

(7)

В-.этом случае дополнительные вклады в; функцию Л/(u'\v) взаг имно уничтожатся, что; доказывается на основе тождества,, связывающего вероятности f]^ и /]'"*• Разложение по номерам соударений приобретает особенно отчетливый физический смысл для коэффициентов обмена импульсом J3 и энергией , если вклады рни cf"> определяются через функции Именно, каждое слагаемое

р04 или ф*' отвечает обмену импульсом или энергией при «i-om cor ударении атома газа о поверхностью, независима от того, оталки-

вается атом в дальнейшем еще о поверхностью или нет.

Основное достоинство предлагаемого разложения заключается в том, что независимость входящей в ^"'вероятности П<т'°т скорости вылета атома и' позволяет взять интеграл по с/й' в выражениях для коэффициентов обмена ^"'и получить представление этих величин через коэффициенты обмена "в малом" ра и С^ . Тем самым, функция рассеяния исключается из рассмотрения, достаточно лишь знать коэффициенты обмена на гладкой поверхности. В частности, могут быть использованы аппроксимации, применяемые в теории локального взаимодействия.

Для вклада первых соударений в коэффициенты обмена получанное представление имеет вид

^ ^ То со?В ^ )

с"}1 г То } ш9 . 1

(9)

м I

% 5 I Г' -

к * (ю)

где коэффициенты обмена ро, определяются на малой площад-

ке с внешней нормалью Тг, то есть зависят от угла в„ между векторами п и -1Г. Действие оператора 511> на произвольную интегрируемую функцию задано формулой-

•о

ю] д (г,гх, г, 2Х,гууг,

(И)

где совместная плотность распределения случайного

поля и его производных в точке соударения.

Если величины ро, ТР представляют собой линейные

комбинации тригонометрических функций СОУ0П и ¡(н9„са*дп при к= 0,1,2,..., как, например, это имеет место для арр?глльчо-Л1~

ффузного отражения или для рассеяния на атомах поверхности по модели твердых или мягких сфер, то коэффициенты обмена (8)- (10) оказываются линейными комбинациями аналогичных функций угла с коэффициентами вида

Произведенное для указанных моделей отражения от гладкой поверхности сопоставление вычисленных по формулам (8|-(12) коэффициентов обмена на шероховатой поверхности с учетом первых соударения с результатами расчетов М.В.Анолика и Р.Н.Ыирошина для вклада однократных отражений и с результатами А.И.Ерофеева и В.И.Кука по. прямому численному моделировании столкновений атомов с поверхность!) показало, что ухе в приближении первых соударений данный метод обеспечивает тот же уровень точности, что и в упомянутых работах.

В то же время, предлагаемый подход обладает тем преимуществом, что величины (12) - универсальные функции угла падения б„ зависящие, кроме того, лишь от модели шероховатой поверхности, и не зависящие от скорости вылетай'и от физических параметров, газа и поверхности. Следовательно, достаточно произвести вычисление по формуле (12) и раз и навсегда составить таблицы значений чтобы находить вклад первых соударений в коэффициенты обмена на шероховатой поверхности'для широкого класса законов рассеяния "в малом". Если.же функция рассеяния "в малом" неизвестна, как например; в теории локального взаимодействия, то данный подход вне конкуренции, так как в иных вариантах без функции \/0 не обойтись.

При вычислении величин (12)преодолены трудности, обусловленные сложной структурой оператора В1'1. Этот оператор содержит вероятность Л"', которая, вообще говоря, не может быть представлена интегралов конечной кратности, а лишь пределом ^-кратных интегралов при .//-*•« ,, так называемым континуальным интегралом. Точное аналитическое представление континуальных интегралов через интегралы невысокой кратности получено лишь для отдельных видов случайных процессов, например, типа процесса Винера.

Рассматриваются три способа приближенного нахождения величин (12): аппроксимация //-кратными интегралами при больших

значениях Я с последующим вычислением методом Конто-Карло, разложение в ряд Райса (2) по факториальным моментам числа выбросов и асимптотический анализ при стремлении к нулю параметра шероховатости 6Л = р"(о) ,

При первом способе была использована разработанная М.В. Аноликом методика аппроксимации континуальных интегралов конэч-нократными, включающая экономию памяти ЗйI и времени счета путем применения метода зависимых испытаний, опирающегося на независимость корреляционной матрицы от параметров 0 , i ,j , л также путем аппроксимации квадратного корня L из корреляционной матрицы ленточной матрицей. Недостатки данного подхода заключаются в отсутствии аналитических оценок скорости сходимости приближения при JK-* °°, в необходимости вычисления интегралов Чрезвычайно высокой кратности 200 и более и в невозможности достижения сколь угодно высокой точности ввиду ухудшения обусловленности матрицы L с уменьшением шага Т (// . Последнее приводит к нарастанию ошибок округления в процессе вычислений при работе с матрицей L .

При втором способе, опирающемся на разложение в ряд Райса,.. кратность вычисляемых интегралов по крайней мере на порядок ниже, поскольку на практике обычно достаточно нескольких первых членов ряда (2) . Однако здесь также возникают трудности, тек как, за исключением аналитических процессов, подынтегральная функция в выражениях дал имеет при сближении аргументов особенности, не обязательно интегрируемые. Устранение особенностей для любых значений m представляет серьезную проблему, связанную с изучением свойств корреляционных определителей, которая решена для гауссовою« марковских стационарных процессов второго порядка о помощью результатов первой главы на основе представления через винеровский случайный процесс. В частности, получены необходимые и достаточные условия представимости процессов g(t) указанного типа в видя

Wt-lH

w("5; c/ffs), (13)

о

где »/(si - одномерный винеровский процесс, a f(s),f(t), - некоторые пункции, для которых п явном виде выписано представле-

1ше через корреляционную функцию. Благодаря этому представлению формула (13) удобнее для приложений, чем известные выражения в вида стохастических интегралов, и имеет самостоятельное значение для прикладной теории случайных процессов. При вычислении интегралов (12) методом разложения в ряд Райса выражение (13\ позволяет устранить особенности, поскольку указывает замены переменных интегрирования, которые приводят случайный процесс к стандартному виду. Свойства рядов Райса исследованы в диссертации также для процессов с дискретным спектром, для которых вопросы конечности членов ряда и его сходимости до конца не решены. Рассмотрены три подхода: распространение формулы Крамера для факто-риальных моментов числа выбросов на втот класс процессов, сглаживание спектра непрерывной пикообразной функцией и применение формул другого типа для конкретных видов спектра.

Результаты расчетов континуальных интегралов (12) обоими вшеуказанными способами приведены в виде таблиц в приложении а сопоставлении с асимптотическими приближениями при б",-» 0. Сравнение расчетов показало, что скорость и точность расчетов выше при разложении в ряд Райса, чем в случае конечнократной аппроксимации. В качестве тестового примера использовался процесс Уон-га, для которого факториальные моменты числа нулей выражаются в виде двукратных интегралов. Отметим, что при то есть при

скользящих столкновениях, теряют Точность все численные и асимптотические методы, тая как необходимо принимать во внимание значительный участок реализации случайного процесса. Точность асимптотики, как вытекает из сопоставления с расчетными данными, определяется, в основном, значением параметра Расчеты также показали, что зависимость от параметра 6, играет главную роль по отношению к влиянию остальных параметров 6Х , б} ,... и к виду корреляционной функции.

Более сложная задача учета вклада вторых и третьих соударений решена в диссертации асимптотически при 6^-* 0. Поскольку здесь требуется учитывать отрезки траектории атома между соударениями, случайное поле не может быть сведено к процессу с той же корреляционной функцией. Дополнительные сложности связаны также с увеличением кратности интеграла для вторых соударений на б по сравнению с (II) и с увеличением числа параметров, В предполо-

женил, что функция рассеяния на гладкой поверхности^Д^'/ц п) -диффузнообразная, то есть имеет вид

где АЬ1»^//) не обращается" в нуль при = , получен следующий результат.

В той области изменения углов $ и в' , в которой величины и б/^в' малы, то есть всюду, за исключением малой окрестности точки ЗГ/2 , справедлива асимптотика функции рассеяния при втором соударении атома газа с поверхностью

у1^ Л тГ/) (V, V1'', ю х

О о (15)

где ,<Р11>) - сферические координаты вектора скорости

на промежуточном отрезке, а коэффициентЛр) есть континуальный интеграл, зависящий лишь от корреляционной функции.

Отличие величины от Кцк№) заключается в появлении функции распределения случайного поля и его производных в двух точках и в добавочном интегрировании по длине t отрезка между этими точками. Однако вычислениепроизводится теми же методами, что и нахождение в §2-5, с предварительным наделением

особенностей при 4-* 0 и

В §6 получена также асимптотика вклада V третьих соударений в функцию рассеяния, имеющая порядок . Столь быстро? убывание при 0 дает основания полагать, что для реальных слабо шероховатых поверхностей при современных требованиях к точности аэродинамического расчета вкладом третьих соударений в авродинамические характеристики можно пренебречь.

В случае, когда параметр 6", не мал, то есть асимптотический подход неприменим, получены формулы представления вклада вторых соударений в коэффициенты обмена импульсом и энергией на шерохо-ратой поверхности Гп, ^,г> через коэффициенты обмена на падкой поверхности р0 , ^с , <р0 .

В §7 рассматривается проблема учета шероховатости поверхности при расчета своболнсмолекулярных течений с вогнутыми участ-

каш границы, включая течения в каналах, полостях и т.п. Предлагается распространить на етот случай вшеизложенный подход на основе разложения по нонаран соударений с помощью использования модели рассеяния "в малом" вида

+... (16)

где упроизвольные функции,^¡(уг') - полиномы от V'. Пока-еана, что воздействие оператора шероховатости на функцию рассеяния (16) сохраняет ее структуру, то есть влияние шероховатости сказывается только на ковффициентах полиномов, не меняя системы функций в (16). Следовательно, функция распределения вылетающих с поверхности атомов газа представляет собой линейную комбинацию полиномов от компонент скорости вылета у', в коеффициенты которых входят поправочные множители, зависящие только от угла падения в и от параметра шероховатости . Эти множители суть континуальные интегралы того ке типа, что и величины и могут быть вычислены аналогичными методами. В качестве примера в приложении приведены найденные методом Монте-Карло значения поправочных множителей для случая , что соответствует не зависящим от скорости падения О" функциям рассеяния, в частности, диффузного типа. Вычисление для произвольных функций производится тем же методом без затруднений. Расчет функции распредела-ния атомов газа по скоростям ¿{г,\х) во всей области течения для модели рассеяния (16) не требует решения интегрального уравнения относительно функции в скалярных переменных г , {7 . Достаточно только решить уравнения относительно зависящих только от координат величин

] (17)

где УГу/ - проекция вектора V на нормаль // к среднему уровню шероховатой поверхности. Для течений в областях конкретной формы например, при определении проводимости плоской щели или круглого канала, известны еще более эффективные методы, сводящие дело к стандартным решениям. Таким образом, предложенная модель рассеяния (16) позволяет упростить аэродинамический расчет в областях произвольной форш, принимая во внимание шероховатость поверхна-

сти.

В главе 3 изучается введенная в §2 главы I модель рассеяния атомов газа на поверхности с учетом случайных факторов. Предполагается, что траектория атома, газа в шестимерном фазовом пространстве координат и скоростей есть диффузионный случайный процесс (г(£), Ц*(а), поскольку это приводит к обобщению известии» го и согласующегося с экспериментом закона рассеяния Черчиньяни. Пространственное движение атома Г{Ь) описывается при этом марковским процессом второго порядка, Такая модель способна учитывать наряду с шероховатостью и другие случайные факторы: загрязнена ность поверхности, дефекты ее структуры, наличие адсорбционного слоя и т.п.

В §1 введена вероятностная характеристика Щг, и) случайного процесса среднее число пересечений траекториями атомов газа постоянного уровня 2 со скоростью V при любых х , У в любой момент времени Ь .начиная с некоторого момента 40 :

оо ©О

|г{ Л ¿¿г¿/у I рИ, г, ЩсЦ, до

-со {

где г, и) есть переходная плотность процесса от значений Г0 , ^ в момент -{0 к значениям г 7 . Отыскав величину М (Н, V■), всегда можно найти функцию рассеяния \Zlvl полагая в. (18) ординату ? равной начальному значению г0 , с которого начинается взаимодействие атома газа с поверхностью. Из уравнения Колмогорова для переходной плотности при условии однородности и изотропности поверхности, в силу которого коэффициенты диффузии и сноса ¿¿(2,1/)не зависят от -*", У , выводится уравнение

где ж 1,2,3 отвечают проекциям на оси X , У , 2 ,

Ввиду положительной определенности матрицы диффузии краевую задачу для уравнения (19) необходимо решать, двигаясь в направлении убывания 2 при 0 и возрастания ¿Г при 0. Вообще говоря, фундаментальное решение (19) выражается в виде объемного потенциала через параметрикс, то есть через фундаментальное решение соответствующего уравнения с постоянными коэффициентами, но образующиеся при этом выражения чересчур громоздки и неудобны для практических приложений. Поэтому в диссертации уделено внимание частным случаям. Например, нулевая матрица диффузии й отвечает лучевому отражению атома газа от поверхности. В §2 решается вопрос о существовании решения вида

для которого уравнение (19) раскладывается на два независимых уравнения для величин и > связанных соответственно с распределением касательной и нормальной компонент скорости атома газа. Построено точное решение

(22)

где - произвольная функция, удовлетворяющая обыкновенно-

му дифференциальному уравнению

УМ + о , (2?,

а величины М,Ы),1/гМ,А(г)Уь(г), связаны с

коэффициентами сноса и диффузии. Представляет интерес частный случай , / , поскольку

для функции Еесселя 10№)Первого рода нулевого порядка получаем непосредственное обобщение закона рассеяния Черчиньяни, который возникает при дополнительном предположении о зеркальном отражении атомов газа на некоторой фиксированной глубине ^ для </„(?)-

Дв^. Последнее предположение можно зама нить требованием об обращении в нуль матрицы диффузии при , так как лучевое отражение при имеющихся условиях симметрии становится зеркальным.

Построенное точное решение (20) - (231 носит существенно более общий характер, чем функция рассеяния Черчиньяни, так нал сохраняется произвол выбора зависимости от координаты i . Это позволяет, не меняя вид выражений (21) - (23) как функций скорости, охватить достаточно широкий класс поверхностей и разнообразные формы потенциала взаимодействия атома газа с поверхностью.

В то же время, найденная по (20) - (23) функция рассеяния сохраняет ряд достоинств функции рассеяния Черчиньяни. В частности, выполнение одного из фундаментальных соотношений кинетической теории газов - вытекающего из законов взаимодействия на микроскопическом уровне принципа взаимности - служит признаком корректности выбраной модели рассеяния.

Зависимость коэффициентов сноса и диффузии от физических параметров поверхности изучается в §3. На основе физических соо-бражений исследуется поведение величин ,dи , у? t , как функций 2 . Предлагается два подхода к отысканию коэффициентов сноса и диффузии. Первый из них - полуэмпирический, в котором эти величины находятся по экспериментальным данным об аэродина.-мических характеристиках различных поверхностей с разными знача-ниями физических параметров. При этом наиболее удобно использовать коэффициенты обмена касательной компоненты импульса <С и той части кинетической энергии, которая соответствует движению по нормали к поверхности , поскольку они связаны с параметрами модели простыми формулами 1=<=t±(Z), = Второй подход опирается на изучение физической природы сил,' действующи на атом газа в процессе взаимодействия с поверхностью, и на стохастическое дифференциальное уравнение (3) . Чтобы нэ углубляться при этом в детальное исследование динамики атома газа, следует в определении коэффициентов сноса и диффузии произвести осреднение по траекториям случайного процесса. Однако изучение воздействия каждого из случайных факторов должно осуществляться отдельно, Данный подход иллюстрируется в §5 рассмотрением влияния шероховатости поверхности.

В отличие от рассматривавшейся в гл.2 методики учета шероха-

ватости, модель диффузионного процесса на теряет точности при скользящих столкновениях атома с поверхностью О^Я/2, хотя и является приближенной во всей области изменения углов в и 9' . Причина этого состоит в том, что с уменьшением угла Я/2-в возрастает время пребывания атома вблизи поверхности и увеличивается вероятность многократных соударений атома с поверхностью, вследствие чего усиливается элемент случайности и повышается роль статистических закономерностей, особенно при наличии и других случайных факторов,.

Нахождение зависимости коэффициентов сноса и диффузии от параметра шероховатости производится, в соответствии с общими принципами диссертации, путем отделения геометрической задачи от физической. Именно, предполагается, что вся физическая картина взаимодействия атома газа с поверхностью определяется только известными значениями вектора сносами матрицы диффузии Л"'" в малом", отвечающими гладкой поверхности. При этом аргументы величин и Л"", задаваемые в системе координат, связанной с локальной нормалью н , обозначаются £ и ^ , в отличие от аргументов £ к V коэффициентов Ъ и О, в системе координат, ориентированной по нормали У/ к среднему уровню шероховатой порерх-ности. Стохастическое дифференциальное уравнение (3) , описывающее .движете атома газа, записывается здесь в виде

^^¿¿хъ+^щ^-^+еЛхъ+упутЛ'Ъ) , «24)

где Л - матрица поворота от нормали -/V к п , все элементы которой выражаются через производные ¿х и 2У от имитирующего шероховатость случайного поля в том числе и элементы последнего столбца и*, л, , .

Коэффициенты сноса и диффузии находятся как среднее значение и дисперсия правой части (24) ►о с»

Iи] Д и 1е(к, у)/(ц,гх,г,)с*гхо!^,

-ел -А

а №)- / А; | [ ЮI*.

(25)

, J.(t,,zx>z,)dzxjz y, (26)

где у - совместная плотность распределения случайных величин; t, , , Zy , а верхний индекс т означает транспонирование. Основная трудность при вычислении по формулам (25) - (26) состоит в том, что выражение плотности Ь,, 2Г/ Z,) через известное, распределение значений гауссовского поля и его производных содержит в качестве сомножителя континуальный интеграл niZtZ.Zx,!,) по множеству реализаций случайного поля 2(х,У) . Величина f] имеет смысл условной вероятности отсутствия пересечений случайного поля 2(х,у/ со сферой радиуса £ при заданных значениях поля = Z- ttfttZl+ZJf*1 и его производных ?х , ¿у в точке х + + t У +Zy(Z-E») и, в отличие от интегралов П(К1

главы 2, определяется значениями случайного поля не на линии, а в целой области. Однако связанные с этим сложности при нахождении П компенсируются тем, что отпадает необходимость вычислять ряд интегралов П"', flw>,..., так как обсуждаемая модель охватывает взаимодействие с поверхностью целиком, без разбиения на отдельные соударения. Полученная зависимость коэффициентов сноса и диффузии от параметра шероховатости может применяться с помощью точного решения (21) - ( 22^ расчета аэродинамических характеристик с учетом шероховатости поверхности. Таким образом, на примере шероховатости поверхности показано, что изученная модель дает возможность охватить наиболее сложные с точки зрения других постановок задачи режимы, такие, как область скользящих углов падения атомов газа.

Построенные в первых трех главах модели рассеяния на случайных поверхностях служат, строго говоря, лишь для задания граничных условий при аэродинамическом расчете течений разреженного газа. Поэтому, чтобы найти интегральные аэродинамические характеристики, например, коэффициенты аэродинамического сопротивления Сх или подъемной силы Су , не прибегая к решению сложной краевой задачи для нелинейного интегро-дифференциального уравнения Больцмана, необходимо применить один из полувмпирических методов. В частности, для этой цели удобны методы, основанные на гипотезе локальности. Эти методы объединяются стройной математической теорией, которая получила название теории локального вза-

имодэйстеия.

В главе 4 решается ряд задач теории локального взаимодействия, связанных с повшением эффективности и точности аэродинамического расчета и с приложениями к проблеме учета шероховатости в аэродинамических характеристиках обтекаемых тел. Основой служит тот же принцип, который применялся к рассмотренным в предыдущих главах моделям рассеяния на случайных поверхностях. Именно, предполагается, что вся информация о физическом режиме обтекания содержится в некоторой функции ^(р) , именуемой функцией реакции и определяемой лишь параметром в независимо от формы и ор1ентации обтекаемого тела, где $ - угол между внешней нормалью^ К к поверхности и вектором -и , обратным к скорости набегающего потока. Геометрическая задача решается с помощью введения опорной функции учитывающей форму тела и углы

о1 , у , характеризующие его ориентацию по отношению к набегающему потоку. Связь применяемого в главе 4 подхода с результатами предшествующих глав заключается не только в общности основополагающего принципа разделения информации о физических и геоме-тртееских параметрах задачи, но и в точном соответствии полученных выше выражений для коэффициентов обмена на случайных поверхностях аппроксимациям, используемым в теорифокального взаимодействия.

В §1 изучается проблема нахождения функций форда и коэффи--циентов режима. Эти характеристики применяются в наиболее распространенной на практике версии локального метода, согласно конторой аэродинамические коэффициенты сил и моментов, действующих на обтекаемое газом тело, аппроксимируются формулой

(27)

««о

где коэффициенты режима /1К зависят только от физических параметров - чисел Маха, Рейнольдса и т.п., а функции формы ^ определяются лишь геометрическими факторами, включая углы ориентации тела о/ , у) . В диссертации рассматривается новая версия локального метода [I], которая не только обобщила все предшествующие варианты, начиная от формулы Ньютона и ее модификаций, но и дала возможность создать математическую теорию, связав возникающие проблемы с хорошо изученными в математике разделами - теорией

аппроксимации, проблемой моментов Маркова и дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка смешанного типа. Аэродинамические величины (27) записываются здесь в интегральном виде

(р, ,28)

причем функция реакции ¿(р) различается в соответствии с тем, какой именно аэродинамический коэффициент вычисляется. Во всех случаях, согласно основному предположению - гипотезе локальности - реакция потока на элемент поверхности зависит только, от взаимного расположения векторов V и п , форма же остальной части тела роли не играет. При таком подходе входящие в правую часть параметры и определяются путем разложения в ряд

одной из двух функций под знаком интеграла в <28). В частности, раскладывая^^ по некоторой чебышевской системе функций ,

получаем линейные модели локального взаимодействия

НГ^^М?), (29)

для которых функции формы суть обобщенные момёнты опорной функции о/, у/

(зо)

Поскольку функции формы могут быть выражены аналитически через шаровые функции в случае, если ик(р) - полиномы Лежанд-ра Рк(р), основное внимание уделено проблеме нахождения коэффициентов режима Лк . Их определяют по экспериментальным данным об аэродинамических характеристиках некоторых тел, называемых базиснкии. Установлено, что любое линейное представление коэффициентов режима через аэродинамические коэффициенты нескольких тел вращения всегда сводится к линейной комбинации интегралов вида

(ад

* о

где - коэффициенты формы - коэффициенты разложения функций

Sjd) по системе Р^ (cOi о/) . Исходя из этого предлагается использовать формулу ¿31) для наиболее эффективного.нахождения величин А« , минимизирующего количество требуемых данных и, следовательно, снижающего затраты на проведение трудоемких аэродинамических экспериментов. Получен, критерий оптимального выбора формы базисных тел, позволяющий устранить проблему плохой обусловленности матрицы системы при отыскании коэффициентов режима \ и повысить точность расчетов.

Оценки точности вычисления величин \к для тел вращения дат нн в §2. Выявлена различная роль четных и нечетных коэффициентов формы SK в этих оценках: при K=jt+1 наивысшая точность достигается для максимальных по модулю значений SK , а при К=л( -- для некоторых конечных значений, определяемых из решения экстремальной задачи. Особую роль играют также тела с опорной функцией ^(fio) в виде полинома от J> , так как бесконечный ряд в правой части оценок точности превращается тут в конечную сумму. Пр»шеры подобных тел приведены в §3, посвященном решению обратной задачи восстановления формы выпуклого тела вращения по известным аэродинамическим характеристикам. Зорма образующей находится с помощью разложения функции ¿J, Ifict) в ряд по полиномам Лекандра Рк (р) . Решение задачи не единственно, например, если какие-либо коэффициенты режима обращаются в нуль. Наиболее интересен с практической точки зрения вариант, когда -

полином от /> , и параметрическое представление образующей (if/, г(р) допускает выполнение интегрирования в аналитическом виде. Коэффициенты режима могут быть найдены непосредственно как линейные комбинации аэродинамических характеристик таких тел при различных углах атаки. В отдельных случаях параметрические Еыра-жения t(р/,r{j>) могут быть преобразованы в явные формулы f(r)„ В частности, тело вращения с образующей

f(r}= 2f-t (arcSi»Jr+ r\fi+r)

имеет опорную функцию ¿1 if.•»/= Ф~%tf № -< Я'3 и обеспечивает наибольшую точность определения коэффициентов режима А0 и A_j при минимальном числе экспериментальных измерения. Кроме того, метод отыскания коэффициентов режима с помощью построенного класса тел обладает еще двумя достоинствами. Во-первьк, величины Ак определяются бея каких-либо предположений о поведе-

нии функции реакции j(p) : не требуется применяемая обычно ьи-практике аппроксимация f(p) первыми членами разложения в ряди. Во-вторых, появляется возможность расширить область приложения формул (2?)-(31) за счет ослабления гипотезы локальности.

Последнее обстоятельство особенно существенно для расширег ния рамок применимости теории локального взаимодействия, iopiy-лы (27) -(31), вообще говоря, сохраняют силу для взаимодействия тела, с произвольной движущейся средой и при отсутствии локальности. Однако в этом случае коэффициенты режима и функция реакции будут зависеть от формы и ориентации тела, что сведет на нет практическую ценность теории. Bjo же время, использование форму,! а аэродинамическом расчете с небольшим числом коэффициентов режима возможно прл условии независимости лииь употребляемых величин },к от форлы и ориентации тела, что является значительна' более слабым предположением, чем гипотеза локальности. Данное утверждение проиллюстрировано на примере обтекания тел воздушным потоком в дозвуковом режиме сплошной среды, где влияние вязкости не позволяет применять гипотезу локальности. Эксперименг ты с некоторыми телами построенного класса произведены автором в лаборатории аэродинамики СПбГУ в дозвуковой аэродинамической трубе. Несмотря на разброс локальных коэффициентов обмена импульсом и смену ражша при некоторых углах атаки вследствие смещения точки отрыва пограничного слоя, аэродинамические коэффициенты сопротивления Сх подъемной силы Гу аппроксимируются достаточно хорошо по теории локального взаимодействия в пределах погрешности эксперимента .

В §4 полученные в главе 2 результаты об учете шероховатости в коэффициентах обмена импульсом применены к расчету,аэродинамических характеристик Сх и Гу по формулам (27)-(30J. Коэффициенты обмена "в малом" в выражениях (8,1-(9) заданы в виде стандартных аппроксимаций теории типа.(29). Здесь нет противоречия с введенным в гл.2 предположением об отсутствии столкновений частиц газа друг с другом в процессе взаимодействия с шероховатой поверхностью, так как характерный размер шероховатости б на несколько порядков меньше характерного размера тела с/ , то естьи локальное число Кнудсена L/S намного больше употребляемого в аэродинамических расчетах числа. K^-L/d, где L - средняя дли-

на свободного пробега атомов газа. В связи со сложностью структуры оператора шероховатости даже в приближении первых соударений вопрос об оптимальном выборе линейной модели теорш локального взаимодействия решается ке так просто, как в асимптотическом пределе б.,-* О на слабо шероховатой поверхности. Кроме то»! го, здесь требуется совместная аппроксимация обеих составляющих р , <т коэффициента обмена импульсом р , а не одной функции реакции. Поэтому для простоты рассматривается не система полиномов Лежандра а частот встречающаяся на практике степенная аппроксимация

133)

Получены выражения для коэффициентов обмена на шероховатой поверхности

4 (K-j"to) К,г. % и^е + (KzñJ K,nt +

+JU10Si^6>cmO -t- jUao o,-'A*" & +

+J4t0 2, i/¿ ti» & cof-Q -fyv30 Ke¡ г¿ s¿* 9 m,

(34)

содержащие континуальные интегралы (12) (члены, отвечающие; К?з и аналогичные'выражения для ¡э(0), 'р(в) ради краткости опущены). Хотя п (34) по-прежнему сохраняется характерное для теории локального взаимодействия представление в виде линейной комбинации некоторых функций угла 0 с коэффициентами режима в качестве сомножителей, но шероховатость изменяет систему Ьункций, причем возникают неудобные в обращении величины (9,^) . Поско-

льку поиск собственных функций оператора затруднителен, подобрать систему функций так, чтобы изменялись лииь коэффициенты ^х и J4* » Н0 УДаэтся. Поэтому предлагается аппроксимировать величины fá.j.K как функции угла 0 . линейными комбинациями исходного вида (33), но о новыми коэффициентами режима. Как показали численные расчеты, подобное приближение с минимизацией среднеква-

дратичного отклонения на интервале дает не более

в области ^1^045 • Потеря точности, не играющая роли во многих практических приложениях, гсошенсируется тут не только сохранением системы (33), но и тем, что появляющиеся континуальные интегралы вида Л/2

1>,,М= ] п=о.^з,ъ (35)

о

перестают зависеть от угла 0 . Следовательно, вместо набора таблиц функций двух переменных К^^в,^) достаточно иметь таблицы функций одной переменной (35). Значения комбинаций %„((?) тригонометрических функций угла 0 приведены в приложении. ■

Для примера аэродинамического расгета по теории локального взаимодействия рассмотрено обтекание затупленного конуса с углом полураствора 10,5"° , имеющего впереди сферическое затупление радиусом 0,541 и сзади плоскую круглую пластину радиусом I. Приведены результаты расчетов аэродинамических коэффициентоа Сх и Су-в зависимости от угла атаки (от нуля до 180°) и от высоты полета от 70 до 130км .

В §5-7 исследуется плоская задача теории локального взаимодействия. Интерес к этой проблеме обусловлен возможностью получения многих простых по сравнению с обтеканием тел вращения аналитических результатов. Основой их служит явное представление опорной функции выпуклого двумерного тела

Я + Щ V/ <36)

где и /?г - значения радиусов кривизны контураг тела в двух точках, отвечающих данным у> и о/ , ¿.- длины прямых отрезков, возможно, содержащихся в контуре и наклоненных под углами уву к связанной с телом продольной оси х . В отличие от пространстве,-нного случая, в. котором функция удовлетворяет дифференци-

альному уравнению второго порядка, выражение (36) представляет собой сумму двух решений и дифференциальных

уравнений первого порядка

отличающихся лишь знаком поред вторил слагаемым в (37).

функции формы S;(¿), выражающиеся в виде интегралов (30) от <j(p,c¿), рассматриваются в §5. В то же время, в плоском варианте найдены нетривиальные системы тел с линейно зависимыми функциями S;(с<7, тогда как функции S¡(¿) осесимметричных тел, за исключением отдельных вырожденных случаев, всегда линейно независимы. Примером служит система /и клиньев с углам! полураствора l&j , j = £?,..., tu . Если параметры Д- удовлетворяют некоторому алгебраическому равенству, то определитель, составленный из величин Sjfafí.) при i,j = 0,...,/м обращается в нуль, что указывает на линейную зависимость функций формы, то есть на неразрешимость соответствующей линейно" системы при отыскании коэффициентов режима.

В §6 решается вопрос об оптимальном выборе линейной модели и об использовании метода механических квадратур при расчете аэродинамических характеристик. В принципе, для любой линейной модели возможно прямое вычисление функций формы как поверхностных интегралов, соответствую^ (30). Однако, для практических приложений намного предпочтительнее получать аэродинамические характеристики не в виде таблиц, каждое значение в которых необходимо вычислять отдельно, а в виде аналитических функций углов. c¿ , у ориентации тела. Это позволяет не только повысить быстродействие и более рационально применять данные расчетов, но и существенно расширить класс решаемых задач, включая различные обратные задачи и проблемы оптимизации. Поэтому наиболее эффективны так называемые простейшие линейные модели [i], для которых функции 5{(ч() выражаются аналитически. В частности, в плоской задача такая модель образуется путем разложения функции реакции по системе полиномов Чебыиева Тк (f)~ Ш (кагсссн f>) . Ртот факт установлен с помощью расщепления рекуррентной системы уравнений для |Ц/, вытекающей из f 37 К Выведено представление функций формы четного порядка через нулевую функцию Sc(°i), представляющую собой площадь "освещенной" потоком части поверхности тела

SH ы)=Sft (0) coi £ (о) +

+• «Ч (28)

Отметим, что вывод форлулы (58) опирается на использование полиномов Чебышева в (30), так что получить ана-

логичное аналитическое выражение для других распространенных на практике систем нз удается. Разложение по полиномам Че-

быкева на воем отрезке I без учета границы азродинамичее-

кой теш позволяет найти еще более простые представления, чей (38), но полученные выражения для возникавших при этом коэффициентов формы содержат коэффициенты разложения опорной функции з ряд Шурье на промежутке — ЛГ^«? ¿СТ.

На основе результатов для линейных моделей предложены наиболее эффективные аппроксимации в метода механических квадратур когда отыскание аэродинамических характеристик осуществляется путем приближения интеграла (28) подходящей квадратурной суммой без предположения о существовании простого представления (27). Указаны пути минимизации оценки погрешности квадратурной формулы за счет правильного выбора весовой функции и узлов.

Ряд обратных задач в плоской варианте теории локального, взаимодействия решен в §7. Функция реакции^(р) найдена по заданным аэродинамическим величинам С(<4) для тел с контуром в форме многоугольника. Рассмотрена неоднозначно разрешимая проблема определения формы тела по заданной опорной функции, в некоторых случаях выписано явное представление координат контура тела У\р) через угол наклона касательной р. Восстановле-

ние форш тела непосредственно по аэродинамическим характеристикам С(°(), минуя промежуточное вычисление ¿р(р,Ы), производится с помощью разложения в ряд Фурье. Приведет примеры решения указанных обратных задач для конкретных тел.

Такт! образом, результаты главы 4 не только позволяют наиболее эффективно осуществлять аэродинамический расчет с использованием изучавшихся в предыдущих главах моделей рассеяния, но и развивают математический аппарат теории локального взаимодействия. Это дает возможность в наиболее общем случае, охватываи-щем все применяемые на практике версии локального метода, решать ряд важных для приложений задач, таких, как оптимальный выбор

экспериментальных данных при определении коэффициентов режима и восстановление фор»™ тела по заданным аэродинамическим характеристикам. Отметим, что область приложения полученных результатов шире, чем аэродинамика разреженных газов, так как модели локального взаимодействия применяются во многих разнообразных задачах о взаимодействии тела с окружающей средой или со световым потоком. Например, с их помощью решаются проблемы фотометрии и геометрической оптики или же задача о проникновении ударника с боль-гаой скоростью в твердую среду.

Б заключении диссертации кратко сформулированы важнейшие выводы.

В примечании указаны используемые в диссертации результаты, которые принадлежат соавторам в совместных публикациях.

Приложение содержит II таблиц континуальных интегралов, характеризующих влияние шероховатости поверхности на аэродинамические коэффициенты, и других аэродинамических величин.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах (в том числе по главам: гл.1 - [10], [12], [I3J, [19], гл.2 - [3]-[8], [II], [14], гл.З - [9], [20], [21], гл.4 - [1]„ [2], [8], [15]-Ц8], [21]);

1. Мирошин Р.Н., Халидов H.A. Теория локального взаимодействия Л., 1991. 276 с.

2. Аксенова O.A., Халидов И.А. Класс тел, решающих обратную задачу теории локального взаимодействия. Деп. в ВИНИТИ,

fi- 5956-В89 от 20 сентября 1989 г. 23 с.

3. Аксенова O.A., Халидов H.A. Влияние шероховатости стонок на аэродинамическое сопротивление канала потоку разреженного газа. // Вестн. Ленингр. ун-та. Cop.I. 1989. Вып.2. С.37-39.

4. Анолик М.В, Халидов И.А., Эшов А.Т. Расчет первых соударений атомов разреженного газа с шероховатой поверхностью. Деп. в ВИНИТИ, № 7871-84 от 10 декабря IS84 г. 32 с.

6. Анолик М.В., Халидов И.А., Эшов А.Т. О первых столкновениях атомов разреженного газа с шероховатой поверхностью. //Взаимодействие атомных частиц с тверды?.! телом. Материалы УН Все-союз. конф. 4.1., Минск, IS84. С.24-25.

6. Ацолик М.В., Балуева Н.Ф., Халидов И.А., Эшов А.Т., Веснина А.Г. Первые соударения атомов разреженного газа о шероховатой поверхностью. //Взаимодействие разреженных газов с повер-

хдастями. Тр. УШ Всесоюз. конф. по динамике разреженных, газов. II., 1986. С.55-59.

7. Анолик М.В., Халидов И.А. Вычисление континуальных интегралов, встречающихся в задаче о двукратном отражении атомов разреженного газа от слабо шероховатой поверхности //Вестн. Ленингр. ун-та. Сер.1. 1989. Вып.З. С.54-96.

8. Анолик М.В., Таболкина Е.Н., Халидов И.А., Эшов А.Т. Аэродинамический расчет по локальному методу с учетом шероховатости поверхности обтекаемого тела //Тр. X Всесоюз. конф. по динамике разреженных газов. Т.2. М., 1991. С.195-199.

9. Анолик М.В., Халидов И.А. Моделирование диффузного процесса, описывающего взаимодействие разреженного газа с шероховатой поверхностью //Динамика разреженных газов: Тез. докл. XI Всесоюз. конф. Л., 1991. С.75.

10. Мирошин Р.Н., Халидов И.А. 0 классификации корреляционных функций гауссовских марковских стационарных процессов И-га порядка. Деп. в ВИНИМ Р 7653-В88 от 25 октября 1988. 15 с.

11.' Халидов И.А. Асимптотика граничной трансформанты многократного отражения атомов от слабо шероховатой поверхности. //Вести.' Ленингр. ун-та. 1981. Вып.7. С.95-99.

12. Халидов И.А. Некоторые вопросы теории корреляционных функций //Вестн. Ленингр. ун-та. 1978. Вып.13. С.63-68.

13. Халидов И.А. Гауссовские возвратные случайные процессы.

■ Деп. в ВИНИМ, № 3149-79 от 28 августа 1979 г.

14. Халидов И.А. Рассеяние атомов разреженного газа на слабо шероховатой поверхности в виде решетки твердых сфер //Аэродинамика разреженных газов. Вып.II. Л., 1983. С.112-119. .

15. Халидов И.А. О зависимости параметров локального взаимодействия от шероховатой поверхности //Вестн. Ленингр. ун-та 1981. Вып.19. С.118-120.

16. Халидов И.А. Плоский вариант теории локального взаимодействия в разреженном газе //Вестн. Ленингр. ун-та. Сер.1. 1988 Вып.1. С.72-74.

17. Халидов И.А. Линейная модель в плоском варианте теории ло,-кального взаимодействия //Вестн. Ленингр. ун-та. Сер.1. 1988. Вып.4. С.71-74.

18. Халидов И.А. 0 нахождении коэффициентов режима по экспериментальным данным в теории локального взаимодействия //

Вести. Ленингр. ун-та. Cep.I. 1991. Вш.З. С.88-91.

19. Халидов H.A. Представлв!ше гауссовского марковского процесса л-го порядна в виде интеграла от вннеровского процесса //Вести. Ленингр. ун-та. Cep.I. 1989. Вып.4. С.82-86.

20. Халидов H.A. Моделирование взаимодействия атомов газа с поверхностью диффузионным, процессом //Тр. X Всесоюз. конф.

. по динамике разраженных газов. Т.З. M., 1991. С.25-31.

21. Апойк M.V., KhoUeJov I./4. Merodynamiazi cAaratteriiUcs сен*, putatic,и of reut]A iodic using Me tccaC finei-hed // XVII Intern, Зяп,р, оч Rartjitd Cas X>y»amus. Ъюк* о/ A&siracts. Vt>£.

t y?ad,en, -mO, ff. 3«-J/3.

Подпиоано к печ&тиЗО.03,93 . Заказ 93 Тираж 100 Объем 2 п.л. ГШ СПГУ

199034, Санкт-Петербург, наб. Макарова,б.