Кинетическое описание процессов переноса наночастиц в разреженных газах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Краснолуцкий Сергей Леонидович

Кинетическое описание процессов переноса наночастиц в разреженных газах

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск — 2006

Работа выполнена в Новосибирском государственном архитектурно-строительном университете

Научный руководитель

Рудяк

Валерий Яковлевич

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты

Сухинин

Геннадий Иванович

доктор физико-математических наук, профессор

Матвиенко Олег Викторович

доктор физико-математических наук, профессор

Ведущая организация Институт теоретической и прикладной

механики СО РАН

Защита состоится "24" ноября 2006 г. в 1430 на заседании диссертационного совета Д 212.267.13 по присуждению ученой степени кандидата наук в Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, ул. Ленина 36, ауд, 503 главного корпуса

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томского государственного университета.

ТГУ.

Автореферат разослан

го- окъл^

2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, с.н.с

Ю.Ф. Христенко

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Сегодня наночастицы и технологии на их основе привлекают внимание широкого круга исследователей и практиков в связи с перспективами использования в электронной, химической, авиационно-космической, медицинской промышленности, биотехнологиях, для изготовления катализаторов и других материалов с уникальными свойствами, в качестве научно-исследовательского инструментария. Все это сделало изучение процессов переноса на-ночастиц в газах и жидкостях чрезвычайно актуальным.

Несмотря на то, что наночастицами научное сообщество заинтересовалось достаточно давно, методов описания процессов переноса наночастиц в разреженных газах все еше нет. В литературе известны весьма разноречивые мнения относительно того, как следует описывать процессы переноса наночастиц в газах и жидкостях.

По своему размеру наночастицы занимают промежуточное положение между молекулами и броуновскими частицами. Однако разреженные ианогазовзвеси (разреженный газ 4- наночастицы) — это специфический объект, существенно отличающийся по своим физическим свойствам как от смесей разреженных газов, так и газовзвесей с броуновскими частицами.

Взаимодействия молекул а-наночастица, наночастица-наночасти-ца качественно отличаются от взаимодействия молекул а-молекул а тем, что они носят коллективный характер. Взаимодействуя с на-ночастицей, молекула несущего газа взаимодействует с каждой из составляющих наночастицу молекул.

Основное отличие наночастиц от броуновских частиц состоит в неприменимости к их описанию гидродинамического подхода, так как размеры наночастиц существенно меньше или порядка гидродинамического бесконечно малого размера. Наночастицы не воспринимают разреженный несущий газ как сплошную среду.

В настоящее время для описания диффузии дисперсных частиц в разреженном газе наиболее распространен подход, разработанный Милликеном еще в начале XX века. На основе формулы Стокса с учетом поправок Каннингема, Милликен предложил эмпирическую зависимость подвижности и коэффициента диффузии дисперсных частиц от их радиуса, впоследствии уточненную Дэвисом, обобщившим все имеющиеся в наличии экспериментальные данные. Эта экспериментальная корреляция (далее корреляция Каннингема-Милли-кена-Дэвиса, КМД) до сих пор является основой измерительного инструментария в физике аэрозолей и служит для расчета размеров

дисперсных частиц на основании данных по их подвижности или коэффициенту диффузии.

Однако важной проблемой, ставящей под вопрос применимость КМД для описания диффузии паночастии в разреженном газе, является то, что для дисперсных частиц с радиусами менее 240 нм корреляция КМД является экстраполяцией и требует как минимум дальнейших экспериментальных исследований. Кроме того, параметры КМД получены в очень узком температурном диапазоне 19-24 °С. Существенным недостатком КМД является необходимость знать в широком температурном диапазоне значения констант этой корреляции для различного типа сочетаний частиц из разного материала и различных несущих газов

С теоретическим описанием эффективной вязкости разреженных ианогазовэвесей дела обстоят еще хуже. Выведенная Эйнштейном формула для вязкости суспензий не применима в силу выше объясненной неадекватности гидродинамического описания как такового но отношению к разреженным наногазовзвесям.

Существует ли адекватный научно обоснованный подход к описанию процессов переноса в разреженных наногазовзвесях? Да, при определенных ограничениях на концентрацию несущего газа и размер и концентрацию наночастиц, динамика разреженных наногазо-взвесей вполне может описываться системой кинетических уравнений Больцмана (В.Я. Рудяк. ПЖТФ. 1992. Т. 18. Вып. 2. С. 77). Однако препятствием к использованию кинетической теории для описания процессов переноса в разреженных наногазовзвесях являлось отсутствие потенциалов взаимодействия молекул а-наночас-тица, наночастица-наночастица.

Цель работы состояла в построении адекватного кинетического описания диффузии наночастиц в разреженных газах и эффективной вязкости разреженных ианогазовэвесей, в создании методов расчета этих коэффициентов переноса, в исследовании их зависимости от размера, свойств материала, концентрации наночастиц и температуры среды.

Основным методом исследования являлась кинетическая теория газов. Для проведения расчетов коэффициентов переноса и П-интегралов использовались различные численные методы, на основе которых был создан специальный пакет программ. С помощью дифференциального электростатического анализатора (ДЭА) и просвечивающего электронного микроскопа измерялись размер наночастиц и их подвижность.

На защиту выносятся:

1. Кинетическая теория диффузии наночастиц в разреженных газах и эффективной вязкости разреженных наногазовзвесей.

2. Потенциал взаимодействия наночастица-молекула.

3. Результаты исследований зависимости коэффициентов диффузии наночастиц в разреженных газах и эффективной вязкости разреженных наногазовзвесей от размера, плотности, свойств материала, концентрации дисперсных частиц и температуры среды.

4. Результаты работы по разработке, тестированию и выбору комбинационных соотношений для получения параметров межмолекулярного потенциала Леннард-Джонса 6-12.

5. Алгоритм и пакет программ для расчета П-интегралов для потенциала наночастица-молекул а.

6. Результаты сравнения полученных расчетных зависимостей с различными экспериментальными данными, в том числе и полученными при нашем участии.

Научная новизна.

1. Впервые построена кинетическая теория диффузии наночастиц в разреженных газах и эффективной вязкости разреженных наногазовзвесей.

2. Впервые построен потенциал взаимодействия наночастица-молекула.

3. Впервые созданы методы расчета коэффициентов диффузии наночастиц в разреженных газах и эффективной вязкости разреженных наногазовзвесей.

4. Впервые исследованы зависимости коэффициентов диффузии наночастиц в разреженных газах и эффективной вязкости разреженных наногазовзвесей от размера, плотности, свойств материала, концентрации дисперсных частиц и температуры среды.

5. Впервые теоретически и экспериментально показана неприменимость корреляции КМД в области малых диаметров наночастиц.

Практическая ценность.

1. Созданы методы расчета коэффициентов диффузии наночастиц в разреженных газах и эффективной вязкости разреженных наногазовзвесей.

2. Показано, что существующие методы измерения размеров наночастиц по их подвижности или коэффициенту диффузии, в частности, дифференциальные электростатические анализаторы (ДЭА) и диффузионные батареи, содержат систематическую ошибку, величина которой в области малых диаметров наночастиц (менее 5 нм)

может превышать 100 %.

3. Разработанные методы расчета коэффициентов диффузии на-иочастиц б разреженном газе и эффективной вязкости разреженных наногазовзвесей могут использоваться при создании различных на-иотехнологий и методов измерения характеристик наночастиц.

Достоверность результатов работы основывается на: (1) определении четких критериев применимости кинетической теории для описания диффузии наночастиц в разреженных газах и эффективной вязкости разреженных наногазовзвесей, (2) тестировании разработанных численных алгоритмов и пакета программ на классических расчетах для смесей разреженных газов, (3) сопоставлении теоретических результатов с экспериментальными данными.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях: 21st and 24th international symposia on Rarefied Gas Dynamics (Marseille, 1998, Bari, 2004), European Aerosol Conference (Madrid, 2003), Conference on Computational Physics 2004 (Genova, 2004), V International congress of mathematical modelling (Dubna, 2002), 6th International Aerosol Conference (Taiwan, 2002), международная конференция RDA MM-2001 (Новосибирск, 2001), VIII, IX и X рабочие группы "Аэрозоли Сибири" (Томск, 2001, 2002, 2003), международная конференция "Сопряженные задачи механики, информатики и экологии" (Томск, 2002), Между народ пая конференция по математике и механике, посвященная 125-летию Томского государственного университета и 55-летию механико-математического факультета (Томск, 2003), VII всероссийская конференции молодых ученых "Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики" (Новосибирск, 2002).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 26 печатных работ, список которых приводится в конце автореферата.

Работа выполнена в соответствии с тематическим планом НИР НГАСУ (СибСтрин) при частичной финансовой поддержке РФФИ MAC (гранты 02-01-06333, 03-01-06145), РФФИ (гранты 98-01-00719, 04-01-00106), ФЦП "Интеграция" (А0050, Б0097), Грантов Президента РФ (96-15-96310, НШ-964.2003.1).

Структура и объем диссертации.

Работа состоит из четырех глав, введения, заключения, списка цитированной литературы и приложения. Полный объем — 161 страница, основная часть — 153 с. Диссертация включает 22 рисунка и 43 таблицы. Библиография — 154 наименования.

Содержание работы

Во введении обсуждается актуальность темы диссертации, формулируются дели и задачи, описывается структура работы.

Глава 1 посвящена построению модельного потенциала взаимодействия молекула - дисперсная частица.

В разделе 1.1 обсуждаются кинетические уравнения разреженных паногазовзвесей и условия их применимости.

В разделе 1.2 строится модельный потенциал взаимодействия молекулы несущего газа с твердой шарообразной частицей радиуса Я. Перед этим в методических целях строятся модельные потенциалы взаимодействия молекулы несущего газа с бесконечно тонким плоским слоем, твердой плоской поверхностью конечной толщины и занимающей бесконечное полупространство, бесконечно тонким твердым сферическим слоем радиуса Я. Во всех случаях считалось, что молекула несущего газа взаимодействует с каждой молекулой (атомом) частицы, и это взаимодействие описывается потенциалом Леннард-Джонса 6-12

<М') = 4е«[(*о7г)1а - К,/')6]. (1)

где еу — глубина потенциальной ямы, <ху/2 — эффективный радиус

отталкивания,)--расстояние между центрами молекул. Потенциал

молекула-частица получается в результате суммирования потенциалов взаимодействия молекулы несущего газа со всеми молекулами (атомами) частицы. Далее осуществляется переход от дискретной модели к более удобной для вычислений континуальной, суммирование по отдельным молекулам заменяется интегрированием, "заряд" молекул считается равномерно распределенным по частице. В результате показано, что потенциал взаимодействия молекулы несущего газа с твердой сферической дисперсной частицей радиуса Я имеет вид

Ф»(г) = Ф9(г)-Фз(г), (2)

где

Фп(г)

п(п+ 1) У\

п

(п — 1) г

1

1

(г- Я)" (г + Я)" 1 1

(г — Я)"-1 (г+Я)"-1

}

Здесь г — расстояние от центра молекулы несущего газа до центра

сферической частицы, V — объем, приходящийся на одну молекулу твердого тела (частицы).

В разделе 1.3 с помощью комбинационных соотношений на основе параметров потенциала (1) для молекул одного и того вещества вычисляются параметры парного потенциала двух различных молекул, одна из которых является молекулой несущего газа, а другая — молекулой дисперсной частицы.

Были протестированы следующие комбинационные соотношения

---0 у/еде» Vi Uj ,чч

<?ij - Verü a3h eij = 2 —JJ. + —> W)

- 2+ 'i ij - 2aa(Tjj—JJ. + Ц,— > (4J

где Ui и Uj — характеристические энергии дисперсионного взаимодействия (притяжения) молекул £ и j,

ffij = \/°"it j = y/^ii^jj> (5)

3 Oi "Qi *

= аЬ = 9 Г-rwV Г^ГКГ'

2 \/ctifNi + у/atj/Nj

Vi} = \{°ii + <*b = I (8)

2 2 Vai/Ni +

где TV; — число электронов на внешнем уровне, а,- — поляризуемость,

= « + (9)

= + 'а), е« 4 = 2 f в + Qj 6 1 ■ (Ю)

o-ij = y/öTiöJ], 4£ij afj = Cd(IJ), (11)

*И = + = Со(ч), (12)

где вычисляемая по спектроскопическим данным Со(^) бралась из литературы.

Выло показано, что наилучшие результаты или, по крайней мере, удовлетворительные получаются с использованием соотношения (11). Однако поскольку вычисление констант С/>(£?) требует значительной и разнообразной экспериментальной информации, в практических расчетах часто можно ограничиться комбинационными соотношениями (5), (6). В следующих главах диссертации использовались именно эти соотношения.

В разделе 1.5 обсуждаются границы применимости предлагаемого потенциала взаимодействия наночастица- молекул а.

В соответствии с кинетической теорией расчет коэффициентов переноса требует в свою очередь вычисления так называемых приведенных П-интегралов. В Главе 2 описываются алгоритмы и результаты расчетов приведенных 1)-интегралов и коэффициентов переноса в разреженных наногазовзвесях. В разделе 2.1 описываются алгоритм вычисления приведенных П-интегралов и коэффициентов переноса- для смесей разреженных газов с использованием потенциала (1) и результаты тестирования в сравнении с известными вычислительными и экспериментальными литературными данными.

- В разделе 2.2 описывается пакет программ для расчета П-инте-гралов и коэффициентов переноса в разреженных наногазовзвесях, диффузии и вязкости. П-интегралы для потенциала наночастица-молекула (2) имеют вид

(13)

где 7^2 = кТ/а — приведенная температура, в2 = д* 2/Т1*2 = = тп^д2/{2кТ) — кинетическая энергия относительного движения, нормированная на температуру,

<эй*ог - 2 [1 - 1±тгй 1Гь*(1 ~ со*'х1а(Г 3))

(14)

-- приведенные транспортные сечения рассеяния,

ХГ2(Ь*2,9*2,<7Ъ) = *-2Ъ* Г" ¿у*Ь0Л\у,Г\д**,<г*12) (15)

¿0

угол рассеяния,

Ъч{у>Ъ*\9*\<т\2) = 1-Ф1п{у%Ъ*2>д*\сг\2)1 д*\ (16)

Ф2// (У. ^ 2 " 2> = ФЧ», ^Гг) + V (17)

— приведенный эффективный потенциал взаимодействия.

Основное отличие О-интегралов для потенциала (2) от О-интегра-.И)11 для потенциала (1) состоит в том, что для потенциала (2) приведенные П-интегралы зависят уже не от одного, а от двух параметров, а именно, как и ранее, приведенной температуры и, кроме того, пространственного параметра = пропорционального

отношению размера области отталкивания к радиусу наночастицы.

При вычислении угла рассеяния (15) сначала вычисляется ут{Ь" 2,д*2, <у*12) — минимальное положительное значение у, соответствующее обращению в нуль подынтегрального выражения Фу (16). Эта функция реализует алгоритм поиска наименьшего нуля Фу следующим образом. Сначала методом последовательного перебора находим промежутки, на которых Фу имеет положительные и отри-иательные значения. Затем методом Ньютона находим наименьший корень с точностью 10~17.

Далее вычисляется интеграл (15). При этом интервал интегрирования разбивается на 2 части. Особенность в точке ут аддитивно иыделяется и моделируется суммой аналитически интегрируемой функции и ограниченной

» ( Ац

= (18)

При интегрировании используются формулы Симпсона и Ньютона.-Котеса 4-го порядка. Па каждом участке интегрирования на последовательности 3-х сгущающихся сеток вычисляются значения искомых интегралов (интегральные суммы Р1, Г2, ГЗ соответственно), и а оснований этих интегральных сумм с помощью процесса Эйткена вычисляется эмпирический порядок точности (скорость сходимости) схемы и предельное значение Р на каждом участке интегрирования при стремящемся к нулю шаге интегрирования.

При вычислении интеграла Í?i2*(í/*2) ^Гг) (14) на интервале интегрирования [0,оо] возникает проблема взятия несобственного интеграла вследствие инфинитности правой границы. Эта проблема решена с помощью замены переменной

Ь*2(т) = 6^2(1 - т)т-п, (19)

г де п = 0.2 + 0.001, т £ [0, 1] — переменная интегрирования.

При вычислении интеграла íí^^* (13) на интервале интегрирования [0,оо] произведена замена переменной

е2(т) = í&r*1'"^ (1 - т)~п, . (20)

где гп = г + 2 — 0.1, п = 3, г £ [0,1] — переменная интегрирования.

Пакет программ для вычисления Í7-интегралов и коэффициентов переноса реализован на С++.

Далее приведены данные расчетов ÍÍ-интегралов, зависимость их величины от радиуса наночастиц и температуры среды.

В Главе 3 описывается расчет и исследование коэффициента диффузии наночастиц в разреженных газах. Раздел 3.1 посвящен подходу Эйнштейн а-Ланжевена к моделированию диффузии дисперсных частиц в газах и жидкостях, и экспериментальной корреляции Каннингема-Милликена-Дэвиса (КМД), связывающей коэффициенты сопротивления и диффузии дисперсных частиц с их радиусом с учетом разреженности несущего газа.

В разделе 3.2 приведены данные расчетов на основе кинетической теории коэффициентов диффузии наночастиц в разреженных газах, зависимость их от радиуса наночастиц и температуры среды, сравнение результатов численного моделирования на основе кинетической теории с известными экспериментальными данными.

Зависимость коэффициента диффузии наночастиц цинка в неоне от радиуса дисперсных частиц при фиксированной температуре '!' — 300 К и атмосферном давлении 101300 Па иллюстрирует рис. 1. Коэффициент диффузии, полученный с помощью кинетической теории с потенциалом (2), отмечен сплошной линией. Штриховой линией показана зависимость, определяемая формулой Эйнштейна. Экспериментальной корреляции КМД соответствует пунктирная линия. Она неплохо согласуется с нашими данными в большей части рассмотренной области. Однако в области очень малых размеров частиц (R < 2 нм) расхождение корреляции КМД с кинетической теорией оказалось значительным. Расчеты диффузии ядер конденсации в воздухе дают качественно ту же картину. Кроме того, КМД для частиц с радиусами менее 240 нм является экстраполяцией.

D

1*10

_

1 -10 "

0.01

-4

1*10

0 20 40 60 80 R

Рис. 1: Зависимость коэффициента диффузии D (см2/сек) от радиуса дисперсной частицы R (нм)

Чтобы выяснить адекватность применения кинетической теории и корреляции КМД в области очень малых значений радиусов на-ночастиц, совместно с коллегами из группы по изучению аэрозолей (Aerosol Technology Group) Государственного Технического Научно-Исследовательского Института Финляндии (VTT Processes) были выполнены независимые измерения размеров частиц и их коэффициентов диффузии. Эта работа и ее результаты описаны в разделе 3.3.

В эксперименте использовались наночастицы оксида меди (I) СигО в азоте N2 при атмосферном давлении и температуре Т ~ 21 °С. Коэффициенты диффузии измерялись с помощью дифференциального электростатического анализатора (ДЭА), размеры дисперсных частиц — независимо с помощью просвечивающего электронного микроскопа (ПЭМ). В результате была получена экспериментальная зависимость коэффициента диффузии De от диаметра наночастицы d (см. рис. 2.). Корреляции КМД на этом рисунке соответствует штриховая линия, a De{d) — темные точки. Зависимости коэффициента диффузии от диаметра наночастицы, полученной с помощью кинетической теории с потенциалом (2), соответствует сплошная линия. Различие коэффициентов диффузии особенно заметно для ма-

лых дисперсных частиц. Теоретическая кривая хорошо согласуется с экспериментальными данными во всей области проведенных измерений. С уменьшением диаметра частиц отличие коэффициента диффузии КМД как от расчета по кинетической теории с потенциалом (2), так и от экспериментальных данных значительно возрастает.

1 4х10ч-

1.2x10*-

1.0x10* -

8 Ох 10"" -

а

бОхЮ"1-4 .0x1-2.0х«Г*-

0.01

Рис. 2: Зависимость коэффициента диффузии О (м2/сек) от диаметра наночастицы с/ (им)

Подводя итог, можно сделать три основных вывода. Во-первых, любая методика определения диаметра частиц по подвижности с использованием корреляции КМД, в частности, ДЭА и диффузионные батареи, содержит систематическую погрешность при определении размеров ультрадисперсных (менее 10 нм) частиц, поскольку полученному значению подвижности сопоставляет неправильное значение диаметра частицы. Полученные погрешности могут, как мы видели, превышать 100 %. КМД хорошо работает для достаточно крупных частиц, но не применима для наночастиц.

Второе обстоятельство, которое хотелось бы отметить, состоит в том, что предложенная нами кинетическая теория достаточно хорошо описывает диффузию наночастиц, в том числе и в области малых радиусов, где корреляция КМД не работает.

Кроме того, следует подчеркнуть, что коэффициент диффузии и подвижность наночастиц в общем случае будут зависеть не только

от диаметра частиц, но также от типа несущего газа и материала дисперсных частиц. Развитая нами кинетическая теория это учитывает через параметры потенциала взаимодействия молекул несущего газа с дисперсной частицей (2).

Коэффициент диффузии наночастиц, как и в случае диффузии молекул и броуновских частиц, существенно зависит от температуры среды. Для иллюстрации на рис. 3 представлена зависимость коэффициента диффузии наночастиц цинка в неоне от температуры несущего газа при атмосферном давлении для фиксированного значения радиуса наночастиц Я = 5 нм. Обозначения на рис. 3 полностью соответствуют обозначениям на рис. 1. Анализ рис. 3 показывает, что при изменении температуры от 100 до 1000 Кельвин коэффициент диффузии аэрозольной частицы изменяется в десятки раз. Однако формула Эйнштейна дает коэффициент диффузии, очень слабо меняющийся с температурой. Экспериментальная корреляция КМД, как и ожидалось, имеет достаточно узкую область применимости по температуре. Она согласуется с нашими данными с точностью не хуже 15 % лишь в области температур от 100 до 300 Кельвин. При высоких температурах формула КМД приводит к сильно заниженным значениям коэффициента диффузии и не применима.

В Главе 4 описывается расчет эффективного коэффициента вязкости разреженных наногазовзвесей (газовзвесей с наночастицами). В разделе 4.1 описана постановка задачи и выведены основные соотношения. В частности, рассмотрен случай малых объемных концентраций наночастиц <р = ьрП2 <С 1. Здесь ьр — объем наночастицы, Пг — концентрация наночастиц. Показано, что производная эффективной вязкости наногазовзвеси по объемной концентрации дисперсных частиц имеет вид

с1т)

с1<р

Здесь

« = — - НИ <1 а = — = = Ж р2<Т*1 (22)

~ С22 2# " ~~ ¡Л ГЩ022 6 ГП\ '

где р2 — плотность материала наночастиц, так что параметр а имеет физический смысл отношения плотности материала наночастиц к плотности молекул несущего газа.

1Г(1 + 0.6ЛХ2/х)р^!

(21)

0(2,2)* аз^Цтгг + 2з2

(1.1)"

1.2Л* -2

42

з —

12

Рис. 3: Зависимость коэффициента диффузии дисперсных частиц О (см2/сек) от температуры несущего газа Т (К)

Значения П-интегралоВ'Зависят от температуры, параметров потенциала взаимодействия и для крупных частиц порядка единицы и растут с уменьшением радиуса наночастиц.

При увеличении радиуса дисперсных частиц и, соответственно, уменьшении параметра 5 все слагаемые в квадратных скобках по модулю уменьшаются. Уменьшается, следовательно, и добавка к эффективному коэффициенту наногазовзвеси, связанная с наличием наночастиц. Если параметр з мал, то существенное значение приобретает отношение плотностей а (22) материала наночастицы и молекул несущего газа. Таким образом, уменьшения эффективного коэффициента вязкости по сравнению с коэффициентом вязкости чистого газа следует ожидать при большом различии размеров молекул несущего газа и наночастиц, когда доминирующим оказывается последний член в формуле (21).

Если же размеры наночастиц достаточно малы, то уменьшение эффективного коэффициента вязкости можно ожидать в наногазо-взвесях, в которых параметр а сравнительно мал.

В разделе 4.2 приведены данные расчетов эффективного коэффициента вязкости для смесей разреженных газов. Важно отметить,

что для бинарной смеси газов с сильно различающимися молекулярными массами, когда, как правило, <гц ~ (722 и р < 1, из выражения (21) следует, что малое добавление в легкий газ значительно более тяжелого всегда будет приводить к увеличению эффективной вязкости смеси по сравнению с вязкостью легкого компонента, что согласуется с формулой Эйнштейна для вязкости суспензий.

В разделе 4.3 приведены данные расчетов эффективных коэффициентов вязкости разреженных наногазовзвесей, зависимость их от радиуса частиц, свойств материала частиц и температуры среды.

Свойства эффективных коэффициентов вязкости разреженных наногазовзвесей кардинально отличаются, как от свойств коэффициентов вязкости суспензий, так и смесей разреженных газов. А именно, при добавлении в газ малых объемных концентраций наночастиц эффективная вязкость среды в зависимости от свойств материала и радиуса наночастиц и несущего газа принципиально может как повышаться, так и понижаться.

Особенно сильно влияют на эффективную вязкость разреженных наногазовзвесей ультрадисперсные частицы (К < 2 им). При добавлении в легкий газ тяжелых наночастиц эффективная вязкость увеличивается. При добавлении в тяжелый газ легких наночастиц эффективная вязкость уменьшается.

В качестве примера на рис. 4 показана зависимость эффективного коэффициента вязкости наногазовзвеси и-Нг (тяжелые наночасти-цы в легком газе) от объемной концентрации частиц радиуса Я = 0.5 нм при разных темпер ату рах. Кривая 1 здесь соответствует температуре Т = 200 К, 2 — Т — 300 К, 3 — Т — 500 К, 4 — Т — 800 К, 5 — Т ~ 1000 К. Зависимость коэффициента эффективной вязкости данной наногазовзвеси от объемной концентрации дисперсных частиц имеет один максимум. При повышении температуры увеличивается величина этого максимума, и он сдвигается в сторону меньших концентраций частиц. При всех температурах сравнительно малая добавка частиц урана вызывает повышение коэффициента вязкости наногазовзвеси по сравнению с чистым газом. При концентрациях порядка 2 * 10~4 и комнатных температурах вязкость наногазовзвеси превышает вязкость несущего газа примерно на 90 %. Этот эффект существенно зависит от температуры и при Т = 1000 К отношение »7/171 ~ 2.3 при тех же концентрациях.

Однако, согласно формуле (21), добавление крупных частиц урана должно приводить к уменьшению коэффициента вязкости газовзвеси по сравнению с коэффициентом вязкости чистого водорода.

О 210~4 4 ю-4 610~4 8 ю"4 Ф

Рис. 4: Зависимость эффективного коэффициента вязкости (пуаз) наногаэовзвеси частиц и-Ня (К = 0.5 нм) от объемной концентрации дисперсных частиц

Это действительно наблюдается. Для частиц урана радиуса К = 70 нм при Т = 300 К эффективный коэффициент вязкости наногаэовзвеси оказывается ниже коэффициента вязкости водорода примерно на I % при концентрации частиц урана 2 ■ 10~3.

Коэффициент вязкости газовзвеси Zn-Ne (легкие наночастицы в тяжелом газе) оказывается ниже, чем коэффициент вязкости чистого неона. Иа рис. 5 представлены данные расчетов эффективной вязкости наногазовзвеси 2п-Ке от объемной концентрации частиц радиуса Я = 0.5 нм при разных температурах. Кривые 1-5 соответствуют тем же температурам, что и на рис. 4, Снижение эффективной вязкости по сравнению с вязкостью несущего газа при комнатной температуре и у? = 2-10~4 составляет примерно 15 %, и этот эффект также растет с увеличением температуры.

Моделирование эффективной вязкости разреженных газовзвесей и смесей газов с помощью элементарной кинетической теории (раздел 4.4) показывает физический смысл двух основных членов разложения в квадратных скобках в формуле (21). Первый, положительный,

О 2 104 4'КГ4 6 !СГ4 8 1 о"4 Ч>

Рис. 5: Зависимость эффективного коэффициента вязкости (пуаз) наногазовзвеси частиц Zn-Ne (Я = 0.5 нм) от объемной концентрации дисперсных частиц

связан с возрастанием вязкости за счет переноса импульса наноча-стицами. Отрицательный же член обусловлен уменьшением частоты столкновений молекула-молекула вследствие столкновений молекул с наночастицами, а также из-за уменьшения молярной доли газовых молекул. Для газов с сильно различающимися массами молекул ап ~ (7i2) и вторым эффектом можно пренебречь по сравнению с первым положительным.

Физически понятно влияние на вязкость газовзвеси параметра а (22). Частицы большей плотности для обеспечения передачи того же самого значения импульса будут иметь меньший радиус, и, следовательно, большую длину свободного пробега. Поэтому эффективный коэффициент вязкости наногазовзвеси возрастает с ростом а.

Главный вывод, который можно сделать по результатам данной главы состоит в том, что поведение эффективного коэффициента вязкости наногазовзвесей существенно отличается как от поведения эффективного коэффициента вязкости суспензий, так и смесей легкого и тяжелого разреженных газов, так как при добавлении в разреженный газ наночастиц эффективная вязкость может как увеличиваться, так и уменьшаться. Увеличение или уменьшение вязкости нанога-

зовзвеси по сравнению с чистым газом зависит, главным образом, от радиуса наночастиц и значения параметра а (22), который является отношением плотностей материала наночастицы и молекул несущего газа. С уменьшением радиуса наночастиц эффект изменения (повышения или понижения) коэффициента вязкости наногазовэвеси во всех случаях существенно увеличивается. Увеличение температуры наногазовзвеси также приводит к значительному усилению указанного эффекта.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы:

1. Построена и протестирована кинетическая теория диффузии наночастиц в разреженных газах и эффективной вязкости разреженных наногазовэвесей. Она позволяет с достаточной точностью рассчитывать все коэффициенты переноса, а именно, коэффициенты диффузии наночастиц в разреженных газах и коэффициенты вязкости и теплопроводности разреженных наногазовзвесей.

2. Построен потенциал взаимодействия наночастица-молекул а.

3. Проведено исследование зависимости коэффициентов диффузии наночастиц в разреженных газах и эффективной вязкости разреженных наногазовзвесей от размера наночастиц, их концентрации и температуры среды.

4. Теоретически и экспериментально показана неприменимость корреляции КМД в области малых диаметров наночастиц.

5. Физические свойства эффективного коэффициента вязкости разреженных наногазовзвесей существенно отличаются как от поведения эффективного коэффициента вязкости суспензий, так и смесей легкого и тяжелого разреженных газов, так как при добавлении в разреженный газ наночастиц в зависимости от свойств несущего газа и материала наночастиц эффективная вязкость наногазовзвеси может как увеличиваться, так и уменьшаться.

Публикации по теме диссертации

1. Рудяк В. Я., Краснолуцкий С.Л. Статическая механика гетерогенных сред. IV. Потенциалы межчастичного взаимодействия: Препринт №- 3(13)-98. — Новосибирск: НГАСУ, 1998. — 35 с.

2. Rudyak V. Ya., Krasnolutskii S. L, The interaction potential of dispersed particles with carrier gas molecules: Proceedings of the 21st international symposium on Rarefied Gas Dynamics. Vol. 1. — Toulouse: Cepadues-Editions, 1999. P. 263-270.

3. Rudyak V. Ya., Krasnolutskii S. L. The interaction potential of carrier rarefied gas molecules with dispersed particle. 21st international symposium on Rarefied Gas Dynamics. Book of abstracts. Vol. 2. — Marseille: University of Province, 1998. P. 26-27.

4. Рудяк В. Я., Краснолуцкий С.SI. Моделирование процессов переноса наночастиц в разреженных газах // Вычислительные технологии. — 2001. — Т. 6. Ч. 2. — С. 524-529.

5. Рудяк В. Я.} Краснолуцкий CJI. Кинетическое описание диффузии наночастиц в разреженном газе // Доклады Академии Наук. — 2001. — Т. 381. Л^ 5. — С. 623-625.

6. Рудяк В. Я., Краснолуцкий СЛ. Диффузия аэрозольных частиц в разреженном газе. Расчет коэффициента диффузии и интерпретация экспериментальных данных: Тез. докл. Аэрозоли Сибири. VIII рабочая группа. — Томск: ИОА СО РАН, 2001. — С. 43.

7.. Рудяк В. ЯКраснолуцкий С.Л. Диффузия наночастиц в разреженном газе // Журнал технической физики. — 2002. — Т. 72. Вып. 7. — С. 13-20.

8. Рудяк В.Я., Краснолуцкий С.Л., Насибулип А.Г., Кауппииск Е.И. О методах измерения коэффициента диффузии и размеров наночастиц в разреженном газе // Доклады Академии Наук. — 2002. — Т. 386. Я^ 5. — С. 595-597.

9. Rudyak VKharlamov G., Belkin A., Krasnolutskii S., Dubrovin A. Diffusion of nanoparticles in fluids. International conference Physics of Liquid Matter: Modern problems. Abstracts. — Kiev, 2001. — P. 2-18.

10. Rudyak V. Ya., Krasnolutskii S. L. Diffusion of ultrafine aerosol particles in rarefied gases. 6th International Aerosol Conference. Book of abstracts. Vol. 1. — Taipei, Taiwan: Chinese Aerosol Association, 2002. — P. 453-454.

11. Rudyak V. Ya.} Krasnolutskii S. L. Simulation of nanoparticles diffusion in rarefied gas. V international congress of mathematical modelling. Book of abstracts. Vol. 1. — Dubna: JINR, 2002. — P. 211.

12. Рудяк В. Я., Краснолуцкий C.JT. Диффузия ультрадисперсных частиц в разреженном газе и экспериментальные методики определения размеров частиц и их коэффициентов диффузии: Тез. докл. Аэрозоли Сибири. IX рабочая группа. — Томск: ЙОА СО РАН, 2002. — С. 63.

13. Рудяк В. Я.у Краснолуцкий C.JI. О коэффициенте вязкости разреженных газовзвесей с наночастицами: Тез. докл. Сопряженные задачи механики, информатики и экологии. Материалы Международной конференции. — Томск: ТГУ, 2002. — С. 137.

14. Рудяк В. Я., Краснолуцкий С.Л. Диффузия наночастиц в разреженных газах: Тез. докл. Кинетическая теория и динамика разреженных газов. Материалы Всероссийского семинара. — Новосибирск: НГАСУ, 2002. — С. 105-106.

15. Краснолуцкий С.Л. К статистической теории процессов переноса наночастиц в разреженных газах: Тез. докл. Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики. VII всероссийская конференция молодых ученых. — Новосибирск: ИТ СО РАН, 2002. — С. 88-89.

16. Рудяк В. ЯКраснолуцкий С.Л. К кинетической теории описания диффузии наночастиц в разреженном газе // Оптика атмосферы и океана. — 2003. — Т. 16. 5-6. — С. 508-511.

17. Рудяк В. Я,, Краснолуцкий С.Л. О вязкости разреженных газовзвесей с наночастицами // Доклады Академии Наук. — 2003. — Т. 392. 4. — С. 435-440.

18. Rudyak V. Уа., KrasnoiutskU S. L. The calculation and measurements of nanoparticles diffusion coefficient in rarefied gases // J. Aerosol Science. — 2003. — Vol. 34. Suppl. 1. — P. 579-580.

19. Рудяк В. Я., Краснолуцкий С,Л. Эффективная вязкость разреженных наногазовзвесей: Тез. докл. Аэрозоли Сибири. Юбилейная X рабочая группа. — Томск: ИОА СО РАН, 2003. — С. 48.

20. Рудяк В. Я., Краснолуцкий С.Л. Эффективный коэффициент вязкости разреженных наногазовзвесей // Оптика атмосферы и океана. — 2004. — Т. 17. М9- 5-6. — С. 498-503.

21. Rudyak V. Ya., Krasnolutskii S. L. Kinetic theory of nanoparticles diffusion in rarefied gases. 24th international symposium on Rarefied Gas Dynamics: Symposium program and abstracts. — Bari. — 2004. — P. 26.

22. Rudyak V. Ya., Krasnolutskii S. L. Effective coefficient of rarefied gas suspensions containing nanoparticles. 24th international symposium on Rarefied Gas Dynamics. Symposium program and abstracts. — Bari. — 2004. — P. 41.

23. Rudyak V. Ya., Krasnolutskii S. L. Simulation of nanoparticles transport in rarefied gases. Conference on Computational Physics

2004. Europhysics Conference Abstracts. Vol. 28D. — Genova: INFM - Insituto Nationale per la Fisica della Materia, 2004. — P. 99-101.

24. Rudyak V. Ya., Krasnolutskii S. L. Diffusion of nanoparticles in gases and liquids: Proceedings of the 1st International Conference on Diffusion in Solids and Liquids. Vol. II, — Portugal, Aveiro,

2005. — P. 623-628.

25. Рудяк В. Я., Белкин Л. А., Краснолуцкий С. Л. К статистической теории процессов переноса наночастиц в газах и жидкостях // Теплофизика и аэромеханика. — 2005, — Т. 12. 4. — С. 1-19.

26. Belkin A. A., Krasnolutskii S. L., Rudyak V. Ya. About nanoparticle friction force in gases and liquids. 25th international symposium on Rarefied Gas Dynamics. Technical program and abstracts. — St. Petersburg. — 2006, — P. 48.

Новосибирский государственный архитектурно-строительный

университет (Оибстрин) 630008, г.11овоснбнрск, ул.Ленинградская, 113_

Отпечатано мастерской оперативной полиграфии 11ГАСУ (Сибстрин)

Тираж 100. Заказ

Введение

1 Потенциалы взаимодействия молекула-частица

1.1 Кинетические уравнения разреженных наногазовзвесей

1.2 Моделирование потенциала взаимодействия молекула - дисперсная частица.

1.2.1 Потенциал взаимодействия молекулы с бесконечно тонким плоским слоем

1.2.2 Потенциал взаимодействия молекулы с плоским слоем конечной толщины.

1.2.3 Потенциал взаимодействия молекулы с твердой сферической оболочкой.

1.2.4 Потенциал взаимодействия молекулы с твердой дисперсной частицей сферической формы

1.2.5 Потенциал взаимодействия молекулы с твердой сферической оболочкой конечной толщины.

1.3 Парные потенциалы взаимодействия между молекулами (атомами) разных веществ

1.3.1 Комбинационные соотношения для вычисления параметров парных потенциалов взаимодействия между молекулами (атомами) разных веществ

1.3.2 Тестирование комбинационных соотношений.

1.4 Расчет параметров потенциала взаимодействия частица-молекул а

1.5 Границы применимости построенной модели.

2 Расчет приведенных О-интегралов

2.1 Расчет приведенных О-интегралов для потенциала Леннард

Джонса 6-12.

2.1.1 Алгоритм вычисления приведенных О-интегралов

2.1.2 Сопоставление с данными других авторов.

2.2 Расчет приведенных О-интегралов для потенциала наночастица-молекула.

2.2.1 Зависимость приведенных О-интегралов для потенциала взаимодействия наночастица-молекула от радиуса наночастиц и температуры несущего газа.

3 Диффузия наночастиц в разреженном газе

3.1 Подход Эйнштейна-Ланжевена. Экспериментальная корреляция Каннингема-Милликена-Дэвиса (КМД)

3.2 Коэффициент диффузии дисперсных частиц в разреженном газе

3.2.1 Расчет коэффициента диффузии наночастиц цинка в неоне.

3.2.2 Расчет коэффициента диффузии ядер конденсации в воздухе.

3.2.3 Вычисления коэффициента диффузии для частиц хлорида натрия в воздухе.

3.2.4 Сравнение с экспериментальными данными Милликена

3.3 Дифференциальный электростатический анализатор (ДЭА)

3.3.1 Постановка эксперимента.

3.3.2 Экспериментальное определение подвижности наночастиц с помощью ДЭА.

3.4 Методика эксперимента и результаты

Развитие нанотехнологий давно поставило в повестку дня изучение процессов переноса наночастиц в газах и жидкостях. Наночастицы имеют размеры от одного до десятков нанометров. В качестве таких частиц выступают и обычные дисперсные частицы, и кластеры. Сегодня они привлекают внимание широкого круга исследователей и практиков в связи с перспективами использования в электронной, химической, авиационно-космической, медицинской промышленности, в биотехнологиях, для изготовления катализаторов и других материалов с уникальными свойствами, в качестве научно-исследовательского инструментария.

Несмотря на то, что наночастицами научное сообщество заинтересовалось достаточно давно, проверенных теоретических разработок, посвященных процессам переноса наночастиц в разреженных газах, на сегодня нет. В литературе известны весьма разноречивые мнения относительно того, как следует описывать процессы переноса наночастиц в газах и жидкостях.

По своему размеру наночастицы занимают промежуточное положение между крупными молекулами и броуновскими частицами. Обычно диффузию наночастиц в разреженном газе пытаются описывать так же, как и диффузию обычных броуновских частиц с помощью теории Эйнштейна. Эйнштейном [71] и позже Ланжевеном [29] была получена связь между коэффициентом диффузии и коэффициентом сопротивления движению дисперсной частицы в среде. В качестве силы сопротивления берется сила Стокса, прямо пропорциональная вязкости среды, радиусу и скорости броуновской частицы относительно несущей среды. Формула Эйнштейна была экспериментально проверена в работах Шмида и Флетчера [65,98].

Однако непосредственное применение для определения коэффициента диффузии теории Эйнштейна достаточно обосновано лишь в жидкостях и не слишком разреженных газах. Для описания наночастиц в разреженных газах подобный подход не применим, так как они имеют размеры порядка гидродинамического физически бесконечно малого для несущей среды масштаба. Поэтому применение для описания силы сопротивления их движению в несущей среде гидродинамического подхода, предполагаемого теорией Эйнштейна, где в качестве силы сопротивления фигурирует сила сопротивления Стокса, не правомерно.

Для адаптации теории Эйнштейна к описанию диффузии наночастиц в разреженном газе можно заменить гидродинамическую силу сопротивления Стокса на более адекватную этой среде [65]. Теоретическим изучением силы сопротивления движению дисперсной частицы в разреженном газе еще в начале XX века более или менее успешно занимались Ланжевен [115], Каннингем [88], Ленард [117], Эпштейн [94] и др. Фактически исходным пунктом этих теорий является кинетическая теория разреженных газов.

Кинетическая теория с успехом применяется и для описания различных термо- и фотофоретических явлений в разреженных газах [4,5,8,79-82].

Процессы переноса молекул в разреженном газе хорошо описываются с помощью кинетической теории Больцмана. Первые шаги в создании неравновесной молекулярно-кинетической теории газов были сделаны Л. Больц-маном [84], который получил знаменитое уравнение для одночастичной функции распределения, носящее его имя. Приближенное решение уравнения Больцмана было построено С. Чепменом и Д. Энскогом [70,85,93], которые вывели уравнения Навье-Стокса и получили выражения для коэффициентов переноса. Тем самым была в основном сформулирована кинетическая теория разреженных газов, результаты которой блестяще подтверждены экспериментально [12,64,70]. Более современные методы решения уравнения Больцмана предложены позднее в работах Г. Грэда [102] (мо-ментный метод), П. Резибуа [30] (метод гидродинамических мод).

В одножидкостном приближении состояние газовзвеси описывается едиными среднемассовыми макроскопическими переменными. В результате решения системы уравнений Больцмана получаются гидродинамические уравнения Навье-Стокса и диффузии, коэффициенты переноса в которых определяются формулами кинетической теории.

Форма уравнений, выражающих некоторые свойства аэрозолей и газовзвесей, в том числе и сопротивление газообразной среды движению дисперсной частицы, зависит от числа Кнудсена Кпд = lljR, построенного по радиусу R дисперсной частицы, являющегося отношением длины свободного пробега газовых молекул 1\ к радиусу частицы. При Кпд > 1, то есть, в высокодисперсных аэрозолях или при, соответственно, малых давлениях несущего газа, согласно предположению Эпштейна [94], движение дисперсных частиц носит "молекулярный" характер: оно не нарушает максвел-ловского распределения скоростей молекул среды ни по величине, ни по направлению, и не создает в газе никаких течений. Сопротивление газа обусловлено в данном случае тем, что спереди о поверхность движущейся дисперсной частицы ударяется большее число молекул и с большей скоростью относительно дисперсной частицы, чем сзади. Сила сопротивление среды при рассматриваемом "молекулярном" режиме движения дисперсной частицы прямо пропорциональна концентрации несущего газа, среднему модулю скорости молекул несущего газа, квадрату радиуса дисперсной частицы, скорости дисперсной частицы и коэффициенту аккомодации а, величина которого зависит от механизма отражения молекул несущего газа от поверхности дисперсной частицы [94,120].

Соответствующий силе сопротивления Эпштейна коэффициент диффузии дисперсной частицы в разреженном несущем газе определяется согласно теории Эйнштейна [68]. Он обратно пропорционален коэффициенту сопротивления разреженного газа движению частицы.

В случае высокодисперсных аэрозолей, в которых величина дисперсных частиц значительно меньше средней длины свободного пробега молекул несущего газа, по формуле Эпштейна по известному коэффициенту диффузии дисперсных частиц можно найти их радиус. В эту формулу входит экспериментальный коэффициент аккомодации а. При этом считается, что в большинстве случаев можно принять а = 1.35 [68]. Обычно этот экспериментальный результат интерпретируют следующим образом. Считают, что определенная часть молекул несущего газа, в зависимости от коэффициентов аккомодации а, разная для разных веществ и условий, отражается зеркально (около 10 %), остальные — диффузно [65,120].

Мы видим, что с одной стороны теория Эйнштейна, использующая силу сопротивления Стокса, достаточно хорошо описывает диффузию крупнодисперсных частиц в сплошной среде. С другой стороны, в обратном пределе разреженного газа можно использовать силу сопротивления Эпштейна. В связи с этим Милликен [65,120] предложил формулу для коэффициента сопротивления, которая в предельных случаях соответствует коэффициентам сопротивления Стокса и Эпштейна, содержащую эмпирические подгоночные параметры для промежуточных значений чисел Кнудсена Кпд, построенных по радиусу частицы.

Входящие в нее константы были найдены для дисперсных частиц различного состава в экспериментах Милликена [120], Кнудсена и Вебера [107], Маттауха [118], Менхя [121] и обобщены Дэвисом [90]. В дальнейшем эту экспериментальную корреляцию мы будем называть корреляцией Каннин-гема-Милликена-Дэвиса (КМД). В физике аэрозолей она служит основой для определения размеров дисперсных частиц по известным коэффициенту сопротивления или коэффициенту диффузии, определяемым с помощью дифференциальных электростатических анализаторов (ДЭА) или диффузионных батарей [23,65-68,108].

В чем недостатки существующего подхода? Дело в том, что для успешного практического использования формулы Эпштейна нужно дополнительно иметь сведения о механизме взаимодействия молекул несущего газа с поверхностью дисперсной частицы для различных типов поверхности частицы в требуемом диапазоне радиусов частиц и температур дисперсной частицы и несущего газа. В частности, не известен коэффициент аккомодации а, который в общем случае зависит от температуры и материала частицы, температуры несущего газа.

Далее, Милликеном и другими экспериментаторами при получении экспериментальной корреляции КМД обрабатывались данные выше перечисленных экспериментов, в которых радиусы дисперсных частиц не опускались ниже 240 нм [90,120]. Формула Эпштейна, как и корреляция КМД, предполагает, что коэффициент аккомодации а и связанный с ним характер отражения молекул, или соотношение молекул отражающихся диффузно и зеркально, не зависят от радиуса дисперсных частиц. Однако если мысленно уменьшить размер дисперсной частицы до одной или нескольких молекул, ни о каком диффузном отражении не может быть и речи. Отсюда ясно, что предполагаемый экспериментальной корреляцией КМД преимущественно диффузный характер отражения молекул несущего газа от поверхности дисперсной частицы не может сохраняться при уменьшении ее до молекулярных размеров.

Таким образом, для дисперсных частиц с радиусами менее 240 нм [90,120] корреляция КМД является экстраполяцией и требует как минимум дальнейших экспериментальных исследований. Входящие в нее коэффициенты были определены экспериментально в очень узком диапазоне температур Т — 19 24 °С. Поэтому ясно, что использование этой корреляции вне данного температурного диапазона также проблематично.

Для вычисления коэффициента вязкости суспензий на основе несжимаемых жидкостей с твердыми частицами при малой объемной доле дисперсного компонента широко применяется гидродинамическая формула Эйнштейна [77,78]. Конечно, эту формулу можно применять и для крупнодисперсных газовзвесей при Кпд < 1 и числе Кнудсена Кп^ = l\/L <С 1, являющегося отношением длины свободного пробега газовых молекул 1\ к характерному пространственному масштабу задачи. Для мелко- и ультрадисперсных газовзвесей при Кпд 1 подобной теоретически строго обоснованной формулы в широком диапазоне параметров не существует.

В работах [59,60] методом молекулярной динамики было показано, что механизм диффузии наночастиц в жидкостях и в плотных газах радикально отличается как от эйнштейновского (броуновские частицы), так и от молекулярного. Кроме того, отклонения от закона Эйнштейна наблюдались, в частности, в экспериментах по определению коэффициента молекулярной диффузии в жидкостях [86,87,95,151].

Вместе с тем, при определенных ограничениях на концентрацию несущего газа и размер и концентрацию наночастиц, динамика разреженных наногазовзвесей (наночастицы в разреженном газе) вполне может описываться (во всяком случае, в первом приближении) системой кинетических уравнений Больцмана (см. по этому поводу [13,14,34]). Именно поэтому в данной работе описание процессов переноса наночастиц в разреженных газах проводится на основе кинетической теории Больцмана.

При использовании кинетической теории основой расчетов должен быть соответствующий потенциал взаимодействия молекулы несущего газа с на,-ночастицей. Использование в этом качестве обычного межмолекулярного потенциала не обосновано, так молекула несущего газа взаимодействует, не с какой-то одной, а практически со всеми составляющими дисперсную частицу молекулами одновременно.

Знание потенциалов позволяет, определив по ним тем или иным образом сечения рассеяния частиц, вывести соответствующие кинетические уравнения, получить аналитические формулы для расчета коэффициентов переноса. Тем самым из первых принципов, то есть, из знания законов взаимодействия частиц, удается вывести макроскопические характеристики среды. Для гетерогенных сред, суспензий, газовзвесей, аэрозолей, эмульсий, газопузырьковых жидкостей, плазмозолей и плазмовзвесей [35,134], и равновесной, и неравновесной статистической механики все еще не существует, хотя отдельные фрагменты теории строились различными авторами. В частности, это связано с тем, что потенциалы взаимодействия молекул несущей среды (газа, жидкости или плазмы) с дисперсными частицами (твердыми, жидкими или газообразными) не известны. Моделей таких потенциалов не существует.1

Приведенный выше обзор развития методов моделирования процессов переноса наночастиц в разреженных газах позволяет сформулировать цель диссертационной работы. Она состоит в построении адекватного кинетического описания диффузии наночастиц в разреженных газах и эффективной вязкости разреженных наногазовзвесей.

Для реализации поставленной цели решены следующие основные зада

1 Единственная известная автору попытка ввести такую модель была сделана в работе [104], где для описания взаимодействия молекул с кластером (по сути, твердой частицей) использовался потенциал Леннард-Джонса 3-9 (точнее, потенциал Г. Ми 3-9), широко применяющийся для моделирования взаимодействия молекул газа с твердой поверхностью [6,16]. чи:

• Построен модельный потенциал взаимодействия молекула — дисперсная частица на основе широко известного межмолекулярного потенциала Леннард-Джонса 6-12.

• Исследована применимость различных комбинационных соотношений для вычисления параметров парного потенциала взаимодействия Лен-нард-Джонса 6-12 молекул (атомов) двух различных веществ на основе известных параметров потенциала Леннард-Джонса 6-12 молекул (атомов) каждого из веществ.

• Разработан алгоритм и пакет программ для расчета ^-интегралов, коэффициента диффузии наночастиц в разреженных газах и эффективного коэффициента вязкости разреженных наногазовзвесей.

• Исследованы зависимости коэффициента диффузии наночастиц в разреженных газах и эффективного коэффициента вязкости разреженных наногазовзвесей от размера, плотности, свойств материала дисперсных частиц, их концентрации и температуры среды.

• Исследованы методы измерения коэффициента диффузии наночастиц в разреженных газах и проведено систематическое сопоставление полученных данных с известными экспериментальными.

Полученные в ходе выполнения работы результаты являются новыми, они опубликованы в работах [21,43-56,139-148] и докладывались на следующих семинарах и конференциях: международная конференция RDAMM-2001 (Новосибирск, 2001), VIII, IX и X рабочие группы "Аэрозоли Сибири" (Томск, 2001, 2002, 2003), VII и VIII всероссийские конференции молодых ученых "Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики" (Новосибирск, 2002, 2004), международная конференция "Сопряженные задачи механики, информатики и экологии" (Томск, 2002), Международная конференция по математике и механике, посвященная 125-летию Томского государственного университета и 55-летию механико-математического факультета (Томск, 2003), 6-й Всероссийский семинар "Моделирование неравновесных систем" (Красноярск, 2003), 21st and 24th international symposia on Rarefied Gas Dynamics (Marseille, 1998, Bari, 2004), International conference "Physics of Liquid Matter: Modern problems" (Kiev, 2001), 6th International Aerosol Conference (Taiwan, 2002), V International congress of mathematical modelling (Dubna, 2002), European Aerosol Conference (Madrid, 2003), Conference on Computational Physics 2004 (Genova, 2004), 1st International Conference on Diffusion in Solids and Liquids (Portugal, Aveiro, 2005).

Таким образом, на защиту выносятся:

• Кинетическая теория диффузии наночастиц в разреженных газах и эффективной вязкости разреженных наногазовзвесей.

• Результаты расчетов с помощью самостоятельно разработанного пакета программ коэффициента диффузии наночастиц в разреженных газах и эффективного коэффициента вязкости разреженных наногазовзвесей, результаты исследований зависимости этих коэффициентов переноса от размера, плотности, свойств материала дисперсных частиц, их концентрации и температуры среды.

• Построенный модельный потенциал взаимодействия молекула - дисперсная частица на основе межмолекулярного потенциала Леннард-Джонса 6-12.

• Результаты работы по разработке, тестированию и выбору наиболее адекватных комбинационных соотношений для получения параметров межмолекулярного потенциала Леннард-Джонса 6-12 для молекул (атомов) различных сортов на основании известных параметров межмолекулярного потенциала Леннард-Джонса 6-12 для молекул (атомов) одного сорта.

• Алгоритм и пакет программ для расчета О-интегралов на основе построенного потенциала частица-молекула.

• Результаты сравнения полученных расчетных зависимостей с различными экспериментальными, в том числе и полученными нами.

Работа состоит из четырех глав, введения, заключения, списка литературы и приложения. Ее структура такова.

4.5 Основные результаты. Выводы

Главный вывод, который можно сделать по результатам данной работы состоит в том, что вязкость наногазовзвесей, в отличие от вязкости крупнодисперсных суспензий, может быть не только больше, но и меньше вязкости несущего газа. Увеличение или уменьшение вязкости наногазовзвеси по сравнению с чистым газом зависит, главным образом, от радиуса наночастиц и значения параметра а (4.3), который является отношением плотностей материала наночастицы и молекул несущего газа.

С уменьшением радиуса наночастиц эффект изменения (повышения или понижения) коэффициента вязкости наногазовзвеси во всех случаях существенно увеличивается.

Увеличение температуры наногазовзвеси также приводит к значительному усилению указанного эффекта.

Физически понятно влияние на вязкость газовзвеси параметра а (4.3). Частицы большей плотности для обеспечения передачи того же самого значения импульса будут иметь меньший радиус, и, следовательно, большую длину свободного пробега. Поэтому эффективный коэффициент вязкости наногазовзвеси возрастает с ростом а.

Кроме того, необходимо отметить, что в данной работе для описания взаимодействия дисперсных частиц использовался потенциал твердых сфер. Для дисперсных частиц этот потенциал в общем случае мало реалистичен. Это, однако, практически не влияет на результаты и выводы данной работы, поскольку при малых объемных концентрациях дисперсной фазы вклад взаимодействий частица-частица в эффективный коэффициент вязкости пренебрежимо мал.

Заключение

Подводя итог, сформулируем основные полученные результаты.

1. Построен потенциал взаимодействия наночастица-молекула (1.35).

2. Разработан алгоритм и пакет программ для расчета П-интегралов на основе потенциала Леннард-Джонса 6-12 и потенциала наночастица-молекула (1.35).

3. Рассчитан коэффициент диффузии наночастиц в разреженных газах. Проведено исследование зависимости коэффициента диффузии наночастиц в разреженных газах от размера наночастиц, их концентрации и температуры среды.

4. Показано, что любая методика определения диаметра наночастиц по подвижности с использованием корреляции Каннингема-Милликена-Дэвиса (3.8) по формуле (3.12) и, в частности, дифференциальные электростатические анализаторы (ДЭА) и диффузионные батареи, содержит систематическую погрешность при определении размеров ультрадисперсных (диаметром менее 10 нм) частиц, поскольку полученному значению подвижности сопоставляет неправильное значение диаметра частицы. Полученные погрешности могут превышать 100 %. Формулы (3.8), (3.12) хорошо работают для достаточно крупных частиц, но не применимы для наночастиц. Кроме того, экспериментальная корреляция КМД (3.8) применима лишь в области комнатных температур, при которых и определялись ее параметры.

5. Предложенная нами кинетическая теория достаточно хорошо описывает диффузию наночастиц, в том числе и в области малых радиусов, где корреляция КМД (3.8) не работает. Коэффициент диффузии и подвижность наночастиц в общем случае зависят не только от диаметра частиц, но также от типа несущего газа и материала дисперсных частиц. Развитая нами кинетическая теория это учитывает через параметры потенциала взаимодействия молекул несущего газа с дисперсной частицей (1.35). В отличие от корреляции КМД (3.8), предложенная нами кинетическая теория применима для описания диффузии в широком диапазоне температур.

6. Рассчитан эффективный коэффициент вязкости разреженных наногазовзвесей. Проведено исследование зависимости эффективного коэффициента вязкости разреженных наногазовзвесей от размера наночастиц, их концентрации и температуры среды.

7. Вязкость наногазовзвесей, в отличие от вязкости крупнодисперсных суспензий, может быть не только больше, но и меньше вязкости несущего газа. Увеличение или уменьшение вязкости наногазовзвеси по сравнению с чистым газом зависит, главным образом, от радиуса наночастиц и значения параметра а (4.3), который является отношением плотностей материала наночастицы и молекул несущего газа. С уменьшением радиуса наночастиц эффект изменения (повышения или понижения) коэффициента вязкости наногазовзвеси во всех случаях существенно увеличивается. Увеличение температуры наногазовзвеси также приводит к значительному усилению указанного эффекта.

Обобщая эти результаты, можно сказать, что построена и протестирована кинетическая теория процессов переноса наночастиц в разреженных газах. Она позволяет с достаточной точностью рассчитывать все коэффициенты переноса, а именно, коэффициенты диффузии наночастиц в разреженных газах, эффективные коэффициенты вязкости и теплопроводности разреженных наногазовзвесей.

Автор признателен профессору Рудяку В. Я. за постановку задачи и руководство.

1. Арефьев К.М. Явления переноса в газе и плазме. — JL: Энергоатом-издат, 1983. — 127 с.

2. Арефьев К.М. Квантовая механика в расчетах переноса паров металлов в газах. — Л.: ЛГУ, 1990. — 135 с.

3. Баканов С.П., Дерягин Б.В., Ролдугин В.И. Термофорез в газах // УФН. — 1979. — Т. 129. Вып. 2. — С. 255-278.

4. Баканов С.П. Термофорез в газах при малых числах Кнудсена // УФН. — 1992. — Т. 162. Вып. 9. — С. 133-152.

5. Баранцев Р. Г. Взаимодействие разреженных газов с обтекаемыми поверхностями. — М.: Наука, 1975. — 308 с.

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков P.M. Численные методы. — М.: Наука, 1987. — 600 с.

7. Боголепов А.И., Быстрай Г.П., Береснев С.А., Черняк В.Г., Фомягин Г.А. Экспериментальное и теоретическое исследование фотофореза в разреженном газе // ТВТ. — 1991. — Т. 29. Я0- 4. — С. 750-758.

8. Боголюбов Н. Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. — М.-Л.: Гостехиздат, 1946. — 138 с.

9. Бусройд Р. Течение газа со взвешенными частицами. — М.: Мир, 1975. — 378 с.

10. И. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. — М.: 1963. — 708 с.

11. Гиршфелъдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961. — 929 с.

12. Гладков М.Ю., Рудяк В.Я. Кинетические уравнения мелкодисперсной разреженной газовзвеси // Изв. РАН. МЖГ. — 1994. Я0- 2. — С. 165171.

13. Гладков М.Ю., Рудяк В.Я. Кинетические уравнения мелкодисперсной газовзвеси // ЖТФ. — 1994. — Т. 64. Вып. 4. — С. 170-174.

14. Грин X., Лейн В. Аэрозоли — пыли, дымы, туманы. — JL: Химия, 1972. — 218 с.

15. Гудман Ф., Вахман Г. Динамика рассеяния газа поверхностью. — М.: Мир, 1980. — 416 с.

16. Ивановский М.Н., Сорокин В.П., Субботин В.И., Чулков Б.А. Исследование взаимной диффузии в процессе конденсации паров калия из смесей с газами. Теплофизика высоких температур // 1969. — Т. 7. ]\- 3. — С. 479-485.

17. Калиткин Н.Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978. — 512 с.

18. Каплан И. Г. Введение в теорию межмолекулярных взаимодействий. — М.: Наука, 1982. — 265 с.

19. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. Кинетическая теория. — М.: Наука, 1967. — 440 с.

20. Куценогий К.П. Методы определения размера и концентрации аэрозолей. Аналитический обзор. Я0- 4393. — М.: ЦНИИИиТЭИ, 1987. — 79 с.

21. Кэй ДжЛэби Т. Таблицы физических и химических постоянных. — М.: Мир, 1962. — 248 с.

22. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 1. Механика. — М.: Наука, 1965. — 204 с.

23. Ландау Л Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 5. Статистическая физика. — М.: Наука, 1976. — 584 с.

24. Ландау Л Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. — М.: Наука, 1988. — 736 с.

25. Ландау J1.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 10. Физическая кинетика. — М.: Наука, 1979. — 528 с.

26. Ланжевен П. О теории броуновского движения / Избранные труды. — М.: АН СССР, 1960. — С. 338-341.

27. Резибуа П., Де Ленер М. Классическая кинетическая теория жидкостей и газов. — М. Мир, 1980. — 423 с.

28. Рид Р., Праусниц Дж., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей. Справочное пособие. — Л.: Химия, 1982. — 592 с.

29. Рудяк В. Я. Статистическая теория диссипативных процессов в газах и жидкостях. — Новосибирск: Наука, 1987. — 272 с.

30. Рудяк В. Я. Статистическая аэрогидромеханика гомогенных и гетерогенных сред. Т. 1. Кинетическая теория. — Новосибирск: НГАСУ, 2004. — 320 с.

31. Рудяк В. Я. Кинетическое описание разреженной мелкодисперсной газовзвеси // Письма в ЖТФ. — 1992. — Т. 18. Вып. 2. — С. 77-80.

32. Рудяк В.Я. Статистическая механика гетерогенных сред. IV. Принципы классификации: Препринт J\f° 3(8)-95. — Новосибирск: НГАС, 1995. — 19 с.

33. Рудяк В.Я. Модели механики сплошной среды: состояние и развитие: Препринт Я- 1(11)-98. — Новосибирск: НГАСУ, 1998. — 28 с.

34. Рудяк В. Я. О кинетико-гидродинамической модели описания газовзвесей и суспензий // Сиб. Журнал Индустриальной Матем. — 1999. — Т. 2. М- 2. — С. 168-175.

35. Рудяк В.Я., Белкин А.А. Статистическая механика гетерогенных сред. III. Уравнения многожидкостной гидродинамики: Препринт ЛГ-2(1)-%. — Новосибирск: НГАС, 1995. — 31 с.

36. Рудяк В.Я., Белкин А. А. Уравнения многожидкостной гидродинамики // Мат. моделирование. — 1996. — Т. 8. Л/"£ 6. — С. 33-37.

37. Рудяк В.Я., Белкин А.А. Статистическая механика гетерогенных сред. VI. Уравнения многожидкостной гидродинамики для систем частиц с вращательными степенями свободы: Препринт Я- 2(15)-2000.

38. Новосибирск: НГАСУ, 2000. — 35 с.

39. Рудяк В.Я., Гладков М.Ю. Кинетические уравнения молекулярных и мелкодисперсных газовзвесей: Препринт J\f- 2-93. — Новосибирск: НИСИ, 1993. — 30 с.

40. Рудяк В.Я., Ершов И.В. Статистическая механика гетерогенных сред. II. Кинетические уравнения броуновских частиц: Препринт Л/"- 3(5)-94. — Новосибирск: НГАС, 1994. — 30 с.

41. Рудяк В. Я., Краснолуцкий С. Л. Моделирование процессов переноса наночастиц в разреженных газах // Вычислительные технологии. — 2001.—Т. 6.4. 2.— С. 524-529.

42. Рудяк В. Я., Краснолуцкий С. Л. Кинетическое описание диффузии наночастиц в разреженном газе // Доклады Академии Наук. — 2001.

43. Т. 381. Я- 5. — С. 623-625.

44. Рудяк В. Я., Краснолуцкий С.Л. Диффузия наночастиц в разреженном газе // Журнал технической физики. — 2002. — Т. 72. Вып. 7. — С. 13-20.

45. Рудяк В.Я., Краснолуцкий С.Л., Насибулин А.Г., Кауппинен Е.И. О методах измерения коэффициента диффузии и размеров наночастиц в разреженном газе // Доклады Академии Наук. — 2002. — Т. 386. Я-5. — С. 595-597.

46. Рудяк В. Я., Краснолуцкий С.Л. К кинетической теории описания диффузии наночастиц в разреженном газе // Оптика атмосферы и океана. — 2003. — Т. 16. Я0- 5-6. — С. 508-511.

47. Рудяк В. Я., Краснолуцкий С.Л. О вязкости разреженных газовзвесей с наночастицами // Доклады Академии Наук. — 2003. — Т. 392. Я-4. — С. 435-440.

48. Рудяк В. ЯКраснолуцкий С. Л. Эффективный коэффициент вязкости разреженных наногазовзвесей // Оптика атмосферы и океана. — 2004. — Т. 17. Я- 5-6. — С. 498-503.

49. Рудяк В. Я., Краснолуцкий С.Л. Статическая механика гетерогенных сред. IV. Потенциалы межчастичного взаимодействия: Препринт Я-3(13)-98. — Новосибирск: НГАСУ, 1998. — 35 с.

50. Рудяк В. Я., Краснолуцкий С.Л. Диффузия аэрозольных частиц в разреженном газе. Расчет коэффициента диффузии и интерпретация экспериментальных данных: Тез. докл. Аэрозоли Сибири. VIII рабочая группа. — Томск: ИОА СО РАН, 2001. — С. 43.

51. Рудяк В. Я., Краснолуцкий С.Л. Диффузия ультрадисперсных частиц в разреженном газе и экспериментальные методики определения размеров частиц и их коэффициентов диффузии: Тез. докл. Аэрозоли Сибири. IX рабочая группа. — Томск: ИОА СО РАН, 2002. — С. 63.

52. Рудяк В. Я., Краснолуцкий C.JI. Эффективная вязкость разреженных наногазовзвесей: Тез. докл. Аэрозоли Сибири. Юбилейная X рабочая группа. — Томск: ИОА СО РАН, 2003. — С. 48.

53. Рудяк В. Я., Краснолуцкий С.Л. О коэффициенте вязкости разреженных газовзвесей с наночастицами: Тез. докл. Сопряженные задачи механики, информатики и экологии. Материалы Международной конференции. — Томск: ТГУ, 2002. — С. 137.

54. Рудяк В. ЯКраснолуцкий С. Л. Диффузия наночастиц в разреженных газах: Тез. докл. Кинетическая теория и динамика разреженных газов. Материалы Всероссийского семинара. — Новосибирск: НГАСУ, 2002. — С. 105-106.

55. Рудяк В. ЯКраснолуцкий С. Л. Кинетическая теория эффективной вязкости разреженных наногазовзвесей: Тез. докл. Моделирование неравновесных систем. Материалы 6-го Всероссийского семинара. — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2003. — С. 95-96.

56. Рудяк В.Я., Харламов Г.В., Белкин А.А. Прямое численное моделирование процессов переноса в гетерогенных средах. I: Препринт №-2(12)-98. — Новосибирск: НГАСУ, 1998. — 38 с.

57. Рудяк В.Я., Харламов Г.В., Белкин А.А. Прямое численное моделирование процессов переноса в гетерогенных средах. II. Диффузия наночастиц и макромолекул в плотных газах и жидкостях: Препринт N° 1(13)-2000. — Новосибирск: НГАСУ, 2000. — 36 с.

58. Рудяк В.Я., Харламов Г.В., Белкин А. А. Автокорреляционная функция скорости наночастицы в молекулярной системе твердых сфер / / Письма в ЖТФ. — 2000. — Т. 26. Я0- 13. — С. 29-36.

59. Рудяк В.Я., Харламов Г.В., Белкин А.А. Диффузия наночастиц и макромолекул в плотных газах и жидкостях // Теплофизика высоких температур. — 2001. — Т. 31. №■ 2. — С. 283-291.

60. Румер Ю. Б., Рывкин М. Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. — М.: Наука, 1977. — 552 с.

61. Свойский В.З. Интегралы столкновений для сферических неполярных молекул // Ученые записки ЦАГИ. — 1971. — Том II. Я0- 5. — С. 129134.

62. Coy С. Гидродинамика многофазных систем. — М.: Мир, 1975. — 536 с.

63. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. — М.: Мир, 1976. — 554 с.

64. Фукс Н.А. Механика аэрозолей. — М.: АН СССР, 1955. — 347 с.

65. Фукс Н.А. Успехи механики аэрозолей. — М.: АН СССР, 1959. — 154 с.

66. Фукс Н.А.) Сутугин А.Г. Высокодисперсные аэрозоли // Итоги науки. Физическая химия. — М., 1969. — 80 с.

67. Фукс Н.А., Сутугин А.Г. Высокодисперсные аэрозоли // Коллоидный журнал. — 1964. — Т. 26. Я0- 1. — С. 110-116.

68. Хаппелъ Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рей-нольдса. — М.: Мир, 1976. — 630 с.

69. Чепмен С., Каулинг Т.Г. Математическая теория неоднородных газов. — М.: Издательство Иностранной Литературы, 1960. — 510 с.

70. Эйнштейн А. О движении взвешенных в покоящейся жидкости частиц, требуемом молекулярно-кинетической теорией теплоты / Собрание научных трудов. Т. III. — М.: Наука, 1966. — С. 108-117.

71. Эйнштейн А. К теории броуновского движения / Собрание научных трудов. Т. III. — М.: Наука, 1966. — С. 118-127.

72. Экштайн В. Компьютерное моделирование взаимодействия частиц с поверхностью твердого тела. — М.: Мир, 1995. — 319 с.

73. Anderson L. W., Ramsey A.T. Study of the spin-relaxation times and the effects of spin-exchange collisions in an optically oriented sodium vapour // Physical Review. — 1963. — Vol. 132. Ser. II. No. 2. — P. 712-718.

74. Barker J. A., Fock W., Smith E. B. Viscosities of the inert gases at high temperatures // Phys. Fluids. — 1964. Vol. 7. — P. 897-918.

75. Batchelor G. K. Transport properties of two-phase materials with random structure // Ann. Rev. Fluid Mech. — 1974. — Vol. 6. — P. 227.

76. Batchelor G. К. The effect of Brownian motion on the bulk stress in a suspension of spherical particles // J. Fluid Mech. — 1977. — Vol. 83. Pt. 1. — P. 97-117.

77. Beresnev S.} Chernyak V., Suetin P.E. Motion of a spherical particle in a rarefied gas. Part 1. A liquid particle in its saturated vapour // J. Fluid Mechanics. — 1987. — Vol. 176. — P. 295-310.

78. Beresnev S., Chernyak V., Fomyagin G. Motion of a spherical particle in a rarefied gas. Part 2. Drag and thermal polarization // J. Fluid Mechanics.1990. — Vol. 219. — P. 405-421.

79. Beresnev S., Chernyak V. Photophoresis of aerosol particle // J. Aerosol Sci. — 1993. — Vol. 24. No. 7. — P. 857-866.

80. Beresnev S., Chernyak V., Fomyagin G. Photophoresis of spherical particle in rarefied gas // Phys. Fluids. — 1993. — Vol. A5 (8). — P. 2043-2052.

81. De Boer J., van Kranendonk J. The viscosity and heat conductivity of gases with central intermolecular forces j j Physica. — 1948. — Vol. 14.1. P. 442.

82. Boltzmann L, Vorlesungen ueber gastheorie. — Leipzig, 1896.

83. Chapman S. On the low of distribution of molecular velocities and on the theory of viscosity and thermal conduction in a non-uniform simple monatomic gas // Phil. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A. — 1916. — Vol. 216. — P. 279-283.

84. Chen S.H., Davis H. Т., Evans D.F. Tracer diffusion in polyatomic liquids. II // J. Chem. Phys. — 1981. — Vol. 75. No. 3. — P. 1422-1426.

85. Chen S.H., Davis H. Т., Evans D.F. Tracer diffusion in polyatomic liquids. Ill // J. Chem. Phys. — 1982. — Vol. 77. No. 5. — P. 2540-2544.

86. Cunningham E. On the velocity of steady fall of spherical particles through fluid medium // Proc. Roy. Soc. — 1910. — Vol. 83. — P. 357-365.

87. Dalgarno A. New methods of calculating long-range intermolecular forces // Adv. Chem. Phys. — 1967. — Vol. 12. — P. 143-164.

88. Davies C. N. Definitive equations for the fluid resistance of spheres // The proceedings of the Physical society. London. — 1945. — Vol. 57. Part 4. No. 322. — P. 259-270.

89. Deppert K., Bovin J.-O., Malm J.-OSamuelson L. A new method to fabricate size selected compound semiconductor nanocrystals: Aerotaxy // J. Cryst. Growth. — 1996. — Vol. 169. — P. 13-19.

90. Einstein A. A new determination of molecular sizes // Ann. Phys. — 1906. — Vol. 19. — P. 289-306.

91. Enskog D. Kinetische Theorie der Vorgaenge in maessig verduennten Gasen: Dissertation. — Uppsala. — 1917.

92. Epstein P.S. On the resistance experienced by spheres in their motion through gases // Phys. Rev. — 1924. — Vol. 23. — P. 710-733.

93. Evans D.F., Tominaga Т., Davis H.T. Tracer diffusion in polyatomic liquids 11 J. Chem. Phys. — 1981. — Vol. 74. No. 2. — P. 1298-1306.

94. Fernandez de la Mora J., Fernandez-Feria R. Kinetic theory of binary gas with large mass disparity // Phys. Fluids. — 1987. — Vol. 30. No. 3. — P. 740-751.

95. Fernandez de la Mora J., de Juan L., Eichler Т., Rosell J. Differential mobility analysis of molecular ions and nanometer particles // Trends in Analytical Chemistry. — 1998. — Vol. 17. — P. 328-339.

96. Fletcher H. A determination of Avogadro's constant N from measurements of small oil drops suspended in air // The Physical Review. — 1914. — Vol. 4. No. 5. — P. 441-453.

97. Friedlander S. K. Smoke, dust, and haze. Fundamentals of aerosol dynamics. — Oxford: Oxford University Press, 2000. — 407 p.

98. Good R.J., Hope C.J. New combining rule for intermolecular distances in intermolecular potential function // J. Chem. Phys. — 1970. — Vol. 53. No. 2. — P. 540-543.

99. Good R. J., Hope C. J. Test of combining rules for intermolecular distances. Potential function constants from second virial coefficients // J. Chem. Phys. — 1971. — Vol. 55. No. 1. — P. 111-116.

100. Grad H. On the kinetic theory of rarefied gases // Commun. Pure Appl. Math. — 1949. — Vol. 2. — P. 311.

101. Green M.S. Brownian motion in a gas of noninteracting molecules // J. Chem. Phys. — 1951. — Vol. 19. — P. 1036-1046.

102. Gspan JVollmar H. Drag enhancement of very small particles by the intermolecular forces. Rarefied Gas Dynamics 11. Vol. II. — Paris: Commissariat l'Energie Atomique, 1979. — P. 967-976.

103. Hirschfelder J. 0., Bird R.B., Spotz E.L. The transport properties of gases and gaseous mixtures. II // Chem. Rev. — 1949. — Vol. 44. — P. 205-231.

104. Kirkwood J. G. Statistical-mechanical theory of transport processes //J. Chem. Phys. — 1947. — Vol. 15. No. 1. — P. 72-76.

105. Knudsen M., Weber S. Luftwiderstand gegen die langsame Bewegnng kleiner Kugeln // Ann. Phys. — 1911. — B. 36. — S. 982-994.

106. Knutson E. 0. History of diffusion batteries in aerosol measurements // Aerosol Science к Technology. — 1999. — Vol. 31. No. 2-3. — P. 83-128.

107. Knutson E. 0., Whitby К. T. Aerosol classification by electric mobility: apparatus, theory, and applications //J. Aerosol Science. — 1975. — Vol. 6. — P. 443-451.

108. Knutson E. 0., Whitby К. T. Accurate measurement of aerosol electric mobility moments //J. Aerosol Science. — 1975. — Vol. 6. — P. 453-460.

109. Kousaka Y., Okuyama K., Adachi M. Determination of particle size distribution of ultra-fine aerosols using a differential mobility analyzer / / Aerosol Science к Technology. — 1985. — Vol. 4. — P. 209-226.

110. Ku В. K.; Kim S. S., Kim Y. D., Lee S. Y. Direct measurement of electrospray droplets in submicron diameter using a freezing method and а ТЕМ image processing technique // J. Aerosol Science. — 2001. — Vol. 32. — P. 1459-1477.

111. Kubo R. Statistical-mechanical theory of irreversible processes //J. Phys. Soc. Japan. — 1957. — Vol. 12. — P. 570-595.

112. Kuga Y., Ando K., Okuyama K., Takeuchi K. Comparison of NM-sized particle measurements by low pressure DMA and by transmission electron microscope //J. Aerosol Science. — 1999. — Vol. 30. Suppl. 1. — S347-S348.

113. Langevvn M. P. Une formule fondamentale de theorie Cinetique // Ann. de Chem. et Phys. — 1905. — Vol. 5. — P. 245-288.

114. Legowski S. Relaxation of optically pumped Caesium atoms by different buffer gases // J. Chem. Phys. — 1964. — Vol. 41. No. 5. — P. 1313-1318.

115. Lenard P., Weiku B. W., Mayer H. F. Ueber Elektrizitaetsleitung durch freite Elektronen und Traeger. III. Wanderungsgeschwinddigkeit kraftgetriebener Partikel in reibenden Medien // Ann. der Phys. — 1920. — B. 61. — S. 665-741.

116. Mattauch J. Eine experementelle Ermittlung des Widerstandsgesetzes kleiner Kugeln in Gasen // Z. Phys. — 1925. — B. 32. — S. 439-443.

117. Millikan R. A. Brownian movement in cases at low pressures // The Physical Review. Second Series. — 1913. — Vol. 1. No. 3. — P. 218-221.

118. Millikan R. A. The general law of fall of a small spherical body through a gas, and it's bearing upon the nature of molecular reflection from surfaces // The Physical Review. Second Series. — 1923. — Vol. 22. No. 1. — P. 1-23.

119. Moench G. Zum Widerstandsgesetz kleiner Kugeln in Luft // Phys. Z. — 1933. — B. 34. — S. 77-79.

120. Monchick L., Mason A. Transport properties of polar gases //J. Chemical Physics. — 1961. — Vol. 35. No. 5. — P. 1676-1697.

121. Nasibulin A. G., Kauppinen E. I., Brown D. P., Jokiniemi J. K. Vapour decomposition of copper (II) acetylacetonate in the presence of hydrogen and water and nanoparticle formation //J. Phys. Chem. B. — 2001. — Vol. 105. No. 45. — P. 11067-11075.

122. Nasibulin A. G., Ahonen P. P., Richard 0., Kauppinen E. I., Altman I. S. Copper and copper oxide nanoparticle formation by chemical vapour nucleation from copper (II) acetylacetonate // J. Nanoparticle Res. — 2001. — Vol. 3. Issue 5-6. — P. 383-398.

123. Neufeld P. D., Janzen A. R., Aziz R. A. Empirical equations to calculate 16 of the transport collision integrals for the Lennard-Jones (12-6) potential // J. Chem. Phys. — 1972. — Vol. 57. — P. 1100-1102.

124. Nolan J. J., Guerrini V. H. The determination of the mass and size of atmospheric condensation nuclei // Transacting of Faraday Society. London. — 1936. — Vol. 32. — P. 1175-1181.

125. Okuyama K., Shimada M., Okita A., Otani Y., Cho S. J. Performance evaluation of cluster-DMA with integrated electrometer and its application to ion mobility measurements //J. Aerosol Res. Japan. — 1998. — Vol. 13. No. 2. — P. 83-93.

126. Perin M.J. Brownian movement and molecular reality. — London, 1897. — 191 p.

127. Pollak L. W., O'Connor Т. C. Decay of aerosols in small and very small vessels and a static method for determining the size of condensation nuclei // Pure and Applied Geophysics. — 1955 / II. — Vol. 31. — P. 66-79.

128. Pollak L. W., O'Connor Т. C., Metnieks A. L., Fuerth R. On the determination of the diffusion coefficient of condensation nuclei using the static and dynamic methods // Pure and Applied Geophysics. — 1956 / II. — Vol. 34. — P. 177-195.

129. Pollak L.W., O'Connor Т.С., Metnieks A.L., Fuerth R. Report on the determination of the diffusion coefficient of condensation nuclei using the static and dynamic methods // Pure and Applied Geophysics. — 1957 / I. — Vol. 36. — P. 70-75.

130. Reischl G. P. Measurement of ambient aerosols by the different mobility analyzer method: Concepts and realization criteria for the size range between 2 and 500 nm // Aerosol Science & Technology. — 1991. — Vol. 14. — P. 5-24.

131. Rosell-Llompart J., Loscertales I. G., Bingham D., Fernandez de la Mora J. Sizing nanoparticles and ions with a short differential mobility analyzer 11 J. Aerosol Science. — 1996. — Vol. 27. — P. 695-719.

132. Rudyak V. Ya. Classification principles of dispersed media // J. Aerosol Sci. — 1996. — Vol. 27. Suppl. 1. — P. S271-S272.

133. Rudyak V. Ya., Belkin A. A. Statistical hydromechanics of multiphase systems // J. Aerosol Sci. — 1995. — Vol. 25. Suppl. 1. — P. S19.

134. Rudyak V. Ya., Belkin A. A., Kharlamov G. V. Numerical simulation of transport processes in suspensions and gas suspensions: Proc. Int. Conf. on Method Aerophysical Research. Pt. III. — Novosibirsk: Inst. Theor. Applied Mech, 1998. — P. 235-240.

135. Rudyak V. Ya., Gladkov M. Kinetic equations of gas suspension // J. Aerosol Sci. — 1993. — Vol. 24. Suppl. 1. — P. 517-518.

136. Rudyak V. Ya., Kharlamov G. V., Belkin A. A. Molecular dynamics simulation of nanoparticle diffusion in gases and liquids // J. Aerosol Sci. — 2000. — Vol. 31. Suppl. 1. — P. 432-433.

137. Rudyak V. Ya., Krasnolutskii S. L. The interaction potential of dispersed particles with carrier gas molecules: Proceedings of the 21st international symposium on Rarefied Gas Dynamics. Vol. 1. — Toulouse: Cepadues-Editions, 1999. P. 263-270.

138. Rudyak V., Kharlamov G., Belkin A., Krasnolutskii S., Dubrovin A. Diffusion of nanoparticles in fluids. International conference Physics of Liquid Matter: Modern problems. Abstracts. — Kiev, 2001. — P. 2-18.

139. Rudyak V. Ya., Krasnolutskii S. L. Diffusion of ultrafine aerosol particles in rarefied gases. 6th International Aerosol Conference. Book of abstracts. Vol. 1. — Taipei, Taiwan: Chinese Aerosol Association, 2002. — P. 453454.

140. Rudyak V. Ya., Krasnolutskii S. L. Simulation of nanoparticles diffusion in rarefied gas. V international congress of mathematical modelling. Book of abstracts. Vol. 1. — Dubna: JINR, 2002. — P. 211.

141. Rudyak V. Ya., Krasnolutskii S. L. The calculation and measurements of nanoparticles diffusion coefficient in rarefied gases //J. Aerosol Science. — 2003. — Vol. 34. Suppl. 1. — P. 579-580.

142. Rudyak V. Ya., Krasnolutskii S. L. Kinetic theory of nanoparticles diffusion in rarefied gases. 24th international symposium on Rarefied Gas Dynamics. Symposium program and abstracts. — Bari. — 2004. — P. 26.

143. Rudyak V. Ya., Krasnolutskii S. L. Effective coefficient of rarefied gas suspensions containing nanoparticles. 24th international symposium on Rarefied Gas Dynamics. Symposium program and abstracts. — Bari. — 2004. — R 41.

144. Rudyak V. Ya., Krasnolutskii S. L. Diffusion of nanoparticles in gases and liquids: Proceedings of the 1st International Conference on Diffusion in Solids and Liquids. Vol. II. — Portugal, Aveiro, 2005. — P. 623-628.

145. Standard J. M., Certain P. R. Long range interaction in S-state atoms // J. Chem. Phys. — 1985. — Vol. 83. No. 6. — P. 3004-3006.

146. Tang К. Т., Norbeck J. M., Certain P. R. Hydrogen, noble gas, and alkali atom interactions // J. Chem. Phys. — 1976. — Vol. 64. No. 7. — P. 3063-3069.

147. Tominaga Т., Tenma S., Watanabe H. Diffusion of cyclohexane and cyclopentane derivatives in some polar and non-polar solvents // J. Chem. Soc. Faraday Trans. — 1996. — Vol. 92. No. 11. — P. 1863-1867.

148. Wiedensohler A. An approximation of the bipolar charge distribution for particles in the submicron size range // J. Aerosol Science. — 1988. — Vol. 19. No. 3. — P. 387-389.

149. Winklmayr W., Reischl G. P., binder A. O., Berner A. A new electromobility spectrometer for the measurement of aerosol sizedistributions in the size range from 1 to 1000 nm //J. Aerosol Science.1991. — Vol. 22. — P. 289-296.

150. Zhang S. H., Gao Y., Zhu J. W., Gu G. X. Evaporation and interfacial phenomena of a single aerosol microdroplet //J. Chem. Ind. Eng. (China).1992. — Vol. 43(5). — P. 592-598.