Статистическое описание процессов переноса в дисперсных средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

3 ведение *

L Уравнения многожидкостной гидродинамики

1.1 Статистическое описание диссипативных процессов.

1.2 Гидромеханика системы бесструктурных молекул.

1.2.1 Динамическое и макроскопическое описания среды

1.2.2 Квазиравновесная функция распределения.

1.2.3 Неравновесная функция распределения.

1.2.4 Обобщенные определяющие соотношения.

1.2.5 Коэффициенты переноса.

1.3 Применение метода к более сложным моделям.

1.3.1 Системы частиц с внутренними вращениями.

1.3.2 Описание сильно неравновесных процессов.

1.3.3 Сравнение с известными результатами.

Равновесные свойства дисперсной системы

2.1 Описание метода молекулярной динамики

2.2 Расчет равновесных характеристик плотного газа и жидкости

2.2.1 Критерии достижения равновесного состояния

2.2.2 Расчет автокорреляционной функции скорости

2.2.3 Давление.

2.2.4 Парная функция распределения.

2.3 Фазовый переход в дисперсной системе.

Моделирование диффузии наночастиц и макромолекул

3.1 Диффузия крупной молекулы в плотном и умеренно плотном

3.1.1 Методика расчетов

3.1.2 Эволюция автокорреляционной функции скорости наночастицы.

3.1.3 Коэффициент диффузии наночастиц и крупных молекул

3.2 Численное моделирование диффузии бензола и фреона-12 в водороде при больших давлениях.

3.2.1 Расчет масс и диаметров молекул.

3.2.2 Определение размеров ячейки.

3.2.3 Результаты расчетов.

3.3 Оценка точности результатов.

Проблема вывода уравнений гидродинамики различных моделей дис-зерсных сред является на сегодняшний день чрезвычайно актуальной. Та-ше среды широко распространены в природе и используются в технических 1риложениях. В сущности, чистые газы и жидкости являются простыми моделями, не способными описать широкого круга физико-химических провесов в реальных системах. Целый ряд исследовательских и практических ;адач требует знания транспортных характеристик многокомпонентных ве-цеств. Здесь можно упомянуть моделирование течений в атмосфере и океане, проектирование турбин и двигателей, расчет летательных аппаратов, :имических реакторов. Ясно, что этот перечень очень широк и постоянно юполняется задачами научно-технической поддержки новейших техноло-ий. В то же время систематизированная теория транспортных процессов многокомпонентных средах пока не построена. Построение адекватных годёлей описания подобных систем поэтому является очень важной зада-ей.

Гетерогенные системы являются средами со сложной внутренней струк-урой. Поэтому трудно надеяться, что в рамках какой-либо одной моде-и удастся описать все разнообразие явлений, происходящих в них. При ^строении теорий процессов переноса в первую очередь должен ставить-I вопрос о соответствии полученных результатов вполне определенному пассу многофазных систем. Очевидна необходимость классификации та-ах; систем. Различные классификации были предложены, например, в ра->тах С. Coy [57], Р.И. Нигматулина [31], В.Я. Рудяка [36]. В последней t этих работ использовано несколько определяющих признаков: агрегат->е состояние, соотношение внутренних структурных размеров, плотность дисперсной среды. В частности, для газовзвесей (а) и суспензий (Ь), исходя из размера дисперсных частиц, выделены следующие основные типы

• ультрадисперсные ар > ay, М >> т (а, Ь)

• мелкодисперсные ар ~ Tjg ~ уё/Л/ (a), оу «С crp <С r/i ~ \fojLh (Ь)

• среднедисперсные ср < Xf (а), сгр ~ г// ~ \J&fLh (Ь)

• крупнодисперсные Л/ < сгр < Lh (a), rf! < ар Lh (b)

Здесь введены следующие величины: m, оу, М, ар — массы и диаметры молекулы несущей фазы и дисперсной частицы соответственно, Л/, \р — длины свободного пробега молекул и частиц, г// — бесконеч-ю малый кинетический масштаб несущего газа и гидродинамический — сесущей жидкости соответственно, rif — объемная концентрация молекул :есущей фазы, е/ = n/crj — ее вириальный параметр, Lh — характерный инейный размер системы. Приведенная выше классификации предназна-ена прежде всего для выделения категорий сред, описываемых в рамках цинаковых моделей.

Гидродинамическое описание в гетерогенных системах существенно ус-эжняется по сравнению с гомогенной средой. С увеличением масс и раз-еров дисперсных частиц увеличивается и разница в характерных параме-рах компонентов системы. В достаточно быстрых релаксационных провесах реализуется ситуация, когда каждый компонент обладает собственен локальными температурой и гидродинамической скоростью. Такой аогожидкостный режим течения является типичным и требует вывода ответствующих уравнений гидродинамики. Кроме того, в дисперсных >едах становится принципиальным учет вращательных степеней свобо-.1 частиц. Нелокальность и запаздывание взаимодействий также могут риводить к важным поправкам в уравнениях.

Вывод уравнений гидродинамики, учитывающих специфику многофаз-[ых сред, проводится несколькими методами. Прежде всего необходимо тметить феноменологические методы, основанные на механике сплошных ред [6,7,31,63,83,84,102,120]. При феноменологическом описании гидроди-:амического режима течения гетерогенной среды обычно исходят из кон-^пции многожидкостного континуума с взаимопроникающим движением омпонентов. Впервые наиболее ясно эта концепция была сформулирована ^.А. Рахматулиным [34] и состоит в том, что состояние каждого компо-ента гетерогенной смеси можно описать парциальными плотностью, ско-остью и энергией, и все они заполняют один и тот же объем. Хотя к насто-щему времени удалось построить модели для довольно широкого класса исперсных сред, тем не менее точно определить границы их применимости е удается. Феноменологические принципы замыкания уравнений гидро-инамики также вызывают определенные вопросы. Определяющие соотнесения для тензора напряжений и других характеристик получены только линейном по термодинамическим силам приближении. Нет каких-либо етодик расчета пульсационных напряжений, возникающих при использо-шии методов пространственного или временного осреднения. Кроме того, ^достатком феноменологической теории является невозможность вычисле-1Я коэффициентов переноса и межфазного обмена. Для решения этих про-гем необходимо рассмотреть молекулярные свойства газа или жидкости.

Первые шаги в создании неравновесной молекулярно-кинетической теош газов были сделаны J1. Больцманом [78], который получил знаменитое авнение для одночастичной функции распределения, носящее его имя. шытки решения уравнения Больцмана были успешно завершены С. Hens'

Ном и Д. Энскогом [66,79,88], которые вывели уравнения Навье-Стокса

I 6 а получили выражения для коэффициентов переноса. Тем самым была з основном построена кинетическая теория разреженных газов, результаты которой блестяще подтверждены экспериментально. Более современнее методы решения уравнения Больцмана предложены позднее в работах Л Трэда [97] (моментный метод), П. Резибуа [35] (метод гидродинамических мод).

К сожалению, ситуация с экспериментальной проверкой усложняется t случае смесей газов. Некоторые коэффициенты переноса оказываются грудноизмеримыми. Непросто определить параметры потенциала взаимо-[ействия молекул разных сортов. Что касается гетерогенных сред, то в [х кинетике происходят качественные изменения и кинетические уравне-:ия удается построить лишь для ультра- и мелкодисперсных газовзвесей 12,38]. При этом уравнение больцмановского типа будет адекватно описы-ать лишь системы с разреженным несущим компонентом (е^3 <С 1) [53]. ! других случаях становится несправедливым приближение парного взаи-хщействия для частицы. Тем не менее для газовых смесей и ультрадис-ерсных разреженных газовзвесей кинетическая теория применялась неод-ократно, в том числе для описания двухжидкостного режима. Кинетиче-ше уравнения решались с помощью вариантов метода Чепмена-Энскога ',10,58,96], Трэда [25], рассматривались процессы химических превраще-ий„[20]. Для газовзвесей с высокой плотностью несущего газа кинетическое шсание оказывается невозможным, для других сред строгая кинетическая зория только строится [11,12,37,38,112].

Проблемы, возникающие при феноменологическом и кинетическом опи-лиях транспортных процессов в дисперсных средах, заставляют искать гьтернативную методику исследования. Можно сформулировать предъ-1ляемые к ней основные требования. Во-первых, получаемые уравнения гидродинамики должны быть замкнутыми. Во-вторых, такая методика юлжна давать принципиальную возможность расчета коэффициентов пе->еноса. В-третьих, она дожна быть максимально более общей, применимой для систем с различной плотностью и различными микроскопическими свойствами. Этим требованиям удовлетворяют методы неравновесной татистической механики. Они позволяют получить уравнения гидродина-шки из первых принципов, то есть из решения динамических уравнений.

Теоретические основы этого направления были заложены в классиче-кой работе Н.Н. Боголюбова [5]. В частности, в ней была высказана ги-:отеза о сокращении уровня описания системы в ходе ее эволюции. Для ■ого, чтобы охарактеризовать iV-частичную систему, приведенную в неравновесное состояние, в общем случае необходимо знать полную функцию аспределения F^. Затем молекулы приобретают определенное сходство по свойствам одной из них можно получать информацию о состоянии сего газа, которое теперь описывается кинетическим уравнением. Харак-ерным временем релаксации здесь является время взаимодействия между :олекулами. Далее число параметров, необходимых для полного описа-ия системы, еще более сокращается. Например, для чистого газа пара-етрами являются только пять первых моментов функции распределения, аз при этом остается в неравновесном состоянии, так как они зависят от ространственной координаты и времени. Этот этап развития системы ютветсвует гидродинамическому уровню ее описания, именно на нем ставится возможным в ябном виде построить функцию распределения F^ и сражения для коэффициентов переноса. В жидкости кинетический этап юлюции отсутствует и гидродинамический режим течения устанавливала очень быстро.

Первые строгие результаты методами статистической механики были золучены Р. Кубо. Он построил теорию линейного отклика на механиче-жие возмущения, то есть те, которые можно описать добавками в гамильтониан системы. Им было показано, что ток в системе заряженных частиц i линейном приближении пропорционален электрическому полю, причем соэффициент пропорциональности зависит от равновесных молекулярных свойств системы, а именно от корреляционной функции тока [106]. Кую рассмотрел широкий класс механических возмущений и сформулировал |шуктуационно-диссипативную теорему, связывающую равновесные свой-:тва системы и ее восприимчивость внешним возмущениям. Формулы для юэффициентов переноса, выражающие эту связь, носят имена Грина и Ку-io, поскольку впервые их вид был получен в работах М. Грина [98-100].

Более трудной задачей оказалось определение реакции на термические озмущения, связанные с пространственной неоднородностью термодина-шческих полей. Однако и она была решена. В 1958 году X. Мори по-троил неравновесную функцию распределения, взяв в рамках линейной еории локально—равновесное состояние в качестве первого приближения 109]. Для термических коэффициентов переноса удалось получить фор-улы Грина — Кубо. Позднее результаты Мори были уточнены с помо-ц>ю других теорий, в частности методов "непотенциальных сил" (Д. Мак ^еннан, [108]) и неравновесного статистического оператора (Д.Н. Зубарев, .7]). Эти методы дают одинаковые результаты в предельных случаях и огут применяться в зависимости от удобства в решении конкретной зада-и.

Попытки вывода подобным образом уравнений многожидкостной гидро-йнамики сталкиваются с определенными трудностями. Единственной из-зстной автору работой в этой области является статья В.А. Савченко [55], ie использовался метод Зубарева [17]. В ней рассматривалась произвольтя. система I компонент частиц с потенциальным взаимодействием. Одна-со уравнения гидродинамики выведены только для эйлеровского прибли-кения, без учетов вязкости и теплопроводности. Кроме того, в [55] для юлучения неравновесной функции распределения использовалось предпо-южения о линейности относительно термодинамических сил и слабости 1ежкомпонентного взаимодействия. В дисперсной же среде взаимодействие >азных компонентов может не являться слабым.

Основной проблемой при использовании методов статистической меха-[ики является расчет коэффициентов переноса. Получающиеся выражения ;ля кинетических коэффициентов чрезвычайно общие, их вид одинаков для 1ирокого класса сред с различным внутренним строением, потенциалом заимодействия и другими характеристиками. С одной стороны, это без-словное достоинство. Однако явный расчет коэффициентов оказывается затруднителен, так как приходится решать N—частичную задачу опре-еления корреляционных функций системы. Точных аналитических выра-;ений для корреляций в дисперсных средах средней и высокой плотности ока не существует. Единственным способом расчета многих корреляцион-ых функций сегодня остается прямое численное моделирование, при кото-эм исследуется динамика системы моделей частиц, заполняющих ячейку гределенной формы. Даже ячейки с небольшим числом частиц (102 — 104) эзволяют расчитывать с хорошей точностью объемные свойства реаль-ых газов и жидкостей при правильном подборе параметров модели. Бы-:рый прогресс компьютерных технологий приводит к тому, что все более южные среды, в том числе гетерогенные, могут быть прототипами для пленного моделирования.

Численный расчет эволюции системы обладает рядом существенных >еимуществ: повторяемость, возможность точно задавать и менять в широких пределах параметры модели, доступ к полной информации о структуре среды на микроскопическом уровне. Многие простые численные модели, например газ твердых сфер, являются единственным экспериментальным инструментом не только для проверки, но и для развития различных теоретических предпосылок. Так, степенное поведение длинноволновых частей корреляционных функций впервые было обнаружено в численных экспериментах Б. Олдера и Т. Вайнрайта [70], и лишь затем обосновано теоретически [89,90]. Группа Олдера также впервые рассчитала коэффициенты тереноса чистого газа твердых сфер методом молекулярной динамики [71и\.

Численные расчеты моделей смесей газов и жидкостей затруднены тем, гго требуют большого числа частиц, а следовательно, и больших вычислительных мощностей. Тем не менее такие исследования ведутся. Так, груп-ia Д. Эрпенбека в 1993 году завершила расчеты характеристик модельных :истем твердых сфер разных плотностей, соответствующих по параметрам :меси Не — Хе [92-94]. Ими были получены и сравнены с энскоговской теорией плотных газов значения коэффициентов сдвиговой вязкости, те-шопроводности, термодиффузии. Следует заметить, что исследованные :инетические коэффициенты соответсвуют смесевому (односкоростному и >днотемпературному) режиму течения. Расчеты характеристик многожид-юстного режима пока нигде не проводились.

Практически совсем не моделировались системы с крупными и тяже-[ыми частицами, то есть аналоги гетерогенных систем. Численное ис-ледование эволюции моделей многих реальных дисперсных сред является :еоправданным, а иногда и просто невозможным. В то же время суще-твует категория таких сред, в которой прямое численное моделирование вляется единственным источником получения важной информации — это ультрадисперсные системы, дисперсным компонентом в которых являются наночастицы. Сегодня они привлекают внимание широкого круга исследователей в связи с перспективами использования в химической, электронной промышленности, для изготовления сверхэффективных катализаторов а других материалов с уникальными свойствами.

По своему размеру наночастицы занимают промежуточное положение нежду крупными молекулами и броуновскими частицами. Диффузия этих 1вух совершенно разных по размеру и свойствам физических объектов хорошо описывается теориями Энскога [66] и Эйнштейна-Ланжевена [29,68]. 3 отношении наносистем проверенных теоретических разработок на сего-щя нет. Часто их взаимодействие с несущей средой описывается законом Зтокса. Но диаметр наночастиц сопоставим с гидродинамическим беско-1ечно малым размером несущей среды, а часто и меньше этого размера. 3 этой ситуации нарушаются условия применимости любой гидродинами-геской модели, в том числе и стоксовой. Отклонения от закона Стокса-Эйнштейна наблюдались, в частности, в экспериментах по определению юэффициента молекулярной диффузии в жидкостях [80,81,95,119].

Приведенный выше обзор развития гидродинамики гетерогенных сред юзволяет сформулировать цель диссертационной работы. Это вывод из :ервых принципов уравнений многожидкостной гидродинамики гетероген-:ых сред, построение методики расчета транспортных свойств сред с плот-:ой и умеренно плотной несущей фазой, расчет и моделирование методом юлекулярной динамики диффузии наночастиц в плотных газах и жидко-гя£. Для реализации поставленной цели предполагалось решить следую-ще основные задачи:

• Вывод неравновесной функции распределения, соответствующей гидродинамическому уровню описания многожидкостного режима тече ния, а также определяющих соотношений

• Разработка и тестирование алгоритма и пакета программ для расчета методом молекулярной динамики характеристик гетерогенной системы

• Расчет с помощью полученных определяющих соотношений и пакета программ коэффициентов переноса бинарной дисперсной системы, сравнение с экспериментальными результатами

Полученные в ходе выполнения работы результаты являются новыми, ши опубликованы в работах [3,4,39-50,64,65,113-117] и докладывалась на следующих международных семинарах и конференциях: European Aerosol 3onf. (Dortmund, 1995; Prague, 1999; Dublin, 2000), 1st Int. Conf. on Nfonequilibrium Processes in Nozzles and Jets (Москва, 1996), Int. Conf. m Method Aerophysical Reseach (Новосибирск, 1998), 3-й, 4-й международное конгрессы по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, .998, 2000), 7-я международная конференция по устойчивости течений гомогенных и гетерогенных жидкостей (Новосибирск, 2000), международная :онференция "Сопряженные задачи механики и экологии" (Томск, 2000).

Работа состоит из трех глав, вступления, заключения и списка литера-УРЯ.

Первая глава посвящена выводу уравнений многожидкостной гидроди-:амики. Раздел 1.1 содержит описание используемого метода. В разделе .2 строится неравновесная функции распределения и выводятся выражения для коэффициентов переноса. В разделе 1.3 результаты обобщаются а системы с вращательными степенями свободы и с сильным различием идродинамических переменных компонентов.

Во второй главе описывается применение метода молекулярной динамики для расчета равновесных свойств системы твердых сфер. В разделе 2.1 приводится алгоритм метода. В 2.2 рассматриваются основные характеристики такой системы: автокорреляционная функция скорости, давление, парная конфигурационная функция. Проводится сравнение с известными результатами. Раздел 2.3 посвящен влиянию дисперсной частицы на фазовый переход жидкость — твердое тело.

В третьей главе изучаются диффузия наночастицы в плотном газе. В первом разделе изучается релаксация автокорреляционной функции скорости и коэффициент диффузии. В разделе 3.2 приводятся результаты численного моделирования диффузии бензола и фреона в водороде, производится сравнение с экспериментами. В 3.3 обсуждается точность расчетов.

В заключении приводится обсуждение результатов и перспектив дальнейшей деятельности.

1 Уравнения многожидкостной гидродинамики

Заключение

По результатам работы можно сформулировать следующие выводы:

1. Выведены замкнутые уравнения многожидкостной гидродинамики и выражения для коэффициентов переноса и межфазных сил через корреляционные функции потоков. Результат получен как для бесструктурных молекул, так и для несферических молекул с вращательными степенями свободы.

2. Разработана методика построения определяющих соотношений для описания сильно неравновесных процессов в дисперсных системах.

3. Для исследования динамических свойств газов и жидкостей разработан пакет программ, реализующий метод молекулярной динамики для бинарной системы твердых сфер.

4. Изучено влияние наночастиц на фазовый переход жидкость-твердое тело в системе твердых сфер. Показано, что наличие наночастицы приводит к увеличению давления фазового перехода. Получена зависимость численного значения этого увеличения от параметров системы.

5. Исследована эволюция автокорреляционной функции скорости фуу крупной частицы в плотной и умеренно плотной несущей среде. Впервые обнаружено, что ipvv описывается суммой двух экспонент с различными временами релаксации. Вклад в релаксацию скорости механизмов, соответствующих этим экспонентам, можно оценить с помощью полученного параметра, зависящего от массы, радиуса частицы и плотности среды. Для объяснения второго экспонециального участка фуг> предложен механизм взаимодействия частицы с микрофлуктуациями гидродинамических полей несущей среды.

6. Проведено сравнение коэффициентов диффузии, рассчитанных методом молекулярной динамики, с экспериментальными данными. Согласование результатов хорошее.

Обобщая эти результаты, можно сказать, что создана аналитическая I численная методика для исследования транспортных свойств гетероген-гых систем. При этом в случае бинарной смеси крупных молекул или на-ючастиц и плотного газа для этих свойств удается получить численные начения.

Автор благодарен за постоянную помощь в ходе совместной работы на-чному руководителю проф. Рудяку В.Я., а также доц. Харламову Г.В. за юлезные консультации.

1. Алфунин В.В. и др. Теплофизические свойства фреонов: справочные данные. М.: Стандарты. 1980. 264 с.

2. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. — М: Мир. 1978. Т. 2. 400 с.

3. Белкин А.А., Рудяк В.Я., Харламов Г.В. Моделирование процессов переноса в гетерогенной системе методом молекулярной динамики. Тезисы 3-го сибирского конгресса по индустриальной и прикладной математике — Новосибирск: ИМ. 1998. Часть III. С. 84-85.

4. Белкин А.А. Статистическая гидромеханика гетерогенных сред. Тезисы международной конференции "Сопряженные задачи механики и экологии". — Томск: ТГУ. 2000. С. 32.

5. Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. — Москва. 1946. 119 с.

6. Буевич Ю.А., Марков В.Г. Континуальная механика монодисперсных суспензий. Интегральные и дифференциальные законы сохранения. ПММ. 1973. Т. 35. Вып. 5. С. 882-894.

7. Бусройд Р. Течение газа со взвешенными частицами. — М.: Мир. 1975. 378 с.

8. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам-газов и жидкостей. М.: 1963. 708 с.

9. Галкин B.C., Коган М.Н., Макашев Н.К. Обобщенный метод Чепмена-Энскога. Ч. 2. Уч. зап. ЦАГИ. 1975. Т. 6. N 1. С. 15-27.

10. Галкин B.C., Макашев Н.К. Условия применимости и молекулярно-кинетический вывод уравнений многотемпературной многоскоростной газодинамики. ЖВММФ. 1983. Т. 23. N 6. С. 1443-1453.

11. И. Гладков М.Ю., Рудяк В.Я. Кинетические уравнения мелкодисперсной разреженной газовзвеси. Изв. РАН, МЖГ. 1994. N 2. С. 165-171.

12. Гладков М.Ю., Рудяк В.Я. Кинетические уравнения мелкодисперсной газовзвеси. ЖТФ. 1994. Т. 64. Вып. 4. С. 170-174.

13. Горбачев Ю.Е. О многоскоростных моделях в теории гетерогенных сред. Изв. АН СССР, МЖГ. 1991, N 3. С. 54-60.

14. Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. — М.: Мир. 1964. 456 с.

15. Зельдович Я.В., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. — М.: Наука. 1966. 688 с.

16. Зубарев Д.Н. Процессы переноса в системах частиц с внутренними степенями свободы. ДАН СССР (Физика). 1965. Т.162. С.794-797.

17. Зубарев Д.Н. Неравновесная статистическая термодинамика. — М.: , Наука. 1971. 415 с.

18. Каландаров Ю.Н. Исследование диффузии паров жидкостей в сжатые газы. Автореферат дисс. . канд. физ.-мат. наук. — М. 1973. 16 с.

19. Киселев С.П., Руев Г.А., Трунев А.П., Фомин В.М., Шавалиев М.Ш. Ударно-волновые процессы в двухкомпоненнтных и двухфазных средах. — Новосибирск: Наука. 1992. 260 с.

20. Колесниченко Е.Г. О методах вывода гидродинамических уравнений для сложных систем. Изв. АН СССР, МЖГ. 1981, N 3. С. 96-105.

21. Корнефельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. — М.: Наука. 1980. 382 с.

22. Крокстон К. Физика жидкого состояния. — М.: Мир. 1978. 400 е.

23. Куни Ф.М. Статистическая физика и термодинамика. — М.: Наука.- 1981. 351 с.

24. Курлапов Л.И., Мусонов К.К., Юдаков В.А. Коэффициенты диффузии фреона-12 в водород и аргон при повышенных давлениях. Теплофизи-ческие свойства веществ и материалов. М. 1989. Вып. 28. С. 107-111.

25. Курочкин В.И., Маркеев Б.М. К вопросу об уравнениях переноса для многожидкостной газовой смеси. ЖТФ. 1979. Т. 49. Вып. 8. С. 17721774.

26. Кэй Дж., Лэби Т. Таблицы физических и химических постоянных. — М.: Мир. 1962. 248 с.

27. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. — М.: 1965. 204 с.

28. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. — М.: Наука. 1989. 768 с.

29. Ланжевен П. О теории броуновского движения. Избранные труды. — М.: АН СССР. 1960. С. 338-341.

30. Ю. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. -•■- М.: Наука. 1978. 336 с.

31. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 1. — М.: Паука. 1987. 464 с.

32. Павлоцкий И.П. О некоторых свойствах неконсервативных систем классической статистической механики. ДАН СССР. 1968. Т.182. N4. С. 799-802.

33. Покровский JI.A. Необратимые процессы в системе с внутренними вращениями. ДАН СССР (Физика). 1967. Т.177. N 5. С.1054-1057.

34. Рахматулин Х.А. Основы гидродинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред. ПММ. 1956. Т. 20. Вып. 2. С. 184-195.

35. Резибуа П., Де Ленер М. Классическая кинетическая теория жидкостейи газов. — М. Мир. 1980. 423 с.

36. Рудяк В.Я. Статистическая механика гетерогенных сред. IV. Принципы классификации. — Новосибирск. 1995. 19 с.( Препринт НГАС; N 3(8)-95 ).

37. Рудяк В.Я. Кинетическое описание разреженной мелкодисперсной газовзвеси. Письма В ЖТФ. 1992. Т. 18. Вып. 2. С. 77-80.

38. Рудяк В.Я., Ершов И.В. Статистическая механика гетерогенных сред. II. Кинетические уравнения броуновских частиц. — Новосибирск. 1994. 30 с. ( Препринт НГАС; N 3(5)-94 ).

39. Рудяк В.Я., Белкин А.А. Статистическая механика гетерогенных сред. III. Уравнения многожидкостной гидродинамики. — Новосибирск. 1995. 31 с. ( Препринт НГАС; N 2(7)-95 ).

40. Рудяк В.Я., Белкин А.А. Уравнения многожидкостной гидродинамики. Мат. моделирование. 1996. Т. 8. N 6. С. 33-37.

41. Рудяк В.Я., Харламов Г.В., Белкин А.А. Прямое численное моделирование процессов переноса в гетерогенных средах. I. — Новосибирск. 1998. 38 с. ( Препринт НГАСУ; N 2(12)-98 ).

42. Рудяк В.Я., Белкин А.А. Фазовый переход жидкость-твердое тело в гетерогенной системе твердых сфер. ЖЭТФ. 1999. Т. 116. Вып. 5(11). С. 2006-2011.

43. Рудяк В.Я., Харламов Г.В., Белкин А.А. Численное моделирование диффузии дисперсных частиц в газовзвесях и суспензиях. Тезисы 7-й международной конференции по устойчивости течений гомогенных и гетерогенных жидкостей — Новосибирск: НГАСУ. 2000. С. 46-49.

44. Рудяк В.Я., Харламов Г.В., Белкин А.А. Моделирование диффузии в гетерогенных жидкостях методом молекулярной динамики. Тезисы 4-го сибирского конгресса по индустриальной и прикладной математике. — Новосибирск: 2000. Часть IV. С. 95-96.

45. Рудяк В.Я., Харламов Г.В., Белкин А.А. Автокорреляционная функция скорости наночастицы в молекулярной системе твердых сфер. Письма в ЖТФ. 2000. Т. 26. N 13. С. 29-36.

46. Рудяк В.Я.5 Белкин А.А. Статистическая механика гетерогенных сред. ' VI. Уравнения многожидкостной гидродинамики для систем частиц свращательными степенями свободы. — Новосибирск. 2000. 35 с. (Препринт НГАСУ; N 2(15)-2000 ).

47. Рудяк В.Я., Харламов Г.В., Белкин А.А. Диффузия наночастиц и макромолекул в плотных газах и жидкостях. Теплофизика высоких температур. 2000. Т. . N . С. .

48. Рудяк В.Я., Белкин А.А. Статистическая гидромеханика гетерогенных сред с вращательными степенями свободы. Избранные доклады международной конференции "Сопряженные задачи механики и экологии".1. Томск: ТГУ. 2000.

49. Рудяк В.Я. Статистическая теория диссипативных процессов в газах и жидкостях.— Новосибирск: Наука, 1987, 272 с.

50. Рудяк В.Я. Нелокальное решение уравнения Больцмана. ЖТФ. 1995. Т. 65. N 11. С. 29-40.

51. Рудяк В.Я. Модели механики сплошной среды: состояние и развитие.

52. Новосибирск. 1998. 28 с. ( Препринт НГАСУ; N 1(11)-98).

53. Сорокин B.C. О внутреннем трении жидкостей и газов, обладающих скрытым моментом импульса. ЖЭТФ. 1943. Т.13. Вып. 7-8. С. 306 -314.

54. Coy С. Гидродинамика многофазных систем. — М.: Мир. 1975. 536 с.

55. Струминский В.В. Влияние диффузионной скорости на течение газовых смесей. ПММ. 1974. Т. 38. Вып. 2. С. 203-210.

56. Ступоченко Е.В., Лосев С.А., Осипов А.И. Релаксационные процессы в ударных волнах. — М.: Наука. 1965. 484 с.

57. Таблицы и диаграммы термодинамических свойств фреонов 12, 13, 22. — М.: 1971. 99 с.

58. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. — М.: Мир. 1976. 554 с.

59. Фишер И.З. Гидродинамическая асимптотика автокорреляционной функции скорости молекулы в классической жидкости. ЖЭТФ. 1971. Т. 61. N 4. С. 1647-1659.

60. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. — М.: Мир. 1976. 630 с.

61. Харламов Г.В., Рудяк В.Я., Белкин А.А. Расчеты коэффициента диффузии твердых частиц в суспензиях и газовзвесях методом молекулярной динамики. "Аэрозоли Сибири". Тезисы докладов. — Томск: ИОА СО РАН. 1999. С. 23.

62. Харламов Г.В., Белкин А.А. Прямое численное моделирование процессов диффузии в плотных газах, жидкостях и гетерогенных средах. Тезисы международной конференции "Сопряженные задачи механики и экологии". — Томск: ТГУ. 2000. С. 206.

63. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. — М.: Иностранная Литература, I960, 510 с.7.' Шлиомис М.И. К гидродинамике жидкости с внутренним вращением. ЖЭТФ, 1966. Т.51. Вып. 1(7). С. 258-265.

64. Эйнштейн А. О движении взвешенных в покоящейся жидкости частиц, требуемом молекулярно-кинетической теорией теплоты. Собрание научных трудов. Т. III. — М.: Наука. 1966. С. 108-117.

65. Эйнштейн А. К теории броуновского движения. Собрание научных трудов. Т. III. — М.: Наука. 1966. С. 118-127.

66. Alder B.J., Wainwright Т. Phys.Rev.Lett. 1967. V. 18. Р. 988.

67. Alder В.J., Wainwright Т.Е. Studies in molecular dynamics. I. General method. J. Chem. Phys. 1959. V. 31. N 2. P. 459-466.

68. Alder B.J., Wainwright T. Studies in Molecular Dynamics. II. Journ. Chem. Phys. 1960. Vol. 31. P.459.

69. Alder B.J., Wainwright Т.Е. Velocity autocorrelations for hard spheres. Phys.Rev.Lett. 1967. V. 18. N 23. P. 988-990.

70. Alder B.J., Gass D.M., Wainwright Т.Е. Studies in molecular dynamics. VIII. The transport coefficients for a hard-spheres fluid. J. Chem. Phys. „1970, V. 53, N 10, P. 3813-3826.

71. Alder В.J., Wainwright Т.Е. Phase transition for a hard sphere system. J.Chem.Phys. 1957. V. 27. P. 1208-1209.

72. Alder B.J., Alley W.E., Dymond J.H. Studies in molecular dynamics. XIV. Mass and size dependence of the binary diffusion coefficient. J. Chem. Phys. 1974. V. 61. N 4. P. 1415-1420.

73. Alder B.J., Wainwright Т.Е. Decay of the Velocity Autocorrelation Function. Phys. Rev. 1970, V. 1A. N 1. P. 18-21.

74. Boltzmann L. Vorlesungen uber gastheorie. — Leipzig. 1896.

75. Chapman S. On the low of distribution of molecular velocities and of the theory of viscosity and thermal conductivity. Phil. Trans. Roy. Soc. Ser. A. 1916. V.216. P. 215-283.

76. Chen S.H., Davis H.T., Evans D.F. Tracer diffusion in polyatomic liquids.1.. J. Chem. Phys. 1981. V. 75. N 3. P. 1422-1426.

77. Chen S.H., Davis H.T., Evans D.F. Tracer diffusion in polyatomic liquids.

78. I. J. Chem. Phys. 1982. V. 77. N 5. P. 2540-2544.

79. Dorfman J.R., Cohen E.G.D. Velocity-correlation functions in two and three dimentions: low density. Phys. Rev. 1972. V. 6 A. N 2. P. 776-790.

80. S3. Drew D.A. Averaged field equations for two-phase media. Studies in Appl. Math. 1971. V. 1. N 3. P. 133-166.$4. Drew D.A, Segel L.A. Averaged field equations for two-phase flows. Studies in Appl. Math. 1971. V. 1. N 3. P. 205-231.

81. Drew D.A. Two-phase flows: Constitutive equations for lift and Brownian motion and some basic flows. Arch. Rat. Mech. and Analyses. 1976. V. 62. N 2. P. 149-163.

82. Easteal A.J., Woolf G.A. Tracer diffusion in hard-sphere liquids from molecular dynamics simulation. Chem. Phys. Lett. 1990. V. 167. N 4. P. 329-333.

83. Ehrenfest P., Ehrenfest T. Begrifflinge Grundlagen der stastistishe Auffasung in der Mechanik. Enzyklpop. der Math. Wiss. 1911. Teilband 4. S.213-302.

84. Enscog D. Kinetishe Theorie der Vorgange in massig verdunnten Gases.: Dissertation — Upsala. 1917.

85. Ernst M.H., Hauge E.H., van Leeuwen J.M. Asimptotic time behavior of correlation function. Phys. Review. Lett. 1970. V. 25. P. 1254.

86. Ernst M.H., Hauge E.H., van Leeuwen J.M.J. Asymptotic time behavior . of correlation functions. I. Kinetic terms. Phys. Rev. A. 1971. V. 4. P.2055-2065.

87. Erpenbeck J.J., Wood W.W. Molecular dynamics techniques for hard-core system. Modern Theoretical Chemistry. V. 6. Pt. B. Ed. Berne B.J. — N.Y.: Plenum Press. 1977. P. 1-40.

88. Э2. Erpenbeck J.J. Transport coefficients of hard-sphere mixtures. Theory and Monte-Carlo molecular-dynamics calculations for an isotopic mixture. Phys.Rev. A. 1989. V. 39. N 9. P. 4719-4731.

89. Erpenbeck J.J. Transport coefficients of hard-sphere mixtures. 2. Diameter ratio 0.4 and mass-ratio 0.03 at low-dencity. Phys.Rev. A. 1992. V. 45. N 4. P. 2298-2307.

90. Erpenbeck J.J. Transport coefficients of hard-sphere mixtures. 3. Diameter ratio 0.4 and mass-ratio 0.03 at high fluid dencity. Phys.Rev. E. 1993. V. 48. N 1. P. 223-232.

91. PEvans D.F., Tominaga Т., Davis H.T. Tracer diffusion in polyatomic liquids J. Chem. Phys. 1981. V. 74. N 2. P. 1298-1306.

92. Fernandez de la Mora J., Fernandez—Feria R. Kinetic theory of binary gas with large mass disparity. Phys. Fluids. 1987. V. 30. N 3. P. 740-751.

93. Grad H. On the kinetic theory of gases. Commun. Pure Appl. Math. 1949. V. 2. P. 311.

94. Green M.S. Brownian motion in a gas of noninteracting molecules J. Chem. ' > Phys. 1951. V. 19. P. 1036-1046.

95. Green M.S. Markoff random processes and the statistical mechanics of time-dependent phenomena. J. Chem. Phys. 1952. V. 20. P. 1281-1295.

96. Green M.S. Markoff random processes and the statistical mechanics of time-dependent phenomena. II. Irreversible processes in fluids. J. Chem. Phys. 1954. V. 22. P. 398-413.

97. Herman P.T., Alder B.J. Studies in molecular dynamics. XI. Correlation function of a hard-sphere test particle. J. Chem. Phys. 1972. V. 56. N. P. 987-991.

98. Hinch E.J., Leal L.G. An average-equation approach to particle interactions in a fluid suspension. J. Fluid Mech. 1977. V.83. Pt. 4. P. 695-720.

99. Immich H. Impulsive motion f a suspension: effectof antisymmetric stresses and particle rotation. Int. J. Multiphase Flow. V. 6. P. 441-471.

100. Ishii M. Thermo-fluid dynamics theory of two-phase flow. Paris: Eyrolles. 1975.

101. Kirkwood. J.G. Statistical-mechanical theory of transport processes. J. Chem. Phys. 1947. V. 15. N. 1. P. 72-76.

102. Kubo R. Statistical-mechanical theory of irreversible processes. J. Phys. Soc. Japan. 1957. V. 12. P. 570.

103. Mansoori G.A., Carnahan N.F., Starling K.E., Leland T.W. Equilibrium thermodynamic properties of the mixture of hard spheres. J. Chem. Phys. 1971. V. 54. N 4. P. 1523-1525.

104. McLennan J.A. Statistical mechanics of transport in fluids. Phys. Fluids. 1960. V. 3. N , P. 493-502.

105. Mori H. Statistical mechanical theory of transport in fluids. Phys. Review. 1958. V. 112. P. 1829-1842.

106. O'Dell J., Berne B.J. Molecular dynamics of the rough sphere fluid. Rotational relaxation. J. Chem. Phys. 1975. V. 63. N 6. P. 2376-2394.

107. Perin M.J. Browmian movement and molecular reality. — London. 1897. 191 p.

108. Rudyak V.Ya., Gladkov M. Kinetic equations of gas suspension. J.Aerosol Sci. 1993. V. 24. Suppl. 1. P. 517-518.

109. Rudyak V.Ya., Belkin A.A. Statistical hydromechanics of multiphase systems. J.Aerosol Sci. 1995. V. 25. Suppl. 1. P. S19.

110. Rudyak V.Ya., Belkin A.A. Generalized hydrodynamic equations of multiphase systems.— 1st Int. Conf. on Nonequilibrium Processes in Nozzles and Jets. — Moscow: MAI. 1995. Collected abstracts. P.122-123.

111. Rudyak V.Ya., Belkin A.A., Kharlamov G.V. Numerical simulation of transport processes in suspensions and gas suspensions. Proc. Int. Conf. on Method Aerophysical Reseach. — Novosibirsk: Inst. Theor. Applied Mech. 1998. Pt. III. P. 235-240.

112. Rudyak V.Ya., Belkin A.A. Small dispersed particle influence on liquid-solid phase transition. J. Aerosol Sci. 1999. V. 30. Suppl. 1. P. S757-759.

113. Rudyak V.Ya., Kharlamov G.V., Belkin A.A. Molecular dynamics 1 simulation of nanoparticle diffusion in gases and liquids. J.Aerosol Sci.2000. V. 31. Suppl. 1. P. 432-433.

114. Subramanian G., Lewitt D., Davis H. Computer studies of the onset of Brownian motion in a hard sphere fluid. J. Chem. Phys. 1974. V. 60. N 2. P. 591-594.

115. Tominaga Т., Tenma S., Watanabe H. Diffusion of cyclohexane and cyclopentane derivatives in some polar and non-polar solvents J. Chem. Soc. Faraday Trans. 1996. V. 92. N 11. P. 1863-1867.

116. Waess O.A., Garcia—Colin L.S. Hydrodynamic description of suspensions of Brownian particles. J. Chem. Phys. 1990. V. 92. N 5. P. 3086-3091.

117. Zwanzig R. Ensemble method in the theory of irreversibility. J.Chem.Phys. 1960. V. 33. N 5. P. 1338-1341.

118. Zwanzig R., Bixon M. Hydrodynamic theory of the velocity correlation function. Phys. Rev. 1970. V. 2 A. N 5. P. 2005-2012.