Линейная устойчивость сдвиговых течений дисперсной жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Б орд Евгений Григорьевич

Линейная устойчивость сдвиговых течений дисперсной жидкости.

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор В.Я. Рудяк

Новосибирск — 1998

Содержание

Введение 3

1 Модели и методы решения задач устойчивости течений дисперсной жидкости 15

1.1 Устойчивость течений однофазной жидкости..................16

1.2 Уравнения движения дисперсных жидкостей..................29

1.3 Уравнения линейной теории устойчивости течений дисперсных жидкостей......................................................49

1.4 Устойчивость течения Пуазейля дисперсной жидкости. ... 59

2 Устойчивость течений в струе и следе 62

2.1 Численные методы решения задачи устойчивости..............64

2.2 Однородное распределение частиц................................78

2.3 Неоднородное распределение частиц..............85

3 Устойчивость плоского течения Куэтта 94

3.1 Однородное распределение частиц ............... 94

3.2 Неоднородное распределение частиц.............. 96

4 Трехмерные возмущения 112

4.1 Преобразование Сквайра.....................113

4.2 Численные иллюстрации. Течение Куэтта . .........114

4.3 Численные иллюстрации. Течение Пуазейля.........117

4.4 Влияние на устойчивость различных течений характеристик дисперсной фазы.......................127

Введение

Моделирование устойчивости течений в большинстве известных в настоящее время работ, основано на представлениях о жидкости, как об однородном континууме. В то же время характерной физической ситуацией является смесь различных фаз. Исследование свойств устойчивости таких многофазных течений актуально, по крайней мере, в двух ситуациях, связанных с решением технических проблем. Во-первых, поведение многофазных сред представляет интерес в тех случаях, когда такие среды являются объектом транспортировки — как в технологических, так и в естественных условиях. Безусловно важными для исследования представляются такие явления, как перенос примесей с водными и воздушными потоками, процессы переноса массы и тепла при сезонном таянии снега, распространение выбросов технологических процессов как при регулярном поведении, так и в аварийных ситуациях. К этому же кругу задач относятся такие проблемы, как движение микроорганизмов в естественных потоках, движение клеток биологического происхождения в организме человека и высших животных. Во всех этих ситуациях необходимо предсказание турбулентных режимов течения, которые могут вызываться, в числе прочих причин, взаимодействием различных фаз среды.

С другой стороны, в настоящее время интенсивно развиваются технологии фильтрации и регенерации материалов, присутствующих в многофазных средах. Использование таких технологий необходимо как для создания экологически безопасной среды обитания, так и для выделения необходимых элементов, присутствующих в среде в виде фазы с низкой

концентрацией. В качестве одного из методов фильтрации и сегрегации неоднородной среды используется искусственная турбулизация, в этом случае представляет интерес создание условий, при которых скорости разных фаз могли бы быть существенно различны, а течение среды было бы неустойчивым. В различных химических технологиях возникает необходимость смешения или разделения фаз. Проведение таких технологических операций в химических реакторах, обычно сопровождается процессами тепло- и массопереноса. Характерным для химических реакций является процесс выделения одного из компонентов в виде дисперсной фазы. Обратный фазовый переход может быть связан с растворением дисперсных частиц в жидком реагенте. Исследование свойств химических реакций в этих случаях опирается на предположения о ламинарном либо турбулентном режиме течения смеси реагентов. Основанием для таких предположений должно быть, в частности, исследование задачи устойчивости течения.

Задача устойчивости течения — фундаментальная задача, решение которой, в частности, является критерием качества модели среды. Структурная неустойчивость уравнений движения [3, 5, 69] является признаком неадекватности модели описания движения. Влияние частиц дисперсной фазы приводит к изменению поля скоростей течения, которое может рассматриваться как возмущение поля скоростей течения чистой жидкости. В работе [134] построен пример отображения на четырехмерном многообразии, которое не является структурно устойчивым ни при каком бесконечно малом возмущении. Размерность задачи устойчивости течения вязкой несжимаемой жидкости не ниже четвертого порядка, соответственно данная задача находится вне поля использования теории структурной устойчивости.

С другой стороны, в работах [5, 7] исследуется подход к проблеме лами-

нарно-турбулентного перехода, как к задаче описания фазового пространства динамической системы, порожденной нестационарными уравнениями Навье-Стокса. Точками в этом фазовом пространстве являются кинематически возможные поля скоростей жидкости. Установившиеся течения представляют собой положения равновесия динамической системы. Циклы динамической системы (если они существуют) соответствуют периодическим движениям жидкости. В этом описании турбулентному течению соответствует конечномерное фазовое многобразие, к которому притягиваются фазовые кривые из некоторой окрестности многообразия. Известные попытки поиска таких притягивающих многообразий предполагают численное решение уравнений Навье-Стокса или их галеркинской аппроксимации. В рамках такого описания проблемы перехода развиваются численные методы — методы прямого численного моделирования полной системы уравнений движения [136].

Классические задачи устойчивости течений могут рассматриваться как развитие общей задачи об устойчивости движения и равновесия системы материальных объетов. В рамках таких представлений свойства устойчивости механической системы должны следовать из уравнений движения. В широком круге физически интересных ситуаций, адекватное описание течения может быть получено в рамках уравнений Навье-Стокса. Стандартным приемом решения задачи в такой ситуации является сужение множества допустимых решений. В частности, могут быть рассмотрены решения, которые являются линейной комбинацией установившегося течения и малых возмущений. Развитие возмущений в этом случае описывается уравнениями устойчивости, которые получаются линеаризацией уравнений Навье-Стокса по амплитуде. В работе [89] показано, что решение линеаризованых уравнений, устойчивое по отношению к бесконечно малым возмущениям, устойчиво и по отношению к малым

конечным возмущениям и, наоборот, неустойчивость к бесконечно малым возмущениям ведет к неустойчивости конечных возмущений. В зависимости от цели исследования, рассматривается временная устойчивость возмущений, периодических по пространственным переменным, или устойчивость возмущений, переносимых потоком — пространственная устойчивость возмущений. Для описания устойчивости течения могут быть построены кривые нейтральной устойчивости в плоскости параметров, определяющих течение, или получены зависимости коэффициентов нарастания амплитуды. Особый интерес представляет определение критических значений параметров, разделяющих устойчивые и неустойчивые возмущения. Обычно задача пространственной устойчивости оказывается значительно сложнее задачи временной устойчивости. В то же время, качественные закономерности, определяющие характер устойчивости, могут быть установлены не менее полно, чем в задаче пространственной устойчивости. При достижении некоторого уровня амплитуды, наложение возмущений приводит к существенному искажению исходного профиля и возникновению специфичного для данного возмущения вторичного течения. Изучение устойчивости вторичных течений предполагает решение нелинейной задачи устойчивости.

Изменение свойств устойчивости течения дисперсной жидкости по сравнению с чистой имеет принципиальное значение, в частности, потому что присутствие дисперсных частиц может быть причиной дестабилизации течения. Возникновение и развитие возмущений в двухфазном течении может быть связано с обменом энергией между отдельными фазами, поэтому при определенных условиях, возможна стабилизация течения в результате демпфирования возмущений "легкой" несущей фазы на "тяжелых" частицах. Исследование стабилизации течения дисперсной жидкости частицами представляет интерес в связи с задачами управле-

ни я устойчивостью течений. К числу известных технических проблем, в которых вопрос об устойчивости многофазных течений является критическим, можно отнести проблемы проектирования сопел и направляющих аппаратов твердотопливных реактивных двигателей, систем предотвращения обледенения летательных аппаратов, трубопроводов для пневмо-транспортировки экологически опасных сред, фильтров и устройств напыления, создания составов, применяемых для смазки механизмов и во многих других ситуациях. Многообразие возможных течений, которые реализуются в таких задачах, приводит к необходимости исследования их свойств устойчивости.

В связи с исследованиями устойчивости течений в условиях теплообмена между фазами следует упомянуть работы Курочкиной и Стронгина [55, 56]. Свойства устойчивости таких течений оказываются существенно различными в изотермических и неизотермических течениях.

В работе [49] приведены экспериментальные данные, свидетельствующие о специфичном поведении многофазных течений. В частности, говорится о снижении аэродинамического сопротивления в трубах течению газа, несущего твердые частицы по сравнению с течением чистого газа. В течениях чистого газа уменьшение сопротивления может быть связано с появлением турбулентного перехода. Одной из причин снижения сопротивления в случае дисперсной среды может быть дестабилизация такого течения по сравнению с течением чистого газа. Изменение характера устойчивости наблюдается при внесении частиц в пристенное течение. Следовательно, систематическое исследование свойств таких течений предполагает, в частности, решение задачи устойчивости. В то же время теория устойчивости течений дисперсных жидкостей до сих пор отсутствует. Первым шагом в построении такой теории должно быть построение линейной теории устойчивости. В рамках линейной теории

устойчивости может быть получен ответ на принципиальный вопрос об условиях возникновения турбулентных режимов течения и влиянии на ламинарно-турбулентный переход свойств дисперсной фазы.

Начало исследования задачи устойчивости течений дисперсных жидкостей относится к 1962 году и было положено в работе [155]. В работе сформулирована задача линейной устойчивости установившихся течений с параллельными линиями тока, дисперсная фаза считается равномерно распределенной в течении. В этом частном случае получены уравнения устойчивости течения по отношению к малым возмущениям. В качестве безразмерных параметров течения введены число Рейнольдса, концентрация частиц дисперсной фазы и время релаксации скорости частиц дисперсной фазы. Задача устойчивости в [155] сводится к задаче на собственные значения для оператора типа оператора Орра-Зоммерфельда с комплексным профилем скорости. Рассмотрена задача развития возмущений в неподвижной жидкости, занимающей полупространство. Установлена качественная зависимость устойчивости возмущений с различной длиной волны от концентрации частиц дисперсной фазы и времени релаксации. Показано, что в таком течении, присутствие частиц дисперсной фазы может приводить к дестабилизации возмущений с большой длиной волны и способно стабилизировать коротковолновые возмущения. Дестабилизация течения связана с увеличением плотности среды, стабилизирующее влияние вызывается увеличением вязкости дисперсной среды по сравнению с чистой жидкостью.

Известно, [61] что плоское течение Куэтта однофазной несжимаемой жидкости является устойчивым относительно бесконечно малых возмущений. В работе Д.Дрю [106] сформулирована задача устойчивости плоского течения Куэтта дисперсной среды. Исследуется устойчивость течения с однородным распределением частиц. Д.Дрю установил, что такое

течение может быть неустойчивым, причиной неустойчивости является подъемная сила, действующая на частицы дисперсной фазы и пропорциональная тензору скоростей деформации. Эффект дестабилизации, обнаруженный Д.Дрю имеет место лишь при достаточно больших скоростях деформации, когда действие подъемной силы представляется существенным.

Полученные в перечисленных работах результаты представляют интерес как решения отдельных проблем, но вместе с тем, они не могут рассматриваться, как основание для построения единой теории устойчивости двухфазных течений. Таким образом, построение такой теории устойчивости представляет собой новую, пока нерешенную задачу.

Основание такой теории было положено в работах [80, 79] исследованием устойчивости двухфазного течения Пуазейля. Рассматривается течение Пуазейля с различным распределением концентрации дисперсной фазы в канале. Для описания межфазного взаимодействия развивается модель, предложенная ранее в [130]. В работах [80, 79] проанализированы и исправлены ошибки, допущенные в работе [130], установлены независимые безразмерные комплексы, определяющие характеристики задачи устойчивости, сформулированы общие уравнения устойчивости, справедливые для произвольного распределения дисперсных частиц в течении.

В работах [80, 79] исследование устойчивости течения дисперсной проводится с помощью серии систематических вычислений. Для проведения расчетов используется метод ортогонализации, метод дифференциальной прогонки, отдельные решения тестируются с помощью метода Галеркина. Использованные в работах методы тестируются на известных решениях [135]. Для различных концентраций частиц дисперсной фазы, различных размеров частиц получены кривые нейтральной устойчивости. Соответствие между результатами, представленными в работе

[130] и физически корректным решением задачи устойчивости течения Пуазейля установлено в работе [147].

Результаты исследования течения Пуазейля, представленные в работах [80, 79] позволили обнаружить основные свойства дисперсных течений. Авторы установили, что влияние частиц дисперсной фазы может приводить как к увеличению устойчивости течения по сравнению с течением чистой жидкости, так и дестабилизировать течение. Качественное изменение характера влияния частиц на устойчивость зависит как от размеров частиц, так и от распределения концентрации частиц в потоке. В результате взаимодействия достаточно узких пылевых слоев с основным течением возможна дестабилизация антисимметричных возмущений, затухающих в течении чистой жидкости. Механизм такого влияния объясняется в работе [80, 144], где получено необходимое условие неустойчивости дисперсных течений, являющееся обобщением теоремы Рэлея.

Настоящая работа посвящена исследованию устойчивости модельных течений двухфазной среды и разработке методов решения задачи устойчивости таких течений. Дисперсная среда описывается в рамках модели многожидкостной гидродинамики. Взаимодействие между фазами зависит от относительных скоростей фаз и от времени релаксации скорости частиц дисперсной фазы. Время релаксации и концентрация частиц дисперсной фазы являются параметрами, характеризующими взаимодействие фаз. В этих предположениях получается система дифференциальных уравнений движения несущей фазы и частиц дисперсной фазы.

В работах [48, 79, 80, 81, 144, 146] начато систематическое изучение устойчивости двухфазных течений. Подробно изучено течение Пуазейля. Однако, чтобы цикл исследований сделать репрезентативным, необходимо рассмотреть и другие течения. Чрезвычайно важными с этой точки зрения являются свободные течения. Исследование устойчивости течений

этого класса, струи и следа, и является первой задачей данной диссертации. Задача устойчивости свободных сдвиговых течений, таких, как течение в следе и струе существенно отличается от задачи устойчивости течений в каналах. Принципиально различны в этих ситуациях граничные условия. Граничные условия для свободных сдвиговых течений формулируются как условия затухания возмущений на бесконечности. В работе [22] предложен метод решения задачи устойчивости основанный на методе прогонки. В настоящей работе, наряду с этим, реализована численная процедура решения задачи устойчивости, основанн