Прямые и обратные задачи теории локального взаимодействия тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИ?! ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

АКСЕНОВА Ольга Анатольевна

ПРЯМЫЕ II ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ЛОКАЛЬНОЮ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

01.02.05 - нэхэюта гздкостеЗ, газа и пяазш

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на солсханаэ ученой степени кщдидата фязтсо-пэтеыатдчосжях глух

САНКТ-ШЗШ5УРГ - 1992

Рабата выполнена в Санкт-Дотербургсксн государственном университета. . Научный руководитель -

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Мпрошю Роман Николаевич Официальные оппоненты - .

доктор физико-математических наук, црофессор Пярнпуу Аарна Антонович, .

кандидат физико-штеыатических наук,

старпиД научный сотрудник Анолик Михаил Владимирович

Ведущая организация - ипститут технической мехаиики ЛИ Украины, г. Днепропетровск.

Защита состоится " ¿i " I9C2 г. в - - часов

на заседают специализированного совета К 063.57.13 по присуждению ученоЛ степе;::; кандидата физико-математических .чаук в Санкт-Петербургском государственном университета по адресу: 128904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл.2.

С диссертацией могко ознакомиться в библиотеке им. A.M.

Горького Санкт-Петербургского университета, Университетская наб., д. 7/9. .

Автореферат разослан

аМ- 1993 Г.

Учений секретарь

специализированного совета К 0S3.57.I3 казд. физ.-кат. наук.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш : Локальные методы находят все более широкое применение в аэродинамике и космической технике на стадии пскизного проектирования летательных аппаратов для расчета аэродинамических сил и моментов, а ташке теплообмена с окружающей средой. Развитие математического ашара- . ™а теории локального взаимодействия позволяет еще дальше распирить область приложения, включая задачи о проникновении ударника с большой скоростью в твердую среду и об аэродинамической расчете объектов во всех режимах, включая дозвуковой поток. Исследования по теме работы стимулируются таксе все возрастающими требованиями к точности и быстроте расчета, к /чету многообразных физических и геометрических фактороэ, таких, как эффекты затенения,вариации режима обтекания, вращение объекта, изменение положения отдельных элементов конструкции в процессе полета, свойства поверхности и физические процессы на ней и др. Изучаемые в-диссертации проблемы взаимодействия разреженных газов с шероховатыми поверхностей актуальны также для вакуумной техники.

Цель работы состоит в решении на основе развитого математического аппарата теории локального взаимодействия ряда прямых л обратных задач, связанных с разработкой простых эффективных методов аэродинамического расчета обтекания тел разреженным газом в переходном режиме - между режимом сплошной среды и свободаомолекулярным потоком.

Общая методика выполнения исследований. В диссертации наряду с методами аэродинамики разреженного газа используются аналитические и численные математические методы: разложение в ряды, теория гппроясимации, асимптотические разложения, метод Монте-Кэрю для вычисления многократных интегралов. В задаче об учете влияния шероховатости на аэродинамические характеристики применяются такав методы теории гауссовских случайных процессов.

Научная новизна. Все результаты работы получены впервые автором. Основные положения, выносимые на залету: I. Зависимость коэффициентов режима в простейшей линейной модели теории локального взаимодействия от параметров режима:

чисел Маха, Рейнольдса, температурного фактора, параметра шероховатости.

2. Метод нахождения коэффициентов режма по зксперименталь-нш измерениям аэродинаьических характеристик, обеспечи-вамщий наибольшую точность расчета.

3. Решение обратной задачи восстановления фор:ш класса тел вращения с простш аналитическим выражением для образующей по аэродинамическим характеристикам при заданном режиме обтекания.

4. Вычисление континуальных интегралов, возникающих в задат че учета шероховатости в коэффициентах режима, методом разлояечия в ряды Райса для гауссоаскж ыарковсккх процессов первого порядка.

5. Построение модели рассеяния на шероховатой поверхности с учетом использования отой модели для расчета обтекания невыпуклых тел и течений в каналах. Получение в аналитическом виде зависимости вклада первых соударений .молекул газа с поверхностью в проводимость плоского какала от параметра шероховатости.

Апробация работы. Отдельные части работы докладывались на X и XI Всесоюзных конференциях по динамике разреженных газоа / Москва, 1939г,, Ленинград, 1991г./, наЗсесоюзной конференции по механике неоднородных сред и кинетической теории газов / Ленинград, 193&с\/, на Всесоюзных совещаниях- семинарах по механике реагируацих сред /Красноярск, 1966г./ и по гаус-совским случайным процессам и полям / Пуцино, 1й82г., Ленинград, 1985г,/. Воя работа в целого обсуждалась на заседании кафедры гидроаэромеханики в Санкт-Петербургском государственном университете.

Публикации« Основные результаты диссертации опубликованы в работах / IV* / Ю /.

Структ^а_диооертации. Работа состоит из введения, трех глав, списка литературы и приложения. В каждой из глав диссертации решаетоя определенный класс задач теории локального взаимодействия и используются, соответственно, различные методы решения. Единство материала диссертации обеспечивается общим подходом при постановке задач на базе единой концепции теории локального взаимодействия и взаимосвязью полученных результа-

тов. Принятая структура диссертант наиболее способствует раскрытию ее содержания.

Объем работы. Диссертация изложена на 132 страницах, в том числе 110 страниц основного текста, включая 13 рисунков и 13 таблиц в приложении. Библиография содержит 56 наименований.

СОДИРЕДШЕ РАБОТЫ

' Во введении обоснована актуальность теин диссертации, сформулированы ее цель и основные положения, выносимые па защиту, дан краткий обзор литературы.

В главе I приведена общая постановка задачи обтекания тел потоком разрешенного газа в теории локального взаимодействия, и рассмотрены основные способы отыскания входящих-з используемые аппроксимации коэффициентов, называем« коэффициента^и режима. В числе этих способов асжптоткчзскос раз-лохение по малому параметру, аппроксимация на основе экспериментальных данных и непосредственное восстановление коэффициентов резима по измеренным в эксперименте аэродинглсгаес-ш характеристикам.

Полуэкпирпческке методы, основанные на теорий локального взаимодействия, позволяют оперативно вычислять аэродичамичес-кие коэффициенты сил и моментов го зсе:: диапазоне чисел шуд-сена от нуля до бесконечности. Эти методы базируется на гнпо-тезе локальности, согласно которой реакция потока на малый участок поверхности обтекаемого тела определяется только локальным углом 9 падения набегающего потока л не зависит от форш остальной части тела. Вэтом случае аэродинамические характеристики, капр,:иер, косффициент сопротивления Сх или коэффициент подъемной силы С^ ,, выпуклых тел записываются а Езда

о'

1 •

= ^ со.

- А

где углы атаки оС и скольжения ^ характеризуют ориентацию тела по'отношения к вектору гг скорости набегающего потока, - характерная площадь, обычно - площадь миделева сече-

ния, параметр = сеэ& гг-rv связан с вектором "Я. внутренней норыали в точке поверосности, опорная функция 9fC с, А,^) несет всю информацию о геометрической форме и ориентации тела, но не зависит от режима течения, а функция реакции j(у) т зависящая от параметров реяима., определяется в зависимости oi того, какая аэродинамическая характеристика подразумевается под С (ei)^ . Гипотеза локальности хорошо подтверждается в двух предельных случаях: для свободномолекулярного обтекания, где она выполняется точно, и для течения сплошной среды, где: она обобщает известную формулу Ньютона. Запись аэродинамических характеристик в форме (I") ,. предложенная Р.Н.Мирошиным, содержит как частные случаи все прежние варианты локельных методов, разрабатьшавшихск в трудах Г.Джеслоу, Да.Пайка,, Р.Г.. Баранцева, Е.В.Алексеевой, А.И.Бунимовича, А.В.,Цубинского, В.С.Галкина, А.И.Ерофеева, А.И.Толстых, В.П.Басса и др. Переход от j- и к применяемым на практике коэффициентам режима },к и функциям фор:.м SKU> j) осуществляется путем разложения одной из функций ( или Ч, (, ) в ряд по некоторой чебышевской системе, функций.

В диссертации используется разложение по система полиномов Лежандра Г*. (J) г посколъку образующиеся при этом естественный ряд (если раскладывается тал называемая простейшая линейная модель (если раскладывается ^(р)^приводят к аналитическому представлению функций формы в виДе ли" нейных комбинаций шаровых функций. В частности, при обтекании тел вращения функции SK(cO пропорциональны полиномам Леланд-ра Рк (сот><1) , если разложение осуществляется на всем интервале ■ I й J> $ I. Использование данной линейной модели явно, предпочтительнее употребления иных моделей, так как отпадает необходимость производить интегрирование по поверхности тела при нахождении или обращаться к таблицам функций форыы, составленным с помощью 8Ш, как предлагается Е.В.Алексеевой и Р.Г.Баренцевым.

На основе указанного подхода рассматривается проблема нахождения коэффициентов режима по известным адродинамическим характеристикам, включая вывод зависимости величин от физических параметров - чисел Маха, Рейнольдса, температурного фактора, параметра шероховатости.

Асимптотика коэффициентов реяима для больших чисел Иаха М -о. «о получена с использованием найденной в работах Р.Г. Баранцева с соавторами асимптотики коеффициентов обмена импульсом. Основное предположение тут заключается в распространении на переходный рзяим закономерностей сзободномолекудярного течения, что согласуется с концепцией теории локального взаимодействия. В отличив от упомянутое работ, при выводе асимптотики возникают дополнительные трудности, обусловленные двумя факторами. Во-первых,, переход от локальной системы координат, связанной с вектором п. , к скоростной системе, орюнтирован.-ной по вектору ху , приводит к усложнению преобразований и к появлению дополнительной взаимозависимости коэффициентов обмена импульсом рх и р^ , где ось х. направлена вдоль вектора

ТГ •• Во-вторых, упрощающее расчет функций форма разложение по полиномам Леландра Р^ (р) и по функциям ЧсЧ^) ""(Ьр*)^^ (у)

е ^ . ■

I " к^о '

г^ - г* £СЛ

(2)

(3)

вызывает появление добавочных членов при применении формул дифференцирования к рекуррентные соотношений для полиномов Ле-жандра.. В результате окончательные асимптотические йорыулы для коэффициентов режима в общем виде громоздки, однако они становятся проще для конкретных моделей с малым числом величин )\< и в (2) - (3) - Например,для употребляемой на практике аппроксимации с тремя коэффициентами режима ^ „ \ . имеют место асимптотические равенства

X = о* о( "Н

Я« -

где параметр Б пропорционален числу Маха $ = М V ее /2 , ££-отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме, а значения о индексом оо соответствуют М= .. Для практических приложений полученных асимптотических формул, в том числе равенств (4 ) , необходимо знать все коэффициенты и при каком-либо значении числа М,- что дает возможность найти Лкс« и .

Зависимость коэффициентов режима в 12") - (.3) от одела Рейнольдса Я и от температурного фактора получена с помощью другого подхода, йсходныл материалом явилась установленная в работах В.С.Галкина, А.И.Ерофеева, А.И.Толсткх функциональная зависимость от указанных параметров для простой модели теории локального взаимодействия с тремя коэффициентами режима р= р1соъЭ + росхоА0 , Т = То , где р/с -

коэффициенты обмена соответственно нормальным и касательным импульсом. Наряду с переходом к разложению (¿О - предлагаемое в диссертации представление содержит усовершенствование аппроксимаций зависимости от параметров Я и - В частности , вместо содержащего четыре эмпирические константы А, В, С, I) выражения ^ + Л ея^ (Ьй, - СЯ? ,

где Я; = С^Ьу/Ж » предлагается аппроксимация вида

которая при ¡.¡еньшем числе констант позволяет столь же хорошо приближать коэффициенты обмена в диапазоне 0 « 4С0. Для. Я, >400 найдена аналогичная аппроксимация. Сопоставление с экспериментом показывает, что используемые дробно-рациональные аппроксимации столь же хорошо согласуются с экспериментальными данными, что и экспоненциальные.

Вопрос об отыскании коэффициентов режима по измеренным экспериментально аэродинамическим характеристикам С (ы ^)изучается с привлечением интегрального соотношения (I) .. Предложены формулы, которые в случае обтекания тел произвольной формы содержат шаровые функция, а для тал вращения сводятся к представлению коэффициентов режима в виде

с

где коэффициенты формы возникают при разложении опорной функции "^С^оО в ряд по полиномам Легандра Рк ( р). Достоинство полученных представлений заключается в том, что здесь, в отличие от применяемого на практике метода нахождения величин путем решения системы линейных уравнений, не возникает проблемы плохой обусловленности матрицы, составленной из функций формы. Заменяющее ее требование, чтобы были малы соответствующий коэффициенты форы, Проще и нагляднее. К тому же, тот факт, что коэффициенты оказываются в знаменателе, позволяет сформулировать критерий выбора формы базисных тел, то есть тел, по аэродинамическим характеристикам которых определяются коэффициенты ре.тлма: при нахоздении коэффициента необходимо подбирать тела с наибольшими значениями коэффициентов фор~ы.. Такой выбор соответствует улучшению обусловленности матрицы упомянутой вше системы линейных уравнений.

Глава 2 посвящена исследованию зависимости аородина!мче-ских характеристик ь рамках теории локального взаимодействия от шероховатости поверхности обтекаемого тела. Задача об учете шероховатости в аэродинамическом расчете решалась ранее асимптотическими методами Р.Г.Еаранцевым, Р.Н.Мирошинкм, В.И.Цветковым, И.А.Халидовым, численными методами - М.Ь.Аноликом и Р.Н. Мирошиным, В.Л.Ложкиным и Ю.А.Рыжовым, В.Д.Хабаловым, А.Т.Эаго-вш, методом прямого моделирования - А.И.ЕрофееБЫм и В.И.Куком и др. Однако связать разработанную в трудах перечисленных авторов методику с теорией локального взаимодействия удалось, лишь после того, как И.А.Халидовым была модифицирована задача: вместо разложения функции рассеяния в ряд по кратности отражений атома газа от поверхности введено в рассмотрение разложение по числу соударении.

Применительно ко вкладу первых соударений в функцм рассеяния использование указанного разложения означает, что входящая в подынтегральную функцию вероятность свободного пролета частицы газа П расс1:атриваетоя только на луче падения, следовательно, зависит лишь от местного угла падения 6 относительно нормали к среднему уровню поверхности, от алгшкзты

Следовательно, П М зависит лишь от местного угла падения 0 относительно нормали к среднему уровню поверхности, от аппликаты 2 точки соударения и от производных от случайного поля , имитирующего шероховатую поверх-

ность,, но не зависит от скорости у-' вылета частица после соударения. Система координат тут связана не с вектором гг скорости паданцего потока, как в первой главе, а со средним уровнем шероховатости, который совпадает с плоскостью Отсутствие зависимости величины П"* от гг' позволяет выразить вклад в коэффициенты обмена импульсом и анергией первых соударений непосредственно через коэффициенты обмена на гладкой поверхности ру1 , минуя детальное рассмотрение на уровне функции рассеяния.

Б предположении справедливости линейной модели ( 2^ - (з) для ру получено представление величин ,

которое имеет вид

е

С7)

(8)

где интегралы К*(¿,,9) и определены формулами

Здесь через ¿л обозначен основной параметр шероховатости

- корень из дисперсии производных и , -

плотность совместного распределения з , г х и , а местный угол падения 0ц. определяется, относительно локальной нормали К. . Выражение для коэффициента обмена энергией ^'^(-¿f) аналогично (7") .

Полученные формулы С?) - (10) обладают радом преимуществ по сравнению с предлагавшимися ранее другими авторами. В частности, коэффициенты р^и удобнее для расчета аэродинамических характеристик, чем р и С . При этом число слагаемых в аппроксимациях (7) - (в) неограничено. Кроме того, число требующих вычисления интегралов (9) - (iÖ) меньше, чем, например, в работах М.В.Анолииа, И.А.Лат:¡доза и А.Т.Эшова.

Последнее обстоятельство очень существенно, пссколыгу величины (9')-(10) представляют собой континуальные интегралы по мноЕеству реализаций случайного поля, и их вычисление— сложная проблема. Решение её путем приближения величин (9)-(i0) интегралами высокой кратности и вычисления их методом Монте-Карло, данное в работах упомянутых выше авторов, требует огромных затрат времени на ¿ЕМ.

Поэтому расчет интегралов К* и К^ произведен методом разложения в ряд Райса по факториальнкм моментам числа выбросал случайного поля или процесса за наклонный уровень трае.с-тории падающего на поверхность атома газа. Вычисление факто-риальных моментов подобного типа до сих пор производилось лишь при m < 2. Возникающие трудности вызваны тем, что за исключением аналитических процессов, подынтегральная функция в предстаалении Jlf^ имеет при сблчкении аргументов особенности, не обязательно интегрируемые. Устранить эти особенности при расчете К J и К ^ удалось для класса гауссовских марковских случайных процессов первого порядка с корреляционной функцией 1 , г -<*,Г>Л

где Г - \Гзсг+уг , а параметр )) изменяется на интервале I 6 < с» . Расчет произведен методом Монте-Карло. Контроль достоверности и точности осуществляется с помощью тестового примера - процесса Уонга. Этот процесс, соответствующий значению }•, = v 3 а (ii), замечателен тем, что сн - од.ш из

(П)

немногих случайных процессов, для которых имеются сравнительно простые представления факториальных моментов числа нулей в виде трехкратных интегралов. Последние сведены к двукратным и вычислены по обычным квадратурным формулам с точностью Ю-5. Сопоставление с тестовым примером показывает, что число испытаний в методе Монте-Карло обеспечивает 4 точных знака в широком диапазоне изменения параметров.

Для удобства аэродинамических расчетов вычислены не только интегралы К* и К^ , но и коэффициенты их разложения по системам функций (2) -(3) . Зто дает возможность приближенно учесть влияние шероховатости в виде поправок лишь в коэффициенты режииа при фиксированных функциях форда, что находится в русле общей теории локального взаимодействия.

Изучается также вопрос о влиянии шероховатости стенок какала на его проводимость для свободномолекулярного течения. Эта задача ванна при определении параметра шероховатости „ поскольку уловить параметры мелкомасштабной шероховатости на фоне крупномасатабной иным методами затруднительно. Построена общая модель функции рассеяния на шероховатой поверхности,, позволяющая производить численные расчеты прозодимости для произвольных форы каналов и сероховатости. Для частного случая плоского канала с моделью иероховатости в виде пилообразной функции выведена аналитическая формула, характеризующая зависимость проводимости канала от параметра .

В главе 3 исследуются проблемы, возникающие в связи с повыпениеы эффективности и точности аэ родкнаииче с кого расчета по теории локального взаимодействия.

Установлена важная роль тел с опорной функцией ^ Ел-де'полинох;а от р , которая определяется конечностью естественного ряда для аэродинамических характеристик таких тел. Аэродинамический расчет, основываззцайся на экспериментальных данных для базисных; тел указанного типа, позволяет снизить погрешность, даке если принять основной постулат - гипотезу локальности - в более слабой форме. Например, если функция » зависящая в данном случае и от формы объекта, хорошо аппроксимируется полиномами для достаточно сирокого Класса тел.

Получены оценки точности нахождения коэффициентов режина по экспериментальным даннш, что позволяет оптимальным образом

определять коэффициенты режима по имеющемуся экспериментальному материалу с целью максимального повышения точности расчетов. Показано, что предложенный в главе. I метод отыскания коэффициентов режима всегда обеспечивает более высокую точность, чем традиционные способы.

Построен класс тол вращения, дяя которых функция есть полином произвольной степени К , причем образующая этих тел задана простыми аналитическими выражениями продольной координаты (о) и радиальной координаты

Бм у Г -V

•СУМ

(12)

(г^+зКг*

где Pi - максимальное значение параметра з передней точке тела. Указаны нижние и верхние границы линейно связанных с коэффициентами формы SK коэффициентов полинома. 0). На этих границах располагаются представлявшие напбольпип интерес оптимальные значения коэффициентов форлы, отзечадре наиболее высокой точности определения коэффициентов режима.

Основное содержанке диссертация.опубликовано в следующих работах:

1. Аксенова O.A. Учет конечности чисел Маха в простейшей линейной модели теории локального взаимодействия // Зестн. Ле-нингр. ун-та. Сер. I. 1990. Вып. 4. С. 32- 35.

2. Аксенова O.A. Зависимость коэффициентов режима в теории локального взаимодействия от параметров режима // Взстн. Ленингр. ун-та. Cep.I. 1909. Вып.1. С.100-102.

3. Аксенова O.A. Течения сильно разреженных газов в каналах с учетом шероховатости стенок // Динамика разреженных газов: Тез. докл. X Всесояз. хонф. Ы., 1989. C.I56.

4. Аксенова O.A. Процесс Уонга как тестовой пример // Вестн. Ленингр. ун-та. 1983. Был.13. С.48-51.

5. Аксенова O.A., Мирошин Р.К., Халидоа Й.А. Обратные задачи теории локального взаимодействия в разрегенном газе // Динамика разреженных газов: Тез. докл. X Всесоюз. конф. М., 1969. С.76.

6. Аксенова O.A., Халидов И.А. О точности аэродинамических расчетов по локальному методу // Динамика разрежешак газов: Тез. докл. XI Зсесоюэ. конф. Л., 1991. С.152.

- 14 -

. зов: Тез. докл. XI Всесоюз. конф. Л., 1991. C.I52.

7. Аксенова O.A.» Халвдов И.А. Взаимодействие разреженных газов с вогнутыми шероховатыми поверхностями // Динамика разрешенных газов: Тез. докл. XI Всесоюз. конф. Л., 1991. С. 76.

8. Аксенова O.A., Халидов И.А. Влияние шероховатости стенок на аэродинамическое сопротивление канала потоку разреженного газа // Вестн. Ленингр. ун-та. Cep.I. 1989. Вып.2. С.37-39.

9. Аксенова O.A., Халидов И.А, 0 влиянии шероховатости на теплообмен на поверхности тела в гиперзвуковоы потоке разреженного газа // Тез. докл. совещания-семинара по механике реагирующих сред. Красноярск, 1988. С.18-19.

10. Аксенова O.A., Халидов И.А. Класс тел, решающих обратную задачу теории локального взаимодействия. Деп. в ВИНИТИ, Р 5956-BS9 от 20 сентября 1989 г. 23 с.