Обратные задачи для псевдогиперболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Прямые задачи для псевдогиперболических уравнений.

§ 1.1 .Фундаментальные решения и задача Коши для псевдогиперболических уравнений.

§ 1.2. Смешанная задача для псевдогиперболического уравнения.

Глава 2. Обратные задачи определения правых частей в псевдогиперболическом уравнении.

§2.1. Обратная задача определения временного источника в псевдогиперболическом уравнении

§2.2. Обратная задача определения источника в псевдогиперболическом уравнении с интегральным переопределением. ^

§2.3. Обратная задача определения источника с финальным переопределением.

§2.4. Модельная обратная задача для уравнения конвективной диффузии солепереноса.

Глава 3. Коэффициентные обратные задачи для псевдогиперболических уравнений.

§3.1. Начальное и краевые задачи для одного нагруженного нелинейного псевдогиперболического уравнения и их связь с обратными задачами

§3.2.Обратные задачи определения коэффициента в псевдогиперболическом уравнении с интегральным переопределением.

§3.3. Обратная задача определения коэффициента, не зависящее от одной из переменных.

Обратными задачами для дифференциальных уравнений принято называть задачи определения дифференциальных уравнений по дополнительной информации об их решениях. Дополнительная информация о решении уравнения (т.е.следствие) может быть самой различной природы. Например, считают, что дополнительная информация задается как след решения соответствующей прямой задачи на некотором многообразии или в некоторой области. Если искомое дифференциальное уравнение является линейным, то обратная задача сводится к отысканию неизвестных коэффициентов или правой части этого уравнения. Необходимость изучения таких задач вытекает из практических потребностей. Например, при решении дифференциальных уравнений, моделирующих физические процессы, важно, чтобы было хорошее соответствие между выбранной моделью и реальным объектом. Одним из необходимых условий такого соответствия является определение коэффициентов и правой части дифференциального уравнения, которые являются некоторыми механическими параметрами исследуемого объекта. Примерами таких параметров могут служить коэффициент теплопроводности, коэффициент диффузии, фильтрационные параметры грунтов, плотность тепловых источников и так далее.

Характерной особенностью обратных задач для дифференциальных уравнений является их некорректность в смысле Ж. Адамара. Обычно эти задачи сводятся к уравнениям вида Ах=у с вполне непрерывным оператором А. Однако большая прикладная важность обратных задач ставит их в ряд актуальных проблем современной математики.

Для достаточно большого класса обратных задач, не являющихся корректными в классическом смысле, А.Н.Тихонов предложил [55,56] новое понятие корректности, которое является физически оправданным для многих прикладных задач. Дальнейшее существенное развитие теория некорректных задач получила в работах А.Н.Тихонова, В.Л.Арсенина [58], М.М.Лаврентьева, В.Г.Романова, С.П.Шишатского [36], В.К.Иванова, В.В.Васина, В.П.Танана[28], где имеется обширная библиография по этому вопросу.

Теория обратных задач для дифференциальных уравнений и различные методы их решения изложены в работах [2,9,11,14,23,29,51]. Наиболее полно современное состояние теории обратных задач с обширной библиографией отражено в монографиях М.М.Лаврентьева, В.Г.Романова, С.П. Шишатского [36], В.Г.Романова [51], В.Г.Романова, С.И.Кабанихина, Т.П.Пухначевой [52], М.М.Лаврентьева, К.Г.Резницкой, В.Г.Яхно [34], М.М.Лаврентьева, В.Г.Романова, В.Г.Васильева [35], А.А.Бухгейма [22], Б.С.Аблабекова [9].

Как известно из работ [25], псевдогиперболическими уравнениями описываются многие физические процессы, как нестационарное течение вязкого газа, конвективная диффузия солей в пористой среде, распространение начальных уплотнений в вязком газе и т.п.

Прямые задачи для псевдогиперболических уравнений исследовались в работах [24,31,38,53].

Обратные задачи для псевдогиперболических уравнений развиты значительно более слабо, чем для уравнений второго порядка. Объясняется это тем, что исследование обратных задач для дифференциальных уравнений тесно связано с решением соответствующей прямой задачи. А теория прямых задач для псевдогиперболических уравнений еще далека от завершения.

Ряд результатов по обратным задачам для псевдогиперболических уравнений были получены Аблабековым Б.С.[3], Асановым А.Р.[20],

Э.Р. Атамановым [15], Аблакимовой С.А., Атамановым Э.Р. [18], А. Лоренци, Е. Пеперони [62].

Целью настоящей работы является изучение обратных задач по определению переменных коэффициентов, а также правых частей для псевдогиперболических уравнений.

Дадим краткий обзор основных результатов. Диссертация состоит из введения и трех глав.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Построены фундаментальное решение и функция Грина для интегро-дифференциального параболического оператора, связанного с псевдогиперболическим уравнением. Далее, с их помощью решены задача Коши и смешанная задача для псевдогиперболических уравнений.

2. Доказаны:

• теоремы существования, единственности и устойчивости решения обратной задачи о восстановлении правой части решения в случае задачи Коши;

• теоремы существования, единственности и устойчивости решения обратной задачи восстановления правой части с интегральным переопределением.

3 Рассмотрены:

• обратная задача восстановления правой части, зависящей от пространственной переменной. Получены достаточные условия однозначной разрешимости рассматриваемой обратной задачи.

• обратная задача восстановления правой части для уравнения солепереноса. Доказана однозначная разрешимость рассматриваемой задачи.

• задача Коши и краевая задача для одного нелинейного нагруженного псевдогиперболического уравнения и связанные с ними коэффициентные обратные задачи. Для всех рассматриваемых задач установлены локальные теоремы существования и единственности.

• коэффициентная обратная задача с дополнительным условием интегрального переопределения. Установлена локальная разрешимость этой задачи.

77

• две двумерные коэффициентные обратные задачи для псевдогиперболического уравнения. Для этих задач доказаны соответствующие локальные теоремы существования и единственности решения.

1. Аблабеков Б.С. Обобщенные функции и фундаментальное решения дифференциальных операторов. -Бишкек: КГНУ, 1995.-85с.

2. Аблабеков Б.С. Обратные задачи для дифференциальных уравнений математической физики. Бишкек: КГНУ, 1997.-184с.

3. Аблабеков Б.С., Молдоярова У. Обратная задача для псевдогиперболического уравнения // Вестн. Кыргыск. гос. нац. ун-та. Сер.естественно-техн.наук.-ВыпЛ. Бишкек, 1998.-С.170-174.д Л

4. Аблабеков Б.С. Об уравнении--1-7 \{их ихх)~ 0 и некоторых1. Vdt )связанных с ними задачах // Материалы научно-теор.конф. посвященной 5-летию Чуйского университета.Сер.матем. и физики. -Бишкек: Чуйск. университет, 1999.-С.96-101.

5. Аблабеков Б.С. Задачи Коши и краевые задачи для нагруженного по «времени» псевдопараболического уравнения // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. Бишкек: Илим,1999.-Вып.28.-С313-318.

6. Аблабеков Б.С. О задаче идентификации коэффициента фильтрации в трещиноватом пласте // Вестн. Кыргыск. гос .ун-та. Сер. естественно-тех. науки. -Бишкек, 1999.-Вып. 1, Ч.1.-С.43-47.

7. Аблабеков Б.С., Есенгулова Э. Краевые задачи для нагруженных интегро-дифференциальных псевдопараболических уравнений // Вестн. Кыргыск. гос нац. ун-та. Сер. естественно- тех. науки. Бишкек, 1999.-Вып.1,ч.1.-С.140-144.

8. Аблабеков Б.С. Граничная обратная задача для псевдопараболического уравнения и ее применение к граничной обратной задаче теплопроводности // Исслед.по интегро-дифференц. уравнениям. -Бишкек:Илим,2000.-Вып.29.-С.286-293.

9. Аблабеков Б.С. Обратные задачи для псевдопараболических уравнений. -Бишкек: Илим, 2001.-181с.

10. Алексеев A.C. Некоторые обратные задачи теории распространения волн //Изв. Ан СССР. Сер.геофиз.-№ 11,1992.-С. 1514-1531.

11. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. -Новосибирск: Наука, 1978.-118с.

12. Аниконов Д.С. К вопросу о единственности решения обратных задач для уравнений математической физики//Дифференц.уравнения. -1979.-Т.15.-№1.-С.З-9.

13. Атаманов Э.Р. Бабаев Р. Корректность по Тихонову смешанных задач для псевдогиперболического уравнения // Исслед. по интегро-дифференциальным уравнениям. -Фрунзе: Илим, 1986. -Вып. 19.-С 159165.

14. Атаманов Э.Р., Мамаюсупов М.Ш. Неклассические задачи для псевдопа раболических уравнений .-Фрунзе: Илим, 1990.-100с.

15. Атаманов Э.Р. О единственности восстановления правой части уравнения в частных производных третьего порядка //Исслед. по интегро-диференциальным уравнениям. -Фрунзе: Илим, 1985.-Вып.18.-С.160-165.

16. Атаманов Э.Р. О единственности решения трехточечной задачи для псевдогиперболического уравнения //Условно-корректные задачи математической физики и анализа: Издательство Красноярского Университета, 1988.-С.34-37.

17. Атаманов Э.Р.О единственности решения внутренних задач для псевдогиперболического уравнения //Исслед. по интегро-дифференциальным уравнениям. Фрунзе: Илим, 1988-Вып.21.-С.262-268.

18. Аблакимова С.А., Атаманов Э.Р. Обратная задача для псевдогиперболического уравнения //Исслед. по интегродифференциальным уравнениям. -Бишкек: Илим, 2000.-Вып.29.-С.341-345.

19. Асанов А., Атаманов Э.Р. Обратная задача для операторного интегро-дифференциального псевдогиперболического уравнения //Исслед. по интегро-дифференциальным уравнениям.-Бишкек:Илим, 1999.—Вып.28.-С.97-113.

20. Асанов А.Р. Обратные задачи для псевдогиперболических уравнений: Дисс. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02.-Бишкек, 1994.-99с.

21. Безнощенко Н.Я., Прилепко А.И. Обратные задачи для уравнений пара болического типа //Проблемы мат.физ. и вычислит.мат. -М.: Наука, -С.51-63.

22. Бухгейм А.Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука, 1983.-207с.

23. Бухгейм А.Л. Введение в теорию обратных задач. -Новосибирск: Наука, 1983.-184с.

24. Водахова В.А. Краевые задачи для уравнения третьего порядка смешан ного псевдогиперболического типа: Дис. канд.физ.-мат.наук: 01.01.02.-Нальчик,1984.

25. Войт С.С. Распространение начальных уплотнений в вязком газе // Уче ные записки МГУ, Механика ,1954.-Вып.172.-Т.У.-С.125-142.

26. Волков В.М. Обратная задача для уравнения теплопроводности с двумя коэффициентами // Вопросы корректности обратных задач математической физики. -Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982.-С.50-61.

27. Дворкин Л.В. К теории конвективной диффузии солей в пористых средах // Жур.физ.химии,1968.-Т.142,№4.-С.948-956.

28. Иванов В.К. ,Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. -М.: Наука,1978.-206с.

29. Иманалиев М.И. Методы решения нелинейных обратных задач и ее приложения. -Фрунзе: Илим, 1977.-347с.

30. Искендеров А.Д. Некоторые обратные задачи для определения фильтрационных и теплофизических характеристик //В кн: Неклассические методы в геофизике. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1977. -С.54-63.

31. Исматов М. Об одной смешанной задаче для уравнения, описывающего распространение звука в вязком газе // Дифференц.уравнения,1984.-Т.20, №6.-С.1023-1035.

32. Кабанихин С.И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. -Новосибирск: Наука, 1988.-167с.

33. Лаврентьев М.М. О некорректных задачах математической физики. -Новосибирск: Наука, 1962.-92с.

34. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики. -Новосибирск: Наука, 1982.-88с.

35. Лаврентьев М.М., Романов В.П., Васильев В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. -Новосибирск: Наука, 1969.-68с.

36. Лаврентьев М.М. Романов В.П., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. -М.:Наука, 1980.-288с.

37. Ларькин H.A., Яненко H.H. Нелинейные уравнения переменного типа. Новосибирск: Наука, 1983.-269с.

38. Ляшко И.И.,Ляшко С.И., Клюшин Д.А.,Спивак А.Ю. Численное решение псевдогиперболических уравнений //Доповда нащонально1 академп наук украши, 1998.-№5.-С. 29-33.

39. Мамаюсупов О.Ш., Землянский С.Н. Обратная задача для уравнения в частных производных высокого порядка // Исслед.по интегро-дифференц.уравнениям. -Фрунзе: Илим, 1988.-Вып. 21. -С.268-272.

40. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. -М.: Наука, 1976.-391с.

41. Маловичко В. А. О краевых задачах для вырождающихся псевдопараболических и псевдогиперболических систем // Дифференц. уравнения,1991. -Т.27, № 12,- С.2120-2124.

42. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы.-М.: Наука, 1969.-526с.

43. Намазов Г.К., Исмаилов А.И. Классическое решение обратной задачи для уравнений третьего порядка в конечной области. -Деп. A3 НИИНТИ № 1129-Аз., Баку, 1988.-19с.

44. Нахушев A.M. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифференц.уравнения. -1983,№ 1 .-С.86-94.

45. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. -М:: Наука, 1977.-664с.

46. Резницкая К.Г. Связь между решениями задачи Коши для уравнений различных типов и обратные задачи //Математические проблемы геофизики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1974.-Вып.5,ч.1. -€.55-62.

47. Романов В.Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. -Новосибирск: Наука, 1972.-164с.

48. Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: НГУ, 1973.-252с.

49. Романов В.Г, Об одной обратной задаче для уравнения параболического типа. -Мат.заметки, 1976.-Т. 19, вып.4.-С.597-602.

50. Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: НГУ, 1978.-90с.

51. Романов В.Г. Обратные задачи для математической физики. -М.: Наука, 1984.-264с.

52. Романов В.Г., Кабанихин С.И., Пухначева Т.П. Обратные задачи электродинамики. -Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1984.-202с.

53. Сувейка И.В. Смешанные задачи для уравнений распространения возмущений в вязких средах // Дифференц. уравнения, 1983.-Т. 19, №2.-С.337-347.

54. Темирбулатов С.И. Обратные задачи для эллиптических уравнений.-Алма-Ата: Изд-во Казакского ун-та, 1975. -72с.

55. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР, 1943.-Т.39, №5.-С.195-198.

56. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Докл. АН СССР,1963.-Т.151, №3,-С.501-504.

57. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -М.гНаука, 1972. -736с.

58. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.-.Наука, 1979.-736с.

59. Узлов А.Е. Обратные задачи для уравнений диффузии и теплопроводности //Тез. докл. междунар. конф. «Некорректно поставленные задачи в естественных науках».-М., 1991 .-С. 121.

60. Чернятин В.А. Обоснование метода Фурье в смешанной задаче для уравнений в частных производных. -М.: Изд-во МГУ, 1992.-111с.

61. Asanov A., Atamanov E.R. Nonclassical and invers problems for pseudo-parabolic equations. Tokyo, Japan, 1997.

62. Cannon G.R., Ling Y. An inverse problem of finding a parameter in a semilinear heart equation // J. math anal, and appl., I990.-Vol. 145,-P.470-484.

63. Lorenzi A, Paparoni E. Identification problems for pseudohyperbolic integrodif ferential operetor equations //J. Inv. Ill posed problems 19 V.5,-P 523-548.

64. Курманбаева A.K., Аблабеков Б.С. Фундаментальные решения и задача Коши для псевдогиперболических уравнений // Вестн. Кыргыск гос ун-та.

65. Сер.естественно-тех.науки.-Бишкек, 1999.-Вып. 1, ч. 1 .-С.95-101.

66. Курманбаева А.К. Смешанная задача для псевдогиперболического уравнения //Исслед. по интегро-дифференциальным уравнениям.-Бишкек:Илим,2000.-Вып.29.-С.310-315.

67. Курманбаева А.К., Аблабеков Б.С. Обратная задача определения времен ного источника в псевдогиперболическом уравнении //Исслед. по интегро-дифференциальным уравнениям.-Бишкек:Илим,2000.-Вып.29.-С.299-303.

68. Курманбаева А.К., Аблабеков Б.С. Обратная задача определения времен ного источника в псевдогиперболическом уравнении с интегральным пе реопределением //Исслед. по интегро-дифференциальным уравнениям.-Бишкек:Илим,2000.-Вып.29.-С.304-309.