Обратные задачи для псевдогиперболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ

Институт математики Специализированный Совет Д 01.94.27

РГБ ОЛ

г' .• На правах рукописи

АСАНОВ АВАЗБЙС РА1ШД1ЮШ«

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПСЕДОГИПЕРБОЛНЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ 01.01.02. - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степей ' кандидата физико-математических наук

Бишкек - 1994

Работа выполнена в Институте математики HAH Кыргызской Республики.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Мамаюсупов О.Ш.

Официальные оппоненты:

докуор физико-математических наук, профессор Темирбула-тов С.И. (КазНГУ им. Аль-Фараби));

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Джураев М.Д. (ИМ HAH KP)

Ведущая организация: Институт теоретической и прикладной математики НАН Республики Казахстан.

Защита диссертации состоится " 1° " ср е г.

в 14.00 часов на заседании специализированного совета Д 01.94.27 по присуждению ученых степеней доктора и кандидата физико-математических наук в Институте математики HAH Кыргызской Республики.

С диссертацией можно ознакомиться в ЦНБ HAH Кыргызской Республики.

Автореферат разослан "3 " Л и 199_г.

i

Отзывы на автореферат просим присылать по адресу: 720071, г. Еишкек-71, Проспект Чуй, 265-а Институт математики HAH КыргыискоЯ Госпублики, Специализированный Совет Д 01.94.27-

Ученый секретарь Специализированного совета,. кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник iSj§*

С. Иска) ¡даров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТ«

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. В различных областях математики, механики и физики все чаще возникают задачи об отыскании переменных правых частей и коэффициентов дифференциальных уравнений в частных производных.

Псевдогиперболические уравнения возникают в теории нестационарного течения вязкого газа, при конвективной диффузии солей в пористой среде, распространении начальных уплотнений ь вязком газе. Обратные задачи для таких уравнений почти не изучены.

Обратные задачи для дифференциальных уравнений часто оказываются некорректно поставленными в классическом смысле. Однако, большая прикладная важность обратных задач ставит их в ряд актуальных проблем современной математики.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Исследование единственности, устойчивости и существования решений обратных задач о восстановлении правой части и коэффициентов псевдогиперболического уравнения в различных постановках.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. При исследовании прямых задач применяются классические методы теории дифференциальных уравнений с частными производными. Обратные задачи исследуются путем сведения к линейным или нелинейным интегральным уравнениям типа Вольтерра. Многомерные обратные задачи исследуются методом Галеркина.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все результаты диссертации являются новыми. Впервые рассмотрены обратные задачи для псевдогиперболических уравнений. Доказаны теоремы существования и единственности решения одномерных и многомерных обратных задач определения правой части и коэффициентов.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результата диссертации продолжают развитие теории обратных задач математи -ческой Физики. Кроме того, доказательства всех теорем конструктивны и позволяют строить алгоритмы решения обратных задач для псевдогиперболических уравнений.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результата диссертации докладйвалис;, и обсуждались: на VIII межреспубликанской научной конференции молодых ученых (май, 1986 г., г. Фрунзе), на республиканской научной конференции (сентябрь, 1?89 г., г. íp.yine).

lia Всесоюзной научной конференции "Условно-корректные задачи математической физики и анализа" (октябрь, 1989 г., г. Алма-Ата, 1992 г., г. Новосибирск), не! международной конференции "Некорректно поставленные задачи в естественных науках" (август, 1991 г., г. Москва), на Всесоюзной конференции "Асимптотические метода теории сингулярно-возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач" (сентябрь, 1991 г., г. Бишкек), на меадународной научно-практической конференции "Аналитические и экспериментальные методы математической физики и проблемы их преподавания" (декабрь, 1994 г., г. Ош), на семинарах академика М.И.Иманалиева и на семинарах лаборатории теории обратных задач ИМ HAH KP (1987 - 1994 гг.).

СТРУКТУРА И 0БШ1 РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиограф! из 71 наименования Общий объем работы 99 страниц машинописного текста.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы е десяти работах, перечень которых приведен в конце автореферата.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор литературы и изложено содержание диссертации. Известно, что систематическое исследование обратных задач для уравнений с частными производными отражено в работах Ы.М.Лаврентьева, В.Г.Романова, D.E.Антонова, А.Х.Амирова, М.И.Иманалиева, Н.Я.Безношенко, С.Л.Бух-гойма, А.И.Прилепко, С.И.Темирбулатова, А.Д.Искендерова, С.И.Кабанихина, Ы.В.Клибанова, В.Г.Яхно и их учеников.

Глава I посвящена исследованию прямых задач в различных постановках и носит вспомогательный характер.

Введем необходимые определения и обозначения.

ОПРВДВЛЕШШ 1. Будем говорить, что функция ф(х) е € Sík(0,l), к = 2,4,6, если выполнены следующие условия:

1) '(х) £ С (0,1), I = о,К—1, а ф(к)(х) - кусочио-не-n¡«{sibHci;

2) Ф(0) = ф(1) = ф(к_г)(0) = ф(к"г)(1) = ф'к-4)(0) = = <f<k"il(l) = О.

Аначличнэ, f(x.t) i Як(Пт), к = 2,4, если но аргументу

х принадлежит к 5Як(0,1), а по аргументу t принадлежит к С(о,т), т.о. f(x,t) е Юк(о,1) * С(о,т).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ г. Будем считать, что функция u(x,t) из

класса C;?,~, 'г (fl ), если существуют непрерывные частные производные

^(x.JU Ои(хД) Oau(x,t) agn(x,t) fl5u(x,t) 93u(x,t) -дх~ • дХ ' ахг • -et¡2 • "ЭйГГ 0xaat •

Наряду с вышеперечисленными обозначениями частных про- ■ изводных но мере удобства будем применять и обозначения вида V V uxt, uxx, utt, uxxt. Обозначение Сп,т(Пт) будем понимать в обычном смысле.

В первом параграфе рассматривается прямая задача в области Пт = {(x,t): х е (0,1), t е (0,т)}, где т > о - некоторое конечное постоянное число.

В области Пг = {(x,t): х е (0,1), t е 0,т)) найти решение задачи

u6t. " ux*t f + f(x't)' (0-1)

U(X,0) = ф(X), llt(X,0) = <j>(x), X € (0,1), (0.2)

u(0,t) = ud,t) =0, te (о,т). (0.3)

Основной результат этого параграфа содержится в следующем утверждении.

ТЕОРЕМА 1. Пусть функции ф(х) € Иа(0,1), ф(х) € Я4(ПТ),

Г(хД) € ЭЯ4(От) - заданы. Тогда существует единственное решение задачи (о.1 - о.з) из класса Сг+1,г(П ) и оно iipfiл ставляется в виде

ti

u(x,t) = u (x,t) +■ G(x,f, t-a)f (?,T)d5dT, (o.-t)

0 oo

где

u (X.t.) = j QU,?,t,)<p"(?)rt? + } G(x,C.t)t(?)'lC.

о о

Г. 1 Г 'Р ь -о Ч

QU.C.t) = 2 J —J--(а е n -ре "1

/РчГ 1 " " j

п п п

• З^/л-1 X зт/лГ* £,

п п

0(1,5,1) = 2 У 1- (в ^ - & рп<1 э!п/г x •

/хЯ^Г 1 '

п п

• з1П/аГ[ С,

„ А. -/ Л '

> - п - п П п д _ п п ^ п п - (ШС) ' п--2 ' Рп - --2-•

Эта теорема доказывается методом разделения переменных. Во втором параграфе изучается интегральное уравнение

вида

щх.О = Г(хД) + Я К(х,М-г)и(£,т)£15с1г, (0.5). ' оо

где и(хД) - неизвестная функция, 1(х,1.) и К(х,|,1-ч) - за-данше непрерывные функции, определешше соответственно на Пт = <(хД): х € [0,13,-1 « Го.тП,

Б = {(х.1;,Е,т): о ? < 1, о < г « 1; < т>,

и

« Г -(^Е}2 [+-Т

• 81п^1а1п™ 5. (0.6)

Изучение уравнения вида (0.5) обусловлено тем, что оно будет играть важную вспомогательную роль при исследованиях обратных задач. Доказаны следующие теоремы.

ТЕОРЕМА 2. Пусть дано интегральное уравнение (0.5), где К(х,5,1-а) представляется в виде (0.6) и 1(х,г) € € Я14(ПТ). Тогда интегральней уравнение (0.5) имеет единственное решение и(гМ) из класса 5В4(ПТ).

ТЕОРЕМА 3. Если Г(х, I) ( ЗЯ4(ПТ), то решен: э пнтеграль-

ного уравнения (0.5), где K(x,?,t-T) определено формулой (о.б), имеет непрерывные производные utt, u^, u t.

В этом параграфе также иссЛедована модельная система нелинейных интегральных уравнений типа Вольтерра второго рода, к которой приводятся обратные задачи.

В §1.3 рассмотрена прямая задача для уравнения с переменным коэффициентом. В области От = {(x,t): х € (0,1), t е € (0,т)} найти непрерывное решение уравнения

utt = u**t + * 4<t)u + f(x,t), (0.7)

из условий

u(x,0) = ф(Х), Ut(X,0> = ф(Х), X € (0,1), (0.8)

U(0,t) = U(l,t) = 0, t € (0,T). (0.9)

Для исследования этой задачи, в отличие от задач, рассмотренных в §1.1, использована функция Грина для уравнения теплопроводности. Теорема существования и единственности решения доказана путем сведения задачи (0.7) - (0.9) к эквивалентному интегральному уравнению типа Вольтерра второго рода.

В четвертом параграфе исследовано' обобщенное решение начально-краевой задачи. В области 11{ = !1 j (0,т), П с R", ? > О - фиксированное число, рассмотрена задача Lu = utt - dlY(K(x,t)v (ut + u) + q(x,t)u = F(x,t), (0.11)

u(x,o) = ф(х), ut(x,0) = ф(х), x e 0, (0.12)

u I = О. (0.1Э)

i T

Методом Галеркина доказана следующая

ТЕОРЕМА 4. Пусть функции K{x,t) € lg(0T), q(x,t) е е Ь2(0Т), F(x,t) i L2(0t), K(x,t) ^ к0 > 0, q(x,t) £ о,

ф(х), ф(х) €

Тогда существует единственное обобщенное решение задачи (0.11) - (0.13). .

В главе II рассматриваются одномерные .(по числу переменных, от которых зависят определяемые функции) и многомерные обратные задачи определения источника F(x,t) в псевдогиперболическом уравнении.

В первом параграфе исследована задача определения пары функций Cu(x,t),f(U) из условий

где

Utt = Uxxt + Uxx + f(tîïl<X,t). (X,t) € V (0.14)

U(x,0) = ф(х), Ut(x,0) = ф(Х), X e (0,1). (0.15)

U(0,t) = ud,t) =0, t( (o,t), (0.16)

U(x0,t) = V(t), X0 e (0.1), t € (0,T), (0.17)

0T = {(x.t): X € (0.1), t í (0,t)), x0, t > о - фиксированные числа.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Решением обратной задачи (0.14) - (0.17) назиаавтся пара функций íu(x,t),f(t)} е С2+1'2(ПТ) х С[о,т], удовлетворяющая условиям (0.14) - (0.17).

Основные результаты этого параграфа содержатся в следующих предложениях:

ТЕОРЕМА 5. Пусть функции

<р(х) € к4(0,1), ф(х) € 5Я4(0,1), h(x.t) € и4(Пт).

v(t) € C2to,T] - заданы и v(0) = ф(х0), т'(о) = ф(х0).

Тогда решение обратной задачи (0.14) - (0.17) существует и единственно в любой конечной области Пт и (u,í) ç € С2" ,г(Пт) X X CIO.Tl.

ТЕОРЕМА 6. Пусть (и1,!1) и (иг,1г) любые две пари функций, удовлетворящие (0.14) - (0.16), a v1(t) и v2(t) отвечающие им данные (0.17) обратной задачи. Тогда для любого конечного т > 0 существует такая постоянная с = с(т), что имеют место оценки

lu1 - U%,V « с «v1 -

lí1 - ^ICICT) ^ ~^ozio Эти теоремы доказываются путем сведения обратной задачи (0.14) - (0.17) к интегральному уравнению типа Вольтерра второго рода относительно функций u(x,t) и í(t) в области

От-

т

Во втором параграфе исследуется обратная задача для псевдогшюрболического уравнения, описываицзго конвективную даОДузих солей в пористых средах.

Как известно, конвективная диффузии солоР в пористых

средах описывается диф{еренциальным уравнением

ОС. дС. ЗС_

ш gjl * ипсе gyi- + ш(1 - ге) ^ =

ОС

дС.

= Dm* —р- + F(y,t),

(0.18)

fly2

ОС.

Э££ = р(С,с2), (y,t) t n,

О = C(y.t): у € (0,1), t е (о,'Г)) с нулевыми условиями

(0.19)

ск(у,0) = о, cyo.t) = ck(l,t) = о, к = 1,2

(0.20)

где ш - величина пористости, а_ ае - доля сквозной пористости, 1 - х - доля тупиковых пор, ш - скорость макропереноса, р -параметр обмена, D - коэффициент диффузии, C^y.t), C2(y,t) - объемные концентрации вещества внутри каждого из компонентов, Р -интенсивность уничтожения или появления солей (источник ).

Рассматривается модельная обратная задача определения источника специального вида F = f(t)h(y,t) при заданном постоянном коэффициенте диффузии D > о, % ? о, / 1 и ш = ш = = р = 1.

Обратная задача ставится следующим образом: найти тройку функций i01(y,t), C2(y,t), f(t)J из системы уравнений (о.18) - (0.19), если решение задачи (0.18) - (0.20) задано при У = Уа-

C-(y.t) | =«l>(t), (0.21)

где у0 е (0,1) фиксированная точка.

Доказана следующая

ТЕОРЕМА 7. Пусть h(y,t) е Ю «у, h'(0,t) = П'Ц,*), ф € С2[0,т] заданные функции и <J>(0) = ц>' io) = о, h(yQ,t) * ¡i 0. Тогда решение обратной задачи (0.13) - (0.21) {Ct(y,t), c,(y,t), f(t)) е С2'1^) X Сг+'.г(Су х C[0iT]

существу от и адашственно в любо* конечное области QT.

В третьем параграфе рассматривается следующая краевая задача для нагруженного уравнения

4

tt

uxxt + uxx + Mx.t)u(O.t),

(0.22)

удовлетворяющего условиям

ц(х,0) = <р(х), иг(х,0) = ф(х), x € (0,1), (0.23)

и(од) = сщ), и(1Д) = рш, ъ € (о,т). (о.24)

Доказана теорема существования и единственности.

В четвертом параграфе доказана теорема существования и единственности решения для следующей многомерной обратной задачи.

Пусть О - ограниченная область Нп с границей 30 * С2, Пт = П х (0,т), т > 0 - фиксированное число. Требуется найти пары функций (и,I) из следующих условий

tt

+ L(u + u) = f(x)h(x,t) + g(x,t), (x,t) e Q ,

u(x,o) = u0(x), ut(x,o) = u((x), x e n, u(x,t) I = |a(x,t),

OClx (O, T)

(0.25)

(0.26) (0.27)

где

L = - div(K(x)grad) + q(x), K(x) t c' (il), q(x) € Сг(П), h, g 6 C1 (0T), uQ(x) e Сг(П),

u,(x) € Сг(П), ц(х,1) € Сг(Пт)

и выполнены условия согласования.

В главе III исследованы задачи определения переменных коэффициентов псевдогиперболического уравнения в различных постановках.

В первом параграфе, на основе полученных результатов в §1.3, исследована следующая коэффициентная обратная задача.

В области Пт = f(x,t): х € (0,1), t е (0,т)) найти пары функций iu(x,t), q(t)) из следующих условий:

\t = "fcxt * Uxx * 4(tyu +■ i(x,t), (0.28)

U(X,0) = <p(X), ut(x,0) = ф(х), X € (0,1), (0.29)

U(0,t) = u(l,t) = o, t e (о,т),

(0.30) (0.31)

где х0 е (0,1) фиксированное число. Основные результаты этого параграфа содержатся в следующих предложениях:

U(x0,t) = V(t>, t t (O.T),

ТЕОРЕМА в. Если функции

ф(х) € !И6(0,1), ф € W'tO.l), f(X,t) € SS4(0T). v(t) € С2fo,t] - заданы и v(t) ¡t o, v(0) = ф(х0), v'(o) = <|>(x0), то задача (0.28) - (0.31), при достаточно малом т > о, имеэт единственное решение в классе

Сг+,,г(Пт) х С(0,т).

Также доказана, теорема устойчивости. В §3.2 рассматривается задача определения тройки функций íu(x,t), q(t), f(t)} из условий

utt = uxxt + uxx + 4(t)u + f(t)h(x,t), (x,t) € Пт, (0.32)

u(x,0) = ф(х), ut(x,0) = ф(х), x í (0,1), (0.33)

u(0,t) = u(l,t) = O, t € (0,T), (0.34)

u(x0,t) = u(l,t) = O, t i (0,t5, (0.35)

u(xt,t) = n(t), t g (0,т), (0.36)

где x0, - фиксированные постоянные из интервала (0,1) и Г)т = £(x,t): х í (0,1), t € (0,т)).

Доказана следующая

ТЕ0РИ.1А 9. Если функции ф(х) е !Яб(0,1), ф <= Ю4(0,1), h(x,t) < И4ШТ), v(t) ç c2[0,t], |i(t) e c^tc.t] - заданы и v(t) jt o, n(t) * O, v(0) = ф(х0), ц(0) = ф(х, >, V (О) = = ф(х0), ц'(0) = фСх,). A(t) = v(t)h(x,,t) - - n(t)h(xo,t) * Ф о, то задача (о. 32) - (0.36), при достаточно мапом т > о,

имеет единственное решение из класса C21",,2(fl ) х С(0,т) х x CíO.Tl.

Теорема доказывается путем сведения обратной задачи (0.32) - (0.36) к эквивалентной системе нелинейных интегральных уравнений типа Вольтерра второго рода, которая исследована во втором параграфе I главы.

В третьем парагафе исследована обратная задача для ин-тегро-дифференциального уравнения. Доказана теорема существования и единственности восстановления ядра таких уравнений.

В четвертом параграфе рассматривается задача определения пары функций íu(x,t), q(x)> из условий

utt - Шу + u) + q(t)u = F(x,t), (x.t) € Пт,

U(X.O) = ф(х), ut(x,0) = ф(Х), X € (Q)T,

u jg =0, u(x,t) = q(x), x € Q,

где fiT = fi x (0,t), fl - ограниченная область в Rn, т > о -фиксированное число. Доказана теорема единственности восстановления коэффициента.

Основное содержание диссертации изложено в работах:

1. Дорнов А.Р. О единственности решения обратной задачи для интегро-дифференциального уравнения в частных производных. // Мат-лы VIII межреспубл. научн. конф. молодых ученых, Фрунзе, май, 1986 г. - Фрунзе: Шшм, 1986. - С. 99 (Совы, и Мамаюсуповым О.Ш.).

2. Асанов А.Р. Об определении ядра в интегро-дифферен-циальном уравнении. // Диф. уравнения и их приложения. Тез. докл. республ. научн. конф., Фрунзе, сент. 1989 г. - Фрунзе: КГУ, 1989. - С. 83. (Совм. с Темирбаевым К.Т.).

3. Асанов А.Р. Обратная задача для уравнения конвектив -.ной ди(1фузии солей в пористых средах. // Исслед. по интегро-диДОеренц. уравнениям. - Фрунзе: Илим, 1989. - Внп. 22. -С. 208 - 211.

4. Асанов А.Р. Об определении правой части псевдогинер-болического уравнения. // Вопр. корректности задач анализа. - Новосибирск, 1989. - С. 114 - 121. (Совм. с; Мамаюсуповым О.Ш.).

5. Асанов А.Р. Обратные задачи для псевдогиперболических уравнений. // Некорректно поставленные задачи в еотвост-венных науках, Москва, авг. 1991 г.: Тез.* докл. мождунар. конф. - Москва, 1991. - С. 58.

6. Асанов А.Р. Обратная задача для нелинейного итьдо-гшерболиче ского уравнения // Тез. докл. все союз. конф. "Асимптотические метода теории сингулярно-возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач", Бишкек, сент. 1991 г., - Бишкек: Илим, 1991. - С. 17.

7. Асанов А.Р. Определение правой части псевдогипорбо-лических уравнений. // Исслед. но интегро-дифференц. уравнениям. - Бишкек: Илим, 1992. - Вып. 24- - с. 136 - 140.

8. Асанов А.Р. Определение коэффициента псевдогшьрбо-лического уравнения. // Там же. - С. 132 - 135.

9. Асанов А.Р. Восстановления коэффициентов и правой части неевдогиперболического уравнения. // Тез. всесоюз. конф. "Условно-корректные задачи математической физики и анализа", Новосибирск, июнь 1992 г. - Новосибирск, 1992. -С. 46 - 47.

ю. Асанов А.Р. Обратная задача для параболического интегро-дифференциального уравнения // Тез. докл. мевдунар. конф. "Аналитические и экспериментальные метода математической физики и проблемы их преподавания", Ош, дек. 1994 г., -Ош, 1994. - с. 131 - 142 (Совм. с Аблабековым B.C.).

ACAHOB ABA3EFK PAMM3KAHOBHM [IceEflorKnepOo^iiKajmK TeimeMejiep y^yH Tecicepn Macejiejiep. AHHOTAIW

nceBAornrispCojiHKajiuK Temewejiep y^yH Typflyyie TecKepn Maoejiejiep Kapajiai. Miomaft Teraepn Macejiejiep^sui HeHiwmeproiHH Eaniama, "j:ajiru3№irij staiia TypyKTyyjiyry KenyimerY TeopeMajiap ^araumeHeT.

ASAHOY AVAZBEK RAIMGAHOVICH Inverse problems for pseudoglperbolls equattonc. SUMMARY

In research work are considering verlous inverse problems for paeudoglperbolic equations.

Theorems of exlatanse and uqleness are given purposes proved.