Нелокальные задачи с интегральными условиями для уравнений гиперболического, псевдогиперболического и смешанного типов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Кириченко Светлана Викторовна

НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО, ПСЕВДОГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО И СМЕШАННОГО ТИПОВ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

5 <кЗ 2015

Казань-2015

005558607

005558607

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО Самарский государственный университет путей сообщения на кафедре высшей математики

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор, Пулькина Людмила Степановна, ФГБОУ ВПО Самарский государственный университет

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор, Логинов Борис Владимирович, ФГБОУ ВПО Ульяновский государственный технический университет

доктор физико-математических наук, профессор, Зарубин Александр Николаевич, ФГБОУ ВПО Орловский государственный университет

Ведущая организация: Институт математики им. С.Л. Соболева

СО РАН г. Новосибирск

Защита состоится 19 февраля 2015 г. в 14-30 на заседании диссертационного совета Д212.081.10 при Казанском федеральном университете по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлевская, 35, ауд. 610.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского федерального университета (Казань, ул. Кремлевская, 35, НБ КФУ) или на сайте kpfu.ru.

Автореферат разослан _ января 2014 г. и размещен на

официальном сайте Казанского федерального университета.

Ученый секретарь диссертационного совета Д212.081. кандидат физ.-мат. наук, доцент

Липачев Е.К.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одним из направлений современной теории дифференциальных уравнений с частными производными, бурно развивающимся в последнее время, является теория нелокальных задач. Внимание к таким задачам обусловлено не только теоретическим интересом, но и практической необходимостью. К нелокальным задачам нередко приводит математическое моделирование ряда физических процессов, представляющих интерес для современного естествознания. К ним относятся процессы, происходящие в турбулентной плазме, процессы теплопроводности, влагопереноса в капиллярно-пористых средах, волновые процессы в неоднородной среде.

Исследования показали, что присутствие нелокальных условий вызывает ряд специфических трудностей, которые не позволяют использовать для обоснования разрешимости нелокальных задач стандартные методы. Поэтому вопрос разработки методов исследования нелокальных задач является весьма актуальным.

Большой интерес среди нелокальных задач представляют задачи с интегральными условиями. Такие условия могут возникать в ситуациях, когда граница области протекания реального процесса недоступна для непосредственных измерений, но можно получить некоторую дополнительную информацию об изучаемом явлении во внутренних точках области. Часто такая информация поступает в виде некоторых средних значений искомого решения. При математическом моделировании такую информацию удобно представить в виде интеграла.

Среди первых работ, посвященных исследованию задач с нелокальными интегральными условиями для уравнений с частными производными, отметим статьи Дж.Кэннона (J.R. Cannon)1

1 Cannon J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy//Quart. Appl. Math.-19S3.-V.21.-m.-P.155-160.

и JI.И. Камынина2, опубликованные в 1963 и 1964 годах соответственно. В этих работах изучен вопрос о разрешимости уравнения теплопроводности с нелокальными по пространственной переменной интегральными условиями.

В большинстве первых работ, посвященных этой тематике, рассмотрены задачи для уравнений параболического и эллиптического типов. Нелокальные задачи для гиперболических уравнений стали объектом исследования несколько позже, но в настоящее время активно изучаются. Систематическое исследование задач с нелокальными условиями для гиперболических уравнений началось в конце 20 века. Отметим здесь среди первых работ в этом направлении статьи Л.С. Пулькиной3, A. Bouziani4, Д.Г. Гордезиани и Г.А. Авалишвили5.

В последнее время возник интерес к постановке и исследованию нелокальных задач для уравнений смешанного типа и вырождающихся уравнений. Отправной точкой исследования таких задач является статья Ф. Франкля 6. Важный вклад в изучение нелокальных задач для уравнений смешанного типа внесли работы В.И. Жегалова, А.М Нахушева, Г.Д. Каратопраклиева, С.Н. Глазатова, Е.И. Моисеева, К.Б. Сабитова.

Отметим, что в большинстве работ, посвященных нелокальным задачам с интегральными условиями, изучены задачи с нелокальными по пространственным переменным условиями для уравнений второго порядка. Однако исследования нелокальных задач выявили их тесную связь с обратными задачами, условия пере-

2Камышш Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими условиями/ /Журнал вычислительной математики и математической физики.- 1964.-Т.4.-ЛЖ-С.1006-1024.

3Пулькина Л.С. О разрешимости в L2 нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения//Дифференциальные уравнения.-2000.-Т.36.-№2.-С.279-280.

4 Bouziani A. Strong solution to an hyperbolic evolution problem with nonlocal boundary conditions//Maghreb Math. Rev.-2000-V.9.-№l-2.-p.71-84.

5Гордезиани Д.Г., Авалишвили Г.А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний сре-ды//Матем. моделирование.-2000.-Т.12.-Л1>1.-С.94-103.

6Франкль Ф.И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения //ПММ, 1956. Т.20, вып.2

определения в которых заданы в виде интеграла по переменной времени, в связи с чем возрос интерес и к прямым задачам с нелокальными по времени условиями.

Представленная диссертация содержит результаты исследований задач с нелокальными по временной переменной условиями для гиперболических уравнений второго порядка, уравнений смешанного типа, а также пространственно нелокальных задач для многомерного гиперболического уравнения, уравнений смешанного типа, псевдогиперболического уравнения.

Целью настоящей работы является разработка методов исследования разрешимости краевых задач с нелокальными по времени интегральными условиями для уравнений гиперболического и смешанного типов, а также задач с нелокальными по пространственным переменным условиями для гиперболического уравнения, уравнений смешанного типа, псевдогиперболического уравнения в цилиндрических областях.

Общая методика исследования. В работе используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, интегральных уравнений, аппарат функциональных пространств С.Л. Соболева.

Научная новизна. В диссертации предложены методы исследования разрешимости нелокальных задач с интегральными условиями, с помощью которых получены следующие новые результаты:

1. Доказана однозначная разрешимость задач с интегральными условиями по временной переменной первого и второго рода для гиперболических уравнений.

2. Проанализированы методы исследования разрешимости нелокальных задачи для вырождающихся гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа.

3. Доказано существование и единственность обобщенного решения задачи с интегральным нелокальным по пространствен-

ным переменным условием для гиперболического уравнения.

4. Доказана однозначная разрешимость задач с интегральным нелокальным условием по пространственным переменным для псевдогиперболического уравнения четвертого порядка.

Все результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории нелокальных задач, для применения в исследовании прикладных задач, математическими моделями которых являются задачи с нелокальными интегральными условиями.

Апробация работы. Основные результаты доложены на:

- межвузовском научном семинаре "Неклассические задачи математической физики"под руководством доктора физико-математических наук, профессора Пулькиной Л.С. в Самарском государственном университете в 2010-2014 гг;

- всероссийской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения"(СамДиф-2009) (г. Самара, 2009);

- второй всероссийской научно-практической конференции "Интегративный характер современного математического образования" (г. Самара, 2009);

- всероссийской научной конференции с международным участием "Дифференциальные уравнения и их приложения "(г. Стер-литамак, 2011);

- восьмой всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи, посвященной 75-летию Ю. П. Самарина (г. Самара, 2011);

- международной научной конференции, посвященной 120-ой годовщине со дня рождения Ст. Банаха (г. Львов, 2012);

- Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы "(г. Воронеж, 2013);

- четвертой международной конференции, посвященной 90-

летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева (г. Москва, 2013);

- международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения "(г. Белгород, 2013);

- XI Казанской летней школ е-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы"(г. Казань, 2013).

Публикации. Автором опубликовано 11 работ, которые отражают ее основные результаты. Список публикаций приведен в конце автореферата. Три статьи: [8] - [10] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых на параграфы, списка литературы из 93 наименований, включая работы автора. Объем диссертации составляет 126 страниц машинописного текста.

Во введении приведен обзор литературы, связанной с темой диссертации, обоснована актуальность, излагается краткое содержание работы, сформулированы основные результаты, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена исследованию нелокальных задач с интегральными условиями для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа в области <Эт = {(х,1): 0<х<1,0<г<Т}. В первом параграфе рассмотрена Задача 1.1. Найти решение уравнения

Основное содержание работы

ии ~ ихх + с{х, Ь)и = /(х, г) в области С}т, удовлетворяющее условиям

и(0,£) = и(1,Ь) = 0, и(ж,0) = ф),

(1.2)

(1.1)

т

(1.3)

о

Функция К[Ь) задана на [О,Т], <р(х) на [О,/].

Заметим, что (1.3) представляют собой нелокальные интегральные условия I рода. Как известно, такие условия вносят серьезные трудности в исследование разрешимости задач. Однако эти трудности можно преодолеть, если свести нелокальные условия I рода к нелокальным условиям II рода, следуя методу, предложенному Пулькиной Л.С. При исследовании задачи 1.1 это удалось сделать благодаря доказанному утверждению:

Лемма 1.1. Если К(Ь) е С2[0,Т], К(Т) = К'(Т) = О, -К"(0) ф 0, то задача 1.1 эквивалентна задаче (1.1), (1.2) с интегральным условием II рода

т

щ(х, 0) + 7 J К{х, г)и<И = д{х). (1.4)

о

Здесь 7, К(х, £), д(х) выражены через К(Т), с(х} £), /(ж, £), <р(х)

Задача 1.2. Найти в области С^т решение уравнения (1.1), удовлетворяющее условиям (1.2) и нелокальному условию (1.4).

Обозначим ^(фг) = Ых,г) : v Е ИЗДт), ь{х,Т) = 0}, ° 1

ш2 (о,0 = {и{х,г): и е ,/), и(о,г) = и{1,г) = о}.

Введено понятие обобщенного решения.

Определение 1.1. Обобщенным решением задачи 1.2 будем

о 1

называть функцию и(х,Ь) <Е И^ (фг) Г) (0, , удовлетворяющую условию «(ж, 0) = 1р(х) и тождеству

т I

+ ихух + с(х, Ь)иу)йх(И+

о о

т т I I

•1-7 Г ' ' Г '

о о

11 11 I

' Jу(х, 0) УК(х,Ь)и<Ийх = У J/(х,^ьс1хсИ + Jу(х,0)д(х)с12

О 1

для любой функции у(х, е п Щ (О, I).

т

Обозначим: с0 = т_ах\с(х, с1 = Т+с0+с0Т2, к% = тах ¡К2(х^)(И. Ят [о,г] о

Доказано следующее утверждение:

Теорема 1.1. Если выполняются условия: с(х,Ь) € С(фт), /(ж, г) € Ь2{(дт), К(х,€) е С(фт), ТО для значений Т, удовлетворяющих неравенству Т < + 1), существует не более одного обобщенного решения задачи 1.2.

Доказательство теоремы 1.1 базируется на полученных в работе априорных оценках.

Существование обобщенного решения задачи 1.2 обосновано с помощью теоремы 1.2:

Теорема 1.2. Если выполняются условия теоремы 1.1, а так-

О 1

же </э(х) (0)0) то существует обобщенное решение задачи

1.2 и{х,1) е\¥ЦЯт)Г)цг12{ъ,1) .

Доказательство теоремы 1.2 проведено методом вспомогательных задач, который заключается в следующем: к решению первой начально-краевой задачи для уравнения (1.1) в области С}т с начальными условиями и(.т, 0) = (р(х),щ(х, 0) = ф(х), в которых функция ф(х) неизвестна, применяется условие (1.4), что приводит к операторному уравнению относительно функции 1р(х). На следующем шаге показано, что операторное уравнение однозначно разрешимо. На завершающем этапе доказано, что разрешимость операторного уравнения влечет за собой разрешимость задачи 1.2.

Под решением вспомогательной задачи понимается функция и(х,Ь) е И^фг)) удовлетворяющая условию и(х,0) = <р(;х) и тождеству

т I I т I

У J(-им + ихух + сиу)(1х<И = J у(х, 0)ф(х)йх + J ! ¡уйхсИ оо о оо

для любой функции v(x,t) е W^iQr)- Существование и единственность такого решения есть следствие известных результатов O.A. Ладыженской.

Теоремы 1.1 и 1.2 и полученные в работе априорные оценки позволили доказать основное утверждение первого параграфа:

Теорема 1.2.1. Если выполнены условия теоремы 1.2 и кроме того ip(x) Е W%(О, /)U W2 (О, I), ct(x, t) G C(QT), то для п.в. (x,t) Е Qt существует решение задачи 1.1.

Во втором параграфе рассмотрена

Задача 1.3. Найти решение уравнения (1.1) в области Qt , удовлетворяющее граничным условиям и(0, t) = u(l, t) = 0 и нелокальным условиям

т

гг(аг, 0) + J Мх{х, t)u(x, t)dt = 0, (1.5)

о

т

ut(x, 0) + J М2(х, t)u{x, t)dt = 0. (1.6)

о

В условиях (1.5), (1.6) M((x,t) заданы в Qt ■

Заметим, что условия (1.5), (1.6) являются нелокальными, в силу чего мы не можем воспользоваться стандартными методами для доказательства разрешимости задачи 1.3. Поэтому мы сначала показали, что задача 1.3 эквивалентна задаче 1.4 с классическими начальными данными для нагруженного уравнения.

Задача 1.4. Найти в области Qt решение уравнения

т

vlt - vxx + c(x,t)v + J P(x, t, т)u(x, т)dr+

о

т т

о 0

1 1

J Nx(x, t, t)ux(x, r)dr — j NT(:r, t, r)uT(x, r)dr = F(x, t),

удовлетворяющее условиям

v(0, t) = v(l, t) = 0, v{x, 0) = 0, vt{x, 0) = 0,

если функции u(x,t), v(x,t) связаны равенством

т

„(*,() = «<*,() + /"<х,4,г H^är. (1.7)

0

Здесь функции N(x, t, r), P(x, t, r), F(x, t) определяются через заданные функции с(х, t), f(x, t), Mj(x, t)(i = 1,2). Определены пространства и норма в них:

W(QT) = {и(х, t) : и € W¡(QT), u(0, t) = и{1, t) = 0},

W(QT) = {u(x, t) : и € №(Qt), u(.t,T) = 0},

\\U\\W(Qt) = \\u\\L2(Qt) + IHkWr) + \\uX\\L2{QT)-Вводится понятие обобщенного решения задачи 1.4: Определение 1.2. Обобщенным решением задачи 1.4 будем называть функцию v(x,t) € W(Qt), удовлетворяющую условию V(х, 0) = 0 и для любой функции T](x,t) G W(Qt) тождеству т i

J J(—VtXit + vxr¡x + c(x, t)vr¡)dxdt+

0 o

T l T TI

+ J J T] J [Pu + 2Nxux - NTUr\dTdxdt = J J F(x,t)r)dxdt,

ooo oo

в котором u(x,t) и v(x,t) связаны соотношением (1.7). Введем следующие обозначения: pq = \\P\\l2(u),

п0 = max{||iV||L2(D),\\Nt\\LAD), ||^||l2(d),\\Nxx\\L2{d), ||ÍVt||L2(d)},

T T x

D = (0, T) x (0, T), ||/||i2(D)=max( í í /2(ж, í, r)dídr) 2.

[o,/]

Доказано утверждение:

Теорема 1.3. Пусть c{x,t) е C(Qr), ct[x,t) е C{QT),

с{х, t)> с0 > 0, N(x, t, т), Nx(x, t, т), Nt(x, t, т), Nxx{x, t, т),

NT(x,t,r) e C(Qt x [0.Г]), F(x,t) 6 L2(QT), щ < 1. Тогда

можно указать такие соотношения между max\ct(x,t) |, Т, I, щ,

Qt

Po, с0, при выполнении которых задача 1.4 однозначно разрешима.

Для доказательства теоремы построены последовательности приближенных решений задачи 1.4 {vm, um}, которые найдены из соотношений

Т I

J J(-<*7i + <Vx + c{x, t)vmrj)dxdt+

о 0

T I T

+ J J r)(x, t)J [P{x, t, T)um+2Nx{X, t, t)u™—Nt(x, t, r)urTn}drdxdt = 0 0 0

T I

= J J F{x:t)rj(x,t)dxdt, vrn(x,0) = 0, (1.8)

о 0

T

um{x,t) + J N(x,t,r)um(x,r)dr = vm~\x,t). (1.9) о

Показана сходимость этих последовательностей. Обоснована возможность предельного перехода при m —> оо в (1.8) и (1.9), что позволило обосновать разрешимость задачи для нагруженного уравнения. Затем была получена априорная оценка, из которой следует принадлежность полученного обобщенного решения пространству W$(QT). Этот факт оказался решающим при доказательстве теоремы 1.4:

Теорема 1.4. Если выполняются условия теоремы 1.3, то п.в. в QT существует единственное обобщенное решение задачи 1.3.

В третьем параграфе рассмотрена

Задача 1.5. В области фт найти решение уравнения (1.1), удовлетворяющее граничным условиям и(0,2) = «(/,£) = 0 и нелокальным начальным условиям т

! Щ{г)и(х,г)<И = 0, г = 1,2. (1.10)

о

Функции Нг{Ь) заданы для всех Ь £ [0,Т].

Доказано утверждение, которое позволило перейти от нелокальных интегральных условий I рода (1.10) к нелокальным условиям II рода:

Лемма 1.2. Если Д = Н1{0)Щ{0)-Н2{0)Н[(0) ф 0, функции € 1 то условия (1.10) эквивалентны нелокальным

условиям второго рода

т

и(х, 0) = а\и(х1 Т)+Ь\и({х, Т) — /Мг(х, ¿)и(ж, 1)(И+д\(х), < 0

т

щ(х, 0) = а2и(х, Т)+Ь2и^х, Т)—/ М2(х, ¿)и(ж, Ь)сИ+д2(х),

о

где а,;, Ь,;, Мг(х, 2), дг{х) выражены через Н^), с(х, ¿), /(х, ¿).

Если Нг{Т) = НЦТ) = Н'г'{Т) = 0, д{(х) = 0, г = 1,2, то мы приходим к следующей задаче: найти в решение уравнения (1.1), удовлетворяющее граничным условиям и(0,2) = и(1,£) = 0 и нелокальным условиям

т

и(х, 0) + / М^х, ¿)и(х, Ь)<И = 0,

0

т

щ(х, 0) + / М2(х, €)и(х, = 0.

о

Таким образом, задача 1.5 с интегральными условиями I рода сведена эквивалентными операциями к задаче 1.3, разрешимость которой доказана в §1.2.

В последнем параграфе первой главы проанализированы методы исследования разрешимости уравнений смешанного типа.

Рассмотрена нелокальная по времени задача:

Задача 1.6. Найти в <3г решение уравнения

К{х, г)ип - (а(х)их)х + Ь(х, + с(х, г)и = /(х, *), (1.11) удовлетворяющее условиям

т

их(о, г) = их{1, ¿) = о, J и(х, г)<и = о, щ(х, ¿)|5о = 0.

о

может обращаться в нуль как при £ = 0 или I = Т, так и внутри <3Т, а также менять знак в области С}т ■ в0 -- множество точек отрезка (0, /), Ь = 0, где К(х, 0) ^ 0.

В этом же параграфе рассмотрена задача с пространственно нелокальными условиями для уравнения

К{г)ии - (а(х)их)х + Ь(Ь)щ + с(х, г)и = /(ж, ¿). (1.12)

Задача 1.7. Найти в <2т решение уравнения (1.12), удовлетворяющее условиям

I

ИхМ = 0, 0) = 0, !и{х^)йх = 0, щ(х,г)\3о = 0.

о

Заметим, что наличие коэффициентов при старших производных, которые могут обращаться в нуль как на границе области, так и во внутренних ее точках, и менять знак, приводят к большим трудностям даже в случае классических краевых задач. Эти трудности значительно возрастают, если некоторые из условий заменены нелокальными.

Найдены условия на коэффициенты, при выполнении которых нелокальные задачи 1.6, 1.7 могут быть сведены к задачам с классическими начальными и краевыми условиями.

Вторая глава посвящена изучению задач с интегральными условиями второго рода для многомерных уравнений.

В первом параграфе в области С}т — О х (О, Т), где П с Яп— — ограниченная область с гладкой границей сЮ, рассмотрим уравнение

ии - (аф, Ь)ищ)Х5 + с(х, £)и = /(х, ¿), (2.1)

где коэффициенты ¿) удовлетворяют условию

п п

аф, > 7 7 > 0, ац = а^ (2.2)

г ,7=1 г=1

что гарантирует гиперболичность уравнения (2.1).

1/(х) = ...,г/„) — вектор внешней нормали к сЮ в текущей точке, вт = 9Г2 х (О, Т).

Задача 2.1. В области найти решение уравнения (2.1), удовлетворяющее начальным данным и(х, 0) = <р(х), гíí(x, 0) = ф( и нелокальному условию

ди(х, ¿)

ди

+ au{x,t)+ K(x,y,t)u(y,t)dy = 0, (x,t) е ST- (2.3)

п

ди

В (2.3) функция К(х, у, t) задана в QxQT, ^ = J2 ачищиз ■

¿J=i

Не слишком ограничивая общность, положим а = const. Введем понятие обобщенного решения:

Определение 2.1. Обобщенным решением задачи 2.1 будем называть функцию u(x,t) Е W^iQr), такую, что и(х, 0) = <р(х), которая удовлетворяет тождеству

т т

J J(—utvt+aijux.vxj+cuv)dxdt+J Jv(x,t) JK(x,y,t)udydsdt+ on о on n

т т

+а J J ™й8(И = J J fvdxdt + ! у(х,ЪЩх)йх о дП о п п

для любой функции у(х^) е Й^СФт) •

Доказано утверждение:

Теорема 2.1. Если выполнены условия (2.2), /(ж, ¿) е Ь2(<3т) ^(ж) € ^(П), ф(х) е Ь2(П), с(ж, ¿) е С«?г), Су (я, ¿) е С(0г), ' ^ , К(х,у,1) непрерывна в области определения

и интегрируема с квадратом по С}т для почти всех х е П, то существует единственное обобщенное решение задачи 2.1.

Доказательство единственности решения задачи 2.1 базируется на полученных в работе априорных оценках. Для доказательства существования построена последовательность {ит(х,£)} приближенных решений. Показано, что из этой последовательности можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность и равномерно по г £ [0,Т] в норме Ь2{(¿т) к некоторому элементу и(х, г) е И^фт) ■ Далее обосновано, что и(х, 2) есть обобщенное решение задачи 2.1.

Во

втором параграфе рассмотрена задача для уравнения четвертого порядка

82

(« - А«) - аихх - Ьиуу + с(х, у, г)и = /(х, у, *). (2.4)

Здесь а, Ь положительные постоянные.

Задача 2.2. Найти в цилиндре = П х (О,Т) решение уравнения (2.4), удовлетворяющее начальным условиям

и(х,у,0) = <р(х,у), щ{х,у,0) = ф(х,у) (2.5)

и нелокальному условию / д2 ди

ХдРди

+ аихсов{и, х) + Ьиусоз(и, у)+

+ у V, X, у, V, Ш<1>п) | = 0. (2.6)

Функция К(£,г1,х,у,1) задана в х т, ^ = (^ъ^г) — вектор внешней нормали к дО. в текущей точке.

Обозначим

Щ<2т) = Ых,у,0 : и Е И^г), их1,иу1 Е Ь2{Ят)},

т х

II и 11и'((3г)= ( / /("2 + и' + + + + и^бхбуйьу, о п

ЩЯт) = {у(х, У,1):ье УУ{<2т), ь(х, у, Т) = 0}.

Введено понятие обобщенного решения задачи 2.2.

Определение 2.2. Обобщенным решением задачи 2.2 будем называть функцию и(.т, у,£) Е удовлетворяющую усло-

вию и(х, у,0) = ф(х, у) и тождеству

т

J У {~щу1 + аихух + ЪиуУу - их1ух1 - иу1Уу1 + сиу)(1х<1у<И+

0 52 т

+

0 90 П

J Jv У — У г1>(х,у)у(х,у,$)(1х(1у—

(Фх(х, у)ух{х, у, 0))+Фу{х, у)уу(х, у, О)))(Ь(1у = У У ¡уйхйуйь п о а

для любой функции у(х, у, ¿) € И^фг) •

Основным результатом данного параграфа является приводимое ниже утверждение:

Теорема 2.2. Если /(х,у,Ь) Е £2((3т), с(х,у,Ь) € С(0т), (р(х,у),1р(х,у) Е И^2(П), К(£,г],х,у,£) непрерывна в области

определения и интегрируема с квадратом по QT для почти всех (.х, у) G Q, то существует единственное обобщенное решение задачи 2.2.

Доказательство теоремы базируется на полученных в работе априорных оценках.

В третьем параграфе второй главы для уравнения (2.4) рассмотрен пример, в котором исследуется задача в параллелепипеде Пг = (О, I) х (0, р) х (О, Т).

Задача 2.3. В области Пт найти решение уравнения (2.4), удовлетворяющее начальным условиям (2.5) и нелокальным условиям

( v I

ихи{1, у, t) + аих{1, y,t) + ff K(l, у, Г1, t)u({, 7], t)d£dr} = О,

о о р I

ихп{О, У, t) + аих{0, y,t) + ff К{0, у, f, rj, t)u(£, г), t)d£dr] = О, / 0 0

р I

uytt(x, р, t) + buy(x, p,t) +ff K(x,p, г/, i)u(f, г/, t)d^dT] = 0,

о 0 v l

Щи(х, 0, t) + buy{x, 0,0 + // K{x, 0, v, t)u(€, 7], t)d$dr} = 0.

0 0

Теорема 2.3. Пусть c(x,y,t) G C(ÜT), f(x,y,t) G L2{Пт), K{x,y,e,r],t) G C(fi x Пг), <p(x,y),ip(x,y) G , то суще-

ствует единственное обобщенное решение задачи 2.3.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Людмиле Степановне Пулькиной за постановку задач, ценные советы и постоянное внимание к работе.

Список литературы

[1] Кириченко, C.B. Об одной нелокальной задаче для гиперболического уравнения/ С.В.Кириченко//Тезисы докладов конференции "СамДифф-2009". Самара. 2009. - С.62.

[2] Кириченко, C.B. Нелокальная задача для гиперболического уравнения/ С.В.Кириченко//Сборник научных трудов по материалам второй Всероссийской научно-практической конференции "Интегративный характер современного математического образования". Самара. 2009. - С.33.

[3] Кириченко, С. Я Сведение нелокальной задачи для уравнения

смешанного типа к задаче для нагруженного уравнения/ С.В.Кириченко//Труды восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара. 2011. - С.93-95.

[4] Кириченко, C.B. Задача для параболического уравнения с нелокальным по времени условием/ С.В.Кириченко //Материалы Воронежской зимней математической школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж. 2013. - С.115-116.

[5] Кириченко, C.B. Краевая задача для гиперболического уравнения с нелокальным по времени условием/ С.В.Кириченко //Тезисы докладов Четвертой Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева. Москва. 2013. - С.203-204.

[6] Кириченко, C.B. Задача с нелокальными по времени интегральными условиями для гиперболического уравнения/ С.В.Кириченко //Сборник материалов Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Белгород. 2013. - С.91.

[7] Кириченко, С. В. Нелокальная задача для псевдогиперболического уравнения/ С.В.Кириченко //Сборник материалов XI международной Казанской летней научной школы конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы". Казань. 2013. - С.240.

[8] Кириченко, С.В. Задача с нелокальными по времени интегральными условиями для гиперболического уравнения/ С.В.Кириченко //Вестник СамГУ. - 2013. - № 6(107). - С 3036. (ВАК)

[9] Кириченко, С. Я Задача с нелокальным интегральным условием для псевдогиперболического уравнения четвертого порядка/ С.В.Кириченко //Вестник СамГУ. - 2014. - № 3(114). -С.42-51. (ВАК)

[10] Кириченко, С. В. Задача с нелокальными начальными данными для одномерного гиперболического уравнения/ С.В.Кириченко, Л.С.Пулькина //Известия ВУЗов. Математика. - 2014. - № 9. - С. 17-26. (ВАК)

[11] Kirichenko, S. Boundary value problem with non-local conditions in time for hyperbolic equation/ S.Kirichenko// "International conference dedicated to the 120th anniversary of Stefan Banach". Lviv. 2012. - P.207-208.

Подписано в печать 25.11.2014. Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ 192.

Отпечатано в Самарском государственном университете путей сообщения. 443022, Самара, Заводское шоссе, 18. Тел.: (846) 225-68-36.