Краевые задачи для уравнений третьего порядка смешанного псевдо- параболо- гиперболического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯЖА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ.

§ I. Функция Римана по Колтону

§ 2. Задача typca.

§ 3. Краевая задача с нелокальным уело- ^ вием А.М.Нахушева для псеЕДопараболического уравнения с независящими от времени коэффициентами при младших производных по пространственной координате.

§ Краевая задача с нелокальным уело- 54-вием А.М.Нахушева для общего уравнения псевдопараболического типа с зависящими от времени коэффициентами.

ГЛАВА П КРАШЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПС ЕВДО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЮ И СМЕШАННОГО ТИПОВ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА.

§ I. Нелокальная краевая задача для псевдогиперболического уравнения . ^

§ 2. Первая краевая задача для модельного уравнения смешанного псевдо-парабологиперболического типа.

§ 3. Нелокальная краевая задача для уравнения третьего порядка смешанного псевдо-параболо-гиперболичес-кого типа

Еще в 1912 году Ивенсом ( Eva/is в. С. ) были начаты исследования интегро-дифференциальных уравнений параболического типа, описывающих различные физические процессы с учетом эридитарных явлений [i, 2 ] .

Эти уравнения имеют вид t ы -фт^-о (o.i) где о * г: £ , О * i + Т '

Если предположить, что (&) е @Т) и решение уравнения (0.1) искать в классе дважды непрерывно-дифференцируемых функций fcc,-h) , то, очевидно, это уравнение редуцируется в уравнение в частных производных третьего порядка

У-ЯМ = ° ■ (0.2)

Обратно, любое решение уравнения (0.2), удовлетворяющее начальному условию

Я,О) - lijcz fa о) =0, будет являться решением уравнения (0.1) .

К уравнениям такого же типа, что (0.2) приводят многие весьма важные задачи механики (См [з] ), особенно теории еолн с диссипацией [ч] и переноса влаги в капиллярно-пористых средах [б, 7J , а также динамики канатов и цепей [д]

Дифференциальное уравнение продольных колебаний однородного призматического стержня Oz £ ^ £ , на которого действует сумма сил упругости и сопротивления, пропорциональная первой степени их скорости имеет вид (см. £qJ , см. также [9,I0j )

EUxz=0, (0.8) где Ufaji:) - смещение сечения с ординатой в момент времени i TJ , Л - коэффициент силы трения, р - плотность материала, Е - модуль упругости.

При определенных физических допущениях уравнение магнитно-гидродинамических волн в идеальном несжимаемом, однородном потоке плотности р , с магнитной проницаемостью jh, и; с электропроводностью 'У записывается в форме р[2 ]

H**t ~ U-i-t (0.4) где - магнитное поле в точке 3- - СС/VjU^ в момент времени: ~t , С -JllzУН^ /р^

Следуя А. М. Нахушеву [~7 J уравнение вида й^Фхы (0.5) будем называть уравнением псевдогиперболического типа, если при Вs <9 , [il] уравнения вида (0.5) принято называть уравнениями псевдопараболического типа:;

Важнейшим классом уравнений псеЕДОгиперболического типа является класс уравнений вида с оператором теплопроводности в главной части [з]

Исследованию локальных краевых задач для уравнений гида (0.6) посвящено довольно много оригинальных работ советских и зарубежных математиков, среди которых особо следует отме -тить работы М.С.Салахитдинова [l'6 ] , Т. Д. ДжураеЕа [з] и их учеников.

К уравнениям псегдопараболического типа сводятся также многие задачи прикладного характера.

Достаточно отметить, что уравнение Елагопереноса в почео-грунтах, известное под названием уравнения Аллера, имеет вид (см. [б] ).

Ш • h Ш^Ш], где 3) (и)) - коэффициент диффузитиЕности при влажности iO~ U)[X)t) в точке JC. в момент Бремени ~Ь

Среди работ посвященных как локальным, так и нелокальным краевым задачам для уравнений псевдопараболического типа и непосредственно примыкающих к данной диссертации следует отметить работы Д.Колтона ( 3). Cotion, ) [l3 ] , [т] М.Х.Шханукова [21] - [2б] и В;З.КанчукоеЕа [27J .

Цель работы состоит в исследовании основных краевых задач как для псевдопараболических и псевдогиперболических, так и уравнений смешанного псевдо-параболо-гиперболического типа, а ее главная задача заключается в том, чтобы доказать справедливость:

1) теоремы единственности и существования решения задачи Гурса для общего псевдопараболического уравнения;

2) теоремы единственности и существования решения краевой задачи с нелокальным условием А.М.Нахушева для псевдопараболического уравнения;

3) теоремы единственности и существования решения нелокальной краевой задачи для общего псевдогиперболического уравнения;

4) теорем единственности и существования решения локальной и нелокальной краевой задачи для модельного и общего уравнения третьего порядка смешанного псевдо-параболо-гиперболического типа.

Исследования в основном проводятся методом редукции к нагруженным интегральным уравнениям типа Вольтерра и Фредголь-ма второго рода'. Метод опирается на аналог функции Римана как в смысле Д.Колтона ["l3j , так и е смысле М;Т.Шханукова [22]

При доказательстве единственности; и существования решения краевых задач для уравнений смешанного псевдо-гиперболо-пара-болического типа существенно используется функциональная сеязь между следом искомого решения и следом производной по направлению нормали на характеристической линии; изменения типа.

В работе впервые дано:

Г. Доказательство теорем единственности и существования решения задачи iypca и краевой задачи с нелокальным условием А.М.Нахушева для общего уравнения псевдопараболического типа;

2. Доказательство теоремы об однозначной разрешимости одной новой нелокальной краевой задачи для общего псевдогиперболического уравнения.

3. Доказательство теорем единственности и существования решения одной локальной и одной нелокальной краевых задач для уравнения третьего порядка смешанного типа.

Результаты работы носят теоретический характер, но они могут быть успешно применены при анализе математических моделей физических процессов, учитывающих эридитарные явления, в линейной теории! волн с дисипацией, а так ке при исследовании; динамики канатов и цепей;

Диссертация состоит из двух глаЕ.

Первая глава посвящена исследованию краевых задач для псеЕДопараболических уравнений третьего порядка с двумя независимыми переменными и состоит' из b параграфов.

В § I в прямоугольной области О * Jt г. i » О ^ У < Т} рассматривается уравнение

Lu- Uxxy +а(х)их+6(х,у)щ +С(Ф~{С*>У)> (0.7) где Л ~ С0П5i Ф О , , у) , с(#) , f-(x, У) - заданные непрерывные в замыкании; jQ. функции:.

Пусть У J t Ус) - является решением уравнения

L*V= Рхху -Л?** £*»■]+о и удовлетворяющее краевым условиям

У; ло, Уо) = о, V-fa у'о ) — о J и^рь, Уо) = -jll - е у.

Д.Колтон [13] назвал функцию Ф (Я,У; ЛЬ, У*) функцией Римана и доказал, что если й Сл) и 6р?У) непрерывно-дифференцируемы, то она существует и притом единственная.

В этом параграфе дается другой метод доказательства существования функции Римана, который позволяет легко последовать ее конструктивные и дифференциальные свойства.

Основным результатом § I ягляется

Теорема I.I. Существует и притом единственная функция ftfat У) , которая ягляется регулярным в области решением уравнения L*1}" =• О и удовлетворяет условиям

W = о W - о

U^OCo >

Во втором параграфе доказано, что единственное решение tip, У) задачи Руре а иСя,0) = Ъ(х) 9 0 (0.8) и[е,у)=ч>(у)9 их(е>у)=Ф(р)9о*у<т9 (о.9) где Ч>(У) и ОД еС'[0,Т[? Ъ(х)еСлМПС'Ш] для уравнения (0.7) задается формулой I и я С [Ю && 0 > ^ Ю ? '(кЩ 0§, О ; я, у)] d§ -у о

-а(е)Ч> '(р) ?/а, у) +Л <Р(е) & 2: х, у) + + Л 4>'0г) &ш(е,т a, у)+ у е о X

В этсш же параграфе в области XX рассматривается общее уравнение псеЕДОпараболического типа (ияу +л(я, v)v* + б(*. + + со; 10) а(Х, У) Ux -h У) У У + С fa у) и = г/J где v) , -6(я, у) - непрерыЕно-дифференцируемы, а у), у) , у) - непрерывны в

XL .

Регулярным решением (0.10) называется функция ц(л,у)ес(л-)пс4(1£) 9 ихуес(п.°), где XI*-XI у^ Т j . которая обращает уравнение (0.10) в тождество."

Главный результат § 2

Теорема 1.2. Существует и притом единственное регулярное решение задачи Гурса (0.8), (0.9) для уравнения (О'.Ю).

Третий параграф посвящен следующей краевой задаче с нелокальным у ело ей ем А.М.Нахушева для псевдопараболического уравнения (0.7).

Задача 1.4. Найти регулярное в области XI решение life.,У) уравнения (0.7), непрерывное в XX , обладающее тем свойством, что /11х и Ну непрерывны еплоть до х -1 , О < У < Г и удовлетворяющее локальным условиям и(*,о) г (я) , (е, у) = и одному из следующих нелокальных условий

JZ и [е, у) и*су) у) ■+ j-1 е где t[x) , ^(у), 6*(у) * /ЗоСУ) , Су) - заданные непрерывные в замыкании области их определения функции, ЭСо - заданная точка из полусегмента [0,£L .

Будем говорить, что коэффициенты уравнения (0.7) удовлетворяют условию со , если для всех соСУ) = 1-Х. * О, где У) - Функция Римана задачи Гурса.

Основной результат этого параграфа сформулирован в виде следующей теоремы

Теорема 1.3. Пусть d^Cy) » /= /Г^ , &(у) , Ч* (УJ принадлежит классу С^[D> Т*] #> 'Pft) && А С » i)yy£Q(-CL) и коэффициенты уравнения (0.7) удовлетворяют условию со . Тогда задача 1.4 разрешима и притом единственшм образом.

В четвертом параграфе рассматривается краевая задача с нелокальным условием А.М.НахушеЕа для общего уравнения (0.10).

Функцию <Ц (я, у) назовем обобщенным решением уравнения (0.10), если она является решением следующего нагруженного уравнения У и (х, У) = и (О, у) (о. у; X, у)-fy 2 > я, у) + о л{о,2)1>(о,2;x,y)vx(o,2) + (о, 2;^ у) ~

- JsfaeJfrftpjMj -£(0,2)7^(0,2у) +

Л' а(о,2) '$Со,2;ее,У)]fati о У sc. у) иш (moj]с!щ -+JJр; ос, у) % д>) ) о о обладающим тем свойством, что 11(0, у) , Zisc(o,y)<~C.lO,T]>

VfaD)e C1[o,t].

Здесь ^(Ш, Q, / X, У) - функция Римана по терминологии МД.Шханукова \22] .

Будем говорить, что коэффициенты уравнения (ОЛО) удовлетворяют условию и) , если для Есех 2/6 [0,1'J п

СО (У) - %(0tyiP,y) -J> ^(у)г1с(о,у.аи-1у)ф0, /

Задача 1.5. В области п. найтк обобщенное решение уравнения (O.IO), удовлетворяющее локальным услови:ям и fa, о) = Ifa) 0 о * л* е ? По, (О, у) = 9 (у) , О < у <7 и одному из следующих нелокальных условий г и (в, у) = с{J'(y) Ufa-, у) ■+ с?(уJ, или е

11 (в, у) = J Sb(z, У J Ufa, yjtfa* <P(j?J % где <h(x) , g(yjy Sfa^J, ct^vJ, /= , ^ заданные непрерывные в замыкании: области их определения функции, Л'0 е [О, ВL , причем

О * * ЭС4 < . . < л: ^ * £ .

Основным результатом § 4 является следующая теорема 1.4. I

Теорема 1.4. Пусть о1Л(У) 9 J~ 1, к , &(У), ЯСУ) принадлежат классу С [0,Т] 9 hQc) G С 1 [О, В ] и коэффициенты уравнения (0.10) удовлетворяют условию и) . Тогда задача 1.5 разрешима и притом единственным образом.

Во второй главе в основном изучаются нелокальные краевые задачи для широкого класса псеЕДОгиперболических и смешанного типов уравнений третьего порядка.

В первом параграфе в области Q рассматривается уравнение & ы* + h у) и] + С0Л1) rfayju = F(x,y)> где ГII = иху у) + У J щ + eft, yj -и.

Предполагаем, что коэффициенты уравнения (0.II) непрерывно-дифференцируемы в замыкании: JTL и F(x, У) е С (IX.).

Задача 2.1. Найти регулярное в области .0 и непрерывное в STL решение уравнения (0.11) удовлетворяющее нелокальному краевому условию зс и одному из следующих ДЕух локальных условий

И (О, У ) Ч>*(у) р О) = н 6%), (0.12)

Н(х) 9 u[e;yj=%СУл со;к) хб Ео,г ] > у е Loyrj где у) , сро СУ) , (X) f <f>e (yj " заданные непрерывные функции,

Центральное место в этом параграфе занимает

Теорема 2.1. Задача 2.1 в случае условия (0.12) Есегда разрешима и притом единственным образом, а в случае условия (0.13) оно эквивалентно нагруженному интегральному уравнению типа Вольтерра.

Во втором параграфе в прямоугольной области

XI = {(it, у) - о * л * е, у0 <. у у< 3 у о < о ] рассматривается модельное уравнение смешанного псевдо-параболо-гиперболического типа Ally , У О ^ У ^ О J (0.14)

11XX у — ]

L ju Uyy , о < У 4 у,, где Л, JM* - постоянше, отличные от нуля.

Задача 2.2. Найти регулярное в области и непрерывное е -О решение И(эс,У) уравнения (0.14), имеющее непрерывную производную Ну и удовлетворяющее краевым услоеиям и (о, <р„ (у) г ц(е. у J = ife(y) у 6 ff, и (я, Vi) = , о < е.

В этом параграфе доказана

Теорема 2.2. Если JU <> О и ^ ^ /С ^ , ул<0, . - , то задача 2.2

Есегда разрешима и притом единственным образом.

В третьем параграфе второй главы рассматривается уравнение su=0, (o.i5) где ^лху + + && Wz

Su^l где

Ги=- tlx.I/ + A fay) и* + Bfayjutf +С fry) и,

JC у , СX , о ft # , У 6 £ (/XL J.

Под регулярным решением уравнения (0.15) будем понимать функцию 11 [х, У) со следующими свойствами:

1) - непрерывна б Еместе с производной И у ;

2) 4[JC,y) - имеет непрерывные в SX производные, входящие е оператор 3 и удовлетворяет уравнению (0.15) ;

3) U(Z,y) при У ^О имеет непрерывные вплоть до отрезка ЭС - О , уа ^ У^О производные и U^y .

Задача 2.3. Найти регулярное в области jOl решение И(эс,У) уравнения (O.I5), если известно, что и (о, у) — <Р(у) , ¥уе[у0,т], и (е, У) = V(у) , v у е [о, 77, я:

Ги/ yjds + У) , где чсу), у (у), 1(я.ю - заданные, непрерыЕНО-диф-ференцируемые в области их определения. Лемма 2.1. Пусть I) i.i) Cli^o) = , d ft, °J= Л М[Ол & o) + Г 'fa o)J ; или

2) Для Есех ос £ 'j соблюдено одно из следующих условий:

2.1) £(Z/OJ*D ;

2.2) dftto)=0J 0&О)ФО i

2.3) Cft'toj^a^fyfroj-hyfaoj^o;

2.4) aft,o)> о , afaoj j

2.5) & (Я,о) = О , 6 (я. ojф. О;

2.6) а,(л,о) = о9 6(<х,о)~о, Ы(л(о)фО)

2.7) d(a,o) * О, У<%£</о% / afaoj^o, з) ffaoj^o, Ш^Ф'Со^Ще)* = тогда любое решение задачи 2.3 обладает тем сеойстеом, что tlfaoj&o, Щ(Я>0)зО.

Теорема 2.3. Пусть выполнены условия I) и 2) леммы 2.1 и

0(сс,у)<О 9 VOx.vJeSX*', тогда задача 2.3 не может иметь более одного решения.

Теорема 2,Пусть выполнены условия теоремы единственности 2.3 и б fro), 4fro) е сЧо,е],

Мяо), г (я,о) 6 e*[otej

Тогда при дополнительном предположении о том, что либо t У , для всех [О, с] , либо s ± задача 2.3 имеет регулярное в области -Q решение .

Теорема 2.5. Пусть

B(x.oJ=0, Rx&oi+fi&o^ofao), Vxefoi] и для всех (X выполнено одно из следующих условий:

I) Л (я,о) ф <г(я,о)9

Л & о)-a fa oj]> [Сх faoj+fy fa о) - ctfa о)]* О и г) Л(зс,о) = и(л%о)9 @(я,о) - о)фО ; (0.17)

3) clfro), dx&'o)-^ ~ о) =о\ (0.18)

Сх txfO)~hf>y[sc,o) -hffao) - dfaoj-* О , ifao), dfrfi); efaoj, /froj £ С 4(se, о) j о), pfa old fa o); fyfao) e e*-[0,tj.

Тогда задача 2.3 имеет не более одного решения; В этом параграфе рассмотрена

Задача 2.4.' Найти регулярное б области -О. решение Щя,У) уравнения (0.15), удовлетворяющее условиям

К (О, У J = % (pj j У0 < у <с Т 9 ■ ■их(о} У)= Щ(у) , о + у + 7\ X гп! = j- / vjo/щ + yj,

Для задачи 2.4 справедлива

Теорема 2.6. Пусть выполнено условие (0.16) теоремы 2.5 и для всех JCe[0,9] выполнено одно из следующих условий

1) afc.o)

2) (0.17) ;

3) (0.18);

Тогда задача 2.4 имеет не более одного решения.

Основные результаты диссертации: докладывались и обсуждались неоднократно на научно-исследовательском семинаре по современному анализу Кабардино-Балкарского ордена Дружбы народов государственного университета (руководитель - заслрсенный деятель науки КБАССР, доктор физико-математических наук, профессор А.М.Нахушев), на. Республиканском симпозиуме по дифференциальным уравнениям [28 J , где мною были доложены результаты связанные с краевыми задачами для уравнения вида

2- (ащ + = / у > на объединенном научно-исследовательском семинаре по уравнениям смешанного типа и их приложением к моделированию и автоматизации; проектирования мелиоративных и водохозяйственных систем (руководитель - член-корр. АН СССР, академик АН ГССР А.В.Бицад-зе), на ХХ1У научной конференции: студентов и молодых ученых, посЕЯщенной ИЗ годовщине со дня рождения В. И.Ленина., проходившей в мае 1983 г. в г.Нальчике, на расширенном заседании.; научно-исследовательского семинара по современному анализу, посвященного 50-летию со дня рождения академика. АН УзССР М.С.Салахит-динова.

В заключение приношу глубокую благодарность моему научному руководителю Адаму Маремовичу Нахушеву за руководство данной работой.

Г Л. А В А I

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМ