Краевые задачи для уравнений четвертого порядка и уравнений смешанного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Специализированный совет Д 01.94.27

Р Г Б ОД

На правах рукописи

СОПУЕВ АДАХИМЖАН

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА И УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Бишкек -1996

Работа выполнена в Ошском государственном университете.

Научный консультант: академик АН Республики Узбекистан, доктор физико-математических наук, профессор Т. Д. Джураев

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук, член-корреспондент HAH Республики Казахстан, профессор Т. Ш. Кальманов ;

- доктор физико-математических наук, профессор С. Абданазаров ;

- доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник

С. Н. Алексеенко.

Ведущая организация: Институт теоретической и прикладной математики HAH Республики Казахстан

Защита диссертации состоится " » ¡мсиЛ~ <995 г. в 4У* часов на заседании Специализированного совета Д 01.94.27 по присуждению ученых степеней доктора и кандидата физико-математических наук в Институте математики HAH Кыргызской Республики.

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной библиотеке HAH Кыргызкой Республики.

Автореферат разослан " Я- " O-UxJb 1996 г.

Отзывы на автореферат просим прислать по адресу:720071, г. Бишкек - 71, Проспект Чуй, 265 - а, Институт математики HAH KP, Специализированный совет Д 01.94.27.

Ученый секретарь Специализированного совета, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник

С. Искандеров

- 3 -

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Математическое моделирование многих процессов, происходящих в реальном мире приводит к изучению нестандартных начально-краевых, прямых и обратных задач для уравнений в частных производных, не имеющих аналогов в классической математической физике.

Возникшие в приложениях проблемы, в частности проблемы околозвуковой и сверхзвуковой газовой динамики, безмомент-ной теории оболочек и другие привели к систематическому изучению уравнений смешанного типа, которые в разных частях рассматриваемых областей принадлежат к различным типам, а на линии раздела выполняются условия сопряжения.

Первые фундаментальные исследования уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа были выполнены Ф. Трикош и С. Геллерстедтом. Основополагающие математические результаты в этом направлении получены в работах М. А. Лаврентьева, А. В. Бицадзе, К. И. Бабенко, Ф. И. Франкля.

Оригинальные результаты по теории уравнений смешанного типа получены и развивались в различных направлениях в работах М. А. Абдрахманова, С. А. Алдашева, Ю. М. Березанского, В.Ф. Волкодавова, В.Н. Врагова, Д.К. Гвазава, Т.Д. Дяураева, В. И. Жегалова, Т. Ш. Кальменова, Б. И. Моисеева, М. М. Мередова, A.M. Нахушева, С.П. Пулышна, М.С. Салахитдинова, М. М. Смирнова, К. В. Сабитова, М. А. Садыбекова, А. К. Уринова , В. Исломова и многих других.

Одним из важных классов уравнений с частными производными являются уравнения составного и смешанно-составного типов. Корректные краевые задачи для уравнений смешанно-составного типа впервые исследованы А. В. Бицадзе и М. С. Сала-хитдиновым, Т. Д. Дяураевым. Обзор работ, посвященных изуче-

наю уравнений составного и смешанно-составного типов имеется в монографиях М. С. Салахитдинова и Т. Д. Джураева. Системы уравнений составного типа рассмотрены в работе А. Джурзева.

Систематическое изучение уравнений третьего порядка содержание в главной части смешанные операторы параболо-ги-перболического типов началось в начале семидесятых годов и интенсивно развивается в работах 'Т. Д. Джураева и его учеников.

Т. Д. Джураев и Я, Попелек исследовали вопросы полной классификации и приведении к каноническому виду уравнения

Áu -í- Bu - Gü -i- Dli =

У- ~ Y- У > " " >-УУ УУУ

= F(x,y,'d,u:_ ,u ,Uxk ,u;;.. ,uyv),

где А, В, О, I) являются функциями от х и у.

Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнения третьего порядка изучены в работе М. X. Шханукова методом Риманз.

В настоящее время в связи с проблемами геофизики, океанологии, физики атмосферы, использованием криогенных жидкостей в технике я ряда других проблем значительно возрос интерес к изучению динамики различных неоднородных, и в частности стратифицированных жидкостей, которые приводят к начально-краевым задачам для уравнений четвертого порядка с частными производными , Исследованию начально-краевых задач для уравнений динамики стратифицированных жидкостей посвящены серии работ А. Г. Свешникова, С, А. Габова, Б, Б. Оразова, Ю. Д. Плетнвра и других.

На важность исследования краевых задач для уравнений смешанного типа четвертого порядка указывал А. В, Бицадзе. Различные краевые задачи для такого уравнения изучены в работах М. М. Смирнова, U. М. Мередова, В, И. Жегалова.

- D -

Многочисленные приложения уравнений с частными производными четвертого порядка приводят к необходимости рассмотрения вопросов классификации и приведения к каноническому виду уравнений четвертого порядка

Au + Ви + Си + Du + En

X X х х х х х у х ч у v х у у у V V V У

= ?(X,y,U,U ,и „и ,и ,Ц ,11 ,11 ,11 „U ), (1)

И ' у У.У. * ху ' уу XXX ку.у у.уу > У У У

где А, В, С, В, В являются функциями от х и у, а также исследованию краевых задач для таких уравнений и уравнений

смешанного типа.

Цель работы. Основной целью работы является:

1) Классифицировать по типам линейные дифференциальные уравнения четвертого порядка с частными призводными и приведения их к каноническому виду.

2) Развитие метода Римана для гиперболических уравнений четвертого порядка, исследование качественных свойств функции Римана и корректных краевых задач для гиперболических уравнений четвертого порядка.

3) Исследование вопросов существования и единственности решений краевых задач для уравнений смешанного типа на плоскости и в пространстве.

Методика исследования. В работе использованы методы эквивалентного преобразования уравнений с частными призводными, принцип экстремума и интегралов энергии, метода Римана и тепловых потенциалов, теория интегральных уравнений Воль-терра, Фредгольма и сингулярных интегральных уравнений, принцип сжимающих отображений и интегральное преобразование Фурье.

Научная новизна. Основные научные результаты:

1. Указаны необходимые и достаточные условия классификации по типам линейных дифференциальных уравнений четвертого

- б -

порядка с частными производными , непосредственно по их коэффициентам.

2. Найдены способы приведения к каноническому виду линейных дифференциальных уравнений четвертого порядка с частными производными.

3. Развивается метод Римана для гиперболических уравнений четвертого порядка. Изучены экстремальные и экспоненциальные свойства функции Римана. Методом Римана исследованы обратные задачи для гиперболических и псевдопараболических уравнений.

4. Доказаны теоремы существования и единственности решений задачи Трикоми для общего и вырождающегося параболо-ги-перболического уравнений. Получена априорная оценка решения. Построены функции Грина для вырождающегося параболического уравнения второго порядка в случае криволинейных областей и изучены свойства тепловых потенциалов.

5. Доказаны теоремы существования и единственности решения ряда краевых задач для гиперболических, смешанно-гиперболических и смешанных параболо-гиперболических уравнений четвертого порядка с одной и двумя линиями сопряжения.

6. Изучены задачи Трикоми и Геллерстедта для смешанного параболо-гиперболического уравнения в пространстве.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы представляют прежде всего теоретический интерес. Они могут быть использованы при классификации и приведения к каноническому виду уравнений в частных производных четвертого и более высокого порядков, при разработке теории краевых задач для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типов, а также при решении прикладных задач, приводящихся к таким уравнениям.

Апробация работы. Результаты работы регулярно обсуждались: на семинаре по неклзссическш уравнениям математической физики Института механики и сейсмостойкости сооружений АН УзССР (1981-1984 гг, руководитель -академик АН УзССР Т. Д. Джураев), на семинаре по дифференциальным уравнениям Института Математики АН УзССР (1931-1984 гг, руководитель-академик АН УзССР М. С. Ca лахитданов), на Ташкентском го--родскои семинаре по дифференциальным уравнениям (19851935 гг, руководители - Академики АН РУз М. С. Caлахитданов и Т.Д. Джураев.), на семинаре кафедры математического анализа Ошского госунивереитетв (1985-1995 гг., руководитель- д.ф„-м.н., проф. С. К. Каримов). Отдельные результаты сообщались: на семинаре Института прикявдной математики Тбилисского госуниверситета ( 1982 г, руководитель- член-корр. АН СССР А. В. Бицадзе), на семинаре по уравнениям смешанного типа факультета ВМ и К МГУ ( 1991 г, руководитель- д.ф.-м.н., проф. Е.И.Моисеев), на семинаре Института математики HAH KP (1994-(995 гг, руководитель- академик HAH KP М.И.Иманалиев); во Всесоюзной школе молодых ученых ( г. Ташкент, 1988 г), на республиканских конференциях " Асимтотические методы теории сингулярно-возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач ( г. Бишкек, 1991 г.); " Дифференциальные уравнения и ах приложения " ( г. Ош, 1993); " Информатика и образование "( г. Ош, 1993 г.); в школе-семинаре " Граничные задачи для уравнений с частными производными " ( г. Ташкент, "994 г); на республиканской конференции " Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифференциальных уравнений " С г. Алма-Ата, 1991 г.); на юбилейной научной конференции, посвященной 50-летию развития математики в HAH Казахстана ( г. Алматы, 1995 г.); на Международных конференциях: " Дифференциальные

и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции " ( г. Самара, 1992 г.); " Аналитические и экспериментальные методы математической физики и проблемы их преподования ( т. Ош, '39*+ г.); "Современные методы и средства информационных технологий " ( г. Ош, 1995 г.).

Публикации. Основное содержание дассертации опубликовано в 28 работах. Из совместных работ приводятся те их части, результаты которых принадлежат автору.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, где дается краткое содержание работы и семи глав, разбитых на 28 параграфов. Нумерация параграфов, формул, лемм, теорем (замечаний, примеров)- двойная: первая цифра указывает на номер главы, вторая - на номер параграфа. Имеется 13 рисунков. Обьем текста 249 стр. Список литератур содержит 195 наименований.

Краткое содержание работы.

Перейдем теперь к более детальному изложению содержания диссертации, состоящей из семи глав.

ГЛАВА I

В § 1.1 сформулированы основные результаты первой главы. Рассмотрим в некоторой области плоскости дифференциальное уравнение четвертого порядка с двумя независимыми переменными , линейное относительно старших производных вида (1), где А, В, С, Б, Е - заданные функции из класса С*. С помощью преобразования переменных Г|--Г;(х,у), допускающего

обратное преобразование, получаем новое уравнение< эквивалентное исходному:

(5 > 11 > и >и £' | >и £ £»и ' • и£ £ £' *и <;Тр)' '^Трг/Т]'' ' (2)

- у -

Клет но сто слгдущи-з лемш.

Ле/л,;а ? .1.. ^удацля является ршепнеы ушшетзш

' ' V Л у у у

ТСГДй ¡1 ТОЛЬКО тогда, тагда ССОТНОЩвЯНЭ ф(л у

стеуллле*? CC5D3 оййий . • 1л сбыхповвкксп' дийф£реЕйЯ9Дьне-

InpsKTipiicni^scKce урозпекке

, , j - , •. , 2 .

-S.'v "IVl^i-J

ут/вдкез'л кдрзгкэрйстнк после подстановки Б

iipiiscisircs :<

+ L'.U" ■f-Cl.'.-.-r-.-C , (-i i

к^очого жздс^чвш э няле

сть А, - «асхрамня»нт характерно—г-ес^ого тразнежд, •: :•-•

УСЙЕНВШШ и' Язцця жсто "сяяество , где

-якобиан преобразования переменных, Лемв^^^З, Длл того тгсбн уравнение (4; ч* uii чдгд i-ripaTHKil дейстзнтэльннй йсренъ: б) один Э-кратЕцй к одан 1 -краткий действк-геяъные корни; р) два различных

лелсхзи^&льчьзх корня; г) двч разлкчЕкх Р-зфзташ: керня; л; oseк 2-кратный и два раг-жгсга: дейсгз'гтельшгх корня; а; один ¿--арутньй дгйс^йктй-дй-i ^оадж:сно-сеорялешЕ2 ксрчй- 2) " psasrisiii ДЭЙС-ТОй~гЛЬгШХ корня" 3) ЧЭЩЯ 93BC:ZFr*blX пошяексно-сспр?-хеках :;орня; д; два рчвлнчны:-: дейстзгггельнкх г два кон-корня, несюхошмо и достаточно вкаолнеЕпе сяэыухщы. условий соответственно ¿-=0, p-ü, r=Q »Ъ;: А=0, р<0, р'-н^г-О (о};

Д=0, р<0, 4=0, г>0 (7); Д=0, р>0, д=0, г>0 (8);

Д=0, р<0, -рг<12г<3рг (9); Д=0, р>-2УР, т>0 (10);

Д>0, р<0, -р2<12г<3р2 (11);

Д>0, р>-2у?, г>0, р*2Уг (12); Д<0 (13);

Теорема 1.1. Если в окрестности точки Р выполняется одно из условий: (5)-(9), то уравнение (1) в некоторой окрестности этой точки может быть приведено соответственно к следующему каноническому виду:

►=Ф (Н);

итгф

(15);

а" .4я

«Г

Ьг^ч)

(16);

[¿Г Щ

=Ф

(17);

гЬг ] = ф>

(18);

где

Замечание 1.1. В случае выполнения условий (8) будем считать, что. коэффициенты уравнения (1) аналитические функции.

Теорема 1.2. Пусть коэффициенты А, В, С, Б, Е уравнения (1) постоянны и выполняется одно из условий (10)-(13). Тогда уравнение (1) приводится соответственно к следующему виду :

Н'

а^аг]

(20);

+ Ь

=ф

(21);

—--+G —-

(и«+иттК (22),

где а, Ъ, с - const, причем Ь:0.

Замечание 1.2. В общей случае, т. е. в случае переменных коэффициентов уравнения (1), утверждения теоремы 1.2 имеют место при весьма жестких ограничениях на коэффициенты А, Б, С, В, Е.

Исходя из (5)-(13) и (14)-(22) можно дать следующую классификацию уравнения (1).

Уравнение (1) в точке Р назовем уравнением:

1 ) параболического типа , если выполняется условие (5), т.е. уравнение (4) имеет 4-кратный действительный корень.

2) гиперболического типа, если выполняется условие (б), (7) или (9), т.е. уравнение (4) имеет только действительные корни, причем один из них либо 2-кратный, либо 3-кратный.

3) строго гиперболического типа, если выполняется условие (11), т.е. уравнение (4) имеет четыре различных действительных корня.

4) эллиптического типа , если выполняется условие (8) или (12), т.е. уравнение (4) имеет два различных 2-кратных или четыре различных комплексно-сопряженных корня.

5) составного типа, если выполняется условие (10)

или (13), т.е. уравнение (4) имеет как действительные так и комплексно-сопряженные корни.

В § 1.2 приводятся доказательства лемм 1.1, 1.2 и 1.3.

В § 1.3 рассмотрено приведение к каноническому виду уравнений четвертого порядка с переменными коэффициентами, т.е. доказывается теорема 1.1.

5 1.4 посвящен приведению к каноническому виду уравнений четвертого порядка с постоянными коэффициентами. Доказывает-

ся теорема 1 .2.

В § 1.5 рассматривается линейное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами.

ГЛАВА II

Вторая глава посвящена построению функции Римзна для линейных гиперболических уравнений четвертого порядка и исследованию ее качественные свойства.

В § 2.1 в области В1={(х,у): 0<х<*\ 0<у<Ы для линейного гиперболического уравнения четвертого порядка Ъ (и)=и +а (х,у)и +а (х,у)и +Ь (х,у)и +Ъ (х,у)и +

1 л ' кхуу 1 л *** ' хху 2 * хуу i ' XX 2 ' «у

+Ьз(х,у)иуу+-с1(х,у)их+с2(х,у)иу+с1(х,у)и=]Г1(х,.у) , (23) изучена

Задача 2.1(Задача Гурса). Требуется найти решение уравнения (23), удовлетворяющее условиям

и(0,у)=ф1(у), их(0.у)=ф2(у), 0£У£Ц,

«(х.ОНф^х), иу (х,0)=ф2(х), 0<х<г,

Пусть 1)Яи:и€Сг(В )Ь{и:и , и , и еС(В )}.

** 4 4 хху хуу -<*УУ 1

Методом интегральных уравнений доказана

Теорема 2.1. Если функции а.,с. (1=1,2), Ъ.(3=Т73),

с!,ГеС(Б), <р (1=1,2)еСг[0,Ь], ф (1=1,2)еС2[0,г],

I I

<^(0)^(0), Ф2(0)=ф/ (0), ФА- (0)=ф2(0), %■ (0)=ф2' (0), то решение задачи Гурса в классе т существует, единственно и непрерывно зависит от данных 1, ф., ф, (,2).

Функцией Римана оператора Ь называется функция , удовлетворяющая условиям:

1) функция то по совокупности переменных

(х,у;С,г!) на В1 ; ,

2) при кавдой паре (х.у)^ функция ^(х.у^.т)) удовлетворяет уравнению

и условиям на характеристиках £=х и гру

где и со,(£;х,у) являются решениями следующих задач

Кожи соответственно:

^(х,у;х,7])1т;г.у=0, 15р^(х,у;х,Г|}!1. 0<Т]<у ;

у(А,У;С.У)]+Ь3(С,у)"5Г;(х,у;с,у} =-0,

Теорема 2.2. Если коэффициенты уравнения (23) удовлетворяют условиям

Г ; —-I О \ р 1' -' — • 'Л Н 1 '3 Ь Ъ

»-"' <ЧххУ» ~2хуу' °1хх' -2ХУ' зуу '

\ у А. \

то функция Римана существует, единственна и справедливо равенство ?])=■$*(?,т|;:х,у), где в* (£ ,т);х,у)- функция Римана оператора Ь*.

Существование и единственность функции Римана (:■:,у; 5,'П) непосредственно следует из теоремы 2.1.

С помощью функции Римана получены представления общего решения уравнения (23) в прямоугольных областях.

В § 2.2 устанавливаются качественные свойства функции Римана. Пусть -л'(х,у;?,Г|)- функция Римана уравнения (23) в области В '={(?,г]): 2<1<£, Соку}. Тогда имеет место

Леша 2.1. Если

= 3<:Ь3(х,у)-а2х(х,у)50, (25)

то'функции 1}(2,у;|,т;') и £,11) удовлетворяют неравенс-

твам

В лемме 2.2 утвервдае.тся что, частные производные первого порядка функции Римана по каждому ее аргументу выражаются через саму функцию Римана при тех же значениях ее аргументов по известным формулам.

Из леммы 2.2 непосредственно следует

Теорема 2.3(свойство "зкспоненциальности" функции Римана). Если в области В1 коэффициенты уравнения (23)

а.еСГ3(3А), Ъ2еСп+2(3 ), с .«КГ1 (]),)< и=1,2), сЫГ^),

то функщш Римана имеет по кавдому аргументу непрерывные частные производные до Пт2 - го порядка включительно, которые выражаются через саму функцию Римана с помощью конечного числа арифметических операций и операций интегрирования над ней и коэффициентами уравнения (23) и их частными производными указанных порядков.

Свойство зкспоненциальности функции Римана позволяет, например, оценивать ее частные производные через оценку самой функции Римана.

Экспоненциальные и экстремальные свойства функции Римана для линейного гиперболического уравнения второго порядка рассмотрены в работах М.Е. Леряера.

В § 2.3 строятся и изучаются аналогичные свойства функции Римана для гиперболического уравнения четвертого порядка с

тремя кратными характеристиками

,+а u +clu +3 и +6 и +т u '7,u +öu=f

у 1 яхх 2 XX у 1 хх '2 ху у. '2 V 2

ГЛАВА III

В этой главе рассмотрены основные краевые задачи для гиперболических уравнений четвертого порядка. Рассмотрены случаи, когда коэффициенты уравнений терпят разрывы.

В § 3.1 в области !)={(х у):0<х<г, 0<у<Ы для уравнения (23) изучены следующие задачи:

Задача 3.1 (Первая краевая задача). Найти в области В решение уравнения (23) из класса т, удовлетворяющее условиям

iKO.y^Cy), и(г,у)=<р2(у), a~y<h,

u(x,0)=<{)i(x), и (х,0)=фг (х), 0<rsi,

Задача 3.2(Третья краевая задача). Найти в области D решение и(х,у) уравнения (23) из класса те , удовлетворяющее условия

их (О.у)^ (у)и(0,у)-щ1 (у), и (г,у)=Рг (у)и(г,у)+ц2(у) ,0<y<li,

11(2,0)=^ (х), и.(г,0)=ф2{х), 0<х<г, Очевидно, что при ßL(y)sO получаем вторую краевую задачу.

Разрешимости этих задач устанавливаются методом Римана и указаны в следующих теоремах:

Теорема 3.1. Пусть выполняются условия (24), (25) и ф.(у)еСг[0,Ш, ф. (х)еС2[0,г], (i=1,2). ф4(0)=ф1(0),

<^(0)^(0, Ф/ (0)=ф2(0), (0)Н\(г),

тогда задача 3.1 в классе m имеет единственное решение. Теорема 3.2. Пусть выполняются условия (24), (25) и

- 1 6 -

Ууе'0,:1]:а2{г,у)+(3(у)5и, а_л (0,у)-гр1 (у)>С, 0^7), Мч(У)еиг':0,п], ф1(х)еСгЮ,-гЗ ,2),

Ф/ (0}=р110)ф1(0)+^1(0), и)=^(0)ф1(г)+ц2(0),

тогда решение задачи 3.2 в кассе те существует и единственно.

В § 3.2 в треугольнике Б, ограниченном отрезками АС и ВО характеристик уравнения (23) и отрезком АЕ прямой рассмотрены следующие задачи Коши и Дарбу.

Задача 3.3(Задача Коши}. Найти в области В решение уравнения (23; из класса и, их, гц, и еС(В), удовлетворяющее условиям

и1АВ=т(х), и |ЛВ=г»(х), иу!АВ=ц(х;. иху|дв=5с(У). (26)

Теорема 3.3. Если выполняются условия (24) и

[О,Л] ,У(Х) , а(х)еС1[0,й], %(Х)«С[и,:п.] , £ (Х.У)еС(В), то решение задачи 3.3 существует, единственно и представимо в явном виде через функции Римана.

Задача 3.4.(Задача Дарбу). Найти функцию ц(х,у), удовлетворяющую всем условиям задачи 3.3, если вместо первого условия (26) берется условие и(0,у)=ф(у), С£у£1г.

Теорема 3.4. Если выполняются условия (24) и ф(у)еС2[0,й], Г(Х), ц(х)еС1[0,ЬЗ ,%(х)-£СС0,Зг], ^(х.уМКВ) то задача 3.4 имеет единственное решение.

Доказательства теорем 3.3 и 3.4 осуществляется методом Римана. Приведены другие варианты задачи Дарбу. Однако, следует отметить, что краевая задача

и(х,Ь)=ф(х), ^АВ^ОО. иху|АВ =ц(1>, икху1АВ=х(х;

для уравнения (23) не является корректно поставленной, так как любая функция, зависящая только от у и обращающаяся в нуль при у=я является решением однородной задачи

и*хуу=0' и*|АВ=0' иху|лп 11жху(аВ=0» и(вс=и •

Следовательно характеристики х=сопзг и у=сопзг не являются равноправныш как носители граничных данных.

В § 3.3 рассматривается уравнение (23) в случае, когда коэффициенты уравнения терпят разрывы первого рода на линии х=хо, 0<хо<<", лежащей внутри области В={(х.у): Скхог, 0<у<1г} и изучена задача 3.5, заключающееся в определении функции и(х,у), удовлетворяющей уравнению (23) в области Б\(х=х ), и условиям

и(х,0)=ф1(х), иу(х,0)=ф2(х), 0<Х<Хо,

и(х,0)=фз (х). иу(хрО)=ф4(х), хо<х-=г,

и(0,у)=--?1(у), и(г,у)=ф2(у), 0<у£11 ,

а также условиям сопряжения на линии разрыва коэффициентов и(хо-0,у)=и(хо+0,у), и:1(хг-0,у)=ии(хо+0,у), а<у<Ь

и условиям согласования

С'^о>=С5{хо) .(1=1,2), фгио)=4»,<хо), Ф,(0)^(0), ^(ОНр/(0), ф3(г)--=Ф2(С), ф+(г)=фг'(0). (27)

Методом Римана доказана

Теорема 3.5. Пусть выполняются условия (24), (25), (27) И ф.еС2[0,Хо! (1=1 ,2),ф.-г=Сг[Хй,г](1=3,4),(р.еС2[0,11] (1=1,2),

тогда решение задачи 3.5 в областях и 32 существует, единственно и принадлежит классу т.

ГЛАВА IV

В четвертой главе рас-ссматривается применение функции Римана к решению прямых и обратных задач для уравнений в частных производных третьего и более высокого порядков. В § 4.1 рассматривается уравнение

[ш + 4 ) , (28)

Пусть Б={ (х,у):-»<х<+®, у>Ш.

Задача Коши. Найти решение уравнения (28) в области Б с начальными условиями

и{х,0)=фо(х), иу(х,0)=<р1{х), иуу (х,0)=ф2(х), -®<х<-н». (29)

Обозначим через Д(хо,уо) треугольник на плоскости х, у, ограниченный осью х и характеристиками уравнения (28), проведенными через точку (Хо,уо), а (х,у):хо-у <х2хо+уо,у-0>, <12={х,у):х=хо, СЬ;у<уо}.

Лемма ¿.1. Если для какого-либо у >0,

Ч[(У)еС[хо-уо, хо+уо1, <ро(х)«С4(^), ф. (х), ф2(х)еС2(.11),

Р(Х,У), ? (Х.У), Рхх(Х,У)еС(А(Хо>Уо)) , то в области А(хо,у ) существует единственное классическое решение задачи (28), (29).

Для уравнения (28) изучается следующая обратная Задача 4.1. Найти ц(у), если в области Д(хл,уо) решение задачи Коши (28), (29) при заданных функциях <^(¡.=0,1,2), Р известно при х=хо:

и(Х£>,у)=Г(у), У^т2. (30)

Теорема 4.1. Если выпоняются условия леммы 4.1 и

ШМ33(.Г2); Ц(у)1* а >0, у^2; <рк(хо)=Гк1(0), к-0,1,2,3,

то даш достаточно малых Ь>0 решение обратной задачи на отрезке [0,Ь] существует, единственно и принадлежит классу ССО.Ы. Теорема 4.1 доказывается методом сжимающих отображений. Имеет место теорема, характеризующая оценку условной устойчивости решения обратной задачи. Будем говорить, что Фк (к=0,1,2)Д, Р принадлежат классу ш(а,Кдо,уо), если они

удовлетворяют неравенствам

(у) !>а>0; | |<ро 1^ }<К . 1|С2 , к=1,2;

М <К , К=0.1,2; | |х| |гз,т .< К 1I I о (Л) С

с универсальными для всего класса положительными постоянными а, К. Аналогично q(y)e=QCM,zo ,уо), если М.

- Теорема 4.2. Пусть ^(у), - два решения обратной

задачи (28), (29), (30) с данным! 1, ? и ср , I, ?

соответственно. Пусть, кроме того, и а е ц(М,х), и

, Г, <рк. 1, ? е т(а,К,х.,уо). Тогда имеет место оценка

11 «1—4.1|фечр0| |4+| |фД| |2+| |<Р2-ФЛ2+! |Р-Р|

+ 1 I10+1 \?У,АЛо+\ 1^11е+11*"'-*"' Iи-

причем константа С зависит только от выбора классов та(а,Х,хо,ус), 0(М,хо, уо).

В § 4.2 методом Римана и интегральных уравнений изучена задача Гурса и две обратные задачи для вырождающегося гиперболического уравнения третьего порядка

и -^и. +а£х,у)^+Ь(х,у)иу+с(х,у)и=?(х,у), р>0.

В 5 4.3 результаты § 4.2 обобщаются для гиперболического уравнения высокого порядка вида

, -уп , . 1) , цх.у;—- + ) а,. IX,у)-—г =~чх.У;.

^ Л-Г

ГЛАВА V

Пятая глава посвящена постановке и исследованию коррект-

них в классическом смысле 1фаевых задач в различных областях плоскости для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа.

В § 5.1 рассматривается уравнение

( Ь1[и]=ихх+а1(х,у)их+Ь1(х,у)иу+с1(х,у)и в 0= (31)

I Ь2[и1них1(-иуу+а2(х ,у)ии+Ь2(х,у)иу+с2(х,у)и в В г,

где В1={(х,у):0<х<1, 0<у<Ю, В2={(х,у): -у<х<у+1,

- <У<0>. Пусть «Т={ (х,у):0<х<1 , у=0>, Б=В1^иВг.

Задача 5■1(Трикоии). Найти непрерывную в замкнутой области Б функцию и(х,у) с непрерывными внутри В производными их и иу, являющуюся регулярным решением уравнения (31) в областях В1(1=1,2) и принимающую заданные значения

и|х=0=<р1(У) , и|и=1=<р2(у> .Шу<Ь, ^

Пусть коэффициенты уравнения (31) удовлетворяют условиям:

1Т а^Ъ^с* С^), v(x,y)^Bl:Ъl<-Ъo<0, с±<0, (33)

где Ьо=сопзг, причем ах, Ь^, с1 удовлетворяют по х условию Гельдера, а Ъ - условию Гельдера и по у;

2° а . ),с ^С1 (В) ;

а2+Ь2&0, са>0, а2- Ь2+2а +2а„ +2Ь, +2Ъ -4с,2:0

2 2 211 2у 2х 2у 2

Теорема 5.1 (Принцип максимума). Пусть:

(34)

1 ) и(х,у)еС(В)пС1(В) ;

2) и(х,у) обладает непрерывными вторыми производными,

входящими в операторы и \ ;

3) и(х,у) удовлетворяет неравенству Ь1(и)>0 в и

Ь (и)<0 в В ; 2 ' ^

4) выполняются условия (3-3) и (34);

5) и(х,у) является монотонно неубывающей функцией от у

на характеристике АС. Тогда функция и(х,у) свой положительный максимум в Б принимает на отрезках А .4, и ВВо .

Пользуясь принципом максимума будем иметь априорную оценку

|и(2,у)|гшах|<р1 (у)|+тах|ф2 (у) |+2ехр(.»Ш)хах|ф1' {х)\/ N. где 11-211+1/2,

М г тах1-т. (-2

У (а +2Ъ )2-4с - а -2Ъ 1 1 11

У (а +2Ь ) +12с + а +2Ь

из которой следует единственность и устойчивость решения задачи Трикоми. Доказательство существования решения задачи проводится методом интегральных уравнений.

В § 5.2 в области Во={(х,у): 0<х<х(у), 0<у<Ь } с помощью

двух фундаментальных решений вырождающегося параболического уравнения

и -х^а =0, р>-1 (35)

Хч у г

изучены свойства тепловых потенциалов первого и двойного слоев

7[аН£,т])= | иг(0Д;^,т])а( + ;х,у)(1г,

I [ сг2 ] (е, Ч]) =/и1х (X (г), г; ь 1?) ст2 (г; х, у) С1 г

ч

и построены функции Грина первой и смешанной краевой задачи

для уравнения (35) в области Во с криволинейной границей х=Х(У).

В § 5.3 доказано существование и единственность решения задачи Трикоми в области Б, ограниченной линиями

ВБ1=|(х,у):х=%(у)>а,0£у<ь| и АД=|(х,у>:у=Ь,0<х<х(11)},

характеристиками АС, ВС при х >0, у<0 и АС1 и А1С1 при х<0 , у>0 уравнения

-(-У) *u +u , x>0,y<0,

\ ч / }< х уу

u -(-х) ' и , х<0,у>0,

XX уу

выходящих из точек А(0,0), В(г,0), A^Q.h), где p=const >-1, m^conateQ, i=1,2, ¿=x(0)>0.

В параграфах 5.4 и 5.5 исследованы аналоги задачи Три-копи в бесконечных областях для смешанных параболо-гипербо-лических уравнений:

0=

и -хри , х>0, р>-1,

XX у *

и -(-х) u , z<0, m>0f

XX 4 ' У У

0=

HK~Uу • х>0' ~1<k<1"

и -(-х) и , х<С, ш>0,

XX У У

В § 5.6 исследуются смешанные задачи для параболо-ги-

перболического уравнения с нехарактеристической линией изменения типа.

В § 5,7 доказана однозначная разрешимость краевой задачи для уравнения параболо-гиперболического типа третьего порядка

0= |

I и^- и , (х>0)и(у<0),

с неклассическими граничными условиями.

ГЛАВА VI

В этой главе рассматриваются начально-краевые задачи для смешанно-гиперболических и параболо-гиперболических уравнений четвертого порядка. Под смешанно-гиперболическим уравнением подразумевается гиперболическое уравнение четвертого порядка, имеющее действительные характеристики с различными кратностями в разных частях рассматриваемой области.

В § 6,1 в прямоугольнике 3 с вершинами Ао(0,Ь), а1(0,-ь1), В^.-Ь ), Во(г,Ь) (11,1^0), а Б=Вг,(у>0),

Ъ2 =]>*> (у<0), изучена

Задача 6.1. Найти функцию и(х,у)«С(В)-">С*(В),

и^С2 (С }, и .и , и с С (В ), и , и , и , и .

1 хху ---УУ ЛХУУ 1

и_еС(Ц.). удовле творяющую уравнению

(35)

+Ь (х,у)и +с (х,у)и +с_(х,у)и -ч1(х,у)и = 0

з у у 1 V

в области с граничными условиями

и(0,у) = г2(у), их(С,у)= V, (у), 0< у й 11,

u(x,h) = <|)t(x), O < x < г,

и уравнению

ux«.„ + + + ^íz.y)^.. +

(37)

+ 02(x,y)uxv + ^(x.y)^ + 72(x,y)uy + S(x,y)u=D в области B2 с граничными условиями

u(0,y)=xi(y), ик(0,у)=^2(у), ux¡<(0,y)=x3(y), -h^ysD. (38)

Методом Римана доказана Теорема 6.1. Если выполняются условия (24) а. ,6. (i=1 ,2), S.f.a , а, .8 ,8 ,7,7е

i 'rI ' 1t * ' '' ' ' ¿XXX ' 2 хху rixx ' г2ху ' 'IX ' ' 2 у

еС(В2), v(x,y)eBi:bi(x,y)-aiJ(x,y)<0, víx.y)^ (х,у)£0,

vxe[0,¿3:a (x,y)<0, ^(0)^(0), vz (0)=^ (0), гДИНф^О),

VV5 С'Ш.ЬЗ. <iv= Сг [О,г], С3т,гЗ,

Х2- З^СЧ-^.О],

тогда решение задачи 6.1 существует, единственно и предста-вимо в явном виде через функции Римана.

В задачах 6.2 и 6.3 рассматриваются другие варианты задачи 6.1.

В § 6.2 изучаются краевые задачи для уравнений (36) и (37) в области В, для которых линией сопряжения является прямая х=0.

В § 6.3 в прямоугольнике В, описанного в § 6.1, сведением к интегральному уравнению Фредгольма второго рода изучается задача б.б, в которой ищется функция u(x,y)eC(D)r> Г.С1 (В), U , и , и , и eC(DuAB),U , U , U , U ,

^ ' ' хх ' XXX ' хху' хххх 1 хх уу XXX хху *

u_yeC(B2uAB), удовлетворяющая уравнению

u -u +аи +bu +cu=Q

ХХХХ хху Y.Y. х

области Dt с граничными условиями

- 25 -

uíü.y)=т2 (у), Ц,(0,y)=V, (V) , ¡Ж.УИ-р^У). ^(ьУ)=Ф2(У), G¿y<h я уравнению (36) в области В2 с граничными условиями (38).

В § 6.4 в области D, ограниченная отрезками прямых у—х, X-Í, v-h, y=x+h, D,=Dn(y<0). Бз=П-)(х<0), З^ЗМциГ:,), :>D, b>0, методом хштегральных уравнений доказано существование единственного решения уравнения

u -u , (x,y)=D ,

XXÍiX xsy V 1

U -2U +Ц , (X.y)eD ÜB ,

xxxx xxyv УУУУ 2 3

непрерывного' в замкнутой области D и удовлетворяющего краевым условиям и условиям склеивания

u. |v=_x=<J)2(x), 0<x<J/2; пп|у=х_г=фз(х), г/2<х<1 ;

иф^Ц^у). Oíyáli/2; у ^ =фв(у),

Ii/2<y£И; и(х,+0)=и(х,-0), и (x,-0)=uv.<x,+0), Gsx£¿, и(-С,у)=и{+0,у), и (-0,y)=u (+0,у), Cb-ysli, u^í-O.ybu^í+O.y), и хх(-3,у)=иххх{+3,у), Qsysfc.

здесь п -внутренняя нормаль.

ГЛАВА 711

В главе vii исследуются аналоги задач Трикоми и Геллер-стедта в трехмерных призматических и цилиндрических областях с помощью преобразования 'Фурье для уравнений:

f и -и -и , у>0, Г II - и *U„,y>0, т>0,

| у XX -z-л i XX у 22

0= { У<о;, 0= {-(-уГ(их+о„ьиуу , у<о.

Следует отметить, что в плоских задачах коэффициенты гиперболического уравнения в связи с наличием параметра

- 26 -

преобразования Фурье не удовлетворяют условиям принципа Агмона, Ниренберга и Проттера. Несмотря на это с помощью некоторого преобразования удалось снять это ограничение и получить априорные оценки , из которых получается не только единственность решения плоских задач, но и условия, позволяющие обеспечить существование обратного преобразования Фурье.

Пользуясь случаем выражаю глубокую благодарность моему учителю Академику АН Республики Узбекистан Т. Д. Джураеву за ценные советы, постоянное внимание и многократные полезные обсуждения результатов работы, а также Академику HAH KP М. И. Иманалиеву за ценные советы.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Джураев Т.Д., Сопуев А. Об одной задаче для уравнений третьего порядка параболо-гиперболического типа V Краевые задачи для дифференц. уравнений и их приложения.-Ташкент:Фан,1984.-С.36-45.

2. Джураев Т.Д., Сопуев А. Об разрешимости задачи Коши для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа // Дифференц. уравнения и их приложения к механике.-Ташкент: Фан,1985.-С. 14-25.

3. Джураев Т.Д., Сопуев А. О краевых задачах для смешанного параболо-гиперболического уравнения с нехарактеристической линией изменения типа.//Краевые задачи для неклассических уравнений мат. физики.-Ташкент:Фан, 1986.-С.77-89.

4. Джураев Т.Д., Сопуев А., Мамажанов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа.-Ташкент: Фан, 1586.-220 с.

5. Джураев Т.Д., Сопуев А., Апаков Ю.П. Краевые задачи для параболо-гиперболического уравнения с характеристи-

ческой линией изменения типа/сравнения смешанного типа и задачи со свободной границей.-Ташкент:Фан,1987.-С.56-65.

6. Джураев Т.Д., Сопуев А. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка параболо-гиперболического ти-па//Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа: Сб.науч.тр./АН СССР.Сиб.отд-ние.йн-тут математики.-Новосибирск ,1990.-С.82-94.

7. Джураев Т.Д., Сопуев А. О классификации и приведении к каноническому виду уравнений с частными производными четвертого порядка//Узбекский мат. журнал.-'994,жз.-С.7-21.

8. Сопуев А. 00 одном трехмерном-аналоге зздачи Гел-лерстедта для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа//Краевые задачи для дифференц. уравнений и их приложения .-Ташкент:Фан,1984.-С.45-55.

• 9. Сопуев А., Джураев Дж.Т. О краевых задачах для смешанного параболо-гиперболического уравнения с двумя линиями изменения типа/УПрямые и обратные краевые задачи мат. физики .-Ташкент:Фан,1986.-С.63-73.

10. Сопуев А. О краевых задачах для вырождающегося параболо-гиперболического уравнения с нехарактеристической линией изменения типа//Изв. АН УзССР. Сер.фзз.-мат.наук.-; 987, ,$2 . -С.33-38.

' 1. Сопуев А. Краевые задачи для параболо-гиперболи-ческого уравнения с сингулярными коэффициентами в параболической части//Ди®&еренц. уравнения мат.физики и их приложения .-Ташкент:Фан,1383.-С.132-136.

12. Сопуев А., Джураев Дж.Т. Краевые задачи для вырождающегося параболо-гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. -1989. -Т. 25, .'£6. -С. 1009-1015.

13. Сопуев А. Краевые задачи для параболо-гиперболи-

ческого уравнения с двумя линиями изменения типа//Изв.АН УзССР. Сер.физ.-мат.наук.-1989,М.-С.31-37.

14. Сопуев А. Принцип максимума для уравнений гиперболического типа четвертого порядка/УНауч.тр.ОшГУ.Физ.-мат.науки.-Ош,1995.-Вып.1.-С.23-27.

15. Сопуев А. Краевые задачи для смешанно-гиперболических уравнений четвертого порядка/УТам же.-С.28-33.

16. Сопуев А., Асылбеков Т. Краевые задачи для гиперболического уравнения четвертого порядка//Там же.-С.34-37.

17. Сопуев А. Краевая задача для смешанного параболо-гиперболического уравнения четвертого порядка/ишский гос. ун-т.-Бишкек, 1995.-12 с.-Деп. в FHTE КННТ МОП КР 22.12.95, № 825.

18. Сопуев А. Обратные задачи для вырождающегося гиперболического уравнения третьего порядка/Там же.-7 е.-й 826.

19. Сопуев А. Краевые задачи со смещением для вырождающегося параболо-гиперболигческого уравнения//Тез. докл. конф. матем. и мех. Киргизии,Фрунзе,сент.1987г.-Фрунзе, 1987.-С.65.

20. Сопуев А. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка//Тез. докл. науч. конф. "Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифференц. уравнений".-Алма-Ата,май,1991г.-Алма-ата,1991 .-С. 92.

21. Сопуев А. Обратные задачи для псевдопараболического уравнения высокого порядка//Тез. докл. Всесоюз.конф. "Асимптотические методы теории сингулярно-возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач",Бишкек,сент. 1991 г.-Бишкек,1991 .-С.100.

22. Сопуев А. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа третьего порядка//Тез. докл. Мевдунар.науч.

конф."Дифференц. и интегральные уравнения. Мат.физика и специальные функции",Самара,янв.1 59г£г - —Сзмзра«199 Р. . — С.237-233.

23. Сопуев А. Об обратной задаче для уравнения третьего порядка//Тез. докл. Всесоюз. конф. "Условно-корректные задачи мат. физики и анализа".Новосибирск,ишь,1952г.-Новосибирск ,1992.-С.78-79.

24. Сопуев А. Краевая задача дота уравнения четвертого порядка с разрывными коэффициентами//Тез. докл. Респ. научн. конф. " Дифференц. уравнения и их приложения",Ош,сент.1993г. -Ош,1993.-С.99.

25. Сопуев А. О вычислении корней алгебраического уравнения четвертого порядка//Тез. докл. респ. науч.-практ. конф. "Информатика и образование",Ош,окт.1993г.-Ош,1993.-С.51-62.

26. Сопуев А. Краевые задачи для смешанного параболо-гиперболического уравнения четвертого порядка с двумя линиями изменения типа//Тез. докл. мевдунар, науч.-практ, конф. "Аналитические и экспериментальные методы мат. физики и проблемы их преподавания",0ш,дек.1994г.-0ш',1994.-С.50.

27. Сопуев А. Краевые задачи для смешанного параболо-гиперболического уравнения четвертого порядка//Тез. докл. юбилейной науч. конф. посвящ. 50-летив развития математики в АН Казахстана,Ашаты,сент."995г.-Алматы, 1935.-С."84

28. Сопуев А., Асылбеков Т. Канонические формы линейных уравнений четвертого порядка с постоянными коэффициентами/Лез. докл. мевдунар. науч.-прак, конф."Современные метода и средства информационных технологий"Л II.Прикладная мат..Ош, шонь,1995г.-Ош,1995.-С.96-97.

- 30 -

Тертунчу тартиптеги теццемелер жана аралаш типтеги тевдемелер учун чек аралык маселелер

Диссертацияда алынган негизги илимий ныйынтыктар:

1. Тертунчу тартиптеги жекече туундулуу сызыктуу диффе-ренциалдык теццемелерди алардын коэффициенттери боюнча туз-дон туз классификациялоонун зарыл хана жетиштуу шарттары керсетулду.

2. Тертунчу тартиптеги жекече туундулуу сызыктуу диффе-ренциадцык тевдемелерди каноникалык карунушке келтируунун жолдору табылды.

3. Тертунчу тартиптеги гиперболалык тевдемелер учун Риман методу еркундетулду. Риман функциясынын экстремалдык жана зкспоненциалдык касиеттери уйренулду. Риман методу ые-нен гиперболалык жана псевдопараболалык теццемелер учун тескери маселелер изилденди.

4. Жалпы жана бузулуучу парабола-гиперболалык теццеые-лер учун Трикош маселесинин чечиыинин жашашы жана жалгыз-дыгы теоремалары далидценди. Чечимдин априордук баасы алын-да. Экинчи тартиптеги бузулуучу параболалык тевдемелер учун ийри сызыктуу областтар учурунда Грин функциялары тургузулду жана жылуулук потенциаццарынын касиеттери уйренулду.

5. Тертунчу тартиптеги гиперболалык, аралаш-гипербо-лалык жана аралаш парабола-гиперболалык тевдемелер учун бир жана зки жабыштыруу сызыктары бар бир нече чек аралык маселелердин чечимдеринин жашашы жана жалгыздыгы теоремалары далилденди.

6. Аралаш парабола-гиперболалык тевдемелер учун Трико-минин жана Геллерстедтин маселелери уйренулду.

Boundary value problems for equations of the fourth order and mixed type equations

The scientific results: . We have shown the necessity and sufficiency of conditions of classification by types of linear differential equations of the fourth order with partial derivatives directly to their coefficient.

2. We have found ways of reductions to canonical form of linear differential equations of the fourth order *itfl partial derivatives.

3. We have developed Rlertan's method for hyperbolic equations of the fourth order. Exponential .and extremal characteristics for function by Rierran have been examined.

til the help of this method inverse problem for pseudo-parabolic and hyperbolic equations have been studied,

4-. We have proved the theorems of existence and uniqueness for problem ïTicomi for general and degenerate parabolic-hyperbolic equation. ?»e have got a priori estimate of solution and constructed Grin's fonctions for degenerate parabolic equation of the second order in case the eurvelinear domains and studied characteristics of heat potentials.

5. We have proved Theorems of existence and uniqueness solutions of series boundary value problems for hyperbolic, inlxed-hyperbolic and mixed parabolic-hyperbolic equations of the fourth order with one and two linears of assembling.

5. We have stadied problems of 2rlcoml and Gellerstedt lor mixed parabolic-hyperbolic equation In spase. *